Solucionario 2009 -I Matemátcloud.vallejo.com.pe/MATEWWAodV09CwE1.pdf · Matemát Solucionario...
Transcript of Solucionario 2009 -I Matemátcloud.vallejo.com.pe/MATEWWAodV09CwE1.pdf · Matemát Solucionario...
Matemát
Solucionario
2009 -IExamen de admisión
Matemática
1
TEMA P
Pregunta N.º 1Un fabricante vende un artículo al mayorista
ganando p%, éste vende al minorista ganando q%
y el minorista al público obteniendo una ganancia
de t%. Si el precio del artículo al público es 1,716
veces el valor que cuesta fabricarlo, halle la suma
de las cifras de (p+q+t).
A) 6 B) 7 C) 8
D) 9 E) 10
SoluciónTema
Tanto por ciento
Referencias
Una de las tantas aplicaciones de la regla del tanto
por ciento es el aumento sucesivo y las operaciones
comerciales, donde se cumple la siguiente relación;
Precio de venta (PV)=Precio de costo (PC)+ +Ganancia (G)
Por lo general, la ganancia es un tanto por ciento
del precio de costo.
Análisis y procedimiento
Al final (3.er caso), tenemos:
(100+t)%(100+q)%(100+p)%C=1,716C
100 100 100
100 10 0 10017161000
+( ) +( ) +( )× ×
=t q p
(100+t)(100+q)(100+p)=1716000
Buscando factores enteros en el segundo miembro,
mayores de 100, tenemos:
(100+t)(100+q)(100+p)=110×120×130
Entonces
p+q+t=60
cuya suma de cifras es 6.
Nota
Buscando factores enteros en el segundo miembro,
mayores de 100 también, tenemos:
(100+t)(100+q)(100+p)=104×125×132
Entonces
p+q+t=61
cuya suma de cifras es 7.
En esta pregunta hay dos respuestas y son 6 ó 7.
2
unI 2009 -I Academia CÉSAR VALLEJO
Respuesta
La suma de cifras de p+q+t es 6.
Alternativa A
Pregunta N.º 2
Tres números enteros m, n y p tienen una media
aritmética de 10 y una media geométrica de MA = suma de datoscantidad de datos
Halle aproximadamente la media armónica de
estos números, si n · p=120.
A) 8,72 B) 9,32 C) 9,73
D) 9,93 E) 9,98
Solución
Tema
Promedio
Referencias
El promedio es un valor representativo de un
conjunto de datos; dependiendo de la forma de
cálculo tenermos:
• Mediaaritmética(MA)
MA = suma de datoscantidad de datos
• Mediageométrica(MG)
MG n= Producto de datos
n: cantidad de datos
• Mediaarmónica(MH)
MH = cantidad de datossuma de las inversas
de los datos
Análisis y procedimiento
De los datos tenemos
MA (m, n, p)=m n p+ + =
310
→ m+n+p=30
MG (m, n, p)= m n p× × =3 3 960
→ m×n×p=960
Además, por dato tenemos que n×p=120, como
m n p× × =120
960
, entonces, m=8.
Nos queda que
n+p=22
n×p=120
de donde se obtiene
n=12 y p=10.
Finalmente, calculemos la MH (m, n, p).
MH m n p( , , ) , ...=+ +
=318
110
112
9 7297
∴ MH (m, n, p)=9,73
Respuesta
Aproximadamente, la MH de m, n y p es 9,73.
Alternativa C
Pregunta N.º 3
Las normas académicas de una institución educa-
tiva establecen las calificaciones siguientes:
Aprobado: nota ≥ 14;
Desaprobado: 9 ≤ nota < 14 y
Reprobado: nota < 9
3
unI 2009 -ISolucionario de Matemática
En el curso de Química, las calificaciones finales
fueron: 40% de aprobados, con nota promedio:
16 puntos; nota promedio de los desaprobados:
11 puntos; y nota promedio de los reprobados:
6 puntos. Si la nota promedio obtenida en el curso
fue de 11 puntos, entonces, el porcentaje de alum-
nos reprobados es
A) 10% B) 20% C) 30%
D) 40% E) 50%
Solución
Tema
Promedios
Referencias
El promedio más empleado es la media aritmética;
para su cálculo se utilizan todos los datos y se
calcula así:
MA = suma de datostotal de datos
Luego, tenemos que
Suma de datos=MA×(Total de datos)
Análisis y procedimiento
total dealumnos
apro-bados
desapro-bados
repro-bados
cantidad 100% 40% (60 – x)% x%
MA 11 16 11 6
Luego se tiene lo siguiente:
11×100%=16×40%+11(60 – x)%+6×x%
1100%=640%+660% – 5x%
1100%=1300% – 5x%
5x%=200%
x%=40%
Respuesta
Los alumnos reprobados representan el 40%.
Alternativa D
Pregunta N.º 4
De un grupo de 12 profesores; 5 son de la UNI,
uno de los cuales es mujer; 4 son de la UNA, uno
deloscualesesmujer,y3sondelaUNMSM,todos
varones. ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar
ternas constituidas por un profesor de cada univer-
sidad y que no pueda haber una mujer de la UNA?
A) 0,06 B) 0,15 C) 0,18
D) 0,20 E) 0,24
SoluciónTema
Probabilidades
Referencias
Cuando se requiere hallar el número de formas en
que se puede seleccionar r objetos de un total de
n objetos diferentes entre sí, podemos emplear el
siguiente cálculo:
Cn
r n rrn =
−!
!( )!
Además, el cálculo de la probabilidad de un
evento se calcula:
P =
cantidad de casosfavorables
cantidad de casostotales
4
unI 2009 -I Academia CÉSAR VALLEJO
Análisis y procedimiento
Ahora seleccionaremos ternas de profesores:
Piden hallar la probabilidad (P) de que estas ternas
seleccionadas estén constituidas por un profesor de
cada universidad y que no pueda haya una mujer
de la UNA, entonces:
P
C C C
C= × × = =1
513
13
312
944
0 2045,
Respuesta
La probabilidad es 0,20 aproximadamente.
Alternativa D
Pregunta N.º 5
Sea el número N=777...77(8) de 100 cifras. Halle
la suma (expresada en base diez) de las cifras del
número N2, que está expresada en base 8.
A) 640 B) 700 C) 740
D) 780 E) 800
SoluciónTema
Cuatro operaciones
Referencias
En problemas de multiplicación, cuando se
multiplica un número por otro cuyas cifras son
máximas, el producto se puede expresar como
una sustracción.
Ejemplo
abc×99=abc(100 – 1)=abc00 – abc
mnp8×7778=mnp8(10008 – 1)=
mnp0008 – mnp8
Análisis y procedimiento
Por dato
N = 777 77100
8...cifras
��� ��
Entonces
N 2
1008
1008
777 77 777 77= ×... ...cifras cifras
��� �� ��� ��
Pero
N
N
2
1008
1008
2
777 77 1 00 0 1
7
= −
=
... ...cifras cifras
��� �� ���
777 77 00 0 777 77100 100
8100
... ... ...cifras cifras cifra
��� �� ��� −ss
��� �� 8
N
N
2
1008
1008
2
777 77 1 00 0 1
7
= −
=
... ...cifras cifras
��� �� ���
777 77 00 0 777 77100 100
8100
... ... ...cifras cifras cifra
��� �� ��� −ss
��� �� 8
Ordenando en forma vertical y operando obte-nemos
N 2
100877 600 01= ... ...
cifras100 cifras���� ��
77...700...008 – 77...778
Entonces, la suma de cifras de N 2 es
7×99+6+1=700
Respuesta
La suma de cifras de N2 es 700.
Alternativa B
5
unI 2009 -ISolucionario de Matemática
Pregunta N.º 6
Clasifique como verdadero (V) o falso (F) cada una
de las siguientes afirmaciones:
1. ∀ a, b números enteros, tansencos
xxx
= es un número
racional.
2. ∀ a, b números enteros, cotcossen
xxx
= es un número
racional.
3. Si k ∈ Z y k2 es par, entonces k es par.
A) FVV B) FFV C) VFV
D) VFF E) FFF
Solución
Tema
Números racionales
Referencias
El conjunto de los números racionales se define:
Q Z Z= ∈ ∧ ∈ −{ }
ab
a b 0
Si mn∈Q, se debe cumplir que m ∈Z ∧ n ∈Z – {0}.
Además, se dice que un número es par si es un
múltiplo de 2; es decir, si n es par, entonces, n=2K,
(K ∈ Z).
Análisis y procedimiento
I. Por dato: ∀ a; b números enteros se debe
concluir que ab
es un número racional, pero
esto no se cumple cuando b=0.
Por lo tanto, esta proposición es falsa (F).
II. Por dato: ∀a; b números enteros se debe
cumplir que a b
a
++1 2
es un número racional.
• Como a y b son enteros, la suma a+b sigue
siendo entero.
• Además,a ∈ Z.
Entonces, 0 ≤ a2 ∈ Z → 1 ≤ a2+1 ∈ Z.
a b
a
++1 2
es un número racional, pues 1+a2 es
entero y diferente de cero.
Por lo tanto, esta proposición es verdadera (V).
III. Por dato:
Si K ∈ Z y K2 es par, entonces, K es par.
Por dato K2 es par; entonces, K2=2n; (n ∈ Z).
Pero, por ser K2 un cuadrado perfecto y K n2 2= ,
entonces, n=2p2, de donde K2=4p2 → K=2p;
por lo tanto, K es par.
Esta proposición es verdadera (V).
Respuesta
Los valores veritativos de las proposiciones son
FVV, respectivamente.
Alternativa A
Pregunta N.º 7
Sea N=abc, un número de tres cifras, tal que;
f xx xx x
x K( )sen tancos cot
= ++
≠ π2
.
Halle la siguiente suma 3c+2a+b.
A) 24 B) 26 C) 28
D) 30 E) 32
Solución
Tema
Divisibilidad
6
unI 2009 -I Academia CÉSAR VALLEJO
Referencias
En los criterios de divisibilidad hay algunos casos
particulares en donde se puede intercambiar el
orden de las cifras; por ejemplo:
Si mnp=9o ↔ m+n+p=9
o, al intercambiar el orden
de las cifras también se genera números múltiplos
de 9; así, mpn=9o; pnm=9
o; ...
Si mnp+ − +
=11o
↔ p – n+m=11o
, al intercambiar las
cifras de orden impar también se genera múltiplo
de 11; así, pnm=11o
.
Análisis y procedimiento
De los datos tenemos
abc=7o
cba =+ − +
11o
→ cba =+ − +
11o
cab abc= → =9 9o o
abc= → abc=MCMo
( , , )7 9 11
7o
11o9o
De donde
abc K= =693 693o
1(único valor)
Luego,
a=6, b=9 y c=3.
Entonces,
3c+2a+b=3(3)+2(6)+9=30.
Respuesta
La suma de 3c+2a+b es 30.
Alternativa D
Pregunta N.º 8
Si la fracción f x
xxx
xxx
( )sen
sencos
coscossen
=+
+
es equivalente a 5/17, determine
b, sabiendo que (a)(b)(c)≠0.
A) 1 B) 2 C) 4
D) 6 E) 8
Solución
Tema
Números racionales
Referencias
Una fracción será equivalente a otra si resulta de
multiplicar los términos de la fracción irreductible
de esta última por una misma cantidad entera.
Por ejemplo: Si queremos fracciones equivalentes
a 1220
35
<> irreductible.
Entonces, dichas fracciones serán de la forma ab
nn
= 35
, donde a=3n y b=5n (n ∈ Z).
Análisis y procedimiento
Por dato, la fracción abccba
es equivalente a 5
17.
Entonces, se cumple que
abccba
nn
= 517
→ abc=5n= 5o
∧ cba=17n
De lo anterior se concluye que c=5
además, se tiene que
cba abc nc a
− = =−99
12 4( )
� �� ��o
→ 99 12 44
( )c a nc a
− = =− =
o
o
pero c=5
∴ a=1 ∧ n=33
7
unI 2009 -ISolucionario de Matemática
Como
abc=5n=5(33)=165
entonces,
b=6.
Respuesta
El valor de b es 6.
Alternativa D
Pregunta N.º 9
Sea la igualdad
f xx
xx
xx
x
( )sen
coscos
cossen
sen
=
+
+
1
1
(*)
entonces, la proposición verdadera es:
A) (*) si y solo si x=0 ∨ a2=b2
B) (*) si y solo si x=a=b
C) (*) si y solo si x=0 ∧ a=b
D) (*) si y solo si x=0 ∨ a=b
E) (*) si y solo si x=a= – b
Solución
Tema
Valor absoluto
Referencias
Para la resolución del problema utilizaremos el
siguiente teorema.
|x|=|y | ↔ x=y ∨ x= – y
Análisis y procedimiento
Plan de resolución
I. Aplicar el teorema.II. Resolver las ecuaciones obtenidas.
Ejecución del plan
I. |x – a+b|=|x+a – b|
↔ x – a+b=x+a – b ∨ x – a+b= – (x+a – b)
II. 2b=2a ∨ x – a+b= – x – a+b
↔ b=a ∨ 2x=0
↔ b=a ∨ x=0
∴ x=0 ∨ a=b
Respuesta
La proposición verdadera es x=0 ∨ a=b.
Alternativa D
Pregunta N.º10
Si cab abc= → =9 9o o
, x 2+y 2=5, x < 0 < y y |y| < |x|,
halle el valor de p2
A) – 2 B) – 1 C) 0
D) 1 E) 2
Solución
Tema
Sistema de ecuaciones
Referencias
Para resolver el problema necesitamos conocer
lo siguiente:
• Ecuacionescuadráticas.
• Valorabsoluto.
Análisis y procedimiento
Plan de resolución
I. Hallar el equivalente de la primera ecuación del
sistema.
II. Dicho equivalente lo relacionamos con la se-
gunda ecuación.
III. Restringimos algunos valores por la condición
del problema.
8
unI 2009 -I Academia CÉSAR VALLEJO
Plan de ejecución
Tenemos el sistema
x
y
y
x
x y
x y y x
2
2
2
2
2 2
136
5
0
+ = ( )
+ = ( )< < <
α
β;
De (α) se tiene
6x4 – 13x2y2+6y4=0
Factorizamos
(3x2 – 2y2)(2x2 – 3y2)=0
→ 3x2=2y2 ∨ 2x2=3y2
→ x
y
x
y
2
2
2
223
32
= ∨ = (λ)
De (b) y (λ)
tenemos
(x2=2 ∧ y2=3) ∨ (x2=3 ∧ y2=2)
como |y| < |x|
entonces, solo es posible
x2=3 ∧ y2=2
↔ x y± ∧ = ±3 2
y como x < 0< y, se tiene finalmente
x y= − ∧ =3 2
∴ S y x= + = ( ) + ( ) −( ) = −2 3 2 2 3 3 1
Respuesta
El valor de S y x= +2 3 es – 1.
Alternativa B
Pregunta N.º 11
En la figura se muestra la gráfica del polinomio
cúbico p(x).
Sabiendo que p(a)=20, halle p a−( )3
A) 4 B) 5 C) 8
D) 10 E) 12
Solución
Tema
Gráfica de funciones
Referencias
Para la resolución del problema se necesita conocer
lo siguiente:
•Gráficadefuncionescúbicas.
•Raícesrealesdefuncionespolinomiales.
•Característicasdelasfuncionescúbicas.
•Teoremadelfactor.
Análisis y procedimiento
Plan de ejecución:
I. Identificar las raíces reales de la gráfica.
II. Aplicar el teorema del factor.
III. Hallar el coeficiente principal de P(x)
9
unI 2009 -ISolucionario de Matemática
Ejecución del plan:I. Del siguiente gráfico
las raíces son –2a; 0; 2a
II. P(x)=b(x+2a)x(x – 2a).
III. Evaluamos x=a
P(a)=b(3a)a(– a)=20
→ =b
a
20
3 3
Luego,
P
ax a x x ax( ) ( ) ( ).= − + −20
32 2
3
Similarmente, para x = – 3a
P
aa a aa( ) ( )( )( )− = − − − −3 3
20
33 5
P(– 3a)=100
P a( )− =3 100
∴ =−P a( )3 10
Respuesta
El valor de P a( )−3 es 10.
Alternativa D
Pregunta N.º 12La gráfica de la función f se muestra a continuación
Determine aproximadamente la gráfica de la inversa de la función
g(x)=|f(x – 2)+1|;
– 1 ≤ x ≤ 1
10
unI 2009 -I Academia CÉSAR VALLEJO
Solución
Tema
Gráfica de funciones
Referencias
Para la resolución del problema se necesita conocer
lo siguiente:
• Propiedadesdelasgráficasdefunciones.
• Gráficadelafuncióninversa.
Análisis y procedimiento
Plan de resolución
I. Identificar la gráfica de f en el dominio indicado.
II. Usar las propiedades de gráficas de funciones
para construir g(x).
III. Graficar la función inversa.
Ejecución del plan
I. Como nos interesa la gráfica de
f(x –2),para–1≤x ≤1→–3≤x–2≤–1
es decir, solo nos interesa la gráfica de f en el
intervalo [– 3; – 1] ⊂ Domf.
II.
– 1
1
– 1
Y
X
– 2
– 3 – 1
1
– 1
Y
X
1
f x( ) f x( – 2)
2
– 1
Y
X
1
f x( – 2)+1
– 1
1
– 1
Y
X
– 2
– 3 – 1
1
– 1
Y
X
1
f x( ) f x( – 2)
2
– 1
Y
X
1
f x( – 2)+1
como
f(x – 2)+1≥0∀ x ∈[– 1; 1]
→ |f(x – 2)+1|=f(x – 2)+1
luego,
g(x)=|f(x – 2)+1|=f(x – 2)+1;
–1≤x≤1
III. Por lo tanto, la gráfica de g–1(x) será
– 1
Y
X2– 1
2
g–1
g
1
Respuesta
La gráfica de g– 1 se muestra en la alternativa C.
Alternativa C
Pregunta N.º 13Si a, b y c son constantes positivas y
1 1 1 10 0
0 00 0
0x ax bx c
=
Determine el valor de x.
A) abc
a b c+ +
B) abc
ab ac bc+ +
C) bca
acb
abc
+ +
11
unI 2009 -ISolucionario de Matemática
D) a b cabc+ +
E) abc
bac
cab
+ +
Solución
Tema
Determinantes
Referencias
Para el cálculo del determinante de una matriz de
orden (4×4), se utilizará el método de menores
complementarios, y es necesario también el
método de Sarrus para una matriz de orden (3×3).
Análisis y procedimiento
Plan de resolución
I. Identificar la fila o columna que contenga más
ceros.
II. Aplicar el método de menores complementarios.
III. Aplicar el método de Sarrus.
Ejecución del plan
I. 1 1 1 1
x a 0 0
x 0 b 0
x 0 0 c
II. 1 1 1 1
x a 0 0
x 0 b 0
x 0 0 c
=– x1 1 1
0 b 0
0 0 c
+a ( )�1 1 1
x b 0
x 0 c
III. 1 1 1
0 b 0
0 0 c
1 1
0 b
0 0
=bc
+ + +– – –
1 1 1
x b 0
x 0 c
1 1
x b
x 0
= –( + )bc bx cx
+ + +– – –
Reemplazamos en (α)
1 1 1 1
x a 0 0
x 0 b 0
x 0 0 c
=– xbc+a(bc – (bx+cx))=0
→ – xbc+abc – abx – acx=0
→ =
+ +x
abcab bc ac
Respuesta
El valor de x es abc
ab bc ac+ +
Alternativa B
Pregunta N.º 14
El sistema de inecuaciones
x – 3y ≤ 6
2x+y ≥ 4
x+y ≤ 6
x ≥ 0
y ≥ 0
determina en el plano una región R. Podemos
afirmar que
A) R es una región triangular.
B) R es un región cuyo borde es un cuadrado.
C) R es un región cuyo borde es un cuadrilátero.
D) R es vacía.
E) R es un cuadrante.
12
unI 2009 -I Academia CÉSAR VALLEJO
SoluciónTema
Sistema de inecuaciones lineales
Referencias
Una inecuación con dos variables se puede repre-sentar geométricamente en un plano cartesiano; por ejemplo, para la inecuación x+2y≥12
6
12
Y
X
Análisis y procedimiento
Plan de resoluciónI. Graficar las desigualdades.II. Intersecar dichas regiones.III. Identificar la figura y su borde.
Ejecución del plan
6
4
2 6
2 + =4x y
x y+ =6
x y–3 =6
–2
Y
X
R
Respuesta
Se puede afirmar qye R es una región cuyo borde es un cuadrilátero.
Altenativa C
Pregunta N.º 15
Si el conjunto solución de la inecuación
(2x – x)(3x – log3x)(x2 – 9)(3x – 9) > 0
es de la forma S=⟨a; b⟩ ∪ ⟨c; +∞⟩ , halle a+b+c.
A) 0 B) 1 C) 2
D) 3 E) 5
Solución
Tema
Inecuación logarítmica y/o exponencial.
Referencias
Para la resolución del problema se debe conocer
lo siguiente:
• Gráficos de las funciones exponenciales y
logarítmicas.
• Criteriodelospuntoscríticos.
Análisis y procedimiento
I. Graficar las funciones exponenciales y logarít-
micas para compararlas.
II. Simplificar los factores positivos que aparecen
en la inecuación.
III. Usar el criterio de los puntos críticos para
determinar los valores de a, b y c.
Ejecución del plan
I. Debemos recordar los gráficos de las funciones
siguientes:
1
y=2x
y x=
Y
X
→ (2x – x) > 0; ∀x ∈ R
13
unI 2009 -ISolucionario de Matemática
→ (3x – log3x) > 0;
∀ x ∈ R+
II. En la inecuación debemos considerar x > 0
para que log3x exista.
2 3 3x xx x−( ) −( )+ +
� �� �� � ��� ���log (x2 – 9)(3x – 32) > 0
→ (x – 3)(x+3)(3x – 32) > 0
III. Puntos críticos: – 3; 3 y 2
→ CS=⟨0; 2⟩ ∪ ⟨3; +∞⟩
Comparando con el dato, obtenemos
a=0, b=2 y
c=3
→ a+b+c=5
Respuesta
El valor de a+b+c es 5.
Alternativa E
Pregunta N.º 16
Sea u el número de decenas de sillas y v el número
de decenas de mesas que fabrica una empresa al
día. Si la utilidad diaria está dada por 200u+300v,
y se tienen las siguientes restricciones:
u+v ≤ 4 2u+3v ≤ 10
40u+20v ≤ 120
encuentre el número de decenas de mesas y sillas,
respectivamente, a fabricar diariamente de modo
que la empresa obtenga la mayor utilidad.
A) 3 y 1 B) 1 y 3 C) 2 y 2
D) 2 y 3 E) 3 y 2
Solución
Tema
Programación lineal
Referencias
En este tema se requiere determinar la
región factible, la cual se obtiene mediante la
representación geométrica de las restricciones
dadas, para luego calcular las coordenadas de los
vértices de la región y poder evaluar el máximo o
mínimo valor de la función objetivo.
Análisis y procedimiento
Plan de resolución
I. Identificar la función objetivo.
II. Representación gráfica de las restricciones.
III. Evaluar la función objetivo en los vértices de la
región factible.
Ejecución del plan
I. La función objetivo es
f(u, v)=200u+300v.
14
unI 2009 -I Academia CÉSAR VALLEJO
II. Vamos a representar geométricamente las
restricciones.
u vu vu v
+ ≤+ ≤+ ≤
42 3 1040 20 120
Como u y v representan el número de decenas de
sillas y mesas, entonces, son cantidades enteras,
por lo que evaluaremos la función objetivo solo
en (2; 2) y (3; 0); así:
III. f(2; 2)=200(2)+300(2)
f(2; 2=1000 (máximo)
f(3; 0)=200(3)+300(0)
f(3; 0)=600
Respuesta
La empresa obtendrá la mayor utilidad cuando
fabrique 2 decenas de sillas y 2 decenas de mesas.
Alternativa C
Pregunta N.º 17
Dada la sucesión 2; 6; 12; 20; 30; 42; ...
Determine la suma de los 100 primeros términos
de la sucesión anterior.
A) 10 100 B) 294 880 C) 323 400
D) 333 300 E) 343 400
Solución
Tema
Series
Referencias
Una serie es la suma de los términos de una suce-
sión y se denota por
tn
n
k
=∑
1
Algunas sumas notables:
• k nn n
k
n= + + + + = +( )
=∑ 1 2 3
121
...
• k nn n n
k
n2
1
2 2 2 21 2 31 2 1
6=∑ = + + + + = +( ) +( )
...
• k k n n
n n n
k
n+( )= × + × + × + + × +( )
= +( ) +( )
=∑ 1 1 2 2 3 3 4 1
1 23
1...
Análisis y procedimiento
De la sucesión
2 6 12 20 30 42100
; ; ; ; ; ;...términos
� ����� �����
notamos que cada término se expresa como
1×2; 2×3; 3×4; 4×5; 5×6; 6×7; ...; 100×101
Entonces, el término general de la sucesión es
tn=n(n+1)
calculando la suma de los 100 términos de la
sucesión, obtenemos
n n
n+( ) = × × =
=∑ 1
100 101 1023
3434001
100
Respuesta
La suma de los 100 términos de la sucesión es 343 400.
Alternativa E
15
unI 2009 -ISolucionario de Matemática
Pregunta N.º 18
Si los números 49; 4489; 444 889; ..., obtenidos
colocando el número 48 en medio del anterior, son
los cuadrados de números enteros. Halle la suma
de los dígitos del sexto número entero.
A) 36 B) 37 C) 38
D) 39 E) 40
Solución
Tema
Sucesión
Referencias
Cuando tenemos una sucesión de números, de-bemos identificar una regla de formación que nos permita encontrar cualquier término de la sucesión.
Análisis y procedimiento
De los términos de la sucesión
49; 4489; 444889; ...
nos indican que cada uno de ellos son los cuadrados de números enteros; por lo tanto, analicemos cada término.
Números Números enteros elevados al cuadrado
1.er número 49 = 72
2.o número: 4489 = 672
3.er número 444889 = 6672
......
...
6.o número : = 6666672
el sexto número entero elevado al cuadrado es 666667
Piden la suma de los dígitos del sexto número entero; aquí se debe entender que se refieren al sexto número entero que está elevado al cuadrado, esto es
6+6+6+6+6+7=37
Respuesta
La suma de los dígitos del sexto número entero es 37.
Alternativa B
Pregunta N.º 19Determine el conjunto solución del sistema
x2– 4x+y2=64
x3– 6x2+12x+y=8
A) {(0; 8), (2; 1)}
B) {(0; 8), (4; – 8)}
C) {(0; 8), (0, – 8)}
D) {(4; – 8), (2; 8)}
E) {(1; 2), (4; – 8)}
SoluciónTema
Sistema de ecuaciones no lineales
Referencias
Para resolver el sistema no lineal utilizaremos el
método de Gauss; es decir, eliminar una incógnita.
Análisis y procedimiento
Plan de resolución
I. Completar cuadrados y cubos.
II. Eliminamos una incógnita.
III. Factorizamos aplicando el método de los
divisores binómicos.
16
unI 2009 -I Academia CÉSAR VALLEJO
Ejecución del plan
I. x2– 4x+y2=64
x2– 4x+4+y2=64+4
(x– 2)2+y2=68 (b)
x3– 6x2+12x+y=8
x3–6x2+12x–8+y=8 – 8
(x – 2)3+y=0 (α)
II. En (α) tenemos:
y=–(x –2)3
Reemplazando en (b) obtenemos (x–2)2+(–(x–2)3)2=68
(x–2)2+(x–2)6=68 (q)
III. Haremos un cambio de variable para factori-zarlo.
sea
(x – 2)2=a
Reemplazando en (q) tenemos
a+a3=68
a3+a – 68=0
Se observa que a=4 es raíz → (a – 4) es un factor.Aplicamos Ruffini para obtener el otro factor.
(a – 4)(a2+4a+17)=0
D<0 (no tiene solución real)
Entonces, a=4.
Reemplazamos
(x–2)2=4 → x yx y= → = −= → =
4 80 8
Respuesta
El conjunto solución es CS={(0; 8), (4; –8)}.
Alternativa B
Pregunta N.º 20Sea p(x) el polinomio de grado n, donde n es el menor posible y cuya gráfica se representa a continuación.
Encuentre el residuo al efectuar la división de p(x) con q(x)=x – 3.
A) – 6B) – 4C) – 1D) 1E) 4
SoluciónTema
Gráfica de funciones polinomiales
Referencias
Para la solución del problema se necesita conocer:
17
unI 2009 -ISolucionario de Matemática
• Gráficadeunafunciónpolinomial.
• Teoremadelresto.
Análisis y procedimiento
Plan de resoluciónI. A partir de la gráfica, hallar la regla de
correspondencia de p(x).
II. Aplicar el teorema del resto.
Ejecución del planI.
p(x)=k(x – 1)2a(x – 2)2b – 1;
a, b ∈ Z+
Como el grado de p(x) es el menor posible,
entonces
a=1 y
b=1
Luego, tenemos
p(x)=k(x – 1)2(x – 2)
De la gráfica
p(0)=2
p(0)=k(–1)2(–2)
p(0)=2
→ k=–1
Luego
p(x)=–(x – 1)2(x – 2)
II. Aplicando el teorema del resto tenemos
p xx
( )− 3
→ R(x)=p(3)
p(3)=–(2)2(1)
∴ p(3)=– 4
Respuesta
El residuo de dividir p(x) entre x – 3 es – 4.
Alternativa B
Pregunta N.º 21En la figura mostrada ABCD es un cuadrado de lado 2R, además BC es diámetro de la semicir-cunferencia de centro O y radio de longitud R. Si T es un punto de tangencia entonces mSTOA es
A) 7,5 B) 8C) 10D) 10,5 E) 12,5
SoluciónTema
Circunferencia
18
unI 2009 -I Academia CÉSAR VALLEJO
Referencias
En la pregunta nos piden la medida de un ángulo; entonces, debemos ubicarlo en una figura donde se puede obtener dicha medida; por ejemplo, un triángulo; además, como se observa una semicircunferencia debemos aplicar los teoremas que se cumplen en la circunferencia.
Análisis y procedimiento
En el gráfico, nos piden x.
Como ABCD es un cuadrado
→ BC=CD=2(BO)=2(OC)=2R
Trazamos OD → OD� ��
: Bisectriz del SCDT
Luego, OCD (not 53º/2):
mSCDO=53º/2 y mSODT=53º/2
En TOCD: inscriptible
→ mSBOT=mSCDTt
mSBOT=53º
OBA (not 53º/2)
→ mSBAO=532
º
En OBA
53º+x+532
º=90º
x= 212
º
→ x=10,5º
Respuesta
La medida del ángulo TOA es 10,5º.
Alternativa D
Pregunta N.º 22ABC es un triángulo rectángulo. Exteriormente a los catetos se construyen los triángulos equiláteros ABD y BEC. P, Q y R son puntos medios de BE, BC y DC respectivamente. Si el área de la región triangular ABC es 32 cm2, entonces el área de la región triangular PQR (en cm2) es
A) 4 B) 6 C) 8
D) 12 E) 16
SoluciónTema
Área de regiones triangulares
Referencias
Para relacionar las áreas de dos regiones trian-gulares, se busca la relación entre los elementos de ambos triángulos (lados, alturas, medida de ángulos, etc.).
Análisis y procedimiento
19
unI 2009 -ISolucionario de Matemática
Piden APQR: área de la región triangular PQR.
Dato A ABC: área de la región triangular ABC. (A ABC=32)
Por ser P, Q y R puntos medios, se determinan bases medias en los triángulos BEC y DBC.
QR // DB
→ mSRQC=150º y
RQ=BD2
PQ // EC → mSPQC=120º y PQ=EC2
Luego
mSPQR=90º
En el gráfico, PQR ~ ABC (caso LAL de
razón 1/2)
Por áreas de regiones semejantes
A
APQR
ABC=
razón desemejanza
2
Reemplazamos
A PQR
3212
2
=
→ APQR=8
Respuesta
El área de la región triangular PQR (en cm2) es 8.
Alternativa C
Pregunta N.º 23Indique la secuencia correcta después de determi-nar si la proposición es verdadera (V) o falsa (F).I. Si dos planos son perpendiculares a dos rectas
diferentes que se intersectan, entonces dichos planos también se intersectan.
II. El lugar geométrico que determinan los pies de los segmentos oblicuos de longitudes iguales trazadas desde un punto exterior a un plano es una circunferencia.
III. Toda recta es perpendicular a un plano, si es ortogonal a dos rectas diferentes no paralelas contenidas en dicho plano.
A) VVF B) VFV C) FFVD) VVV E) FFF
SoluciónTema
Geometría del espacio. Rectas y planos
Referencias
En este tipo de preguntas debemos hacer una comparación entre los conceptos teóricos y los casos posibles que plantean las proposiciones. De esta manera, determinamos la veracidad o falsedad de la proposición dada.
Análisis y procedimiento
Esta pregunta consta de tres proposiciones.I. En el espacio, solo se admiten dos posiciones
relativas entre dos planos: son paralelos o son secantes.
• Enlafig.1,losplanossonparalelossison
perpendiculares a una misma recta. • Enlafig.2,losplanossonsecantessison
perpendiculares a dos rectas que se interse-can (proposición de la pregunta).
Entonces, la proposición es verdadera.
20
unI 2009 -I Academia CÉSAR VALLEJO
II.
• ComoelpuntoQ es exterior al plano, traza-mos QQ' de modo que Q' sea la proyección ortogonal de Q sobre el plano W.
• En el gráfico, los triángulos rectángulosAQ'Q; BQ'Q y DQ'Q son congruentes entre sí.
• Luego,m=n=p=… • Además,elpuntoQ' equidista de A, B,
C, D, … Por lo tanto, el lugar geométrico que deter-
minan A, B, C y D es una circunferencia de centro Q'.
Entonces, la proposición es verdadera.
III. En el gráfico, para que una recta sea perpendicular a un plano, debe ser perpendicular a dos rectas no paralelas contenidas en dicho plano.
Entonces, la proposición es verdadera.
Respuesta
La secuencia correcta después de analizar las proposiciones es VVV.
Alternativa D
Pregunta N.º 24En la figura mostrada, ABCD es un trapecio
rectángulo tal que CD=BC=2AB=2a. Si PQ es
perpendicular al plano del trapecio tal que PQ=a
y los volúmenes de las pirámides Q-ABP y Q-CDP
son iguales, calcule el volumen de la pirámide
Q-BCP.
A) 12
3a B) 38
3a C) 45
3a
D) 78
3a E) 59
3a
SoluciónTema
Geometría del espacio. Pirámide
Referencias
En preguntas donde piden el cálculo o la relación de volúmenes, conviene hacer un análisis de las longitudes de las alturas o de las relaciones de las bases. Generalmente, para el cálculo del área de la base se emplean capítulos anteriores de geometría plana.
Análisis y procedimiento
Piden volumen de la pirámide Q-BCP:
V Ax BCP PQ= [ ]13
[ ] (I)
21
unI 2009 -ISolucionario de Matemática
Del gráfico tenemos PQ=a (II)
Como los volúmenes de las pirámides Q-ABP y
Q-PCD son iguales, al tener la misma altura, las
áreas de sus bases son también iguales.
Entonces, AABP=ACPD=4A.
En el plano de la base
Del dato de áreas iguales → AP=2(PD)
Por relación de áreas, el área de la región trapecial:
18
22
2A = +
a aa( )
→ =A
a2
6
Luego, ABCP=10A=5
3
2a (III)
Reemplazamos (II) y (III) en (I)
→ Vx= 13
53
59
3 3aa
a
=( )
Respuesta
El volumen de la pirámide Q-BCP es 59
3a
Alternativa E
Pregunta N.º 25
La altura de un prisma recto mide 1 u, su base es
una región limitada por un rombo cuyo lado mide
2 u y su ángulo agudo mide 30º. Por un lado de
la base se traza un plano que interseca al prisma
y está inclinado un ángulo de 60º con respecto
de la base, luego el área de la sección (en u2) que
resulta en el prisma es:
A) 2 3 B) 53
C) 43
D) 33
E) 23
Solución
Tema
Prisma
Referencias
Al trazar planos secantes a un sólido, este determina
secciones planas, que varían de acuerdo al ángulo
de inclinación y el lugar por donde interseca. Así,
un plano secante en un prisma puede determinar
una sección triangular, cuadrangular, ...
y para poder aprovechar el ángulo de inclinación
es preciso asociarlo con el teorema de las tres
perpendiculares.
22
unI 2009 -I Academia CÉSAR VALLEJO
Análisis y procedimiento
Graficamos el prisma según las condiciones
planteadas.
donde ABCD es un rombo de lado 2 u y la
mSABC=30º.
Si trazamos
CH ⊥ AB ... 1.a ⊥
SS' ⊥ CH ... 2.a ⊥
→ S'H ⊥ AB ... 3.a ⊥
Sea S'H=h.
Como la altura del prisma es 1 u
→ S'S=1 u
Luego, en el S'SH:
hsen60º=1 u
→ h = 23
u
Luego, el área de la sección ABMN, que es una
región paralelográmica, se calcula multiplicando
AB y h.
A ABMN= AB h( ) = ( )
223
u u
= 4
32u
Respuesta
El área de la sección en u2 es 43
.
Alternativa C
Pregunta N.º 26
Se tiene un polígono convexo de 8 lados circuns-
crita a una circunferencia, si las longitudes de sus
lados están en progresión geométrica de razón r.
Determine r2+3r.
A) 1 B) 4 C) 10
D) 18 E) 28
Solución
Tema
Polígonos circunscritos a una circunferencia:
Teorema de Pithot generalizado
Referencias
En un cuadrilátero circunscrito o circunscriptible,
se cumple el teorema de Pithot, es decir, la suma
de longitudes de lados opuestos son iguales.
En un polígono circunscrito o circunscriptible se
cumple que la suma de longitudes de lugar par
es igual a la suma de longitudes de lugar impar,
es considerado para un cuadrilátero, hexágono,
octógono, ..., en polígonos cuyo número de
lados es par.
23
unI 2009 -ISolucionario de Matemática
Análisis y procedimiento
Piden r2+3r.
Las longitudes de los lados del polígono convexo de
8 lados están en progresión geométrica de razón r.
además
AB=1, BC=2, CD=3, DE=4, EF=5,
FG=6, GH=7 y HA=8,
En el octógono circunscrito por el teorema de
Pithot general, tenemos:
1+3+5+7=2+4+6+8 → a+ar2+ar4+ar6=ar+ar3+ar5+ar7
Factorizamos
a(1+r2+r4+r6)=ar(1+r2+r4+r6)
→ r=1
Respuesta
El valor de r2+3r es 4.
Alternativa B
Pregunta N.º 27
Se da un triángulo ABC cuyos lados AB y BC
miden 8 m y 6 m respectivamente. Sobre AB
se toma el punto D. Si mSBAC=mSBCD.
Entonces AD es:
A) 3,5 B) 4 C) 4,5
D) 5 E) 5,5
Solución
Tema
Semejanza de triángulos
Referencias
Cuando en un triángulo se desea relacionar las
longitudes de lados y segmentos determinados
por una ceviana, se puede recurrir a la teoría de
semejanza, y más aún si la medida de un ángulo
es igual al ángulo determinado por dicha ceviana
y un lado; por ejemplo:
Teorema:
En el ABC
mSBAC=mSMBC=q
→ x2=bm
24
unI 2009 -I Academia CÉSAR VALLEJO
Análisis y procedimiento
Piden AD
Datos:
AB=8, BC=6
mSBAC=mSBCD
ABC: Por teorema de semejanza
tenemos:
(BC)2=(AB)(BD) (I )
también:
BD=8 – AD
Reemplazamos:
62=8(8 – AD)
→ AD=3,5
Respuesta
Entonces, AD es 3,5.
Alternativa A
Pregunta N.º 28
En figura, AB y AC con diámetros, CT es tan-
gente al arco AB, AB=BC=2r y ET=4. Calcule r.
A) 2 3 B) 2 2 C) 3
D) 6 E) 3 3
Solución
Tema
Semejanza de triángulos
Referencias
En el problema nos piden calcular el radio de la
semicircunferencia menor, para ello debemos rela-
cionar el dato numérico con la variable, utilizando
los teoremas que se cumplen en circunferencias
tangentes interiores. Luego, para obtener el valor
del radio debemos establecer una operación que
relacione la incógnita con los datos.
Análisis y procedimiento
25
unI 2009 -ISolucionario de Matemática
Trazamos BT
→ mSBTA=90º
Por teorema:
ET=TA=4
Trazamos AD
→ AT���
es bisectriz del SDAC
mSDAT=mSTAC=α
Luego
mSECD=mSDAE=α
En AEC:Teorema de semejanza
(EC)2=(8)(4)
→ EC = 4 2
AEC: Teorema base media
→ TB = 2 2
ATB:
(2r)2=42+ 2 22( )
r = 6
Respuesta
El valor de r es 6.
Alternativa D
Pregunta N.º 29
En un triángulo ABC se cumple AB=2 m y
AC=32 m. Halle el perímetro del triángulo en
metros, sabiendo que es un número entero y el
ángulo en A es obtuso.
A) 65 B) 66 C) 67
D) 68 E) 69
Solución
Tema
Clasificación de triángulos: Triángulo obstusángulo.
Referencias
Para realizar el cálculo del perímetro, es necesario
conocer BC, el cual, por dato, debe ser entero.
Como las longitudes de los otros dos lados son
conocidas, podemos restringir a BC mediante el
teorema de existencia; pero como la medida de
un ángulo interior es mayor de 90º (obtuso), se
puede realizar la restricción de BC por la naturaleza
del triángulo.
Análisis y procedimiento
Por dato del problema tenemos
AB=2, AC=32 y mSBAC>90º
Piden
2P ABC=2+32+BC=34+BC.
En el ABC: Existencia de triángulos
32 – 2 < BC < 32+2 (I)
• ComomSBAC>90º
322+22 < BC2
32,06 < BC (II)
• Luego,relacionamoslasrestricciones(I)y(II).
32,06 < BC < 34 (III)
26
unI 2009 -I Academia CÉSAR VALLEJO
• 2P ABC=34+BC Como el perímetro es entero, entonces, BC es
entero.
• Luego,delaexpresión(3)obtenemos BC=33
∴ 2P ABC=67
Respuesta
El perímetro de la región triangular ABC enmetros es 67.
Alternativa C
Pregunta N.º 30
En la figura se tiene una pirámide inscrita en un
cilindro circular oblicuo. La base de la pirámide
es un triángulo equilátero. El volumen de la
pirámide es 10 2 52 2= −( ) + −( )x y cm3. Calcule el volumen del
cilindro (en cm3).
A) 27p
B) 54p
C) 108p
D) 54 E) 108
SoluciónTemaSólidos geométricos
Referencias
Para calcular el volumen de una pirámide se necesita
conocer el área de su base y la altura de la pirámide,
mientras que para calcular el volumen del cilindro
se requiere conocer el área de su base y su altura.
Como el cilindro es circular oblicuo, su base es un
círculo, mientras que la base de la pirámide es un
triángulo equilátero.
Análisis y procedimiento
Del gráfico que nos dan como dato podemos
notar que ambos sólidos tienen la misma altura y
el triángulo de la base de la pirámide está inscrita
en la circunferencia que limita la base del cilindro.
Denotemos los vértices de la base de la pirámide
como A, B y C, y r el radio del círculo de la base
del cilindro.
Graficando el triángulo equilátero inscrito en la
circunferencia tenemos:
27
unI 2009 -ISolucionario de Matemática
En el AO'C:
AO=r=OC
mSAOC=120º → AC=r 3=AB=BC
Ahora podemos calcular el volumen de la pirámide.
VO-ABC=13
(Abase)×h=13
r
h3 34
2( )
×
VO-ABC=rh
2 34
27 3⋅ =π
cm3
De aquí podemos despejar las variables y obte-
nemos:
pr 2 · h=108 cm3 (I)
Ahora calculamos el volumen del cilindro
Vcilindro=A base×h=pr 2×h
de I: Vcilindro=108 cm3
Respuesta
El volumen del cilindro en cm3 es 108.
Alternativa E
Pregunta N.º 31
En un polígono convexo equiángulo ABCDEF se
tiene AB=7, CD=6 y DE=8. Calcule BF.
A) mL = 1
2 B) 7 C) L
��
D) mL E) 1
2
Solución
Tema
Polígonos
Referencias
Dentro del grupo de los polígonos tenemos al
polígono equiángulo, que se caracteriza por que
sus medidas angulares internas y externas son,
respectivamente, iguales.
Como se conoce que la suma de las medidas
angulares de un polígono convexo es 180º(n – 2)
y n es el número de lados, entonces, la medida de
un ángulo interior será:
inn
= −( )180 2º
Análisis y procedimiento
Según el dato del problema, el polígono equián-
gulo es ABCDEF, es decir, tiene seis lados (n=6);
entonces, i 6180 6 2
6120( ) =
−( )=º
º.
Grafiquemos el hexágono con las condiciones del
problema: AB=7, CD=6 y DE=8.
Al prolongar los lados BA, EF y CD, las medidas de
los ángulos externos en A, F, E y D es 60º, además,
se forman los triángulos AFM y DEN; estos, a la
vez, forman el triángulo isósceles MBCN, donde MB=CN.
28
unI 2009 -I Academia CÉSAR VALLEJO
Como DE=8 → DN=EN=8.
Así también si AF=a → AM=MF=a.
Luego
a+7=6+8
∴ a=7
Por lo tanto, en el triángulo notable BAF tenemos
Entonces, BF=7 3.
Respuesta
La longitud de BF es 7 3.
Alternativa E
Pregunta N.º 32
El ángulo de desarrollo de un cono circular recto
mide 120º. Si la altura del cono mide 4 cm,
entonces el radio (en cm) del cono es:
A) 12
B) 12
7 102
x −( )
= C) 1
4
D) 12
E) 2 3
Solución
Tema
Cono circular recto
Referencias
Al desarrollar la superficie lateral de un cono
circular recto, resulta un sector circular cuyos
elementos se asocian con los del cono dado.
En el gráfico α es la medida del ángulo de desarrollo.
Sea q su medida en radianes.
→ θ πα=180º
Luego, la longitud del arco ABA se asocia con el
radio de la base del cono.
ABA
=2pr=q×g
∴ θ π= 2 rg
Análisis y procedimiento
Nos dan como dato α=120º y h=4 cm; entonces, podemos calcular q y encontrar una relación entre r y g.
→ θ π π=( )
=120180
23
ºº
Luego
rg
= 13
ó g=3r
Como nos piden el radio de la base en cm, recurri-mos al teorema de Pitágoras para relacionar r, g y h.
En el AVO: g 2=r 2+h2
Reemplazamos valores: (3r)2=r 2+(4)2
∴ r= 2
Respuesta
El radio del cono en centímetros es 2.
Alternativa B
29
unI 2009 -ISolucionario de Matemática
Pregunta N.º 33En un nuevo sistema de medición angular, un
ángulo de α grados sexagesimales mide α – 3. Si
un ángulo de p radianes mide 120 en el nuevo
sistema, halle α – 3.
A) 3 B) 6 C) 9
D) 12 E) 15
SoluciónTema
Sistemas de medición angular
Referencias
La equivalencia entre los grados sexagesimales y el número de radianes de un ángulo es p rad=180º.
Análisis y procedimiento
• Nuevosistemademediciónangular(X), donde 1X denota un grado en el sistema X.
• Condiciones: αº=(α – 3)X
p rad=120X
Empleamos el método del factor de conversión:
α α π
πº ( )
º= −
3
180XX
rad
120 rad
α αº ( )
º
= −
332
2α=3α – 9
α=9
Se busca calcular (α – 3).
Respuesta
El valor de (α – 3) es 6.
Alternativa B
Pregunta N.º 34
En la figura α α ππ
º ( )º= −
3
180XX
rad
120 rad y el área de la región sombreada
es 5 veces el área del sector circular OPQ.
Determine la relación α αº ( )º
= −
332
.
A) ab
a kb k
===
32
32
B) SR
BA
C) SR
k
= α( )5
D) BA
k
= θ( )3 E)
SR
BA
=
53
αθ
SoluciónTema
Longitud de arco y área del sector circular
Referencias
• Longituddearco()
• Áreadeunsectorcircular(A)
30
unI 2009 -I Academia CÉSAR VALLEJO
Análisis y procedimiento
Condición 1
ab
a kb k
===
32
32
Incógnita: SR
BA
Pero: SR k
= α( )5
BA
k
= θ( )3
SR
BA
=
53
αθ
(I)
Condición 2El área sombreada es igual a cinco veces el área
del sector OPQ.
12
512
3 532
2 22
θ θ α( ) ( )
( )k k
k− =
162
452
2 2θ αk k=
1645
= αθ
(II)
Al reemplazar (II) en (I) se obtiene:
SR
BA
=
53
1645
SR
BA
= 1627
Respuesta
La relación SR
BA
es 1627
..
Alternativa B
Pregunta N.º 35
Un punto M=(x; y) dista de un punto C=(2; 5),
12
512
3 532
2 22
θ θ α( ) ( )
( )k k
k− =
unidades. La pendiente de la recta que pasa
por M y A=(7; 5) es 1/2. Determine el punto M
de mayor abscisa.
A) (–1; 4) B) (–1; 6) C) (1; 8)
D) (3; 2) E) (5; 4)
SoluciónTema
Geometría analítica
Referencias
• Distanciaentredospuntos
• Ecuacióndeunarecta
Análisis y procedimiento
De la condición tenemos
•
Por distancia entre dos puntos se cumple que
10 2 52 2= −( ) + −( )x y
Elevando al cuadrado, tenemos
(x – 2)2+(y – 5)2=10 (I)
• Dato:mL = 1
2
31
unI 2009 -ISolucionario de Matemática
Calculamos la ecuación de la recta L��
.
y – 5=mL(x – 7)
y – 5=12
(x – 7) (II)
Reemplazamos (II) en (I)
(x – 2)2+ 12
7 102
x −( )
=
(x – 2)2+14
(x – 7)2=10
Reduciendo, tenemos
x2 – 6x+5=0x – 5x – 1
x=5 ∨ x=1
Piden el punto M de mayor abscisa< enton-ces, x=5.Reemplazamos en (II)
y – 5=12
(5 – 7)
y=4
Entonces, M=(5,4).
Respuesta
El punto M de mayor abscisa es (5,4).
Alternativa E
Pregunta N.º 36En el círculo trigonométrico de la figura, se tiene
162
452
2 2θ αk k= . Entonces el área de la región triangular
ABM es:
A) 1645
= αθ
B) SR
BA
=
53
1645
C) SR
BA
= 1627
D) SR
BA
es 1627
. E) CM DM CM DM = → = =m mπ4
SoluciónTema
Circunferencia trigonométrica (C. T.)
Referencias
• UbicacióndearcosenlaC.T.• Resolucióndetriángulosrectángulos.• Cálculodeláreadeunaregióntriangular.
Análisis y procedimiento
Dato: CM DM CM DM = → = =m mπ4
además, m mBM BM = + → =π π π2 4
34
.
32
unI 2009 -I Academia CÉSAR VALLEJO
En el gráfico se observa que AB= 2 y AM=BM,
entonces, AH=HB=2
2.
Calculamos la altura MH en el triángulo AHM.
MH = 2
238
tanπ
Luego
S
AB MH= ( )( )2
S =
( )
2
22
38
2
tanπ
Por lo tanto, S = 12
38
tanπ
.
Respuesta
El área de la región triangular ABM es igual a
12
38
tanp
.
Alternativa B
Pregunta N.º 37
Simplificando la siguiente expresión
K=sen23Acsc2A+cos23Asec2A+2cos4A,
se obtiene
A) 6cos22A B) 6cos2A C) 8sen2A
D) 12senA E) 12cos22A
Solución
Tema
Identidades trigonométricas de arcos múltiples
Referencias
• Empleamoslasidentidadesauxiliaresdelarco
triple
sen3q=senq(2cos2q+1)
cos3q=cosq(2cos2q – 1)
• Empleamoslaidentidaddelarcodoblerelacio-
nada con el coseno.
cos2q=2cos2q – 1
Análisis y procedimiento
K=sen23Acsc2A+cos23Asec2A+2cos4A
entonces
K
AA
AA
A=
+
+sensen
coscos
cos3 3
2 42 2
Ahora aplicamos las identidades del arco triple.
K=(2cos2A+1)2+(2cos2A – 1)2+2cos4A
Desarrollando los binomios y aplicando la identi-
dad del arco doble, obtenemos
K=2(4cos22A+1)+2(2cos22A – 1)
→ K=12cos22A
33
unI 2009 -ISolucionario de Matemática
Respuesta
Entonces, K es igual a 12cos22A.
Alternativa E
Pregunta N.º 38
Sea KAA
AA
A=
+
+sensen
coscos
cos3 3
2 42 2
Entonces podemos afirmar que
A) f(x) toma valores positivos y negativos.
B) f(x) toma un número finito de valores negativos.
C) f(x) toma solamente valores negativos.
D) f(x) toma solamente valores positivos.
E) f(x) es constante.
Solución
Tema
Funciones trigonométricas
Referencias
Para reducir la expresión aplicaremos identidades
trigonométricas.
tan
sencos
xxx
=
cotcossen
xxx
=
Análisis y procedimiento
f x
x xx x
x K( )sen tancos cot
= ++
≠ π2
cosx+cotx ≠ 0
cosx(1+1/senx) ≠ 0
cosx ≠ 0 ∧ senx ≠ – 1 → x ≠ (2n+1) p2
f xx
xx
xxx
( )sen
sencos
coscossen
=+
+
f xx
xx
xx
x
( )sen
coscos
cossen
sen
=
+
+
1
1
f x
x x
x x( ) = +( )
+( )sen cos
cos sen
2
21
1
senx > – 1 → 1+senx > 0
cosx > – 1 → 1+cosx > 0
Entonces, se deduce que f(x) es positivo.
Respuesta
f(x) toma solamente valores positivos.
Alternativa D
Pregunta N.º 39
Dado el sistema
cosα = cateto adyacentehipotenusa
el valor de cos(x – y) es:
A) cosα =+R
R r0 B) R
r=−0
1coscos
αα
C) R r=−
coscosαα1 0
D) cos
cosαα1 0−
r E) 41
2 212
22
12−
−
= − + −
−cos cos
x y x y
SoluciónTema
Sistemas de ecuaciones trigonométricas
34
unI 2009 -I Academia CÉSAR VALLEJO
Referencias
Transformaciones trigonométricas.
cos cos cos ·cosx y
x y x y+ = +
−
22 2
Identidad de arco doble.
cos2x=2cos2x – 1
Análisis y procedimiento
De la condición
secx+secy=1
2 · (cosx+cosy)=2(cosx · cosy)
2 22 2
×+ −
= + + −
( ) ( )·cos ·cos cos cosx y x y
x y x y
Por dato sabemos que x y+ = 43π
.
4
12 2
12
22
12−
−
= − + −
−cos cos
x y x y
→ 42
42
3 02·cos cosx y x y−
+ −
− =
2
23 2
21 0cos · cos
x y x y−
+
−
−
=
cos cos
x y x y−
= −
= −
212 2
32
o
La ecuación admite para
cos
x y−
=
212
Luego, debido a que
cos cosx y
x y−( ) = −
−2
212
Por lo tanto
cos x y−( ) = − 1
2
Respuesta
El valor de cos(x – y) es − 12
.
Alternativa C
Pregunta N.º 40
En las circunferencias tangentes de la figura, son
datos r0 (radio) y α. Determine el radio R.
A) − 12
B) cos
cosαα1 0−
r
C) 11 0−+
coscos
αα
r
D) 1
0+
coscos
αα
r
E) 11 0+−
coscos
αα
r
35
unI 2009 -ISolucionario de Matemática
Solución
Tema
Razones trigonométricas de un ángulo agudo
Referencias
Definición del coseno de un ángulo agudo.
cosα = cateto adyacente
hipotenusa
Análisis y procedimiento
�
R
r0
R
Por definición tenemos
cosα =
+R
R r0
Rcosα+r0cosα=R
r0cosα=R(1 – cosα)
R
r=−0
1coscos
αα
R r=
−
coscosαα1 0
Respuesta
Entonces, el radio R, en términos de r0 y α, es
coscosαα1 0−
r
Alternativa B