Solucionario de B. Makarenko

Eduardo Espinoza Ram Graduado y Titulado en Matemát

Catedrático de las principales Universidades de la Capital

□ B R A S P U B L I C A D A S J■— —i

. !Ilk$r' "(Vil

U B E J

m

1 r■ T:W -~*VW / T (X) * V

► Variable Compleja y sus Aplicaciones► Solucionarlo de Análisis Matemático por Deminovich tomo I, II, III► Solucionarlo de Análisis Matemático por G.Berman, tomo I, II, III► Solucionarlo de Matemática Aplicada a la Administración y Economía por

E.WEBER.► Solucionado de Leithold 2da. Parte.► Geometría Vectorial en R2► Geometría Vectorial en R3

SOLUCION ARIO DE B. MAKARENKO

EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

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www.Solucionarios.net

Eduardo (Espinoza RamosLim a - P e rú

http://www.Solucionarios.net

EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES

ORDINARIAS

SOLUCIONARIO

A. KI SEL ION - M. Krsnov - G. MAKARENKO

EDUARDO ESPINOZA RAMOS

LIMA - PERÚ

IMPRESO EN EL PERU

Fecha de publicación Ejemplares impresos Númáfo de edición Autor*

0 9 - 0 2 - 2 0 1 0 1 0 0 0 libros 3a EDICIÓNEduardo*Espinoza Ramos

Este libro no puede reproducirse total ó parcialmente por ningún método gráfico, electrónico o mecánico, incluyendo ■ los sistemas de fotocopia, registros magnéiicos o de alimentación de datos, sin expreso consentimiento del autor y editor.

DERECHOS RESERVADOS D.L. N° 822Derechos copyright Edukperu © 2009 reservados

RUC N° 20520372122Ley de Derechos del Autor N° 13714Hecho el depósito legal en la Biblioteca Nacional del Perúcon el número N° 2007-12593

PROLOGO

La presente obra intitulada “ Ejercicios y Problemas de Ecuaciones

Diferenciales Ordinarias Solucionario ” del libro de Makarenko y otros autores, en su

3ra. Edición, se ha revisado cuidadosamente y ampliado, abarcando los conceptos

fundamentales, las ecuaciones diferenciales de primer orden y primer grado, así como

sus aplicaciones, las ecuaciones diferenciales lineales de orden n homogénea y no

homogéneas, las ecuaciones diferenciales de Euler, las ecuaciones diferenciales lineales

de coeficientes variables, solución de ecuaciones diferenciales por series de potencias,

sistemas de ecuaciones diferenciales, solución de ecuaciones diferenciales lineales por

medio de Transformada de Laplace, sistemas de ecuaciones diferenciales resueltas por

medio de Transformada de Laplace.

El objetivo fundamental de la presente obra es servir en la formación de los

futuros profesionales en las áreas de ciencia e ingeniería, tanto en los aspectos

científicos, como técnicos relacionadas con la impresión.

Deseo expresar mi más profundo agradecimiento a mis colegas del área de

matemática de las diversas universidades, quienes con sus sugerencias y apoyo han

contribuido para mejorar éste trabajo. También mi reconocimiento especial al Doctor

Pedro Contreras Chamorro, quien en todo momento está contribuyendo en mis trabajos,

a fin que el beneficiado sea el estudiantado.

Agradezco por anticipado la acogida que ustedes brindan a cada una de mis

publicaciones, las que emanan del deseo de que encuentren en ellas una ayuda para su

avance y desarrollo intelectual.

Eduardo Espinoza Ramos

IN D IC E

Pag.

1. Conceptos Fundamentales. i

2. Ejercicios de Verificación. 2

3. Ecuación con Variable separable y ecuaciones reducibles a ellas 14

4. Ecuaciones Homogéneas y Reducibles a ellas 48

5. Ecuaciones lineales de primer orden y Ecuación de Bemoulli 72

6. Ecuaciones Diferenciales Exactas, factor integrante 100

7. Ecuaciones Diferenciales de primer orden no resueltas con respecto

a la derivada. 130

8. Ecuación de Lagrange y Clairout 143

9. Composición de las Ecuaciones Diferenciales de las familias de

curvas, problemas de Trayectorias. 154

10. Soluciones Singulares 166

11. Diversos Problemas 175

12. Ecuación Diferencial de orden superior, Reducción del orden

de la ecuación. 196

13. reducción del orden de la Ecuación 210

14. Ecuaciones Diferenciales Lineales de orden n 245

15. Ecuaciones Lineales Homogéneas de coeficientes constantes

16. Ecuaciones Lineales no Homogéneas de coeficientes Constantes

17. Ecuación de Euler

18. Ecuaciones Diferenciales lineales de Coeficientes Variables

19. Composición de la Ecuación Diferencial dado el Sistema

Fundamental de Soluciones

20. Integración de las Ecuaciones Diferenciales mediante series

21. Sistemas de Ecuación Diferencial de coeficientes constantes

22. Reducción de un sistemas a una Ecuación Diferencial de orden n

23. Método Operacional y su aplicación para la resolución de

Ecuación Diferencial

24. Propiedades de Transformada De Laplace

25. Ecuaciones Diferenciales de Coeficientes Constantes (con

Transformada de Laplace).

26. Sistemas de Ecuaciones Diferenciales lineales con Transformada

de Laplace

27. Apéndiceí

j

nói38U33 «i 3b ksé

260

272

333

345

394

396

430

431

454

455

470

489

510

ICONCEPTOS FUNDAMENTALES!

Una ecuación diferencial es aquella que relaciona la variable independiente x, la función incógnita y = y(x) y sus derivadas; y^n): es decir: es una ecuación de laforma.

Si la función incógnita y = y(x) depende de una sola variable independiente x, la ecuación diferencial se llama ecuación diferencial ordinaria.

El orden de una ecuación diferencial es el de la derivada de mayor orden que figura en la ecuación.

Se llama solución de la ecuación diferencial a una función y = \|/(x), determinada en el intervalo (a, b), junto con sus derivadas sucesivas hasta el orden n inclusive tal que al hacer la sustitución y = \|/(x) en la ecuación diferencial, esta se convierte en una identidad con respecto a x en el intervalo (a, b).

La gráfica de una solución de la ecuación diferencial se denomina curva integral de la ecuación.

La forma general de una ecuación de primer orden es:

F ( x , y ; f ) = 0

Si en la ecuación (1) es posible despejar y ' , resulta;

. . . (2)

Que representa una ecuación de primer orden, resuelta con respecto a la derivada.

1

Verificar, en los ejercicios que se dan a continuación, que las funciones dadas son soluciones de las ecuaciones diferenciales indicadas.

sen*11.- y = -------, xy'+y = eos*

xSolución

y - scn£ y'= x cos* se.n.£ 9 reemplazando en la ecuación dada.

jc eos jc-sen* sen* x 2 co sx -x sen x sen*2 y v2X * *

senx senx = eos X---------+ ------- -- eos X

X X

.*. xy'-Hy = cosx

12. - >> = ce“2jr+ — , y + 2j = e*

Solución

_ c e ~2jr + £ _ => y = - 2c e _2jr + — , reemplazando en la ecuación dada.

i "\lp fii-X ex

y'+2y = -2ce~lx +— + 2ce~Zr +2 — = e x3 3

y'+2y = e x

13.- >> = 2 + c V l- x 2 , ( l - j c 2)y+xy = 2x

Solución

y = 2 + cV i- * 2 => y=-ex

2

( l - j r 2).y'+jrv = - ( l - x 2)— ^ = r + x(2 + cV l-x 2) = - V l- x 2cc + VTV l-J ’-x2

(1 - j t 2)j '+jcv = 2jc

14.- j = x V l - x 2", >y’= x - 2 x 3

Solución

.y = W l - * 2 => / = V l - x 2 — í ------= —T 2*V i- * 2 V i- * 2

r. 5". 1 —2jc ,= W l - s (■ ,----- - ) = s - 2 x 3

>y' = JC-2:c3

15.- , = , x /= > ;tg (ln j;)

Solución

aresenexj; = ^aresener ^ l =

'Jl -(cx)2

X c e « * m c x x c yxy - r - ■- = = tg(ln_v).^

V1 ~ ( c x ) 2 -Jl-(cx)2

x} = J'tg(lny) donde: sen(lny) = cx => lny = arc.sen ex =>

tg(lny) = —v h ^ F

f* 216.- ^ = e J0 dt+ceX > y ' - y = e

- x 2cx + 2x

3

Solución

y = e * J * e ' 1 d t + c e * = > y ' = e x £ e ' 2 d t + e * . e * ' + c e * , reemplazando

y ’- y = e x J X e , 2 d t + e * . e * 2 - + c e * - e * j o e ' d t - c e * = e *~* .e*1

y ' - y = ex+j;2

f * sen t17.- y = x \ — ~ d t , x y = y + Jo t

xsenx

Solución

ex Sen t Cx sen i sen x r > sen t .v —x l ------ dt ^ y' = I dt + x - I dt + sen xy J0 t 7 Jo t X Jo t

r* sen t r*seníxy’= x ( ------ <* + senx) = x -------dr + xsenx* Jo t Jo t

xy '= y + x senx

t e *18.. v = x( — dx + c), xy '-y = xe J x

Solución

X m ¿>Xy _ J dx + c)=> / = J — dx + c + e* \ reemplazando en la ecuación dada.

x f €*xy'-y = x( í — dx + x + ex) - x ( | — dx + c)

J x J x

Í e x f e x— dx •+■ xc + xc — x I ——- dx — xc — xc

X J X

x y '-y = xex

4

X = COSÍ19.- L x+ yy' = 0

y = sen /

20. -

Soiución

, _ / (O _ eos/ cosí* '(0 sen í ^ sen/

, , eos/* + = cos/ + sen/(---------) = c o s /-c o s / = 0sen/

JC + J> /= 0

x = í e t

y = e(l + xy)y'+y2 =0

Solución

... y\ - e "y = —r = —--------------7 =>y '= —-, reemplazando en la ecuación' - ' e (1+ t)

_ -/(l + xy)/+j>2 = (l + í)(-----------) + e~2' = - e “2' + e 2' = 0

e' 0 + 0

(1 + xy)y'+y2 =0

x = e »rctg(f)21.- L y + xy’= 0^ = e -arctg(,)r*

jx = esrctg<')| y = e-««8(0 ^

I eX = — x t

Solución

arctg(/)

1 + r

> != -e -arctg(/)

1 + / 2

5

22 . -

23.-

y ' = — = e ‘ 2arct8(' ) = > / = _ e - 2arct8(')

y + jcy’= É -arc,8(,) + earct*<')(_e-2arctg(,)) = e arct8(,) - e arctg(,) = 0

y + xy' = 0

x = t ln í y’2 f> y in — = 4x

y = í (21n í + l)j 4

Solución

jt = / ln / => jcJ = ln f+ 1

y = f2(21n/ + l) => y} = 2f(21n / + l) + 2f = 4í(ln/ + l)

y [= 4 r ( ln / + l ) =4¿ ^ y,= 4, ' x1 ln í+ 1

y i n — = 4í ln(— ) = 4í ln t = 4x 4 4

jc = ln / + sen í y = r(l + senO + cosíJ

y' ln— = 4x4

, x = ln v’+ sen j'’

Solución

, 1 1+/COS/x = iní + sen t=>x\ = - + cos / = ----- ------

y = /(l + sení) + cosí ^ .V/ = 1 + sen l + t eo s /— sen / = l + f eos/

6

, >>} 1 +íeosr= - ---------- = t=>y'=t

r ‘ 1 + ícosí_____ _

l n y + s e n /= ln í + sení = .

x = ln y + sen y ’

x = t + aresen í, x = y + a re s e n /

x = í + aresení x; = 1 +

Solución

1

1

í(l+/ . i -

1 + 1= t=>y'=t

y'+ aresen y' = t + aresen r = x

x = y '+ aresen /

x = t 2 +er

2 í 3y = — + ( r - i y

y +ey' = x

Solución

x = t 2 +e' x\ = 2 t + e'3 s *y = * - + ( , - l ) e ‘ y'(t) = 2t2 +e' + ( í- l )e ' =t( 2t + e‘)

, y\ t(2 t+ e') , ,y = - —---- — - = / = > / = íx\ 2t + e ‘

y ’2+ey' = t 2 +el = x

y '2+ey = x

Verificar que las funciones dadas son las soluciones generales de diferenciales indicadas.

las ecuaciones

26.- y = -------, y '- tg x .y = 0cosx

Solución

y ------- y'' = c sec x. tg x , reemplazando en la ecuacióncosx

Qy '- tg x .y = c sec x . tg x - tg x .------ = c .secx .tg x -csecx .tg .t = 0

cosx

y - t g x .^ = 0

27.- = y '= 3 y 23x + c

Solución

y = -

/ =

i3x + c3

y =(3x + c)

= 3(——— ) 2 = 3 ( - y )2 = 3 y2(3x + c) 3 x + c

••• y '= 3 y 2

8

28.- y = ln(c+ex) , y '= e x~y

Solución

y - ln(c+ex)=t> y ’= -------- , además y= ln(c + ex)=>c + ex = eyc+ ex

e x e xy'-.---------- -- ---- = e ' - ' => y ’= ex~yc+ e x ey

29.- y = -Jx2 - e x , (x2 + y 2)d x - 2 x y d y - 0

Solución

y = 4 * 2 - ex => dy = — rl : . c dxx 1 - e x

(2 x -c )d x -2 ^ J x 2 -cxd y = 0 , dedonde (2x2 -x c )d x -2 x y d y = 0

(x 2 - x c + x 2)d x -2 x y d y = 0 entonces ( y 2 + x 2)dx -2xydy = 0

30.- j = x(c-ln |j:|) , (x - y) dx + x dy = 0

Solución

y = x ( c —lnjxj) => dy = (c -\v \x \)dx-dx

x d y = x ( c - \n \ j f y d x - x d x , como y - x{c - lnjx|) entonces:

xdy = y d x - x d x => ( x - y ) d x + xdy = 0

31) x = y e * * \ / =x ( ln x - ln ^ )

Solución

9

x - y e <y+1 => \ n x - \ n y = cy + \ => ln — = cy + \ , dedonde

x = y e V +l => e ^ 1 = -

jc = <y e^ 1 => l = / ^ +1+ o ^ +V = ( 1 + 0 0 / = ~ ( in x - ln .y )y

1 = —(ln jc - ln y ) / entonces: y '= -^ x (ln x - ln y )

32) * = >>lncy, / ( * + >>) = .V

Solución

x e yx = yhicy => — = lncy => — = c , derivando se tiene:y y

y e h * ^ f ) - ¿ y 'y y _ x y '

------------------------- = 0 simplificando - ----- — - / = 0 => y -x y '-y y '= 0y y

' ( x + y ) y '= y

La relación 4>(x, y, c) = 0 que se obtiene en forma implícita determina la solución general que se llama integral general de la ecuación diferencial de primer orden.

La relación que se obtiene en la integral general al atribuir a la constante c un valor determinado, se llama integral particular de la ecuación diferencial.

El problema de resolución o de integración de una ecuación diferencial consiste en hallar la solución general o la integral de la ecuación diferencial considerada, si además, se ha dado alguna condición inicial, se pide también hallar la solución particular o la integral particular que satisface a la condición inicial considerada.

Como geométricamente las coordenadas x e y son equipotentes, además de la ecuación

— = f ( x , y ) se considera también la ecuación — = - *dx dy f ( x , y )

10

( omprobar si las relaciones dadas son integrales de las ecuaciones diferenciales indicadas o no lo son (c = constante).

33) e~y - e x = 1, jty'+l = ey

Solución

e~y - 1e y - ex - 1 => ---------= c derivandox

-x e ~yy'-(e~y - \ ) n _v , _v . „------------ ------------= 0 => - x e y y - e y +1 = 0

x

x y '+ l-e y = 0 => xy'+l = ey

, a\ 3 1 c 2 j 3 f dx*4) y , xy dy + y dx = —X X ó X

Solución

>>3 = — + —r- => x 3y 3 - x 2 = c , diferenciando se tiene: x x 3

3x2y 3dx + 3x3y 2d y - 2 x d x = 0 => xy2dx + x 2yd y =3 y

Luego no es integral de la ecuación.

35) x 3 - 4 x 2y + 2 x y 2 - y 3 = 0 , (3x2 -8xy + 2 y 2) d x - ( 4 x 2 - 4 x y + 3 y2)dy = 0

Solución

x 3 — 4 x 2y + 2xy2 —y 3 = 0 , diferenciando se tiene:

3x2 dx - Sxydx - 4x 2 dy+ 2 y 2 dx+ 4xydy - 3 y 2 dy - 0

11

(3x2 - i x y + 2 y 2) d x - ^ x 2 -4 x y + 3y2)dy = O

Si es integral de la ecuación diferencial.

36) y 2 + 2cx - c 2 y yy '2 +2xy'=x +1

Solución

y 2 + 2cx = c 2 => c = x ± tJx 2 + y 2 derivando se tiene:

0 = 1±— M = => <Jx2 + y 2 = ±(x + yy')J x 2 + y 2

x 2 + y 2 = x 2 +2xyy'+y2y '2 de donde y 2 = 2xyy'+y2y '2

No es integral de la ecuación diferencial.

37) arctg—- \n (cJx2 + y 2 ) = 0 , (x + y )d x ~ (x - y )d y = 0x

Solución

a rc tg ~ - ln c J x 2 + y 2 = 0 , diferenciando se tiene: x

xdy - ydxx 2 c.(xdx + ydy)

| y 2 J x 2 + y 2 . c .J x 2 +y x 2

xdy - ydx xdx + ydy

= 0 , simplificando

x 2 + y 2 x 2 + y 2= 0 de donde xd y -y d x - x d x -y d y = 0

(x - y)dy - (x + y)dx = 0 entonces (x + ) á r - ( x - <y)rfy =


= 2xy'+yy'2

0

12

38) x = yj^ sen t2d t , ^ = Ay'+y2 senjc2

Solución

x = y ¡ sen í2dt => f sen t 2dt = — , de donde»0 Jo y

x = yj0 sen 12 * = y' JQ sen r 2 dt + y sen x 2 , reemplazando se tiene:

l = / y + .y s e n x 2 => y = xy'+y2 senx2


Cx sen t39) —-—d í - y \ n y , xy'+xiny = x senx + y ln y

Solución

f*senr f*senr y ln vx \ —— dt = y \ n y => ------ di = ------—

t Jo t X

cx sen t cx sen t Jx Jo —-— dt = y ln y => — — tfí + sen x = v ln y + y , reemplazando se tiene:

y ln y— ----hsenx - (lny + l)y' => y \ n y + xsenx = x(\ny + l)y'

No es integral de la ecuación diferencial.

13

ECUACIONES CON VARIABLE SEPARABLE Y ECUACIONES REDUCIBLES A ELLAS

dySi en una ecuación diferencial ordinaria de primer orden y primer grado — = g (x , y )

dxse reduce a la forma:

donde M es una función solo d conoce con el nombre de “Ecm solución general se obtiene por

M(x)dx + N(y)dy = 0

le x, y N es una funci' ición Diferencial Ordin integración directa, es c

ón sola de y, a esta ecuación sé aria de Variable Separable” y la lecir:

j M (x)dx + J[ N(y)dy = c

Donde c es una constante cualquiera.

La ecuación diferencial de la forma:

— = f ( a x + by + c) dx

donde a, b, c son constantes, se reduce a una ecuación con variable separable haciendo la sustitución z = ax + by + c.

Integrar las ecuaciones:

81) (\ + y 2)dx + {\ + x 2)dy = 0

Solución

(1 + y 2)dx + (1 + x 2)dy = 0 , separando la variable

dx dy „ . ,------ r- + ------ — = 0 integrando1 + x 1 + y 2

14

f dx f dyJ 7 7 7 r + J 7 7 ^ J = C arctgx + arctg.v = c

Nota.- tg (A + B) =

x + y = c ( l - x y )

tgA + tgB1-tgA.tgB

82) (l + y 2)dx+xydy = 0

Solución

(1 + y )dx + xydy = 0. Separando la variable.

dx y dy \ ?— + ------- = 0 integrando lnx + —ln(l+ v ) = A:X l + y 2 ° 2

21nx + ln(l + >'2) =2k de donde ln x 2(l + y 2)=¿

83) ( y 2 +xy2)y ’+x2 - y x 2 = 0

Solución

( y 2 + xy2)y'+x2 - y x 2 = 0 , agrupando

y 1 (\ + x ) - ~ + x 2( l - y ) = 0. Separando la variable.

^ -+ — ~ = 0 , integrando: f ¿ ± + í ^ í , c1 - y 1 + x j 1 - y i 1 + X

( x + y ) ( x - y - 2) + 21n-

yl + x1 - y

= c

=> x(l + y 2) = c

. De donde se tiene:

15

84) (1 + y 2)dx = xdy

Solución

(1 + y 2 )dx = x d y separando las variables

dx dy— = ------ y , integrando ln xk = arctg yx 1 + y

y = tg(ln(fcc))

85) x j l + 'y2 + yy'yfl + x 2 = 0

Solución

x ^ l + y 2 + y^ l + x 2 ^ = 0 . Separando las variables.

xdx ydyr + -jrr-r = 0 , integrando

Vl + * 2 + y 2

r _ x d x _ + ( _ y ^ y _ = c dedonde + - c

86) x - J l - y 2dx + y j l - x 2dy = 0 , ^ x=0 = 1

Solución

X i j l - y 2 dx + y j l - x 2dy = 0, separando las variables

ydy r xdx c ydyxdx ydy c xdx c yd- = = = + - = = = 0 , integrando —a/Tv ^ 7 J VT^r J VTT

dé donde, -\fl-x2 + ^ l - y 2 = k , para x = 0, y = 1

> 2• = c

16

V i- * 2 + V i- .v 2 = i

87) < r '( l + / ) = l

Solución

e - * ( i + / ) = i => i + y = ^ => y = ^ - i

v r ^ + v n = * => * = i

— = - 1, separando las variables, - — -- = d:dx ey -1

t dy c c e ydyi ~ l = i dx+c => J T 7 7 7 ^ +A:

l n ( l - e ^ ) = x+A: => l - e -* » ^ * - e V =¡

/. ex = £(1 - 0

88) >>ln.y<& + ;r¿íy = 0 , ^ x=1 = 1

Solución

y ln y dx + x dy = O, separando las variables

dx dy . . c dx r dy---- 1-------- = O, integrando I ----- v I ------- = kx y \ n y * x J y in y

ln(x ln(>>)) = k => x ln y = c de donde ln y = -

para x = 1, y = 1 => l = e c => c = O

x ln y = O => lny = O => y = 1

, integrando se tiene:

e * = - L ( l - e -y )e

=> lnx + ln(lny) = k =>

=> y = e x

89) y '= a x+y(a > O, a * \ )

Solución

dy +— = a x y = a x .ay separando las variablesdx

a~yd y - a xdx => a xd x - a ydy = 0 integrando Ja xd x - Ja~ydy = k

a x +a~y =c

90) e y (\ + x 2)d y -2 x ( \ + ey )dx = 0

Solución

e y (1 + x 2 )dy - 2x(l + ey )dx - 0 . Separando las variables.

eydy 2xdx f eydy r 2xdx----------------- — = 0 , integrando ------7 - ------7 = k ,l + ey 1 + x 2 J l + ey J 1 + x 2

ln(l + ey ) - ln ( l + x 2) = k

. l + e y , l + eyln ------T = k => ------ t~ — c

1 + x 1 + xl + ey =c(l + x 2)

91) (l + ex )yy '= ey , y\x=0 = 0

Solución

dy(1 + e x )y — = ey , separando las variables dx

dx r _v , c dx- + c

de donde:

ye ydy = ------ - integrando f ye ydy = í -l + e x J J 1

de donde (1 + y)e~y = ln( * ) + 1 - x

18

Solución

(1 + >>2 )(e2xdx - eydy) - (1 + y)dy = 0 , separando

92) (1 + y 2 )(e2xdx - ey dy) - (1 + y)dy = 0

e 2xdx - dy = 0 , integrandol + >>2

j e2xdx-jeyd y - j Y ^ T dy = c

e 2x^ - e y -a rc tg y - ln ^ l + y 2 = c

93) (xv2 - y 2 +x- l)dx + (x2y - 2xy + x 2 + 2y - 2x + 2)dy = 0

Solución

(xry2 - y 2 + x - l ) ¿ * + (x2jy - 2;*7 + x 2 + 2y - 2x + 2)¿/y = 0 , agrupando

[y1 ( * - ] ) +(x-V¡\dx+[y(x2 - 2x + 2) + (x2 - 2 x + 2)]dy = 0 , factorizando

(y 2 + l)(x - l)dr + (y + l)(x 2 - 2x + 2).dy = 0 , separando la variable

( x - 1 )dx y + 1 ,-------------- + -------- dy - o , integrandox 2 ~ 2x + 2 y 2 + l

f ( x - 1 )dx f 7 + 1I — I-------------------------------------------- + ~~í----dy = k de dondeJ x - 2x + 2 J y +11 9 1 ?~-ln(x + 2x + 2) + — ln(j/ + 1) + arctg y = k

ln(x2 - 2 x + 2){y2 + l) = - 2 arctgy + k=>(x2 - 2 x + 2)(y2 +1 ) = e -2tICX*y+k

entonces: (x 2 - 2 x + 2)(y2 + l)e2arct8y = c

19

94) y = sen (x -j> )Solución

_ dz ( , . . dzSea z = x - y => — = 1 - y entonces y = 1-----dx dx

Como y = se n ( jc -y ) reemplazando se tiene:

\ - — = senz => 1- senz = — , separando las variables: dx dx

dz dz— = 1 - sen z => ---------- = d x , integrandodx 1 - sen z

í — —— = [dx + c=> f(sec2 z + tgz.secz)¿/z = x + c entonces J 1- s e n z J J

tgz + secz = x + c => tg(jc-y) + sec(jc-y) = x + c

95) y' = ax + by + c , a,b,c constantes

Solución

Sea z = ax + by + c => — = a + by’dx

y - i . - a) reemplazando en y'= ax + by + c entoncesb dx

- ( — - a ) = z => — - a =bz => — = a+bz separando la variableb dx dx dx

= dx integrando í ---- --- = f dx + k , de dondea + Z>z J 0 + ¿?z J

~ln(a+Z>z) = * + /: => ln(a + bz) = bx + bk => a+bz = cebx b

+ c) + a =

20

96) (x + y ) 2y' = a 2

Solución

dzS e a z = x + y => — = 1 + y' entonces:

dx

dz "y/ = — - 1, reemplazando en ( x + y ) y ' = a entonces

2 dz 2z (— - 1) = a separando las variables:

dx

z Z— — dz = dx integrando z - a. arctg(—) = x + ka +z a

ysimplificando x + y = a . tg(— + c)

2

97) ( l - y ) ey y '+ ^ — = 0x \n x

Solución

(1 - y )ey — + — — = 0 separando las variables dx x ln x

( l - y ) e y d x .------ ----- d y + ---------- 0 , integrando

y L x l n x

r ( l - y ) e y r d x r ( y - l ) e y------ ----- dy+ —— = c=> - ------ -----dx + ln(lnx ) - c

j y ¿ J x l n x J y 2

r e y e y- J d (— ) + ln(ln x ) = c, de donde: - — + ln(ln x) = c

eyln(lnx) = — + c

y

21

Solución

(1 - y 2 )dx = (y - J l + y 2 )(1 + x 2)% dy separando las variables

98) ( l - y 2)dx = (y - -J \ + y 2)(l + x 2)'/ idy

dx y - y i + y 2------- = ---------------- ñ---- dy integrando( 1 + X 2 ) A l + y 2

f dx ,------- —rr = ----------^— dy + c entoncesJ (1 + *2)X J l + y 2

I rf(7 = r ) =I {r h - ~ r = )dy+cv i+x 1+^ V1+^

* - l n'l + y 2

J \ + x 2 _y + -\jU y 2 _+ c

ioo) jty2(V + > O = 0 2

Solución

dz x ----- z2"

Sea z = xy => y = — => y ' = — —

Como x y 2 (xy' + y) = a 2, reemplazando se tiene

zX

dz zX ------- ZH-----

dx x= a , simplificando

z 2dz = a 2xd x , integrando se tiene:

22

Z3 Q2X2 ~ 3 3 >% 2 2 i— = -------- + c=> 2x y =3a x +k3 2 '

100) (x 2y 2 +l)dx + 2 x 2dy = 0

Solución

0 z , xdz - zdxSea z = xy => y = — => dy = ------ ------x x 2

(x2y 2 +1 )dx + 2x2dy = 0 , reemplazando

(z2 +l)dx + 2x2(*-Z y ^ ) =0 => (z2 + \)dx + 2xdz — 2z¿/z = 0 x

( z 2 - 2 z + V)dx + 2xdz = 0 => — + — - Z—- = 0 , integrando2x (Z- l )2

1— m x --------- = c2 x y - 1

101) (1 + x y )y + ( x y - l ) xy'=0

Solución

dzx ----- zSea z = xy => / = —— — , reemplazando

xdz x ---- z

(1 + z 2) — + (z - 1)2 x(— — ) = 0 , simplificando * x 2

(1 + z 2 )z + (z - 1)2 x — - (z - 1)2 z = 0 entonces dx

23

( z - l ) 2xdz + 2 z 2dx = O => —— + dz = O integrandox z ¿

2 \n x + z - 2 \ n z ~ — = k => - 21n y = — - x v + k =>Z JCJ>

lncy2 = * y - — => cy1 ^ e gr xl. 3ty *y

102) ( * y + y + j t - 2)dx + (jt3>'2 +;c)rfv = 0

Solución

dz x ------zSea z = xy => / = — — entonces

2 3 3 2* y + j> + jc- 2 + (jc y + jc)— = 0 , reemplazando se tiene:dx

dz3 JC--------Z

Z Z 1 d x— + — + x - 2 + (xz +*)(- — ) = 0 , simplificandoX X x 2

dz3 Z --------Z

— + — + x - 2 + (z2 + 1)(——----- ) = 0 entoncesX X X

( z 2 + l ) - + x - 2 = 0 dedonde (x -2 )d x + ( z 2 +l)dz = 0 dx

integrando - - + z + - - 2 x = c

3 x2 - l 2 + 2 x 3y 3 +6xy = c

24

103) (x6 - 2 x 5 + 2x4 - y 3 +4x 2y)dx+(xy2 - 4 x 3)dy = 0

Solución

Sea y = tx => dy = tdx + x d t entonces reemplazando se tiene:

(x6 - 2 x 5 + 2x4 - f V + 4txi )dx + (x i í 2 - 4jc3){tdx + xdt)

x 3(jc3 - 2 x 2 + 2x - t * + 4t)dx+x3(t2 -4){tdx+xdt) = 0

(jc3 - 2 x 2 + 2 x - t i + 4 t+ íi - 4 í)dx+(/2 - 4 )xdt = 0, simplificando

(x3 - 2x + 2)dx+ (t2 - 4)dt = 0 , integrando

X3 2 f3------x +2x-\------- 4t = c por lo tanto:3 3

* 3 - y 3 4 y------x + 2 x+ — ,------— = c3 3x x

104) y + i= (x + ^(x+.>>)'’ + (*+ > ')'’

(cSolución

Sea z = x + y => y = _ i . Reemplazando en la ecuación diferencialdx

dz z n z n + z p(— - 1) +1 = ---------- simplificando ------------d z - d x , integrandoz " + z * z m

r z n + z ' rJ ------— dz = j d x + c , de donde

= x + c , n m * -1, p - m ^-1n - m + 1 / 7-/W + 1

25

105) (ln x + y 3 )d x -3 x y 2dy = 0

tí Solución

i dz 1 ^ 2 . Sea z = ln x + y => — = — + 3y y dx x

3x y 2y % = - 1 reemplazando en la ecuación diferencial:dx

lnx + y 3 - 3 x y 2 — = 0 => z - ( x ^ - l ) = 0 áx ¿x

ln|z + l j - ln x = lnc => l n ^ - ^ = lnc =>

z + l = x c de donde y 3 - e x - ln x -1

106) (xy+ 2xyln2 y + y ln y )d r + (2x 2 \n y + x)dy = 0

Solución

Sea xlny = t => lnj> = — => y = etlxx

Reemplazando en la ecuación diferencial dada:

, tlx 2e‘lxt 2 íet/x w ^ # . tl xd í- íd x(xe 1 x + ---------- + ------- )dx + (2xí + x)e (-r— ) = 0x x x

simplificando

26

/ r x d t - td x _ ^(x + -----------------------+ —)¿¿t + (2/ + 1)(------ ) = 0x x x

( x 2 + 2 t2 + t)dx + (2t+l)(xdt-tdx) = 0 => x 2dx + (2t+ l)xdt = Q

x 2 ,xá* + (2/ + l)rfí = 0 integrando +1 + 1 = Cj entonces:

2x2 + 4/ 2 + 4í + l = c => 2x2 + (2/ + 1) 2 = c por lo tanto:

/. 2x 2 + (2x ln y + 1)2 - c

107) y - x y ' = a(\ + x 2y')

Solución

y - x y ' = a + ax2y' => y - a = (x + ax2)-^- separando las variablesdx

— Y ~— = —^— integrando f ( - -----— t )dx= — lnc entoncesax + x y - a J x ax + l J y - a

xc 1 . . ex= y - a por lo tanto y = a +ax + \ ax + l

I0K) (a2 + y 2)dx + 2x^Jax-x2 dy = 0, } \x=a = 0

Solución

Separando las variables de la ecuación diferencial se tiene:

dx dy+ —------ - = 0 integrando

2 x ^ a x - x 2 a 2 + y

dx r dyf dx r dy

27

Sea x = - => dx = — , reemplazando en la integral

f * . - f . 2x^ox--x^

dt 'J a t - l* - 1

-2 J l y fa t - l a

reemplazando (2 ) en (1 )

- (2)

- - 1 .y i y— — + — arctg — = c, x = a , y = 0 entonces a a a

0 + 0 = c => c = 0, Luego - —----- + —arctg(—) = 0a a a

* - 1

a a=> y = a. tg

--1

109) y %+ sen (“ “ ) = sen(^y^)

Solución

— + sen(—) cos(—) + s e n A c o s ¿ ) = sen(^) c o s Ä - sen(^) c o s¿ ) dx 2 2 2 2 2 2 2 1

2 sen(^) cos(™) separando las variables

^ = - 2 cos(—)dx integrando ln | tg(—) | = - 2 sen(—)+cy 2 4 2

sen —2

28

110) Hallar una curva que pase por el punto (0,-2) de modo que el coeficiente angular de la tangente en cualquiera de sus puntos sea igual a la ordenada del mismo punto, aumentada tres veces.

Solución

El coeficiente angular de la tangente en cualquier punto = — ,,y de acuerdo adx

las condiciones del problema se tiene:dy dy 's

= 3y => — = 3dx integrando ln y = 3x + c entonces y = ke comodx

pasa por (0,-2) => -2 = k por lo tanto y = -2e 3 x

II I) Hallar la curva para la cual el área Q, limitada por la curva, el eje OX y las dos ordenadas x = 0, x = x, sea una función dada de Y.

Q = a 2 ln — a

Solución

y = f(x)

Q = = a 2 ln(—) , derivando se tiene:

a dy J a 1 a 1y - — •— , entonces d x ---- - dy = 0 integrando se tiene: x + — = c

ay dx y y

de donde : y = -c - x

(hipérbola)

29

112) Un punto material de masa igual a lgr. se mueve en línea recta debido a la ecuación de una fiierza que es directamente proporcional al tiempo, calculado desde el instante t = 0, e inversamente proporcional a la velocitiad del punto. En el instante t = 10 seg. la velocidad era igual a 50 cm/seg. y la fuerza igual a 4 dinas. ¿Que velocidad tendrá el punto al cabo de un minuto del comienzo del movimiento?.

Solución

t 2 Como F = ma = k — donde Q = 4 cm/seg v

t = 10 seg. v = 50 cm/seg.

1 . 4 = Ar— => k = 20 y m ^ - = 2 0 - =>50 dt v

v2 = 2012 + c , para t = 10 seg. , v = 50 cm/seg.

502 =20(10) 2 +c => c = 500 entonces v 2 = 2 0 í 2 +500 x _,

para t = 60 seg. v = ? de donde:

v = -^20(60)^+500 = a/725ÓÓ cm / seg

k \ '' t -Vv> \ \ *v v ' ^ , * ‘ ^

113) Demostrar que la curva que posee la propiedad de que todas sus normales pasan por un punto constante es una circunferencia.

Solución

Sea Ln : y = b x , de donde mLN =b

Además mL, = — , y como LNI X , , entonces: dx

1 d* A hmLN = ---------= — - , es decir que £> = - —N mL, dy dy

30

Xb , l = ,Como y = bx

x xSeparando las variables se tiene:

dy

y dx + x dx = 0, integrando se tiene: x 2 + y 2 - k

114) Una bala se introduce en una tabla de h = 10 cm. de espesor con la velocidad VQ = 200 m /seg traspasándole con la velocidad Vx = 80 m / seg. suponiendo que la resistencia de la tabla al movimiento de la bala es proporcional al cuadrado de la velocidad, hallar el tiempo del movimiento de la bala por la tabla.

Solución

F = ma = m dvdt

condición del problema:

d^ . 2m — = kv dt

integrando:

m dv----- T = dtk v

m rvi dv _ r'k Jvf2 V

-r*Jo

k vj v0

* V,

31

k v0v.... (1)

dvademás m — = m

dtd 2xdt2

2 dv dv dx entonces: kv = m — = m —r •"

dt dt dx

r dv dx dv kv2 = m — = mv-

dx dt dx

m dvdx = — .—

k v

* 1» A >v0

reemplazando (2) en (1)

. . . (2)

j _ ^ (Zl__^2.) f reemplazando el valor de t es.

ln(— ) v0

V0V1

í =40 ln(2.5)

seg.

115) Un barco se retrasa su movimiento por la acción de la re s is te n c ia del a g ^ que es proporcional a la velocidad del barco. La velocidad inicial del barco es, 10 m/seg. después de cuanto tiempo la velocidad se hara 1 m. seg.

Solución

La descripción m ,Km idc, c. f - * > ' * dt'”d' al resolver '* “

tiene: V = Ae -kt

Para t = 0, v = 10m/seg., se tiene 10 - Ae° => A 10 =>V 10e para

t = 5 se g ., v = 8 m/seg. se tiene 8 = 10e

F = 10eí/5,n(8/10) = 10. ( ^ y /5

-5 k 1 8k = — ln(— ) entonces: 5 10

32

Demostrar que la curva para la cual la pendiente de la tangente en cualquier punto es proporcional a la abscisa del punto de contacto, es una parábola.

Solución

Se conoce que: mLt = - j - , y además por la condición del problema se tiene

mLt = k x . Luego ~ = entonces: dy = kx dx integrando y = ~ x 2 + c ,

que es una parábola.

Según la ley de Newton, la velocidad de enfriamiento de un cuerpo en el aire es proporcional a la diferencia entre la temperatura T del cuerpo y la temperatura T0 del aire. Si la temperatura del aire es de 20°C y el cuerpo se enfría en 20minutos desde 100°C hasta 60°C. Dentro de cuanto tiempo su temperatura descenderá hasta 30°C.

Solución

Sean T = temperatura del cuerpo.Tm = temperatura del aire = 20°C.T0 = temperatura inicial.

La descripción matemática es:

dT— = ~k(T - T m ) , de donde la solución es: T = Tm + ( r0 - T m )e~kt

para t = 20’, r = r 0 =60°C entonces: 60 = 20 + (100-20)éT2°*

40 = 80e 20A => k = ^-^- por lo tanto: T = 20 + 80e~(ln2/20)í

r = 20 + 80.2 '//2°

para t = ? , T = 30°C

30 = 20+ 80.2”' 720 entonces I = 2~'/20 => t = 60’8

118) Hallar la curva para la cual la pendiente de la tangente en cualquier punto es nveces mayor que la pendiente de la recta que une este punto con el origen de coordenadas.

Solución

dx

te 0 = n tg a entonces: — = n(—) => dy = n(—)dx , de dondedx x x

— = — dx integrando; ln y = n ln x + ln c => In y — ln x nc , por lo tanto:y x

y - e x

119) Determinar el camino s recorrido por un cuerpo durante el tiempo t, si su velocidad es proporcional al trayecto, sabiendo que en 10 seg. el cuerpo P recorre lOOm. y en 15 seg., 200m.

Solución

34

Sean s = el camino recorrido

t = el tiempo en seg.

v = ~ = velocidad del cuerpo

dsla descripción matemática es: — = k s , de donde la solución general es:

dts = Aeh , para t = 10 seg. , s= 100m . => 100 = Áei0k

de donde = . . . ( 1)e

para t= 15 seg. , s = 200 m. => 200 = ,4e15*

de donde se tiene : A = ... (2)15Ae

a / n 1 0 0 2 0 0 i l n 2comparando (1) y (2) se tiene: ^ = —¡ 7- => k = -e

reemplazando en (1) se tiene: A = 25 por lo tanto el camino recorrido será:

s = 25.2r,s

120) El fondo de un deposito de 300 litros de capacidad, esta cubierto de sal. Suponiendo que la velocidad con que se disuelve la sal es proporcional a la diferencia entre la concentración en el instante dado y la concentración de la disolución saturada (1 kg. de sal para 3 litros de agua) y que la cantidad de agua pura dada se disuelve 1/3 de kg. de sal por minuto hallar la cantidad de sal que contendrá la disolución al cabo de una hora.

Solución

Sea x = cantidad de sal que concentre la disolución, la concentración en el instante dado es: 1/3 kg. Por litro de agua.

xLa concentración de la disolución saturada = -----;

300

35

— = velocidad con que se disuelve la sal, la descripción matemática es: dt

— - - k l - — — ) k factor de proporcionalidad resolviendo la ecuación dt 3 300

diferencial se tiene:

jc = 100( -A e k,' m ), encontraremos la constante A p ara t = 0, x = 0 =>

A =100, luego x = 100-100e*'/30° , para determinar la constante k, para1 1 299

t= lm in . , x = - k g . se tiene - = 100-100«* '300 => fc = 3001n(——)3 3 3UU

x = 100 - 100e 'ln(299/300) = 100 - 100(299)'

para t = 60 min, x = ?, x = 100(1- ( ^ J 60) «18.1542 ¿g. porlotanto:

x = 18.1542 kg.

121) Cierta cantidad de una substancia indisoluble contiene en sus poros 10 kg. de sal, actuando con 90 litros de agua se observo que durante 1 hora, se disolvió la mitad de la sal contenida. ¿Cuánta sal se disolvería durante el mismo tiempo si se duplicase la cantidad de agua?La velocidad de disolución es proporcional a la cantidad de sal no disuelta y a la diferencia entre la concentración en el instante dado y la concentración de la disolución saturada (1 kg. para 3 litros).

Solución

Sea x = cantidad de sal que concentra la disolución

— = velocidad con que se disuelve la sal; de acuerdo a las condiciones del dt

dx 1 0 -x 1problema la descripción matematica es: — =

De donde resolviendo la ecuación diferencial y reemplazando los datos dados se tiene que: x = 5.2 kg.

36

122) Hallar la curva que tiene la propiedad de que el segmento de la tangente a la curva comprendido entre los ejes coordenados se divide por la mitad en el punto de contacto.

Solución

2 yComo mLt = -------= ----- , entre los puntos P y A

x x----- X2

Además ~~ = mL, => — = - ^ de donde — + — = 0 dx dx x y x

Integrando se tiene: ln y + ln x = ln c => xy = c

123) Cierta cantidad de substancia, que contenía 3 kg. de humedad, se colocó en una habitación de 100 m i de volumen donde el aire tenia al principio el 25% de humedad. El aire saturado, a esta temperatura, contiene 0.12 kg. de humedad por l « 3. Si durante el primer día la substancia perdió la mitad de su humedad, ¿qué cantidad de humedad quedara al finalizar el segundo día?

Solución

Sea s = cantidad de humedad que contiene la substancia

(3 — s + 3) = cantidad de humedad que contiene el aire.

37

12 = humedad del aire saturado para 100 m 3

dsLa descripción matemática es: — = -k s(-s + 6-12) = ks(s + 6)

de donde resolviendo se tiene: — = Ae6kts + 6

para t = 0, s = 3 => A = para t — 1, s — 1.5 entonces:

k = - ln(— ) = -0.0851, para t = 2 entonces s = 0.82kg.6 7.5

Cierta cantidad de una substancia indisoluble que contiene en sus poros 2 kg. de sal se somete a la acción de 30 litros de agua, después de 5 minutos sedisuelve 1 kg., de sal. Dentro de cuanto tiempo se disolverá el 99% de lacantidad inicial de sal.

Solución

Sea s = cantidad de sal por disolverse.

dsLa descripción matemática es: — = As, donde k es el factor de la

proporcionalidad, la solución de la ecuación diferencial es:

s = Aekt, determinaremos A, para t = 0, s = 2 kg. => A = 2

Luego s = 2ekt, determinaremos k.

Para t = 5 m in., s = lk g . => k = - l n —

Por lo tanto: s = 2e (í/5)lnl/ 2 => s = 2(~ )r/5

Para determinar t, se tiene que buscar el 99% de 5 es decir s = 1.98 kg.,

entonces: 1.98 = 2( - ) ' /5 => 0.99 = ( - )v/5 luego: t = 1 M ? ’99) mirL2 2 1

ln —2

125) Una pared de ladrillos tiene 30 cm. de espesor. Hallar la dependencia de la temperatura de la distancia del punto hasta el borde exterior de la pared, si la temperatura en la superficie interior de la misma es igual a 20° y en el exteriora 0o. Hallar también la cantidad de calor expedida por la pared (por 1 m 2 ) al exterior durante un día.

Solución

Según la ley de Newton, la velocidad Q de propagadón del calor a través de una superficie A, perpendicular al eje OX, es:

de donde k es el coeficiente de conductibilidad térmico, T la temperatura; t el tiempo y s el área de la superficie A, (k = 0.0015).

dT OLuego la descripción matemática es: — = - — , donde Q constantedx kA

Resolviendo la ecuación diferencial y usando los datos dados se tiene:2

T = —x ; 864000 cal/día.3

126) Demostrar que la ecuación — con la condición inicial vi _n = 0 tienedx x 1 •r_u ’

infinitas soluciones de la forma y = ex. Esta misma ecuación con la condicióninicial jyj x=0 — y 0 ^ 0 no tiene solución alguna. Trazar las curvas integrales.

Solución

dy y dy dx . J t— — ~ => — - — integrando ln y = ln ex => y = ex dx x y x

39

para y = O, x = O se tendrá infinitas soluciones; para cualquier valor de c, se satisface la ecuación así si c = 6, y = 6x satisface _yj = ® Y Para

}\ x=o = * 0 => = 0 > cua contradice por lo tanto:

cuando x = 0, y = y 0 * 0 no tiene solución alguna.

Demostrar que el problema ~~ = y a , y\ x=o — 0 , tiene al menos dos

soluciones para 0 < ct < 1 y una para a = 1 trazar las curvas integrales para

Solución

. i-«— = y a => y~ady = dx integrando ------ = x + cdx 1 -a

gl-asi x = 0, y = 0 ------ = c solo si 1 - a > 0

3 1- a

ósea si a < 1 luego al tomar a valores entre 0 y 1 hay infinitas soluciones.

Si a = 1 => — = dx => ln y = x + cy

De donde y = kex para x = 0, y = 0, se tiene y = 0 es la única solución.

128) Hallar la solución de la ecuación — = y \ \ n y \ a , (a>0) que satisface a ladx

condición inicial >'j x=0 = 0 , para qué valores de a tiene solución única.

Solución

~~ ~ y I ln y |° => — —— = dx integrandodx | ln |a

| ln v |1_a i ,— --------= x + c => y = 0 , x = 0 => -------1 ln v | “ = 0 + c

1- a I - «

ln y —>oo, así - a + l > 0 => a < l entonces y 0

El primer miembro se haría cero, así c = 0, lo que significa una solución única.

129) Demostrar que las tangentes a todas las curvas integrales de la ecuación diferencial y ’+ y tg x = x tg + 1, en los puntos de sus intersecciones con el ejeO Y son paralelas entre si. Determinar el ángulo bajo el cual se cortan las curvas integrales con el eje OY.

Solución

-Stgxdx r ftgjratry = e [ J e (x tg x +1 )dx + c ] , por ser ecuación lineal.

y = e ln (tg x sec x+sec x d x + efectuancj0 ia integral,

y = eos x[x sec x + c] = x + c eos x entonces:

y = x + c. eos x , interceptando con el eje Y, para x = 0 , y = c => P(0,c)

= (1 - e s e n x)\p = 1 => mL, = 1

L, : y - c = l (x -0 ) de donde L, : x - y + c = 0

41

mL, = —' dx

Integrar las siguientes ecuaciones diferenciales.

130) cosyf = 0

Solución

KComo y eos y ' = 0 => / = arccosO = — (2n + l)

— = —(2« + l) => dy = — (2n + l)dx, integrando. dx 2 2

y = ^ (2n + l)x + c, n e Z.

131) ey = l

Solución

dyey =1 => y'= 0 => = 0 => y = cdx

donde c es constante.

132) s e n / = x

Solución

s e n /= J t => /= a rc se n jt + fl7r entonces:

— = arcsenjt +w;r de donde ¿y = (arcsenx + w7r)¿/x dx

integrando J dy = J (aresen x + n n)dx + c

y = jta rc se n x -V l- * 2 +mx+c donde n = 0,± l ,± 2,.

133) l n / = x

Solución

ln y '= x => y '= ex

dy = exdx => j dy = J e xdx => y = ex +c

134) t g / = 0

Solución

t g / = 0 => y ’= arctgO = nn

dy— = nn=> dy = nn dx integrando y = nrc + c

135) =jc

Solución

e ~ x ^ y =\nx de donde dy = l n x d x , ahora integrando

j d y = J lnxdx => y = x l n x - x + c

136) tgy '= x

Solución

tgy ' = x => y'= aictgx+nn , n = 0, ± 1, ±2,...

dy = (aiclgx+nn)dx integrando se tiene

y = ^{ t tc tgx + njz)dx+c entonces: y = x2 x c tg x -^ \n ( \ + x 2) + njtx + c

43

En los siguientes ejercicios hay que hallar las soluciones de las ecuaciones diferenciales con las condiciones indicadas para x ->+oo.

, 16137) x y 'eos>> + 1 = 0 , y - > — n => x-»+°o

Solución

x 2 v’co sy + l = 0 => cos>'.>'’+ - 1r- = 0 , separando la variablex

dx 1eos ydy H— r- = 0 , integrando sen>>— + cx x

16 16» . 1 l6n cuando y - * — n parax->+oo => c = sen —— luego sen . y - — -se n ^

10138) x 2 /+ c o s 2 ^ = l , y-+ — n => x->+*>

Solución

x 2/ + c o s 2y = 1 => x 2y = l - e o s 2>', separando la variable

___= — => — — = —j integrandol - c o s 2 >' x 2 2 sen y x

f ——— = l — r~ c de donde c tg y = — + c J sen2 y x x

10 1 cuando y - * — n , x —H-ao => c - —j~

2 1 2 1 Luego c tg y = —+—j ^ => y - arct^¡T+ ^J'*

44

139) jr3y -s e n y = 1, y -* 5 i t => x-H-oo

Solución

x 3y ~ sen v = 1 => x 3 -^ = 1 + sen y , separando la variabledx

dy dx r dy r dx --------- = —r integrando -— ----- = — + c1 +sen.y x * l+senj> J x

para y-+ 5n , x -H-oo => c = 1

por lo tanto y = 2 arctg(l — i—)2x

140) (l + x2)y - |c o s 22y = 0 , y ~ ^~ ti , x->-oo

Solución

(l + x2)y - -c o s2 2 = 0 , separando la variable se tiene:

dy dx= 0 integrando = k

eos 2y 2 (1 + x ) 2 2

ytg 2 y - arc.tg x = c cuando y -» — n , x ->-oc¡ => c = —

2 2

tg 2y - arctg x = — => tg 2y = —- + arctg x => y = — arctg(— + arctg x)2 ¿ 2 2

141) ey =e4y y'+1, y es acotada para x —>+oo

Solución

45

eAydve y = e 4yy '+ l ; e 4yy'= ey -1 entonces --------= dx

ey -1

r e4y fintegrando J —---- dy = J dx + c entonces:

í y + e 2y + ey + — -— )dy = x + c y calculando la integralJ e y -1

e3y e2-----+ — + ey + ln(l + e y) = x + c ,3 2

como y es acotado y x ->oo entonces y = 0.

(x + \)y' = y - \ , y es acotada para x —>+oo

Solución

(x + 1) / = y - 1 ; (x + \)dy = ( y - 1 )dx separando la variable

dy _ dxy - \ Jt + 1

integrando se tiene: ln(y — 1) - ln(x + 1) + ln c

i i y - iln ------= ln c => -------= cy + 1 x +1

cuando x —>oo entonces —— — > 0 por lo tanto c = 0JC+ 1

t í . o =» y . 1* + 1

y ' — 2x(n + y ) , y es acotada para x-H-oo

Solución

y'= 2x(n +y) => - — = 2xdx integrandoy + n

Í y + n = J ent°nces ln (y+n) = x 2 +c entonces:

jr2y + n =ke , y es acotado para x —>00 entonces k = 0

Luego y + n = 0 => y = -n

2 11144) x y'+ sen 2y = 1, y - * — rc => x-M-oo4

Solución

2 • 5x / + sen 2 ^ = 1 => x dy = l -sen2ydx separando la variable

dy dx=> integrando se tiene:1 - sen 2y x 2

f dy (• dx 2 y sec2 v 1J l ^ 2 7 = J ^ ' C => t g - - - — — + ci2 y J x 2 2 2

cuando y —> — ;r , x —>+oc se tiene que: y = arctg(— x)

X

47

[ECUACIONES HOMOGENEAS Y REDUCIBLES A ELLAS|

A la función f(x,y) llamaremos función homogénea de grado n si se cumple la identidad.

Una ecuaciónión diferencial de la forma — = f ( x , y ) , se denomina homogénea si f(x,y)dx

es una función homogénea de grado cero.

La ecuación diferencial homogénea siempre se puede representar en la forma:

H

dx x... (1)

Introduciendo una nueva variable incógnita u = ~ , la ecuación (1) se reduce a la

ecuación con variable separable:

du , x x - — = \¡/(u)-u dx

Observación.- Al resolver las ecuaciones homogéneas no es indispensable reducirlas a la forma (1). Se puede hacer inmediatamente la sustitución y = ux.

Las ecuaciones diferenciales de la forma:

dy _ ^ axx-\-bxy + c l dx a 2x + b2y + c2

. . . (2)

se reduce a homogénea trasladando el origen de coordenadas al punto (x0,y 0) de intersección de las rectas: axx + bxy + c, = 0 y a 2x + b2y + c 2 = 0 ; y esto se consigi|

haciendo la sustitución de las variables x = z. + x0 , y = w + y

48

El método indicado no es aplicable cuando las rectas a¡x + b{y + cx = 0 y

a 2x + b2y + c2 = 0 son p

puede escribir en la forma:

a 2x + b2y + c2 = 0 son paralelas, en este caso — = ^ - = A a la ecuación (2) seax bx

dy _ axx + bxy + cx x ^ f x— ~ ------- r -------) = F(axx + bxy)dx Á(axx + bxy) + c2 ... (3)

que ha sido estudiado en las ecuaciones redjucibles a variable separable.

Si la ecuación diferencial viene expresada en la forma:

P(x,y)dx + Q(x.,y)dy = 0

Será homogénea, si P(x,y) y Q(x,y) son funciones homogéneas del mismo grado.

A veces, la ecuación se puede reducir a homogénea mediante la sustitución de la variable y = z a , esto ocurre cuando todo los términos de la ecuación son de un mismo grado, atribuyendo el grado 1 a la variable x, el grado a a la variable y; y el grado a - 1

a la derivada — .dx

Integrar las Ecuaciones:

145) 4* - 3y + y' (2y - 3x) = 0

Solución

Observamos que la ecuación es homogénea, entonces:

Sea y = ux => dy = u dx + x du, a la ecuación diferencial escribiremos así:

(4x - 3y)dx + (2y - 3x)dy=0, ahora reemplazando se tiene:

(4x - 3ux) dx + (2ux - 3x)(udx + xdu) = 0, simplificando

(4 - 3u) dx + (2u - 3)(u dx + x du) = 0, agrupando

49

(2u 2 - 6 u+4)dx + x(2u - 3)du = O , separando la variable

dx 2 u -3 , , „ f dx f , 2 « -3 NJ2 -----1-—-----------du= 0 , integrando 2 ----- 1-1 (—=---------- )du = cx u -3 u + 2 J x J u -3 u + 2

entonces: 21nx + ln(w2 -3w 4 2) = c => \n x 2(u2 -3 u + 2) = c , levantando el

logaritmo se tiene: .\ y 2 - 3 xy + 2x2 =k

146) xy' = y + -yjy 2 - x 2Solución

A la ecuación escribiremos así: xdy = (y + 2 - x " ) d x , es homogénea.

Sea y = ux entonces dy = u dx + x du => x(udx + xdu) = (ux + J u 2x 2 - x 2 )d x ,

simplificando xdu = J u 2 - \d x separando las variables -------V« 2 -1

integrando se tiene: ln | u+ Vu2 - 11= lnx + ln c entonces:

du dx9

X

ln ÍÜ Í— -----12 = ln c , levantando el logaritmox

u + ^Ju2 -1 - e x => y + y 2 - x 2 - e x 2 de donde /. 2cy = c 2x 2 +1

147) 4x2 - x y + y 2 + / ( x 2 - x y + 4 y 2) =0

Solución

La ecuación diferencial (4x2 - xy + y 2 )dx + (x2 - x y + 4 y 2 )dy = 0 , es homogénea

sea y = x => dy = u dx + x du, reemplazando en la ecuación.

(4x2 - u x 2 + u2x 2)dx + (x2 - u x 2 + 4u2x 2)(udx + xdu) = 0

50

simplificando (4u 3 + 4)dx 4 x(4u 2 - u 4 \)du = 0 , separando las variables

dx 4u 2 —u + 1 . c dx c 4u2 — u + \4 — 4*------------- du = 0 , integrando: 4 — 4- -— -------- d u = c entonces:

X u 3 + 1 J X J u 3 +1

41nx4- í (—— + —~ 1 )du = c J u+ l u - u + \

lnx4 4-21n(w4l)4ln| u 2 - u + l\=c => ln x4 (w4 l )2 (u2 - u 4 l) = c

x*(u + l)(u3 + \ ) = k donde w= — por lo tanto: (x 4 y )(x 3 + y 3) = k

148) 4x2 + x y - 3 y 2 + y '( -5 x 2 +2xy + y 2) = 0

Solución

(4x + x y—3 y 2)dx + {—5x2 +2xy + y 2)dy = 0, es homogénea entonces:

y = ux => dy = u dx 4 x du, reemplazando en la ecuación

(4x2 4 x 2w —3x2u 2)dx4 (—5x2 + 2x2w4xV)(wrf*4xrfw) = 0, simplificando:

(u3 - u 2 - 4u 4 4)dx 4 (w2 +2u — 5)xdu = 0 , separando las variables se tiene:

dx u 2 + 2 u - 5 J ^ .+ —----- 1-----------du = 0 , integrando

* W -W -4W4-4

c dx f u 2 + 2 u - 5" + -----5----------- d u = c , integrando por fracciones parciales se tiene;

J x J u - u - 4^ 4-4

••• ( y - x ) * ( y - 2 x f = c(y + 2x)5

51

Solución

9 2'Ixydx - (3jc - y )dy = 0, es homogénea entonces:

y = ux => dy = u dx + x du, reemplazando en la ecuación

2x2udx-(3x2 - x 2u2)(udx + xdu) = 0 => (u3 -u)dx + (u2 -3)xdu = 0

separando las variables — + —— - du = 0 , integrando í — + í — - du x u 3 - u J x J u 3 ~u

f — + f (—---- ---------— )du = c, efectuando la integral se tiene: c(y2 - x 2)J x J u u - 1 w+ 1

150) 2xy'(x2 + y 2) = y ( y 2 +2x2)

Solución

2x(x2 + y 2)dy = y (y2 -h2x2)dx , es homogénea


2x(x2 + x 2u2)(udx + xdu) =ux(u2x 2 + x 2)dx

2(1 + w 2 )(m¿x; + x¿/w) = u(u2 +1 )dx f simplificando

(u3 + w)rfx + 2(1 + u 2)xdu = 0 , separando las variables

dx 2 (u 2 + l ) , . c dx c 2 (u2 + 1) _ r dx du- +¿(i* + 1) , _ . , f dx C2{u + 1) . ftfx—--------du = 0 9 integrando — + — ------- d u - c => — + 2 —u 3+u J x J u3 +u J x J u

2 y 2entonces: ln x + 21n w = c => lnx.w =c => x — = c porlo tanto: yx

151) x y '= j y 2 - x 2

Solución

xdy = y 2 - x 2 d x , es homogénea y = ux => dy = u dx + x du

ux(udx + xdu) = *Jü2x 2 - x 2 dx , simplificando

udx+xdu = ¡u 2 -1 dx , separando la variable

¿/w <¿x f du C dxintegrando ..¡— ..........= — + c

J J..2 1 _ J x^|li2 - l - U x ^Ju1 - l - u

- J (-y/w2 -1 + u)du = lnx + c , calculando la integral se tiene:

y + y 2 - x 2 = cx3ey(y+Jy2~x2)

152) ax2 +2bxy + cy2 + y (fox2 + 2cxy + f y 2) = 0

Solución

(ax2 + 2bxy + cy2)dx + (bx2 +2cxy + f y 2)dy = 0, es homogénea


(ax2 +2bx2u+cx2u 2)dx+(bx2 +2c2u+ f x 2u2 )(udx+xdu) = 0 , simplificando

(a + 2ftw + cu2)dx + (b + 2cu + f u 2)(udx + xdu) = 0 , separando la variable

dx b + 2cu + fu 2 ,---- 1--------------- —--------— d u - 0 , integrando* <2 + 3¿w + 3ck + yi*

53

r dx C b + leu + f u 1— + 1 ---------------- --------- du = c entonces

J x J a + 3bu + 3cu + fufu

i 2 3 y\nx + — \n \a + 3bu + 3cu + fu |= c , donde para u = — se tiene:3 x

f y 3 +3cxy2 + 3bx2 y + ax3 - c

153) ( y 4 - 3 x 2)dy = -xydxSolución

y = z a => dy - a za ld z , reemplazando en (y 4 - 3 x 2)dy = - xydx

(z4a - 3 x 2)aza~1dz = - x z adx => (z5a~l - 3 x 2 z a l )odz = - x z adx

para que sea homogénea debe cumplir:

1 2 25 a - l = c t+ l = a + l => a = — => (z —3jc )¿/z = - I x z d z , es homogénea

x = uz => dx = u dz + z du entonces:

(z 2 - 3u 2 z 2 )dz = -2 z 2 u(udz + zdu) => (1-3w2)¿/z-2m(w¿/z + z¿/w)

(w 2 -l)rfz = 2wz¿/w separando la variable — = —- integrando* w2 - l

* ¿z r 2u

54

f — = \ — ^— du + c => lnz = ln(w2 - l ) + cJ J w2- i

para w = — , z = y 2 por lo tanto: x 2 = y 4 +c:y6z

154) y 3dx + 2(x2 - x y 2)dy = 0

Solución

Sea y = z a => rfy = aza-1, reemplazando en la ecuación

z 3a¿¿r + 2(x2 - x r 2a )aza_1¿/z = 0 , agrupando

z 3adx + 2(x2z a l - x z 3a~l )a dz = 0 , para que sea homogénea debe cumplir:

1 2 23 a = a + l = 3 a => a = — r=> z~dx + (x - x )d z = 0 , es homogénea,

x = uz => dz = u dz + z du, simplificando

zdu + u2dz = 0 , separando la variable + — = 0u 2 z

1 X 2integrando — + lnz = c de donde para u= — , z - y se tienew z

1 2 1reemplazando en - — + ln z = c por lo tanto: y = x ln ky

u

155) ( y -xy ' )2 =x2 + y 2

Solución

( y - x y ' ) 2 = x 2 + y 2 => y - x y '= ^ j x 2 + y 2 , es homogénea

y = ux entonces dy = u dx + x du, reemplazando en la ecuación

(mx- -y/x2 + w2x 2 )dx- x(udx + xdu) = 0 entonces:

(u - ^ | l - - u 2 )dx- udx-xdu = 0 , simplificando

r T , dx du-V l + w dx - xdu = 0 => — + — - ■___ : = 0 , integrando

-Y Vl + t/ 2

55

í — + í —=.ÍU = c => lnx + ln|w + Vl + w2 |-cJ * J

x(u + 4\~+u2 ) = k , para w = — se tiene: y + J x 2 + v2 = &x v

156) 3* + >,- 2 + j>,( j t - l ) = O

Soiución

Z1 :3x + - 2 = 0l Sean LX L 2 entonces existe un punto

L2 :x - \ J

/>(*o>J o ) G A n ¿2 Y Para encontrar el P(x0, y {)) se resuelve el sistema:

3 x + y -2 = Oj x 0 =1x _ 1 = 0 j - y 0 = - l ’ Lueg° = P(1’~ l)

Sean x = z + 1 , y = w - 1 => (3x + y -2 )d x + (x - l)dy = 0

(3z + w)dz + z dw = 0, es homogénea sea w = uz => dw = udz + zdu

(3z + uz)dz + z(u dz + z du) = 0, simplificando

(2u + 3)dz + z du = 0, separando la variable:

dz du „ . r dz r dudz du . r dz r— + --------= 0 , integrando — + -z 2u + 3 J z J 2u +3

entonces: (x - l)(3x + 2y - 1) = k

157) 2x + 2 y - l + / ( j t + y - 2 ) = 0

Solución

= c

(2x + 2y — l)dx + (x + y — 2)dy = 0 ==> sea u = x + y entonces:

56

dy = du - dx => (2u - 1 )dx + (u - 2)(du - dx) = 0 entonces

(u + 1 )dx + (u - 2)du = 0 => dx + — du = 0 integrandou -1

u 2 2x+yJdx + J - — - d u - c => x + y + l = ce 3

(3y - 7x + 7)dx - (3x - 7y - 3)dy = 0

Solución

Lx : 3 y - l x + l = 0l Sean > => entonces

L2 : 3 x - l y - 3 = 0 ¡ 1 2

3v-7jc + 7 = 0l Xq — \3 P(xü, y a)&Lx a ! 2 de donde: ' . n => n

3 x -7 > '-3 = 0 J J>0 =0

x = z + l , y = w entonces reemplazando en: (3x—7y+7)dx —(3x—7y—3)dy

(3w— 7z)dz - (3z - 7w)dw = 0, es una ecuación homogénea,

w = uz => dw = u dz + z du, reemplazando en la ecuación

(3uz - 7z)dz - (3z - 7uz)(u dz + z du) = 0, simplificando:

(7w2 - l ) d z + (lu - 3)zdu = 0 , separando la variable:

_ dz l u - 3 . . , _ f dz c l u - 3 .7 — + ——— du = 0 , integrando 7 — + I —----du = c

Z U2 - i J Z J u 2 + 1

dedonde: .\ (x + y - \ ) 6( x - y - l ) 2 - c

(y + y ^ 2y 4 + l)dx + 2xdy = 0

Solución

c z , xdz - zdxaea xy - z => y = — => dy = ------ ----- , reemplazando en la ecuaciónx x 2

(— + — J —T- + l)dx + 2x(— Z ZCX) = 0 9 simplificandoX x \ j x 2 * 2

, Z Z [~~4 2 x ^ (xdz - zdx)(— + —y ^ z +x )dx + 2 -------------- = 0 entonces:X X2 X

z(Vz4 + x 2 -x)dx-\-2x2dz = 0 sea x = u 2 => dx = 2udu

z(y]z4 + u 4 - u 2 )2udu + 2u4dz = 0 , simplificando

z(*J~z^ +u 2 -u )du + u}dz = 0 , es homogénea

sea u = zw => du = z dw + w dz, reemplazando en la ecuación

z(>/z4 + z 4w2 - z 2w2 )(zchi’+ wdz) + z 3w3dz = 0

wyjl + w4 dz -i- z(s/l + vv4 - w2 = 0 , separando la variable

dz 4 l + w 4 - w 2 r dz f 1 w---- h---- ..... — dw = 0 integrando — + I (---------=====?) dw = cZ W l + VV4 Z W /1+w4

lnz + ln w — ln \w 2 + ^ l + w 4 \=c => ln z w - — \n \w 2 + ^ l + w4 |=<2 2

para w = ^ , u = v x ,z = xy, se tiene: .\ ^ x 2 4 =cy2x 2 - \

4xy2dx + (3jc2 jk -l)dy = 0

Solución

Sea y = z a => dy = ctza d z , reemplazando en la ecuación

4xz2adx + (3x2z a - \ ) a z a~ldz = 0 , agrupando

4jcz2of ¿£c + (3jc 2 z 2a_1 - z a~l )adz = 0 para que sea homogénea debe cumplir:

2a + 1 = 2a + 1 = a — 1 => a = -2, reemplazando en la ecuación

4xz~4dx + (3x2z~5 - z~3)(-2rfz) = 0, simplificando

2jcz dtc - (3jc 2 - z 2 )tfz = 0 , es homogénea

sea x = uz => dz = u dz + z du, reemplazando en la ecuación

2uz2(udz + zd u )-(3u2z 2 - z 2)dz = 0, simplificando

(-u 2 +1 )dz + 2wz¿fw = 0 => — ---- du = 0 y integrandoz u -1

■ dz C 2uí — - í du = c => ln z - ln(u 2 - 1) = cJ Z J w2 -1

Jlf 1 2de donde para w= —, z = - p r se tiene: .\ y (x ^ y - l) = £

161) (jc + y 3)¿£t+ (3.y5 - 3 y 2x)dy = 0

Solución

y = za dy = a za~ld z , , reemplazando en la ecuación

(x + z 3a )¿£c + (3z5° -3z21)oza_1¿/z = 0 , agrupando

(x + z3a )dx+(3z6a~1 - 3 z 3a~1x)a dz = 0 para que sea homogénea debe cu nplir:

59

1 - 3a - 6a — l = 3 a => a = \ ' reemPlazan< ° en *a ecuación

(x + z)dz + (z — x)dz = O, es homogénea sea x = uz => dz = u dz + z du

(uz + z)(u dz + z du) + (z - uz)dz = 0, simplificando

(u + l)(u dz + z du) + (1 - u)dz = 0, agrupando

(u 2 + 1 )dz + z(u + \)du = 0 , separando las variables

dz u + 1 z

~ Y ~ ~ du = 0 , integrando f — + í — du = c U2 + 1 J z J u 2 + 1

1 2 x lnz + — ln(w + 1) + arctgu = c , para u = — , z = y 3

2 z

y 3 1 ? ¿se tiene: arctg-— = — ln(x + y ) + k

x 2

162) 2(x2y + ^ \ + x 4y 2 )dx + x 3dy = 0

Solución

Sea z = x 2y => x 2dy=dz—2xrydx. Reemplazando en la ecuación diferencial:

2(z +Vl + z 2 )dx + x(dz - 2zdx) - 0, simplificando

2 {z+ 4 ü -z2 )dx + xí/z - 2z¿/x = 0

de donde 2^1 + z 2 dx + xdz = 0, separando las variables

dx dz _2 — + —= ■■■■■ ■■■■, = 0, integrando* Vi + z 2

J 2 — + f — = lnc => x 2(x2y + l + x 4y 2) = c x Vl + z 2

60

163) (2x - 4y)dx + (x + y - 3)dy = 0

Solución

Lx : 2 x -4 y = 0 1Sean > => Lx4 fL 2 => 3 P(xQ, y 0) e L x n L 2 de donde

L2 : x + y - 3 = 0J

2x - 4y = 0 | * o = 2 sea x = z + 2 , y = w + 1, reemplazando en :x + - 3 = 0j Jo =1 (2x-4y)¿fy + (x + y-3)rfy = 0

(2x - 4w)dz + (z + w)dw = 0, es homogénea

sea w = uz => dw = u dz + z du, reemplazando en la ecuación

(2z + 4uz)dz + (z + uz)(u dz + z du) = 0, simplificando se tiene:

(w 2 - 3« + 2)dz + (m + 1 )zdu = 0, separando la variable

— 4- . “ + *---- du = c => ( j ; - 2 x + 3)3 = c ( y - x + l ) 2z t/ - 3w + 2

164) (x — 2y — l)dx + (3x - 6y + 2)dy = 0

Solución

Sea z = x — 2y => dx = dz + 2dy, reemplazando en la ecuación

(x - 2y — l)dx + (3x — 6y + 2)dy = 0, se tiene:

(z - l)(dz + 2dy) + (3z + 2)dy = 0, agrupando

(z — l)dz + 5z dy = 0 , separando las variables

(1 - — )dz + 5dy = 0 ; integrandoz

z - ln z + 5 y - c , como z = x - 2 y entonces: x + 3 y - ln |x - 2y| = c

61

165) ( x - y + 3)dx + (3x + y + l)dy = 0

Solución

Lj : x - y + 3=0 1L2 - 3x+y+l = 0\ ^ ^ Ll entonces 3 ^ o J o ) g £ i n ¿ 2 de donde

x - y + 3 = 0 ] x0 = - l-» 1 * r =* » sea x = z — 1 , y = w + 23x + y + l= 0 J .Vo =2

(x — y + 3)dx + (3x + y + l)dy = 0

(z — w)dz + (3z + w)dw = 0 , es homogénea

w = uz => dw = u dz + z du, reemplazando en la ecuación

(z - uz)dz + (3z + uz)(u dz - z du) = 0, simplificando

(1 — u)dz + (3 + u)(u dz + z du) = 0, agrupando

(w 2 + 2w + Y)dz + (u + 3)zdu = 0 separando las variables

dz u — 3 r dz r u — 1— + ~ 2— ------du= 0 , integrando — + —----------- ¿w = cz w + 2w + l J z J u 2 + 2w + l

2 2ln z + ln(w + 1) -------= c entonces ln z(u +1) ------ — = c donde

«+1 «+1

2x+2w y - 2 ------w = — = ------ setiene y = 1 - x + ce r+>’

z x + 1

166) (x + y)dx + (x + y - l)dy = 0

Solución

Sea z = x + y dy = dz — dx, reemplazando en la ecuación

62

z dx + (z — l)(dz — dx) = 0, separando la variable

dx + (z— l)dz = 0 , integrando J dx + J ( z - \)dz = c entonces

2x + - - ~ - - = c porlotanto: 2x + (x + y - l ) 2 =k

167) y cosx dx + (2y — sen x)dy = 0

Solución

Sea z = sen x => dz = eos x dx, reemplazando en la ecuación

y eos x dx + (2y - sen x)dy = 0, se tiene:

y dz + (2y - z)dy = 0, es homogénea

sea y = uz dy u dz + z du, reemplazando en la ecuación

uz dz + (2uz — z)(u dz — z du) = 0, simplificando

u dz + (2u - 1 )(u dz + z du) = 0, agrupando

dz 2u - \ J , r dz c 2u - 1 , , ,---- h---- -— du = 0 , integrando — + — du■ = c de dondez 2u2 J z J 2u

2y ln y + sen x = 2cy

y y168) ((x -y )co s — )¿/x + xcos — dy = 0x x

Solución

ySea u = — => y = ux => dy = u dx + x du, reemplazando en la ecuación

x

(x — ux eos u)dx + x eos u(u dx + x du) = 0

63

(1 — u eos u)dx + u eos u dx + x eos u du = 0, simplificando

dx + x eos u du = 0, separando las variables

— + eos udu = 0 , integrando f — + f eos udu = c x J x J

V VIn x + sen u = c, como u = — => ln x + sen — = cx x

por lo tanto x = ke~SQnylx

y 3dy + 3y2xdx + 2x3dx = 0

Solución

y = ux dy = u dx + x du, reemplazando en la ecuación

w3x 3(udx + xdu) + (3x3m2 + 2x3)dx = 0, simplificando

u3 (udx + xdu) + (3u2 + 2)dx = 0, agrupando

(u 4 + 3u2 + 2)dx + u 3xdu = 0, separando las variables

dx u3 ,---- 1_ —__—— -----du - 0 , integrandox u 4 +3u2 +2

— U— -----du = c de donde c J x 2 + y 2 = y 2 +J x J u 4 +3u +2

ydx + (2 ^Jxy - x)dy = 0

Solución


udx + (2Vux2 - x)(udx + xdw) =* 0 , simplificando

2u^füdx + x(2Vw - l)rfw = 0 , separando las variables

2dx 2a/w -1 , . . , c dx c du f du-----h------- j=—du = 0 , integrando I — + ------— — = c

X u^lu J x J u J u 3 2

2 [x21n x + 21ni/H—j=r = c de donde ln y - c - — entoncesVw v y

y = entonces y e = k

171) Hallar la curva que teíiga la propiedad de que la magnitud de la perpendicular bajada del origen de coordenadas a la tangente sea igual a la abscisa del punto de contacto.

Solución

Por dato del problema d = x0

Además mLt | = y' (x0) y la ecuación de la tangente es:

Lt : y - y o = mLt ( x - x 0)

65

Lt : xy' (x0) - y + y0 - yx0y ' (*o) = O por distancia de punto a recta

d ( 0 , L , ) J ^ =VO’(

por condición del problema se tiene: ¿/(O, Lt ) = x 0

\y<t>xo/(xoÍ JF"" ■ = xo generalizando en cualquier punto se tiene:

- M * o))2+i

y 2 - 2xKy'+x2/ 2 = x 2 + jc2/ \ simplificando

>’2 ~ * 2 — 2xv;v' = 0 de donde ( y 2 — x 2 )<¿v—Ixydy = 0 , es homogénea

sea y = ux => dy = u dx + x du, reemplazando en la ecuación

(u2x~ —x ‘’)dx — 2 x 2u(udx + xdu) = 0> simplificando

(u -1 )dx — 2u(udx + xdu) = 0 , agrupando

— (u ~ + l)¿¿r — 2uxdu = 0 , separando las variables.

2w ^ a • * f ,— + ---- du = 0 , integrando — + ------- ¿fa= lnc* u 2 +l i x J u 2 + 1

lnx+ln£/2 -+1) = lnc => x(u2 + 1) =c* de donde u = — por lo tanto: x2 + y 2 =cjcx

Hallar la curva para la cual la razón del segmento interceptado por la tangente en el eje O Y, el radio vector es una cantidad constante.

Solución

o /(* o )|

o))2 + l

La ecuación de la recta tangente es: Lt \ y - y0 = m (x - x0), de donde

Lt : y = y '(x0) x - y ' ( x 0Kx0) + y 0

parax = 0, se tiene d 1 = y Q- y ' ( x 0)(x0)

r r 7 Vn ~ y'(^o)(xn)además = V*o “ .Vo » lueg° :--1— =*==— = generalizando se tiene:

4 xo + y ¡v - y ' x , rr~ rj =C => y - x y =c^Jx + y

i * 2 +jV2

(c-jx1 + y 2 - y)dx + xdy = 0 , es homogénea

sea y = ux dy = u dx + x du, reemplazando en la ecuación

(c\Jx2 + x 2u - yx)dx + x(udx + xdu) = 0 , simplificando ,

(c^l + u 2 -u )dx + udx + xdu = 0 , agrupando

67

c^l + u2 dx + xdu = O, separando las variables

= 0 , integrando c ln x + ln(w + •\/l+M2 ) = ln&dx duc--4- - ^ ^* é + u2

x c (u + *K+u2 ) =k dedonde y + Jx2 + y 2 - k x l c

x 2 + y 2 = k 2x 2 ~c>i -2kyxl~c +y2, dedonde

. 1 / 1 —(T 1 1+C.. y = — k v ----x2 * k

173) Empleando coordenadas rectangulares, hallar la forma del espejo si los rayos que parten de un punto dado, al reflejarse, son paralelas a una dirección dada.

Solución

dy , Á t a O - * ) + 4 7 2 + ( i - * ) 2— = tg^ = c tg 0 = ----------- 2-----------------dx y

ydy-( l-x)dx _ . „ r ~5 “ 7--p— ■. ... = dx integrando ^ y + ( l - j t )~ = j t + c , parax = y = 0, 1 = <4 y 2 +( l - x ) 2

y = 4 cjc

68

174) Hallar la curva para la cual la longitud del segmento interceptado en el eje de ordenadas por la normal cualquiera de sus puntos, es igual a la distancia desde este punto al origen de coordenadas.

Solución

Dato del problema dx = d 2, la ecuación de la tangente es:

L, : y - y 0 = ^óí^oX^-^o)

ecuación de la normal: LN : y - y 0 = ------ — (x - x 0)y \ x o)

J J X *0de donde y = ----------- + ---------- 1- y 0/ ( * 0) / ( * » )

parax = 0, dx =— - — + y 0 además d2 =Jxo +y'(x 0)

y l

como dx = d2 => ——— +y 0 =Jxo +.Vo » generalizando + y = - jx2 +y \ * 0) ' dy

xdx + (y- -Jx2 + y2 )dy = 0 , es homogénea

y = ux => dy = u dx + x du , simplificando

(1 + w2 - u ^ l + u2 )dx + x (u -^ \ + u2 )du = 0

69

dx U -V l + M2

x 1 + u 2 -u V l + Wdu= O, integrando y reemplazando

y 1 / 2 Ku = — se tiene: y = — (cx — )x 2 c

175) Hallar la curva para la cual el producto de la abscisa de cualquiera de sus puntos por la magnitud de sus puntos por la magnitud del segmento interceptado en el eje OY por la normal, es igual al duplo del cuadrado de la distancia desde este punto al origen de coordenadas.

Solución

Condición del problema x {)d\ = 2 d \ , la ecuación de la recta tangente es:

Ly - y - y o = y \ x 0) ( x - x 0)

ecuación de la normal es: LN : y - y 0 = — 7 7 — ( x - x 0)/ ( * o )

x *ol n '■ y = — 77—

y (Xfí) y (*0)

para x = 0 => d, = ——— i- y 0, d2 =-Jx¡j + Jo P°r 1° tanto:y'(x0)

70

x0d 1 = 2d \ => x n( -X° + y (i) = 2(Jx¿ + y l )2 , generalizandov (jc0 )

2 dx „ , 2 2\x — +xy = 2(x + y ) dy

x 2dx + ( x y - 2 x 2 - 2 y 2)dy = 0, es homogénea

sea y = ux => dy = u dx + x du, reemplazando en la ecuación

x 2dx + (x2u - 2 x 2 - 2 x 2u2)(udx + xdu) = 0 , simplificando

dx + ( u - 2 - u 2)(udx + xdu) = 0 , agrupando

(u 2 - 2u - u3 + \)dx + x(u - 2 - u2 )du = 0 , separando la variable

dx u - 2 - u 2 „ . A t , y— + —---------- -----du = 0 , integrando y reemplazando para u = — se tiene:* u 2 - 2 u- u3+\ x

71

ECUACIONES LINEALES DE PRIMER ORDEN: ECUACIONES DE BERNOULLI


^ - + P(x)y = Q(x) dx

donde P(x) y Q(x) son funciones continuas de x, se llama ecuación diferencial lineal de primer orden.

Si Q(x) = 0, la ecuación (1) se llama ecuación diferencial lineal homogénea, y es de variable separable y su solución es dada por:

- f p(x)dxy = ce J

si Q(x) * 0, la ecuación (1) se llama ecuación diferencial lineal no homogénea, y su solución es dada por la expresión.

Ecuación de Bernoulli. La ecuación diferencial de Bernoulli es de la forma:

^ + p(x)y = Q(x)yn dx

..(2)

donde n ^ 0,1, para resolver esta ecuación se transforma en una ecuación diferencial lineal, mediante la sustitución.

i-«

72

Resolver las Ecuaciones Diferenciales siguientes:

176) y ’+2y = x 2 +2x

Solución

La solución es:

y = e ^p{x]d\ ^ e ^ pix)dxQ(x)dx + c] . . . ( 1)

donde P(x) = 2 y Q(x) = x 2 +2x ... (2)

luego reemplazando (2) en (1) se tiene:

- í 2 dx r ' f 2 dx 2y = e J [ \ eJ (x +2x)dx + c] , efectuando la integral

y = e~2x[ j e 2x(x2 + 2x)dx + c]

y = e~2x[—— —- e 2x +—-1-c] por lo tanto:2 4

2x2 + 2x V= 4

177) {x2 + 2 x - \)y ' - { x + \)y = x - \

Solución

/ 2 n , / , x + l JC —1(x¿ + 2x-l)y '- (x + l)y = x - \ => y '— ---------- = —----------x + 2 x - l x + 2 x -

- \p(x)dx r (p(x)dxy = e J [ \ e J Q(x)dx + c]

-2 v— + ce

- la solución es: 1

73

donde P(x) = ---- + *— y O(x) = - - 1— , reemplazando se tiene:x + 2 x - l x 2 + 2x - \

- \ - — ^ ± — dx , - x - \y = e } x +2x-l r \ e ' x +2x-l f _ J ----rfX + C]

J x + 2 x - l

iln(*2+2j-l) (• -iln(A:2+2.t~l) x ~l , ..y = e2 [ \ e “i-------¿fo + c]

x + 2x -1

y = V*2 + 2 * - l [ f <X ^ ..y y dx + c]J (x2 + 2x-l)

y = *Jx2 + 2x - l [ | ¿ ( X ; = ) + c ] , integrandoj ^ x 2 + 2x - l

y = a/ t 2 -4- ? r -1 (— * .—- + <") por lo tanto: y = x + c ^ x 2 + 2 x - l4 x 2 + 2 x - l

178) x ln xy '-y = x 3 (3 ln x - 1)

Solución

, 1 x 2(3 1nx-l)x lnx .y '-y = x (3 1 n x -l) => y ---------v = ------- ----------

x ln x mx

p(x)dx f [p(x)dx T i jcomo la solución es: y = e J [I eJ Q(x)ax + c] donde:

1 x 3(31n x -l)P(x) = — -— y Q(x) =

x ln x ln x

dx r dxx '( :

Inx_f— - f— x 2(31nx- l )

reemplazando se tiene: y = e xlnx [J e AlnA ^— dx + c]

74

y = e mnx)[ j e -‘n(ln *> jr2(31nx U dx + c]

y = lnx[fí/(-^--) + c] => y = lnx(-^— + c) J lnx lnx

por lo tanto: y = x 3 -f-clnx

(a2 - x 2)y'+xy- a 2

Solución

/ 2 2 » 2 . * # (a -jc Xy+xy = a- => y + —------ y = a 2 _ x 2

como la solución es: y = e ^ P!> [ J e ^ * g(x)í/x + c]

x a2donde p(x) = — ----- — y Q(x) = — -----—, reemplazando se tiene:

a - x 2 a2 - x 2

- J - r - i* f ~2y = e a x r 1 *[ I V *2- ' 2 - - — dx + c]J a - x

Un(a2-x2) ry = e 2 [ \ e 2 — - -dx + c]

J a - x

y = ^ja2 - x 2 [a2 f — -—— — + c] entonces J (a2 - x 2)3/2

y = 4 a 2^ x 2 ([ d ( ^ L = ) + c) => y = V «2 - x 2 ( ^ j L - ^ +c) Va - x -\la~ - x

por lo tanto: y = x + c ^ a 2 - x 2

180) 2xy'-y = 3x2

Solución

, -» 2 , 12xv - y = 3x => v ------y = —2 x ' 2

como la solución es: y = e ^ H * Q(x)dx + c]

1 3xdonde P(x) = ------y (?(jc) = — , reemplazando se tiene:

2x 2

f dx r dx

= e 2x[ j e 2x — dx + c\

1 ,— ln x ^ — ln x r— j r r—•y = e 2 [J e 2 xdx + c] => y = ^Jx(—j ^ x d x + c)

y = -Jx(x*/2 + c) => y = x 2 +c*Jx

181) (x + \)dy-[2y + {x + \)*]dx = ti

Solución

(x + \)dy ~[2y + (x + \)A ]dx - 0

dy 2dx Jt + l

V = (jc-h l)3, como la solución es:

’ = e ~ ^ x)Jx[ \ J P dxQ(x)dx + c]

donde P(x) = — — y Q(x) = (.v + 1)3 x + 1

76

f 2</r r 2¿r

reemplazando se tiene: y = e x+l[ je x+l (x + l)3dx+c]

y = e2ÍBix+l)[ je -mx+l)(x+l)i dx+c]

y = (x+ 1)2 [J (x+\)dx+c] = (x+1)2 + c)

, (x + 1)^ tpor lo tanto: y = — ■— +c(x + l)2

182) / = ---------- L -----xsen>> + 2sen 2y

Solución

1 dy 1y = ---------------------------- n> J L = -----------------------------x sen y + 2 sen 2y dx x sen y + 2 sen 2^

- ¿/je— = x + sen>> + 2sen2y = > ---------------- (sen y)x = 2sen 2v«V úfv

la solución es: x = e

de donde P(x) = -seny , Q(y) = 2sen2y, reemplazando se tiene:

f sen v’rfv f f sen yrfyx = e J [ J e J 2 sen 2ydy + c]

x = e cos>'[4j ecos>’ sen y co sy d v + c]

x = í T cos>[ ( 4 - 4 c o s \e * * y + c ] => x = 4 ( l - e o s >■) + « > -cos v

por lo tanto: x = ü n 2 -- + cí> C0S1'

77

183) y'-2xy = 2xe*2

Solución

y = e - ^ x)dx[ ¡ J pMJxq(x)dx + c] donde p(x) = -2x y q(x) = 2xex

- f - 2 xdx r i-2.xdx JJ.2reemplazando se tiene: y - e J [ \e i 2xe dx + c]

y = exl [^2xdx + c] = e * \ x 2 + c) por lo tanto:

y - (x2 +c)ex2

x 3 —2184) x(x3 + l)y'+(2x3 - l ) y = --------

Solución

x 2 — 2x(x3 + l ) /+ ( 2x 3 + l)y = -------- dividiendo entre x(x3 + 1) entonces:

y'+ — -r— — y = , ecuación lineal en y, la solución es:x(x +1) X (x +1)

y = e \ p<x)d* d e\ p{x)dxq(x)dx+c] donde />(x)=-^y— y ?(*) = 2 3J x(x + 1) x (x + 1)

f 2.v3- l ^ f 2 / - 1 ^ 3

reemplazando se tiene: y = e +1) [ f e r(< " * • ^— dx + c]J x 2(x3 +l)

y = e, jr3+l . , * 3+l . , 3

-ln------- r ln(-------) (x - 2) ,[ i e x ~ 2— í----- dx + c]J x 2(x3 + l)

78

* r f X ~ 2 j n x , 1y = - 3 — - [ I -------— ¿ X + c ] = - y — (x + — + C )x J +l J x 3 x 3 +l x 2

expor lo tanto: y = —— - + —x +1 X

185) y'+y eos x = sen x eos x , y\ x_0 = 1

Solución

y = e /p(vWr[Je^p(x)d'q(x)dx + c] donde: p(x) = cosx y q(x) = sen x eos x

. . . - I eos xdx f í eos xdxreemplazando se tiene: y = e J [ \ e J senx eosxdx + c]

y = e~ *enx [ J esen x sen x eos xdx + c]

y = e~'senA[senxesen v - esenA + c] y = s e n x - l + céTsenK

para x = 0 , y = l = > 1 = 0 — 1 + c entonces c = 2, por lo tanto:

y = 2e~scnx + s e n x - l

186) x ln * / - ( l + ln x)y + ^ ~Jx (2 + ln x) = 0

Solución

x lnx.y'-(\+ lnx)y+~ (2 +lnx) = 0 , dividiendo entre x l nx entonces se tiene:

1 + lnx (2 + lnx) .. i iy _ — -----v = --------¡==----- , ecuación lineal en y, la solucion es:x l nx ' 2^¡xlnx

79

y = e ^p{x)<L\ \ e ^ P(X)dXq(x)dx+c] donde: p(x) = y q(x) = - —J x \nx 2-Jxlnx

r l+ln.v f 1 + ln.r_j — d.x r I —— dx 2 + lnxreemplazando se tiene: v = e ' ln t [ - e vln x — j=-----J 2Vxlnx

y = eln(vln-*,[ - f e [n{xAnx) .dx+c]J 2^1 x In x

^ = x.ln x[- f —^ n X-— dx + c] = x. In x[ f d (—=------ ) + c]J 2 V x x ln x J 4 x \ n x

y = x. In x(-jJ- -+ c) por lo tanto: y - Jx + ex ln x-v/x ln*

187) 3xy'~2y = —y

Solución

x 3 , 2 x 2

y3xy'-2 y = — => y '----- y = — r- ecuación de Bernoulli

•2 3 x 3 v

¿/v 2 x 2 _2 w. r , , 2—--------y = — y multiplicidad por ydx 3 x ' 3

2 __3 = * 2dx 3 x ’ 3

sea z = v 3 => — = 3v2 , reemplazando se tiene:' dx dx

L _ JL ^ = í => — - -- z = x 2, ecuación lineal .3 dx 3x 3 dx x1 dz 2 x dz 2 _ i

dx + c]

80

- f - -d x c f -dxcuya solación es: z - e x [ \ e x x~dx + c] entonces:

'[ J íf r + c]z = e 2lnx[ \ dx+c] => v 3 = x y +cx2

188) 8 xy '-y = - 1yl)x + \

Solución

o . i dy i i , ^8x y - y = --- ■■p= L_1 entonces —-------- v = ----------y^— , ecuación de Bernoulliy^Jx + 1 títe 8x %xy\lx + l

multiplicando por y 3 se tiene: y 3— - — v 4 = - - *dx 8x ‘ 8xa/x+T

s e a z = y 4 entonces — = 4^ 3 — , reemplazando en la ecuación se tiene: ¿/x ' dx

\ dz \ 1 dz 1 1 ., ..— —— — z = ------7= = - ~ => —--------z = -7= , ecuación lineal4 ¿x 8x 8x v x + 1 dx 2x 2xVx + l

f ^ f ¿r ^ cuya solución es: z = e 2* [ - 1 e 2* ----- ........+ c]

J 2xvx + l

— lmr /• ln.rz - e 1 [ - \ e 2 ----- - + c] entonces

J 2xVx+l

z = V x [ - f— j J ^ j = + c] => Z = -Vx[frf(^ ^ ) + c]J 2V*W* + 1 J V*

’ = V^(—7=~ + c) = por lo tanto: v4 =4x + \ + c^fxVx

81

189) (Jty + x 2y 3)y '= lSolución

(xy + x 2y 3)y '= l => (xy + x 2y 3) ~ = \

dy 1 dx 2 3— = --------—— entonces — = xy + x ydx xy + x y dv

- xy = x 2y 3 multiplicidad por x-------- ->dy

-2 dx - 1 3 -1 v-2 dxx ----- yjc = y , sea z = x => — = -x —dy dy dy

— - vz = v3 => — +yz = - y 3, la solución es: dy y

r f , zi^ = e- í ^ [ - J e ^ V ^ + c] = e ' 2 [ - J e V ^ + c l =>

_zl ¿ ¿z = c 2 [ - y 2e 2 + 2 e 2 + c] por lo tanto:

190) / - y = 2*e*+x2

1 2 "T— = 2 - y + ce 2

Solución

Como y = e /(r)í/r[ | e ^ (v)í/X (jc)dx + c] donde p(x) = -1 y #(x) = 2xe*

Reemplazando se tiene: y = e [Je^ 2xev+v dx + c]

82

y = ex[ j2 x e x dx+c] entonces y = ex (ex +c)

por lo tanto: y = ex x + ce

191) xy' = y + x 2 senx

Solución

2 dy 1 .,xy = y + x sen x => —----- y = x sen x , ecuación linealdx x

la solución es: y = e

r dx r dx

y - e x [ f e x xsenxdx + c]

y = e lnx[ j e~lnx x sen x dx + c] = x(- eos x + c)

por lo tanto: y = -x eos x + ex

192) x 2y'+2x3y = y 2(l + 2x2)

Solución

x 2y'+2x3y = y 2 (1+2jc2 ) entonces y'+2xy = y 2 - , ecuación de Bemoullix

multiplicando por y~2 se tiene: y~2y'+2xy~xx 2

sea z = y 1 => — = -y 2y' reemplazando dx

+2xz=— -— => -----2xz=-------— , ecuación lineal donde la solución es:dx x2 dx x2

83

- f - 2 xdx f [ -2 xdx (l + 2 x 2 )Z — e J I — I p j ------ 4----

r r \ -2xdx (l + 2x~) , _[ - U J ----- - d x + c]

J X

= ^ [ - j dx + c] = e"2 [ J r f ( ^ - ) + c]

1 1 *2 por lo tanto: — + — + cey *

2 2 2 x - y - aSolución

2xy dx x 2 - v 2 - a 2 ¿ dx 1 __ y 2 +a2 ,y —-------- ------- — = ---------------- de d o n d e --------- x = ----- ----- x

x 2 - y 1 - a 1 dy 2xv dy 2y 2y

. . dx \ 2 v2 + ¿z2multiplicando por x se tiene: x —— — x = ------ -----y dy 2 y 2 y

0 dz dx . \ dz \ y 2 + # 2 , A Asea z - x => — = 2x — , reemplazando — —— —— z = ----- ----- de donde

dy dy 2 dy 2 y 2y

1 cuya solución es: J « y'*«, )dy+c] dondedy y y J

1 2 + a 2p (y ) = ---- y q(y) = -----a reemplazando se tiene:

r J v y + a[ - le y - -------- dy + c]J v

2 2 2

: = e ln;l'[-1 —-—- dv + c] = y ( - y + — + c) entoncesJ y 2 ' ' y

84

z = - y 2 + a2 +cy porlotanto: x 2 + y 2 - a 2 =cy

194) 2 senx.y'+y eosx = y 3 ( x eosx - sen jc)

Solución

2 sen x ./+ y eos x = y 3 (jc eos x - sen x) de donde

dy c tg x 3, x e o s* -se n * .. ,— + —-— y = y (----------------- ), ecuación de Bernoullidx 2 2 sen*

multiplicando por y 3 se tiene: y 3 — + c ^ x y 2 — j [cosx_senxdx 2 2 sen x

sea z = >,-2 =* — = -2y~3 — reemplazando - 1 ^ +£ÍM ÍZ=£ £ £ ? Í Z ^ dx dx 2 dx 2 2senx

dz—— c tg x.z = -(xc tg x - 1) ecuación lineal cuya solución es: dx

-\-cX%xdx f f-rtgjr dxz - e f J e (xctgx — X)dx+ c]

_ lnsenjc«- f - ln se n jr / . nz - e [- \ e (x c tg x -l)ax + c]

_2 r fx c o s x -s e n x ,y = sen x[ - 1 --------- -------- dx + c] entonces:J sen x

— 2 X Xy = sen x[¿/(--------------------------------------) + c] = sen x(------h c) por lo tanto:sen x sen x

l— = x + c sen x

85

Solución

3x2 dx x3+y + l , , ,y'=----------- => — = -------— de dondex3 + y +1 dy 3x

- — x = - +— x 2, ecuación de Bernoulli dy 3 3

2 . 2 <X 1 2 V +1multiplicando por x se tiene: .v ^ " 3 * = —

2 dz . 2 dx . , 1 dz 1 V + lsea z = x => — = 3x — reemplazando - - - z = ——tfy dy 3 dv 3 3

de donde----- z = y +1, ecuación lineal cuya solución es:dy

z = e dy[je^ dy (y + l)dy + c]

z = ey[je y(y + l)dy + c] => x 3 =e-'[~e v(y + l ) - e y +c]

por lo tanto: x 3 = - y - 2 + cey

■ X+ 2 _ d - * V^ je2 H-a:-I-1 (x2+Jf + l)3/2

Solución

Multiplicando por y 2 se tiene:

•* + — /t 2 \y“V + ^ — — y ~ l = — — * 3/2 —d)

JC + *+1 (JC + * + l)3 2

1

sea z = y 1 => — = - y 2y V reemplazando en (1)dx

dz 2x + \ l - x 2dx 2 ( jc 2 + jc + 1) ( x 2 + jc + 1)

dz 2x + l x 2 -1

3/2

= —i— ------ ttt , ecuación lineal cuya solución es:dx 2(x2 +x + l) (x2 +x + l)3/2

r 2x+\ c 2x+\z. (*2 -D ^ +c]

J (x2 + * + i )3/2

— lníjc-+jc+l) f I„C*2+.v+1) (x2 - l)z — e * [\e —i----------ttv dx + c]

J (x2 + x + d 3/2

2z ^ - J x 2 + jc + l [ f —— ----^-— dx + c] = ^lx2^ x + l [ [ - d (———-----) + c]

J (x2 +* + l)3/2 J JC2 +JC + 1

Z = 4 x 2 + JC + 1(----- ----- + C) = ----j-..* +Ca/x2 + JC + 1jc + jc + 1 V*2 +x + l

-i x ny = — p- 7 + c^x +jc + 1^ x 2 +x + l

m 3 y ^ ^ L - - L ^ - f >X(x~ — ci^) y 2 x — a~

Solución

87

, 2 . x2 +a2 1 *(3jc2 - g 2)Multiplicando por y ¿ se tiene: 3 y y + ^ >' “ ^2 _ a 2

sea z = y 3 => — = 3 y 2 y \ al reemplazar se tiene:djc

ffe , ■y2 +fl2 - _ ecuación lineal cuya solución es:

_r_£±5l_rf, , f x?fl ~<fa vnvJ - f lJl■ í *(**-*) [ f e ^ -^ - d x + c]

j JC - f l

ln_ ^ f f ln¿±íl) ^3,2- fl2)z = e ¿ - ' [ W / 'dx + c]J x - ax “ - a

z = - ^ [ \ O x 2 - a 2)dx + c) = ^ - T [xi - a 2x + c] x 2 - a 2 3 x - a

2 2 CX por lo tanto: y - x + _ fl2

198) (l + x 2)y' = xy + x 2y 2

Solución

2 —2 , x —1 Xy__ £ _ y =— y2 multiplicando por y se tiene: y y - ^ r ~ i y— y — — — _ y u i u n i p u v a u u u p v i j o w i , v u v . y . / 2 J 1 . y 2

1+JC2 1+x2 1 *2

sea z = y - ' =* — = - y _2y' entonces ---- ^ z = ^ , ecuación lineal.dx d* l+x l+x

- [ - 1 —d x , f - A r * v;2z = e ¡ ,+x2 [ f e 1+jr (------- T)dx + c]

j 1 + JC

88

z = e 2—— ln(l-f-Ar2 > r i ln ( l+ ^ 2) ~ 2

M e 2 ---- 7¿* + c]J 1 + jc2

1 r jc2 = .-■■■■■■. [- dx + c] por lo tanto:4i+ 7 J

i i( - — Vl + x 2 + — ln[x + Vl + x 2 ] + c

A f - ±<*+»V1 + jc 2

Solución

_2 2 y 1 ?Multiplicando por y se tiene: y " v'+ —— = — (jc +1)

1 + jc 2

sea z = y “1 => — = - y ”2y ', reemplazando en la ecuación: dx

— = - - ( x + l ) 3 => — — — = - ( x + l ) 3 , ecuación lineal cuya solución e ¿/jc 1 + jc 2 ¿ jc 1 + jc 2

¿x c dxr dx f dx

z = e J l+x[ j e J ,+x ~ ( x + l)3dx + c]

z = e ,n(,+*)[ fe - ' n(,+x>± (l + x )3 dx + c]

z = (1 + x)[ J + dx + c] por lo tanto:

1 +— = — —— + c(l + x)V O

200)

201)

(x 2 + y 2 +1 )dy + xydx = 0

Solución

xy — + x 2 + y2 +l = 0 =» — + — x = - x 1, ecuación de Bernoulli dy dy y y

dx 1 2 y +1 multiplicando por x se tiene: x — + — x = ----- ----dy y y

sea z = x 2 =» — = 2x — , reemplazando en la ecuación dy dy

1 dz 1 y2 + 1 dz 2 a v i i - ^-----+__Z==_Z------ ^ — 4— z = _2(i------ ), ecuación lineal cuya solucion es:2 ¿y y y dy y . y

¿/y+ c]

z = e - ^ y [_2 ¡ e m y ( ^ - — )dy + c] => x 2 = - ^ f " 2^ + + c]J v v 4 2

por lo tanto:

/ = 2y lny + y- j cSolución

¿/;t _ 2x ln y + y - x dy x

— + L x = 2 \ny + l , ecuación lineal cuya solución es:¡ dy y

90

- J - f J -z = e v fj e y (21n y + \)dy + c] entonces:

,z ~ e ln) [ J e lnv(21n y + Vfdy + c] =$ x = — [J (2y ln y + y)dy + c]

Qpor lo tanto: x = y ln y + —

202) x(x - l)y ’+y = x 2 (2x - 1)

Solución

1 (2jc - 1) + ~ (--ñ =---r x ’ ecuaci°n üneal cuya solución es:— 1J X ~ X

r dx r dx

y = e 4*4) [ í j ^ ) x< ^ I ± )d x + c]J x - l

1 / x X , JC—1jc-T r f T / 2 x ~ l w y = e x 1 [ j e x x(— — )dx + c]

J x - l

y = - ^ — [ \ (2 x - l )d x + c] => y = - ^ —(x2 - x + c) X - l J x - l

por lo tanto: y = x 2 +-

x - l

.2 , CX

x - l

•*W) y ' - y tgx = sec;c, y|^=o= 0

Solución

- f - t g xdx f f - tg jxdxy = e \ \ e J sec xdx + c]

91

204)

205)

eos X

y = e Ulc:>s;c[J e lnsec* secxdx + c] entonces:

C sec xy = L .x x ( ------ dx + c) =secx(x + c ) , parax = 0 setienec = 0l sec x

Xpor lo tanto: y = sec x (x + 0) => y = -

y' eos y + sen y = x + 1

Solución

Sea z = sen y => — = eos y.y ' , reemplazando en la ecuación:dx

+ z = x + 1, ecuación lineal cuya solución es:dx

z - e [ je^ (x + l)dx + c] => z - e * [Je* (x + l)dx + c]

por lo tanto: sen y = x + ce'

y'+ sen y + x eos y + x = 0

-x

Solución

y y 2 y 2 ySea sen y = 2 sen — eos — , eos y = eos — - sen —2 2 2 2

y y i y 2 y ^y '+2 sen — eos — + x e o s ----xsen — + x = 02 2 2 2

y'+2 sen—eos —+ x eos 2 —- x ( l - e o s 2 —) + x = 0 , simplificando2 2 2 2

92

/ + 2 sen —^os —+ 2xcos2 — = 0 2 2 2

2 y ysec “ — y1’+2 tg — + 2x = 0 entonces: 2 2

sea z = 2 tg — => — = sec2 — .y', reemplazando en la ecuación: 2 dx 2

dz— + z = - 2x , ecuación lineal cuya solución es: dx

z - e [ -2 ^ e^‘lXxdx + c] => z = e~x[-2(xex - e x ) + c]

2 tg 2' = ^ + * entonces ig~- = ke x - x + l

206) / - - ^ = é>*(l + x)'1x + l

Solución

- f ——<¿r /• f ——dxy = e ' x+l [I e x+l ex (l + x )ndx + c]

y = e -ninu+DeX(i + Jc)»í¿c + c] entonces:

>- = (x + l)"(c-t +c)

’07) |V(ctt)¿/a = ny/(x)Jo

Solución

93

J ii/(ax)da = nilf(x) reemplazando = n\¡/(x), derivando:

1 ex 1 f x V ( x ) , / x— \\ir{z)dz = n\¡f{x) => — •lf(z)dz + ny /(x )x Jo X Jo x

como f y/(z)da=nxyf'(x) entonces — ^(nxy/(x)) + ^ - ^ - ny/'(x) Jo X2

(1- « ) , y / ' ( x ) _ \ - n¥ { x )L - - = n ¥ {x) entonces: —

integrando ln(y/tx)) = ln x. (-— ) + In cn

i-n

ln y/(x) = ln c.x " entonces: y/(x) = c.x n

- x 2 2y'+xsen2y = xe eos y

Solución

2

y'+xsen 2y = xe~x' eos2 y => sec2 y.y’+2xtg y = xe~x

sea z = tg v => — = sec1 x y .y \ reemplazando se tiene J - + 2xz =dy “X

z = e~i2xáx\ j J 2xdxXe~x~dx + c\ entonces tg y = e~x [Jxdx + c]

xe~x - x 1por lo tanto: tg y = —- — + ce

En los problemas que se dan a continuación hay que hallar las soluciones de las ecuaciones que satisface a las condiciones indicadas.

209) y'-2xy = eos x - 2x sen x , y es una función acotada cuando x ->oo

Solución-f-2xdx f f-2xdt

v = e J [I e J (eosx-2xsenx)dx + c]

y = e A [Je~x (eosx - 2 x senx)dx+c] entonces:

y - e x [Jd(d~x senx) + c] => y = e x (e x senx + c)

. x2y = 3 sen x + ce como sen x varia entre -1 y 1 además y es acotada cuandox —>qo => c = 0 , por lo tanto: y = sen x

210) i j x y ' - y = - sen V* - eos V* , y es acotada cuando x ->oo

Solución

, 1 senV *+cosV * ., ..y ----- t= y = -------------7=-------- , ecuación lineal cuya solución es:2v * 2V*

_ e~^TJ7{ f sen^x+cos^xy = e f , l^ ~ V £ ± c o w « 1 i4 x

J 2Vjc

y = e^[J</(e“ cosVx) + c] => y - eos~Jx+c)

y = eos a/x + c e ^ como eos x varia entre -1 y 1, además y es acotada cuando

x-H -a o = > c = 0 por lo tanto >■ = eos Vx

95

211) ln 2 = 2sen x (eos x -1) ln 2 , y es acotada cuando x -*+oo

Solución

y = e - \ - la2<lx[j J - ln2dx2 senx( c o s x - l ) l n 2 dx+c]

y = e xln2[ j e - xla22seBX (eos x -1) ln 2 dx + 1 ]

y = e xla2[ j d (e~x]n2 2 ieax )+ c]

y = e xln2(e~xln22senx + c) => y = 2 senx +cexln2

como sen x varia entre -1 y 1, además y es acotada cuando x ->+oo => c = 0

por lo tanto: >' = 2sen'

212) 2 x 2y '-xy = 2x cosx -3 sen x , y -> 0, cuando x->+oo

Solución

1 2 x co sx -3 sen xy ------y = ------------ ---------

2x 2x

- f f f t 2 x co sx -3 se n x ,y = e J 2jt[j e * -------- ------------- dx + c]

lnjr lnx— r —t - 2 x eo sx -3 se n x v = e 2 [ \ e 2 (--------------5--------)dx + c]

J 2x

/— r sen x /— sen x sen x r~y = J x [ ] d ( - j jY ) + c ] => y = 'Jx(—^jY+c)= - +cV*

como sen x varia entre -1 y 1 además y —» 0 cuando x ->+oo => c = 0

96

por lo tanto: y = -~n *

, sen 2 xy senx - y eosx -------- -— , y —> 0 cuando x -> oox

Solución

. * sen xy c tg x.y - ------— , ecuación lineal cuya solución es:

x

- j - c tg x d x f j - c tg xd x senxv ,y = e J [ \ e } (-r~)dx + c]

J x ¿

.. _ ln(senx)r f lnsenjr^COSXy - e L“ J e (— Y~) * + entonces:

J x

„ f dx i senxy = senx[-J — c] => y = — — + csenx

como sen x varia entre -1 y 1 además y -» 0, cuando x r=> c = 0

por lo tanto: y = senx

(1 -f x 2) ln(l + x 2)y '-2xy = ln(l + x 2) - 2x aretgx , y - ^ - ~ cuando x->-oo

Solución

dy 2x 1 2xarctfíc//v ,1 . 2x, * 27^ — 2 “ ~ ---------r » ecuación lineal, la solución es:dx (l+xz)ln(l+x2) 1+x2 (1+x )ln(l+x )

f - 2 x d x f -2 a ¿v

v = í? MMbO+j:2) r f J(l+*2)ln(l+jr2W 1 2x.arctgxJ 1 + x2 (l + x2)ln(l + x 2)

= e ln(ln(l+Jc2))r f ( --------------- 1--------1—------------ 2 x . a r c t g y x + c,j

j (l + x 2)ln(l + x - ) (1 + x )ln(l + x )

y = ln(l + x 2)[ f d( arctg^_) + c]•> ln(l + x )

n, r arctgx ,y = ln(l + x )[------^ + 1

ln(l + x )

y = arctgx+ cln(l + x 2) , para y - > - | , cuando x ->*> => c

por lo tanto: y = arctg x

215) y' - exy = -y s e n —-e * eos—, y —> 2, cuando x —>-oo x * x

Solución

= ^ f e dx[J e sen —-e * eos —)dx + c]

y = e€ [[e~e (-^-sen —-e * eos —)dx + c] x 2 * x

y = ke\ J d ( e ~ eX cos^-) + c] => y = ee [ e e co s^ + e]

y = eos — + ce6 cuando y ->2, x -> -oo x

1^ - eos —

c _ _________ £ => c = 2 - 1 => C = 1 , por lo tanto:

1y = e -heos —x

98

216) y ' - y l n x = - ( l + 21nx)x *, y - * 0 cuando x-»+qo

Solución

- f - ln .v f í - lnj ráry = e J [-1 eJ (l + 21nx)x dx + c]

y = e xlDX-x[ - ¡ e x~xln* (1 + 2 In x)x Xdx+c]

y = x xe~x [ - J e x (1 + 2 ln x)x~2xdx+c]

y - X xe~x[ jd ( e x jc~2x )+c] => y = x*e~*(e*jc~2x +c)

y - x ~ x +cxxe~x para y->0, cuando x->oo => c = 0

por lo tanto: y - x~x

99

ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS, FACTORi n t e g r a n t e !


M(x,y)dx -f N(x,y)dy = 0 ... (1)

Se denomina ecuación diferencial exacta si su primer miembro es la diferencial total de una función u(x,y)

du duMdx + Ndy = du = — dx + — dy

ox oy

la condición necesaria y suficiente para que la ecuación (1) sea una ecuación diferencial exacta es que se cumpla la condición.

dM dNdy dx

. . . (2)

La integral general de la ecuación (1) tiene la forma u(x,y) = c, o bien.

í M (*, y)dx + P N(x, y)dy = cJx0 Jy0

... (3)

En algunos casos, por cierto muy excepcionales, cuando (1) no representa una ecuación diferencial exacta, se consigue hallar una función u(x,y) tal que al multiplicar el primer miembro de (1) por ella, resulta una diferencial total:

du = u Mdx + u Ndy ... (4)

Tal función u(x,y) se llama factor integrante, según la definición de factor integrante se tiene:

duM d Ar A . . K1du A du .dM dN.------ = — uN de donde N - — M — = (—------- —)u

dy dx ox oy oy ox

consideremos los siguiente casos:

100

Primer Caso.- Si u es una función solo de x.

r: f ^u dM dN duEntonces: — = 0 => u(------------ ) = N —dy dy dx dx

du i M N du 1 dM dN J— - — ( ) de donde — = — (—-----— )dx = f ( x ) d x , integrando se tiene:dx N y x u N dy dx

\

ln u = J f ( x )d x => u = e ¡ f {x)dx

Segundo Caso.- Si u es una función solo de y entonces:

dU . . ,dM dN t r du— = 0 luego m(—-------— ) = - M —ox dy dx dv

du _ u dM dN du 1 dM dN , Jdedonde v = _ ¥ (1 7 “ &"Mv = g(v)^ ’ mtegrand0

ln u = \ g ( y ) d y =» u = J sWdy

Integrar las ecuaciones.

217) x(2 x2 + y 2) + y ( x 2 + 2 y 2)y '=0

¡M = x (2x 2 + y 2)

[N = y ( x 2 + 2 y 2)

Solución

dMdydNdx

= 2xy

= 2xy

Luego dM _ dN dy dx

la ecuación es exacta

101

218)

df(x ,y ) d f(x ,y )» 3 f ( x , y ) tal que v. • = M y

Sx 5v

d /fo -jj. = x(2x2 + y2 ) integrando respecto a x.cfcc

4 2 2

f ( x , y ) = j x ( 2x 2 + y 2)dx + g(y) = ^ + ~ - + g (v ) , derivando

- x 2y + g ' (y) = N entonces x 2>y + g '(v) — y(x + )5v

g ’ (^) = 2 ^ 3 => g(y) = + c , reemplazando en la función

f ( x , y ) = — + — + — + c porlotanto: x* + x ~ y 2 +y2 2 2

(3x2 + 6x y 2 )dx+(6x 2y + 4;y3 )dy = 0

Solución

\m = 3x2 +6xy2

[N = 6x 2y + 4 y ì

= 12 xyd M _dy

8N 10 — = 12xy. dx

Luego = la ecuación es exactady dx d f(x ,v ) , , d f(x ,y )

Entonces 3 / (x , v) tal que — ^ - — = M y — = N

y) _ 2x 1 + 6xy2 integrando respecto a x. dx .

102

f ( x , y ) — -V3 +3x 2y 2 + g(y) derivando respecto a y

df(x,y) á 2 , , r— ---- = 6x y + g (y) = Ndy

6x y + g '(y) = 6x 2y + 4 y 3 entonces g '(y ) = 4j>3 entonces g(>') = y 4 +c

f ( x , y ) —x 3 + 3x2_y2 + y 4 + c por lo tanto: /. x* + 3 x 2y 2 + y 4 =k

2I9) < - ì = - r + i + i ) * + < - T ^ - T + J - - 4 ) « ' - ('V* + / x y 4* + y y y '

Solución

x 1 1 M = ■ .— = + —+ —^

y i X_____ i_ __■yfx2 T y 2 y y 1

xvdMdy (x 2 + y 2)3/2 y 2

xy

T dM dN 1Luego —— = —- la ecuación es exacta

<7y dx

Entonces 3/(x,_y) tal que df{X' y) = M y Q B g É . = n de dondeox dy

à f(x ,y ) _ x 1 13x Vx2 + y 2 * .V

integrando respecto a x.

f {x ,y ) f( i~—-----------_ + + ) i £ r + g ( _ y ) —ifx~ + y 2 +lnxH---------- h g(y), derivandoJ r + v¿ x y yJ Vx2 + y2 * >

3 /(x ,y) _ y= — +g'(y) = N

103

220)

^jx2 + y 2 yr +«'CK) =

1 Xr + ------

J 7 + 7 y y

g' (y) = i . => g(y) = lny + c', reemplazando en la función:

f ( x , y ) = J x ^ + y ^ + ln x+ — + ln y+ c por lo tanto

J x 2 + y 2 +ln xy+ — = kv ' y

(3x2 tg y -^ Y -)d x + (x2 sec2 y + 4y3 + ~ - ) d v = 0

Solución

2 2/M = 3x tg y -----—x

1 3N = x 3 sec2 y + 4y3 h

dM ~ 2 2 6y-----= 3x sec y ------ r-dy x

dN , 2 2 6.v2----= 3x sec y ------ ydx x

Lueg0 la ecuación es exacta, entonces:dy dx

Qf (*> y ) _ 3x2 tg y - integrando con respecto a x.a* x3

f ( x , y ) = \ ( 3x 2t g v - ~ - ) d x + g(y) = x 3 tg y + ^ y + g (y ), derivando

¥ ( x , y ) 3 2 3y ,, „ Ar— ------= x sec y + - y - + g (y ) = JV

oy x

3 2 3 2

x 3 sec2 y + - ^ - + g ’(y) = X 3 sec2 y + 4y3 + -=y entonces

g ’(y) = 4 y 3 entonces g(y) = y 4 + c , reemplazando en la función:

/ ( x ,y ) = x 3 tgy + -y + y 4 + c por lo tanto: x

33 4 V ,x tg y + y + ~ = k .

x

221) (2x + 4 ¿ ) d x = ^ l ^x 2y xy2

Solución

M =2x +x 2 + v2

x 2y

N = -x 2 + y 2

A^2

rW 1 1■ — + —ry x-dy

d N ____I_ax " / + x 2

dM dN tLuego -----= ----- la ecuación es exacta, entonces:

dy dx

3 / 0 , y) tal que —- = M y —■ = A/- de dondeox

d/(x ,y) x 2 + y 2 .—------— = 2x + — -- integrando respecto a x se tiene:

S* x y

/• ^ | y ^ y

f ( x , y ) = (2x + ---- —— )dx+g(y) = x 2 + -----— + g (y ) , derivandox y “y x

105

dy y x

X 1 X 1• —r--------------------------------------------------------------------------------- f- g ' (y) = ---- ---------- entonces g' (^) = 0 => g(jy) = c reemplazando:j '2 * v2 *

f ( x , y ) = x 2 + — - — + c por lo tanto:.V x

2 * Vx + ------- --= ky x

sen 2x sen2x x , .222) (—------ + x)dx + (y — —x— )dy = 0y y

sen 2x M = -------- + x

N = v - sen2 x

Solución

dM sen 2xdy y 1

dN _ 2 sen x. eos x sen2xdx y 2 y 2

dM dNLuego -----= ----- la ecuación es exacta.

dy dx

Entonces 3 / (x , y) tal que =M y - = N de dondedx dv

d f (x, y) _ sen 2x 5x

+ x integrando respecto a x

sen 2x+ x)ífr + g(.y) = - cos2x x .---- — + _ + g^y} derivando

2y 2

dl ^ ^ + g <(y ) = N dy 2y 2

106

223)

— — +g W = y -------—2 y 2 y 2

eos 2x sen2 x

, , . sen2 * eos2 x sen2 xg (y) = y -------- -------------- 5 - + —

y 2 2y2 2 y 2

8 '(.v) = y ------ r => g(y) = + -^- + c , reemplazando en la función2 v 2 2 y

/ ( x , v )= - ^ + i L + X + > - + t;-= --COS X + Sen~JC+ f _ ± Z l + _ L = ^2_y 2 2>> 2 2y 2 2y

1 sen2 jc x 2 + y2 12 y + y

i---- 1-----= fc2 2 y

por lo tanto: sen2 x x 2 + y2 . , --------+ ------ =---= k

(■ • -— + 2x y - —)dx + (-Jl + x 2 + x 2 - \n x )d y = 0Vl + * 2

M = - A = + 2xy - yVi + x

+ x 2 + x 2 - l n x

Solución

SM x+ 2x-

^ ^/l + x 2a v x , i— = - 7= + 2 x —

^ “vi + x 2 x

dM dN ,Luego —— = —— la ecuación es exacta, entonces :

dy ñr

3 / (x , tal que — ■ *»^ = Af y = TV de dondeese dy

107

ñ — — X_V----1- 2x y —— integrando respecto a x se tiene' *

f ( x , y ) = y-jl + x 2 + x 2y - y ln x + g (y ) , derivando

Qf(x ' y ) =-y/l + x 2 + x 2 - ln x + g '(y) = Ndy

-Jl+~x* + x 2 - ln x + g '( y ) = Vl + * 2 + x 2 - ln x

g '(y ) = 0 => g(y) = c reemplazando en la función:

/ ( x , y) = yV1 + x 2 + x 2y - y ln x + c , por lo tanto:

y j l + x 2 + x2v - y \ n x = k

xdx+ydy + xdy - vdx _

■p- + y 2 + * 2

Solución

agnlpando+.V2 *

d ( J x 2 + y 2 ) + rf(—) = 0 integrando término a términov ' x

|d (^ /x 2 + y 2") + Jrf(—) = ¿* entonces: -sjx2 + y 2 + ~ = c

(sen v + ysenx + —)dx + (xcos y -c o s x + —)dy = 0r x y

Solución

226)

M = sen y + y sen x + — x

N = x eos y - eos x + —7

dydN_dx

eos y + sen x

= cosy + senx

dM dN ,Luego —— = —— la ecuación es exacta, entonces :

dy ¿k

3 / ( x , y) tal que d^ x ' y) = m y S Í J ^ I l = N de dondedx dv

d f(x ,y ) 1 .= sen y + y sen x + — integrando respecto a x.

OX X

f ( x> y) - J (seny+ y senx+ + g(y) = x seny —y cosx+ lnx+ g(y) derivando

d f(x ,y )dy

= x c o sy -c o sx + g ’(y) = N

x c o s y -c o s x + g '(y ) = x c o sy -c o sx + —y

g' (y) = — => g(y) = ln y + c reemplazando en la función:

f ( x , y ) = x sen y - y eos x + ln x + ln y + c , por lo tanto:

x s e n y -y c o s x + ln(xy) = £

y + senxcos xv . , x------------ -ax + (------------- ----- + seny)dy = 0

eos xyeos2 xy

Solución

109

M =y + sen x. eos xy

eos xy

N = 2eos xy+ sen v

-----= sec2 xy + 2xy sec2 xy. tg xydySN 2 o 2 t — = sec xv + 2xy sec xy. tg xydx

dM dN , ., .como -----= ----- la ecuación diferencial es exactady dx

entonces 3 f ( x , y ) tal que y ■ - N de dondedx dy

d f (x, y) y + sen x. eos xydx eos2 xy

integrando

/ ( x , y ) = J(y s e c 2 xy + senx)dx + g(y) = tg x y -co sx + g (y ) derivando

df(x,y)dy

= xsec xy + g '(y )= N

xsec2 xy + g ’(>>) = ----- :— + senyeos2 xy

g ’ (y ) = sen >> => g(.y) = - eos y + c reemplazando en la función:

f (je, y) = tg xy - eos x - eos y + c , por lo tanto:

tg*y - c o s x -c o s y = k

228) ^ d x + 2-— dy = 0 , _Ht=1=1y \ y>

X Solución

110

. dM dNLuego —— = —- la ecuación diferencial es exacta, entonces:

dy dx

d f (X y) y + sen x eos 2 xy .dx

integrando respecto a x se tiene:eos xy

f ( x ,y ) = J ( j s e c 2 xv + senx)¿/x + g(y) = tgxy -c o sx + g(y) entonces:

¥{x , y )dy

= x sec xy + g '(y) = N

9 Xx sec xy + g' (y) = ---- -— + sen yeos“ xy

g ,( j ) = sen>; => g(y) = -c o s y + c reemplazando en la función

f ( x , y) = tg x y -co sx -co s .y + c , por lo tanto:

tg xy - eos x - eos y = k

[n eos(nx + m y )-m sen(wx + ny)]dx + [m eos(nx + my) - n sen(wx + ny)]dy = O

Solución

[dMM = n cos(«x+ my) - m sen(rax+ ny) N = m cos(hx+ my) - n sen(wx+ ny)

dydNdx

■nmsQn^ix+my)-nmcos$nx+ny)

=-wwsenfax+my)-nmcos^nxA- ny)

230)

como = — - la ecuación es exacta, entonces:dy dx

3 f(x,y) tal que dí ^ x ,y) = M y - = JV de dondecbc

— n cos(nx + my) - w sen(mx+ny) integrando respecto a x se i enedx

f ( x , y) = J[n cos( mx + m y )-m sen (ms + ny )]dx + g(y)

= sen (nx + my) + eos (mx + ny) + g (y ) , derivando respecto a y se tiene

fo .Zl = cos(nx + my) - n sen (mx + ny) + g' (y) = Ndy

m eos (nx + my) - n sen (mx + ny) + g '(y) = m eos (nx + ny) - n sen (mx + wy)

g'(j;) = 0 => g(y) = c reemplazando en la función

y ) = sen (nx + my) + eos (mx + «y) + c , por lo tanto:

sen (nx + wy) + eos (mx + wy) = k

xdx + ydv + ( 1 + lL ) . ( y d x - xdy) = 0^í(x2~+v2 ) ( \ - x 2 - y 2) y J y 2 - x 2 -v"^í^?~+y2) ^ l - x 2 - y 2) y j }

Solución

xdx + ydy

J ( x 2 + y 2 ) ( l - x 2 - y 2) y j v 2 - x+ (— __ + — r-).(ydx- - xdy ) = 0

d(^ x2 + y 2 ) [ y d x -x d y _x/v (ydx-xdy)

-Ji—(x2 + y 2) y^Jy — * v2

112

d(arcsem/x2 + y 2)+ d(aresen—) + e ' v d(—) = 0 , integrando término a términoy y

d(arcsen J x 2 + y 2 )+ fd(arcsen —) + í e x/yd(—) = cJ y J y

aresen J x 2 + y 2 + aresen — + e Jf'/<v = cy

231) (— sen-------eos — +1 )dv + ( - eos - -------- sen — + -^r-)dv = 0y y x 2 X X X v2 y y 2 ’

Solución

1 x v y . m 1 X=—sen----- “ Cos—+1 ----= — -se n -y y x 2 x dy y y1 „ y X y 1 dN_ 1 X— cos------ - sen—+—X X y 2 y y 2 dx~"

_ seny v

y x 2

1 y y yeos— h—— sen—

x x xx x 1 y y y— eos------ - eos^ + -~ sen^v y x x v3 jt

5M fflVcomo —— = —— la ecuación es exacta, entonces:

dy dx

3 f(x,y) tal que =M y d * ' y) = N de dondedx dy

dx1 X y— sen —y y x 2

1 X yí— sen—-- - ~ cy y X2

,z.x

y

d f(x ,y ) x x 1 y ---------- ~ — 2 sen ~ + ~ cos—+ g (y) = Ndy y y x x

113

x x 1 y . 1 y x x 1---- -se n —+ - c o s —+ g (v) = —eos--------r^sen —+ —5-v 2 V x x x x v .V J'

g'(y) = - \ y

g(y) = -+ c reemplazando en la función

x y 1f (x , y) - - eos — + sen — + x ---- + c , por lo tanto:y x y

V-------- x 1 sen---- eos — + x —- = k

232) y ( x 2 + y 2 + a 2 )dy+x(x2 + y 2 - a 2)dx = 0

Solución

dM\M = x(x 2 + y 2 - a 2)

\ N = y ( x 2 + y 2 + a 2)

dydNdx

= 2 xy

= 2xv

dM dN . .. ,Luego -----= — la ecuación es exacta, entonces:dv dx

3 f(x,y) tal que = M y — = N de dondedx

df(x,y)dx

= x (x 2 + y 2 - a 2) integrando respecto a x se tiene:

f x A x 2v 2 a 2x 2f ( x , y ) = j x ( x 2 + y 2 - a 2)dx+g(y) = — + - y - - - y - + gOO, derivando

df(x,.v)dy

= x 2y + g '(y) = N entonces: x ¿y +g '(y) = y ( x 2 + y 2 + a2)

114

y4 a 2 v2g'(y) = y + a 2y => g(.v) = — + —| — + c reemplazando en la función

. x 4 x 2y 2 a 2x 2 v 4 a 2y 2f ( x , y ) = — + ~ -------- + £ _ + _ i _ + c4 2 2 4 2

por lo tanto: x 4 + y 4 +2x 2y 2 - 2a 2x 2 + l a 2y 2 - k

233) ( x 2 + y 2 + \ )d x -2 xyd y = ti, n = <p(y2 - x 2)

M - x 2 + y 2 +1 N = -2xy

dMdydNdx

Sk>lución

= 2 y

= -2 v

, dM dN ,Luego —— * —— la ecuación no es exacta

dy dx

Sea = = =N y dy dx - 2xy x

2dx

u = e

(x + y 2 +l)dx— —dx — 0 ósea M =\ + ~ - + -^— entonces:* * x 2 x 2

dM 2 y dy x 2

dM dN ,como —— = —— la ecuación es exacta, entonces:

oy dx

115

234)

3 f(x,y) tal que í O í lZ i = M de donde ^ ^ - - = l + ^ + - y integrandodx dx x x

f ( x , y ) = x - —----- -+ g (v ) derivando - - = - — + g ' ( v) = N entonces:x x dy x

-?^L+ g '(y) = => g '(y ) = o => g(y) = c reemplazando en la funciónx x

y2 1.f(x, y) = x - ~ --------+ c , por lo tanto:x x

y 2 - x 2 +1 = kx

( \ - x 2y)dx+x ( y - x ) d y - 0 , n = <p(x).

Solución

\ M = \ - x ly

U = x 2( y - x )

^ = - * 2 dydN . 2— = 2.W-3.Vdx

dM dM , como -—- * ----- la ecuación no es exacta.dy dx

_ n . 1 .dM dNSea f ( x ) = — (— " — ) = 2N dy dx x ' ( y - x ) x ( y - x )

, multiplicando a la ecuación diferencial... , 2 ¡f(x)dx 1f ( x ) = — => y = eJ = —

X X

-¡j- (1 - X2y)dx + (y - x)dy = 0

116

M = - y - Vx 2 ’ =>

N = y - x

dM dN

dMdydNdx

= -1

= -1

como -----= ----- la ecuación es exacta, entoncesdv dx

3 f(x,y) tal que - m y = N de dondedx dv

d f(x ,y ) 1 dx x 2

■y , integrando respecto a x se tiene:

f ( x , y) = - ~ - xy + g (y ), derivando = -x + g' (y) = Wx dv

-*+£'00 = y - x g\(y) = y => g(.V)=-~- + c reemplazando en la función

1 v/(x ,y ) = ---- -xy + --------he , por lo tanto:x 2

xy2 - 2x 2 y - 2 - k x

235) (3x2y + y 3)dx + (x3 +3xy2)dy = 0

Solución

dM _ 2 2-----= 3x +3vdy

¿wdt

= 3x2 +3 v2

117

w-

236)

118

como ® L = P1L la ecuación es exacta, entoncesdy dx

df(x ,y ) _ ^ 2y ^ y 3 integrando respecto a x se tiene: dx

f ( x , y ) = x 3y + xy 3 +g(y) derivando ^ = x 3 +3xy- + g '(y) = N

x 3 + 3y 2x + g ' ( y ) = x 3 +3y zx entonces g'(y) = 0 => g (y ) -c reemplazando.3 , 1..2

f(x ,y ) = x3y + xy3 +c

por lo tanto: /. x*y + xy3 =k

xdx + y d y + x(xdy- ydx) = 0 , u - \ j / ( x 2 + y )

Solución

A la ecuación dada se escribe en la forma siguiente:

(x - yx)dx + ( x 2 + y)dy = 0 entonces:

M *=.x-yx

U = x 2 + y

mdy

dNdx

- = - x

como ±,-£L la ecuación no es exacta. dy ' dx

2 2 dz -> dz _ ? vSea z = * + y => ’ - >Sx dy

u = y/(x2 + y 2) => u = \|/(z) => lnu = ln\|/(z)

31nw 3 ln u dz _ 31nw— — = — — = 2x-------

dx dz dx dz

31nw dlnw dz . Slnwr — = — — •— = 2y — — , por lo tanto se tiene: dy dz dy dz

dM dN xrd lnu d lnu----------— = N —------ M -------dy dx dx dy

dz dz

- 3 x = (2x3 + 2 x y -2 xy + 2x y2) d(\nu)dz

3 , 2 , 2x3(lnw) d(lnu) 3- - . ( X + => - i — - z2 dz dz 2

zn \ 3<*z t 3 , 1 id(lnu) = —— => lnw = - —lnz entonces u - — r r r - => u =2z 2 z 3/2 ( j ’ + j ,*)*'2

(x-x$dx+(x+y)dy=Q, a esta ecuación le multiplicamos por el factor integrante:

x 2 - x y x 2 + y J ^T I ivv/T + ----- TTrT = ® * poniendo bajo diferencial( o r (x ¿ + y )

j / * “ 1 v „ . , y - 1g(~7= = ) = () integrando — ^f 2 2

237) (x2 + y)d x -xd y = 0, n = <p(x).

Solución

119

\M = x 2 + y \N = - x

dM _ dy8N_ = _ i

. dx

dM dN , como -----* — la ecuación no es exactady dx

.. 1 m dN 1 2sea / ( * ) = — (—— - r - ) = — ( l - ( - l ) ) -N dy dx x x

u~-e - e 2 => W='Tx ¿ x

V 1(x 2 + y )d x -x d y = 0 => (1+—\)d x — dy = 0X X

dM 1dy oc2

é w = J _Cbr " x 2

como = —— la ecuación es exacta, entonces:dy dx

3 f(x,y) tal que = M y d^ X' V-- = N de dondedx dy

d /(*..y) . ydx x 2

f ( x , y ) = x - —+ g (y ) , derivandox

— = - - + g '( y ) = N entonces: + g'O0 = - — => áf'OO = 0 => g(y)dy x x x

120

/ ( x ,y ) = je- — + c , por lo tanto:x x - l = k

238) {x + y 2)dx-2xydy = 0 , ji = <p(x)

Solución

\M = x + y 2 [TV = -2 xy

dM „^ r = 2 -v

,a¡T *

dM dN , como —— * —— la ecuación no es exacta

dy dx

, 1 ,dM dN , 1 2sea / ( * ) = — ( - ---- — ) = - — 2 ; + 2 j ) = -N dy dx 2 xy x

f f(*)d* Í ~ T u = e J =e x =e

(x + y )d* - 2xydy = 0 ■y (*+y 2>d x - — dy = 0

U - U ¿* x 2

_ 2 Z

dM __2y_ dy x 2

dN _ 2 yx2dx - 2

dM dN ,como —— = —— la ecuación es exacta, entonces:

dy dx

3 f(x,y) tal que = M y = N de dondedx dy

entonces

121

df(x,y) 1 y= — + -dx x x

integrando respecto a x se tiene:

f i y 2 v2f ( x , y) = ( - + -^r)dx + g (y ) = In x - — + g(y) denvandoJ x x 1 x

dy x

— +g'(y)=~— => g'(y) = 0, entonces g(y) = c reemplazando en la función x x

y if ( x , y ) = l n x - - — + c , por lo tanto: x l n x - y =kx

239) (2x2y + 2y+5)dx + (2x3 +2x)dy = 0 , n = cp(x)

\M = 2 x 2y + 2 y + 5

\ n = 2x 3 +2x

Solución

dMdydN_dx

= 2x +2

= 6x 2 + 2

dM dNcorno -----* — no es exacta; entoncesdy dx

ri \ .dM dN 1 2 o z - 2sea / ( x ) = — (—------ —) = — T-------(2x + 2 - 6 x -2 ) =N dy dx 2x2 +2x

- 4 x ¿ - 2x2x3 +2x x 2 + 1

- r -2 x d x

u = e ^ ( ) = e *2+1 = e' [n(Jr +1>, de donde w = — -x 2 + l

(2x y + 2y + 5)dx + (2x3 + 2x)dy = 0 entonces

122

j í — (2y ( x 2 +1) + 5)dx + - X(X2 + 1*dy = 0x* +1 x ' + l

(2y-\— -— )dx+ 2xdy = 0 entonces:x 2 +1

M = 2y+

N = 2xx 2 + l

dMdydNdx

= 2

= 2

dM dN ,como -----= ----- la ecuación es exacta, entonces:dy dx

ctr ay

df(x,y) 5 .---------- = 2_v + —----- integrando con respecto a x se tiene:

dx x 2 +1

/ (x , y) = 2 yx + 5 arctg x + g(y) derivando

¥ ( x ,y )dy

= 2x + g '(y) = N entonces: 2x + g '(y ) = 2x=» = 0 => g(y) = c

/ (x ,y ) = 2 x y + 5 arc tg x + c , por lo tanto:

2xy + 5 arctg x - k

240) (x4 ln x -2 x y 3)<fe+3x2y 2</y = 0 , n = <p(x)

Solución

123

m 2-----= -6 jcvdy

dN 2 — = 6 xy dx

dM dNcomo -----* — la ecuación no es exacta.dy dx

\m ~ x a l n x - 2xy3

[ j v = 3 * y

, 1 .dM SN. 1 , . 2 x 2 x 12xy 4 4sea f ( x ) = — (-—— — (-6xy - to y )==-—— = — =>/(*)=— N dy dx 3x v 3x2v x x

j / M d x f--d*= — O X —u = e = e~ ' = e 4lnJr entonces w = —r factor de integración.

(x4 In x - 2xy^)dx + 3x 2y 2dy = 0, multiplicando por el factor integrante

-7 -(x4 \ n x - 2xy i )dx + — dy = 0 => ( ln x --^ -)< ic + - a f v = 0

M = In x - 2 /

jV = 3 /

dM 6y¿ 3y x 3AV 6y2 5« x 3

dM dN ,co m o -----= ----- la ecuación es exacta, entonces:dy dx

3 f(x,y) tal que - yf y —í —1;2 = ¿V de dondedx dy

a f(x ,y ) 2 y 3 .-------— = ln x -----— integrando respecto a x se tiene:

dx x 3

2 v3 3f ( x , y ) = I (ln x - -~ --)dx + g(y) = x ln x - x + + g(y) derivandoJ x x

124

— r — = ~ + g ( y ) = N entonces: -± -+ g '(y ) = J L . => g(y) = c-y X X X

d/ (x, y) 3 y 2 3V2 í v 2

f ( x , y ) = x \ n x - x + —+c, por lo tanto:

jc3(ln jc - l)+ y 3 = kx2

241) (*+senx+seny)<it+cosy<fr = 0 , n = <p(x)

Solución

[dMM = jr+sen x+ seny N = cosy

dydNdx

= eos y

= 0

dM dN , como —— * —— la ecuación no es exacta.

dy dx

r . . 1 .dM dN, c o s y -0sea f ( x ) = — ( _ _ ) = ---- L-------j =N dy dx eos y

(xe* + sen x £ x + sen y ¿ x )dx + ex eos ydy = 0

I M = xex + sen x e x + sen y.e N = e x eos y

dM dN

=>

comody dx

= e cosy

= e x cosy

la ecuación es exacta, entonces:

dMdy dN[ dy

3 f(x,y) tal que 8 * ' y) =A/ y = w de dondedx dy

entonces u = e x

125

242)

df(x ,y )dx

= xe* + e x sen x + e x sen y integrando respecto a x se tiene:

f ( x , y ) = J (xex + e * sen x + ex sen y)dx+ g(.v)

f ( x , y) = xex - e x + e x sen y + e* (sen* ~ cosx2 + g ( v) derivando

df(x ,y ) _ gx CQS y + g '(y )= Ndy

ex eos y + g '(y) = e x eos y entonces g(y) = c reemplazando en la función

r X/sen x -co sxf ( x , y ) = x e x - e + e sen y-he (------- -------- ) + c , por lo tanto:

2ex sen y + l e x (x - 1) + ex (sen x - eos x) = k

(2xy2 - 3 y 3)dx + (7 - 3 x y 2)dy = 0 , p = cp(Y)

Solución

S M A o 2-----= 4xv - 9 ydv

™=-3V2. dX

dM dNcomo ---- * — la ecuación no es exacta.dy dx

\m = 2xy2 -3 y*

[N = 7 - 3 x y 2

sea s iy )= - - r 7 ^ - - ^ - ) = ~~ i - j ( 4xy ~ 6y 2) M dy dx 2xy - 3 y

g i y ) = _ ^ z l y i = - ly \ 2 x - 3 y ) y

g(y) = — y

126

¡g(y)dv í I 1 u = e J =e } = —-

2(xy- - 3 y 3 )dx + (7 - 3xy2 )dy = 0 , multiplicando por el factor integrante

(2x -3y)dx + (— -3x)dy = 0

M = 2x - 3 y

N = ^ - - 3 x ^y

dMdydNdx

= -3

= -3

dM dNcomo — - = ---- la ecuación es exacta, entonces:

dy dx

3 f(x,y) tal que 'V) = M y d/(*,.v) = N de dondedx d\>

df(x,y)dx

= 2x - 3y integrando respecto a x se tiene:

f ( x , y) - J (2x - 3y)dx + g(y) - x " - 2xy + g(y) derivando

df(x ,y )dy

= -3x + g '(y) = N -3x + g '(y) = — - 3 x

./ 7 7 g (y) = —y => g(y) = ----+ c , reemplazando en la funciónv y

f ( x , y) = x - 3 x y ---- + cy

x 2 -3 x v ~ — = ky

127

243) (3y 1 -x)dx + (2y3 -6xy)dy = 0, u=y/(x + y 2)

Solución

\M = 3 yz - x

[N = 2 y 3 - 6xy

dMdy

aNdx

= 6v

= -6v

dM dN , como -----* — la ecuación no es exacta.dy dx

2 , 3z i dzSea z - x + y => u = \f/(z) => — = 1 => —- = 2ydx dv

dM SW du _. 5a------------ -- /v-------M ----- entonces:dy dx wdy «dx

dM dN ^ d ( \n u ) dlnudy dx dx dy

u = vj/(z ) => lnu = in(y(z))

d ln w _ d ln w dz d(ln«)dy dz dy 'V dz

d lnu d ln u dz _ d ln udx dz dx dz

íS y - ( - 6y ) = (2y 3 - 6 x y ) - ^ ^ - - ( 3 v 2 - x ) 2 v ^ * ndz dz

128

12y = (2y3 - 6x y - 6y3 + 2xv) - ^ -dz

, a 3 a , d l n u . . ? d(lnw)12y = (-4v -4 x v ) ------- entonces: ~3 = (y“ + x ) ---------dz dz

d(lnw) = “ —~ => lnu = -31nz de donde u = - ^ - = — — 2z z* (* + y )

------ ------(3 y 2 - x)dx + y dv = 0 agrupando se tiene:(* + y ) ' O+V; )

x - 2 x - V2d(—- —:~T_r) = 0 integrando se tiene: ------ 1— - = c x - y 2

(x + y 2)2 ( x + y 2r

d l n u _ 3dz z

entonces:

= c(x + j 2) 2

129

ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN»NO RESUELTAS CON RESPECTO A LA DERIVADA

I.- Ecuación de Prim er Orden y de Grado n con respecto a y ' .

( /)" +J°i(x,;yX/)" 1 +... + (x ,y) y + P„(x, y) = 0

resolviendo esta ecuación respecto a / , e s decir sean

y '= f \ (x ,y ) , y'= f 2 (x,y),..., y ’ = f n(x,y), (k < n)

las soluciones reales de la ecuación (1).

El conjunto de las integrales.

(¡)l (x,y,c) = 0 , <¡>2(x,y,c) = 0 , ... , <t>k (x,y,c) = 0

donde (¡>¿ (x, y, c) = 0 es la integral de la ecuación.

y'= f j ( x , y ) (i = l,2,...,k) representa la integral general de la ecuación (1).

. . . (2)

... (3)

Integrar las siguientes ecuaciones.

244) y '2 ~(2x + y) y'+(x2 + xy) = 0

Solución

2x+ y±^J(2x+ y )2 - 4 ( x 2 +xy) _ 2 x + y ± ;2 2

y '= x+ y =» y'~y - x => y - c e ~ x - x - 1

y '= x => v = — + c2

130

245) xy '2 +2 xy '-y = 0

Solución

,2 ,- , „ , - 2 x ± J 4 x 2 +4xy - x ± J x 2 +xvxy +2xy - y - 0 => y = ------------------------------------------------------------- -- -------- entonces:2x x

- x ± J x 2 + xv r—-,------y = — ---- --------- => (x ± ^ x ~ + xy)dx + xdy = 0

sea y = ux => dy = udx + xdu, reemplazando en la ecuación

{ x í j x 2 + ux2 )dx + x{udx + xdu) = 0, simplificando

(1 ± -J¡ +u)dx + udx + xdu = 0 => — + ------- — = 0 , integrando yX t/ H- 1 di a/ 1 W

reemplazando se tiene: (y - c)2 = 4ex

246) 4y'2~9x = 0

Solución

147) y ’2 -2 y y '= y 2 (ex - l )

Solución

y ,2 - 2y y '= y 2(ex -1) => y'= y ± y e xi2

131

— = ([ ±ex l l )dx => ln ve = x ± 2 e x' 2v

248) x 2 y'+3xyy'+2y2 =0

Solución

2 2 , , 2 ^ , -3 x v ± J 9 x 2v2 -8 x 2v2 -3xy±.Ty¿ V +3xvv'+2.y =0 => v = ----- — ----- -------------------------------------:— = ----— , entonces2x 2x

y dv dxy ~ - ± . r=> — = — => xy = c entoncesx y x

4 xy dy 2 dx _2/ = ----- 4- =» -<- = -------=> >’ = cx

249) xy'2 -2yy'+x = 0

Solución

, 2 v ± J 4 v 2 - 4 x 2 v ± J y 2 - x 2xy ¿ - 2yy'+x = 0 => y'= —-----— ----------- = :------ ------------, entonces

2* x

(y ± *[y2 - x 2 )dx - jcrfy . La ecuación es homogénea

Sea y = ux => dy =udx + xdu, reemplazando en la ecuación

(ux±4 u 2x 2 - x 2 )dx-x(udx + xdu) = 0 , simplificando

(u ± Vw2 -1 )dx - udx - xdi/ = 0, separando la variable

n 7 , dx du _ . c ? 1±Vw -ld x + xdw = 0 => — + - = = = = 0 , integrando y = ~ x + —* V«2 - i 2 2c

132

250) / 2-2xy '-8 x 2 = 0

Solución

|2 O I Q 2 A _ , 2 x ± ^ 4 x 2 + 32x2 2x±6xy -2 a>’-8 x =0 => / = ----------------------- = -----------, entonces

y '= 4 x => y = 2x2 + c

/ = ~2x => y = - x 2 +C

251) y 'r +(x'+2)ey =0

Solución

y l3 +(x + 2)ev =0 => y' = -(x + 2)17 3 e v / 3, separando la variable

e~yl3dy = - (x + 2)113 dx integrando -3 e~ v/3 = - — (x + 2)4/3 +c4

de donde 4e”>,/3 = (x + 2)473 + k

212 ) / 3- j y 2- * V + * V = 0

Solución

? 3- y / 2- x 2y + x 2y = 0 => v'2 ( v'->’) - x 2 (y '-y) = 0

2 2 X 2(y ' —x )(y'-y) = 0 entonces y' = ±x entonces y = ± -----1- c2

y '= y => y = c e x

133

II.- Ecuaciones de la forma f(y, y') = 0 y f(x, y’) = 0.

Si en estas ecuaciones se puede despejar y f, resultan ecuaciones de variables separables.

Por consiguiente, son de interés los demás casos.

a) En la ecuación f ( y , y ' ) = 0 se puede despej ar y, y = y/ (y ’)

haremos y'= P => y = v(P), diferenciando esta ecuación y sustituyendo

y ' (p )dy por Pdx obtenemos pdx = y/'(p)dp de donde dx = ——— dp , y

x _ f V (P\ dp + c , obtenemos la solución general de la ecuación en forma J P

paramétrica.

y = v(P)

b) En la ecuación f ( y , y ' ) = 0 no se puede despejar y ni y' (o se despejan con dificultad) pero estas últimas pueden expresarse en forma paramétrica mediante algún parámetro t.

dvy = y(t) , y’=y/(0 , (p= , )

dx

entonces dy = p dx = V|/(t) dx , por otra parte dy = y/'(t)dt de modo que:

\i/(t)dx = \j/'(t)dt => dx= ^ ■--- di de donde:Y ( t )

J y/(t)

por consiguiente, obtenemos la solución general de la ecuación diferencial dada en forma paramétrica.

134

- iV V)x= | -—— dt + c V(t)

y = y/(t)

por analogía con el caso b, se puede resolver la ecuación introduciendo un parámetro t.

Integrar las siguientes ecuaciones:

253) y =

Solución

,2 v' dyy = y ey => ~ = P => dy = pdxdx

y = p 2ep => dy = (2p e p + p 2e p )dp

pdx = (2p e p + p 2ep )dp => dx = (2e p + p ep )dp entonces:

x - J + p e p )dp = ep (p +1) + c , por lo tanto:

\x =ep {p + \) + cly = y 2e p

254) y '= e y'/y

Solución

dy_dx

- p => dy = pdx

yl/y P = e ply Inp = -

/ ( * , / ) = 0

135

y = in p\ n p - \ , \ n p - \dy = — -—— entonces pdx = -------— dx(ln/>) (In V)

f ln/7-1x= ----------- d p

J P( lnp)2

x = ln(ln p)-\------- + cIn p

y = In p

255) x = lny'+sen y'

Solución

x = In p + sen p diferenciando dx = — + cos pdpP

dy dy— = p => dx = — entonces: dx p

— = (— + cos p)dp => dy = (1 + p cos p)dp , integrando P P

y = J (1 + p cos p)dp = p(l + sen /?) + cos p + c y por lo tanto:

x = In p + sen p y = /?(! + sen /?) + cos /? + c

256) x = y '2-2y'+2

x - p 2 - 2p + 2

Solución

dydx = 2pdp - 2dp , dx = — , reemplazando en la ecuación

P

----------J dP/>(ln p )

136

dy= (2p - 2)dp => dy = {2p 1 - 2p)dp

y = j ( 2 y 2 - 2p)dp => y = ^ - - p 2 + c, porloi tanto:

257) y = y '\n y'

Solución

y = p In p => dy = ( l+ ln p )d p => pdx = (1 + lnp)dp

l + ln/7 dx = (-------- )d p - J 1 + In/?

d/? entonces:

(1 + ln /?)+ c , por lo tanto:

M K ) y = arcsen / + ln(l + y t2 )

(1 + ln p)x = -------- -L— + c

2y = p \ n p

Solución

y = arcsen p + ln(l + p ) , diferenciando se tiene

dp 2 pdp , dp 2 pdpdy = entonces pdx = - 1

- J i - p 2 i + p 2 ■Ji ~ 2 ì+p 2

137

d x - — t integrando x= í ( — = L = = + ------ j ) d p por lo tantop f i l p i 1+ P 2 J p ^ p 2 1 + /»

1+ J l - p ,x = 2 arctg /? - ln | -------------- 1 +c

Py = arcsen /? + ln(l + /?2)

259) y = (y '- \)ey

Solución

y = (p - l ) ^ diferenciando d y - e pdp + ( p - \)ep dp - p e p dp

pdx = p e pdp => dx = epdp => x - e p +c

\x = e p + c por lo tanto: \

\ y = ( p - l ) e p

260) y 2 * - « 1"*

p 2x = eVp => => dx = - - j - ^ - dpP P

Solución

v p eV p (\ + 2p)

dy = -j e 1/p ( l - 2p) , . t .------ —— dp por lo tanto:

y = e V p (\ + - ) + cPe llpX = ---- r -

138

x{\ + y '2) = \Solución

x(l + / 2 ) = l => x = —i — => — = p => dx = ~l + y ' 2 dx p

1 , -2 pdpx --------— ==> dx = ------- - - - - entonces:

i + P 2 a + p 2)2

dy 2 pdp 2 p 2 dp . _— ----------- T-r => ífy = ----- integrando/> (1+ P 2) 2 (1+ P 2)1

y = - 2 f — - - - -- — haciendo p = tg 0 => dp = sec¿ 0 dO J (1+ P )

yf tg2 0.sec2 0 d6 e ■< c

■-2 \ ------------— -— = -2 i sen 9d0 = -F (1- eos 20)¿0J (1 + tg 0) •> 1

y = —(0 - sen 0 cosQ) + c = -(arctg p -----^ —-) + c1 + p

py = — — - - arctg p + c

\ + p¿por lo tanto:

x(l + / 2 )3' 2 =a

1x = ----l + p 2

Solución

x(\ + y u )i l ¿ =a => x -(1 + / 2 )3/2

dy dy— = p => dx = — entonces: dx p

1 A ~3PdPx = ------- . => dx =(1 + P 2)V2 (1+ P 2)5' 2

£' y = -----^pdp , _ ----- 3p dp integrando:P a V ) s,! J « V ) ! ' !

y = -3 f — ^ ~ - + c haciendo p = tg 0, dp = sec2 QdOJ ( \ + p 2)512

y efectuando operaciones se tiene:

|y + c = -fl sen3 r

x = acos3 r

263) >>2/5 + y 2/5 =Jfl2/s

Solución

Sean y = acos5 t y / = f l s e n 5 í = p

dy -5 a c o s 4 í.sení , c . 4 , j, dx = ^ - = ------------ -------- dt = -5c tg rdr/? asen* f

dx = - 5c tg A t dt => * = - 5 - ^ ^ - 5 c t g / + 5í + c porlotanto:

- _ ^ - i. - 5c tg t + 5í + c35 .y = fleos í

264) y * - y ' 4 - y y ' 2 = 0

Solución

140

Sea y '= y t reemplazando se tiene: y 4 - y 4t 4 - y 3t 2 = 0, simplificando

y - y t 4 - t 2 =0 => y ( l - ; 4) = / 2

>> = -1-t*

=> dy = 2i 5 + 2t

(1 ~ t A)2dt ...(1 )

como y ' - p => y = -

¿fy = ----- T* dxi - í 4

... (2)

de (1) y (2) se tiene: 2 r +2í tdt = ----- r dx de dondea - i 4)2 '" i - í 4

dx = -2 (t +l)dt .

0 4 - l ) í 2, ^C,A B C D El F ,integrando x = —2 1 (— i------------- h--------- + -+ — +— )di

J t t t + 1 t - 1 t 12 . t +1

x = - —+ ln | — - 1 -2arctg t + c

.2y = .

i + r(p = yt)

¿65) x = y + s e n y

Solución

dy dy— = p => dx = -±- dx p

x = p + sen p => dx = dp + eos p dp

141

266)

dy= (1 + eos p)dp => dy = p (1 + cos p)dp , integrando:

1 = J p( 1 + eos p)dp = + p sen p + cos p + c , por lo tanto:

x = p + sen p

p 2y = - y + />sen /? + cos p + c

y = y '(1 + y'eos y ' )

Solución

Sea y ' - p => dy = pdx => y = p( 1 + p cos p) entonces

dy = (1 + 2/7cosp - p 2 senp)dp

pdx = (1 + 2 p cos p - p 2 sen p )d p , separando la variable

dx = (— h 2 cos p - p sen p)dp integrando P

x = (-— + 2 cos p - p sen p)dp + c , por lo tanto: P

x = ln p + sen p + p cos p + c y = p( 1 + p cos p)

142

ECUACIONES DE LAGRANGE Y CLAIROüll

a) La ecuación de Lagrange es de la forma:

}> = ■*/(/) + <?(/) ... (1)

dypara resolver estas ecuaciones se hace — = p de donde dy = pdx, reemplazando en la

dxe cuación (1) se obtiene una ecuación lineal de donde al resolverla se tiene la solución en forma paramétrica.

x = \i/(p,c){y = y /(p ,c ) f (p ) + g (p )

l>) La ecuación de Clairout es de la forma

p es un parámetro

y = xy'+$(y')

el método de resolver es el mismo que para las ecuaciones de Lagrange. La solución general de la ecuación de Clairout tiene la forma:

y = ex + g(c)

I a ecuación de Clairout puede tener también una solución singular, que se obtiene eliminando p entre las ecuaciones.

y = xp + g(p) , x + g '(p) = 0

Integrar las siguientes ecuaciones:

207) 2y = xy'+y' ln y’

Solución

y y \n y dyy = x — + -------- sea y = — = p => dy = pdx

2 2 dx

143

P P lnP i r • j 7 P , x . dp \npy — x — i-------— diferenciando se tiene: dv = — dx + — h------ 1-------dp2 2 * 2 2 2 2

dx 1 ln p + l ,---------x = ----------, que es lineal, entonces la solucion es:dp p p

, ln p + 2 x ,x = p{------------- \-c) = c p - m p - 2 , luego:P

x - pe - ln /? - 2

268) j> = 2 ^ '+ l n /

Solución

Sea y %= — - p => dy = pdx dx

y = 2xp + ln p diferenciando ¿/y = 2pdx + Ixdp + — , de dondeP

— + — x = -----— es lineal, entonces la solución es:/> p

1 r i C 1 ,x = —— [—p + e] = —------- , por lo tanto:P P P

c 1

269) y = x(i + y ) + y 2

Solución

144

Sea y' = — = entonces dy = pdx dx

y = x(l + p) + p 2 diferenciando dy = (1 + p)dx + xdp + 2pdp

pdx = (1+ p)dx + xdp + 2pdp entonces dx + xdp + 2pdp = 0 de donde

dx .— + x = - 2p ecuación lineal cuya solución es: dp

entonces:x = e l Jp[ j e l dp (~2p)dp + c],

x = e~p [-2j p e pdp + c] , por lo tanto:

j x = 2(1- p)ce~p

\ y = 2{ \ - p ) + ce p (1 + p) + p 2

270) y = 2xy'+ sen y 1

Solución

Sea y' = — = p entonces: dy = pdx dx

y = 2xp + sen p , diferenciando dy = dxdp + 2pdx + cospdp

pdx = 2xdp + 2pdx + cospdp simplificando 2xdp + pdx + cospdp = 0

fa + 2x _ eos p . _ ; Í 7 , ( J —dp p

+ — = , ecuación lineal x = e p [J<? p ( - ^ — ^-)dp + c]

x = e~'Dp[ - ¡ e lnp( ^ - ) d p + c]J D

145

x = —y [ - í p eos pdp + c], por lo tanto:

eos p cx = - —- — - sen p + - y

P P2c 2 eos p y --------------- — - sen pP P

271) y = xy'2- - iy

Solución

dyy'= — = p entonces dy = pdx dx

y = xp 2 —— diferenciando dy = p 2 dx + 2pxdp + ~ , reemplazando P P

pdx = p 2dx + lpxdp + ^ r - dedonde ( p 1 - p)dx + 2pxdp + — j = 0 p P

— + —— — x = --------- ------- , simplificandodp p 2 - p p 2(p - p )

— — — * = -------- í------, ecuación lineal cuya solución es:dp p 1 p \ p - 1)

. f - L * jV 1 [ í e p (-------------- )dP + c]

J p 3(p~l)

x = e - w p - » [J e i w p - » _ j E _ + c ] = _ ' {J P - ± dp+c]i p \ p - 1) ( p - 1)2 J p 3

146

x = ----- —:- [ - ( - — h— í—) + c ] , por lo tanto:( p - 1)2 /i 2/7

cp + 2 /? - l

2p 2 ( p - l )2

cp 2 + 2 / 7 + 1 1

2 ( / 7 - l ) p

272) y = - x y ,+e>;

Solución

y ' = ^ - = p => dy = pdx dx

3 3 3y = — xp + diferenciando ¿(y = — xdp + — pdx + epdp , reemplazando

2 2 2

/>dx = — xdp + — pdx + e pdp de donde y dx + y xdp = - e pdp

dx 3 ep J— 2 ^— +— x = -2 — , ecuación lineal cuya solución es: x=e p [| e p (----- )dp+cldp p p J P

x = e 3lnp[-2 í e 3Xnp — dp + c] =-^—\- 2p 2ep + 2pep - 4 e p + c ] , por lo tanto: J P p

c ^ p A 2 2x= 2ep (------- + — )P P P P

y = * - 2 ^ ( 1 - A + J _ )2 P ¿ P P

147

273)

274)

o , dy Sea y = — = p dx

dy = pdx

Solución

y = xp + diferenciando dv = xdp + pdx - dp , reemplazandoP * P

pdx = xdp + pdx - — dp de donde (x - ~~ )dp = 0 => x = — —P P P

dp = 0 => p = c, Luego:

2 ax =

v = xc + -

y - xy’+y'

Solución

dySea y' = — = p => dy = pdx

dx

y - x p + p diferenciando dy = xdp + pdx + 2pdp

pdx = xdp+pdx+2pdp de donde (x + 2p)dp = 0 => x = -2p => dp = 0 => p

luego:

[ y = X C + C

148

275) xy'2-y y ' - y ' + 1 = 0

Solución

xy '2 -yy'-y'-t-1 = 0, expresamos en la forma siguiente:

, 1 t dVy = xy + — 1 , -f-=7? => dy = pdxy dx

y = xp-\------1 diferenciando dv = xdp + pdx - reemplazandoP ' p

pdx = xdp - pdx - de donde (x — \~)dp = 0 => x = - í - p = c, x = — P P P c 1

1 f c - ly = x c -f — 1 => y - x c ------- , ademas:c c

y + ]= xc + - => (y + l ) 2 = x 2c 2 + \ + 2x C c 2

como * = - y => (y + l)2 =4xc

276) y = xy'+a^l + y '2

Solución

»2 i-yy'-y'+ 1 = 0 , expresamos en la forma siguiente:

1 i dyy = xy + - - l , ~j~ = p => dy = p dxy dx

V = xp + — -1 diferenciando dv = xdp + pdx - reemplazando

149

dp 1 ~ 1 1pdx = xdp - pdx - de donde (x — , dp = 0 => x = — , p = c, * = — p 2 p : P c

1 t c -1y = xc + — -1 => y = xc - — , ademas; c C

V + 1 = X C + ™ => ( y + U 2 - X 2C2 + - ^ r + 2xc c

277) xy'+ üyJ 7 / 2

Solución

Sea y' - — = => dy = pdxdx

ap . . adp apdpy = xp + —----- diferenciando av = /wx + .rap + , ---- -----j-y y

Vl + P 2 ■v1 + /, : (1 + -P }

, . , a(l+ p 2 ) - a p 2pdx = pdx+ xdp+ -------,— dp(\ + p 2)v2

d Cl(* + --------r—7-T- )dp = 0 => JC= - ----- ,

(1 + /J2)3/2 (1+/?2 )3/2

dp = 0 => p = c

y = xc + l* Í = , x 2/3 + y 2/3 = a 2/3^ + c 2

150

278) ^ 1* = — + ---;y y ’2

J 1X = - + 3 7

Solución

dx .dx. 2 => x = y — + (— ) ¿dy dy

o dxSea —- = p => dx = pdy dy

x - py + p 2 => dx - pdy + ydp + 2pdp reemplazando

pdy = pdy + ydp + 2pdp entonces: (y + 2p)dp = 0 => y = -2p

dy = 0 => p = c => y = -2c

x = cy + c 2 , 4 x = - y 2

¿/9) Hallar la curva cuya tangente forma con los ejes coordenados un triángulo de área constante s = 2a 2 .

Solución

2 be s = 2a = —

4a2 = be 4a2 - = b

4a2 — = b 2 además v'= —c c

4a2y '= b 2 => b - 2 a y 'xn

La ecuación de la recta tangente es y = mx + b que al reemplazar se tiene:

y = y 'x + 2ay'x' 2

151

Sea — = p => dy = pdxdx

y = px + 2ap112 => dy = pdx + xdp t- ap 1 2dp , reemplazando

pdx - pdx + xdp + ap ~i n dp , simplificando

a a(a + —==)dp =0 => x = — =

V/7

dp = 0 => p = c => x - -

y = ex + 2<ac1/2

4 ~ c

a 2x 2a 2

c =

*

a 1 2a2

, simplificando

7 a 2 2 4y 2 = — => x 2y 2 = a

por lo tanto: xy = ±a

280) Hallar la curva para la cual el segmento de la tangente comprendido entre los ejes coordenados tiene una longitud constante a.

Solución

152

2 L2 2 a 2 b 2 , b 2 L l í b 2 , ba = b + c ; —— = —- + 1 entonces: a — = b (— + 1); pero y = —c c c c C

a 2y '2 = b 2 (y'2+l) ; b = - ^ L =V i+ y 2

La ecuación de la recta tangente es: y = mx + b reemplazando

y = y' x + ty-- . de donde — = p => dy = pdxVI+ / 2 dx

aP J J -> / a aP 2 V Jy = p x + - ¡ = r * d y= pdx+ xdp+ ii r ^ ~ i T 7 ^ 2 )dp i+ p ^j\+p (i + p )

pdx= pdx+---- adp~~ +xdp => (x + ------^r j j j ) d p = 0 => x = -------- -(l+/>2)3/2 (l+/>2) 2 (1 + p 2)V2

además dp = 0 => p = c

. a ap ap + ap(l + p 2) ,

y = P(~ —-----TTTT + r----- ------ 7. 3/2 ’ simplificando(i+ /72)3/2 ^/T+7 ( i+ /? 2)

3 _ 1 /3 _ 2 / 3 „

r ------- =» =• - < l )(l+/> ) (1 + /? ) 1 + ^

„ 1 / 3 „ 2 / 31/3 a 2/ 3 ^x — 2 3/2 * = i 1/2 X = 2~ •••(2)

(i+/> ) ( i+ p ) i + p

de (1) y (2) se tiene:

_ 2 /3 2 / 3 2x 2/3 + y 213 = -----— + ------- simplificando

1 + /72 1 + /?2

x 2/3+ y 2/3= a 2/3í l ± 4 2 = « 2/3 por lo tanto: x 2/3 + y 2/3 = a 2/3l + />

153

COMPOSICION DE LAS ECUACIONESDIFERENCIALES DE LAS FAMILIAS DE CURVAS,PROBLEMAS DE TRAYECTORIAS

1. Composición de las ecuaciones diferenciales de las familias de curvas.

Consideremos la ecuación de una familia monoparamétrica de curvas planas.

... (1)Y l|r(x,a) (a es un parámetro)

Derivando (1) respecto a x, se tiene:

y' = v [ ( x ,a ) ... (2)

eliminando el parámetro “a” entre (1) y (2) se tiene la ecuación diferencial.

... (3)f ( x , y ,y ' ) = 0

esta ecuación expresa una propiedad común de todas las curvas de la familia (1).

La ecuación (3) es la ecuación diferencial de curvas se determina por la ecuación.

<j)(x,y,a) = 0 ... (4)

se obtiene la ecuación diferencial eliminando el parámetro “a” entre las ecuaciones.

(¡>(x, y,a) = 0

dA + d± . y ' = 0dx dy *

Supongamos ahora que se da la relación

... (5)

<¡>(x,y,al , a 2,...,an ) = 0 ... (6)

154

2.

a)

donde a¡, a 2 ,—,a n son parámetros, derivando (6) respecto a x, n veces y eliminando los parámetros a 1 ,a 2 ,...,an entre (6) y las ecuaciones obtenidas, obtenemos una relación de la forma:

F(x, y, y ' , y " , . . . ,y (n)) = 0 ... (7)

esta es la ecuación diferencial de la familia n-paramétrica de curvas (6) dada, en el sentido de que (6) es la integral general de la ecuación (7).

Problemas de Trayectorias.-

Consideremos una familia de curvas planas.

... (1)

dependiente de un parámetro “a”.La curva que en cada una de sus puntos forma un ángulo constante con las curvas de la familia (1) que pasa por el mismo punto, se llama trayectoria

71isogonal de la familia. En particular, si a = — , se obtiene una trayectoria

ortogonal.

Suponiendo la familia (1) buscaremos las trayectorias isogonales.

Trayectorias Ortogonales.-

Se forma la ecuación diferencial de la familia de curvas dadas.

F ( x ,y , y ’) = 0

La ecuación diferencial de la trayectoria ortogonales tiene la forma:

F ( x , y - — ) = 0y

(2)

... (3)

la integral general de esta ecuación es:

0, U ,y ,c ) = 0 ... (4)

155

proporciona la familia de trayectorias ortogonales. Suponiendo que la familia de curvas planas se da por una ecuación en coordenadas polares.

... (5)

d(¡)donde a es un parámetro, eliminando el parámetro “a” entre (5) y ---- = 0 ,

d\f/obtenemos la ecuación diferencial de la familia (5).

F (p ,y / ,p ') = 0

Sustituyendo en este p ' p o r ----- - obtenemos la ecuación diferencial de la

familia de las trayectorias ortogonales.

F (p ,v op

b) Trayectorias Isogonales.-

Supongamos que las trayectorias se cortan con las curvas de la familia dada bajo un ángulo a , donde tg a = k. Se puede demostrar que la ecuación diferencial de las trayectorias isogonales tiene la forma:

y '-kF ( x , y , - f - — ) = 0l + ky’

Formar las ecuaciones diferenciales de las siguientes familias de curvas.

281) y = -X

Solución

Entonces y - — => xy = a, derivando y + xy ' = 0 x

156

282) x 2 - y 2 =ax

Solución

x 2 - y 2x 2 - y 2 - a x => ---------- = a derivando

x (— \ yy ) - ( x 2 - y 2) = 0 => 2x 2 - I x y y ' - x 1 + y 2 = 0Jt

A . , .2por lo tanto: x + y - 2xyy' = 0

283) y = aexlaSolución

y = aexla => = a => v'= —ex/a ' a

a = — => y = — ex/a => y '= e x/ay y

lny'= — => a = ------ como y = aexla entonces:a ln y'

y = - ^ — e lny entonces y ln y '= x e lny ln y

por lo tanto: y ln y'' = xy'

284) y = c x - c - c 2Solución

y = c x - c - c 2 => y' = c => y = y ' x - y ' - y '2 entonces:

y '2 -xy'+y'+y = 0

157

285) y = ex (ax + b)

Solución

y = ex (ax + b) => — = ax + b derivando

6 ^ .. .... = a => ™— = a derivando

e..S Z.— ¥-1 —e ^ ?).. = 0 entonces y' - 2y'+y = 0

286) y 2 = 2cx + c 2

Solución

y 2 = 2cx + c 2 => yy' = c => y 2 = - 2cx-hc2 entonces

y 2 = 2xyy''+y 2y '2 por lo tanto: yy '2 Y2xy'-y = 0

287) y - a x 2 +bx + c

Solución

y = ax2 +bx + c => y '= 2ax + b => y " = 2a => y'

288) y = c1x + — + c3 x

Solución

Cj , c2y = q x + — + c3 => y = c 1 — yX X

2c 2 3 _y - —y x / ' = 2c2 derivando

3* 2y + * V ,,8=o => / " + - / ' = oX

289) ( x - a ) 2 + ( y - ¿ ) 2 =1

Solución

y 2- y 2 ( x - a )2 = ( x - a ) 2 => y 2 = ( l + / 2 ) ( x - a )2

y y= * ~ a => ----------- 7TT37T = 1

a * / 2.)3

y = ( i + y 2 )3/2 => y ,2= ( i + y 2 )3

290) y - c xex +c2e x

Solución

y = c¡ex +c2e => e xy = cle 2x +c2 entonces

exy + y 'e x - 2cxe lx => = 2c¡ derivando

e x (y ''+ / ) ” (y + y y *...y \ xu = 0 => y ’+ y '-y '-y = o

por lo tanto y ' f- y = 0

159

291) y = asen(x + a)

Solución

y

y = a sen(x + a ) => ----- - ------= a derivandosen(x + a )

sen(x + a ) / - y c o s ( x +_ g ) = 0 ^ tg(x + a ) = ^sen (x + a ) y

y'2-yy"

x + a = aretg^- => 1 = — ^— entonces 1 = - - => y'2+ y 2 = y '2~yy"y' 1+ (Z )2 / 2V

y'

de donde y 2 +yy" = 0 => y"+y = 0

Hallar las trayectorias ortogonales para las siguientes familias de curvas.

292) y 2 +2ax = a 2 , a > 0

Solución

y 2 +2ax = a 2 => 2yy'+2a = 0 => yy'=~a

reemplazando en y 2 +2ax = a 2 se tiene y 2 - 2x y y '= y 2y '2 => y - 2xy'= yy '2

dy dx , . . dx ,dx. 2cambiando — p o r ----- se obtiene y + 2x — = y(— ~)

dx dy dy dy

resolviendo la ecuación se tiene: y 2 - 2bx - b 2

293) y = axn, a es un parámetro.

Solución

160

„ ■ É L - n - i ,y = ax” => — = a derivando ---------------— ,-= 0 entonces - ^ - - n y = 0

X n X 2n d x y

cambiando por — — se tiene: - x — - n y = 0 integrando x 2 +ny2 =c d x d y d y ' J

294) y = ae** , constante

Solución

e° * $ L - aea*yy = aeca => — - a derivando ----- — ----------= 0 => — ~ay = 0

e e dx

u- t dy dx dx dxcambiando — p o r ----- se tien e :---------- ay = 0 = > --------- t-av = 0 =>

dx dy dy dy

2dx + aydy = 0 integrando x + ~ ~ = b entonces 2x + a y 2 =c

295) eos y = ae x

Solución

eos y = ae~x => ex eos y - a derivando

e x eos y ~ e x sen y .y = 0 => c o s y - s e n y — = 0dx

u • a dy dx dxcambiando —- por — — se tiene: eos y + sen y — = 0 => ctgy dy + dx = 0

dx dy ' dy

ln sen y + x = b => sen y = c.e~x

161

? 1 7 2296) x + 2 y

Solución

dy dy dx2x + yy' = 0 => 2x + y — = 0 cambiando — por - — se tiene:

77 dx dx dy

2x - y — = 0 => 2 — = 0 , integrando 21ny- lnx = lnc , entonces:dy y x

y 2 2— = c => y - e x

297) x 2 - y 2 = a 2

Solución

x 2 - y 2 = a 2 => 2 x -2 y y ' = 0 entonces:

dy dy dxx — y —-— = 0 , cambiando — por — —

* dx dx dy

dx . dy dxx + y — = 0 => — + — = 0

dy y x

integrando lny + lnx = lnc, por lo tanto: yx = c

298) x k + y k = a k

Solución

x k + y k = a k => kxk~x + kyk~xy '=0 entonces:

x k~x + y k~x — = 0 cambiando — por —-7-7 dx dx dy

162

299)

o => 4 t - 4 t ‘ 0dy y kA x k~l

+ *-------= 6 entonces: — -------í-— = b(k - 2 ) para k * 2y k~2 (k—2) x a_2(A:-2) x ^ 2 y * '2

dx dy dxpara k = 2 => x - y — = 0 = > ----------= 0

dy y x

lny — lnx = lnc => y = ex

x 1 + y 2 = 2ay

Solución

? 2 rs x 2 + y 2 .x ~ + y = 2<zy => ---------- = 2¿z derivandoy

y (2x + 2y — ) - ( x 2 + y 2 )— = 0 entonces: dx dx

2xy + 2.y2 ^ - - ( x 2 + .y2) — = 0 dx dx

, • j dy dxcambiando — p o r ----- entonces:dx dy

dx2 xy + (x2 - y 2) — = 0 de donde (x2 - y 2 )dx + 2xydy = 0

dy

sea y = ux => dy = udx + xdu entonces (x2 -w 2x 2)dx + 2x2«(wdx + xdw) = 0

(1 - u )dx + 2u dx + luxdu = 0 => (u +l)dx + 2uxdu =0

163

— + . du = 0 => lnjc + ln(l + « 2) = lncx 1 + u

x(\ + u 2) - c => x 2 + y 2 =cx

300) x 2 - j y 2 = a 2

Solución

x 2 - i y 2 = a 2 => 2 x - ^ y ~ = 03 3 dx

dv dy dx3x - y — = 0 cambiando — por — —

y dx dx dy

3 x + y — = 0 => 3^ - + — = 0 integrando 31ny + lnx = c => y 3dy y x

301) p = a(l + cosy)Solución

p = a(l+cos\|/) => ---- ----- = a derivando1 + eos y

dp(1 + eos y/) —— + sen y/ .p

dw------------------------------ = 0 entonces:(1 + cost//)2

dp dp p 2(1 + cosí//)— + sen y/.p = 0 cambiando = ------ -

dp d y p

2- (1 + eos y/)(— ) + sen y/.p = 0 => (1 + eos y)pd\|/ = seny dp = 0

P'

164

1t22^Ld\¡/=— integrando ln|cos^a//-ctgy/|+ln|seri//(=ln/?r => l-c o sv |/ seny/ p

302) y 2 = 4 ( x - a )

Solución

2 ^ „ dy y a dy dxy = 4 (x -a ) => 2yy = 4 entonces y — - 2 cambiando — p o r ------dx dx dy

dx . dy- y — = 2 entonces - d x = 2 — entonces -x = 21ny + c

dy y

ln y 2 = —x 4-c entonces y 2 -b e ~ x

165

SOLUCIONES SINGULARES)

Una solución y = \j/(x) de la ecuación diferencial.

f ( x 9y ,y ') = 0

Se llama singular, si en cada uno de sus puntos, se infringe la propiedad de unicidad, es decir, si por cada uno de sus puntos (x0, y0)» además de esta solución, pasa también otra solución y = \|/(x), pero que no coincide con esta última en ningún entorno del punto (jc0 , y0) arbitrariamente pequeño.

La gráfica de una solución singular se llamará curva integral singular de la ecuación (1).dF 3Fdx ^ 9 /

respecto a todos los argumentos x , y, y ', cualquier solución singular de la ecuación (1) satisface también a la ecuación.

Si la función F(x, y, y') y sus derivadas parciales y son continuas con

dF(x, y, y )dy'

= 0

por consiguiente, para hallar las soluciones singulares de la ecuación (1) hay que eliminar y’ entre las ecuaciones (1) y (2). La ecuación que resulta al eliminar y’:

... (3)

Se denomina P-discriminante de la ecuación (1), y la curva determinada por la ecuación(3).

Curva P-discriminante (abreviado, escribiremos: CPD).

Frecuentemente ocurre que la CPD se descompone en unas cuantas ramas. En este caso se debe averiguar si cada una de éstas por separado es solución (1) y en caso afirmativo se debe de comprobar si es solución singular es decir, si se infringe la unicidad en cada uno de sus puntos.

Se llama envolvente de una familia de curvas.

<¡)(x,y,c) = 0 ... (4)

166

A la curva que en cada uno de sus puntos es tangente a una de las curvas de la familia(4), siendo cada segmento de la misma tangente a una infinidad de curvas de la familia (4).

Si (4) es la integral general de la ecuación (1), la envolvente de la familia de curvas (4), en caso de que exista, será una curva integral singular de esta ecuación.

En efecto, en los puntos de la envolvente los valores x , y, y 1 coinciden con los valores correspondientes a la curva integral que es tangente a la envolvente en el punto (x,y); por consiguiente, en cada punto de la envolvente los valores: x ,y ,y ' satisfacen a laecuación F ( x ,y , y ’) = 0, es decir, la envolvente es una curva integral, por otra parte, en cada punto de la envolvente se infringe la unicidad, puesto que por cada punto de la misma pasan al menos dos curvas integrales en una misma dirección:

La envolvente y la curva integral de la familia (4) que es tangente a ésta en el punto considerado.

lis consecuencia, la envolvente es una curva integral singular.

Por el curso de análisis matemático se sabe que la envolvente forma parte de la curva c-discriminante (abreviadamente CCD) determinada por el sistema de ecuaciones.

y/(x,y,c) = o' d y (x ,y ,c) ...(5 )

de

Una rama de la CCD es envolvente cuando en ella se cumplen las condiciones Niguientes:

I - Las derivadas parciales, y , existen y sus módulos están acotados.dx dy

| ^ | Ú M , \ ~ \ ^ N ...(6 )dx dy

donde M y N son constantes.

W „ d i „' — * 0 , o sino — * 0 ... (7)dx dy

167

Observación 1.- Las condiciones 1) y 2) solamente son suficientes, por lo cual, pueden ser envolventes. También las ramas de la CCD en las que no se cumple alguna de estas condiciones.

Observación 2.- En el caso general, el P-discriminante contiene:

1 A la envolvente (E)2.- Al lugar geométrico de los puntos de contacto al cuadrado (c ) .3.- Al lugar geométrico de los puntos cuspidales (o de retroceso) (R).

Ap = E £ 2.R - . ( 8 )

El c-discriminante contiene:

1 A la envolvente (E)2.- Al lugar geométrico de los puntos anocdados al cuadrado (A ) .3.- Al lugar geométrico de los puntos cuspidales (o de retroceso) al cubo (i? ) .

Ac =E.A2.Ri (9)

Entre todos los lugares geométricos solamente la envolvente es solución (singular) de la ecuación diferencial.

Esta figura tanto en la curva P-discriminante como en la curva c-discriminante a la primera potencia, circunstancias que facilita la averiguación de la solución singular. ,

En los siguientes problemas, se necesita hallar las soluciones singulares, si esta» existen.

303) (1 + y '2 ) y 2 -4yy'-Ax = 0

. Solución

(1 + y a ) y 2 - 4yy '-4x = 0 , derivando respecto a y'

i 2 2y' y - 4 y = 0 => y'= —

168

Luego: f(l + y 2 ) y 2 ~4yy' - 4x = 0 ... (1)

l yy'= 2 . . .(2)

2Ahora eliminando y 1 de estas dos ecuaciones de (2) se tiene y'= —y

reemplazando en (1).

4 7 o(1h— j ) y - 8 - 4 x = 0 ==> y + 4 - 8 - 4.x = 0, de donde

y

y 2 = 4*+ 4

304) y '2 - 4 y = 0

Solución

y ’2 - 4y = 0 , derivando con respecto a y 1

2y' = 0 entonces y'= 0

¡y '2 - 4y = 0 Luego: < , de donde y = 0

[ / - O

305) y '3 - 4xyy'+Sy2 =0

Solución

3 2y' - 4xyy'+%y = 0 , derivando con respecto a y'

3y '2 - 4xy = 0 => y'=

SxyJxy 8 xyJxy 2 ,— ,— ,— *—3*j3----------------------------------------- T¡3 + = entonces: x^Jxy - 3x^Jxy + 3^3y = 0

169

3^3y - 2x*Jxy => 2 1 y 2 = 4 x2.xy => >’(27>'—4x3) = 0

- 2x-sfxy + 3-JJy ■ O

entonces: y = 0 =>

306) y '2- y 2 ** 0

4*3

Solución

y 2- y 2 = 0 , derivando con respecto a y \ 2 y' = 0 => y = 0 de dondey = 0, de acuerdo a las condiciones establecidas no tiene solución singular.

307) y ^ ^ J y 2 + a . ¿Para que valores del parámetro a tiene esta ecuación soluciónsingular?

Solución_ _

y - ^ ¡ y + a » de acuerdo a las condiciones establecidas para hallar soluciones singulares se tiene que los valores de a es a = 0.

308) (xy'+y)2 + 3jc 5 (xy'-2y) = 0

Solución

(xy'+y)2 + 3x5 (*y-2>0 = 0, derivando respecto a y '

2x(xy’+y) + 3x6 = 0 => y '■ -2jc

Luego reemplazando en la ecuación diferencial

3x^ ■+* 2y 2 5 / + 2y A------— - + y )2 + 3jT (----------- - 2y) - 0

170

9x10 9x10-1 3 x 5y = 0 => - ^ —(x 5 - 2 x 5 -4 y ) = 0

2 4 "

Q 3

4y + x 5 =0

309) y ( y - 2 j^ ’)2 =2y

Solución

y ( y - 2xy ')2 = 2y' derivando respecto a y \

2y ( y - 2xy’)( -2x) = 2 => 2y ( y - 2xy')x = -1

^ 2 A 2 , 1 , 2xy2 + lentonces 2xy - 4 x yy ——l => y = — —4 x 2y

reemplazando en la ecuación diferencial se tiene:

, 2xy 2 + l vx2 - » / 2x y2 + L)) = 2(—........ )

4 x y 4 x j

2xy +1 2 _ 2xv +1 2xy - 2xy -1 22 ^ 2x2y 2xy }

/ 1 2xy +1 1 2xy + 1y{— t~j ) = -;— => — r~ = ------------?— entonces:

4 x y 2 x y 4 x y 2 x y

por lo tanto: 4x y 2 = -1

310) 8 y 3-1 2 y 2 = 2 7 (y -x )

Solución

8y3 -12y 2 = 2 1 ( y - x ) derivando con respecto a y'

2x y 2 +l 2 x 2y

1 = 4xy2 +2

171

2 4 / 2- 2 4 / = 0 => y ( y - 1) = 0 => y'= 1

4entonces: 8 -1 2 = 2 7 (y -x ) por lo tanto: y = x ~ —

311) ( / - l ) 2 = y 2

Solución

( y - 1 ) 2 = y 2 derivando con respecto a y'

2 ( / - l ) = 0 => / - I de donde (1-1)2 => '2

entonces y = 0 pero esto de acuerdo a las condiciones establecidas no essolución singular por lo tanto no tiene solución singular.

Mediante el c-discriminante, hallar las soluciones singulares de las ecuaciones diferenciales de primer orden, sabiendo sus integrales generales.

312) y = xy'+y'2, y = cx + c 2

Solución

Eliminando c del sistema

(icx+ c2 = y x . - , 2^ => c = — reemplazando en ex + c = y

x + 2c = 0 2

x 2 x 2 x 2------------- + ----------= y = > y = -----------—

2 4 4

x 2como y = ------es solución de la ecuación diferencial entonces4

solución singular.

x 2y m ~

es

172

313) (xy'+y)2 = y y \ y ( c - x ) = c 2

Solución


í y ( c - x ) = c 2 c = y_\ y = 2c 2

reemplazando en la ecuación

y ( c - x ) = c 2 => y ( - - x ) = —2 4

<y ^ y _ „ o,. ^

como es solución de la ecuación diferencial entonces y = 4x es solución singular.

314) y 2y ,2+ y 2 = l , (X - C)2 + y 2 =\

Solución

Eliminando del sistema:

j ( * - c ) ! + / - l ^ c = x[ -2 (x - c ) = 0

reemplazando en la ecuación 0 + y 2 = 1 => y = ±l

como satisface en la ecuación diferencial entonces y = ± lson soluciones singulares.

315) y '2-yy'+ex = 0 , y = cex + -c

Solución

173


, 1 y = ce + —c _-.t/2 => c = e

reemplazando en y = ce* + - => y = e " " V + e Jr/2c

y = e x l l + exn = 2e x' 2

como y = 2eJt/2 es solución de la ecuación diferencial entonces es solución singular.

316) 3xy'2 -úyy'+x+2y = 0 , x 2 + c (x -3 y ) + c 2 = 0

Solución

Eliminando c del sistema.

x 2 + c (x -3 y ) + c 2 = 0 _ 3y - xx - 3 y + 2c = 0 2

reemplazando en la ecuación

x 2 + c (x -3 y ) + c 2 =0

2 ✓ x 3 y - x , 3 y - x x2x ¿ + ( x - 3 y )—----- + (—-----) 2 = 02 2

x 2 ( ^ + ( W = 02 4

2

x ’ - S ' z f L . o

174

4x2 - 9 y 2 +6x y - x = 0 simplicando 3x2 + 6 ;cy -9y2 = 0

x 2 + 2 x y - 3 y 2 =0

(x + 3y)(x — y) = 0 => y = - | , y = x

como son soluciones de la ecuación diferencial entonces y - - — , y = x son3

las soluciones singulares.

317) y = Xy '+^a 2 y '2 +b2 , y = cx ^ a 2c 2 + b 2

Solución

Eliminando c del sistema:

y = cx ^ a 2c 2 + b2 ...(1)2 2

0 = W a V + ¿ 2 + , * -,• ...(2)V a V + 6 2

de las ecuaciones (1) y (2) eliminamos c, obteniéndose la ecuación:x2 y2—— + —— = 1 la cual es solución de la ecuación diferencial, por tanto: a b

x 2 y2— h— — = 1 es la solución singular. a b

Diversos Problemas

Integrar las siguientes ecuaciones

118) (y - y 3 )dx + ( Ixy 2 - x - a y 1)dy = 0

Solución

( y - y 3)dx + (2x y 2 - x - a y 2)dy = 0 entonces:

175

( y - y ^ ) — + 2x y 2 - x - a y 2 = 0 entonces:dy

*.e¿zp.jsL cslinM,dy y - y y - y

t 2y -1 [ 2y -1-J— r dy t j ^ ~ r dyJ v - v r J V- VJ T»? c I ------ T°y n.v2

* = [ j e y~y - V L ^ dy+c]y - y

calculando las integrales se tiene: x - a y 2

319) y '= (x - y )2 +1

Solución

Sea z = x —y => y ' = \ - — entoncesdx

y ' - ( x - y )2 + 1 => 1 — — — z 2 + 1 entonces:dx

dz 1 i----7 ~ ^ — = X+C => z = ------ => A

z z JC + C

de donde y - x — *x + c

320) x senxy'+(senx - x eosx)y - senx eosx - x

Solución

x sen xy'+ (sen x - x eos x)y = sen x eos x - x

dy s e n x -x c o sx s e n x - c o s x -x_ + ---------------- = -------------------------- entonces:dx xsenx xsenx

176

+ c y ^ l - y 2

1- y = --------x + c

x - er sen jr-jrcos;r , r sen x -* eos .v_ ------------dx r I---- —-----dx s e n x c o sx -x , _J x s e n x Y\e xsenv ------------------ dx + c]

J x sen x

~ln---- r ln-----s e n x c o sx -x ,x = e s e n x [ \ e sen x ------------------ dx + c]

J xsenx

sen x r r sen x eos x - x ,x = ----[ ---------------- dx + c] entonces:x J sen x

‘ sen x f | sen xxsenx

sen xy -------- (jn sen x + xc tg x - ln sen x + c) por lo tanto:x

esenx y = eos x + --------

321) — + yc o sx = y n senllx , n * ldx

Solución

— + yc o sx = y n sen2x => .y -fcosx.j;1 " =sen2x dx dx

sea z - y Xn => — = (l-w )ydx dx

* ^2 + eos x.z = sen 2x entonces: — + (1 - n) eos x.z = (1 — n) sen 2x1 - n dx dx

-f (l-n )c o sjr ¿ r f í ( l -« )c o s* á xZ = e J [ e J (1 - w ) sen 2x dx + c]

z = e (n_1)sen x[ j e (1~n)sen * (1 - n) 2 sen x. eos xdx + c]

1 - n 2 ^ (n -l)sen xy = 2senx + ------+ cev' « -1

177

322) (jc3 -3 x y 2)dx + (y* - 3 x 2y)dy = 0

Solución

M = x i - 3 x y 2

N = y 3 - 3 x 2y

dM dN ,como -----= — la ecuación es exacta entonces

dy dx

3 f(x,y) tal que = Mdx

de donde - - - - - - - = x 3 - 3x y 2 integrandodx

/ ( * , y) = J (x3 - 3xy 2 )dx + g (y ) entonces:

x 3x/(*> y) = —-----— y 2 + g(y) derivando

= - 3 x 2 y + g'(y) = N => - 3 x 2y + g ' ( y ) = y i - 3 x 2ydy

i yg '(y) = y => g (y )= — + c entonces

r 4 1x2 v 2 v 4f ( x , y ) = — - — + - + c porlotanto: x 4 + y 4 - 6x 2y 2 =k

dMdy

dN_dx

= - 6xy

= -6 xy

323) ( 5 x y - 4 y 2 - 6x 2)dx + ( y 2 - 8xy + 2.5x2)dy = 0

Solución

178

Sea x = uy => dx = udy + ydu reemplazando en la ecuación diferencial

(5uy2 - 4 y 2 - 6u 2y 2){udy + ydu) + ( y 2 - 8 uy2 + 2.5w2y 2)rfy = 0

(5w - 4 - 6«2 + ydw) + (1 - 8« + 2.5u 2 )dy = 0

(5w2 -4 j/^ 6 w 3 + \-%u + 2.5u2)dy + y ( 5 u - 4 - 6 u 2)du = 0, simplificando

(6u 3 - 7.5u 2 +12« -1 )dy + y(6u 2 - 5u + 4)du = 0 , separando la variable

dy 6«2 -5 « + 4 „ .— + — -----------------— du = 0 , integrando se tiene:y 6« -7.5« + 12« -1

Es una ecuación homogénea

ln y + — ln |6 « 3 -7 .5 « 2 + 1 2 « - l |= ln e de donde — = «3 v

porlotanto: 15x2j'-24x>>2 -1 2 x 3 + 2y3 =c

324) (3x^2 - x 2) + (3jt2.y-6j>2 -l)rfy = 0

Solución

ÍA/ = 3xy2 - x 2

[w = 3x2y -6 j> 2 - l

SAZ , —— = 6xy dy

dN £ — = 6 xvdx

dM dN .como -----= ----- la ecuación es exacta entoncesdy dx

3 f(x,y) tal que = M , dé donde: - = 3xy2 - x 2 integrandodx dx

V

179

f 2 2 3.x2 y2 x3/(x ,y )= J (3xy - x )dx+g{y) entonces: f ( x ,y )= —^----- -+ g (y ) derivando

~ ^ - = 3x2y + g ' ( y ) = N => 3x2y + g'(y) = 3x2y - 6 y 2 -1 5y

g' (y) = -6>’2 -1 => g(>’) = 3 - y + c entonces

2 2 3

f{xyy ) - —~ - - —2y3-j>+c por lo tanto: 9x2y 2 -3 x 2 - I 2 y * - 6y = k

325) (j> - jcy2 In x)dx + xdy = 0

Solución

2 dy 2xdy + ( y - x y lnx)dx = 0 => x — + }> = xy In x , Bernoulli

dx

dy 1 2 2— + — J = }> In x , multiplicando por y dx x

-2 4y 1 - l , - l dz _2 dyy - + - y = ln x , sea z = y => - — = y -f-dx x dx dx

dz 1 dz 1 ., t .,— — + — z = lnx = > -------z = - In x , ecuación lineal cuya solucion es:

dx x dx x

r dx r dx

z - e x [ J e x ( - In x) dx + c] , efectuando la integral

r f ln* j 1 -1 / to2 xz = x [-1 -----dx + c] => y — x(--------- + c)J x 2

1 , In 2 x + k _ , 2— = x(------------- ) => 2+x^ln x = kxy

180

Solución

fdM

326) (2xyex -x se n x ) d x + e x dy = 0

1 M = 2xyex -x s e n x

N = e x2=* 1 *dN

= 2xe*

dx= 2xex

dM dN y .. , ,como -----= — la ecuación es exacta entoncesdy a*

3 f(x,y) tal que =M de donde: -- = 2xv^ -x s e n x , integrandoSe dx

f ( x , y) = | (Ixye*1 - x sen x)dx + g(y)

f (x, y) = y e* + x c o sx -se n x + g( y) derivando con respecto a y se tiene:

d f(x ,y )dy

= e x + g \ y ) = N de donde e x + g \ y ) = e x =>g(y) = c entonces

f (x,y) = yex +xcosx-senx+c, por lo tanto: /. yex +xcosx-senx = A:

327) 2y'+yl + \ = 0

Solución

2y '+ y2 +—j = 0 => 2x ¿ ~ + ( x ¿y i +l) = 0. i dy , / „ 2 . . 2

*

2 x 2dy + ((xy) 2 +1 )dx = 0 entonces

u , xdw - udxsea u = xy => y = — => dy = ------ ------

x x

181

_ 2 .xdu-udx. . 2 ^2x (------ ------) + (u + \)dx ~ O entonces:x

2x d u - 2udx + (u2 + l)dx = 0 => 2xdu + (w -l) 2 dx = 0

^ du dx ^ 2 ,2 ---------- + — = 0 = > ---------- + ln x = c(w-1) x M -l

2= c - ln x => ( l-x y ) (c - ln x ) = 2

jcv-1

1328) y ’=-

2x - y LSolución

1 dx ^ 2y = -------- — => — = 2 x - y entonces:2x - y dy

— ~ 2x = - y 2 => x = e 2y[ f e 2y ( - y 2)dy + c] dy J

de donde x = — + — + ce2y + —2 2 4

329) x 2 +xy'=3x + y'

Solución

x 2 + xy'=3x + y' => ( x - l ) y '= 3 x - x 2

3x — x 2dy = ----------dx integrando

x — 1

J* dy = J ——y -d x + c => y = 2 x - ^ - + 21n 11-x |+c

182

330) 4x3y 2dx + (x4 - 2 x 4y - l ) d y = 0

Solución

dx + x 4 - 2x 4y - l _ ^ dx t x (l- 2y) _ 1dy 4 x 3y 2 dy 4 y 2 4 x 3y 2

3 dx 1 — 2y _2 1 .c — -»------r -x = — — entonces:dy 4 y 2 4 y 2

sea z = x 2 => - = x 3 — , reemplazando en la ecuación2dx dy

dz 1- 2y 1 dz 2y -1 1 .. ,. ,-------- 1-------— z = ----- = > -----h------- z = - -.... . , ecuación lineal2 dx 4 y2 4y 2 dx 2y 2 2y 2

-jlZZÍdy j l ll ldy j2 = e 2y [ [ e 2y (---- —r~) + c] , efectuando la integración

J 2y

i iz = e " ' * 5 [ e M onceS: Í „ ]

J 2y2 V J 2y

331) xyy'-y2 =*4

Solución

— - — y = x3y 1 multiplicando por y dx x

dy 1 2 3 2 dz . dyy — — y = x sea z = y => — = 2y —dx x dx dx

1 dz 1 3 dz 2 3----------- z = x de d o n d e ---------z = 2x2 dx x dx x

183

332)

r 2dx [__2dxecuación lineal z = e x [Je x 2x 3dx + c\

z = e~1 XTÍX[ j 2xdx + c] entonces: z = x 2[x2 +c] => y 2 = x A +cx2

dx _ dyx 2 - x y - h y 2 2y 2 - x y

Solución

(2y 2 -xy)dx = (x 2 - x y + y 2)dy es homogénea

y = ux => dy = udx + xdu , reemplazando en la ecuación diferencial

( l u 2x 2 - x 2u)dx = (x 2 - x 2y 2 + x 2u 2)(udx + xdu), simplificando

dx u 2 - u +1* w3 - 3w 2 + 2w

du = 0 integrando

f — + f —r -----— dw =c dedonde .\ — 2 a: )3 = c ( y - x )2J x J u3 - 3 u2 +2u

333) ( 2 x - l ) / - 2 y = l ^

Solución

— — y = — -———r ecuación lineal cuya solución es:dx 2x - l (2x - l ) x

. f_i^L i - 4xz - e 2x~l [ \ e 2jc_1------------- dx+c] integrando tenemos

J ( 2 x - l ) x 2

184

y = e ln(2T-i)[f 1 4* dx+c] => y = ( 2 * - l ) c + - J (2x —1)3jc2 x

334) (x - y + 3)dx + (3x + y + l)dy = 0

Solución

Sean : x - y + 3 = 0 y L2 : 3x+j> + l= 0

como LXUL2 => 3 p (x 0yy 0) e L x a L 2

x - y + 3 = 0 1 de donde: i => p(-l,2)

3 x + v + l = 0J F

sean x = z ~ l , y = w + 2 entonces:

(x - y + 3)dx + (3x + y + l)dy = 0

(z — w)dz + (3z + w)dw = 0, ecuación diferencial homogénea

w = uz => dw = udz + zdu, reemplazando en la ecuación diferencial

(z — uz)dz + (3z + uz)(udx + xdu) = 0, simplificando

(1 — u)dx + (2 + u)(udz + xdu) = 0, agrupando

(u + 2u + 1 )dz + (u + 3)zdu = 0, separando la variable

dz u + 3 , A ,— + -------- du= 0 , integrandoZ (m + 1)

f — + f — ~^— d u - c entonces lnz + ln|w + l | ---- — = c de donde:J ^ J (tt + 1) « + 1

2jt+2u = — ■=.—------? z = x + 1 por lo tanto: x + y - l = cex+y~l

Z Jt+1

185

, x + y x - y335) y + cos---- — = cos

2 2

Solución

, x y x y x v x vy + cos — eos----- sen —sen — = cos —eos —+ sen —sen —2 2 2 2 2 2 2 2

y = 2 s e n y s e n y => cosec— dy = 2 sen — dx integrando

y y xln(cos ec — - c tg ~ ) = -4 cos — + c entonces:

cosec— - c tg — = ke 4cosxi22 2

336) y' (3x 2 - 2x) - y ( 6x - 2) + - (9x - 4) = 0X

Solución

dy (6 x -2 ) 2(9x-4 ) _^ = ---- ---------- , ecuación diferencial lineal

dx 3x2 - 2 x ' (3x2 -2 x )x

(6*~2) , f (6x~2)f (6x-2) r (6x-2)y = e 3x2-2x [ t j 3x2-2x (---- 2 (9* -4 ) )dx + c], iintegrando

(3xz -2 x )x

y = e ln|3 ' 2x1 [-2 f ----- —-— dx + c] integrandoJ (3x2 - 2 x ) 2x

y = (3x 2 - 2x)[ f 2d (■ ■ -------) + c] calculando la integraiJ (3x - 2x)x

2 2y = (3x2 - 2x)(— —-+ C) por lo tanto: y = — +c(3x2 - 2x)

(3x 2 - 2 x )x x

186

337) Xy 2y ' - y ì = —

Solución

dy 1 X _2 - . i* j 2—------y = — y multiplicando ydx x 3

2 dy 1 3 x 3 3 dz 2 dy t ,>> —------y = — sea z - y => ----- = y — , reemplazando

dx x 3 3Jjc

fife 1 x 3 dz 3 3 ., . t l . ,----------z = — = > ------------ z = x , ecuación diferencial lineal3dx x 3 á x

r 3dx r 3dx

z = e * [ je x x 3dx + c] => z = e 3ìnx[ j dx + c]

entonces z = x 3(x + c) por lo tanto: .\ y 3 = x A +cx3

338) y'=Xg2(ax + by + c ) , b * 0 , ab > 0

Solución

dz 1Sea z = ax + by + c => / = (------a) —dx b

y '= \g 2(ax + by+c) => = tg 2 zox o

— = a + è tg 2 z de donde ----- — = dx integrandodx 6 a + btg z

dza + b tg2 z - J ì£c+ c entonces:

187

x+ c = —^—[a x + b y + c -J — arctg[J— tg(ax+6y+ c) + c]] a - b \ a \ a

339) ( \+exly)dx+exly( \ - ^ ) d y = 0 , ^ =1=1

Solución

Sea — = « => x = uy => dx = ydu + udy, reemplazando en la ecuación.y

(1 + eu )(udy+ ydu) + eu (1 - u)dy = 0 entonces:

(u + ue" )dy+ eu (1 - u)dy + (1 + eu )ydu = 0 , agrupando

(u + eu )dy + (eu + \)ydu = 0 => — + - ..— dy = 0 integrandoy e" + u

l n y + ln(eu +w) = lnc => > '(e"+«) = c => y(ejr/;’+-^) = c

p a r a x = l , y = l => e + l = c por lo tanto: .*. x + yex,y = l + e

340) (x2 + y 2)d-xydy = 0

Solución

Sea u = yx => dy = udx + xdu, reemplazando en la ecuación diferencial

(x2 +u2x 2) d x - x 2u(udx + xdu) = 0 => (l + u 2) d x - u 2dx-uxdu = 0

dx u 2dx — ux du = 0 = > ------udu = 0 => ln x ------ = c entoncesx 2

2 1 n x -w 2 = 0 entonces 2x2 ln x - y 2 = kx2

188

141) (x - y + 2)dx + (x - y + 3)dy = 0

Solución

Sea z = x - y => dx = dz + dy, reemplazando en la ecuación diferencial

(x - y + 2)dx + (x - y + 3)dy = 0 => (z + 2)(dz + dy) + (z + 3)dy = 0

z + 2(z + 2)dz + (2z + 5)dy = 0 => --------dz + dv = 0 integrando

2z + 5

í d z + [ dy =c => í ( ——- ( — í— ))dz + y = c entoncesJ 2z + 5 J J 2 2 2z + 5 '

z 1~ - — ln(2z + 5) + y = c => 2 z - ln(2z + 5) + 4y = k

2x - 2y — ln(2z - 2y + 5) + 4y = k => 2y + 2x - ln(2x - 2y + 5) = k

por lo tanto: ln(2x - 2y +5) - 2(x + y) = k

142) (x y 2 + y)d x -xd y = 0Solución

y(xy + l)dx - xdy = 0 sea xy = u => y = — entonces

xdu -u d x u \ .xdu-udxdy = ------ ------ => -(w + l)d x -x (------ ------) = 0

x 2 x x 2

u(u + 1 )dx — xdu + udx = 0 => (u2 + 2u)dx - xdu = 0 entonces

dx du , 1 , 2 ,-------- --------= o => ln x — l n-------= ln cx u 2 + 2u 2 u + 2

, x 2(u + 2) x 2 (u + 2) 2/ 7ln ------------ = in c => ------- ----- = c => x (xy + 2) = xyc => x y + 2x = cy

189

343) (x 2 4- y 2 + 2x)dx + 2ydy = 0

(x 2 + y 2 + 2x)dx + 2ydy = 0 => (x 2 + y 2)dx + 2xdx + 2ydy = 0

dx+ = 0 dx + d ln (x2 + y 2) = 0 integrandox + y

x + ln(x2 + y 2) = c => in(x2 + y 2) = c - x => x 2 + y 2 =ke~

Solución

344) ( x - l ) ( y 2 - y + \)dx = (y + l)(x2 +x + \)dy

Solución

( x - l ) ( y 2 - y + \)dx = (y + l)(x2 +x + \)dy separando la variable

1 t x 2 +X+1 rr 2x +1 2 y — ientonces — ln — ----------- V3 (arctg — -==- + arctg —■= -) = c

2 y 2 - y + l V2 3

345) (jc - 2xy - y 2 )y '+y2 = 0

Solución

( x - 2x y - y 2) — + y 2 = 0 => v2 — + x - 2x v - y 2 = 0dx ' dy

r l - 2 y t\-2y .dx 1 -2 y r J—— + — i f - x = 1 es lineal x = e y [ l e y dy + c] entonces dy y j

x = g2In>'+1/>'[ f e~2]ny~1/ydy + c]

190

x = y 2ev ’' [ [ e -V y ^ r + c } => x = .y V ' > ( e u r + c)

por lo tanto: * = >'2 (1 + ce1 1)

346) y cosx dx + (2y - senx)dy = 0

Solución

Sea z = senx => dz = cosx dx, reemplazando en la ecuación diferencial

ydz + (2 y -z )d y = 0, es homogénea

sea y = uz => dy * udz + zdu entonces: uzdz + (2uz — z)(udz + zdu) = 0

udz + (2u - 1 )(udz + zdu) = 0, agrupando

2u 2dz+ (2u - \)zdu = 0, separando las variables

2 — + (— — \r)du = 0 integrandox u u

21nz + 21nw+—= c => ln z 2w2 + - = c entonces

2 sen x , a i ■ln y + ------ = c por lo tanto: 2y ln y + senx = cy

347) y - l = e x+2ySolución

Sea u = x + 2y => y ’= — (— -1) , reemplazando en al ecuación diferencial2 dx

— (— -1) -1 = e" de donde = 2eu +3 => — —— = dx2 dx dx 2eu +3

191

348)

349)

2 + 3e~u = ke~3x => 2+3e ^ 2y =ke~3x

2ex + 3 e ly = ke~2x

2(x5 +2 x 3y - y 2x)dx + (y 2 + 2x2y - x 4)dy = 0

Solución

Sea y = tx2 => dy = x 2dt + 2xtdx, reemplazando en la ecuación diferencial

2(x5 +2x5t 2)dx + (x4t 2 + 2 x * t - x 4)(x2dt + 2xldx) = 0 , simplificando

(2 + 4/ - 2t2 )dx+ (f2 + 2/ - 1)(xí* + 2/¿Ét) = 0 entonces

(2 + 4 / - 2 / 2 +2t3 + 412 -2t)dx + (t2 + 2t-l)xdt = 0

(2í3 +2t2 +2í + 2)dx + (l2 +2t -l)xdt = 0, separando la variable

„d x í 2 + 2 í-1 j f ^ d x ( / 2 + 2/ -12 — + _ ----- --------------- dt = 0 integrando 1 2 —- + | —------- ;-d l - c

x / 3 + í 2 +í + i i x J t i + t ¿+t + 1

2 ln x + f (—1— + ? l-— )dt = c de donde se tiene: x 4 + y 2 = c(x2 + y)J t + 1 / 2 + l

x 2y ny '= 2 xy '-y , n* -2

Solución

x 2y ny'=2xy'-y => y = ( 2 x - x 2y n)y' entonces:

integrando: -^ ln (2 + 3e u) = x + c => ln(2 + 3e “) = ~3x + c

dx j „ dx 2 2 n -2 dx 2v ------2x = - x v => —------ x = - x y => x -------- x = - y' dy ‘ ¿V V dy y

n

192

sea z - x 1 =>dzdy

_2 dx = x — dy

dz 2 n---------- z = —ydy y

=>dz 2— + — z dy y

— f— d y m f— d y 0z = e y [J e y y ndy+c] , efectuando la integración z = e~2hly[ I y n+2dy+c\

i r f y n+3 i 1 >;"+1 cz — — [ I ------ + c] => — = -------+v J w + 3 jc « + 3 2

350) (J l + x 2 +rty)dx+(sjl + y 2 + ny)dy = 0 , y\x () = n

Solución

y¡l + x 2dx + nydx + + y 2 dy + nydy = 0 agrupando se tiene

•fl + x 2 dx+-Jl+y^dy + n(xdy+ ydx) = 0

~sj\ + x 2 dx + -Jl + y 2 dy + nd(xy) = 0 integrando

J ^ \ + x 2 dx + J -Jl + y 2dy + J nd (xy) = c entonces

i[x^Gi + x 2 +ln x] + 4 x 2 + l[v A/Í + .v2 +ln_v] + V^+>'2 +nxy = c

paE0„»x = 0 , y = n => c = n^íl + ñ 2 + \n[n + ^[\ + ñ 2 ] por lo tanto:

v j l+ x 2 + ln |x W l+ * 2 \+ y ^ + y 2 +ln|-y/l+>>2 |+2nx=W l+«2 + ln |«+V l+«2

351) [3(x+y) + a 2]y'=4(x + y) + b 2

193

Solución

Sea z = x + y => y '= — -1 reemplazando en la ecuación diferencialdx

(3z + a 2)(— - l ) = 4z + 6 2 => (3z + a 2) — = 7z + a 2 + b2dx dx

3 z + a 2 , r 3z + a 2l z + a 2 + b2

dz = dx integrando f ---- — — — dz = í dx + c por lo tanto:J 7z + a 2 +¿>2 J

f ■)' - ? * + ¿ (4a2 - 3¿2) ln l7(^ + ) + a2 +A2 I = c

352) axyy'2 +(x2 - ay2 -b )y '-x y = 0 (lasustitución x 2 = .y, y 2 = f )

Solución

axyy'2 +(x2 - a y 2 - b ) / - x y = 0 despejando y ’ se tiene:

- ( x 2 - ay2 - b ) ± J ( x 2 - a 2 - b )2 + 4ax2y 2y = ---------------------------------------------------- ^ ------------------------------------------------------------------

2axy

sea = x 2 => ds = 2xdx => t - y 2 => dt = 2ydy

dy _ [s dt dx V r ds

de donde — = ------sustituyendo en la ecuación diferencial :

~ ( x 2 - a v 2 - b ) ± S ( x 2 - ay2 )2 + 4ax2y 2y ------- 1— 2 axy

s dt - (s - at - b ) ( s - at - b)2 + 4ast

t ds 2a j s t

194

2as — = -(s - at - b) ± J (sat - b )2 +4 ast ds

efectuando operación, agrupando e integrando y reemplazando.

2 2 • 2 2 bex — s 9 y = t se tiene que: y - e x = ---------1 + ac

353) ( x - y 2)dx+2xydy = 0

Solución

2xydy + ( x - y 2)dx = 0 => 2x y - + x - y 2 = 0 entonces:dx

dy 1 y dy 1 1— + —---- -—- = 0 => 2 —------ y = ----- , ecuación de Bernoullidx 2y 2x dx x y

multiplicando por y, se tiene : 2y — - — y 2 = -1dx x

2 dz dysea z - y => — = 2y — , reemplazando en la ecuación diferencial

dx dx

-------- z = -1 , es una ecuación diferencial lineal cuya solución es:dx x

r dx f _ ^ x

z = e * [Je * (-<&) + c] => y 2 = e lnjc[ J - ~ + c]

2y 2 = x[- \nxk] => — = - ln j t¿ = ln(jcfc)-1

e yl' x = ( x k y x => xey I / x =c

195

REDUCCION DEL ORDEN DE LA ECUACION]

Las ecuaciones diferenciales de n-esimo orden son de la forma:

... (1)F (x ,y ,y ' ,y " , . . . ,y M ) = 0

Donde al despejar y (n) se tiene:

...(2)y (n) = f ( x , y , y ' , y " , - , y (n 1})

Demostrar en los siguientes ejercicios que las funciones dadas son soluciones de las ecuaciones indicadas.

354) y = e~x (3 eos x - 2 sen x ) , / ’+2y'+2y = 0

Solución

y - e ~ x (3 eos x - 2 sen x ) , derivando con respecto a x

y' = -e~x (3 eos x — 2 sen x) + e~x (-3 sen x - 2 eos jc) = e~x (-5 eos x - sen jc)

y"= e~x (5 sen x - eos x ) - e ~ x (-5 eos x - sen x)

y" = e ~x(4 eos jc + 6 sen x)

y"+2y'+2y = (4cosx+ ósenx) + 2£~*(-5cosx - senx) + 2e~xQcosx - 2senx)

= £“*(4 eos x + ó sen x -lO co s x - 2 sen x + 6 co sx -4 se n x)

= e -Jf(10 co sx -lO co s x + 6 s e n x -6 sen jc) = 0

por lo tanto: y' '+2y'+2y = 0

y = e lx (c1 eos 2 x + c2 sen 2 x ), - 4/+8>> = 0

Solución

y = e 2* (cj eos 2jc + c2 sen 2x) entonces

y = e lx[2(ci + c2)cos2x + 2(c2 - c 1)sen2x]

y = - S c ^ 2* senx por lo tanto: y " - 4y'+%y = 0

y = x(senx — cosx), y' '+y = 2(eos x + sen x)

Solución

y = x(senx - cosx) => y ’= s e n x - cox+ x(eos x + sen x)

y M= cosx + sen x + cosx + senx + x (co sx - sen x)

y = 2 sen x + 2 cosx + x(cos x - sen x)

y '+y = 2 sen x + 2 eos x + x(cos x - sen x) + x(sen x - eos x)

por lo tanto: y ' '+>> = 2(cosx+ sen x)

y = (C\ + c2x)e~3x ; y ’'+6y'+9y = 0

Solución

.y ^ C i + c2x)e-3jr => y = - e “3jf(2c2x+ 3c1)

y s ^ ^ í ^ x + Pq - 2 c 2) por lo tanto: y"+6y'+9y = O

y = x 2 ln x , xyM,= 2

Solución

y = x 2 lnx => y '= 2x \ n x + x => y"= 21n*+3 entonces

y " '= - 3> xy'” = x ( - ) = 2 => x y " '= 2X X

359) x = y * + y ,Solución

x = y 2 + y => 1 = 2yy'+y' => 1 = 2yy’+y’ entonces

1 -2 v 'y’= —----- => y " = -------de donde2 y + l (2 y + l)

-2 12 y " = ----------- => v,M = ----------- entonces(2 y + l)3 (2y + l)

y'y'"= 12 , => y / " = 3 ( ----- — y)2 = 3y"2(2y+ l) (2y + l)

por lo tanto: / y " '= 3y ' '

360) x + c = e~y , y " = y '2

Solución

x + c = e_>' => 1 = -e_>,y => y= -ey entonces

y " = - e >

361) x = y + ln y , yy”+y’3- y '2 =0

■»"=- ^ .y => y " = e l y = y 2 => y = ( y ) 2

Solución

x = y + lny => 1 = y'+ — => y '= - ^ r entoncesy y + 1

198

y ' ’ = ---- —- entonces:(>-+i)3

yy”+y'ì - y '2 = y ( ^ T ) + ( - ZT )3 - ( - ^ r ) 2 = 0 ( y + l) y + 1 y + l

por lo tanto: yy’ ’+y '3 - y '2 = 0

.162) y = c, + c21 y d t , xy"+(l - x)y' = 0

Solución

f* e*y = cì +c2j — dt => y ' = c2 — entonces

M e * { x - \ ) A i. / \ i / (jc — 1)x . e*y = c 2 — ~ —- entonces xy +(-x) y = x(c2— ^ — ) + 0 “"*)c2—

X2 X X

x " + (l-x )y '= c2 _ Ì £ z l l C2e =0

por lo tanto: x v "+ (l-x )y ,= 0

f2 c* ~> 1»63) y = q x + c2x — d t , x > 0 , x~y”-(x +x)y'+(x + l) = (

Solución

/•2 |*2 £>*y = C1X-fC2X --- => y = cl + c 2 ---------- dt-

Jx t ' Jx t

e x x J r / * + 1 \y = -------- e = - e (------ ) entonces:x x

199

x 2y ' '- (x 2 + x)y'+x(x+ l)y = x 2(- £_ Í£ ÍÜ ) - (* + x)(c, + c , í - d t - e * ) +x A t

+ (x + l)(cix +c2x j di)

xy' <jc 2 + x )/+ (x + l)y = O

J*e ¿¡í ------ , X > 1

* lní

x 2 ln 2 x.y' '-x ln x ./+ (ln x + 1)>' = O

Solución

y = C\ lnx + c2 ln x f derivando con respecto a x Jjr lní

, c\ c2 te dt , ..y = — + — I ------ c2 nuevamente denvando

x x Jx ln í

r dt c2x 2 x 2 Jjf ln í xln x

X2 ln2 x y"= -c i ln2 x - c 2 ln2 xj" ^ - - c 2x \n x

- x \ n x . y ’= - c 1\ n x - c 2 ln x f — - + c2x ln xJx lnr

(lnx + lXy = Cj ln2 x + q lnx + c2 ln2 x f —- + c2 ln x fJx lní Jx lní

Sumando las tres ultimas ecuaciones.

x 2 ln2 x.y''-x ln x ./+ (ln x +1)y = 0

200

x = J (2 1 n í- l)+ c . I 365) I , y ( l + 2 1 n / ) - l

y = t ]nt+c2 J

Solución

fx = í(2 ln í- l)+ C j

[.y = í 2 ln í+ c 2

dxdtdy_di

= 1 + 2 ln í

— = 2 í ln í + 2í

dy_dy _ dt _ <0 + 2 lní)dx dx_ l + 2 ln í

dt

= í =>

d yd 2y = dy' = dt dx2 dx dx

dt

y ' ( l+ 2 1 n / ) =1

1 + 2 ln í(1 + 2 ln í ) = 1, por lo tanto:

/ ' ( l + 2 1 n /) = l

366)x = (í + l ) e '+ Cl

y = t 2e '+ c 2 jy " e y (y'+2) =1

Solución

íx = (r + l)e' + q

l y = t 2e '+ c 2

dx~dl

= e‘ (t + 2)

= te1 (í + 2)dt

dy_cjy_= j L = fg,(<+2) dr fk e '( í + 2)

dt

= í =>dydx

= í

11 + 2 ln í

201

2 ^ d y d y = j t _ 1 _ 1dx2 dx dx_ e '(t + 2) (/ + 2)e'

dt

y ’e y ( y +2) = ----- ---- e ' ( t+ 2) = 1(í + 2)e'

por lo tanto: y " e y (y’+2) = 1

367)sen2r* = C2 +C ,(í------— )

y = l - c 2 sen2 t2 (1 -j 0 / ’= 1 + / 2

Solución

, sen 2 rx = c2 + c ,(r ------— )y = l - c 2 sen2 í

dx „— = c, (1 - eos 2 r) dt 1

— = -c? sen 21 dt 2

dydy dt - c 2 sen2r

entonces:dx dx_ c1(l-co s2 f)

dt

2d y dy’ _ dt _ - 2cz eos 21dx2 dx dx q (1 - eos 2t)

dt

= 2(1 - 1 +c. sen2 Q (-:f o cos2* ) = 2g2 * n * (-2c2 eos2Q q (1 - eos 2r) Cj (1 - eos 2t)

por lo tanto: 2(1 - y ) y " = 1 + y '2

202

368)x = — ln í h——r

2 4ír 3

y 2- 2/ y ,+3 =o

Solución

lní 3x = -----+ ——2 4/

í 3

3 r - 3dt 21 2 í3 2í3

1 9 (f2 -3 ) (f2 +3)<ft “ 4 4 í4 " 4 /4

4y¿V dt 2 /3 (r2 — 3)(r2 +3) r2 +3ate 4r4 ( í2 - 3)

dt2t

dy' 2f2 - f 2 -32 r±JL = V = dt_ = _______

dx2 dx dx f 2 - 3<* 2í3

í +3.y " ¿- 2 y y + 3 = í ¿ - 2 í ( 1- ^ p ) + 3 = í 2 - í 2 - 3 + 3 = 0

por lo tanto: y ,2 - 2 / y' ’+3 = 0

Verificar que las funciones dadas son las soluciones generales de las ecuaciones correspondientes.

369) y = cl sepx + c2 cosx, y"+y = 0

Solución

y = cx sen x + c2 eos x => y'= cx eos x - c 2 sen x entonces

203

y '+y = -cx sen x - c2 eos x + cx sen x + c2 eos x por lo tanto:

y"+y = 0

y ' = -c¡ sen x - c2 eos x entonces

370) y = — (cxex + c 2e x) , xy"+2y'-xy = 0X

Solución

/ = — \ ( c xe x + c 2e x)+ — (c1e x - c 2e x) x l x

y " - —j ( c xe x + c 2e x) —~¡r(c¡e x - c 2e x) + - ( c 1e x + c 2e x)X X X

por lo tanto: xy ' \ 2 y ' - x y = 0

371) y = c1x - t c2 ln x , x 2 (l -]nx)y"+xy'-y = 0

Solución

i i c »»y = CjX-f c 2 lnx => y = cx + — => y = — 7-x x 2

x 2( l - l n x ) / ,+xy'-y = x 2( l - ln x ) ( - -^ - ) + xc1 + c2 - q x - c 2 lnxx

= -Cj + c2 ln x + x q + c 2 “*CjX-~c2 lnx por lo tanto:

x 2 (1 - ln x)y' '+xy'-y = 0

204

Solución

<72) y = >/(x + c1) 2 + c 2 , yy"+y,2 = l

y = -J(JC + Cl ) 2+C2 => / =^ /(X + Ci ) 2 + C 2

c,y ' ' = ----------- ------ —- entonces:( (x + q ) + c 2)

yy''+y'2 = ^ [ (x + c ^ y ---------- y ------ + ■■ (x+ c^ —((x+ ci) + c 2) (x + c i) + c 2

+ — + -----= 1 por lo tanto: yy' '+y '2 = 1( x + Cj ) 2 + c 2 ( x + C j ) 2 + c 2

>73) x + c2 = y i + c ly , y"+6yy,3= 0

Solución

x + c2 = y 3 +c ly => l = 3 y 2y ’+c¡y' entonces

1 _ .... ~6yy' 6yy '= — ------ => y =3 y 2 +c, (3y2 + c ,)2 (3y2 + c 2)3

y''+6yy'3 = —-— - + 6y(— ------- )3 = 0 por lo tanto:(3y + q ) 3y + c

y"+6yy'3 =0

374) x + c 2 = lnsen (y+ C !), y " ~ y '(1 + y '2 )

Solución

205

x + c 2 = lnsen(y+c¡) => 1 = — P +Ci)y' entonces;sen(^ + c ,) ,

y - tSCv+ c i ) => y ” = sec 2 ( y + c¡ )y entonces

y ' '= sec2 ( j + c ,) tg(>> + c ,)

y ' = seo2 ( y +c¡) tg(x+c¡) = tg(y+c1) + tg3(y+c¡)

y " = y ' ( l+ y 2 ) => y " = y ( i + / 2 )

J -x sen t0 ~ d t , x sen x.y' '-x eos x.y '+ eos x.y = 0

Solución

=> y = c 1+c2j * ^ d t + c2 sen*

Sei1^y - c2 -------+ c2 eos x entonces:x

y - x eos xy'+ eos x.y = —---------+ c2 eos x - c xx eos xx 1

J. sen t—— d t - c 2xcosx .senx + cxxc o sx + c2xcos (**—nf dt

1 Jo t

y % x eos x.y'+ eos x.y - 0

Verificar que las relaciones dadas son integrales (generales o particulares) de las e cuaciones indicadas.

176) (*-ci)2 +(y-c2)2 =1, y = ( i + y 2)3/2

Solución

( j e - C j ) 2 + ( y - c 2) 2 =1 => y - c 2 = tJ \ - ( x - C i ) 2 .derivando

y — , = Cl) , => y 2 ( l - ( x - c , ) 2) = ( x - c , ) 2^ ~ ( x ~ ci ) 2

v 9 y----- = (x - Cj) => x - c l = , nuevamente derivandoi + y 2 v " 1 Ví

/ 2* y -

+ y 2

V i+ y1 = ----------------- -!------ — entonces1 + / 2

( i + y 2 )3/2 = y + / 2 y - y y poriotanto: y = ( i + y 2 )3/2

377) y 2 = l + ( l - x ) 2 , y 3y " = l

Solución

x — 12 yy '= 2 ( l-x ) => y = ------ , derivando nuevamente; entonces:y

y - ( x - 2)2> > -(x -i)y ^ ,v2 - ( x - i ) 2

.2 „ 2 „3

y 3y”= y 3 ^ = y 2 - (x- 1)2 entonces:

207

y 3y " = y 2 - ( x - í ) 2 como y 2 =l + ( l - x ) 2 entonces

y 2 —(1—x ) 2 =1 porlotanto: y 3y"= 1

378) sen( y - c 2) = ex~c , y " = y '( l+ y '2 )

Solución

s e n Q -c 2) _c ex c o s (y -c 2)y '-ex s e n ( y -c 2) „— € => — ---------------------= 0e* e 2x

y '~ lS ( y ~ c2 ) => y = s e c 2(jv -c2)y entonces:

y ’ = sec2 (J - c2 ) tg(y - c 2 ) = tg(7 - c2) + tg3 (y - c2 )

y = y + y 3 = y ( i + y 2 ) porio tanto: y = y ( i + y 2 )

379) CiX + C2 = ln (C jJ-l), yy ' '= y ,2+y'

Solución

cix + c2 = ln(cly - l ) => q = — entoncesq y - 1

/ = ^ - l => y = c 1y = c 12y = c1

yy' '= yy'c de donde al reemplazar se tiene: yy" = y ■2

Cx 2 2380) >- l n = x + e' d t , y{\ + ln y)y''+y'2 = 2xyex

Solución

y \ n y = x + ^ e ' dt => y i n j 9>'= l+ e ^ entonces:

208

(l+e* )

y 'ln j> + —— K y = 2 x e jr entonces: >’"lnj>+ + y = 2xex

2yxe^_ - ( l + e*2)2 2xy tS - ( l + e ^ ) 2

/ ‘( l n j ' + l ) - (l" ^ ^ . . . . - (l^ + 1,!y ( ln y + 1)

(2xyexl ~(l + e ' 2))

.2 _ (ln_y+l)2 , ( l+ ex ) 2^(1 + ln y)_y"+_v’ = ^ (l + l n j ) ---------------------------1-

y(ln_y+l) (lny + 1)

y C + l n y ) / ' + / 2 ■= >1 „(ln;; + l)2 (ln_y+l)

? r2por lo tanto: y(\ + ln y)y' '+y' = 2xye

209

REDUCCION DEL ORDEN DE LA ECUACION!

Se consideran los siguientes casos:

I.d ny

dx"m donde f(x) es función solo x o constante.

La solución se obtiene integrando n veces.

y - (...( ( f ( x )d x + cx) + c2)„¿n)dx

II. Cuando la ecuación no contiene la función incógnita y sus derivadas hasta el¡ orden k - 1 inclusive.

se puede disminuir el orden de la ecuación haciendo la sustitución y (k) (x) = p(x) , después de la cual la ecuación toma la forma:

F ( x ,p ,p ' .....p (n~k)) = 0

de esta ecuación determinamos:

P — f ? 2»***’ cn~k )

siempre que esto sea posible, y hallamos después y de la ecuación y^k) = f ( x , cx, c2,..., cn_k ) integrando k veces.

III. La ecuación no contiene la variable independiente.

F ( y ,y ’,y ' ' , . . . ,y m ) = 0

210

La sustitución y' - p permite reducir el orden de la ecuación en una unidad. En este caso se considera p como una nueva incógnita de y. p = p(y) expresamos todas las derivadas.

■ y ' . y w 00

mediante las derivadas con respecto a y de la nueva función incógnita F.

, dyy = ^ = p

M_ dp _ dp dy dp^ dx dy dx ^ dy

dx dy dy dy dx dy dy

poniendo estas expresiones en la ecuación en lugar de y'.y,,,...,y ('l) , resulta una ecuación diferencial de orden n - 1.

IV. La ecuación F(x, y , y '',..., y (w)) = 0 , es homogénea respecto a los argumentos

;(/l) ósea.

..

y ,y ' , y " , . . . , y (n) ósea.

se puede disminuir el orden de esta ecuación haciendo la sustitución:

f zdxy - e

donde z es una nueva función incógnita de x.

z = z(x)

V. La ecuación es tal, que al escribirla mediante diferenciales.

F(x, y, dx, dy, d 2 y,..., d n y) = 0

211

resulta que F es homogénea respecto de sus argumentos x ,y ,d x ,d y ,d 2y,.. . ,dny , donde se supone que x, dx son de primer grado e

y ,d y ,d 2y,...f de grado m.

dy d 2 yEn estas condiciones, — será de grado en m - 1, — — de grado m - 2 , etc.

dx dx1

Para reducir el orden de la ecuación se hace la sustitución x = e l , y - uemt, como resultado obtenemos una ecuación diferencial entre u y t que no contiene a t explícitamente, la cual permite reducir su orden en una unidad.

Integrar las ecuaciones.

381) y " = xex , y (0) = y '(0) = / '(O ) = 0

Solución

y " = xex => y"= ^ x e xdx + cx

y %= ex (x — l) + Ci9 y ' ' (0) = 0 entonces: 0 = - l + cx => c¡ = 1

y = e x( x - 1) + 1 => y ' = f ( e x (x - l )+ l)d x + c

y '= x e x + x + c , y '(0) = 0 entonces: 0 = 0 + c => c = 0

y '= x e x +x => y = J (xex + x)dx + c , de donde

x 2y = xex - e x + — + c , y(0) = 0 => 0 = 0 - l + 0 + c => c = 1

y = (x - l)e* + —

212

382)

Solución

r x 2 X3y"= J (— + cl )dx + c2 = — + c1x + c 2 entonces:

y ,v =x => y '”=^xdx+cx = ^Y + c l

. f , * 3 v . , x Cj 2y =] (— ■+clx + c 2)dx + c 3 => y = j 4- + — X + c2x + c 3

4 ^

y = J"(~~ + x 2 +c2x + c3)dx + c4 por lo tanto:

x C,x c2xy = ------ + —— h--------+c-,x + c4

120 0 2

383) / " = x l n x , y(l) = / ( l ) = y"(l) = 0

Solución

y " '= x ] n x => y ”= J x l n xdx+c entonces:

y " = ^ — ln x - —— f-c, y"(l) = 0 entonces 0 = 0 - —+ c => c = - 2 4 4 4

x 2 x 2 1 r x 2 x 2 1y "= — ln x - — + - => y '= \ { — \ n x - — + - ) d x + c2 4 4 J 2 4 4

x 3 x 3 x 3 X 1y '= — ln x -------------+ — + c entonces: y' (1) = 0 => c = —^ 6 18 12 4 6

213

f .x3 , 5x3 x 1^ J (T ln ,t“ l 6 - + 7 + 6 |, i ,+ c

X 5x X Xy = — ln x --h— + —+ c , y(l) = O

96 144 8 6

A n 5 1 1 370 = 0 -+ —i— ye => c = ---144 8 6 144

x 4 5x3 x x 37por lo tanto: v = — ln x ------ -i----1- — + -----

96 36 4 6 144

384) / " = x + cosx

Solución

y '"= x + co sx => y ” = J (x + eos x)dx + cl entonces:

X f xy " = — ■+• senx + => y'= (— + senx + cl )dx + c2

2 J 2

x 3 r x 3y = -eos x + Cj x + c2 de donde y = (-------------- eosx + c1x + c2)¿£t + c3

6 J 6

r 4 r r 2. X Ci Xpor lo tanto: = — -s e n x + —— + c2x + c3

385) / " = — 1 y ( l ) = / ( l ) = y ( l ) = 0(x + 2)

Solución

(x + 2) J (x + 2) (x + 2)

214

/ ' = ------- - r-+ ----- — r + c , / ’(1) = 03(x+2) 4(x+2)

a 1 2 10 = — - + — - + c => c = -----3 4.3 162

„ 1 1 1y = ------------ -+ ----------- -+ ----- , integrando3(x+2) 2(x + 2) 162

■ ír 1 1 1 wV - (------------ r + -----------r + ----- )í£c + cJ 3(x+2) 2(x + 2) 162

y'=------1— ------ J — + J L + C / ( 1 ) = 06(x + 2) 6(x + 2) 162

n 1 1 1 30 = --— — - + — —+ c => c —---------6.3 6.3 2.3 162

1 1 x 3v = ---------- ---------------— + ------1------, integrando6(x+2) 6(x + 2) 162 162

f . 1 1 x 3y = (---------- ---------------- + ---- + -----)dxJ 6(x+2) 6(x + 2) 162 162'

1 1 x 3x ... .y = ------------- + ------------ - + - —- + ---- t + c , y(l) = 012(x + 2) 12(x + 2) 4.3 2.34

1 1 1 3 * 10 = ---------1-------— -i------— H------- + c entonces: c = -----12.3 12.3 3.3 2.3 243

, 1 1 x 3x 1por lo tanto: y = ------------ ----------------+12(x + 2)2 12(x + 2) 4.34 2.34 243

215

386) / ,2- 5 /+ 6 = 0

Solución

y = p => v"= ~ de donde (— )2 -5/? + 6 = 0 entonces dx dx

= ^ + => - ~ = = dx => - ^ 5 p + 6 = x + cxdx 4$p + 6 5 w

4(5p + 6) = 25(x + q ) 2 entonces: 20 — + 24 = 25(x + cx)2dx

20dy = [25(x + c¡) 2 - 24]¿£t, integrando tenemos:

25 220y = - j - ( x + c1) -2 4 x + c2 , por lo tanto

5 , x5 6x c2y = — (* + Ci)3 ---+ —

12 U 5 20

387) ( l+ x 2) / ’+ / 2+l = 0

Solución

i dy dpy '= —~ = p => y"= — , reemplazando en la ecuación diferencial

dx dx

(1 + x ) — + p 2 +1 = 0 , separando la variable se tiene: dx

f c +7T Z T = 0 integrand0 \ ^ + ¡ 7 ^ J = c'p +1 l + x ¿ J p ¿ +1 J I + X

de donde: arctg p + arctg x = arctg c

arctg p = arctg c - arctg x

216

c — x c — Xp ------ :=> dy = -------d x , integrando miembro a miembro:1 + cx l + cx

.. x In 11 + ex | y = ln(l + c r )— + -------=----- + k

c c l

388) / ' 2- 2 y ”y'+3 = 0

Solución

dy d y dp , , j— = p => — í- = — = t de donde<fr dx1 dx

- 2 d- ? - . p+ 3 = 0 dx dx

^ , 2P ± V V - 1 _2! r r ^dx 2

dp = dx integrando y reemplazando se tiene:

1, , . 3x = — ln | r | h— - + q2 4r/ 3---1---- :4 4í

y = T + —y + c2

389) x y " = / ln —X

Solución

Sea z = ln — =>dz xy"-y ' y" 1 dx xy' y' x

V y” 1 y' xy"= y ’ln — => — = — ln — , reemplazando se tiene: x y ' x x

217

=> — (üi— - i ) y ' x x x y x x x

dz 1entonces: — = — (z -1 ) , separando la variable

dx xdz dx

----- = — => ln(z — 1) = In xc entonces:z — 1 X

yz — 1 = xc => z = l + x c => ln(-—) = 1 + xc se tiene

e cjr+1 eac+\ exc+1y'= x -------dx => y — x --------------

c C e

... y = e ^ - \ ) + kC c

390) y " 2+y'2 = y 4Solución

dy d 2 y dp— = p => — r- = p — , reemplazando en la ecuación diferencial:dx dx2 dy

=► & 2 - p 2 - 1dy dy

dp r~^ 7 dp— = v P =>' —f = = dy> integrandody

1 1árceos— = x + c => — =cos(;c + c)P P

dyp = sec(x+c) => — = sec(x+c), integrando

dx

2J8

_y = Jsecíx + cVit + c, => y + c2 = ln |tg (^ + c ,) |

391) y ” 2 + y " ' 2 = 1Solución

dpy " = p => y ' " = - J - entonces:

dx

y " ' = J l - y 2 = > — = J l - p 2 , separando la variabledx

^ =dx, integrando:

= [ ¿ r + c1 => aresen/; = jc + q => /? = sen(x + q )

— j- = sen(jc + cj) => / = -cos(* + q ) + C2 entonces dx

y = c2 x - sen(jc + Cj) + c3

392) / ’(l + 2 1 n / ) » lSolución

dy d 2y dp— = p => — = — , de donde dx F dx2 dx

— (l + 21n/?) = l => (l + 21n/?)d/? = dx dx

J( \ + 2\np)dp = J d x + c => 2 p \ n p - p - c + x

x+ c = p(2 ln j? - l) ^ + c = /?ln/?

219

393) x = v" 2+1'

Solución

y ' ,2= x - l => y ”= 4 x - ^ => / = - ( x - l ) 3/2+C!

5/2entonces: y = — (x~ l) + cxx + c2

394) 4y'+y"2 = 4y"= 4xy”

Solución#

Sea — = p => , reemplazando en la ecuación diferencial:* dx2 dx

Ap + (— ) 2 = 4jc— de donde * dx

— = 2 x ± 2 J x 2 - p 2 es homogénea de donde al resolver esta ecuación se dx

obtiene: y = c1jc(x-c*1) + c2 => ^ = ~3~ + c

395) y 2- / y = ( 2 L ) 2

Solución

— = p => — ^ = — de donde / ' ' = , reemplazandodx F dx2 dx ' dx2

X . . - , p =dx d x 1 x

220

dp du d 2p ~ i ,d 2u du— = — + u => — , = e (— -- + -—)» reemplazando en la ecuacióndx d i dx2 dz2 dz

.du 2 x - t , d 2u du. i e 2z . . .(— + u) - ue £ (— - + — ) = u —-—, simplificandodz dz2 dz e

d d d 2(— ) 2 + --------- — = 0 de donde haciendo la sustituciónydz dz dz2

du d 2u dw 2 dw _— = w => — - = -— => w + w ------= 0 entoncesdz dz dz dz

= dz resolviendo y reemplazando se tiene:2w + w

y = c2(xe“* - - e c'*)+c3 C\

396) y"(y'+2)ey' =1

Solución

^ = p => => — (/? + 2 ) ^ = 1 entonces:dx dw2 dx dx ^

(p + 2)epdp = dx integrando J (p + 2)epdp = j dx + c

ep ( p - l) + 2ep =jc + c entonces:

x + c = ep (p +1)1 dy

y + cx = p e

397) y = ^ + 4 , y(2) = 0, y (2) = 4JC >>

V* I P dx

Solución

221

y ' - p => y"= — de donde ^ — entonces:dx dx x p

d p 1 2 2 * d p 2 2 lp —— — — p = x l => 2/7 — — P 2xdx x dx x

sea z = /?2 => = 2/7 , reemplazando en la ecuación

— - — z = 2jc 2 es una ecuación lineal cuya solución es: dx x

r 2<¿¡rz = e J~ [ j V ~ 2jc2</x + c ] = e 21njr[ j V 2ll,j;2jc2<£t + c]

z = jc2(2x+c) = 2jc3 +cx2 => p 2 =2jc3 +cx2 => p = x-Jlx+ c

~ = ^¡2x* +cjc2 , y'(2) = 4 => 4 = -Jl6+4c => c = 0 dx

=> y = — x s /2+ k , y(2) = 0 => £ = - — dx 3 5

2x2 /-— 16por lo tanto: y = ------V 2x------^ 5 5

398) y " = ^ l + y '2

Solución

dy - - — d 2y _dp _

dx dx~ dx dx

í l = r = í= dx I = dx + c entonces:

222

_*-(*+*> dyp ------------------- como p = — , entonces se tiene

2 dx

ln | p + p 2 + 1 |= x + c => p + p 2 +1 = e*+r despejando se tiene:

dy e x+c-e~(x+c) f r e x+c-e ~ (*+c)& ” 2

integrando J dy + c = J -----------------dx entonces:

y + q =senh(x + c).

399) y " = y 'L n y ' , y \ x=0= 0 , y ' \ x=0=l

Solución

, , dz y " ,dzln y '= z => — = — => y — = ydx y dx

« i n . . dz , dz ,y = y in y =s> y — = y z => — = dx entonces dx z

ln z = x + c => z = e x*c => ln(lny’) = e*+c de donde

x+c

ln y ’= e => y ’= 1 para x = 0, c = 0 e integrando se tiene: y = x.

400) 2 / 11 ln y = y , y | = -6e 2, y' \ ^ = e“2

Solución

dy d 2y dp dp— = p => — r = /7— 21n p.p — = p entonces:dx dx2 dy dy

2 ln p.dp = dy => 2 J ln pdp = J dy + c => 2p in p - 2p = y + c

2 — ln — - 2 — = y + c entonces: 2e~2 ln<?~2 - 2 e -2 = -6e~2 + c => c = 0 dx dx dx

223

»y = 2p In p - 2p diferenciando dy = 2dp + 2 ln p.dp - 2 dp

pdx = 2 In p dp => dx = — -— dp integrandoP

2 -2 jc = ln p + c > x = 1 , y' = e entonces 1 = 4 + c => c = -3

ln 2 /? = x + 3 => p = e ^ c => ^ = integrandodx

■ = -2(V x+3 + l)e

401) y"+y ^ y T- ¡ = 0 , = 0 , i

Solución

y = p => y = — , reemplazando en la ecuación dada dx

— + P^j~P2 - 1 = 0 . = -dx integrando:dx ' J 7 -.2

J — ---- = - j* ¿fcr + c => arcsen/? = c - x => p = sec(c — x)

= s e c (c -x ) , x = ti, y = Fl => c = 2tidy_ dx

dj> = sec(2/r-x)dx , integrando se tiene

y = c - ln | tg(- ~ -— ) + ~ | => y = 0 para x = ti => c = 0

f , ,271-x^ K ,por lo tanto: j = - ln | tg(— -— ) + — |

224

402) 2 / / ’= l + / 2 , ^ L=0 = l n 2 - l , / | , =0= -1

Solución

— = p => ^ ^ = — , reemplazando en la ecuación diferencial se tiene:dx dx dx

dp , 2 2pdp f 2/?d/?' ~~ = 1 + /? => = dx =>dx 1 + /? J L-h/7

ln(l + /?2) = x + c , y' — P — “ 1 > x = 0 , ln2 = c

l n ^ - — =jc => l + /?2 = e 2* => p = ^ e 2x -1 => — = ^ e 2x -1 2 dx

dy = ^ e 2x - Id x integrando se tiene: j; = x - ^ 2 e x -1 + ln 2

403) jcy,,,+ y ,- * - l = 0Solución

y"= p => y '"= — , reemplazando en la ecuación diferencial se tiene: dx

x — + p - x - 1 = 0 => — + —/; = ecuación lineal cuya solución es:dx dx x x

p - e x

d 2 y x 1 Ci dy x 2 1, .— — = — h 1H------+ — entonces: — = — + x + — lnx + Ci lnx + c2dx2 2 2x x dx 4 2

3 2X X X X_y = — + — + — ln x — + q x ln x - c] x + c2 x , por lo tanto :

J.2 2 2 2

1 1 2 y = — (x + 6x ) + clx ln x + x(c2 - c 1) + c3

225

404) y'y" '-3y”2 =0

Solución

dy d 2y dp— = p => — — = p — de dondedx y dx2 dy

d ^ y dp 2 ¿ 2P ,,dp. 2 , d 2p „ „ i ,d p 2 n— f = M I) : + p — f = /> (M ) + />(— f )) - 3/»2 M ) = 0dx ¿V dy2 4v dy2 ¿V

resolviendo se tiene: x = cxy 2 + c2y + c3

7 * X4405) xy'2 / ’= / 3 + í _

Solucién

/ = /> => y * = ^ de donde x/ j2 ^ = />3 + —dx dx 3

de donde — p = — p 2 multiplicando por p 2dx x 3

2 dp 3 3 3 3 dz - 2 dp3 p -p = x sea z - p => — - 3 p —dx x dx dx

dz 3 3 - 3 Í - - f J— 3—------ z = x entonces z = e x [ \ e x x dx + c]dx x J

z = e 3]nx[ je~ 3lnxx 3dx + c] => z = x 3(x + c) => p 3 = x A+cx3

dy = x ljx + c integrando y = — lj(x + c)4 - — (x + c)7/3 + q4 4

226

406) x V M+ 2 x V '= l

Solución

/ • = / ? => y ' " = ^ - de donde x 4 ^ - + 2x3/> = 1 dx dx

¿P 2 1 - Í V r f í “ ,-£L+ —p = — => ;,=*> *[]<? * — + 0]dx x x J x A

p = e~2Xnx[ \ ^ r + c] => p = -Xr[—- + c] entonces:J Y 2 X

rf2y 1 c ' , </y 1 c— = — r + — integrando — = — -------+ c, integrando<£c x 3 xz dx 2x *

se tiene: y = - — - c ln x + cix2x 1

407) V l - x V ’+ V T - /2 =0

Solución

y '—p => / ' = — => V i - * 2 - ^ + J l + />2 =0 ¿foc dx

dp dx „ .- — r + ...... = 0 integrandoV T V

arcsen p + arcsen x = arcsen k, despejando se tiene:

p = k cos(arcsen x) - cos(arcsen k)x entonces:

dy =■ [k cos(arcsen x) — cos(arcsen k)x]dx, integrando se tiene:

1 £ 2 2 kx r 2 ky - — VI- x x + — V I- x + — arcsenx2 2 2

227

408) (jc - \)y ' ' '+ 2/' = ~ Y

Solución

jy"= p => y " ' = — , reemplazando en la ecuación diferencial

dx

/ 1 dP * + 1 dp 2 l ,( x - l ) - —+ 2/? = — — => — + -p = — r-, ecuación linealdx 2x2 dx x -1 2x

12dx 12dx -%~Í~¡T7r f J^T dx l rC( X~ l) , -> = e x l [ | e x 1 — P ----------t U ----- v ” dx + c]

J 2x 2 (x - l )2 J 2jc

d 2y 1 x 1— — = ------- — [— h* x -+ c] integrando dos veces se tiene:dx2 ( x - l ) 2 2 2x

xy = —lnx + c ln | jc-1 \+c3x + c2

409) y " y 3 =l

Solución

y”y 3 = 1 '=> y = - y => y ' % = ~ 3y 3 ¿fe y 3

_y'— = —— entonces

y 2 1 , I 1— = - —-j-.+ Cj => y = J c2 ---- 2 lntegrand0

2 2y2 y y 2

setiene: c2y 2 -1 = (c2x + c 3) 2

410) yy”- y ’2- 1 = 0

228

Solución

y'= p => y ”= p — de donde y p - - p 2 - 1 = 0ay <fy

entonces: — = 0 => -^ln(l + ^ 2) - ln y = lnAr1 + p " J

>2 .

yl n | l + p 2 l - l n y 2 = l n i 2 => - ** - k 2 => p 2 = k 2y 2

p = 4 k 2y 2 -1 => ^~-=^jk2y 2 -1 => ^ -----= rfr<£t

</yV

l n | ^ + 7 * V 2 -l N fcc+q yk + ^jk2y ^ ~ l = e**+C|

411) 3 / / ’= 2 y , y(0) = y (0 ) = l

Solución

y ' - p => y " = p — de donde 3p.p — = 2y dy dy

entonces 3p 2dp = 2ydy => p 3 = y 2 +cx entonces:

P =^¡yT +ci => ‘d x = ^ y2 + C i’ x = 0 , - y - 1

1 = J/l+Cj => C[ =0 =>• — = ífy 2 entonces:d y _d x

y~í l i dy = dx integrando: 3y1/3 = x + c => 7y = (x + c )3 ,

-1 |= ;r+ c

x = 0, y = 1

229

i

de donde: c = 3 => y = ( ^ +1)2

412) y " - a e y

Solución

y' — p => y " = y '— de donde y ' ^ - = aeydy dy

entonces y' dy'= aeyu integrando —— = aey +cx => y'='Jaey + c

dy , . , . l , i \ a e y+ c 2 - c= dx integrando se tiene: x + k - — l n | ------------------- --- — (U lULbglOlIUU »V UWUV. A 1 ft.------- 1U | i ...—-----------y a e y +c c y a e y + c 2 +c

413) 4 / '= 1

Solución

y " = y ' ~ => 4 y ^ = —L => 16y'dy’=dydy dy 4^ y

8 y '2 = y + c => y'y + c dy _ dx

8 -Jy + c 2^/2

entonces: i J y + c = —4 = + k entonces: 4-JxJy + c =x+2kyfxi 4 x

414) 3 y " = y ~ sn

Solución

230

dv' dv'y " = y '~ — de donde 3 y '~ - = y~sn entonces:

dy dy

3y'dy' = y 5lidy entonces — — = - — y~2/}+c2 2

y — k — y => y' — -Jk — y 2/3 integrando se tiene:

c2 ) = i(2 c 2>’2/3 +1)-Jc2>,2/3 —1

*•15) 1 + y '2 =2yy”

Solución

y'= P => y " ~ P ~ de donde l + p 2 = 2 y » -~ dy ^ dy

dp _ 1 p , dp 1 1 ¿y 2 ^ 27 ent° nCeS: — , ecuación de Bernoulli

-) 1 2 1 2 ífe ¿fo2 /> --------p l = - sea z — p => _ = 2o -£ -^ y y ' ¿ y

¿z 1 13 -------z ~ — , ecuación lineal cuya solución es:dy y y

z = e l d y + c ] = e lDy[ j e - lay± + c] => ' 1

z = - l + c y entonces /?2 = - l + cy => p = - \

dy i— — dy 2 i-------~ = J c y - \ => ^ z ¡ = dx =* - j y ^ ^ x + k

por lo tanto: 4c1( ^ - c 1) = (x + /t)2

231

416) y V = - 1. y (l)= 1, / (1 ) = 0

Solución

y ”= y ' ~ => y 3y ' ^ r = - 1 => ?<% '=--%dy dy y

i 1integrando: / = — + c , y = 1, y '-Q

ílo = i + c => c = -i => y 2 = ~ - i => / = — -

y 2 y

,2

= dx => - - J l - y 2 = x + c para x = 1, y = 1ydy

entonces: 0 = 1 + c => c = -1 => —<Jl-y2 — x —\

1 - y 2 = x 2 - 2 x + l porlotanto: y = 4 l x - x 2

417) y ’" = 3 y y ' \ y(0) = y '(0) = l , *"(<>)-1

Solución

y " = p =!> y ' " = p — dedonde P ~ j - = 3yp dy dy

entonces dp = 3ydy integrando p = ^ y 2 +c

para y = 1 , y ”= \ => —- y = -^^2 entonces2 dx 2

y ^ - = ^ y 2 => 2y'dy'=3y2d integrando:

232

y 2 = / + c , y '= 1, y = 1 => 1 = 1 + c => c = 0

y '= y i n => y 3l2dy = dx => - 2 y ~ 112 = x + c

2— p - = x + c para x = 0, y = 1 => -2 = 0 + c =í

J y

—%? = x - 2 => - J y = ------ porlotanto: yf y V * - 2

418) y y " - y ’1 = y 2y'

Solución

dp 2 2y'= p => y "= p — dedonde y p - - p = y pdy dy

— p - y ecuación lineal cuya solución es:dy y

_f_4v f fZ .p - e y [Je ^ + c] => = e ln>?[j dv+ c]

~ - = y(y + c) => — —— = dx integrandodx y ( y + c )

yse tiene: cx+k = In | — —!

419) yy ' '= y '2

y + c

Solución

dp dp 2y ’ = p => p — = y " dedonde y p — = p

dy dy

entonces:

c = -2

4

“ ( x - 2 ) 2

y — = p => — = ^ => lnp = Incy => p = cy /> >>

— = cy => “ = cdx => In y = ex + k => y = Aec dx y

420) y = « 2' , y (0 )'= 0 , / ( 0 ) = 1

Solución

y"= y’— => v’— = e2y de donde:' ' ¿y ¿y

y 'd y '= e2ydy => y 2 = e 2>,+c para y = l , y s 0

1 = 1 + c => c = 0 => y = e y => e~yd y - d x

- e -y = jc+c, x = 0, y =0 => 1 = 0 + c => c = -1 => - e y = x - \

y 1 . . 1 . . . 1e y =1 -x

^ = l n |—— 1= ln | — - 1 entonces: y = - ln¡x — 111 — x x - 1

421) 2yy"-3y’2 = 4 y 2

Solución

y ' - p => y = p — dedonde 2 y p - - 3 p 2 - 4 y 2 dy dy

dp 3 2y dp 3 2 A— => 2 p - f - ------- p = 4 ydy 2 y p dy y

2 dz _ dp dz 3 ' r isea z - p => — = 2/7— = > -------- z = 4 y , ecuación lineal¿V dy dy y

234

422)

423)

z = e [J e v 4^¿/v + c ] , integrando tenemos

p 2 = .v2[ - —+<■] » p = -¡ ty l - 4 y => -T * É = = dxy ^ T y

integrando se tiene: >’ eos2 (x + c) = k

y = i+ y 2

Solución

dp dp 2y ,= p => y 1 = — de donde — = ! + /?“ , separando la variable

dx dx

dp ,entonces ----- — = dx integrando:i + p 1

dyarctg p = x + c => p = tg(x + c) => — = tg(x + c)dx

de donde y + k - ln |cos(x + c)| = 0

xy '(yy" -y '2 ) - y y ' 2 = x * y 3

Solución

dy .du . ,(— + u)et < ^ dy dt dt dux = e , y = ue => — = ~ ^ --------- = — + u

dx dx e' dtdt

d j yd x2

d dy — (— )

d t_ d t _

dxUt

d 2u dudt 2 + 'í/r

= e ' (d í2

du.+ * >

235

424)

después de reemplazar en la ecuación dada se tiene en la forma:

d u du ,d u .2 du— —+ — = (— ) => —dt dt dt dt

d 2u _ dp d t2 P du

, , du 2 dpde donde p — + p - p = p - \ entonces:

dp du

dpp - 1

p = l+ e u+c

-d u => ln ¡ p - l | = u + c => p - l = e u+c entonces:

dudt

= 1+eu+c resolviendo y reemplazando se tiene:

(x2+c)}ny = ke

x 4y " = ( y - x y ' ) 3 ; y(l) = y' (1) = 1

Solución

x 4y " = ( y ~ x y ' f => x 4y ” = - (x y '-y ) i entonces

x 4y" (xy'-y)3(x2)3

y = (xy ~ yo2 ' 2 * X X

= -(^ -)3 => (~ ) '= p(x) => ^ = ^p(x )dx

y = x j p d x derivando y ’= J pdx + xp => / ' = p + p + xp'

y " - 2p + xp' por lo tanto:

, y v 3 _ 2p + xp' 3 _ p ' , 2 p _ 3— - - ( — ) = > ------------ -----------= - p = > — + — - = - px 2 X x2 X x 2

236

/>'+ — - - x p 3 => - 2 p 'dp’+ - p 2 =2xX X

2 dz - _ i , dz 4sea z = p => — = —2p p => — — z = 2xdx dx x

e 4dx c Adx

ecuación lineal z - e x [Je r 2xdx + e\ entonces

z = x A\ ¡ —~dx + c] => p~2 = x a( - A t + c) => p~2 =cxA ~ xJ V

x^cx -1 x^cx -1 x

x^cx2 -1 ^ c x 2 - ¡

1 X= 0 ==> c = oo luego para x - 1, c —>oo ==> — =====. -> o

dy dx ,xy - y = O => — = — => lny = lnx + c, p a rax = l, y = i

y x

In I ~ ln 1 + c : r> c ~ 0 => Iny = lnx y = x

425) y"+y’2+2y' = 0 , ^ = ln 2 , y j ^ - l

Solución

dpy'= p -> y = /? — de donde se tiene

dy

p - — + p 2 +2p = 0 => - - ± p + 2 = 0 => ^ +dy = 0dy dy p + 2

237

— = k e y - 2 , para v ' = - 1, y = ln2 => - 1 = —- 2

entonces: k = 2 => — = 2(e - 1) = 2(-—— )

------- dy = - 2<¿x integrando ln | e y - 11= —2x + cey -1

e y -1 = Ae~2x, x = 0, y = ln 2 => 2 - l = A => A = 1

= l+ e _2jr => 7 = ln 11 + e~2jr |

426) y = y a + y * )

Solución

dp dp ?y = p => y " = p — de donde p — = /?(1 + P )

dy dy

—'— = ¿V => arctg p = y + c => p = tg(y + c)1 + /7

dy— = tg(^y * => ctg(y + c)dy = dx por lo tanto: dx

ln |sec(y +<)(/- x + k

427) 3 / ’= ( l + y 2 )3/2

entonces: ln|p + 2| + y = c => ln|p + 2| = c - y => p + 2 = ke y

Solución

238

y - p => y '= p — de donde 3p~— = (l + /?2)3/2 rfy dy

entonces: ---- — dp = dy => - = J L = r= y + c(i+ />2) 3' 2 J i V

— y = (>' + c)2 => P 2 + 1= 9 =» ^ = J —i + p (y+ c) y ( y + c ) 2

_-------- — -1 integrando se tiene: (jc + k) + (3/ 4- c) = 9O'+e)

428) y '( l + 2 1 n y ) = l , y\x=0 = 0, y \ ^ = l

Solución

y’= p =» y " = p — de donde p — (l + 21n/?) = ldy dy

p(l + 21np)dp~dx => J p(\ + 2 ln p)dp = j dv + c

y '2 ln y '= y + c , y = 1, y = 0 => 0 = 0 + c => c = 0

y '2 ln y '= y => y - p 2 diferenciando

dy = (2p ln p + p)dp => p dx = (2p ln p + p)dp entonces:

dx = (2 lnp + l)dp integrando x + k = 2p ln p - p, x = 0, y'= 1

0 + k = 0 - l => k = -l => x = 2p In p - p + 1

429) y"(y'+2)ey' = 1 , y |x=0 y' |x=0 = -1

Solución

239

y ' - p => y"= p — de donde p — (p + 2)ep =l dy ay

( p 2 + 2p)epdp = dy => J c p 2 +2p)epdp = jd y + c => p 2e‘

p ep ‘2 - J y - c , y ' - - l , x = 0, y = e_1 entonces:

- e 12 = y e 1 +c => e ¡ = e 1 + c = > c = 0 entonces

\x = (p+ \)e‘’

\ y = p 2ep

Solución

y ( y y " ' - y ' y " ) - 2 y ' ( y y " - y '2 ) + ^ ( y y " - y '2 ) = 4

2 x V (^ " - y 2 ) |y y 2 y y 2 y 2

x 2 (— )’-2 jc2 (—)(—),h-a:(^-),= 1,

x 2(/?'+p 2)'-2jc2pp'+xp' = 1 => x 2(p ' '+ 2pp ') -2x2pp'+xp' =1

x 2 p"+xp' = l sea x = e ' es una ecuación de Euler

= . á í f „ , dr2 ¿í dt d t2

~ y + c

240

entonces: p ' - t - v c => p = — + cf+£2

y t , — = — + cr + k

yy

+ c ln x + & integrando:

J — = J ^ + c \nx+k)dx+cx, ln 2 x

y = c2e*(-j~ln2 x + c ln x + A)

431) Hallar el tiempo que necesita un cuerpo para caer a la tierra desde la altura de400,000 km. (aproximadamente esta es la distancia desde la luna hasta el centro de la tierra), si la altura se mide desde el centro de la tierra y el radio de la misma es de 6,400 km. aproximadamente.

Solución

r = 400,000 km.

R = 6,400 km.

t~

Condicion del problema:

F = ma de donde:

GMm M------ — - ma => a = — -

r r

entonces:d 2r dt2

CM„2

d 2r .dr'resolviendo el problema aplicado: - = r'~^~ se tiene que: t= 122 horas.

■I <2) Hallar la ley del movimiento de un punto material de masa m que se mueve por una recta OA debido a la acción de una fuerza repulsiva que es inversamente proporcional al cubo de la distancia del punto x=0 cm hasta el centro inmóvil 0.

241

Solución

Ni

n i —#-

HN

Condición del problema:

F = —— = md 2 xd i1

resolviendo la ecuación se tiene:

2 « / , 2 j j d x kx = — (í + c2) +c{ donde m — — = —Cj d i1 X

Un cuerpo de masa m cae desde una altura con la velocidad v. Durante la caida, el cuerpo experimenta una resistencia que es proporcional al cuadrado de la velocidad. Hallar la ley del movimiento del cuerpo.

Solución

Condicion del problema:

d 2xm — y- = mg - k(—~) d i2 di

al resolver esta ecuación se tiene:

m ea t+ é 'ca -figx = — ln(— — -----), a = -----

k 2 m

t íx

4_

-|v„

mg

Hallar una curva que pase por el origen de coordenadas de modo que el área del triángulo formado por la tangente a la curva en uno de sus puntos, ordenada del mismo punto y el eje OX , sea proporcional al área del trapecio mixtiiineo formado por la curva, el eje OX , y la ordenada de este punto.

Solución

S2

Condición del problema: k = (— .v) — = ¥—V 2 2 /

; = k¡oydx derivando ÿ 2- y 2"= 2 ky ÿ2 entonces2y'

2 ÿ 2- y y ”=2ky'2 sea p = ÿ => y"= p — reemplazandody

2P 2 ~ y p ^ - = 2kp2 => - y p ^ ~ = (2 k -2 ) — ay dy y

- \n pcx= \ny2k~2 => ~ — = y 2k 2 entonces:PC i

d x - c xy 2k~2dy => xc = y 2k~l

435) Hallar la curva cuyo radio de curvatura es constante.

Solución

Sea p el radio de curvatura ( p = ~ ) dondek

243

, / " ( * ) , ( ! + / ' (x)2)3/2

( i + / ' w 2)3/2 r w

tondición del problenlá p = a, a constanteVM'V, -

(1+ / ',(, / V — = á =* ( l + / ’W 2)3/2= / " W a / " ( * )

sea f ' ( x ) - ^ - = p => /"(*) = -^

( l +/?2) 3/2 = a — => dx = — ^ ~ r p r entonces: <fe (l + /> )

t ~----- — — ^ j ........— ■■■■-

+ — (x + Cj)2

¿y = . ( x + C l ) d x => y + c2 = a/ o 2 - ( x + Cj ) 2

-Ja2 - ( x - c ¡ ) 2

por lo tanto: ( x + c , ) 2 + ( y + c 2) 2 = .R , /í = a 2 constante.

244

ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES PEÍ ORDEN “n”l

r : r v 'M*:5 * / f r t H p , ; y - 7 .A S r ,

¡DETERMINANTE DE WRONSKY (WRONSKIANO)I

Consideremos un sistema finito de n funciones

JiC*), y2(*), (*)

definidas en el intervalo (a,b), diremos que son linealmente dependientes en el intervalo (a,b), si existen constantes oc ,cx2,•••,#„ que no son todos iguales a cero tales que para lodos los valores de x de este intervalo se cumple la identidad.

a 1 ?! (*) + g2 y2 (*) + - + a n y n (*) = 0

‘.i en esta igualdad se tiene que: a l = a 2 =... = a n = 0

diremos que las funciones:

y i t o , y 2M ^ y n(x)

son lineaímente independiente en el intervalo (a,b).

Averiguar si las funciones dadas son linealmente independiente en su campo de definición.

436) 4,x >Solución

4 a + Px = 0 derivando se tiene: P = 0 => a = 0

como a = P = 0 => 4,x son lineal mente independiente.

437) 1, 8, x, x 2

Solución

a x + 2 a 2 + a 3x + a 4x 2 = 0 derivando a 3 + 2 a 4x = 0 derivando

a A =0 => a 5 =0 => a l = -2 a 1 son linealmente independíente.

Solución

ax + 2/ix + yx2 = 0 derivando a + 2p + 2yx = 0 derivando

y = 0 => a = -2P por lo tanto no es linealmente independiente.

439) ex , xex , x 2ex

Solución

aex +xex +yx2ex = 0 => a + /2r + )ct2 = 0 derivando

P + 2yx = 0 => y = 0 = > P = 0 => a = 0 por lo tanto:

a = p = y = o entonces las funciones son linealmente independiente.

440) senx, cosx, cos2x

Solución

a x senx+ a 2 eosx + a 3 eos2x = 0 derivando

a x c o s x - a 2 s e n x - 2 a 3 sen2x = 0 => a x - a 2 t g x - 4 a 3 senx = 0

derivando - a 2 sec 2 x - 4a 3 eos x = 0 de donde

- a 2 - 4 a 3 eos3 x = 0 derivando 12a3 eos2 xsenx = 0

entonces: a 3 = 0 => a 2 = 0 => a! = 0 => CL\ = a 2 = a 3 = 0

por lo tanto las funciones son linealmente independiente.

246

441) l,senx, cos2x

Solución

a x + a 2 s e n x + a 3 cos2x = 0 derivando a 2 c o s x -2 a 3 sen2x = 0

a a 2 - 4 a 3 senx = 0 derivando -4 a 3 cosx = 0 => a 3 = 0

a 2 = 0 => a j = 0 => a x = a 2 = a 3 =0

por lo tanto las funciones son linealmente independiente.«

442) 5, cos2 x , sen2 x * '

Solución

5«! + a 2 eos2 x + a 3 sen2 x = 0 derivando

- 2 a 2 sen xeosx + 2a 3 sen xeos x = 0 entonces a 2 = a 3

entonces 5«! * a 3 entonces: a 3 = - 5 a }

por lo tanto son linealmente dependiente.

443) cosx, cos(x+ l), cos(x -2 )

Solución

acosx + Pcos(x + 1) + ycos(x - 2) = 0 derivando

-asenx - Psen(x + 1) - ysen(x — 2) = 0 por lo menos uno de los a,p,y son diferentes de cero por lo tanto son linealmente dependiente.

444) 1, sen2x, (sen x -co sx )2

Solución

a + /?sen2x + /( s e n x -c o s x )2 = 0 => a + Psen2x + y (l-sen 2 x ) = 0

247

derivando 2|fcos2x - 2ycos2x = 0 p = y

por lo tanto son linealmente dependiente

445) x, a 108"**

Solución

ax+ /fa logax = 0 derivando se obtiene que a = V|/(P)

por lo tanto no son linealmente independiente.

446) logflx , loga * 2> x > 0

Solución

a lo g a x + P loga x 2 = 0 => a loga x +2/? loga x = 0 = > a = -2p

las funciones no son linealmente independiente.

447) 1, arcsen x, árceos x

Solución

a + P arcsen x + y árceos x = 0 derivando:

i h ~ i h =0 * P=Y

las funciones no son linealmente independiente

448) 5, arctg x, arcetg x

Solución

5a + p arctg x + y arcetg x = 0 derivando:

P Yl + x 2 l + x 2

= 0 => p = y las funciones no son linealmente independiente

248

X X449) 2ti, arctg— , arctg—2n 2n Boioniñ n as! oup KornegnoquZ

Solución

13x x2na + p arctg— + yarcc tg — = 0 derivando 2n 2n

1 1

p — 2 * ----r _ 2 | ---- o =. p-r

i +<2 Í )! ,+ < 2 Í )2

las funciones no son linealmente independiente

450) e ' fl,2/í fXe a,1' 1dtJo

Solución

x2 /l pxae-aX 1+pe~aJ 1 ^ e a,2,1dt => a + p ¡ * e a,2/2dt = 0

n*2'1derivando fie = 0 = > p = 0 = > a = 0

las funciones son linealmente independiente

fi451) x, x \ ■—r-d i , x > 0

J*0 tSolución

f1 e* f1 e 1a x + p x \ - j d t = 0 => a + fi I — dí= 0 derivando

Jxo t XQ t

se tiene P = 0 => a = 0

las funciones son linealmente independiente

249

Supongamos que las n funciones y\(x ),y2(x).....y„(x) admiten derivadas hasta el

orden (n— 1)

El determinante:

M .y i ,y i ,~ ,y n ) ss

se llama determinante de Wronsky (o Wronskisniano), de estas funciones se observa que el Wronskiano es una función de x definida en cierto intervalo, para el caso de tres fondones, el Wronskiano tiene la forma:

y i W y 2(x) y n(x)

y !(*) y[(x) y l w

y {r l)(x)

w iy i ,y 2. y i ) =

yi(x) y 2(x) y 3{x) y[(x) y\(x)

y \ (*) y\(x) .y 'w

En los siguientes ejercicios se pide hallar el Wranskiano de los sistema de funciones indicadas.

452) 1, x.

W =

Solución

= 1 , 0 = 1 => w = 1

453) x, -X

Solución

454) l , 2 , x 2

Solución

i 2 x 2k w = 0 0 2x

\0 0 2

= 0 w = o

455) - x ^„-Xe , xe

Solución

H1><

H1

- e ~21 X

H11*111

— C “R

"17 = e 2jr( l - x + x)

--2xW ~e~'"■i

456) e*, 2 e \ e~xSolución

e x 2ex e x 1 1 1w = e x 2ex - e x = 2ex 1 1 -1

e x 2ex e~x i 1 1 1

= 0 entonces: W = 0

457) 2, cosx, cos2x

2 cosx cos2jc 0 -se n * - 2 sen 2x 0 L cosx - 4 eos2x

Solución

= 2(4 sen x eos 2x - 2 eos x sen 2x)

= 4(2senx.eos2 jc -2 se n 3 jt-4 sen x .co s2 x)

W = ~8sen(sen2 x + eos2 x) = -8 sen x

251

71,458) sen x, sen(x + —)

Solución

W =sen* sen(x + -—)

471,

eos* cos(x+—) 4

K / Ü \= sen x cos(x + ) - eos x sen(x+ —)2 2

W = -

X x459) aresen—, aresen —

7t 71

Solución

W:

X Xarccos— aresen —

71 71

1 1

i 71

X xW = ....... - ....... (arccos — h aresen —) entoncesV *2 - * 2 * *

w = -71

-yj7T2 - X 2

, |x| < 71

460) ti, aresen x, arccos x

Solución

252

W =

ti aresen x arccos x

1 1

4 i - 7 22x

W = — 7DC

J T - x 2- 2 x( l - x 2)3' 2 ( l - x 2)3/2

2/Tt(1-X 2) 2 í l - x 2) 2

461) 4, sen2 x,cos2x

= 0 por io tanto;

4 sen2 A'w = 0 sen 2x

0 2 eos 2*

Solución

entonces:

W = -4 sen2x.cos2x + 4 sen2x.cos2x = 0

462) x, inx

W =x Inxi I

x

Solución

= 1 - ln x => W = 1 — 1 n x

'163) ex

W =

Mx

Solución

A i x

J 'xe V x e U x e \ ! x

■ — + — = _ _ ( *

x X ¿ X

W = 0

w = 0

253

464) ex senx , ex cosx

W =

Solución

e' cosxe senx + e cosx e c o s x -e senx

W=e~sen x eos x

sen x + eos x eos x - enxentonces

W = e2v(sen x co sx -sen 2 x -s e n x c o s x -c o s 2 x) = - e 2x

entonces: W = - e I x

465) e 3x sen 2 x , e 3x cos 2x

Solución

W = e 3x sen 2x e 3x cos 2x-3e~3x sen2x + 2e“3x cos2x -3 e 3x co s2 x -2 e ~3A sen2x

W = e - 6 x sen 2x cos 2x- 3 sen 2x + 2 cos 2x - 3 cos 2x - 2 sen 2x

W - e 6x[-3 sen 2 x co s2 x -2 se n 2 2x + 3 sen 2 x co s2 x -2 co s2 2x]

w = e 6x (-2(sen2 2x + cos2 2x)) = - 2 e '6x

466) cosx, senx

Solución

Wcos x sen x

- sen x cos x= cos2 x + sen2 x = 1 entonces W = 1

254

467) sen(~ - x ) , cos(- - x) 4 4

Solución

W =sen (---x ) cos(—-x )

4 4~ cos(~— - x) sen(— - x)

4 4

^ - sen 2 (—~ x) + cos 2 (— - x) = 1 por lo tanto: W =1 4 4

TEOREMA.- Si el sistema de funciones y , (x ) ,y2(x),...,yn(x) es linealmente dependiente en el segmento [a,b] su Wronskiano es idénticamente

nulo en [a,b]. Asi, pues, el sistema de función sen x, sen(x + —), sen(x- —) es8 8

emente aependiente en el intervalo <-oo,oo> y como fácilmente se comprueba, su Wronskiano es igual a cero.

I.ste teorema solamente indica la condición necesaria para la dependencia lineal de un sistema de funciones. El reciproco no se cumple, puesto, que el Wronskiano, puede ser nulo, sin embargo el sistema de funciones son linealmente independiente.

I n los siguientes problemas se pide dem ostrar que las funciones dadas son Ilnealmente independiente y su Wronskiano es idénticamente cero, construir las gráficas de estas funciones.

x 2 si - l < x ¿ 0 [o si - l < x < 0y i ( x ) ~ r J‘ , y 2(x )= . 2

[0 si 0 < x < 1 ‘ \ x 2 si 0< x < 1

Solución

255

Y t

469)

Para demostrar que:

qfx+P/2 = 0 => a = (3 = 0 si x e[-l,0]

aafx(x)+ Pf2(x) = 0 => ax2 +P>0 - 0 a = 0

si x e [0,1 ] => afx (x) + Pf2 (x) = 0 entonces:

a.O + P jc2 - 0 r=> p = 0

luego a = P = 0 J\ y f 2 son linealmente independiente.

Consideremos el wronskiano W en [-1,0] y en [0,1]

W- X2 oj

2x o|.= 0 , W = 0 x-

0 2x= 0

periotanto: W[fx, f 2] ~ 0 e n [-1,1]

0 s i 2 < x < 4>'¡ (*) = ■{ -> ’ y 2Í*) =l (x-I>2 si 0 < x á 2

( x - 2 Y si 0 < x < 2 0 si 2 < x < 4

Solución

256

y i 2 4

Por demostrar que:

+ => a = p = 0 => si x g [0,2]

a.0 + p ( x - 2 )2 = 0 P = 0 => x g <2,4] entonces:

a . ( x - 2 ) 2 +p.O = 0 => a = 0

por lo tanto a = p = 0 las funciones son linealmente independiente.

Consideremos el wronskiano en [0,2] y en <2,4]

= 0 por lo tanto: W[yx, y 2 ] = 0w = 0 ( x - 2 ) 2 = 0 , W = ( x - 2 ) 2 0= 0

0 2(x - 2) 2(x -2) 0

JE3 SÍ - 2 < x < 0 í ° siy i w = . >

[V SI VIXVo

i* si

Solución

Por demostrar que:

ay1 (x) + Py2 (x) = 0 => a = p = 0 si x g [-2,0] entonces

257

aje3 +P.0 = 0 =*■ a = O si x e < 0,1] entonces

a . 0 + /3 jc 2 = 0 => p = 0 por lo tanto a = p = 0 entonces y \ ( x ) , y 2(x)

son linealmente independiente.

Consideremos el wronskiano en [-2,0] y en <0,1]

W =x 3 d

1 - 0 . w =0 x 2

, i3x2 0! 0 2x

por lo tanto: W[y{ , y 2] = 0

471) yj(x) = JC2, y 2(x) = x |x | , - l á x á l

Solución

í- x 2 si — l á x < 0 y 2(x) = x \x \= \ 2

¡xz si 0 < x < 1

258

Por demostrar que:

ayx(x) +fiy2(x) = 0 => ot = p = 0 si x e[-l,0> entonces:

aje2 + P ( - x 2) = 0 => a —p = 0 si x e [0,1] entonces:

a a 2 4- Pjc1 = 0 => a + p = 0

Luego:a - p = 0

=> a = p = 0a + fi =0)

por lo tanto las fiinciones y x (x) , y 2 (x) son linealmente independiente.

Consideremos el wronskiano en los intervalos [-1,0] y en [0,1]

W =

W =

X2 - X 2

2x - 2 x= -2 x 3 + 2x} = 0 => W = 0

2 2 X X = 2x} - 2 x 3 = 0 => W = 02x 2x

por lo tanto: W\yx, y 2] = 0

259

Ie TITACTONES LINEALES HOMOGENEAS PEI [COEFICIENTES CONSTANTES.]

Es la ecuación diferencial de la forma:

4g0y (/l)+ q [y (w 1}+... + flwy = oj . .. (1)

donde a0, ax an , son constantes reales.

Consideremos la ecuación característica

a0An + axhn 1 + ... + an - 0 . . . (2)

supongamos que Alt A2,...,An son las raíces de la ecuación (2), en las cuales se presentan los siguientes casos:

a) Si Ai, A.2 K son reales distintas, el sistema fundamental de soluciones es,

e \ x ' e^ x e -x„x y ja soiuci5n general es:

y = cxeKx + c2e ^ x +...+cneX'x

b) Si Aj,A2,...,An son reales y algunos de ellos son de multiplicidad por ejemplo A, = A2 = ... = At = A , de modo X es una raíz k = múltiplo de (2), mientras que m - k reales distintas, el sistema fundamental de soluciones es:

e**, x e * * x k-xe**, e^k*, x eKx

y la solución general es:

y = cle*x + c2xe*x +... + cneKx

c) Si alguna de , A2 A„ son raíces imaginarias supongamos que:

Aj =C£ + //3,A2 = ex — iß ,A3 = A + íA,A4 - y - i S

260

y las demás son reales. Entonces el sistema fundamental de soluciones es: eax eos /&,£** sen cosSx^e** sen 8xyeS*x ,...,eXfíX


y = cleax cosßx + c2eca sen ßx + c ^ eosáx + c4e& senöx + c5eX*x +... + cneX”x

d) Si A j= a + i/3 es una raíz k-múltiplo de la ecuación (2) (k < entonces

A2 = a -i(5 también será una raíz k-múltiplo y el sistema fundamental de soluciones es:

e™ eos sen fk^xe0“ eos fk.xe™ sen fixJ.. .,xn~leax eos )3r,

x^ 'e™ sen ,.. .,eXnX


y = cleax eosPx+ c2e<xx sen fix + c3xe™ eos px + c^xe™ sen fix +...

+ c 2kx k~le axfíx + C u + iX ^e0“ sen fix + ... + cne X"x

Formar las ecuaciones diferenciales lineales homogéneas conociendo sus ecuaciones características.

473) A2 + 3A + 2 = 0

d 2y n dy- + 3 — + 2y = 0

Solución

dx dx

474) 2A2 -3 A -5 = 0

Solución

2A2 - 3A - 5 = 0 => 2y' '—3y'—5y = 0

261

Solución

A(A+l)(A + 2) = 0 => A(A2 +3A + 2) = 0

Aj + 3A2 +2A = 0 =» y"'+2y"+2/=°

" 6> . < A2+1)2=0 Solución •

(A2 +1)2 = 0 => A4 +2A2 + 1 = 0 => y ^ y ’+ y - o

477) A3 = 0Solución

" r ” “ S “sus ecuaciones características y escnoir

478) A) = 1 , A2 =2

Solución

(X -l)(X -2> = 0 =» A! - 3 i + 2 - 0 => ¡ r - W *

y = Clex + c2ex (solución general)

479) A, = 1 , A2 = l Solución

At = 1 , => W '1 ) ! = ° * *r - W + 1 ‘ °

V. . 2v.+ 1 . 0 por lo tanto: y « , « ' « , » ' (solución gonertfentonces: y -¿y + i - u

475) \(X + l)(X + 2) = 0

262

480) Aj = 3 - 2 / , A2 = 3+2/Solución

Aj = 3 - 2 / , A2 = 3 + 2 / => (A -3 )2 = -4

A2 - 6A + 9 + 4 = 0 => y '-6y'+13_y = 0 entonces

y = c,e3* eos2x + c2eix sen 2x (solución general)

481) Aj =1, A2 =1, A3 =1Solución

Ai =1, A2 =1, A3 =1 => (A - l)3 =0

A3 -3A 2 +3A -1 = 0 => y - 3 y " + 3 y - y = 0

y = c¡ex + c2xex + c3x 2ex (solución general)

Formar las ecuaciones diferenciales lineales homogéneas si se dan sus sistemas fundamentales de soluciones.

482) e~x , exSolución

A = - 1, A = 1 => (A + 1)(A-1) = 0 => A2 -1 = 0 => y " - y = 0

483) 1,Solución

A = o , X = i => A2 - A = o => y - y = o

484) e~2x, xe~2xSolución

A = -2, A = -2 => (A + 2)2 =0 => A2 +4A + 4 = 0 entonces:

y ”+4y’+4y = 0

.

263

485) sen3x , eos 3xSolución

A, = 3 / , A2 = -3 i => A2 = 0 =>y = 0

486) l ,xSolución

X = 0, X = 0 => A2 =0 => / '= 0

487) e * , e 2jt / e 3*Solución

Aj =1 , A2 = 2 , A3 = 3 => (X - 1)(X - 2)(X - 3) = 0

A3 - 6A2 + 11A - 6 = 0 => y " ' -6 y ”+ lly '+ lly '-6y = 0

488) e x , x ex , x 2e xSolución

Aj =1 , A2 = 1 , A3 = 1 => (A - l)3 =0

A3 -3A 2 +3A -1 = 0 => y" '-3y"+3y'-y = 0

489) e x , x ex , e 2xSolución

Aj = 1 , A2 = 1 , A3 = 2 => (A - l)2(A -2 ) = 0

A3 -4 A 2 + 5A -2 = 0 => y '"-4y"+5y'-2y = 0

490) l , \ , e xSolución

At = 0 , A2 = 0 , A3 = 1 => A2( A - 1) = 0

A3 - A2 = 0 => y'" -y"= 0

264

491) 1, senx, cosxSolución

¿i -O , A2 =i , A3 ± - i => A(A2 +1) = 0 => A3 +A = 0

por lo tanto: / " + / = 0

492) e 2x, senx, cosxSolución

A2 = 2 , A2 = / , A3 = - i => (A-2)(A2 +1) = 0 entonces

A -2 A + A - 2 = 0 => y'"-2y"+y'-2y = 0

493) 1, s e a x , e~x cosx

Solución

— ® » A2 = —1+/ , A3 = — 1—i => A(A2 +2A + 2) = 0 entonces

A3 +2A2 +2A = 0 => / ”+ 2 / '+ 2 /= 0

Integrar las siguientes ecuaciones

494) y = o

Solución

A2 -1 = 0 => X = ± 1 => _y = CleJr+C2g-Jr

495) 3y"-2y '-Sy = 0

Solución

3A — 2A—8 = 0 (3A. + 4)(X - 2) = 0 entonces:

496) / ”-3 / '+ 3 /+ j / = O, y(0) = 1, / ( 0) = 2 , y "(O) = 3

Solución

A3 -3A 2 + 3A-1 = 0 => (A — 1)3 = 0 => Á, = 1 de multiplicidad 3

y = c¡e* +c2xex +c3x 2ex => l = q => y = ex +c2xex +c3x 2ex

y '= ex +c2ex +2c3xex +c3x 2ex => 2 = 1+c2 => c2 =1

y '=2ex + xex + 2c3xex + c3x 2ex entonces:

y"= 2ex +ex +xex +2 c3ex +2c3xex +2c3xex +c}x 2e x

y ”=3ex +xex +2c3ex +4c3xex +c3x 2ex => 3 = 3 + 2c 3

c3 = 0 => por lo tanto: y = ex +xex

497) /'+ 2 /+ j> = 0

Solución

A2 +2A + 1 = 0 => (A + l )2 =0 => A. = -1 de multiplicidad

la solución general y = cx ~x + c2

498) y ,-4 y + 3y = 0 , y(0) = 6, y(0) = 10

Solución

A2 -4 A + 3 = 0 =s> (X -l)(A -3 ) => Aj = I , A2 =3

la solución general es y = c¡ex + c2e3x

parax = 0, y = 6 => 6 = c ,+ c 2 ... (1)

266

e - c ¡ e x +c 2e3x => y '=c¡ex +3c2e 3x

para x = 0, y'= 10 = > 1 0 = c !+ 3 c 2 ...(2 )

de (1) y (2) se tiene: jc ¡ + c 2 - 6[c , + 3 c 2 = 1 0 1

Luego: y = 4ex +2e3x

499) y"'+6y"+ny'+6y = 0Solución

A3 + 6A2 +11A + 6 = 0

1 6 11 6-1 -5 -6 -1 = Aj

1 5 6 0

A2 + 5A + 6 = 0 => (A + 2)(A + 3) = 0 => A2 = - 2 , A3 = -3

Luego A, = -1 , A2 = - 2 , A3 = -3

La solución general es: y = c, e “x + c2 e ~2x + c3 e~3x

500) y ”-2 y '-2 y = 0

Solución

A2 ~ 2 A -2 = 0 =» (A—1)2 =3 => A, =1 + 3 , A2 = l - V 3

La solución general es: y = cx e(1+ * + c 2e (1- ^ )x

501) y * +2yv + y iv = 0

Solución

A + 2A + A = 0 => A(A +1)2 = 0 de donde:

267

X = O de multiplicidad 4

X = -1 de multiplicidad 2

la solución general es: = Cj + c2x + c3x 2 + c4x 3 + c5e * + c 6xe

502) 4y"-%y'+5y = 0

Solución

4A2 - 8A + 5 = 0 => A = l ± ^ / la solución general es:

* x x x y = cíe eos — + c ?e sen — y 1 2 2

503) y - 8 j y = 0Solución

A3 - 8 = 0 => (A-2)(A2 + 2A + 4) = 0 entonces:

Aj = 2 , (A *f 1) 2 — —3 A2 — — 1 + '\/3/ ^ A3 — —1 —->/3i

la solución general es: >> = cx e 2x + c2 e x eos -s/3jc + c3e x sen -\¡3x

504) y iv + 4 / M+ 10/'+12/+5.y = 0

Solución

A4 + 4A3 + 10A2 + 12A + 5 = 0 => (A + 1)2(A2 +2A + 5) = 0

Aj = -1 de multiplicidad 2.

A2 + 2 A + 5 = 0 => A2 = -1 + 2/ , A3 = - 1 - 2 /

la solución general es: y — cxe~x + c2xe x + c$e x eos 2x + cAe x sen 2x

268

505) y '+2^ = 0 , y(0) = 0, / ( 0 ) = 1

Solución

A2 - 2 A4-2 = 0 => (A—l)2 = —1 Aj = 1 + i ; A2 = l - i

la solución general es: 7 eos x + c2e x sen x

para x = 0 , y = 0 => 0 = c¿+ 0 = > cx = 0

y = e x (c \c0sx + c2 senx) => / = £ * c o s x íq + c2) + ex senx(c2 - q )

para x = 0, >’’=1 => l = q + c 2 +0 => c2 =1

por lo tanto: y = e x senx

506) y' '-2y'+3y = 0 , y(0) = 1, / ( 0 ) = 3

Solución

A“ ~2A + 3 = 0 => (A - l )2 = -4 => Aj = 1 + 2/ ^ A2 = 1 -2 /

la solución general es: y = cxex eos 2x + c2e* sen 2x

para x = 0, y - 1 => 1 = ^ + 0 => q =1

y = e x (cj eos 2x + c2 sen 2x) entonces se tiene:

y % = 2 x eos x2x(c2 + 2c2) + e x sen x(c2 - 2cx)

para x = 0, / = 3 => 3 = cx + 2c2 => c2 = 1

por lo tanto: .y = e* (eos2x + sen 2x)

269

507) y ” '+2 y ' 1 '+4y'1 '-2y '-5y = 0Solución

A4 + 2A3 + 4 A2 - 2A - 5 = 0 => (A+1)(A-1)(A2 +2A + 5) = 0

Aj = —1, A2 — 1, A3 = — 1 + 2¿, A 4 = — 1 ~2/

la solución general es: y = c¡e~x +c2ex +c3e x cos2x + c 4e~x sen 2x

508) y v + 4 y iv + 5 / ' ' -6y '-4y = 0Solución

A5 + 4A4 + 5A3 - 6A - 4 = 0 => (A2 -1)(A'+ 2)(A2 + 2A + 2) = 0

dedonde: Aj = - 1 , A2 =1, A3 = - 2 , A4 = - l + i , A5 = . - l - i

la solución general es: y = + c2e* + c3e“2* + c4e~x cosx+ C5e~* sen*

509) / " + 2 y " - y ' - 2 y = oSolución

A3 + 2A2 - A - 2 = 0 A2 (A + 2) - (A + 2) = 0 =¡> (A2 -l)(A + 2) = 0

Aj = — 1, A2 “ 1, A3 = -2

la solución general es: y = q e '1 + c2e x + c3e~lx

510) y ”- 2y + 2/ = oSolución

A3 - 2A2 +2A = 0 => A(A2 -2A + 2) = 0 de donde:

Aj — 0 y A2 = 1 + 1, A3 — 1 i

la solución general es: y = q + c2e* eosx + c3ex sen x

270

511) y ' " - y = 0

Solución

A -1 = 0 (A2 + 1)(A" -1) = 0 de donde:

Ai = 1, A2 ~ — 1, A3 =i*, A4 = —j la solución general es:

y - q e * +c2e~x + c3 cosx + c4 sen*

512)

Solución

Ai0 = 0 => A, = 0 de multiplicidad 10.

La solución general es:

y = c¡ + c2x + c 3x 2 +c4x 3 + c5x 4 + c6* 5 +c7x 6 +c%x 1 + c9;t8 + c10x 9

10

y = Y s c¡x i~li=l

513) y ' ”-3 y '-2 y =*0

Solución

A3 -3A --2 = 0

I 0 -3 21 1 2 1

1 1 -2 0

A3 - 3 A - 2 = (A-1)(A + 2)(A-1) => A3 -3 A - 2 = (A - l)2(A + 2)

de donde A = 1 de multiplicidad 2 y A, = -2

la solución general es: y = cxe x + c2xex +c3e~2x

514) 2 / " - 3 / ' + / = O

2A2 -3A 2 + A = 0 => A(2A2 -3A + 1) = 0 entonces:

Solución

X(2X - 1)(A - 1) = 0 => A, = 0 , A2 = - ~ , A3 =1

—jt/2 xla solución general es: y = q + c2£ + c3

ECUACIONES LINEALES NO HOMOGENEAS (O COMPLETAS) DE C O E F Í l i l S f i s

CONSTANTES.-

Son las ecuaciones de la forma:

d ny a^dn ly

Donde a0, ax,..., an son constantes reales.

La solución general de ia ecuación no homogénea (1) (llamado también completa es igual a la suma de la solución general de la solución homogénea correspondiente y de cualquier solución particular de la ecuación no homogénea.

La solución general de la ecuación homogénea correspondiente se halla según las reglas expuestas anteriormente. Por lo tanto el problema de la integración de ia ecuación (1) se reduce al problema de la búsqueda de una solución particular y p de la ecuación no

homogénea. En el caso general la integración de la ecuación (!) puede realizarse por el método de la variación de las constantes arbitrarias. No obstante cuando los segundos miembros tienen una forma especial la solución particular puede hallarse con mayor facilidad por el método de selección.

272

Para que sea posible emplear el método de selección, el segundo miembro f(x) de la ecuación (1) tiene que tener en el caso general la forma:

f ( x ) = e°*íPn (x) eos f k + Q n (x) sen fk] (2)

La solución particular es de la forma:

y p ~ x se0*[Pk (x)eos f3x + Qk (x) sen fix]

Donde k = max {m,n} y s es el orden de multiplicidad de la raíz.

Resumiremos en un cuadro las formas de soluciones particulares para las distintas formas de segundos miembros.

N° de Orden

Segundo Miembro de la ecuación diferencial.

Raíces de la ecuacián característica.

Forma de la Soludon particular, donde k = max {m, n}

I W 1) El # 0 no es raíz de la ecuación característica.

W

2) El # 0 es raíz de la ecuación característica.

x sPmM

11 eaxPm(x)(a es real)

1) El # a no es raíz de la ecuación característica.

ea Pmíx)

2) El # a es raíz de la ecuación característica.

x sem Pm{x)

III Pn(x) eos ¡3x + +Qm (x)s enftx

1) El # s ± ip no raíces de la ecuación característica.

l \ (-V) eos (ix +

+Qk (x) sen [ix2) El # s ± i (3 no raíces de la

ecuación característica.x s (Pk (x) eos [be +

+Qm (x) sen (3x)IV

1

eax(Pn(x)cosíix + +Qm (x) sen ¡¡x)

1) El #s a ± ip no son raíces de la ecuación característica.

e,a (Pk (x) eos / i r +

+Qk (x ) sen fa)2) El #s son raíces de la

ecuación característica.x seca(Pk <ix)cospx + +Qk (x) sen (ix)

273

Determinar la forma de ia solución particular de la ecuación diferencial lineal no homogénea, si se conocen las raíces de su ecuación característica y el segundo miembro f(x).

515) A¡ = 1, A2 = 2 , f (x )= -a x2 +bx+c

Solución

La solución particular es: y p - A x2 + Bx+C

516) Aj = 0 , A2 = l , f ( x ) = ax¿ + bx + c

Solución

Como el cero es raíz de la ecuación característica entonces la solución particular es: y p = x(Ax2 + Bx + C)

517) Aj = 0 , A2 = 0 , f ( x ) = ax2 +bx+c

Solución

El cero es raíz de la ecuación característica, entonces la solución particular es:

yp = x 2(Ax2+Bx+C)

518) A j = l , A2 = 2 , f ( x ) = e~x (ax+b)

Solución

a = “1 no es raíz => y p - (Ax+ B)e~x

519) Aj = -1 , A2 = 1, f ( x ) = e~x (ax + b)

Solución

a = -1 es raíz de la ecuación característica entonces y p = xe (Ax + B)

520) Aj = - 1 , A2 = -1 , f ( x ) = e X (ax + h)

274

a = -1 es raíz de la ecuación característica entonces y p = x

521) Aj = 0 , A2 = 1, f ( x ) - sen x + eos x

Solución

Como ± i no es raíz entonces: y p =A sen x + B eos x

522) Aj = - ; , A2 = i , f ( x ) - senx + eosx

Solución

Como ± i es raíz de la ecuación característica entonces:

y p ~ x(A sen x + B eos x)

523) Aj = -2 /, A2 = 2/, f ( x ) = A sen 2x + B eos 2x

Solución

Como ± 2i es raíces de la ecuación característica

y p =x(Al sen2x + B1 cos2jií)

524) Aj - - k i , h2 = k i9 f ( x ) - A sen Joc + B eos kx

Solución

Como ± ki es raíz de la ecuación característica.

y p =x(A{ sen kx + B¡ eos kx)

525) A j = l , A2 = l , f (x ) ^ e~x (A sen x + B eos x)

Solución

Solución

2e ' x (Ax+B)

275

Como -1 ± i no es raíz de la ecuación, entonces:

y = e~x (Ax sen x + Bx eos x)

526) A, = - 1 - / , A2 = - 1 + i , f ( x ) = e*(Ascnx + B cosx)

Solución

Como -1 ± i es raíz de la ecuación, entonces:

y p = xe~x (Ax senx + BX cosx)

527) A, = A2 = A3 =1, f ( x ) = ax2 +bx + c

Solución

Como cero no es raíz de la ecuación y p = A x2 + Bx + C

528) A , = 0 , A2 = l , Aj = 2, f ( x ) = ax2 + bx + c

Solución

El cero es raíz de la ecuación característica. y p = x(A x2 +Bx + C)

529) A, =A 2 = 0 , A3 = 1, f ( x ) = ax2 +bx+c

Solución

El cero es raíz de multiplicidad 2 de la ecuación y p = x 2 (Ax2 +Bx + C)

530) A, =A2 =A3 = 0 , f ( x ) = ax2 +bx+c

Solución

Como el cero es raíz de multiplicidad 3 entonces, y p = x 3 (Ax 2 + Bx + C)

276

531) A2 = - / , /(*)■— senx+ eosx

Solución

Como ± i es raíz de la ecuación característica. ^ =

532) Ax = - 1 , A2 = U A3 = 2 , f ( x ) = ae~x +bex

Solución

Como -1 es raíz y 1 también es raíz entonces:

y p = + Bxex = x(Ae~x +

533) A! = A2 = 1, A 3 = 2 , / ( x ) = 0 senx + ¿cosx

Solución

Como ± i no es raíz de la ecuación característica, y p

534) Aj = 0 , A2 = 1, f ( x ) = (ax2 +bx+c)ekx, k * 0 , k *

Solución

Como k no es raíz de la ecuación característica . y p ■

535) Aj = 3 - 2 / , A2 = 3 + 2 i , / ( x ) = -e*(sen2x + cos2x)

Solución

3 ± 2i es raíz de la ecuación característica . y p = xe3x

x(Asenx + Bcosx)

x )

1

(Ax2 + Bx+C )ekx

(A sen 2x+ B eos 2x)

277

Determinar la forma de la solución particular para las siguientes ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas.

536) / '+ 3 / = 3Solución

A2 +3A = 0 => Aj =0 , A2 = -3 ei cero es raíz entonces: y p =Ax

537) / ’- 7 / = ( x - l ) 2Solución

A2 - 7A = 0 Aj = 0 , A2 = 7 como el cero es raíz de la ecuación

características entonces: y p = x(Ax 2 + Bx + C)

538) y"+3y = e xSolución

A2 + 3A = 0 => Aj = 0 , A2 = -3 como a = I no es raíz entonces:

y p = A ex

539) y ”+ly'=e~lxSolución

A2 + 7A = 0 => Aj = 0 , A2 = -7 como a = -7 es raíz entonces:

y p =Axe-7*

540) y '- iy '+ 16 v = (1 — x)eAxSolución

A2 - 8A +16 = 0 => (A - 4) 2 = 0 X = 4 es raíz de multiplicidad 2,

entonces: = x 2 (Ax + B)e~Ax es decir y p =(Ax* + Bx2)e~Ax

278

541) y"-\0y '+25y = e5xSolución

A"' - 10A + 25 = 0 => (A - 5 ) 2 = 0 => X = 5 es raíz de multiplicidad 2,

entonces: y p = x 2Ae5x es decir y p = A x2e5x

3

542) 4 / ’- 4 / = j t e 4*Solución

4A2 -3A = 0 => Aj = 0 , A2 = — como a = — es raíz entonces:4 4

-jr 2y p =(Ax + B)xe4 =(A x2 +Bx)e 4

543) y ,- y - 2 y = ex + e '2xSolución

A2 - A - 2 = 0 => (A. - 2)(X + 1) = 0 => X = -1,2 => y p =Ae~x + B elx

544) y " - 4 y = x e AxSolución

r 2 - 4 r = 0 =» = 0 , rj = 4 como a = 4 es raíz entonces:

y p =x(Ax + B)eAx => y p = (Ax2 +Bx)eAx

545) y M+25y = cos5jc

Solución

2A +25 = 0 => A, = ± 5i como ± ip es raíz de la ecuación entonces:

y p = x( A eos 5jc + B sen 5jc)

279

546) y' '+y = sen x - eos xSolución

A2 +1 = 0 => X = ± i como ± i|3 es raíz, entonces:

y p = x(i4senx + ¿?cosx)

547) y"+l6y = sen(4x+a)Solución

A2 +16 = 0 => X = ± 4i es raiz de la ecuación.

y p = x(Aszn4x + B eos 4x)

548) y"+4y'+iy = e 2x (sen2x+ cos2x)Solución

A2 +4A + 8 = 0 => X. = -2 ± 2i como a ± ip no es raiz de la ecuación

característica entonces: y „ = e 2' (Asen 2x+ B eos 2x)

549) y ’-4y'+&y = e 2x(sen2x + cos2x)Solución

A2 -4A + 8 = 0 => X = 2 ± 2i como a ± ip es raíz de la ecuación

característica entonces: y „ = xe2x (A sen 2x + B eos 2x)

550) y ’ ’+6y'+13y = e 3x eos 2xSolución

A2 +6A + 13 = 0 => X = -3 ± 2i como a ± ip es raíz de la ecuación

característica, entonces: y p = xe 3 v (/í sen 2x+ B eos 2x)

280

551) / ’+A2>' = *sen(ADc+a)

12 . .2Solución

A + k 2 - 0 => A . - ± k i como ± ip es raíz de la ecuación característica

entonces: sen &r + 5 costo)

552) y"+ k2y = k

Solución

A2 2 = 0 = > A = ± k i de donde el cero no es raíz de la ecuación

entonces: y p - A

553) y " + 4 y = sen x.sen 2x

Solución

senx.sen2x = senx + sen3x => A2 +4 = 0 =>A = ±2i luego ± i p n o e s

raíz de la ecuación característica entonces:

y p = A¡ sen * + 5, cosx + /í2 sen3x + B2 cos3x

554) y' '~4y '= 2 eos2 4x

Solución

/ ' - 4 / = 2 c o s 2 4x = l + cos8x => A2 - 4 A = 0 entonces: A, = 0 , A2 = 4

entonces: y p = Ax + B sen 8 x + C eos 8.r

555) y"'+y = x

Solución

A +1 = 0 => A, = - 1 , A2 = - + £ , , A3 = i - ^ / , e n t o n c e s :

y p = x(Ax + B)

281

Solución

A3 + 6A2 + 1 1A + 6 = 0 => A1 = - l , A2 = - 2 , A3 = - 3 entonces: y p = A

557) / " + / = 2Solución

A3 +A = 0 => A , = 0 , A2 = í\ A3 = - i entonces: y p =/ü:

558) / " + / ' = 3Solución

A3 + A2 = 0 => A , = 0 de multiplicidad 2, A2 = -1 entonces:

yp - x 2A => y p = A x 2

559) y iv- y = 1Solución

A4 — 1 = 0 => Aj = , A2 = -1» A3 = i , A4 = —i

entonces: y p - A

560) y iv- y '= 2

536) y '”+6y"+lly'+6y = l

Solución

A4 - A = 0 => A[ = 0 , X.= 1, A2 +A + 1 = 0 entonces: y p = Ax

561) y iv- y " = 2

Solución

A4 - A 2 = 0 => A, = 0 , A2 = ±1 de multiplicidad 2 entonces: y p = Ax2

282

562) / ” - / " = 4

Solución

A A —0 => A - 0 , de multiplicidad 3, A = 1 entonces: = A x3

563) y v + 4 / ’ '+ 4 / ' = 1

Solución

A4 + 4A3 + 4A2 = 0 => A = 0 de multiplicidad 2, X = -2 de multiplicidad 2

entonces: = /íx2 .

564) y iv+ 2y”’+ y"= ex

Solucion

A4 + 2A3 + A2 = 0 =>• A = 0 de multiplicidad >. = -1 de multiplicidad 2

entonces: y^ = Ae4x

565) y v - f 2 y ,,+ y ,= ^

Solucion

A4 + 2A3 + A2 = 0 => A = 0 de multiplicidad 2, X = -1 de multiplicidad 2

entonces: y p =

566) / v + 2 / " + / ’=*£>-*

Solución

A4 + 2A3 + A2 = 0 => A = 0 de multiplicidad 2, X = -1 de multiplicidad 2

entonces: y p = x 2(Ax+B)e~x

283

567) y lv + 4 y '+4 y = sen 2x

Solución

A4 + 4A2 +4 = 0 => (A2 + 2)2 = 0 entonces A = ±^2 i de multiplicidad 2

entonces: y p =(^ísen2x + ^cos2x)

568) y lv + 4 / '+4y = cosx

Solución

A4 + 4A2 +4 = 0 => A = ±V2i de multiplicidad 2 entonces:

y p = (,4 sen*+ 2? cosx)

569) y lv + 4 / '+4y = x sen 2jc

Solución

A4 + 4A2 +4 = 0 => A = ±V2i de multiplicidad 2 entonces:

= (A x+ i?) eos 2x + (Cx + D) sen 2x

570) y lv + 2n2y"+nAy = asen(nx + a)

Solucion

A4 +2« 2 A2 +/j4 =0 => (A2 + h 2) 2 =0 => A = ± ni de multiplicidad 2

entonces: y = x 2 (Asen nx +B eos nx)

571) y lv - 2 n 2y"+)iAy = eos(/ix + a )

Solución

entonces: = A sen nx + B eos nx

572) y v + 4 / " + 6 y ,+ 4 /+ y = senx

Solucion

A4 + 4A3 + 6A2 + 4A +1 = 0 => (A + 1)4 = 0 de Aj = -1 de multiplicidad 4

entonces: y p = A sen x + B eos x

573) y iv - 4 / ,,4 4 / ,- 4 / + <y = ex

Solucion

A4 - 4 A3 + 6 A2 — 4A + 1 = 0 (A —l)4 = 0 de donde X = 1 de multiplicidad

4 entonces: y p = A xAe x

574) y iv -4y"+4y"-4y+y = x e x

Solución

A4 —4A3 + 6A2 — 4A +1 = 0 => (A — l)4 = 0 de donde X = 1 de multiplicidad 4

entonces: y p = x 4 (,4x + £)<? *

Resolver las siguientes ecuaciones.

575) v"+2/+ j; = -2

Solución

A2 + 2A +1 = 0 => A = -1 de multiplicidad 2

A4 - 2n2A2 +?iA = 0 => (A2 - n 2) 2 = 0 => A = ±« de multiplicidad 2

285

y g = cxe x +c2xe x además y p = A = - 2 por lo tanto:

y = y p + y g de donde y = cxe~x + c2x e x - 2

576) y"+2y'+2 = 0'

Solución

A2 + 2A = 0 => Aj = -2 , A2 = 0 entonces:

y g = cx +c2e~lx además y p - Ax entonces:

y lp = A => y \ = 0 => 0 + 2 A + 2 = 0

A = -1 => y p = -* => = =* 2* - *

577) y " + 9 y -9 = 0

Solución

A2 +9 = 0 => A = ±3/ de donde = cx cos3x + c2 sen3x, y ^

y = + y p = cx cos3x + c2 sen3x + l

578) y""+y"= 1

Solución

A3 + A2 = 0 => A = 0 de multiplicidad 2 y A = -1 de donde

= Cj + c2jc + c3e~v yademás y p = A x2 => y p =2Ax

entonces: y p = 2A

286

1 x 20 + 2A = 1 ==> A - — => y p = — entonces:2 2

2= q + c 2* + c 3e

579) 5 y " ' - l y " —Z - 0

Solución

3 2 75A -7A = 0 => A = 0 de multiplicidad A = — entonces:

7—jr^ = c , + c 2x + c3e s yademás y p = A x2 => y ' =2y4x => y* =2^4

de donde 0 - 14A - 3 = 0 => A = ~ — => =3 3x214 =>

1 3*2por lo tanto: y = y g + y p =cl + c2 +ci e 5 x -------

580) 3y iv+ y '"= 2

Solución

3A4 + A3 = 0 => A = 0 de multiplicidad 3 y A = - j entonces:

X

íg = c , + c2x + ci x 2 +c4e 3 yademás y = A x3

entonces: y lp =3Ax2 => y*p =6Ax => y* = 6 A

1 x 3de donde: 0 + 6A = 2 => A = — => y „ = —3 / p 3

_ í 3porlotanto: >' = >'g + y p =c, + c 2jc + c3x 2 + c 4e 3 + ^ -

287

581) / v - 6 / ”+6 = 0Solución

A4 - 6A3 = 0 => . A = 0 de multiplicidad 3 y A = 6

entonces: y g = c¡+ c2x + c3x 2 +c4e 6x y además y p = A x3

Entonces y p = 3Ax2 => y np =6Ax y® = 6 A

1 x 3de donde 0 - 12A + 6 = 0 => A = — => v „ = —2 2

x 3y = >'s + y /, = C j + c 2x + c 3x 2 + c 4e6 t + —

582) / v - 2 y ’ ’+ 2 / '-2/+>> = 1

Solución

A4 - 2A3 + 2A2 - 2A +1 = 0 . De donde A, = 1 de multiplicidad 2 y A2

A3 = - / donde: y g = c¡ex +c2xex + c3 cosx + c4 senx, y ^ , = , 4 = 1

^ ~ y g +y P = c¡ex + c 2xe'r + c3 cosx + c4 senx+1

583) y ' '-4y'+4y = xSolución

A2 +4A + 4 = 0 => A = 2 de multiplicidad 2

= c¡e2x +c2xe2x y = A x 2 + Bx+ C entonces:

y p = 2Ax + B => y \ = 2A .

De donde: 2 A - 8 A x - 4 B + 4 A x 2 +4Bx+4C = x 2

288

Por lo tanto: A = ± * = i , C = | . Dedonde: - í l + í + 22 » 4 2 8

entonces: y = y g +y = c¡e2x+c2xe2x+ - + ± + 14 2 8

584) y"+8y'=8x

Solución

A + 8A = 0 => A] = 0 , A2 = —8 . De donde

y g =ci+ c2e 6x, y p = x(Ax + B) = Ax2 +Bx, donde:

y P = 2Ax+B => y p = 2A . De donde 2A + 16Ax + 8B = 8x

entonces: A = ± , B = - ~ , entonces: y = í l _ £2 8 ’ p 2 8

Dedonde: y = y g + y =C) +c2e~(,x + £ _ _ £2 8

585) y"-2ky'+k2 y = ex , ( k * l )

Solución

A - 2£A + k 2 = 0 => A. = k de multiplicidad 2

g =c\ekx +c2xekx, también, ^ = Aex , dedonde:

Aex -2kAex + A k2ex =lex => A-2kA + A k2 =1

entonces 4Ax2 + (4 5 - 8 A)x + 2A -4 B + 4C = x 2

289

2 1 e A(k — 1) =1 => A — — => y p — 2( ¿ -1 )2 (£-1)

exy = yg + y P = c\ekx +c2xelx + ( ~-¡p-

586) y + 4 y + 4 y = 8 e '2jrSolución

+ 4 = o => X = -2 de multiplicidad 2

^ = cxe~2x+c2xe~2x, y ^ ^ V 2' de donde: y , = 4 x V *

entonces: y ~ y g +yp =cie ~* + c2xe 2x + 4x2e

587) y"+4y'+3y = 9e~ixSolución

A2 +4A+3 =0 => A, = - 1 , A2 = - 3 . De donde:

y g = c te~x +c2e~ix y y p =Axe~i , entonces:

y p = -^ - xe 3x dedonde: y = y g + y p = cxe x +c2e ix -

588) l y " - y '= \ 4 xSolución

A

7 A2 - A = 0 => A, = 0 , A2 = ^ . De donde y e = cx+c2e 1

y p = A x 2 +Bx .entonces: y p = - 7 x 2 -9Xx entonces:

X

y = y g + y p = + c2e 7 —l x ~ —9Sx

to I s

o

589) y"+3y'=3xe~ixSolución

A2 -i- 3A = 0 => Aj = 0 , A2 = -3 de donde:

=C j+c2e _3jr y además .y = (/lx2 +fix)e~3jr obteniendo

x 2 xy p = 1v y la solución general es:

y = y g + yP =c\ + ci ^ x - ( ~ + ~)e^x

590) y+5y+6_y = 10(1 -x )e~ 2xSolución

A2 + 5A + 6 = 0 => Aj = -2 , A2 = -3 , de donde: y g = c ^ -2* + c2e~3* ,

además = (Ax2 + Bx)e~l x , obteniéndose y = (20x - 5jc2 )e~2jr,


y = y g + y p = c\ + c2e~3x + (2 0 x -5 x 2)e~2x

591) y '+ 2 y + +2y = l + xSolución

A2 + 2A + 2 = 0 => A = -1 ± / , de donde

y g = cxe~x cosx + c2e~x sen* además y p =Ax + B

obteniéndose y p = — y la solución general es:x 2

y = y g +yp = cxe~x cosx + c2e~x senx +

291

592) y " + y '+ y = (x+ x2)ex

Solución

A2 +A + 1 = 0 => A = - - ± a/3 i dedonde:2

V3 i V3= q e 2 eos— x + c 2e sen—

además — (Ax2 + Bx + C)cx obteniéndose

X X 1v = (----------i- —)ex y la solución general es:y p V 3 3 3

—— ~~~ ■\/3 X2 X 1 xy = y g + y P =e 2( q c o s — x + c 2e 2 sen— x) + (— - - + -)**

593) y' '+4y'-2y = 8 sen 2x

Solución

A2 + 4 A - 2 = 0 => A = -2±-J(> dedonde:

y g = c1e(_2+ )x + c2e("2‘^ )Jr y además:

>>p = /4 sen 2x + 5 eos 2x obteniéndose:

v _ l 2sen2:c+16cos2:y y ia solución general es: y > 25

(-2+V6), + „ -(2+t/6)jt 12sen 2x+16cos2x= = c ie +C2e 25

292

594) y % '+y = 4x eos x

Solución

A2 +1 = 0 => A = ± / de donde: = q cosx + c2 senx y además:

y p = x[04x + 2?)cosx + (Cx + 2?)senx] obteniéndose:

y p = x 2 sen x + x eos x y la solución general es:

y = yg +yp = cx eosx + c2 senx + xsen 2 x + xcosx

595) y '-2my'+m2 y = sen /zx

Solución

A2 - 2/wA + m 2 = 0 => A = m , de multiplicidad 2,

de donde: y = q e wt + c2xemx , y además y p = A sen nx + 2? eos /zx

. ., , (/w2 - w 2) sen«x+2/wfl.cos/2xobteniendose: y = ----------- --------------------------(m2 + n2)2


mx, v (/w2 - w 2)sen«x + 2/w«coswx(q + c2x) + --------------------- — ------------(m +n )

596) y '+2y'+5y = e~x sen 2x

Solución

A2 +2A + 5 = 0 => A = - 1 ± 2/ dedonde:

y g = qe~* eos 2x + c2e~x sen 2x además:

293

y p = xe~* (A se n lx + B c o s lx ) obteniéndose y p = - — e~x co s lx y la

solución general es:

y = y g + y p = (cl eos2x + c2 senlx)e~x ~ ~ e * cos2x

597) y"+a2y = 2costfw + 3senmx, m * a

Solución

A2 + a 2 = 0 => A =±a/ de donde y g =Cj eos ax + c 2 sen ax

y además y p = A eos ms + B sen mx obteniéndose:

2cosmx + 3senmx , ' ., .y = ------------------------, a * m y la solucion general es:a 2 - m

2 eos mx + 3sen mxy - y + y - c x eos ax + c2 senax + --------- ------r-------

8 a - m

598) y " - y '= e x senx

Solución

A2 - A = 0 => A ! = 0 , A2 = l dedonde y g =cl + c2ex

además: y = ex(yísenx+jBcosx) obteniéndose:

y p = —— (sen x + eos x) y la solución general es:

ey = y +y = cx + c2x + — (senx + cosx)

" g p 2

294

599) y ’+2 y =4ex (sen x + eos x)

Solución

A2 + 2A = 0 => Aj = 0 , A2 = -2 de donde

y g = cl +c2e 2x además: y p = ex(Asenx +Bcosx) obteniéndose:

ey p = — (6 sen x - 2 eos x) y la solución general es:

2 e'y = y g +yp = + c2e + - - ( 6 s e n x - 2 c o s x )

600) y ’+ 4 /+ 5y = 10e_2jr eosx

Solución

A^+4A + 5 = 0 => A = -2 ± i dedonde:

y = c¡e 2a cosx + c 2 e 2*senx además:

y = xe 2x (A eosx+B sen x) de donde se obtiene:

y = 5xe * sen x y la solución general es:

y - y g +yp - c xe 2xco sx + c2e 2*senx + 5xe v senx

601) y '+2y'+5y = e x (2x + sen 2x)

Solución

A2 +2A + 5 = 0 => A = - 1 ± 2/ dedonde:

y g = cxe x cos2x + c%e Xsen2x además

295

yp - (Ax + B)e x + ye X(C sen 2x + B eos 2x) obteniéndose

x - x xy P cos2* + — e * y la solución general es:

y = c¡e~x cos2x + c 2e x sen 2 x - —e~r cos2x + — e~4 2

602) 4y''+y' = x sen x

Solución

4 A2 + 8 A = 0 => Aj = 0 , A2 = -2 de donde

y g = cx + c2e~lx además: y p = (.4x + 2?)senx + (Cx-f £>)cosx,

x 7 y iobteniéndose: y = - ( ---------- >senx- (— + — ) cos x ,

p 20 50 10 50

y la solución general es y = y g + yp es decir:

/ = c ,+ c 2e ** Senx - ( — + — )cosx20 50 10 50

603) y' '-3y'+2y = xex

Solución

A~ - 3A + 2 = 0 => Aj = 1, A2 = 2 de donde

y g = c¡e + c2e además y p (Ax + Bx)ex obteniéndose

* 2y p = —(.— + x)ex y la solución general es:

x 2y = y g + y p = cxe* + c 2e 2x- ( — + x)ex

296

604) y''+y'-2y = x 2e 4x/

Solución

? 1 3A + A - 2 = 0 => A = — ± —/ de donde2 2

- - 3 3 — 3y a = Cíe 2 cos —cos —x +ese 2 sen — x además

1 x 2 2 2

y = (Ax2 +Bx +C)4x de donde:

2 7 e 4*y„ = (x - x + — )----- y la solución general es:J p 18 18 5

4x-J 3 - t 3 2 7 ev = Cíe 2 cos — x + ese z sen —x+( x - x + — ) — ' 2 2 2 18 18

605) y' '-3y'+2y = (x2 + x)e3jr

Solución

A2 — 3A + 2 = 0 => At = 1, A2 = 2 de donde:

3jc= ^ 2* +c2e lx además y =(A x2 +Bx+C)e

3xC 2obteniéndose: y p = --------(x - 2x + 2) y la solución general es:

e3xy = cxex +c2e2x + - y ( x - 2 x + 2)

606) y " ’-y "+ y '-y = x 2 +x

Solución

297

(A2 +1)(A-1) = 0 => Aj =1, A2 = / , A3 = - / de donde

A3 - A2 + A -1 = O => A2(A-1) + (A-1) = 0 entonces:

y - c xex + c2 cosx + c3 senx además: y p = A x2 + Bx + C

obteniéndose: y = - x 2 - 3x + 1 y la solución general es:

y = y g + y p = c1ex +c2 cosx + c3 s e n x - x 2 - 3 x + l

607) y iv -2y '"+ 2y"-2y'+y = ex

Solución

A4 - 2 A3 + 2A2 - 2A +1 = 0 de donde (A2 + 1)(A-1) 2 = 0 entonces A = ld e

multiplicidad 2 y A2 = i , A3 = - i de donde se tiene

y g = cle~x +c2xe~x + c3 eosx + c4 sen* además

2 x 2y p = Ax ex de donde y p = — ex y la solución general es:

x 2y = c¡ex + c2xex +c3 eosx + cA senx + — e x

608) y " -2y ,+y = x 3

Solución

A2 - 2A +1 = 0 => A = 1 de multiplicidad 2, de donde

y = Clex + c2xex además y p = Ax" +Bx2 + Cx + D obteniéndose

298

3 2y p = x + 6x +18x + 24 y la solución general es:

y - y g + yp = c¡ex + c2xex + x 3 + 6 x 2 +18 + 24

609) 5y' '-6y'+5y = \3ex coshxSolución

5yM-6y'+5y = -1) => 5A2 -6A + 5 = 0 entonces

3 3jc3 4 -x 4 — 4A = — ± — 1 de donde y a =c}e 5 eos — x + Cie 5 s e n - x

5 5 ' * 1 5 1 5

2 e2xademás y p = A e x +B obteniéndose: y p = -----+ 1.3

~x 4 e 2x y = y g + yp =c1e 5 eos —x + — - + 1.3

y la solución general es:3— X

v_ + v _ = c,e5 eos „5 2

610) y ,v+ y M= x z +*Solución

"A4 + A2 = 0 => Ai = 0 de multiplicidad 2

A2 = i , A3 = - i de donde:

y g = C ! + c 2x + c3 cosx + c4 senx además y p = x 2 (Ax2 + £x + C)

x 4 x 3obteniéndose y „ = — h------- x 2 y la solución general es:

p 12 6

x 4 x 3y = y ^ = Cj + C 2 X + C3 COSX + C4 S e n x + — + — - X 2

299

Solución

A5 - A4 = 0 => A = 0 de multiplicidad 4, A = 1 de donde:

y g = c , +c2x + c^x l + c4x 5 + c5e* , además:

x 2y p = x(Ax + B)ex + Ax4 obteniéndose y p = (— - 4x)ex


x 2y = y g + y p = q +c2x + c3x 2 +cAx 3 + c5ex + (—— 4x)ex

611) y v - y iv = xex - l

612) y"+y = x 2 senxSolución

A2 +1 = 0 => A = ±i dedonde y g = c¡ eosx + c2 senx

además y p = x[(Ax2 + B x+ C )senx + (Cx2 + Dx + E)eosx]

de donde se obtiene que:

x x 3 x 2y p = (— — —) eosx + — sen x y la solución general es:

x x 3 x 2v = Ci cos+ c-j sen x + (---------) eos x + — sen xJ 1 4 6 4

613) y ' ,+2y'+y = x 2e x cosx

Solución

300

y g - c xe~x + c2xe~x además:

y p = e~x[(Alx 2 + A2x +A3) cosx+(B\X2 + B 2x + B3) senx]

obteniéndose: y =e~x ( - x 2 eos x + 4x sen x + 6 eos x ) ,


y = c¡e~x +c2xe~x +e~x ( - x 2 cosx + 4xsenx + 6cosx)

614) y '" -4y '= xe lx + senx + x 2

Solución

A3 - 4A = 0 => Ax - 0 , A2 = 2, A3 = -2 de donde

y g =cl +c2e 2x +c3e~2x además se tiene:

y Pi =(Ax + B)xe2x, y ?i = C senx + Dcosx, = ( ^ x 2 +A2x + A3)x .

Dedonde: = + <y/>j, obteniéndose:

£ 2 * 2 1 X 3 X= -----(2x - 3x) + — eos x ------------- , y la solución general es:32 5 12 8

2 x - 2x e 2* 2 x COSX X 3 Xy = c1-hc2e ' + c 3é? + (2x - 3x) h -----— - -

615) y -> > = s e n x

2A + 2A +1 = 0 => A = -1 de multiplicidad 2 de donde:

Solución

301

A3 -1 = 0 => A. = 1, A2 =■-—+ — I, A d e donde1 2 2 2 2 2

JC T V3 2 V3 -= q e + c2e 2 cos — x + c3e 2 sen — x ademas

y p = y4senx-f ¿?cosx obteniéndose y p = — (cosx -senx)

y la solución general es y = y g + y p es decir:

x ~T V 3 2 1 Í \y - c xe +c2e 2 c o s - ^ - jc + c2e 2 sen-^-Jt + ~ (c o sx -se n x )

616) y '+2y'+2y = e~x eos x + xe x

Solución

A2 + 2A + 2 = 0 => A = -1±/' de donde:

y g =c¡e~x cosx + c2~x senx además

= xé~x (A sen x + B eos x ) , =(Ax + B)e~x de donde

y p = y Pl + yp2 obteniéndose que:

jc _ _= — e * sen x+ xe * y la solución general es:

x e xy = y g + y p =e x (c¡ eosjc + c2 senx)h— -— senx+ xe

617) j ‘v - 2 / '+ .y = eos*

Solución

302

multiplicidad 2. De donde: y g =c,ex + c2xex + c3e~x + cAx e x además

eos Xy p = A eosx + B sen x de donde: y p = — y la solución general es:

x x -r -r cosjcy = cxe + c 2xe +c3 +c4xe + ------4

618) y '+y = 2 sen x. sen 2x

Solución

2senx.sen2x = cosx - cos3x => y '+y = eos x - eos 3x

2A +1 = 0 => A = í / de donde se tiene:

y p - cx eos x + c2 sen x además y Pi = x(Ax eos x + A2 sen x) =>

y P2 = Bx eos 3x + B2 sen 3x de donde y p = y Pl + y Pi

- j xsenx cos3x , .,obtemendose: y p --------------------------------------------------------------------------1- - ------------- y la solucion general es:2 8

x sen x eos 3xy = Ci cosx + c2 senx-f---------+ --------2 8

619) / ’+4y = jtsen2 x

Solución

2 * XCOS2X -2 ^y +4y = x sen x = --------------- A + 4 = 0 => A = ±2/2 2

de donde = cx eos 2x + c2 sen 2x además y =Axx + A2

A4 - 2A2 + 1 = 0 => (A " -l)2 => A, =1 de multiplicidad 2, A2 = -1 de

303

y Pi = 4(SiX + C ,) eos2x + (B2x + C2) sen 2x] de donde:

y p = y Pí + yPl obteniéndose:

%x xcos2x x 2 sen2x , , ., fv ---------------------------------y la solucion general es:

^ 8 32 16x xcos2x

= q eos 2x + c2 sen2x + - ----- —-----

620) / v + 2 y 1' '+2y '+2/+.y = xe*

Solución

A4 + 2A3 + 2A2 + 2A +1 = 0 de donde (A2 +1)(A + 1)2 =0

de multiplicidad 2. A = ±i de donde:

j;g = cxe~x + c2xe~x + c3 cosx + c4 senx además:

^ = ( ^ x + )** =* .V/>2 = X(B\ sen x + B2 cos x)

de donde y p - y p + y Pi obteniéndose que:

x 1 xy „ = (-------)ex — cosx y la solución general es:y P v8 4 8

X 1 Jy = c1e~x + c2xe~x + c3 cosx + c4 senx + (— ~ ~ )e* "

621) / '+ / = c o s 2 x + e* + x 2

Solución

7 %* 9 • COS 2x r 2y + y = eos x + e +x => y +y = -------- +-e' + x~ -

x 2 sen 2x 16 ~

=> A = — 1

cosx

304

A2 + A = 0 => Aj = 0 , Aj = -1 de donde:

yg =c1+c2e~x además yP{ = A¡ cos2x +A2 senx.sen2x

yPi=A3ex, y p3 =x(B¡x2 + B2x + B3) dedonde:

yp = ypi +ypi +yp, obteniéndose que:

sen2x cos2x ex , x 5 2 ~y - ------------------- + ----+ (------ X + 2 x )p 20 10 2 3

y la solución general es: y = y g + y p es decir:

sen2x cos2x ex x 3 2 y = c1 +c2e x + ------------- ------+ — + ------- x +2x20 10 2 3

y v + 4 y M= e x +3sen2x + l

Solución

A5 + 4A3 =0 => A = 0 de multiplicidad 3 => A = ±2/

de donde: y g = c¡ + c2x + c3x + c4 cos 2x + c5 sen 2x además

y P¡ = A e x , y Pl = *(^2 sen 2* + cos2x ) , y p¡ = /í4x 5

de donde: y p = + y pi + y p¡ obteniéndose

ex 3x x 3= — + — sen 2x + — y la solución general es:

623) y ''-3 y ’+3y '-y = e x cos2x

Solución

A3 - 3A2 + 3A -1 = 0 => (A - 1)3 = 0 => A = 1 de multiplicidad 3, de

donde: y g =cxe* +c2xe* +cix 2e* además:

e*y =ex( A eos 2x+B sen 2x} obteniéndose y p = - sen 2x

” O

y la solución general es:e*

y = y g + y p = cxex +c2xex + c3xex - — sen 2x

624) y 1' '-2y'+4y = ex eos x + x 2 + sen 2x

Solución

A3 - 2 A + 4 = 0 => (A + 2)(A2 - 2 A + 2) = 0 de donde

Ax = -2 , A2 = 1 + / , A3 = l - / y además:

^ rre je”2 + c2ex cosx+ c3e x senx ; y

j;^ = Ax x 2 + A2x + A3 entonces y f2 = Bx sen 2x + B 2 eos 2 x ,

(cj eos x + c2 sen x) de donde .v„ = y P¡ + yP3

obteniéndose que:

1 1 x<?xy„ = — (2x2 +2x+l) + — (sen 2x + 3 eos 2x +------(3 sen x -eo s* ))yp 8 40 20

y la solución general es: y = y g + y p

306

625) y"+ y '= x2 -e ~ x +ex

Solución

A2 + A = 0 => A) = 0 , A2 = -1 de donde _ve = í j + c 2e~

además yp¡ ~x(A,x2+A2x+A3) =>

yPx =Bxe X, y p =ce* de donde y p = y p¡ + y p¡ + yp¡

Jf3 1obteniéndose: y --------x 2 + 2x + xe x + — ex

3 2


y = c{ +c2e x + — - x 2 + 2x+xe * + ~3 2

626) y '-2y '-3y = 2x + íTx - 2e3x

Solución

A2 - 2A - 3 = 0 => Aj = -1 , A2 = 3 de donde

y g - c xe~x + c2e3x además:

yPl = Axx + A2 , y pi = A 4xe~x, yp} = Axe3x de donde:

2x 4 xc~x x iy p ~ y p , +ypr obteniéndose y ------- + ----------------- e 3jr

2 3 9 4 2

y la solución general es: y = y g + y p es decir

-x 3X 2x 4 x e x xe3xy = c,e +c2e ----- + -------------------3 9 4 2

307

627) y"+4y = ex + 4sen2x + 2cos2 x - l

Solución

y"+4y = ex + 4sen2jc + 2cos2 j c - 1

y"+4y = ex +4sen2x + 2cos2jt => A2+4 = 0 => A = ±2/

de donde = c{ eos 2x + c2 sen 2x además y Pi=Aex

y Pi = x(B eos 2jc + C sen 2jc) de donde y p = y

1obteniéndose: y = — + *(— sen 2jc - eos 2x)5 4


1y = c j eos 2* + c 2 sen 2x + ----+ jc(— sen 2x - eos 2x)5 4

628) y % '+3y'+2y = 6 x ex (1 -e" 'r)

Solución

y+3y+2y = 6e~x -6xe~2x => A2 + 3A + 2 = 0 , entonces: Aj = -1 , )

De donde y g = x(A2x + B2)e~2x además

ypx =x(Axx + B l ) e ; y pi = x(A2x + B 2)e~2x,de donde y p = y

obteniéndose: y p = 3(x2 -2x)e~x +3(x2 + 2x)e~lx


y ~ . y g + y p = c{e~x + c 2e~lx + 3(x2 -2x)e~x +3(x2 +2x)e~2x

t2 = - 2

308

629) y' '+y = eos2 2a: + sen2 ^

Solución

2 2 * 1 + cos4jc 1-cos*v + v = eos 2x + sen — = -----------+----------2 2 2

« COS4;t COSJC ,2 , , , ,y +y = \ + ---------------- => A +1 = 0 => A = ±i de donde2 2

y g = Ci eos x + c2 sen x además

y Pí = A¡ , y Pi = (yí2 eos 4x + A3 sen 4x) , y P3 = *(¿?j eos x + B2 sen x)

de donde y p = y p¡ + y Pi + y obteniéndose

, cos4x xsenx , .,y p = 1 ----------------— y la solucion general es:

, c o s 4 j c *senxy = y g + y P = ci eosx + c2 senx+ 1 ----- --------- —

630) y' - 4y'+5y = e 2x (sen x + 2 eos x)

Solución

A2 -4A + 5 = 0 => A = 2±/ de donde

y g = c xe 2x eosx + c2e 2x sen* además

y p = xe2x (A sen x + B eos x) obteniéndose

X 9y p = (x sen x - — eos x)e x y la solución general es:

2 x 2 x 2x / COS^f.y = c¡e eos x + c 2e senx+xe (sen*---- —)

309

A2 -4A + 5 - 0 => A = 2 ±i dedonde

631) y''-4y'+5y = 1 + eos2 x + e 2x

Solución

y = cxe 2x eosx + c2e lx senx además:

„ 3 eos2* 2xComo y -4 y +5y = — + -------- + e , entonces tenemos:2 2

y P i= A l9 y Pi = A2 eos2x + A2 sen 2x + A$ sen 2 x , y P i = B e2

de donde y^ = y Pi + yP2 + y o b te n ié n d o s e

2x 3 1 4y w = e + — + ---- cos2x------ sen2xyp 10 130 65


2x 3 c o s 2 jc 4sen2xy = Cie cosx + c^e senx + e +— +--------------------y 1 2 10 130 65

2 ^632) y M-2 y '+ 2 y = e sen

Solución

ff , * 2 * e*y -2y+ 2y = r sen‘ - = - ------— eos x

A2 -2A + 2 = 0 => A = l± / de donde y g = cxex eosx + c 2ex senx

además y = A ex , y pi = xex (B eos x + C sen x) dedonde:

310

X Xc xc sen xy p = y p + y pi ------------- ------ , y la solución general es:

j jr e* xe* sen xy = y g +yp = cxe cosx+ c2e senx+ — - -----

633) y " -3 y '= l+ e x +cosx+senjcSolución

A2 - 3A = 0 => At = 0 , A2 = 3 dedonde

y g = Cj +c2eix además y p¡ = Ax , ^ = 5 e "

y P} = C s e n x + D eosx de donde: ^ ^

x eos x _2 sen xobteniéndose, y p - - — — — + -------------------------------------------------- ---------- y la solución general es:

:\x x e x eos x - 2 sen xy = c, +c2e — = — + ------------------1 2 3 2 5

634) y '-2y'+5y = e* (1 - 2 sen 2 x) +10*+1

Solución

y -2 y + 5 ^ = e x{l - 2 sen 2 x) + 10x + l

y ,-2>'+5>' = e x cos2x +10jc+ 1 ^ A2 -2A + 5 = 0 entonces A = 1 ± 2/

y g = cxex eos 2x + c2e x sen 2x además

y Pi = xex(Acos2x-hBsen2x) => y pj =Cx + D dedonde

xy p = y p t +yp1 obteniéndose y p = —ex sen2x + 2x+l

311


£y = (q eos 2x + c2 sen 2x)ex + — sen 2x + 2x +1

4

y' l-4y*+4y = 4* + sen x + sen 2x

Solución

A2 - 4A + 4 = 0 => A = 2 de multiplicidad 2.

^ = q e 2* + c2xe2x además y Pi =Ax + B

y p -C s e n x + D cosx , y Py = 2scos2x + Fsen2jc de donde

y p ^ y p i + y p i + y * obteniéndose

y p = x +1 + — (4 eos jc + 3 sen x) + - eos 2x y la solución general 25 8

y s q e 2* +c2xe lx + x + l + — (4cosjc + 3sen x )+ —cos2x25 8

y' '+2y'+y = 1 + 2 eos x + eos 2x - sen 2x

Solución

A2 + 2A +1 = 0 => A = -1 de multiplicidad 2.

= cxe~x +c2xe~x además:

y Pi = A x , y Pi = i?cosx + C senx , y Pj = D eos2x + E sen2x

de donde: y p = y Pl + y Pl + y P3 obteniéndose

, eos 2x + 7 sen 2x , .,= 1 + sen x h---------- —--------- y la solucion general es:

y = c1e +c2xe + l + sen;t +jc . i . ___ . eos 2x - 7 sen 2x25

y"+ y+ y+ l = s e n x + x + x 2

Solución

A2 + A +1 = 0 => A = — — ± / de donde2 2

y p = A scnx + B cosx + Cx2 + Dx +E de donde:

2<y/, = x - x - 2 - eos x y la solución general es: y - y g + y p

Í Sy = c{e z eo s -^ -x + c2e L sen — x + x - x - 2 - c o s x

y' '+6y'+9y = 9xe~3x +1 + 9 sen x

Solución

A2 + 6A + 9 = 0 => A = -3 de multiplicidad 2.

y g 3* + c 2*e 3jr además

yp\ = A > y Pl = x [(5 1 x + cx)e 3x], y P} =(B2 senx + C2 cosx)

de donde y p = y pi + y f i + y Pi obteniéndose

y D = — + — x 3e x + — (36sex-21 cosx)9 2 50

y la solución general es: y = y + y p es decir:

_3 r -3 r 1 3xe 1 , __ xy - c ye +Cixe + —+ -+ — (36 sen jc-27cosjc)1 2 9 2 50

639) y % '+2y+l = 3 sen 2x + eos x

Solución

A2 + 2A = 0 => Aj = 0 , A2 = -2 entonces:

y g = q + c2e~2* además = .4 , >^2 = B sen 2x + C eos 2x

y P3 = D cos* + £ sen x de donde: y p = y p¡ + yPi + y P}

., t x eos* 2 3 ,obtemendose: v„ = ------------------- h — senx — (sen 2 * -e o s 2x)

2 5 5 8


_2r 2senx cosx x 3 ,v = Ct+Coe ' + ---------------------------- (sen2x + cos2x)7 1 5 5 2 8

En los siguientes problemas se necesita hallar las soluciones particulares de las ecuaciones que cumplen las condiciones iniciales dadas.

640) y '-5y '+ 6y = ( \2 x - l ) e x , y (0) = y (0) = 0

Solución

A2 -5A + 6 = 0 => Aj = 2 , A2 = 3 de donde

314

y g =cxe 2x + c2e 3x además y p = ( A x + B ) e x obteniéndose

y p = xe~x y la solución general es:

y = y g +yp = cxe 2x + c3*3* +xe~x , para x =D, y = 0

Se tiene que: cx + c2 = 0 ... (1)

y = 2cxe 2x +3c2e 3x +ex -xe~ x entonces:

y ’= 2c¡e2x +3c2e3x +e~x -xe~ x p a rax = 0, v!=Q

Se tiene que: + 3c2 +1 = 0 ... (2)

de (1) y (2), se obtiene: cx - 1 , c2 *» -1

por lo tanto: y = c¡e2x + c2e3x +xe~x entonces:

y = e 2x - e 3x +xe~x

641) y' *+9y = 6e3x, y (0) = y (0) = 0

Solución

A2 +9 = 0 => A = ±3/ de donde:

y g =cx eos3x + c2 sen3x además y p = Áe3x de donde

e 3xy p = - y - y la solución general es:

e 3x); = y g +yp = cx cos3x + c2 sen3x + ——

315,

642)

para x = O, y = O => 0 = c , + ” => c1 = - ^

'ycos3x e A Av * — —*------ + csen3x + ---- derivandoy 3 3

y ’=sen3x + 3c2 cos3x + e 3* p a r a x - 0 , yf= 0

0 = 3c2 +1 => c2 = - j por lo tanto:

1 3xy =r- — (cos3x+ sen3x-e )

y''-4y'+5y = 2 x 2e x , y(0) = 2, ,v’(0) = 3

Solucióni

A2 - 4 A + 5 = 0 => A = 2 ± i de donde

y g = q e 2x cosx + c2e 2* senx además y p = (ylx2 +Bx + C)ex

obteniéndose y p = (x + l)2ex y la solución general es parax = 0, y = 2

entonces 2 = c¡ +1 => q = 1

elx (cosx + c2 senx) + (x + \)2ex , derivando tenemos:

y = 2 e 2r(cosx + c2 senx) + e2x(-sen x + c> x o s* ) + 2(x + l)eA + (x + l)2eA

parax = 0, y f = 3 => 3 = 2 + c2 + 2 + 1 => c2 =

por lo tanto: y = e2A (eos x - 2 sen x) + (x +1)2 e*

316

643)

644)

Solución

A2 + 6A + 9 = 0 => A = -3 de multiplicidad 2

y = c¡e~3x+c2xe~3x además y p = ,4 senx + 2? cosx

y v,+6yf+9y = 10 sen x , y (0) = f (0) = 0

de donde y^ = - (4 sen x - 3 eos x) y la solución general es:

y = c¡e 3x + c2xe 3x + -^ (4senx-3cosx )

3 3para x = 0, y = 0 => 0 = q - - => ci = “

y '= -Z cxe 3jr+3c2xe 3x + j(4 c o sx + 3 se n x )

4para x = 0, y '= 0 => 0 = -3 q + c2 + — => c2 = 1

por lo tanto: y = y e 3x +xe 3x + y (4 sen x -3 co sx )

y"+y = 2 c o sx , y(0) = 1, y'(0) = 0

Solución

A2 +1 = 0 => A = ±i dedonde y g = q cosx + c2 senx

además y p = x (^ eos x + B sen x) obteniéndose

y^ = x sen x y la solución general es:

317

y = y g + y p = q co sx + c2 senjc + jrsenac, parax = O, y = 1

entonces: 1 = c,

y '= -C j senjc + c2 cosx + senx + x co sx , para x = 0, y '= 0

entonces: 0 = c2 por lo tanto: y = eos x + x sen x

645) y ’ '+4y = sen x , j,(0) = .y’(0) = l

Solución

A2 + 4 = 0 => A = ±2/ de donde y g = cx eos 2x + c2 sen 2 x , además

sen xy p = A sen x + B eos x , obteniéndose y p = y la solución general es:

sen xy ^ y g +yp = cos2x + c2 sen2x+ ——

para x = 0, y = 1 => 11 = q

eos Xy = -2cx sen 2x + 2c2 eos 2x + —^ p a r a x = 0, y' =1

1entonces 1 = 2c 2 + — => c2 = —2 3 3

sen2x senxpor lo tanto: y = eos 2x + — -— + —-—

646) y " - 6 y '+ 9 y - x 2 - x + 3 , y(0) = y y'(0) = ~

Solución

318

.yg = c¡e3x + c2xe3x además y p = A x2 + Bx + C obteniéndose

A2 - 6A + 9 = 0 => A = 3 de multiplicidad 2

x 2 jc 1y - — + — + _ y la solución general es:

p 9 27 3 J 6

3 x 3 * X 2 X 1 4^ = Cie + c 2x + — + — + —, para x = 0, y = —1 2 9 27 3 ' y 3

4 1 i 3* 3x X2 x 1— = C i+ - => Ci =1 entonces: y = e + c ? x e + — + ----- h —3 1 3 1 7 2 9 27 3

y = 3e3r + c2e 3x +3c2xe3x + — + — para x = 0, y' = — , entonces:9 27 27

1 1— = 3 + c2 h----- => c7 = -327 2 27 2

1 . . 3X , 3X X2 X 1por lo tanto: y = e - 3xe + — + — + -9 27 3

647) y"-4y'+4y = e 2xy y(0)= 2, /(O ) = 8

Solución

A2 -4A + 4 = 0 => A = 2 de multiplicidad 2

y = q e 2* + c 2xe2x además y = A x2e 2x obteniéndose

jc2y p = — e 2x y la solución general es y = y g + yp

x 2es decir: y = c¡e2x +c2xe2x + — e 2x, para x = 0, y = 2 => 2 = q

319

y = 4 e lx +c2xe2x +xe2x + x 2e 2x y para x = 0, y 1 =8

entonces: 8 = 4 + q => c2 = 4x 2

por lo tanto: y = 2elx +4xe2x +~J~e2*

y"+4y = 4(sen 2x + eos2x) , y(n) = y'Or) = 2/r

Solución

A2 +4 = 0 => A =±2/ de donde: y g =Cj eos2x + c 2 sen 2 x , además

y p - x(A sen 2x + C eos 2jc) obteniéndose y^ = sen 2x - eos 2x)


y = c¡ eos 2x + c 2 sen 2x + x(sen 2x - eos 2x)

para x = n, y = 2n => 2n ~ c x - n => cx =3n

y = 3k eos 2* + c2 sen 2x + x(sen 2x - eos 2x)

y = - 6n sen 2x + 2c2 eos 2x + sen 2x - eos 2x + 2x(cos 2x + sen 2x)

para x = re, y '= 2 ;r => 2n = 2c2 — 1 + 2/r => c2 = ~

sen 2x , y = 3 r eos 2x H---------- t- x(sen 2x - eos 2x)

y ' - y ' - -5é~x (sen x + cosx), y(0) = -4, y'(0) = 5

y = 2elx + c2x lx + e 2x, derivando se tiene:

Solución

además: y p = (/í sen x+ B cosx), obteniéndose: y p ~ e~ *(senx-2cosx)

y la solución general es: y = c¡+ c2e*+ e~x( s e n x -2 c o sx ) ,

para x = 0, y = - 4 => -4 = cx = c2 - 2 => cx + c2 = -2

/ = c 2ex - e~x(senx - 2 eosx)+ e~x (eosx + 2 sen x)

para x = 0, y'= 5 => 5 = c2 +2+1 => c2 = 2, c, = -4

por lo tanto: y = -4 + l e x + e~x (sen x - 2 eosx)

650) y ”-2y'+2y = 4ex cosx , y(n) = nen , y ( ^ ) = e *

Solución

Az -2A + 2 = 0 => A = 1 ± í de donde: y g = (Cíe* co sx + c2e* senx)

además: y p = xex(A c o s x + B senx), obteniéndose: y p = 2xex senx

y la solución general es: y = y g + y p - e x (cx eos x + c2 sen x )+ 2 xx sen x

para x = / r , y = jten => rten = e ncx => q = n

y '= e x(cx co sx + c2 senx) + e x(~cx senx + c2 eos x) + (2e*x senx)

para x = k , y '= e n => e* = en {-cx - c 2) entonces:

c2 = 1 —c¡ => c2 =1-«- por lo tanto:

y = e x{n cosx + (l-7T)senx) + 2xejr senx

2A - A = 0 => A[ = 0 , A2 = 1 de donde y g - c¡ + c 2e *

321

Solución

A3 - A = 0 => Aj = 0 , A2 = l , A3 = - l de donde:

y g =cl +c2ex +c3e~x además y p -x (A x + B) de donde

y p = x 2 y la solución general es: y = y g +yp = cx +c2ex +c3e~

651) y " ' - y ' = - 2 x , y(0) = 0, / ( 0 ) = 1, /'(O ) = 2

para x - 0, y = 0 entonces: 0 = c¡+ c2 +c3 (1)

y '= c2ex - c 3e x de donde para x = 0, y ’=l

l = c2 - c 3 = c2 - c 3 =1 (2)

y ”=c2ex +c3e x de donde para x = 0, y" =2

... (3)2 = c2 + c 3 => c2 + c3 = 2

de (2) y (3) se tiene:

c2 = , c3 = , c, = —2, por lo tanto:

^ 3 x 1 -x 2v = - 2 + —e h— e + x 2 2

652) y ív- y = 8ex , y(0) = -l, / ( 0 ) = 0 , / ’( 0 ) - l . /" ( 0 ) = 0

Solución

A4 -1 = 0 =» Aj =1, A2 = - l , A3 = í , A4 = - i

y = c,e* +c2e~x + c 3 cosx + c4 sen* además y p =Axex

322

obteniéndose v;, = 2xex y la solución general es:

y = cxex +c2e~x +c3 cosx + c4 senx + 2xex ,

para x = 0 , y = 0 ¡ => - l = c , + c 2 +c ..(1)

y ’=c¡ex - c 2e x - c 3 senx + c4 cosjc + 2í’ r + 2xe1

para x = 0, / = 0 => 0 = q - c 2 + c4 +2

Cj C j + c4 = —2 . . . (2)

y''=c¡e +c2e x - c 3 c o s x -c 4 seax + 4ex +2xex

para x = 0, y ”= 1 => l = c !+ c 2 - c 3 +4

Cj +Cj —c3 = —3 ... (3)

y" '= c¡ex - c 2e r + c3 s e n x - c 4 cosjc + 6er +2xex

para x = 0, / " = 0 => 0 = c , - c 2 - c 4 +6

c, - c 2 — c4 = -6 ... (4)

desarrollando (1), (2), (3) y (4) se tiene:

= -3 , c2 = 1, c3 = 1, c4 = 2 por lo tanto:

y = -3 e r + é~x + cosx + 2 sen x + 2xex

y " ’- y = 2 x , y(0) = y'(0) = 0 , y " ( 0) = 2

Solución

, ' I V3 ~ -73y g =c¡e +c2e 2 eos— x+ c3e ¿ sen— x

además y p = Ax + B obteniéndose y p = 2.v

y la solución general es: y - y g + y p es decir:

, - f V3 i V3 ,y = + c2e 2 co s-^ -x + c3e 1 sen-~~x+2x

empleando las condiciones dadas se obtiene la solución particular.

4 _f ^v = — ¡= e ¿ sen — x + 2x-73 2

654) / v ->> = 8 e \ y(0) = 0, / ( 0 ) = 2 , / ’(0) = 4 , / " ( 0 ) = 6

Solución

A4 -1 = 0 => Aj = - 1 , A2 =1, A3 = i\ A4 = - / dedonde

^ = cxe~x +c2e x + c3 cosx + c4 senx además y p = Axex

obteniéndose: y p = 2xe* y la solución general es:

y = cxe~x + c2ex + c3 cosx + c4 senx + 2xex

para x = 0, y = 0 ==> c1+ c 2 + c 3 =0para x = 0, y f= 2 => Cj + c2 + ^ 4 = 0para x = 0 , / ’= 4 => cx + c2 - c 3 = Opara x = 0, y ' 1 = 6 => - c 1+ c 2 - e 4 =0

entonces: cx = c2 = c3 = c4 = 0 de donde y = 2xex

324

En los siguientes problemas se necesita hallar las soluciones particulares de las ecuaciones que cumplen en el infinito las condiciones dadas.

655) / ' - 4 / + 5 y = senx, y es acotada para x -H -00

Solución

Sea p(r) - r 1 - 4r + 5 = 0 => ^ = 2 + / , r2 = 2 - i

2 v 2 v •= q e ‘ eos x + c2e sen x . La solución particular es de la forma:

y p = A cosx + B sen x =>= - /ís e n x + i?cosx

\ y \ = -./í co sx - £ senx

ahora reemplazando en la ecuación diferencial.

-A eos x - B sen x + 4A sen x - 4B eos x+5A eos x + 5B sen x = sen x

(4 A + 4 B) sen x + (4 A -4 B ) eos x = sen x entonces:

, 1Í4A + 4B = l[4 .4 -4 5 = 0 ^ g = l

8

cosx senx8 8

La solución general es: y = y g + y p

2x 2x eos x +senx. . y = cxe eosx + c2e senx + -----------------------

y es acotado cuando x ->00 o q = c 2 = 0 de donde la solución general eseos x + sen xde la forma siguiente: y = - ^

325

656) y '+2y'+5y = 4 eos 2x + sen 2 x , y es acotada para x ->-oo

Solución

Sea /?(r) = r2 + 2r + 5 = 0 => rx = -1 + 2/, r2 = -1 - 2 /

^ = q e -* cos2x + c2e~* sen 2 x , la solución particular es de la forma:

y p = ,4cos2x + i?sen2x, de donde:

y p = -2,4 sen 2x + 25 eos 2x => = - 4 ^ eos 2x - 4B sen 2x

reemplazando en la ecuación diferencial.

-4Acos2x—4Bsen2x-4Asen2x+4Bcos2x + 5Acos2x + sen2x = 4cos2x + sen 2x

(A + 4B) eos2x + (B - 4A) sen 2x = 4 eos 2x + sen 2*

L4 + 4 5 = 4 f¿ = 0\ - 4 A + B = l ^ [5 = 1

y p = sen2x

La solución general es: y - y g + y p

y = cxe~x eos2x + c2e~x sen2x + sen2x

ahora y es acotado cuando x ->-oo o cx = c2 = 0 por lo tanto la solución es: y = sen 2x

657) y' - y = 1, y es acotada para x ->oo

Solución

Sea p(r) = r 2 - 1=0 => ^ = 1 , r2 = - l

326

y g = cxex +c2e *, la soluciónparticular y = A , de donde:

y lp = 0 => y*p = 0 => O —A = 1 =S> A = - 1

por lo tanto la solución particular es y p = -1

y la solución general de la ecuación diferencial es: y = y g + y p de donde:

y — cxex +c2e~x -1

y es acotado cuando x —>oo <=> c¡ = c2 = 0

por lo tanto: y = -1

y r— y = -2 eos x , y es acotada para x —>oo

Solución

Sea p ( r ) - r 2 - 1=0 r j = l , r2 = -1

j y = C ie*+c2<rx


{>>* = -A s e n x + B cosx

y p = - A c o s x - B s e n x


- A eos x - B sen x - eos x - 5 sen x = -2 eos x

-2 A eos x - 2 B sen x = -2 eos x => A = 1, B = 0

y p = cosx

La solución general de la ecuación diferencial es:y = cíex +c2e~* +cosjí

y es acotada para x - > o o <=> cx = c2 - 0

por lo tanto: y = eosx

659) y"-2y'+'y = 4e~*, y - * 0 para x-»+oo

Solución

Sea p(r) = r 2 - 2r +1 = 0 => r = 1 de multiplicidad 2.

y g - cle x + c2xex la solución particular es

y p =Ae~x => y \ = -A e -x => y \ = Ae~x

Ae~x + 2Ae~x + Ae~x = 4e~x entonces: A = 1, ó sea y p =e~x

La solución general de la ecuación diferencial es:

y = y * + y p = ° ieX+ CiXex + e "x

y —>0 cuando x —>00 <=> cx = c2 = 0 por lo tanto: y = e

660) y ' ’+4y’+3y = 8 e * + 9 ,y -> 0 para x->-a>

Solución

Sea p(r) = r 2 + 4r + 3 = 0 => ^ = - 1 , r2 = -3

y g = + c2e“3*, la solución particular es de la forma: y

Ahora derivando tenemos: y ]p = Aex , y J, = ,

¿£?*+4ér*+3e*+3¿J = 8é?JC+ 9 = > A = l , B = 3

entonces:

328

Por lo tanto la solución particular es: y p - ex + 3


y = y g + y p = c\e x + c2e +e* + 3, y ->3 cuando x

c¡ = c2 = 0 por lo tanto: y = e x + 3

661) y % '-y '-5 y = 1, y para x ->oo

Solución

Sea p(r) = r 2 - r - 5 = 0 => r, = 1 + * , r2 = ^ - ~

1+V2Í 1-V21-- ---Jf ------JC^ g = c ,e 2 +c2e 2

La solución particular es: y p = ^ => y p = o , ^ =0

0 — 0 — 5A = 1 => A = — — => v = — —5 p 5


1+V2T 1+V2I>' = -Ví r + -v /> = = c l e 2 X + C 2e 2 *

1 IV —> - j parax~>oo <=> cx = c2 = 0 por lo tanto: y = - —

í>62) y"+4y'+4y = 2eA(senx + 7cosx), y - » 0 para x-»-oo

Solución

■00 si y solo si

329

y g = c1e~2x +c2xe~2x

La solución particular es: y p - e x (A eos x + B sen x)

y p = e*[,4(cosjc- sen jc) + 5(senx + cos x)]

yp = e x[2B cosx-2A senx] entonces:

ex[2B eos x - 2 A sen x + 4yí(cos jc - sen jc) + 42?(sen x + eos x) +

+ 4^(cos x + B sen x)] = 2ex (sen x + 7 eos x)

e x [(8B - 6A) sen x + (6B + 8,4) eos x] = 2 e x (sen x + 7 eos x)

ex[(8B - 6 A) sen x + (6 B + 8^) eos x] = 2ex (sen x + 7 eos x)

[%B-6A = 2 A = 1{65 + 8,4 = 14 ^ 5 = 1

^ = e r (cosjc + senjc)

y '-5'+6y = 2éT2* (9 sen 2jc + 4 eos 2 x ) , y -» 0 , para x -> +oo

Solución

Sea p(r) = r 2 - 5 r + 6 = 0 => rx = 2 , r2 =3

^ = q e 2* + c2e 3* , es lá solución general de la ecuación homogénea


p(r) = r2 + 4r + 4 = 0 => r = -2 de multiplicidad 2.

y \ = e~2x[(-2A - IB )sen 2x + (2 B - 2 A )eos2x]

y®, = e~2jt (8A sen 2x - 85 eos 2x)

ahora reemplazamos en la ecuación diferencial:

y \ = e~2x (%Asen2x-%B eosx2x)

- 5 y [p =e~lx[(\0A + \ 0 B) sen 2x + (1OA - 1OB) eos 2x]

6 y p = e~2x (6,4 eos 2x + 65 sen 2x)

" 5y'p + 6y p = íT2* [(18/1 + 165)sen 2x + (16A -1 2 5 )eos 2x] =

= 2 e 2'< (9 sen 2jc + 4 eos 2x)

(18v4 + 165)sen 2x + (16,4-125) eos 2x = 18 sen 2x + 8cos2x

, 43Í18.4 + 165 = 18 59

[16.4-125 = 8 ^ 5 = ü59

por lo tanto: y = e “2jr (— eos 2* + — sen 2x)p 59 59

664) / ,-4 /+ 4 > ' = (9x2 + 5x- l2 )e~ x, y —> 0 para x —> oo

Solución

Sea p(r) = r 2 - 4 r + 4 = 0 => r = 2 de multiplicidad 2

y p = e 2x (A eos 2x + B sen 2 x ) , ahora derivando tenemos:

331


y p = (A x2 +Bx+ C)e~x , derivando tenemos

y \ = (2Ax + B)e~x + ( -A x 2 -B x + C)e~x = e_Jr( - A x 2 + (2A - B ) x + B - C )

fy \ =e~x (Ax2 + (B -4 A )x + 2 A -2 B + C)

e~x[Ax2 + (B -4 A )x + 2 A -2 B + C ]-4e~x ( - A x 2 + (2 A -B )x + B - C ) +

+ 4(Ax2 +Bx + C)e~x = e~*(9x2 + 5 x - \2 )

9Ax2 +(9B-12A)x + 2 A -6 B + 9 C = 9 x 2 + 5x-12

y = cxe lx + c2Jte2* , solución general de la ecuación homogénea.

9 A = 99 B -1 2 A = 5 =>2 A -6 B + 9 C = -12

A = 1

5 = H9

C = ——- 9

/ 2 1 7 8 a -^ = ( x 2 + - x - - ) e


17 8>' = 3;g +JV = 9e2* +c2xe2x + (x2 +— x - - ) e

y —»0 cuando x -*oo o cx = c2 - 0

17 8por lo tanto: y = (x2 + — x - —)e *

332

e c i j a g i o n e s d e e u l e r I

Las ecuaciones diferenciales de Euler son de la forma:

n d ny n - \ d n~Xy dya „x -— + an_lx - — ¡- + ..- + a lx — + a0y = 0

dx dx dx

donde an,a n_x,...,ax,a0 son constantes.

Para resolver estas ecuaciones se reducen a ecuaciones diferenciales linealeshomogéneas de coeficientes constantes, mediante la sustitución.

x - e => t = lnx además

dy_dy _ dt = e -t dy _ . d y _ e_, dydx dx dt dx dt

dt

dy'd^y_ _ dy' _ dt = e -t dy__ e -t <L,e-t dy_~dx2 dx dx dt dt 6 dtdx2 dx dx

dt

d 2y _ - i , ( d 2y ¿y. d x2 d t 2 dt

También son ecuaciones diferenciales de Euler, las ecuaciones diferenciales de la forma:

„ d n y , d n~l \a n(ax + b) — — + an_l (ax + b)n — ^ - + ... + a0y = 0

dx dx

estas ecuaciones diferenciales se resuelven en forma análoga al caso anterior, mediante la sustitución.

ax+b = e‘ => t = ln(ax + b)

333

Las ecuaciones diferenciales no homogéneas de Euler son de la forma:

anx n ^ -^ - + ... + a1x ^ - + a0y = x a Pm(ln(*)) cbt"_________ dx__________________

donde m es el grado de Pm (ln(x))

También estas ecuaciones se resuelven en forma similar al caso anterior.

Integrar las siguientes ecuaciones de Euler.

665) x 2y"+xy'-y = 0

Solución

Sea x = e* => t = lnx además:

d y _ . , d y d 2y _ lt d ^y dydx dt dt dt dt

que reemplazando en la ecuación diferencial se tiene:

e 2t ,e~2t (—— - — ) + - e l ,e~* — - y = 0 , simplificando d t2 dt dt

d 2y— - y = 0 ecuación homogénea de coeficientes constantes. d t2

A2 -1 = 0 => Aj =1 , A2 = -1

la solución es: y(t) = c^e1 + c1e~t

666) x 2 y' '+3xy'+y = 0

Solución


dy_ = e-,dy_. <*2y _ - 2>(<¡2y dydx dt ' d t2 d t2 dt


e 2t.e~2t ) + 3e'.e- ' — + y = 0 , simplificandodt dt dt

d 2 y dy— r- + 2 — + y - 0 ecuación homogénea de coeficientes constantes d t2

A2 + 2A +1 = 0 => A = - l de multiplicidad 2.

/ x _/ —t i * + 1 ^9 lnxX 0 = ^i^ + c2te de donde: —-----x x

667) x 2 y' '+2xy’+6y = 0

Solución


dy dy d y _2, , d 2y dy~— - e — ; — — = e (— ------—) reemplazandodx dt d t2 d t2 dt

e » £ - » (£ z - ± )+2e' £ - , ! ! y +6, , 0 d t2 dt dt

d 2 y dy— r-+ — + 6y = 0 ecuación homogénea de coeficientes constantes, de donde: d t¿ dt

335

1 423A2 +A + 6 = 0 => A = — ± ------i de donde:

2 2

(1 4 V 23 , -3 V 23,y (0 = c1e 2 eos —— f 4-c2e 2 sen - — r

1 -723 , V23 . .por lo tanto: y = — [cx eos -ln x 4- c2 sen ——— ln x]- J x 2 2

668) xy"+y'=0

Solución

Sea x = ex => t = lnx además:

7 2 ,d y . r - 7 t ( d y ^

dx dt ’ d i2 d t2 di

t -21 ,d y dy _t dyreemplazando se tiene: e .e (— -—) 4- e — = Ud i2 di di

2^= 0 => A2 = 0 ==> A = 0 de multiplicidad 2.d y A _ 1 2

.2di1

y(t) = cl +c2t => j/ = cj4*c2 lnx

669) (* + 2)2 y ’ '+3(jc 4- 2 ) / - 3 y = 0

Solución

Sea x 4- 2 = e r => t = ln(x 4- 2) además:

d2y _ r - 2 ' ( J 2y dy ,dx dt ’ d t2 d t2 dt


336

2e 2' .e-2' (~7y - - 37) + 3e' .e“' — - 3y = 0 , simplificando

<// dt

d y „ ¿V— z- + 2 -j- dt2 dt

i +2 — -3 ^ = 0 ecuación homogénea de coeficientes constantes de

donde: A2 +2A -3 = 0 => A] = - 3 , A2 = 1 => >»(/)«scj«' + c2e~3'

y = ci (x + 2) + - C2(x + 2)3

670) (2x + l)2y ’- 2(2jc + l)y + 4^ = 0

Solución

Sea 2x + l = e ' = > t = ln(2x + l) además:

— = 2e~' — ;úi* í/í dx2 dt2 dt

reemplazando en la ecuación diferencial

e21 Ae~2'(~—t~- — ) - 2e'2e~ ' — + A y ~ 0 , simplificando dt1 dt dt

d 2y a dy . A d 2y „ dy — f - 8 - f + 4 ^ = 0 => — f - 2 — dt dt dt dt

sea A2 - 2A +1 = 0 => A = l d e multiplicidad 2.

y(t) = cle‘ +c2te‘ dedonde: y - c l {2x+l) + c2(2x + l)ln(2x+l)

671) x 2y"'-3xy''+3y'=0

Solución

337

Sea x = e‘ => t = lnx además:

dy , dy d 2y _ 2 l d 2y _ d y d ' y _ y * d \ y ■ dy* ■ ' i ¡ ’ * r _ {w * h i ? - e V V <*


dt3 d t2 dt d t2 dt dt

^ Z - 6 ^ - Z + 8— = 0 ecuación homogénea de coeficientes constantes, dt3 d t2 dt

de donde: A3 — 6A2 + 8A =0 Aj = 0 , A2 = 4 , , A3 = 2

y la solución es: y(t) =Cj + c 2^ 4í por lo tanto:

y - C i + c2x 4 + c 3x 2

672) x2y " = i y

Solución

Sea ax^e* => t = lnx además:

± . , - á L ; £ ! f , e - 3 - ( £ ! z - e £ i + 2 ^ iífo dx dt dt dt

reemplazando en la ecuación diferencial dada

e 2' £~3' (r -^ - - 3 — — + 2 — ) = 2e~' — , simplificando A 3 <*2 dt dt

3 2— Z. _-3 ^ _ ü = o ecuación homogénea de coeficientes constantes, de donde: <*3 ¿ í2

338

A - 3A2 = 0 => Aj = 3, A2 = 0 de multiplicidad 2.

7 (í) =C] + c2f + c3e3' de donde >» = C i+ c2 lnjc + c3* 3

673) (x + l ) V " - 1 2 / = 0

Solución

Sea x + l = e' => t = ln(x + 1) además:

dx dt dx3 dt3 í/í2 í/í


e 2í£ 3, (-^H p -3 -^ -^+ 2 -^ -)-1 2 e ' — = 0 , simplificando í* 3 rf/2 * <*

± J L - , Í J L - l(¡± d t3 d i2

3 - 3 — t— 37 = ® ecuación diferencial homogénea de coeficientes

constantes. A3 - 2 A2 -10A = 0 => A, = 0 , A2 = 5 , A3 = - 2 ,

y la solución general es: y(t) = cx + c2e 5' + c3e “2' , por lo tanto:

y = c1+c2(x + iy +(x+ l)2

674) (2 x + i)2y " + 2 (2 x + i)y ’+ y = o

Solución

Sea 2x +1 = ex => t = ln(2x + 1) además:

339

É L . u - ± ,dx dt dx2 dt dt

d t3 dt3 dt2 dt

reemplazando en la ecuación diferencial dada

, * * - * ( í ! f - 3 + 2 ± ) + V .4«-" & - * ) + 2 « - ÉL , od i3 d t2 dt d t2 dt dt

4 - 8 -4 - + 5 — = 0 ecuación homogénea de coeficientes constantes, ded t3 dt2 dt

donde: 4 A - 8A + 5A = 0 => A. = 0 , A2 = 1 h— , A3 = 1 —2 2

_y(í) = Cj + 02«* cos-^ + c3e ' s e n - j , de donde

,, ln(2x + l) ln(2x + l)y = c¡ +c2 (2 x + l)co s—---------+ c3(2x + l)sen ------------

675) x 2 y' '+xy'+y = x(6 - ln x)Solución

Sea x = e' => t = lnx además:

^ L = e - ' ^ y d y = e - 2,( - - —dx dt ’ dx2 d t2 dt

reemplazando en la ecuación dadas se tiene:

,2

e 2' £ 21 +e ' £ ' — + y = e ' ( 6 - 1), simplificandod t2 dt dt

340

dt

y g (t) = q eos t + c2 sen t y g = q eos ln x + c2 sen ln x

™ t 1 7 lnx 7^ = ( ^ + 5 ) * ' => y P = - - + j =>

se tiene: .F = .V * + .F » = ci cos(ln x) + c2 sen(ln x) - + —* ^ 2 2

676) x 2y"-;xy,+y = 2*Solución

Sea x = er => t = lnx además:

2 2¿/y úíy <i y - 2r ,d y 4y. . , .— = e — , — = e (— ------—) , reemplazando en la ecuación:dx dt dx1 d t2 *

e 2t .e~2t — + v = 2e ', simplificando¿ r2 dt dt

- 2 — + y = 2 e ', de donde A2 - 2A +1 = 0 ¿ í2 dt

entonces: A = 1 de multiplicidad 2.

y g (t) = q e ' + c2e ' => y g = q x + c2x ln x

además y p (t) = A t2e t => y p (t) = t 2et

y p = x ln 2 x y la solución general es:

y = y g + y^ es decir que: y = q x + c2x ln x + x ln 2 x

2+ = (6 - r )e r, sea A2 +1 = 0 => Aj = / , Á2 = - i

341

2 ,, , „ 16 lnx677) x 2y" -xy '-3 y = -----------x

Solución

Sea x = e { => t = lnx además:

Q L= e -<É>L <(d2y dydx dt ’ dx2 d t2 dt

reemplazando en la ecuación diferencial dada se tiene

e 2t£~2t ) - e t .e ' — -3 y = -16e ' X , simplificandod i2 dt dt

(L j L - 2 — - 3 y = -16te sea A2 -2 A -3 = 0 entonces:dt1 dt

A¡ = 3, A2 = -1 y g (t) = C\eht +c2e ' entonces:

v^ = c 1x 3 + — además y p (t) = t(At + B)e ' y ^ íO = 2r2e ' + íe /

2 ln x ln x . . ,siendo y = ---------+ ----- y la solucion general es:p x x

, . 3 c2 . ln“ x lnxy = y _ + y _ es decir: y = cxx h------1-2-------- H-----

^ x x x

678) x 2 y' f-2xy'+2y = x 2 - 2x + 2Solución

Sea x = e{ => t = lnx además:

e -2t(^ y %dx dt ’ tic2 d t2 dt

reemplazando en la ecuación diferencial dada se tiene

e £ 21 ~ ~ ^ e ' £ ' ~¡~ + 2.v = e 2' - 2 e ' + 2 , simplificando

-^ --3 -^ + 2 j> = = é> 2' - 2 e ' +2 entonces A2 -3A + 2 = 0 => Aj = 1, A2 =2

y g ( t)= c1e ‘ + c2e 2' => y g =cxx + c2x 2

y p (í) = Ate2' + Bte' + C

dedonde y p (t) = te2‘ +2tel +\ => y p = x 2 \nx + 2\nxjc + \ entonces:

y = y g + y p = ci x +c2x 2 + (x2 +2x)inx+i

679) x 2y''+xy'-y = x m, |m |* 1

Solución

Sea x = e ‘ => t = lnx además:

^ y .= e ~‘ ^L d— y .= e - 2‘( ^ l z dy.dx dt ’ dx2 d t2 dt

Reemplazando en la ecuación diferencial dada.

e .e 1 ( -¿-) + er .e 1 - y = emt, simplificando se tiene:dt dt dt

d 2y mt~ T ~ y - e y ecuación diferencial no homogénea.

A2 -1 = 0 => A¡ = 1, A2 = -1 de donde:

343

yg(t) = cle' +c2e~' => yg = ci* + y

e m1 x my ( í) = A e m => y p (O = - 5 — entonces: y p = - 5 —

F m -1 m -1

c2 x mPorlotanto: y = + y p = CjX + — + — 7

x w — 1

680) x 2y"+4y'+2y = 2 ln 2 x + l2x

Solución

Sea x = e ' => t = lnx además:

g2' £ - 2t(— ^ - . ) + 4e'.e~f — +2y = 2 /2 +12e', simplificando vd ,2 dt dt

^ Z + 3 ^ + 2y = 2 í2 +12e' => A2 +3A + 2 = 0 entonces: rfí2

A. = - 1 , A2 = -2 de donde: y (í) = cxe ^ +c2e 2' => y g = - ^ + - jX X

y p (t) = A t2 +Bt + C+De' => y p (t) = t 2 -7>t + l+ 2 e '

y p = ln 2 x - 3 ln x +7 + 2x y la solución general es:

y = yg +yp = — + -^y + ln 2 x -3 1 n x + 7 + 2xx X

Porlotanto: y = — + — -+ ln2 x - 3 ln x + 7 + 2xx x 2

344

ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALESPEl

COEFICIENTES VARIABLES.

Las ecuaciones diferenciales de orden n, de coeficientes variables son de la forma:

d n y d n ly dya n (x) “TV + a n - 1 W — — + . . . + a¡ (x) —- + a0(x)y = f ( x )

dxn dxn dx

Donde a0(x),ax(x),...,an(x) y f(x) son funciones de variable real y continuas en unintervalo. Suponiendo que an (x) * 0 entonces se tiene:

d n y d n~ly dy+ bx (x) — — +...+ bn_x (x) — + (x)y = g (x) ... (a)

dxn dxn 1 dx

La solución de la ecuación (a) es la suma de las soluciones particulares y la solución general de la ecuación homogénea correspondiente.

Si se conoce una solución particular y x (;t) de la ecuación.

d nydxn

+ (x) ~ - ~J +... + b„_¡(x)^f + bn(x)y = 0dx dx

... (1)

Se puede rebajar el orden de esta ultima en una unidad (sin dejar de ser lineal), haciendo, donde z es una nueva función incógnita y poniendo después z'=u [se puede hacer directamente la sustitución].

Si se conoce un sistema fundamental de la ecuación homogénea correspondiente (1), la solución general de la ecuación no homogénea (a), se puede hallar mediante cuadráticas por el método de variación de las constantes.

La solución general de la ecuación (1) tiene forma:

y = cl y 1+c2y 2 +... + cny n ...(2 )

Donde c¡,c2,..., c„ son constantes arbitrarios.

345

La solución particular de la ecuación (a) es:

y = cl (x)y1 + c2(x)y2 +...+ cn(x)yn ... (P)

Donde c¡ (x), c2 (x),..., c„ (x) son funciones incógnita de x por determinarse.

Para determinar las funciones incógnitas se forma el siguiente sistema:

Sea c¡(x)yl + c2(x)y2 +.~+cn(x)yn =0

Entonces:

y xc\ (x) + y 2c\ (x) + ...+ y nén (x) = 0

(I)

y\c\ (x )+ y \c \ (x) +... +y[c[ (x) = 0

y¡n' l)c\ (x) + y {2 nc[ (x) + ...+ y („n~l)c[ (x) = f ( x )

al resolver el sistema (I) se tiene: — 1- ^ ~ = f j ( x ) , i = 1,2,..., ndx

donde: c{ (x) = J (x)dx , este resultado se sustituye en ((3).

Veremos para una ecuación de segundo orden.

y"+P(x)y'+Q(x)y = R(x) Donde y Xfy 2 es un sistema de soluciones.

Luego la solución particular es: y p = cx (x)yx + c2 (x)y2 donde cx (x) y c2 (x)

Son funciones por determinarse, para esto formaremos el sistema siguiente:

W w + w i M - o dedonde

(r|cj i*) + 7I3C2 (x) = R(x)

346

w [ y i , y 2] = y 1 y 2 y\ y '2

' ■ y \ y \ - y \ y 2 entonces:

c|(x) =

cj2(x) =

0 y 2 R{x) y 2 -R ( x ) y 2 f -R ( x ) v2 ,

= ™ --------- entonces: c, (jc) = -----¿ dxW Tv„y,l U J ^ b w 2]W[yi ,y2] W[yx, y 2]

y\ o y\ *(x) yi&(x) W[yx,y2] W[yu y 2]

entonces¡s: c2 (x) = J ,M (x )

w [yx ,y2}dx

Integrar las siguientes ecuaciones (y j ,y 2) son soluciones particulares de la ecuación homogénea.

681) x V ’'-3x2/ '+6xy'-6y = 0 , y l = x , y 2 = x 2

Solución

x = edx dt

? 4 > 'dx dt dt dx dx dt dt

Reemplazando en la ecuación diferencial dada.

d r dt d t2 dt dt -

d 3 y d 2 y dyT T - — T +11 —— 6y = 0 , ecuación diferencial homogénea. d r d t2 dt

A3 -6A 2 + l lA - 6 = 0 => A, =1, A2 = 2, A3 =3

y (0 = c¡er +c2e 2' +c3e3' dedonde y = cxx + c2x + c 3x 3

347

682) (x 2 - 1 ) / ' = 6 y , y es un polinomio.

Solución

Como y x es una solución particular luego otra solución particular es y 2 = y xz donde z es una función incógnita que se encuentre derivando y reemplazando en la ecuación dada obteniéndose la solución general.

y = c¡ (x 3 - x ) + c 2 ( 6 x 2 - 4 - 3 ( x 3 - x ) l n | ^ j |

En el mismo criterio se calcula los siguientes ejercicios.

683) (2x+1)y' '+(4x - 2)y'-Sy = 0 , y x =emx

Solución

y = cxe~2x + c 2 ( 4 x 2 +1)

684) ( x 2 -x )y " + (2 x -3 )y '-2 y = 0, y x es una fracción racional en cuyoderojminador figuran factores lineales (los divisores del coeficientes de y ' ') .

Solución

Sea y j = y xz de donde la solución general es:

Ciy = c1y 1 + c2y 2 de donde: y = — + c2(2 x -3 )

x

685) (3jc + * 2 )y' -6(1 + x)y'+6y = 0, y x es un polinomio

Solución

Sea y 2 = y xz la otra solución particular donde z es la función incógnita dedonde la solución general es:

y = cx jc3 + c 2(x + \ ) - x

348

Solución

y = y xz => y '= y [ z + y xz' => y\ = y f z + 2y¡z + y,z"

x 2(lnx-lX y'}z+ 2y[z '+ y1z " ) - x y \ z - x y íz'+y1z = 0

( x 2(ln x - l)yf - xy\ + y x)z + 2 x 2(ln x - l)j>{z'+x2 (ln x - l)y ,z" = xy¡z' = 0

y¡ es solución => x 2(lnx-1)^]1 - xy\ + y¡ = 0

2x 2 (ln x - l)j>| z'+x 2 (ln x - l)y , z' '-xyl z'= 0

2 x 2 (ln x -1 )z'+x3 (ln x - l)z"~x2z' = 0 , simplificando

(2(ln x -1) - l)z’+x(ln x -1 )z' ’ = 0 , separando la variable

zM 2 ( \ n x - l ) ~ k „ ._ + ---- ------------ = o , integrando se tiene:z x (ln jc-l)

ln z’+2 ln x - ln(ln x -1) = ln c entonces:

i , x 2 i , c (ln jc-l) .i n z - -------- = lnc => z = ------ ------, integrando se tiene:\ n x - l x 2

686) x 2( lnx- l)y"-xy'+y = 0 , y¡ = x

y = ciyi +c2z = c1x + c2 lnx

687) y''+(gx - 2c tg x)y ’+2c tg2 x.y = 0 , y x = sen x

Solución

349

y = zy¡ => y '= y \ z + y xz \ y"= y \ z + 2y\z'+yxz"

y' '+(tg x - 2c tg x)y'+2c tg2 x.y - O

y fz+ 2 \z '+ y1z"+ (tg x -2 c tg x )y \z+ (tg x -2 c tg x )y¡z '+ 2 c tg 2 x.y¡ = 0

0>{ + ( tg x -2 c tg x ) l1 + 2c tg 2 x.yx)z + y xz"+{2y\ + tg x -2 c tg x )z ' = O

como y x es solución entonces: .yj1 + (tg x - 2c tg x)y¡ + 2c tg x.yx = O

de donde: y x z’ '+(2_vJ + (tg x - 2c tg x)_y, )z' = O

sen x.z' '+(2 eos x + tg x sen x - 2c tg x. sen x)z' = O

sen .z’ ’+(2 eos x + tg x. sen x - 2 eos x)z’ = O

zf *— + tg x = O => ln z'+ ln sec x = ln c z'

z' sec x = c => z '= co sx => z = sen x

por lo tanto y 2 = y xz = sen x sen x la solución general es:

y = c¡ senx + c2 sen2 x

y ' tg x ./+ eos2 x.y = 0, y x = cos(senx)

Solución

>>j = cos(sen x) => y \ = ~ sen(sen x) eos x

y = z.y¡ => y'= zy\ + z 'y x , y '= ^ } z + 2 ^ J z ’+>'1z"

y \ z + 2y[ z'+y¡ z ' '+ tg x .y \z+ tg x.z' y x +cos2 x._y,z = 0

(.Vi + tg XA + eos 2 x.y¡ )z + y¡ z' '+2y\z'+ tg x.yx z'= 0

como y 1 es solución entonces: y \ + tg x.y J -feos x.yx = 0

de donde y x z' '+(2yJ + tg xy)z' = 0 entonces:

cos(sen x)z' '+(-2 sen(sen x). eos x + tg x. cos(sen x)z' = 0

z"— - 2 eos x. tg(sen x) tg x = 0

ln z’+2 ln(cos(sen x)) + ln sec x = ln c

ln z'. eos2 (sen x). sec z = lnc

, . cosxz = k ---- ---------- = 1 + cos(2 sen x ) , integrando

eos (senx)

f cosx ,z = l ---- ---------- d x - k tg(sen x)J eos (senx)

y = cly l + c2y 2 = Cj cos(sen x) + c2 cos(sen x). tg(sen x)

y x = cx cos(sen x) + c2 sen(sen x)

689) (1 + x 2 )y"+xy'-y + 1 = 0 , = x

Solución

y = zyx => y '= zy[+ z 'yx, y''= y \z + 2y\z\ +ylz"

(1 + x 2 )0 'J z+ 2_y|z’+.V! z") + x(zy| + z 'y 1) - 2 y 1 +1 = 0

((l + x 2)yf +xyl1- y 1) + z + (l + x 2 )(2 y[ z'+y¡ z") + xy¡ z'+1 = 0

351

como y x es solución entonces se tiene: ((l + x 2XyJ +xy\ - j | ) z + l = 0

de donde (1 + x 2 )(2y\z'+yxz " ) + xyxz ' = 0, simplificando

( l+ x 2)(2z'+xz")+x2z'=0 entonces:

(2 + 3 x2 )z'+x(l + x 2)z" = 0 , separando la variable

z" 3x2 + 2— + ----------------------------------------- = 0 entonces: ln z'+3x - arctg x = cz' x 2 +l

___ 2x2z = x arctg- - J l+ x ------- entonces:

2

y = cxx + c 2(x2 a rc tg x -W l + x 2 - - y - )

690) x 2y ' ' -x y ’-3 y = 5x4, y x =

Solución

e 2' _e~2r (— — - — ) - e ' ,e~' — - 3 y = 5e4' , simplificando <*2 di í/í

^ ! z _ 2 ^ . - 3 y = 5e4' => A2 -2 A - 3 = 0 => A, = 3 , A2 = -1d i2

>-g (0 = c13'+ c 2e - ' => y ? =c,Ar3 + ^ -

y p (t) = A e4' => jy ,(í) = e 4' => ^ = ^ 4

3 c 2 4y = ^ + y P = c xx +-— + x

352

691) (4xz - x)y''+2(2x-1 ) y ' ^ y = \2 x¿ - 6 x , y , = -x

Solución

En forma similar que el ejercicio anterior se tiene:

Cjy = 2y x obteniéndose: y = cl (2x -1 ) + — +

x

692) y y'-y'+ye2x = xe lx - 1, y x = senex

Solución

Sea y ’= z y \+ z 'y l ==> / ’= j j1 h - 2 j ^ j 2T1 ’

que reemplazando en la ecuación dada se tiene la solución general.

y = y g + y p es decir: y = x +cx cosex + c2 senex

693) y +y tgx = ---------senjc

Soiución

C dy d 2 y dp iSea — = p => — — = — de donde dx dx2 dx

dp— + tg x.p - c tg x. cos x ecuación lineal, cuya solución es: dx

P ~ e 8 c tgx. cos xdx + c] , integrando

p = eln(cosjc)[ J e ln(SQCx)ctgx.cosxdx + c]

p = cos x[ f c tg x. cos x sec xdx + c] — = cos x[ln(sen x) + c]J dx

353

— = eos x. ln(sen x) 4- c. eos x integrando: dx

y - J (eos x. ln(sen x) + c. eos x)dx + k entonces:

v = c. sen x + sen x. ln(sen x) + k

694) (x +1)3 y" '+3(x + 2)2 y+(x + l)y = 6 ln(x +1)

Solución

Sea x + \ = el => t = ln (x + l)

dy__ dy_ ¿ V = - n J 2)’ dy rfx dt ' dx2 d t2 dt

reemplazando en la ecuación dada.

* 3 r e~2t (— ^ - — ) + 3e2í .e 7 + e* y = 6 t , simplificando~ ' d t1 dt dt

(L jL + 2 — + y = 6?e_í => A2 +2A + 1 = 0 => A = -1 de multiplicidad 2.¿ f 2 * ’

. c, cln(x +1)+<*« = . >-«— + x + 1 -

= í 204r + 2?)e_í => vp (t) = t 3e~t

y - de donde la solución general es:x + 1

q + c2 ln(x +1) + ln3 (x +1)y=>y*+y p =* ^ x + 1

354

695) x ( x - l ) y " - ( 2 x - l ) y ,+2y = x (2 x -3 ) , ^ = x 2

Solución

Sea y = ==> y¿= y jz + z 'y i , / ' = yj,z + 2yjz'+y1zlf

x(x - 1)0/ J z + 2y { z'+j/j z’ ’) - (2x - l)(y{ z + z 'y l ) + 2ylz = x 2 (2x - 3)

(x (x-l)y}1 -(2 x -l)y J + 2 y 1)z + 2 x (x -l)y lz ,+ x (x -l)y 1zM-

- ( 2 x - l ) z 'y 1 = x 2(2x -3 )

como y x es solución entonces se tiene:

(x(x- l)y} - (2x- l)j/J + 2y1) = x 2 (2x - 3)x

x 2 (2x - 3)z + 2x(x - l)y \z'+x(x - l)yt. zf !-(2x - l)z' y x = x 2 (2x - 3)

x 2 (2x - 3)z + 2x(x - l)2xz'+x(x - l)x 2 ¿ '-(2 x - l)x2 z' = x 2 (2x - 3)

x 3( x - l ) z ,f+ (4x3 - 4 x 2 - 2 x 3 + x 2)z '+ x2(2 x -3 )z = x 2(2x -3 )

x 3 (x - l)z' '+2x2 (2x - 3)z'+x2 (2x - 3)z = x 2 (2x - 3)

x(x - l)z' '+(2x - 3)z'+(2x - 3)z = (2x - 3)

resolviendo la ecuación se obtiene que:

y - c\y\ + ^ 2^1 + yp de donde al sustituir se tiene la solución general:

y = x 3 +cxx 2 + c2(2 x - l)

696) Una cadena de 6m. de longitud se desliza desde una mesa sin rozamiento. Si el movimiento comienza desde el momento en que cuelga lm. de la cadena. Cuanto tiempo tardara en deslizarse toda la cadena.

355

Solución

MW = m g = (— —)y donde y es la longitud del trazo de la cadena que cuelga.

▲ TWy - T = mya

T = mHa

Wy - m Ha = mya

Wy =(mH +my )a = Ma

M .Como Wy = (—— )y

. . . (2)W„

Ma =

Comod 2y ,dy' g

d y gdt

= t y

d ry '2 = — y2 +c 7 L

356

*Ldt

y +c integrando y reemplazando sus valores se tiene:

t = I— ln(6 + ~j35)seg

697) Hallar la ecuación del movimiento de un punto sabiendo que la dependencia a la aceleración del tiempo se expresa por la formula a = 1.2 t, si para t = 0, la distancia s = 0 y para t — 5 la distancia s = 20

Solución

a = 1.21 m

a = 1.21d t 2

= 1.21 => ds _ rd t ~ J1.2 td t + c

~ = 0.612 +c => í = 0.2í3 +ct + k parat = 0, s = 0 dt

entonces: k = 0 => s - 0.2í3 + ct para t = 5, s = 20

entonces: 20 = 25.5 + 5c de donde c = -l por lo tanto: s = 0.2ti - t

698) Un cuerpo de masa m se desliza sobre un plano horizontal a causa de la acción de un golpe que ha originado una velocidad inicial V. Sobre el cuerpo actúa la fuerza de rozamiento igual a - km. Hallar la distancia que es capaz de recorrer el cuerpo.

Solución

t = 0 t V

F = -km = ma => a = -k de donde a = d 2x~dt2

= - k

357

dv d x . .Entonces: a = — = -—=- = -/: => v = -kt + cdt di2

Para t = 0, v = v0 => c =v0

v = -k t + vfì => v = — = -/ri + v{) ==> v = 00 dt

t = -

dxdi

fV0/*= -k t + v0 => x = Jo (-/tf + v0)di

/ ktX = ( ------— + v00

v0 /A

= > X =2*

699) Un punto material de masa m = 1 se mueve por una recta acercándose a un centro por el cual es repelido con una fuerza igual a kx (x es la distancia del

punto al centro) para t = 0, x = a, = ka . Hallar la ley del movimiento.

Solución

. V

2— max0 = x| = además x/r x =

i 2 , Vw — — = £ x para m = 1 se tiene:¿ r2

¿ 2X f2 *’dx' ,2 dx I 2 2— - = k x => ------ x => — = ^Jk x +cd t1 dx dt

ktIntegrando y reemplazando los datos se tiene: x = ae

Empleando el método de variación de las constantes integrar las siguientes ecuaciones.

358

700) y"+4y = 1eos 2x

Solución

A2 + 4 = 0 => Aj = 2/, A2 = -2/ => = q eos 2x + c2 sen 2x

La solución general de la ecuación diferencial dada es:

y - c¡ (x) eos 2x + c2 (x) sen 2x donde cx (x ) , c2 (x)

son funciones incógnitas de x, para hallarlas formamos el sistema:

eos 2xr{ (x) + sen 2 x.c[ (x) = 0

- 2 sen 2x.cj (x) + 2 eos 2 x j c \ (x) = 1eos 2x

resolviendo el sistema se tiene:

0 sen 2x eos 2x 2 eos 2x sen 2x.sec 2xeos 2x sen 2x

- 2 sen 2x 2 eos 2x

, x f ~ ~ , lncos2xcx (x) = sen 2x, sec 2x dx = ----------- + cx

4 (x > =

cos2x

- 2 sen 2x

0Ì

eos 2x 1 / \ x ,------ ------------------- - — entonces: c2 (x) = — + Ci2 eos 2x + 2 sen 2 x 2 2

. / ln(cos2x) ,v . , x y = eos 2x(----- -----* + q ) + sen 2x(— + c2 )

eos2x.ln(cos2x) x por lo tanto : y = ---------- -- ---------+ - sen 2x + c¡ eos 2x + c2 sen 2x

359

701) y"+y = ìg2 xSolución

A2 +1 = 0 => A! = / , /*2 ” de donde = q cosx + c2 senx


y = q O) eos x + c2 (*) sen x donde cx (x) , c2 (x ), son funciones incógnitas de x, para hallarlas, formamos el sistema:

*!(*)«

0 sen* tg 2 x eos x

eos x sen x -s e n x eos*

= -tg~ x.senx

C\(x) = j* — tg 2 x.senx dx = J - ( s e c 2 x - 1 ) senxdx)

cx (x) = - J (tg x. sec x — sen x)dx — ~ sec x —eos x + q

eos* 0-se n * tg 2 Xeos* senx

-se n * cosx

= eos X. tg X

c2(x) = -Jtg2 x.cosxdx = J ( s e c x -e o s x)dx

c2 (x) = ln[tg(-^ + )] - sen X + c2 4 2

,n x .>> = ( - sec x - eos x + c¡ ) eos x + (ln[tg(— + — )] - sen x + c2 ) sen x

,n x_y = c\ eos x + c2 sen x + sen x ln[tg( ~ + —)] - 2

360

~e x702) v " - v = - —

e* - l

la solución general de la ecuación diferencial dada es:

y = Cj (x)e + c2 M e “*, donde cx (x ) , c2 (x)

son funciones incógnitas de x, para hallar las formamos el sistema.

exc\ (x) + e~xc2 (x) = 0

e *c\ (x ) -e ~ xc2 (x) = —e x -1

Solución

A2-1 = 0 => Aj = 1, A2 =-1 de donde _)/ = Cje* + c2e~x ,

0 e~x 2ex.... o * 2

ex - i ex -1 1

H1H2 e-1 -1

ex - e ~ x

ci(x) = j ~ - = in(ex - l ) - x + c,

ex 0

e x 2ex 2exe x -1 e x - l e x

ex

H1 - 2 e x -

e x - e ~ x

c2(x) = - ¡ ^ - p ^ = j ( e x +l + - ^ — )dx• e -1 J e -1

361

c2(x) = ~<ex +x + ln(e'x - l ) - x ) + c2

c2(x) ~ e x - ln (ex -1 ) + c2

y = ( - e x - \n(ex -1 ) + c2) sen x + (ln(e* -1 ) - x ) c l ) eos*

y = C\ eosx + c2 s e n x - ( e x +ln(ex - l ) s e n x + (ln(eA -1)

703) y" -y '= -1

ex +l

Solución

A2 - A = 0 => A != 0 , A2 = 1 dedonde y g = c1+ c2ex

y la solución general de la ecuación diferencial dada es:

y = c¡ (x) + c2 (x)ex, donde c, (x ) , c2 (x)

son funciones incógnitas, para hallarlas formaremos el sistema:

c\ (x) + e*c2(x) = 0

0r} (x) + e xc2(x)1

e x +1

q (x ) =

01

e x +1 \ + ex

1 e* 0 e '

dx

l + ex

C\ (x) = - = ln(ex + 1) - x+c,J l + ex

- x ) cosx

362

C2 - x ) =

|1 0lo ex + l 1

1 e J 0 <?J

e x(ex +l)

c2(x )= dx dx dxe x (ex +l) e x e x +1

c2 (x) = — —+ln(ex +1) —x + c 2

704) y"+y =

'• y = c2 senx + (ln(ex + l)-e J - x ) senjí + q cosx + flnCe* +l)-x)cosx

1

sen' x.cosx

Solución

A2 +1 = 0 => A j= / , A2 = - / dedonde = q cosx + c2 senx


y = ci (x) cos * + c2 (*) sen x donde (x ) , c2 (x) son funciones incógnitasde x, para hallarlas formaremos el sistema siguiente:

cos x.c\ (x) + sen x.c[ (x ) = 0

- sen x.c[ (x) + cos x j c \ (x) =

cj(x) =

01

sen x cosx

sen' x.cosxcos x sen x

-s e n x cosx

sen' x.cosx

senx

Vsen5 xcosx sen x cos x

363

cx (x) = _ j ...p .------- = 2 ^ t g x T c 1Vsen x.cosx

4 ( x ) =

cosx-se n x

01

Vr*“ 5sen‘ x.cosx cosxcosx senx

- sen x cos x-v/r—5sen xcosx

c2(x) = JVi

cos xdx _ f sec 2 xt¿c _ ____ 2

sen5 x.cosx tg3 x+ c2

>>„ = cos x(2Jc tg x + c, ) + sen x(— + c 2 )3^/tg' x

_y = c i cos x + c 2 sen x + 2 cos x-Jctg x +2 sen x

tg 3 x

y+_v = l(eos 2x)3 / 2

Solución

A2 +1 = 0 =» Ai = z , A2 = - i dedonde:

=Cj cosx + c2 senx , y la solución general de la ecuación diferencial dada

es: y = q (x )co sx + c2(x)senx donde q(*)» c i ( x ) son funciones

incógnita de x, para hallar formaremos el sistema siguiente:

cos x.cj (x) + sen x.c2 (x) = 0

- sen x.c\ (x) + cos xjc\ (x) = — ------ rr1 (cos 2x)^

c\ (x) =(cos 2x)

0 senx1

cosx3 / 2

senxcosx senx

- sen x cos x(cos 2x) 3 / 2

, integrando

(X) = - J sen x dx(cos2x)

cosx3/2 - r= T = + ciVeos2x

4 ( x ) =

cosx

-se n x(cos 2x) 3 / 2

COSX

cos x sen x -senx cosx

(cos 2x) 3 / 2, integrando

r cosx 1= ---------- T-T-dx = - senx

Cl (x) = I . . . ----------------J (cos2x) Vcos2x

+ c2

/ cosx senx7 = (— p = = - + c1)cosx + (-^ = -----+ e2)senxVcos2x vcos2x

>' = q cosx+ c2 senx-Vcos2x

2x3 h-jc2 - 4 x - 6

Solución

A3 -2A 2 -A + 2 = 0 => A, = -1 , A2 = 1, A3 = 2

y g = cxe~x +c2e x +c3e 2x y la solución general de la ecuación diferencial

dada es: y = cl (x)e~x +c2(x)ex + c3(x)e2x donde c¡(x),c2(x),c3(x)

son funciones incógnitas en x , para hallarlas formaremos el sistema.

365

e Xc\(x +exc[(x) + e 2xc\(x) = 0

-e ~ xc\ (x) + exc[ {x)+2elxc\ (x) = O

e~xc\ (x) + e xc\ (x)+ 4 e iXc\ (x) =2 x \ 2x3 + x 2 - 4 x - 6

W =e~x e x e2x

2 x-e~x e x 2e ex 4e 2x

= 6e 2x

i , 3X/2x 3 + x 2 — 4x — 6 1c¡W = e (--------j-------> - 2x

e~ ,2 x3 + x 2 - 4 x - 6 .' ---------------- ) integrar

c^(x) = 3e*(-

6 x

2x3 + x 2 - 4 x - 6 ^ 1)------ entonces:6e

i 2x3 + x 2 - 4 x - 6 . c [ ( x ) --------- — «------- integrar:

2exx

,1 ---- l í —- ) —L— entonces:c\(x) = 2(- 2a*

i 2x3 + x 2 - 4 x - 6 . „4 (x ) = -------- — -------- integrar3e2x

de donde la solución se tiene:

y = Cje* + +2*

366

707) y"+y I-----------mmmtm3 / s _ _ 7 „ _ _ _ 8'sen x.cos x

Solución

A2 +1 = 0 => A¡ = i , A2 = - i de donde:

=c¡ eos x + c2 s e n x , y la solución general de la ecuación diferencial dada

es: y = q (x) eos x + c 2(x) senx donde c¡ (x) , c2(x) son funciones

incógnita de x, para hallarlas formaremos el sistema.

eos x.cj (x) + sen x.c\ (x) = 0

- sen x.c{ (x) + eos x r 2 (x) = * ...........V sen7 x.cos8 x

c (x) =

0 senx1

cosxsen7 x.cos8 x senx

cosx sen x Vsen7 x.cos8 x Vi-se n x cosx

3/ 4'v'sen x. eos x

. . f senx ate rcAx)~->v- t:..., , -J1 csc2 x dx

sen x.cos x

q (x) = 3^/dgx+Cj entonces:

cosx 01— sen r -------------- --------

Vsen7 x.cos8 xcosx senx

- sen x eos x

cos*

Vsen7 x.cos* x

367

c 2 ( * ) = I I 7 o ~ J 3/ 7 8' \¡sen x. eos x tgx.^sen x.cos x

f eos xdx f dx_______

c2(*)= Jsec2 xdx

tgx . ^ 7 4 tg 4/3x+ c 2

y = Cj eosx + c2 sen x + 3ljc tgx - 4/3 ^

708) y " -2 y + y = — -x l +1

Solución

A2 - 2A +1 = 0 => A = 1 de multiplicidad 2.

y g = c¡ex + c2xe*, y la solución general es:

y = Cl(x )e* +c2(x)xe* donde q (x ) , c2(x) son funciones incógnita de x,

para hallarlas formaremos el sistema.

e*c\ (x) + xe*c2(x) = 0

I Ie*c\ (x)+ ex (x + \)c\ (x) = - y —-x +1

q (x ) =

xe

* 2 + le x (x + X)

- x e 2 x

e" xe ex ex (x + X)|

- xdx

= * ±.L = ----- í — , integrandoe lx x 2 +1

ci(x) = J ^ ci(x) = - ^ ln(x2 +1) + Cl

368

c \ (x )=

0„X

x 2 + l

e xe e x e x(x+l)

—=------, integrandox 2 + l

(X) = Jdx

77 7c2 (x) = arctg x + c2

y = e x(~ ln 4 x 2 + l+ c1) + xex (arctgx + c 2)

y = e x ( - ln^/x2 +1 + CJ ) + xeJC(arctgx + c2)

J' = eJr( - ln -Jx 2 +1 + Cj +xarctgx + xc2 )

1709) y"+2y'+2y =e senx

Solución

A2 +2A + 2 = 0 => A j= -1 ± / dedonde y g = ce x cosx+ce x senx

la solución general de la ecuación dada es:

y = c¡ (x)e~x eosx + c 2 (x)e~x sen x , donde c¡ ( x ) , c2 (x) son fondones

incógnita de x, para hallarlas formaremos el sistema.

e x eos Xjc\ (x)+e x sen x r 2 (x) = 0

- e~x (eos x + sen x)c¡ (x)+e~x (eos x - sen x)c\ (x) = 1e senx

Resolviendo el sistema y reemplazando se obtiene la solución general.

y = (cl -x )e~ x eosx + (c2 + in (sen x )ex senx

369

710) y " - y = e - x cose*Solución

A2 - A = 0 => ^ = 0 , A2 = 1 de donde y = c1+c2ex y la solución

general de la ecuación diferencial dada es:

y = c¡(x) + c2(x)ex , donde c ,(x ), c2(x) s o n funciones incógnitas de x,

para hallarlas formamos el sistema.

ílc| (x) + e x c2(x) = 0

[0c{(x) + e*c2(x) = e 2x cosex

resolviendo el sistema se tiene la solución general: y = c1ex +c2 - eos e '

7 1 1 ) / ' + / = - —x

Solución

A2 +A = 0 => A¡ = 0 , A2 = - l de donde y = cl +c2e~x


y = Cj (x) + c2 (x)e~x , donde c, (x ) , c2 (x) son funciones incógnitas de x,

para hallarlas formamos el sistema.

c[ (x) + e~xc2 (x) = 0Y , por la regla de Cramer

0 r! ( x ) -e ~ xc[(x) = — x

resolviendo el sistema se tiene la solución general.

y = cx + c 2e 'x +e~xj ^ —d x - l n | x |

370

712) y ”+3y'+2y = X(x+1)2

A2 +3A + 2 = 0 => A¡ = -1 , A2 = - 2 , y = c¡e~x +c2e~2x

y la solución general de la ecuación diferencial es:

y ~c¡ (x)e~x + c2 (x)e~2x, donde (x ) , c2 (x)

son funciones incógnitas de x, para hallarlas se forma el sistema.

e~xc\ (x)+ e~2xc[ (x) = 0

(* + l)2

f e 2xresolviendo el sistema se tiene: y - cxe~x + c2e~2x + e~2x | -dxJ

Solución

x + l

713) y"+y = \X

Solución2

A +1 = 0 => A ! = / , A2 = - i de donde: y = cx eos x + c2 sen x


y = ci (x)cosx + c2(x)senx , donde cx(x) , c2(x) son funciones incógnitas

de x, para hallarlas se forma el sistema.

eos x.c[ (x) + sen x.c\ (x) = 0, , i , por la regla de Cramer,

- sen x.c\ (x) + eos xjc\ (x) = —x

resolviendo el sistema se tiene:

r cosx , r senx ,y = cx eosx + c2 sen x -co sx ------ ¿üx-senx ------- dxj X j X

371

xy'-{\ + 2x2 )y '=4xi exSolución

Sea y '= p => y"= ~ reemplazando en la ecuación diferencial dada

x - - ( \ + 2 x1)p = 4 xyexl => — - { — + 2x)p = 4 x 2e xl ecuación linealdx d x x

- í - ( —+2jt)aLt f í - ( —+2jr)it - 2p = e * [ j e * 4x e x dx+c], integrando

— ~ x e xl[[4xdx+c] => — = se* [2x2 +c]

¿y = xe** (2x2 + c) integrando por partes se tiene:

y = c¡ex2 +(x2- l ) e x +c2

y " -2 tg x .y ’=lSolución

i J „

y '= p => y"= — reemplazando — - 2 tgx./? = 1dx dx

. - f -2 tg jr.títr f f - 2 t g x.dxecuación lineal p - e J [ \ e J dx + c]

p = e 21n(secjc)[ j z i^ ^ d x r+ c ] entonces:

p = sec 2 x[J eos2 x dx + c] entonces:

dy 2 .x .— = sec x(— + sen x eos x + Ci) d* 2 1

dy x 2 2 i= — s :c x + tg x + Cj sec x integrando se tiene;

y = cl tgx + -(l + x tg x ) + c2

716) x l n x . / ’- y ^ l n 2 x

Solución

y ’= p => v " = ™ reemplazando x ln x — - p = ln2 xdx dx

— -— p = ecuación lineal cuya solución es:dx x ln x x

f dx f ^ ^

^ = e jrln* [j*c *lnx - ^ d x + C j], efectuando la integración

p = exmx){ \ e A^ x)— dx + Cl}J X

dy— = ln x(ln x + Cj) integrando se tiene: dr

y = c1(ln x ~ l)x + x (ln 2 x - 2 1 n x - 2 ) + c2

717) xy”+ (2 x - \ ) y '= -4 x 2

Solución

y '= p => y M= reemplazando en la ecuación diferencial dada dx

x — + (2x-l)/? = -4 x 2 de donde —- + ( 2 - —)/? = ~4x dx dx x

373

- f ( 2 ~ ) d x f [ ( 2 - - ) d xecuación lineal p = e 1 [ l e x {-Ax)dx + cx]

p = xe~2x[—j 4elx dx+cx] => p = xe~2jr[-2e2* + c j

— = -2x + cxxe~2x integrando tenemos: y = cx(x + \ ) e ~ 2x - x 2 +c2 dx 2

718) ('x - l )y"-xy '+ y = ( x - l ) 2ex , y x = ex

Solución

Sea (x - í )y" -xy '+ y = 0 de donde y = y¡z siendo z una función por

determinarse es decir. y = y¡z => y '= y[z + y {z' => y"= y \ z + 2y\z'+yxz"

(x - l)Cy j1 z + 2y\z'+yx z" ) - x(y {z + y x z ' ) + y x z = 0

((x- l)_y}' - xy[ + y l ) z + ( x - 1)(2y\z'+yxz " ) - x y xz'=0

como y¡ es solución entonces: ( x - l ) y \ - x y \ + vx - 0 de donde

{ x - \ ) { 2 y \ z \ y xz " ) - x y ,z '= 0

(x - \ ) (2 exz'+exz") - xexz' = 0 => (x - l) (2 z '+ z " )-x z '= 0

(x - l)z' '+2xz'-2z'-xz' = 0 => (x - l)z "+ (x -2 )z '= 0

z" 1entonces: — + 1-------- = 0 => lnz '= ln (x -l)-x + C !z' x —1

entonces: z = -ce '* => y 2 = -ex entonces:

+ c2>'2 =c1e x +c2x y mediante variación de las constantes se

encuentra la solución general es decir:

x 2y = cxe x + c2x + (— - x ) e x

374

Soiución

Sea y = j i z => j ^ ^ j z + ^ z ’, / ,= y{lz + 2j;jz,+yIz"

Reemplazando en la ecuación dada se tiene:

y \ z + 2y[z'+ylz' '+y\z + y¡ z'+e~2x y x z = 0

{y\ +y[ +e~2xy i )z + y lz''+2y\z'+ylz'=0

como y j es solución entonces se tiene: y \ +y[ +e~2xy¡ = 0 de donde

y¡z''+2y\z’+y¡z" = 0 => .yj = e~* sene-*

cose~*.z"+(2e~'t sene’-' +cose 'Jr)z '= 0

7" _ _— + 2e x tg +1 = 0 integrando;

lnz'+21ncose~* +x = 0 => lnz'.cos2 e~x = - x entonces:

z'= e~x .sec2 e~x => x = \ge~x

Luego y 2 =y¡z = cose~x tge~x =sene~x

y g =cx cose~x +c2 sene~x y por variación de las constantes se tiene la solución general:

y = c1 cose~x + c 2 sene~x +e~x

110) (x4 - x 3)_y"+(2x3 - 2 x 2 - x )y ' -y - i y x = -X X

719) y"+/+e-'xy = e-3x, y¡= c o s e “'

375

Solución

Para (x4 - x 3) / '+ (2 x 3 - 2 x 2 - x ) y ' - y = 0

= => y ' = y \ z + y i z ' ■> y " —y \ z + 2y\z+y \ z

(x4 - x 3)0>Jz + 2_y[z,+iy1z") + (2x3 - 2 x 2 -x ){y \z + y xz ')-^yxz - 0

((x4 - x 3) ^ 1 + (2x3 - 2 x 2 - x ) y \ - ^ ) z + (x4 - x 3 )(2^}z'+>'1z") +

+ (2x3 - 2 x 2 - x ) y \ z '

como y x es solución entonces se tiene:

(x4 - x 3)j>» + (2x3 - 2 x 2 - x ) y \ - y x =0 de donde:

(x4 - x 3)(2.y|z'+v1z,,) + (2x3 - 2 x2- - x)^1z'= 0

x 2 (x 2 - * ) ( - — x '+ - z " ) + (2x2 - 2 x - l ) z '= 0 x 2 x

- 2 ( x 2 -x)z'+xz”(*2 - x ) + (2x2 - 2 x - l ) z '= 0 entonces:

x(x2 -x )z " -z '= 0 =s> 47 = — T — 7z x(x - x)

ln z' = f ( - ~ — L. h— — )dx = - ln x + ln(x -1) + —J x jc2 x - l x

i , i x - \ t t z 'xln z = ln ------+ 1 => ln --- = 1x x - l

jn I .JL - _L => z '= e l /x ——— integrando z = el/xx x - l x x

y 2 = y xz ~ el/x dedonde y = cxe llx +

y la solución general de la ecuación diferencial por medio de variación de las constantes. Se tiene;

l/jr c2 1 lnx

Kn los problemas que siguen se indica el sistema fundamental de soluciones y lf y 2 de la ecuación homogénea correspondiente.

721) (eos x - sen x ) / '+2 sen x ./-(sen x + eos x)y = ex (eos x - sen x ) 2, y x = ex ,y 2 = senx .

Solución

La ecuación diferencial escribiremos en la forma:

2 senx , sen x +cosx- y - ' y = e x (eos x - senx)

eos x - sen x eos x - sen x

La solución general de la ecuación dada es;

y = cx {x)yx + c2 (x)y2, donde cx (x ), c2 (x) son funciones incógnitas de x por determinarse.

c\ =

0 senxe* (cosx-sen x) cosx - e x sen x(cos x - sen x)

e x senx e x (cosx -sen x)ex cosx

cx = ~senx => q (x) = eos x + cx

c\ =

e* 0 ex ex (co sx - sen x) e 2x (cosx -sen x )

ex sen x ex cosx

ex (cosx -senx)

377

722)

/. y - c¡ex + c2 sen x + ex (cosx + sen x)

xy”- y ' - 4 x i y = I6x3ex , y ¡ = e x , y 2 - e ~ A .

Solución

c \ = e x => c2 (x) = ex + c 2 , reemplazando en la solución general

-y = (cosx + c1)eA + (ex + c2)senx

1y " — v'_4x v = l6x ex . La solución general es: x '

y = c¡(x)y1 + c2(x)y2 => y = e ' c¡(x)+e~x c2(x) ... (1)

ex cj(x) + e a’ c2(x) = 0

2xex‘c \ (x ) -2 x e x c\(x ) = \6x~e

c\ (x) =

0\6 x 2ex -2xe~ x

2xex - 2xe x

- 16x -4 x

= 4x

c}(x) = 4x => c1(x) = 2x‘ + q

4 ( * ) =

e x'2xe

0l ó x V ' 1 6 x V * 2

xle2xexl

e-2 x e “*2

-4 x= -4xe 2 x ¿

Cj (*) = 4xe2j:2 => c2 (x) = e 2j2 + c2 , reemplazando en la solución general

y = (2x¿ +c1)ex + (-e lx +c2)e

+ c 2e -A +(2x - l ) e x

378

722) xy" -y~4x V = 1 6 x V 2, y x = e v‘ , >2 = e '*2 .

Solución

y " - —y '-4 x 2y = l6 x 2eJf . La solución general es:

>; = ci W J i + c2(x)_y2 => ^ = c,(x) + e 'AÍc2(x) ... (1)

é?a c{(x)+e jc2c2(x) = 0

2xex c j(x )-2 x e_Jr2c2(x) = 16x2e Jr¡

c{(x) =

0 e~x1 6 x V : -2xe~ x*

2xex - 2xe

-16x-4 x

= 4x

cj (x) = 4x => c¡ (x) = 2x2 + C]

c \ (x )=

ex* 02xexl 1 6 x V ’ \6x2e2xl

exl -X2e ~4x

2xe -2xe~x*

= ~4xe I x 1

c2 (x ) - ^xe => c2 (x) = e*r +c2> reemplazando en la solución general

J> = (2x +c1)ex + ( - e 2x' +c2)e~

/. y - c xe x +c2e x +(2x2 - l ) e x

379

723) x ( l - x l \x)y"+(\ + x 2 \nx)y '-(x + V)y = ( l - x l n x ) 2ex , y \ - e x , ,y2 - l n x

Solución

l + x 2 lnx , x + l (l-x ln x )e*y ^ x(l — jclnjc) ■' x ( l-x ln x )

La solución de la ecuación diferencial es:

y - c¡ (x )yx + c2 (x)y2 = e*C\ (x) + ln x r 2 (x)

exc\ (x) + ln x.c2 (x) = 0r i 1 i , 1 -x ln x x

e *c (x) + - c\ (x) = -------------ex x

y= -

■C (x) =

01 - x ln x */»•*

lnx1

X X

e* lnx

e* IX

1 -x ln x v ,----------- .e .lnxx ----- - = - ln x

e x(— - ln x ) x

c\ (x) = — ln x => Cj (x) = -x ln x + x + c¡

c \ (x )=

e* 01 -x ln x ,

e -----------e1 -x ln x 2x -----------£

e x lnx

e* - x

— = eex (— lnx)

x

c\ (x) = e x => c2(x) = ex +c2 , reemplazando en la solución general

y = ( - x ln x + x+c¡)ex +(ex +c2) lnx

y = cxex + c 2 lnx + (l + x -x ln x )e *

380

4(x2 + x)) ' '+2(2x +1 )y '-y = 2 1 x 1 +x

I _ 2^2 ,Wx--i i > y ] ^ 4 2 ’

= a/x , >>2 = Vx + 1y i

Solución

1,, (2x + l) , 1y + —-------— y ----------------v = — =====2(x2 + x) 4(x2 +x) 2-slx2 + x

La solución de la ecuación diferencial es:

y = c\ (x)y\ + c2 (x)y2 de donde y = -Jxc{ (x) + -~Jx + \c2 (x)

formando el sistema:

Vxcj (x) + -y/x + lc[ (X) = 0

i i , ; . i2~sfx

c[ (x) +2 ^ x + l

4 ( x ) =2^[x/ + x

c\ (x) =

0 Vx + 11 1 1

2 ^ x 2 + x 2-^x + l 2->/xVx Vx+1 1

1 1 2 ^ x 2 + x2-Vx 2^Jx + l

= Vx + 1

cJ(x) = Vx + 1 => c1(x) = | ( x + l)3/2+ c1

cj, (x) =

01 1 1

2^[x 2 ^ x 2 + x 2 Vx + 1r x Vx + 1 1i 1 2^/x2 + x

2^[x 2-Vx + l

= -VxTT

725)

c[(x) = -yjx + Í => c2(x) = — ( x + l)3/2 + c 2 , reemplazando en la solución

V = (— (x + l)3/2 +C])J x + (c 2 - ^ - { x + l) i ,2 )4x +13

y = cl -Jx+ c2^ x + l+ — J x ( x + lhJx + l - — (x + l)

eos x .y" - sen x eos x.y’-y = sen x , ^jí=0 = = se c x ’ ^ 2 = tS ;

Solución

y ' t g xy '- sec2 x.y = tg x. sec x

La solución de la ecuación diferencial dada es:

V = c, (*)>>! + c2 (x)j>2 es decir:

y = sec x.q (x) + tg x.c2 ( x ) , calculando los q (x ) , c2(x),

í sec x.cj (x) + tg x.c2 (x) = 0se tiene el sistema:

I <r \ =

sec x. tg x.c| (x) + sec xjc\ (x) = tg x. sec x

q (*)

0 tgxtgx. secx sec2 x tg 2 x.secx

secx tgx secx

sec x. tgx sec2 x

= - t g x

c¡(x) = - t g 2 x => q (x ) = x - tg x + q

c'2(x) =

secx 0sec x. tg x tg x. sec x

sec x tgx secx. tgx sec2 x

te x. sec x—----------- = tg x. sec xsecx

382

y = (* - tg x + q ) sec x + (sec x + c2) tg x

y = xsecx + q secx + c2 tg x , para x = 0, y = 1 => 1 = cl

y = x sec x + sec x + c2 tg x , derivando tenemos:

y '= secx + xsecx .tgx + secx.tgx + c2 sec2 x

para x = 0, y'= 1 => l = l + 0 + c2 => c2 =0

i * * *+1 por lo tanto: y = x sec x + sec x = ----- f-cosx

726) sen x.y” + 2 eos x.y '- sen x.y = 2 eos 2x

x 1y \x=i = ° > y\ = — .vi i —2 2 senx senx

Solución

c\ (x) = tgx. secx => c 2(x) = secx + c2

. . . . ~cos2x ,y +c tg x.y - y = 2 -------- , cuya solucion general es:senx

y = c¡ (x)y{ + c2 (x)y2, reemplazando el y 1, y el y 2 se tiene:

x 1y = -------.C\ (x) + --------c2 (x ), donde c, (x) , c2 (x)

sen x sen x

se calcula formando el sistema de ecuaciones:

x 1 J.c\ (x) + ------- r -2 (x) = 0sen x sen x

! = £ ! ! £ *i M - f S i *5 ( ; r ) . ! 2 i ? ísen x sen x sen x

383

cj(x) =

sen* 2 cos2jc c tg x

sen x sen x1

2 eos 2x- T "

= 2cos2x

sen x sen x 1 -x c tg x c tgx

sen* sen*

c¡(x) = 2cos2x => c,(x) = sen2x+*,

4 ( x ) =

X 0

2 eos 2x 2xcos 2xsenx

1 -x c tg xsenx senx sen2 x _ 2xeos2x

X 1 -1 sen2 xsenx senx

1 -x c tg x ctgxsenx senx

sen2 x

c2(x) = x 2 + 2 x c tg x + x 2 -21n(senx)+*2

c2 (x) = 2 x2 + 2x£ tg x - 2 ln(senx) + k2

V = (sen 2x+kx)+ —— (2x 2 + 2xc tg x.2 ln(sen x )+k 2 ) senx sen*

para x = ^ , y = l , y '=0 se tiene: y = senx

727) 4xy"+2y'+y - 1, lim y = 1, = s e n j x , y 2 =cos*Jxy -++oo

Solución

384

y ''+ y'+ -7- y = — , la solución general es:2x 4x 4x

y = q (x)_v, + c2 (x)_y2 de donde al reemplazar se tiene:

7 = sen -Jx£¡ (x) + eos 4 x jc2 (x ), para calcular c, (x ) , c2 (x) se forma el sistema de ecuaciones siguiente:

sen a/x .c{ (x) + eos -Jx~c\ (x) =• 0

c o s a / x i , „ sen V x , , 1 , por la regla de Cramer

2-Jx- r j ( x ) - — = - 4 ( x ) = —

2yX 4x

c{(x) =

0 eos Vx1 sen Vx

4x 2Vx

sen Vx eos Vxeos Vx sen Vx

2-[x 2 Vx

eos -Jx 4x eosVx1

2^fxl 4 x

I / \ eos Vx ¡—ci \x) = -j=~ => d (x) = sen -Jx + kx2-Jx

4 ( x ) =

sen Vx 0eos Vx 1 sen Vx2 Vx 4x 4x sen Vx

sen Vx eos Vx 1 2 Vxeos Vx sen Vx 2 Vx

2Vx 2-[x

i / \ sen yx /—c2 (*) = ------ 7=~ => C2 (x) = eos Vx + k2

2 Vx

j- ( s e n V x +kl )sQn-fx + (cosVx +k2)cos^[x , de donde:

385

y = 1+ c, sen Jx + c 2 eosJx , de las condiciones se tiene:

Jim y = l => C[ = c2 = 0 por lo tanto: y — 1jr->+oo

728) 4xy' ’+2y’+y = ^ y = 1

Solución

6+ x , , , 1 .... * ____6+ x

724xy' '+2 y'+y = - J - , de donde / ' + — / + — y -

Como la solución es y = cx (x)yx + c2 (x)v 2, al calcular c, (x ), c 2 (x)

tomamos lim y = 1 obteniéndose la solución: ,v = —X->+00 _ X

1 *729) (1 + x 2)y"+2xy'=----- y ' lim y ~ ~ T ’ ^*=0 '=0' 1 + X x-*+oc O

Solución

? r 1 d2y dPv"+------T y '= -------Y T sea y z z p ^ T T _ X' l + x2 (1 + * 2) dx dx

de donde: ^ +- ^ r P = ------V t ecuación Unea1’ cuya solución es:dx 1+x (1 + x )

f 2xdx r2xdxp ~ e T+”? [ J e ’ !+Jt2 ___ ^ 2 + > efectuando las integrales

dy__ — + c j

dx J (1+X2)2

dy 1 ,__ ____ . arctg x c(arctg x+ c) =

386

para x = 0 , y'= 0 => 0 = c

dy arctgx arctg2 x f— = -----Zj- => y = ---- 5— + ¿dx 1 + x 2

como /z/w y = —*->+00 8

por lo tanto: y =

rr2 rr 2tc n f t=> — = — + ¿ => k = 0

8 8

arctg2 x

730) ( l - x ) / '+ x / - y = ( x - l ) V , lim y = 0 , y\ =1 , y x = x , y 2 = e xy —>-oo

Solución

y ' ----- y'-----— = ~{x ~ l)ex , la solución general es:1 -x l - x

y = cl (x)y1+c2(x)y2 de donde cx(x ) , c2(x) se calcula mediante el

sistema de ecuaciones siguientes:

\x.c$x)+e* ¿[(x) = 0

\c[ ( x ) - e x c \ (x) = - ( x - $e, por la regla de Cramer

c{(x) =

0 e‘ - ( x - l ) e x e } e 2x( x - l )

x e 1 e 1

= ee ' ( x - l )

c[(x) = ex => c1(x )= e * + k 1

c2 (x) —

X 01 i vT i V

H - x ( x - l ) e x

x ex e x{x - \)1 e*

= - X

387

x 2y = ( e x +kl )x + (— — + k 2)ex entonces:

2 x 2 y = clx + c2ex + xex >' = ^ +x

(2 - ln x )2731) 2x (2 - ln x )y + x (4 - ln x ) y - y ------j=—

c !j(x )= -x => c1(x) = - ^ Y + k 1

lim y - 0 , y x = ln x + y 2 =-Jxy - > + 00

Solución

„ 4 - ln x , 1 .. 2 - ln x

La solución general es: y = c¡ (x)y¡ + c2 (x)y2 es decir:

y = ln x£\ (x) + 4~xc2 (x) y formaremos el sistema para calcular c, (x ) , c2 (x ) .

ln x.c\ (x)+ -Jx£ 2 (x) = 0

1 i / \ 1 | ¡ -v 2 - ln x— £ J (x) + — r - £ 2 (*) - 2 r~x 2Vx 2x V*

c}(x) =

20

- ln x■Jx

1 2 - ln x2 x l '[x 2-Jx 2x2 _ 1

lnx r x 2 - ln x x 3/21 0 2-JxX 2 Vx

388

732)

Ci(*) = -T7T => Cj(x) = -= + C i x Vx

I _^

4 (x > =

lnx 0 1 2 - ln x

2x 24 x

lnx -Jx _1_ 1x 2-Jx

ln x(2 - ln x)2x2-7x

2 - ln x

' 2-fx

lnxT T

I , -v lnx lnx 1 .................................c 2 W = — c2 (*) = ~ + ^ 2 > reemplazando en la solución general.

>> = (— ^ + c , ) l n x + ( — + - + c 2)4x ■Jx X X

y = cl \ nx + c 2J x - ^ í - + - ^ para que lim y = 0 ; c, y c2 deben ser -s/x Vx y-^+cc

cx = c2 = 0 de donde la solución es:

1 -ln x

4~x

y + l y - y m 4e*t ¡¡m ^ = 0 , ^ — I , , j, » £ _ j, »JX v—>—oo '■*- O

£x ' ' ljr=~ e ' *'1 2 _ x

Solución

La solución de la ecuación diferencial dada es: + c 2(xXv2

es decir: > = c1(x)— + c2(x)— donde cx (x ), c2(x).

Calcular mediante el sistema siguiente:

c\ (x) + ~ z r + —r c2 W = 0x- x i

e í( jc -1 )c| rr'i e ' x(*+1) e_jtCjW 5-------------

389

c}(x) = -

e x - r *(* + !) x x 2

e~ 2 ~-2x

e - X

— - e ' x (x+\)x

ex{x - \ )

c}(x) = -

X

-2 x e 2xC\(X) =---- — + q

C[(X) :

— 0X

e*{x-X) e~xX2 X

ex

- e

e'(jc-l) - e *(*+!)

1 Xc\ (x) = - — => c2 (jc) = - — + c2, reemplazando en la solución general.

, e 2x . e x x e xy = (---- — + c ,)— + ( - —+ c 2) ——4 x i x

ex e~x e~x e~xv = c , ------------+ e-,-------------- , derivando' x 4x 2 x 2

(x -1 ) e ' (x + l) ex(x+l) t e — -j-------- ------ c2 ------ ------*—4 x ¿

para x = -l, / = — se tiene: e

390

1 2cl e— = -------+ — entonces:e e 2

c i =-e 2 + 2

tomando lìm y - 0 se tiene la solución general de la ecuacióny —> -o o

diferencial dada, y = (x - \ ) e x

733) x 3(Inx - l ) y ' ' - x 2y'+xy = 2 In x , lim y = 0 ,y ¡ =x, y 2 = \nxy-++oo

Solución

.. 1 , 1 2 In*y —~ ---~ y =x ( ln x - l ) - x 2( ln x - l ) x 3( ln x - l )


y = ci (x)yx + c2 (x)y2 , donde c¡ (x ) , c2 (x) se calcula mediante el sistema

x.c\ (x) + ln x.c\ (x) = 0

c ¡ ( , ) + l 4 , „ , 2 I n ^ _x x (lnx-1)

021nx

lnx1 21n2 x

x 3( ln x - l) X x 3( ln x - l) 21n2 xx Inxi i ,

X

X

II

Xa71

X

, , In X lnx 1C1 ( X ) = ------- — ------ r-----------+ Cj

x L X2 X

391

c\ (x) =

x Oj 2 lnx

x ( ln x - l)x lnx

i ix

2x lnxx 3( l n x - l ) __ 2 lnx

1 - ln x x 2

l / 21nx 21nxcUx) = -r— => c2 (x) = -----------------21nx + c2r 2 X

, ln2 x lnx 1 v .21nx y = (----- y-------- 2— " + + ----------- 2lnx + c2 )lnx

x 2 x 2 xln2 x lnx 2 i v = cix + c2 ln+---------------- -2 In x — 1

X X

734) (x2 - 2 x ) / f+(2“-x 2)/-2 ( l-x X y = 2 ( x - l ) , V i= x 2 , y 2 = ex

Solución

„ 2 - x 1 , 2(1 - x ) _ 2 ( x - l )y -

x 2 - 2 x x 2 - 2 x ' x 2 ~2x

La solución general de la ecuación dada es:

y = Cj (x)y1 + c7 (x)>’2, donde c¡ (x ) , c2 (x) se calcula mediante el sistema

x í c\ (x) + exc\ (x) = 0

2xcJ (x) + exc\ (x) = - :-x -2 x

c[(x )=

0 e’ 2(x - l ) ,x 2 -2 x

x 2 e r2x ex

2 e* (x -l)x 2 -2 x

e*(x2 - 2x)= —2(x — 1)

392 '

c\ (x) = -2(x -1) => c1(x) = - ( x - l ) 2 +c,

2 x 2 ( x - 1 )

J - 2 x 2x2( x - l )e*(x2 -2 x ) e*

24 ( » ) = 2* 1 — ‘i => c2 (x) = -2 e _Jt (x3 + 2x 2 + 4x -1 ) + c2

e*

_y = (—(x —1)2 +cx)x2 + -2e~*(x3 + 2 x 2 + 4 x - l + c2)e*

y = clx 2 +c2e x -2e~x (x s + 2 x 2 + 4 x - l ) - x 2( x - l ) 2

4 ( x ) =

x

2x

02 (x - l)x 2 -2 x

x2x

393

COMPOSICION DE LA ECUACION DIFERENCIAL! ""d a d o EL SISTEMA FUNDAMENTAL DE|

s o l u c i o n e s !

Si el sistema de función y,(.v).y: (x).....y„(x) linealmente independiente en elsegmento |a.b], que tiene derivadas hasta el orden n inclusive.

Entonces la ecuación.

y, (.v) y; (.v) ... >„<x) yy¡(.v) vU-v) ... y¡,(v) y'(.v)

= 0 ...(1 )

|

v, ( a ) y 2 ( v ) ... y n ( a ) y ( a )

donde y(x) es una función incógnita, es una ecuación diferencia! lineal, para !os cuales v, (jc) , y 2 ( a ) , . . . , y n ( a ) forman un sistema fundamental de soluciones.

El coeficiente de y (w) ( a ) en (1) es el Wronskieno.

VV[ v , ,y 2.....v„ 1 del sistema

Los puntos en que se anula este determinante, son puntos singulares de la ecuación construida.

Formas las ecuaciones diferenciales, para los cuales los sistemas dados de funciones forman los sistemas fundamentales de soluciones.

7 3 5 ) y , ( a ) = 1 , y2(a ) = a , v 3 ( a ) = a

Solución

1 X•y

X y0 1 2x y0 0 2 y’0 0 0 y"

394

736) y x (x) = senh x , y 2 = cosh x

Solución

senh a: cosh a y cosh x senh x senh a coshx y

= 0 entonces:

737)

738)

s e n h x (se n h x y 'coshx./!') - coshx(coshx.y' '-sen x.y') + y(cosh- senh2 x) = 0

senh 2 x.y' cosh2 x . y ' senh x cosh x.y’+ cosh .y'+y - 0

-y "+ y = 0 entonces: y ' '-y = 0

y i(x ) = x , y 2(x) = e*Solución

= x(exy " - e xy ' ) - e x (y"-0) + y(ex - 0 ) = 0

ex (xy"-xy '-y"+ y)= 0 entonces: (x - l)y"-xy'+y = 0

x e x y1 e* y0 £?* y

y j(x )= se n x 2, y ,(x) = co sx 2

Solución

senx cosx y2x eos2 -2 x s e n x 2 y '

- 4 x 2 sen x2 - 4 x 2 cosx2 y"- 0 entonces:

sen* (-2xy"senx2 + 4x2 y' eos x 2) - eos x 2 (2xy ' ' eos x 2 + 4x 2y ’ sen 2 x) +

+ y (-8 x 3 eos2 x 2 - 8 x 3 sen2 x 2) = 0

395

-2 .rv"sen2 .r2 -2.vy"cos2 .v: + 4 x 2y'sen.v2 cos.v2 - 4 * 2/ e o s * 2 sen a2 -

-8.vJycos2 x 2 - y 8 . r sen2 x 2 = 0

- 2xy ' (sen2 .v2 +cos2 v2)-8 .t\v (c o s2 x 1 +sen‘ V ) - 0

jrv"+4jr\v = 0 => y"+4.v"y = 0

739) y, ( v) = x , y 2(x) = e<-12

Solución

. x - 12

x 121 xe y0 e x l 2 (x2 + 1) y'

= 0 entonces:

^ • • ^ i/2-y(x2+ i ^ í/2)-e‘J/2(y"-0) + > V í,2+Jc2+i)-0 = 0

ex 12 ( x 2 y " -x y '(x2 + 1)- y"+y(jc2 + 1)) = 0

( x 2 - l)y " -(x J + .t)y’+(.v2 + l)y = 0

INTEGRACION PE LAS ECUAClONEjjDIFERENCIALES MEDIANTE SERIES^

1) Este método resulta muy usual al aplicarlo a las e c u a c i o n e s diferencialeslineales. Aquí lo aplicaremos para el caso de ecuaciones de segundo orden.

Sea dada una ecuación diferencial de segundo orden.

y"+P(x)y'+g(x)y = 0

396

Supongamos que los coeficientes P(x) y q(x), se expresan en forma de series, dispuestas según las potencias enteras positivas de x, de modo que la ecuación (1) ,e pueda escribir en la forma.

y''+(a0 + a1x + a 2x 2 +...)y'+(b0 +blx + b2x 2 +...)y = 0 ... (2)

busquemos la solución de esta ecuación en forma de una serie de potencias.

00

y = ...(3)*=0

poniendo en (2) la expresión de Y y de sus derivadas, obtenemos.

00 OO 00 00 00

£ * ( * ■ ! )c***~2 + £ « * * * = o - (4>A 2 k=0 k= 1 A=0 k=0

multiplicando las series de potencias, reuniendo los términos semejantes e igualando a cero los coeficientes en las distintas potencias de x, se obtiene una regla de recurrencia.

I n la practica es conveniente proceder del modo siguiente, por el esquema señalado se busca dos soluciones y x(x) e y 2(x), para y x{x) se toma c0 =1y c \ = 0 y para y 2 (x) se toma c0 = 0 y cx = 1, lo cual es equivalente a las siguientes condiciones iniciales.

y\ (0) = 1 , y¡ (0) = o |y2(0) = o , y \ {o) = il

... (5)

Toda solución de la ecuación (1) será combinación lineal de las soluciones viW e y 2 0*0 • Si las condiciones iniciales son de la forma y(0) = A, y '(0) = B entonces es evidente que:

y = Ay i (x) + By2(x)

l inalmente enunciaremos (sin exponer la demostración) el teorema de existencia de soluciones de la ecuación (1) en la forma de serie (3).

TEOREMA.- Si las series p(x) = akx k y q(x) = * son convergentesk =o *=o

para |x| < R, la serie de potencia (3) construida del modo indicado anteriormente también es convergente para estos mismos valores de x y es solución de la ecuación (1).

En particular, si p(x) y q(x) son polinomios en x, la serie (3) será convergente para cualquier valor de x.

2) Desarrollo de la solución en una serie de potencias generalizada.

DEFINICION.- Una serie de la forma.QO

x p ^ c kx k , (c0 *0 ) ...(6 )k= 0

00donde p es un numero dado y la serie de potencia ' ^ ¡ckx k es convergente en cierto

*=orecinto |x| < R, se llama serie de potencia generalizada.

Si p es un número entero no negativo, la serie de potencia generalizada (6) se convierte en una serie de potencia ordinaria.

TEOREMA.- Si x = 0 es un punto singular de la ecuación (1) cuyos coeficientes p(x) y q(x) admiten los desarrollos.

00 00 2 > . * ‘ Z m ‘

* * ' — . — - mX X

Donde las series que figuran en los numeradores son convergentes en cierto recinto jxj < R, y los coeficientes ¿Zq , y bx no son simultáneamente iguales a ^ero, entonces la ecuación (1) posee al menos una solución en la forma de serie de potencia generalizada.

00

y = x p ^ c kx k , (c0 0) ...(8 )k= o

que es convergente al menos en el mismo recinto |x| < R.

398

Para hallar el exponente p y los coeficientes ck es necesario poner la serie (8) en la

ecuación (1), simplificar por x p e igualar a cero los coeficientes en distintas potencias de x (método de los coeficientes indeterminados).

En este caso, el numero p se halla de la ecuación llamada determinativa.

p ( p - l ) + a0p + b0 =0 . ..(9 )

Donde a 0 = lim xp(x), b0 = lint x 2q(x) ... (10)* -> 0 x - > 0 y 7

suponiendo que P\ y p 2 son las raíces de la ecuación determinativa (9)

Distinguiremos tres casos.

I o.- Si la diferencia p x - p 2 no es un numero entero o cero, se pueden construirdos soluciones de la forma (8)

00 00

y i(x ) = x Pl^ c l x k , (co * 0 ) , y 2( x ) - x A Xk , (A0 * 0 )k=0 k-Q

2o.- Si la diferencia p x - p 2 es un entero positivo, por lo general, solamente sepuede construir una serie (solución de la ecuación(l)).

00

y \ { x ) = x p' ^ c kx k . . . ( í i )*=0

3o.- Si la ecuación (9) posee una raíz múltiple p x = p 2 también se puede construirsolamente una serie (la solución (10)).

Este claro que en el primer caso las soluciones y x (x) e y 2 (x) construidas son iinealmente independiente.

En el segundo caso y tercer caso, se ha construido solamente una solución (10) señalemos sin exponer la demostración, que si la diferencia p x - p 2 es unnúmero entero positivo o cero, además de la solución (10) habrá una solución de la forma.

399

y 2 =Ayx(x)\nx + x Pi'YáAkx k k=0

00

. ( 12)

Vemos, pues, que ahora y 2 (*) contiene un sumando complementario de la forma

Ay2(x) Inx

donde y x (jc) se expresa en la forma (10)

OBSERVACION.- Puede ocurrir que la constante A en (11) sea igual a cero, y entonces, para y 2 resulta una expresión en forma de una serie de potencias generalizada.

Integrar mediante series las siguientes ecuaciones diferenciales.

768) y'-2xy = 0 , y(0) = 1

Solución

ooSuponiendo que y = ^ cnx n es la solución de la ecuación diferencial.

n=0

ooy'=^T^ncnx n~l , reemplazando se tiene

n=i

00 00ncnx n~l - 2 x ^ cnx n = O, poniendo en una misma potencia a x

n=l n=0

00 00£ ( n + l )cn+xx n = ^ 2 c nx n+l = 0n~0 n=0

00 00^ (n + 2)cn+1x n+l - 2cnx n+l = 0 , poniendo los inicios igualesn= -1 n- 0

400

q + | > + 2 ) c B+2* ”+1- ¿ 2 ÍVt'’+1 =n=0 n=0

C i + ¿ ( ( « + 2)cn+2- 2 c n)xn+1= o»=0

c i = 0

( n + 2 ) c b+2 = 2c„ c»+2 - •2c„ n + 2

a 2c0para n = 0 , c2 = = c0

i 2cin = 1 , c3 = - j - = 0

n = 2 , c4 2c2 Cq 4 2

2c3 «n = 3 , cs = — - = 0 5

n = 4 , c6 - 2 c 4 C4 C04 + 2 3 2.3

- 2c5n = 5 , c7 = -— . = 0

n = 6 c 2Cfi c° ’ * 8 4!

„ _ c 0c2n ~ .n\

regla de recurrencia.

£o3!

401

y = 'YJc2nx n = X ^ 7 * 2" = c°eXn=O n=O H’

- x 2ntl\

para x = O, y = 1 = c0 , de donde y = ^

769) 4 x / ’+2/+>> = 0

Solución

Como x = 0 es un punto singular regular entonces la solución en la serie

00

y = ^T/ cnx n+r , donde r(r - 1) + p 0r + q0 = O y p 0 = lim^xP{x) yB=0

q0 = lim x 2Q(x )x—>0

Luego v"+ — v'+ — y = O siendo /*(*) = — , £?(*) = -r - 2x 4x 2x 4 x

P0 = lim xP(x) = lim x(— ) = —, q0 = lim x 2Q(x) = /iw x 2 — = O0 jr_>0 w x->0 y2x 2 x->0 *-+o 4x

r ( r - 1)+—+ 0 => r 1 - r + — = 02 2

r 1 1r 2 — = 0 => r (r — ) = 0 => r{ = 0 , r2 = —

2 2 2

para rx se tiene: y = ^ ^ cnx n , de donden=0

00 00

y ' = ^ n c nx"~1 => _y"= ^ n ( n - l ) c nx n~2 , reemplazando en la ecuación»=1 n=2

402

00 00

4 * ]> \(flM )c„ ;t"“2 + 2 ^ > jc nx'’“1 + ]£c„;c" = 0«=2 n=l n=0

~ ^ orí)

2 ] 4w(w - l)cnx nA + + 2 ] cnx ” = 0n= 2 n=1 «=0

poniendo en una misma potencia a x.

00 00 00Y j 4»(» + l)cn+1 JC" + 2(n + l)cn+1x n + Y j cnx n = O»=1 «=o

igualando los inicios se tiene:

OO 00

4«(« +1 )cn+1x n + 2c, + cn + ]T 2(» + l)cn+1x" + Y JCnx n = OW=1 «-1

00

2cx + c0 + ^ [2 (w + l)(2« + l)c„+1 +cn]xn =0n=O

aplicando el método de los coeficientes indeterminados.

2c1+c0 =0 1 2 2!2(w + l)(2w + l)cn+1+c„ = 0 ^ _ c„

^ » 4-1 — ~

2(« + l)(2« + l) ’

para n = 1, c2 = — — = + -^ !— = — 2.2.3 2.3.4 4!

comon= 0

= = Co + C j X + C 2 X 2 + c 3x 3 + . . .

«>1

La otra solución es para r = ~

1n+-y = ^ cnx n+r = ^ J cnx 2 » derivando

rc=0 n=0

00 i n_ i 00 1 \ n - -/ = Y ( n + - ) c „ x 2 = » v ” = ^ ( k + - ) ( « - - ) c „ x 2

*=0 2 *=0


V““"< 1 1 n~— n+~Z4 * ]T (n + - ) ( n - - - ) c nx 2 + 2 ¿ j (n + - ) c nx 2 + ¿ ^ cnx

„=0 2 n=0 n=0

¿ 4 ( « + i ) ( n - | ) c „ x 2 + ¿ 2 {n + ~ )cnx 2 + Y J CnAx 2 =0„=0 2 2 »=0 «=1

n—i 00 n_Ly ' i4«(«+— )c„x” 2 + y c „ _ 1x 2 = 0 , poniendo los inicios iguales

0° J 00 n_I0 + ^ 4 « ( n + - ) c „ x 2 + ^ / cn_lx 2 =0

OO | n_J_^ [ 4 « ( n + -~)cn + cn_,]x 2 =0n = 1

4n(n + ~)cn + cn_x = 0 , de donde se tiene:

c„ =■ Cn \

4n(« + i )para n > 1, regla de recurrencia.

404

n 1 c0 c0Para n ~ 1, c\ = ------ --------1 2.3 3!

ci con = 2, c2 = — — = —2 4.5 5!

1como y ^ c nx 2 = 4 x (c 0 +clx + c2x 2 +...)

n=0

y = 4x(c0 - — + «c0V?(l-- + ----•••)3! 5! 3! 5!

Luego la solución general es:

^ = q (1- —+ ) + c2V *(l- — + —2! 4! 3! 5!

770) (1 + x)y'-ky = 0

Solución

ooSuponiendo que cnx ” es la solución en series de potencias

n=000 00

y = ^ w c nx n~1 j>M= rt(rt-l)cn;cw“2 , reemplazando en la ecuaciónn=l «=2

+ - k j ' c nx n = 0 , operando tenemosn=l n=0

00 00 00= 0 , poniendo en la misma potencia a x.

n=l «=1 n-0

OO OO 00^ ( / i + l)cn+1x n + J ^ n c nx n —kc0 - J ' k c nx n = 0, poniendo los inicios igualesn=0 n=l n=l

405

c¡ —kc0 f ^ ] [ (n + l)cB+i -nc„ -kc„]xn = 0n=1

C, = ¿ C nCj - £ c 0 = 0 ^

(n + l)cn+i - ( n + Ar)c„ =0 c„+1 = - ----- c „ , n > l(w + 1)

, 1 + A (l + fc)Ar0n = 1, c , = ------c, = -------------2 2 1 2

(2 + Ár)c2 (2 + k)(\ + k)kc0 (2 + k)(l + k)kco3 ~ 23 ~ 3!

n = 2, c3 =

k ( k - l)...(A'-n + l)c n ~ ¡ c on\

••• y = c o £

771) 9x(l-;t)y"-12y '+4y = 0

&(& -1)...(£ -w + 1) „ w!n=0

Solución

00

Sea j; = ^ T c n* n+'' la solución en series donde «=o

r ( r - l ) + /?0r+ r0 = 0 siendo p 0 = lim xP(x) y q0 = //w x 2g(x)jc-»0 jc->0

12 - 4 n j ^y ------------- y h-------------y = 0 , donde9 x ( l - x ) 9x(\ - x)

p (x ) = Q , / 2 Y g(x) = Q-n4- - luego 9 x (l-x ) 9x(1-jc)

406

P0 = lim xP(x) = lim — -■-* = l im---- —— = - —*_>o x-+o 9x(l - x) *->0 9(1-*) 3

q0 = lim x 2Q(x) = lim x 2 (---- —— ) = lim ——— = 0x —>o a -—> 0 9 j c ( 1 - x ) x —> o 9 ( 1 ~~x)

4 1r ( r - l ) - — r = 0 => n = 0 , r2 = -

para ^ = 0 , 7 = de donde sus derivadas sonn=0

00 00

y % = ^ w c nx n_1 => y = ^ ^ n ( n - l ) c nn~2 , reemplazando en la ecuaciónn=l n=2

00 00 00

9 x ( l - x ) ^ / j ( n - l ) c njr'’~2 - 1 2 ^ « c nx"‘‘ + 4 ^ c „ x " = 0n=2 n=l n=0

OD OD OD 00

X 9» ( » - D V M - X 9n(n_1)c»*" _ X 12nc»x" 1 + X 4c'>x" =0h=2 n=2 n=l n=2

poniendo en una misma potencia a x.

OP OO 00^ 9 ( n + l)/jcn+1x n - ^ 9 « ( n - l ) c „ x " - £ l 2 ( n + l)cB+,x" + ]T 4 c„x " = 0n=l n—2 n=0 w=0

OO 0018c2x+ ^ 9(n + X)ncn+xx n - ^ T 9n (n - \)cnx n -1 2 cx -2 4 c2x -

n=2 n=2

OO 00- ^ 1 2 ( K + l)cn+ix ” + 4c0 + 4c1Jc + ^ 4 c nx" = 0

n=2 n=2

004c0 -1 2 c¡ + (4q - 6c2 )x + [3(n + 1)(3n - 4)c„_1 -(3n-4)(3« + l)cn]xn =0

n=2

407

por el método de los coeficientes indeterminados e igualando los coeficientes se tiene:

4co -1 2 c ,= 0 C l= C°4c, - 6c 2 = 0

3

3(«+1X3« - 4)cn+l - (3« - 4)(3n + l)c„ = 0 C* = J J = J ¿

(3« + l)c„cn+1 = ----------- > n - 2. regla de recurrencia

3(n +1)

7 7.2c0 1.4.7n = 2, c, = — c? = ---------= ------- c0

3 3.3 2 3.3.3.3 3.6.9

XT"1 n 2 ^ 0 4C() 2 1-4.7 3= c0 + c1x + c 2x +... = c 0 + — x + — x + J ^ co* +•••»=0

x 4 2 1-4.7 3 .v = c0(l + —+ — X + ------ x +...)' 0 3 3.6 3.6.9

7La otra solución se obtiene de la serie para r2 = —

37«+—

= ~'¿LiCnX 3 ’ derivandon=0 n=0

QO m ^ QO « i . ^w—i 7 n+— 5T~i / 4 T/ = 2 j (« + - )c „ x 3 => / ' = 2 ^(« + - ) ( « + - ) c bx

*=o 3 >1=0

reemplazando en la ecuación diferencial

7 4 n+~ v”"’ 7 n+T V""1 n+T9ac( 1 - x)^ ( /2 + -) (« + - ) c„x 3 -1 2 2 ^ (w + t )c^ + 42 . /" * = 0

n=0 3 3 n=0 n=0

» 7 4 n+í ® 7 4 ”+t v-> 7 ”+T]T 9(« + -)(« + - ) c nx 3 - 2 ^ 9 (n + TKw + T)c»jr 3 - X 1 2 (w+T)c"x +«=0 n=0 w=0

7ra+—

n=0

408

30 00 ^ 7

^ 9 n(n + - )c„ x 3 -]T(3M + 8)(3H + 3)cr,x" 3 =0

igualando las potencias de x se tiene.

4

Z «+T i *»+—3«(3« + 7)c„x 3 - 2 J3(3« + 8)(n + l)c„x 3 = 0

«=0 „=0

o> 4Y—' w+~ n+~2^3«(3« + 7)c„x 3 - / 3(3w + 5)(« + 2)cn_iC 3 = 0n=0 *=1

ahora igualando los inicios

oo 4

Z rt+~ x—i n+—3«(3« + l )cnx 3 - £ 3(3« + 5)(» - l)c„_,x 3 = 0

n- 1 n=1

Oü *t

Z n+—[3«(3« + 7)cb -3 (3 « + 5)(«)]c„_jX 3 =0

«=0

3n(3n + l)cn - 3(3n + 5)ncn_x = 0

(3w + 5)(/j)c" = — ---- ^7" cn-1* V n > 1, regla de recurrenciaw(3w + 7)

m

x 14 , 1.4.7 i L 8x 8.11 2 . 8.11.14 ,•’' =C,(‘ V « * + 5 l 9 * + ”)+C!‘ ( T ^ m í S * + T o H n I - )

772) y"+xy'+y = 0

Solución

Luego la solución general es:

Sea y = ^ icnxH => y ’= 1 => / ' - £ « < » l)0«*»=o «=i *=2

¿ ü ( i i “ l)c .* ,,"2 + ¿ « c . * ’ + ¿ c . * * = 0 >1=2 «=1 «=°

¿ « ( « - l ^ x " -2 + ¿ » c „ x " =0»=2 »=1 "=°

poniendo las potencias de x iguales

£ ( « + 1)(» + 2)cb+2x" + ¿ Jncnx n + 2 ¿ c nxn = 0 »=0 «=1 «®°

poniendo los inicios iguales.

00 30

£ [(n + l)(» + 2)c1,+2+c,,]x', + ^ ncHXxn =0 »=0 »=1

002c2 + c0 + £ [ ( « + l)(n+ 2)cn+2 + c H]xn +2_j nc„xn = 0

n=l »=1

uu2c2 + c0 + y^[(w +l)(n + 2)c„+2 + (n + l)c„ ]x" = 0

»=1

n-2

410

por el método de los coeficientes indeterminados

Í2c 2 + Cq =0\(n + 1)(« + 2)cn+2 +(n + 1 )c„ = 0

1 C1 para n = 1, c3 = ~ ~

c2 ~ ~co

cn+2 = ----- 2tr . V n > \n + 2

n = 2, c44 2.4

, c 3 c \n = 3, c5 = — - = —5 3.5

a C4 C0n = 4, c6 = — - ----- —6 2.4.6

c c 5 c ln = 5, c7 = — - = ----- —7 3.5.7

y = c0 + q x + c 2x 2 + c3x 3 + c4x 4 + c5x 5 + c6x 6 +..

7 = Co +Clx - ^ x 2 - ^ - x 3 + x 4 + ^ - x 5 — ^ - x 62 3 2.4 3.5 2.4.6 3.5.7

x + .

X X X X X Xy = c0 (1------+ -------------- + ...) + c, (x ------ + -------------- + ...)2 2.4 2.4.6 3 3.5 3.5.7

773) / '- x v -V y - l = 0 , y(0) = / ( 0 ) = 0

Solución

OO 00 00Sea y = ' £ c nx n => / = ^ wc»x"_1 => y " = ^ n ( n - l ) c nx n~

n- 0 n-2

411

w oo w

5 2 k(/i-1 )cnx n~2 + ]T cnx n =1n-2 n=1 »=0

2 " ( n " 'l)c«jc""2 _ Z ! ”c»x , ,+ S c»x " =1n=2 n=l n=0

poniendo las mismas potencias a x

00 00 00

Y i (n + l)(n+2)cn+2x n - ^ n c ^ " + Y j cnx" =1n=0 n=1 n=0

OO 00

^ [ ( / i + l)(w + 2)c„+2 + ^ /ic„*n = 1, poniendo ios inicios iguales.n=o n=l

qo

2c2 + c0 + ]¡T [(« + l)(n + 2)c„+2 - (« - l)c„ ]c„ = 1»= 1

por el método de los coeficientes.

2c 2 +Cq =(«+1)(/i + 2)c„+2 - (n - l)c „ =0

l - c 0

cn+2 =( n - 1 )cn

(w + l)(w + 2), V «>1

para n = 1, c3 =0

n = 2, c4 = c2 _ 1 ~ g0 _ l ~ c0 3 A ~ 2.3.4 ~ 4!

2c,n = 3, Ce = -----= 0 => c5 = 0

5 4.5 5

„ - 4 „ _ 3 c4 _ 3 ( 1 - c0)n — 4, —----- —-----------6 5.6 6!

412

para _y(0) = y ( 0 ) = 0 => c0 = 0

1 _ 1 _ 5C 2 — y C3 — 0 , C A —— , C<¡ — —2 2 4! 8!

j = c0 +C]jr+C2x 2 + c3x 3 +.

x 2 x 4 3x6 3.5 jc8 (2n + l)e2*+4y — --------1--------- 1----------- 1--------------_j_ _ -f--------------------------- + . ..^ 2 4! 6! 8! (2n + 4)!

En ios ejercicios 774 — 778 hay que hallar sus términos del desarrollo de y(x).

774) y"-{\ + x 2 )y = 0 , y (0) = -2 , y'{0) = 2

Solución

OP 00 00

Sea y = '^ c „ x n => y '= '^ n c „ x ’’~1 => _ y " = ]T n (« - l)c„xn~2n=0 n=1 n-2

OO 00 oo

X « ( » - l ) c Bx""2 - X c»x " - * 2X C»*" = 0n-2 i»=0 n=0

f > ( « - l ) c „ * " - 2 - ¿ c „ x " - ¿ c „ x n+2 =0»»=2 n=0 n=0

poniendo en una mismas potencias de x.I

OO OO oo

X (" + W»+2)cn+2x n - X c»x ” - Z!C'>-2X'’ = 0n=Q n- 0 n=2

oo * x -

£ [ ( « + l ) ( n + 2)cn+2 - c j * " - J ^ c n_2x n = 0n-Q n-2

413

poniendo los inicios iguales.

QO(2c2 - c 0) + (2.3c3 - c 1) x + ^ [ ( « + l)(n + 2)c„+2 - c „ -c„_2]xn

n=2

l c 2 - c 0 = 02.3c3 = 0 =>(n+l)(n + l )cn+2 —c„ -c„_2 = 0

c2 = ^ 2 2

C 3 = ^2.3

C +■ C ■)c = —2---- «z£_ n > 2, regla de recurrencia

"+2 (n + í)(n + 2) 6

c2 + Cq 3c0 para n = 2, c4 = -

n = 3, c5 =

3.4 2.3.4

c3 + q 7q4.5 2.3.4.5

y = c0 + <?!* + c2x 2 + c3x 3 + c4jc4 +

Cq 2 c \ 3 3 ^ 0 4 5v = c0 +CiX+ — * + — x + — — x + ----- — x' 0 1 2 2.3 23.4 2.3.4.5

y = - 2, x = 0 => -2 = c0

/ = C j + C 0 X + - X 2 + . . .

2 = + 0 + 0 => Cj = 2

2 * 3 * 4 7v = -2 + 2 x - x z + - — — + — x 5 y 3 4 60

775)

Solución

y"+y,- * 2y = 0 , y(0) = 1, / ( 0 ) = 0

Sea y = y£ J cnx n => y = ^ n c nx n l => y"= ^ /i(n - l)c „ x "n=0 n - 1 n=2

^ n ( « - l ) c „ x " -2 + ^ n c „ x " _1 - x 2 jT c„ x " =0n=2 n=l n~ 0

j r n(n-l)c„x"~2 + ^ n c „ x "'1 - ' j j? c nx n+2 =0n=2 n=l n=0

poniendo en una mismas potencias de x.

£ ( n + l)(n + 2)cn+2x n - (n + l)c„+1x n ~ ^ c n_2x n = 0n =0 n =0 n=2

¿ [(» + 1)(«+ 2)cn+2 + (n + l)c„+1 ]x" - cn_2x n = oaj=0 n=2

2c 2 + Cj + (2.3c 3 +2 c2 )x + ((n + l)(n + 2)c„+2 + (n + l)c„+1 - c„_2 )*" = 0n =0

aplicando el método de los coeficientes indeterminados e igualando los coeficientes se tiene:

2c 2 +Cj = 0 2.3c3 + 2c2 - 0(n + l)(n + 2)cn+2 + (n + l)c„+1 - c„_2 = 0

2c2 - Cj => c2 -

C1 C1 3Ca — C 7 — C-3 —

3 2 2.3

c„+2 = — (n + 1 ) c n+\ V n > 2, regla de recurrencia(n + l ) (n + 2)

415

776)

para n = 2, cd . . . 4|

n = 3, c< = . . . . 5!

c0 -3 c 3 _ 2c0 c, _ .3.4 2.3.4

c, -4 c 4 1 IjPi 1 K> O 0 1

4.5 2.3.4.5

. c2 ~5cs

Os10<N1

5.6 6!

c3 ~ 6c6 39c! - 2 c 06.7 7!

c4 - 7 c ? 62c0 - 69C[7.8 8!

n = 4, c6 =

n = 5, c7 =

n 6, Cg

y = c0 + c1* + c2.x2 +C3X3 +C4X4 +C5JC5 + c6x6 +C7JC7 +...

C\ 2 3 ^Cq c i 4 7c, 2Ca « 2cn -19c, ¿y = C 0 + C,*----LXZ +-ÍJCJ + — y---- - Jt + --- i------— X + — 5------- l- x 6 +

2 3! 4! 5! 6!

| 39c, - 2 c 0 ^ t 62c0 -69c, ^ +1\ X 8! X

l = c0 +0 => c0 =l

c¡x2y =c . -c ,jc + --------+ ...

2

O = C] — O => Cj =0

, 2jc4 2x 2xb 2 7 62 8y = -1 + --------------+ ----------- x + — x 8 + . . .

4! 5! 6! 7! 8!

y"+yex = 0 , y(0) = 1, / ( 0 ) = 0

Solución

416

Sea y = ^ ^ a kxk la solución de la ecuación diferencial dadak= 0

y ' - ^ j k a kx k 1 => y"= ^ k ( k - \ ) a kx k 2 , reemplazando en la ecuación*=1 k = 2

w 00^ k ( k - l ) a kx k- 2 +ex ^ a kx k = 0 £-2 *=0

k

£ * ( * - l ) a t jt*-2 + ( ^ ~ r ) ^ a kx k = 0 *=2 *=0 *• *=0

*=2 Jfc=0 n=0 W '

igualando las potencias de x.

I > + D(* + 2)ak+2x k + £ = 0£=0 *=0 n =0 n '

£ [ ( * + l ) ( * + 2 )ak+2 + V ^ L ] * * = 0 *=0 t í ' i!

k

(k + l)(k+2)ak+2+ y ^ = 0 , V k > 0'4-— nfnn=0

l k+2 = ------------------ y - ^ L , V k > 0(* + l)(* + 2 ) ¿ n!

como y = ' ^ a kx k = a0 +alx + a 2x 2 + ... k = 0

417

es la solución de la ecuación diferencial usando la condición inicial

777)

y(0) = 1 => a0 = 1 , y' (0) = 0 => ax - 0

para k = 0, a 2 L V ^ = _£o_ = _1.2 “ ni 1.2 1.2n=0

k = l , a 3 = — = - L (fl +a —2.3 “ n\ 2.3 0 1 2.3

k = 2> a4=~ ¿ ¿ ^ f = " ¿ (fl2+ai+? )=0

4.5 n! 1.2.4.5n—0

1 V « 4 - n ( - D 2 9

5 . 6 ^ „! 41.5.6

como y = a0 + alx + a2x 2 +a3x i + a4x4 +.

1.2 2.3 1.2.4.5 1.3.5.6

y '= l + y 2, y(0) = 0Solución

ooSea y = ^ a kx k . . . (1)

¿=0

la solución de la ecuación dada

Luego y' = kakx k~l , reemplazando en la ecuaciónk=\

418

^T/:£z¿.x* 1 = 1 + (^T akx k)2, dedonde k = l k = o

- [ ^ j akx k ] [ ^ / akx k ] = 1Jt=i ¿=o ¿=o

¿a***-1 - ¿ [ ¿ á na*_Jx* =1 *=1 fc=0 k = 0

ahora poniendo en una misma potencia de x.

°° oo k

( k + 1 ) a k + \X — y , [ ’y > a n a k -n 1X = ^ *

k=0 k = 0 k = 0

] ? [ (k + l)ak+1 - j ? a na k_n]xk =1 k = 0 k = 0

oo oo k

[_Cl\ ~ ^ \ n^k-n 1 ^ y ty k+X ~~ ^n^k-n ^ — ^*= 0 *=1 *=0

ahora por el método de los coeficientes indeterminados

2ÍZj £Zq .¿Zq = 1 — (l j — 1 4~

(* + l)a t+1 ~ '^ j an.alc_n = 0 , V k > 1n=0

Luego a{ = l + «o

1 °°V k > 1

n =0

aplicando la condición inicial y(Q) = 0

como y = ^ a kx k = ao +a\x + a2x 2 + ..., es la solución entonces usando la*=o

condición inicial obtenemos y(0) = 0 = a0 => a0 = 0 , de c onde al = 1

778)

para1 1 1

k = 1, a 2 = - ^ a „ a i - „ = - ( a 0-a i + a ,.a0) = 0n - 0

1 ^ 1 1k = 2, a3 = — ' PJ a n-a 2-n =T(ao-a 2 + a l2 + a 2'a o) = T

j 3k = 3, a 4 = - ^ a n.a3.„ = 0

, . 1 Vi 2k = 4, a 5 = ~ 2 j an.ci4_n = —5 “ 15n=0

k = 5, íj6 = 0

k = 6, a1 = — ¿¡^an-a6-n =6 17

315n=0

X"'' ¿ 2 3 4 5como y = 2 j akx ~ a o + a \ X + a2x + a3x +aAx +a5x + ...k= 0

* 3 2 5 17 7y = Jt + — + — x + -----x + .3 15 317

ÿ = e y +xy, y(0) = 0

Solución

Usaremos la serie de Taylor y(jt) = ----- j— x la solución pedidak »

k=0

420

Calculando y (k)(0)

y ’= e y +xy => y’(0) = e y(0)+0 = 1

y " = e yy'+y + xy' => yM(0) = l

y ' = e y y '2+ey y"+2y'+xy" => /" (O ) = 4

y lv = e y y'3 +2ey y' y''+ey y' y' '+ey y" '+ 3 / '+xy'" => y lv(0) = l l

reemplazando en la serie de Taylor se tiene:

X2 4jc3 l l * 4 53 5 269 4y = jcH-------- 1--------- h ----------1--------X H---------X + .. .' 2! 3! 4! 120 720

Hallar las soluciones generales de la ecuación de Bessel.

779) x 2y"+xy'+(4x2 ~ ) y = 0

Solución

La ecuación parámetrica de Bessel es

jt2/'+jty'+(A2x 2 - p 2) y - 0 cuya solución general es:

y(x) = c, J p (Ax) + c2 y p (Ax)

Luego A2 = 4 , p = ^ de donde X = 2, p = —

Por lo tanto la solución es: y(x) = c1y 1/3(2x) + c2yi/3(2x)

780) * 2y + ^ '+ ( j t 2 - - ) 3 ' = 04

Solución

781)

782)

La ecuación diferencial de Bessel de orden p es

x 2y"+xy'+(x2 - p 2)y = 0 , cuya solución general es:

y(x) = c{J p (x) + c2J - A x )

y(x) = clJ l/2(x) + c2J_ll2(x)

, , 1 , 1/ ’+ - / + - y = 0 x 9

Solución

Multiplicando por x 2 a la ecuación diferencial

2 ,, , X 2x y +xy + — y = 0

7 1 1de donde A = — , p = 0 => A = — , p = 09 3

JC JCLa solución general dada es: y(0) = cx J 0 (—) + c2y 0 (—)

y ' '+ — y'+4y = 0X

Solución

Multiplicando por x 2 a la ecuación diferencial.

x 2y''+xy'+4x2y = 0 , de donde A2 = 4 , p 2 =0 => A = 2 , p = 0

Luego la solución es: y(x) = cx J 0 (2x) + c2 y0 (2x)

422

^ 5 5 vSe observa que /? = — y p - —4 4

Luego la solución es dado por y(x) = axy 2 [c1J 5l4(x 2) + c2J_5/4(x2)]

783) x 2y '-2xy'+4(x* - \ ) y = 0Solución

784) x y " + ~ y '+ ~ y = Q

Solución

Se observa que p - ^ y p = - ~

Luego la solución correspondiente a la ecuación diferencial es:

y = $[x [cx J x / 2 {4x ) 4- c2 / 2 (a/*)]

785) j " + - - / + ^ = 0

Solución

Se observa que p = 2 y X = 1

Luego la solución general es: y = - —-[cj (*) + (*)]

786) y " + -y '+ 4 y = 0X

Solución

Se observa que p = 1 y X = 2

entonces la solución general de la ecuación diferencial

y = - [ c xJ l {2x)+c1y x(2x)]x

423

787) / p (x) = J p_x( x ) - ^ J p (x)

Solución

d nSe conoce que — (xpJ (jc)) = x p J x (.x)

dx y y

Xpj \ (x)+pxp~[J p (x) = x pJ p_x (x) ...(1 )

además ~ (x~p J p (x)) = -x~pJ p+x (x) (probar)

*~Pj \ (x)~px~p lJ p (x) = -x~pJ p+l (x) ... (2)

dividiendo a la ecuación (1) entre x p se tiene:

j'p (x) + J p (x) = J p_1(x) de donde j'p (x) = j p_l ( x ) - ~ j p (x)

788) j'p (x) = - J p+l(x) + ?-Jp (x)

Solución

Como ~ ( x - pJ p(x)) = - x - pJ p+1(x)

x~pJp (x) - px-pAJp (x) = - x - pJ p+l (x)

dividiendo entre x p se tiene: J p (x ) - — J p (x) = - J p+1(x)

J lp (x) = ^ J p ( x ) - J p+l(x)

Dem ostrar la justeza de las siguientes relaciones

424

789) J p+l (x) = Jp(x)-J p_i (x)

Solución

Como se conoce que:

J p (X) = J p - \ ( x ) - ~ J p (x)

j 'p (x) = ^ j p ( x ) - j p+l(x)restando se tiene:

2pJ p ( x ) - J p- l ( x ) - J p+1(x )= 0 , de donde

2 pJ P+1 (*) = ~ J p (x> ~ J p- i W

790) j 2(x) = j \ ( x ) - - j { { x )

Solución

Se conoce que J p+l (x) = ^ J P (x) ~ J P (x )

Para p = l , J 2(x) = - J 1(x ) -J [ (x )

como Jq (x) = —J i (x) => j \ (x) = - j \ (x)

J 2 (x ) = J \ { x ) - - J [ (x)

425

791) J 2{ x ) - J 0{x) = lJÍ(x)Solución

Del ejercicio 790 se tiene: J 2(x) = (x)- — ,/J,(x) ... (1)

2 pcomo J p+1(x) = - £ - J p ( x ) - J p_1(x) para p = 1

2J 2(x) = ~ J l ( x ) - J 0(x) para J¡(x) = -J¡,(x)

X

J 2(x) = - - J ! 0(x) - J 0(x) . ..(2)X

a (1) multiplicamos por-2 se tiene:

- 2 J 2(x) = - 2 J ,0(x)+ j J'0(x) . ..(3 )

sumando (2) y (3) se tiene: - J 2 (x) = -2 /J (x) - J 0 (x)

J 2(x) = 2J l0(x) + J 0(x) de donde J 2( x ) - J 0(x) = 2 /J(x)

792) J 3(x) + 3/J, (x )+47* (x) = 0

Solución

J 2 (*) - Jo (x) - 2/JJ (x) del ejercicio 791

4 ( x ) - y ¿ ( x ) = 27« (X)

2J[ (x) - 2J\ (x) = -4 /* (x) ...(1 )

como J \ (x) = J p~\(*)~ ^ J p (x) para p = 2

426

como j \ (x) = - J p+x(x) + t j p (X) para p = 2

J \ (*) = ~Ji (x) + - J 2 (x) ... (3)

sumando (2) y (3) se tiene:

2 J \ (x) = (x) - J 3 (x)

2J\ (x) = -7 |, (x) - J 3 (x) ... (4)

sumando (1) y (4) se tiene

2 J \ (x) + 2 j \ (x) - 2 J \ (x) = - 4 j \ (x) - j \ ( x ) - j 3 (x)

J 3 (x) + 37o (x) + 4/JJ (x) = 0

793) x 27 ■ (x) = ( p 2 - p - x 2 )Jp (x) + xJp+l (x)

Solución

, (x ) = y — ___(~ )p+2bL a n\(n + P) \ ( 2 }

F ' ¿ — i 2 » ! ( » + / > ) ! Vn=1

j " ( x ) = y i . c -1)"(2w+pX2n ( i ) w - 2P «!(n + /))! 2

427

, y i , M . ÿ < - 1>‘ (2»+'’X2»+ ', - |) (£ ) - > . . . (1)L a n\(n+ dY. 2n\(n + p)\ 2n=2

n=0

Z°° p (j> -l)(- l)" I h t , y > 4(— 1)” X 2n+P+2n\(n + p)\ 2 Lmin\(n + p)\ 2

n- 0 n=0

tt—2

| y (-l)"4w(w + /?) X 2n+p 4(p + l) x p+2 (2)«!(«+»)! 2 0» + l)! 2»=2

OO nj , r , _ V ^ /*x2n+p+lV i W - Z , 2^ !(m+ l ) , ^

n=0

n=0

x / ,(x) = — ( ~ ) ^ 2 - ÿ ( 1 ) " ?- - ( - ) 2n+ ...(3)P+1 /> + l 2 (« + />)! 2

* igualando (1) con (2) y (3)

+ y £ M á l ” A ^ + y ( - d " 4W(i.+ /» X 2n+pn\(n + p)\ 2 « ! ( / / + / ? ) ! 2

. 4(/7 + l) X 2 | 2 (x 2 y (- l)"2 n x 2„+n(p + 1)! 2 (/7 + 1)! 2 ¿ - m \ ( n + p)\ 2

n= 2

00 n ûo

Z(-l) (2n+p)(2n+p-ï) x)2„+„ _ y [^-l)+4w(»+^)-2«3(-l)'- x 2n+nn!(/2+/>)! 2 ^ «!(«+»)! 2«=2 ^

4«2 + /7(/?-l) + 2« (/? -l) + 2n/7 = 4«2 + 4 n p -2 » + p ( p - l )

429

[s i s t e m a s d e e c u a c i o n e s d i f e r e n c i a l e s d e | [COEFICIENTES CONSTANTES.!

Un sistema de “n” ecuaciones diferenciales lineales de primer orden en las funciones incógnitas x l =y/ l (/), x 2 = y^2(t), •••» x n =li/ n(t ) esdelaform a:

^ - = f l (t,xl , x 2,...,xn)dt

~ = f:2(t,xx, x 2,...,xn) dt

, fn xl ’ x2 ’ •••’ xn ) dt

donde x { = y/{ (t ) , x 2 = V 2 (0 * • • •* xn = \f/n (t) son diferenciables y con derivadas continuas en (a,b) llamadas soluciones del sistema.

Un sistema de n ecuaciones diferenciales lineales de primer orden de n funciones incógnitas se puede escribir en la forma:

dX¿ = ^ j an {t)+b' {t)H

Si b{(t) = 0 , el sistema se llama homogéneo, y si b¡(t)* 0 el sistema se llama no homogénea. v

Existen diversos métodos para resolver estas ecuaciones diferenciales lineales.

430

METODO: REDUCCION DE UN SISTEMA A UNA ECUACION DIFERENCIAL DE n-esimo ORDEN.-

Consideremos un sistema de dos ecuaciones:

dxd ¡ =ax+by + f ( t ) ...(1)

^ - = cx + dy + g(t) ...(2)

donde a,b,c,d son constantes, f(t), g(t) son funciones conocidas x(t), y(t) son funciones incógnitas.

De la ecuación (1) despejamos:

1 ,dx ■

reemplazando en (2) se obtiene:

de donde al simplificar se tiene A + B ~ + Cx + R(t) = 0dt dt

donde A,B»C, son constantes.

Resolver los siguientes de ecuaciones diferenciales:

dx

812) dt= 3 - 2 y

- = 2 x - 2 t dt

Solución

431

de (1) se tiene y = — ( 3 - — ) reemplazando en (2) 2 di

d i dx d 2x „-(—(3— —)) = 2x~21 => -----7r = 2x -2 t

dt 2 dt 2dt¿

d 2xd t2

+ 4x = 4t es una ecuación no homogénea

sea r +4 = 0 => rx = 2i, r2 = -2 /

(t) = c¡ eos 21+ c2 sen 2í , la solución particular es:

xp = At + B => x'p = A => y"= 0

0 + 4At + 4B = 4t => 4t =>4 A =4 B = 0

A= 1 5 = 0

x p = t y la solución general es:

= => x = c¡ eos2 í+ c2 sen2t+t dedonde:

y = 1 + c, eos 2/ + c2 sen 21dx~dtdydt

= x - 2 y

= x+ 3y

Solución

dx .— = x -2 y ... (1)dt

^ = x + 3y ...(2). dt

1 dxde (1) se tiene y = — ( x ----- ) reemplazando en (2)

2 dt

d r l d r ., 3 ¿ r— [— (x -----)1 = x + — (x ------- )dt 2 dt 2 dt

1 dx 1 d 2x _ 3 3 dxT J t ~ Y ~ i h 2 ~ XJr~2x ~ Y J t

^—^ - - 4 — +5x = 0 dedonde r 2 - 4 r + 5 = 0 entonces: d t2 dt

/•j =2 + i , r2 = 2 - i la solución general es: x = cle 2' eost + c 22' sen t

de donde: y = c3e 2’ cosí+ c4e 21 sen t

814)+ 3x+ y = 0

dy— - x + y =0 dt

, x(0) = y (0 )= l

Solución

+ 3 x + y = 0

& - , + y . 0 dt

. . . (1)

... (2)

de la ecuación (2) despejamos x, es decir

433

x = y + — reemplazando en (1) dtdy

d x . dy A — —+ 4 — + 4v = 0 <ff dt '

de donde r + 4r + 4 = 0 => r = -2 de multiplicidad 2.

x = c¡e 2t + c2te Lt - 2 cxe Lt + c 2e ¿t - 2 c2te»-2/ .-2/

x = - c xe 2t - c 2te 2t + c 2e 2t

x(0) = 1 => 1 = —q + c2

y(0) = 1 => l = q

ci ~ 1 c2 = 2

Íjc = e 2t - 2te 2t

[y = e ~2t +2te~2t

815)— = 3jc- —- 3 | J —dt 2 2 2

f — -

Solución

fatc , , 2 r 3— = 3 jc -—- 3 / — + - dt 2 2 2

= 2j> - 2í -1

. . . (1)

... (2)

derivando la ecuación (1) se tiene:

434

d x ^dx 1 dy 1d t¿ dt 2 dt

... (a)

t/yde la ecuación (2) — = 2y - 2/ -1 reemplazar en (a)

dt

= 3 -------y + v + — 6r -dt 2

d x . d x-—=--=3------ y - 5 tdt dt

dx o y = 6 x - 2 — -6 t - t + 3

dt

reemplazando (P) en (3) se tiene:

d 2x rd x

... (3) de la ecuación (1)

...(P )

- 5 ---- n 6x = 6r2 - 4í - 3 r 2 - 5 r + 6 = 0 entonces:d t2 dt

rx = 2 , r2 =3 => x = c1e 2'+ c 2e 3r; y y = A t2 +Bt + C de donde

y =t + / y la solución general es:

x - c xe 1 +c2e +t +t de donde y = 2c¡e ' +t + l

816)

dx~dtdydt

-Ix + y

= - 5 y - 2 x

Solución

dx~dtdydt

= - I x + y

= -Sy - 2x

. . . (1)

... (2)

435

de la e* uación (1) y = — + 7i reemplazando en (2) se tiene: dt

^ - [ - t-+ 7 x] = -5(— + 7 x )-2 x => —dt dt dt dt

+ 12 — + 37x = 0dt

r +(12r + 37) = 0 r = -6 ± /

x = (c, eos t + c2 sen 0 e “6í de donde

y = e 61 [(q + c 2)c o s /- (c ! - c 2)sení]

817)

dx - n — = 2 x -9 y di ydy_dt

= x + 8y

Solución

= 2 x - 9 y

dy— = x + 8y *

- (1), de la ecuación (2) despejar x.

... (2)

dyx = — - 8j> reemplazando en (1)

L f . g ± . 2 ± . U y . 9y d t2 dt dt y

— 7^-10 — +25y = 0 entonces: r 2 -1 0 r + 25 = 0 dt2 di

entonces: r = 5 de multiplicidad 2.

7 = CjC5/ + c2te5/ dedonde x = (q -3 c xt - 3 c 2)e5t

436

818)

dx dt dy_ dt dz— = x + y

= j> + z

= Z + X

Solución

dx— = y + z dtdydtdz~dt

= z + x

■ x + y

(1)

(2), derivando (1) se tiene:

(3)

d x dy dz= — + — reemplazando (2) y (3)

d t1 dt dt

d x d x _ i ,— —= x + z + x + y => — — = 2x + ;/ + z reemplazando (1)d t1 ' d t2

d x dx , , d x dx ^— — = 2x h-----de donde — --------------2x = 0 entonces:¿ r2 * dt2 dt

r 2 - r - 2 = 0 de donde rx = 2 , r2 = -1

x = Cje ' + c2e2' => y = c i í + c2é ?í => z = - ( q + c 2)e ' + c 2e 2'

dx(1)— = y + z

dt y

819)dy

— = 3x+ z dt

(2)

dz— = 3 x + y (3)

437

Solución

Derivando la ecuación (1) se tiene:

d 2x dy dzd t2 dt dt

reemplazando (2), (3) en (4) se tiene:

d 2xd t2

d 2xd t1

= 3 x+ z+ 3 x+ y de donde

= 6 x + y + z •■•(5)

reemplazando (1) en (5) se tiene:

d x d x , . , , . 2 , .— --------- 6x = 0, de donde r - r - 6 = 0 entonces: r, = 3 ; r7dt 2 dt

820)

x = c¡e 2t +c¡e3' de donde y = — c¡e3' - c 2e 31 - c 3e 1

dx „

dt

... (1)

... (2)

= 2x + 8 y - 2 z ... (3)

Solución

Derivando la ecuación (2) se tiene:

d y dzdt

= -2 -dt

...(4 )

438

d 2 y— = -4 x -1 6 z + 4 z ...(5 )

d t2

reemplazando (2) en (5)

d 2y dy— — = -Ax -1 6 v - 2 — derivando esta ecuación se tiene: dt dt

dt dt dt2 dt2


d 3y ~ d 2y A, d y ^— f + 2 — f + 1 6 ^ - + 32j> = 0 dt3 dt2 dt

r 3 + 2 r2 + 16r + 3 = 0 de donde: ( r 2 + 16)(r + 2) = 0 entonces:


r{ = -2 ; r2 = 4 /, r3 = -Ai => x =c¡e 2t + c2 cos4r + c3 sen 4/

1 -2t 1 „ 1 v = — cxe + —es cos4 í— cssen4í4 2 2 2 3

z = - ~ cxe 2t +c2 sen 41 + c3 eos 41

- = 2x + y - 2 z - t + 2 ... (1) dtdyI — - r o

— = x + .y - z - r + l ...(3) ai

Solución

De (2) se tiene dx _ d y di ~ d t2

reemplazando en (1)

-~r- = - 2 - 2 — + y - 2 z - t + 2 d t2 dt

d y dy 2 z = — f - 2 — + y - t + 4

d t2 dt y. . . (4 )

de la ecuación (3) se tiene:

dz2 - = 2x + 2 y - 2 z - 2 t + 2 entonces:

dt

*dx2 ^ - = 2 - 2 ~ - + 2 y - ^ - ~ - + 2 — - y + t - 4 - 2 t + 2

dt d t2 dt

dz d 2y2 ---= -------T -+ V -/

dt d t2 '...(5 )

derivando la ecuación (4) se tiene:

dz _ d y d 2y dy2 — = 2 72 — 1

dt d t3 d t2 dt


i d 2y dy d 2y--- ;--- l ---- r - + ----- 1 = ------ - + V - Ídt3 d t2 dt d t2

dt d t2 dt

sea p (r) = r 3 - r 2 + r - 1 = 0 => r, = 1, r2 = i , r3

440

• -------------------- dyy - c xe* + c2 COS/ + C3 sen t + t de la ecuación x = 1- —

y g = eje' +c2 cosí + c3 sen t => y p =At + B de donde

jc = - c xef - c 2 sen/ + c3 eos/ de la ecuación (4) se tiene:

z = 1 + c2 sen t + c3 cos r por lo tanto la solución del sistema es:

x = - c ler - c 2 senr + c3 cos i

y = clet +c2 eos t + c3 sen t + t z - \ + cx sen t + c2 cos t

822)

— = - x + y + z + e dtdy t-^- = x - y + z + e dtdz A— = x + y + z + 4 dt

... (1)

... (2)

... (3)

Solución

De la ecuación (1) y = - + x - z - e T dt

-..(4)

reemplazando en (2)

d 2x dx dz t dx t 3----- + ------------ el - x ----------z + z + e + z + ed t2 dt dt dt

d 2x -d x dz _ . / 31 A - a-------h 2 ------------- 2z = 2e + e denvandod r dt dt

d3x „ d 2x d 2z _ 2 dz_ = 2e,+3e 3,+ 2

d i3 d t2 d t2 dt... (a)


dz dx , .— = jch---- + x - z - e + z + 4dt dt

dz „ dx ,— = 2x+ -------e + rdt dt

d 2z _ dx d 2xd t2

= 2 — +dt d t2

- e

... (p)

- (r)

reemplazando (P) y (y) en (a) se tiene:

j 2 v j2 .Ì 4 + 2 L l . 2 ^ Ì 4 + e ' . i x . 2 ^ + 2 , - - 8 - V + 3 ^d t3 dt dt d t2 dt

d 3 x d 2xd t3 d t2

- 4 — - 4 x = - e 1 + e 3' +8dt

resolviendo esta ecuación se tiene:

p(r) = r 3 + r 2 - 4 r - 4 = 0 => ^ = -2 , r2 = 1, r3 = 2

jc = q e -2' + c2er + c3e 2t y la solución particular es:

e 3ex n = — + --------2 la solución general es:p 6 20

j t s q e 2/ + c2e r + c3e 2/ h------1-----e3t - 21 2 3 6 20

de la ecuación (P) se tiene:

c\ -t c2 21 et e3tz = -— - e — e Lt------+ —

442

y de la ecuación (4) se tiene:

-t C2 2t ^3 y - — e + — e — - e3 6 2

«' 7 3,— + — e - 26 20

Luego la solución del sistema es:

x = cxe 2t + c 2e' +c3e2' + — + — e3' - 26 20

C1 - y - - e + — e 6

-2/e ~ ----- + — e 3/ - 22 6 20

C\ - t C2 21 ^ ^z = — - e 1 +— e l ----- + -----3 3 2 4

dx— = xcosí (1)dt

2 ^ = ( e , + e-‘)y (2)dt

Solución

De la ecuación (1) se tiene:

dx --------------— = cos t.dt integrando lnx = sent + k entonces: x = kAe**ntx --------------

de la ecuación (2) se tiene:

2~~ = (er +e~')y => — = cosh t.ydt dt

dy ------------ ~— = cosh t.dt => ln y = senh t + c entonces: y = k\ ea 1y ---------------

[x = k xeSQTít La solución es: <

\ y = k 2eaeah'

824)

dx ,

dy 2, ’ 9 0 0 ’ 900— =e + x - 3 y dt

dt 6 y X 119 211

Solución

De la primera ecuación despejamos y es decir:

y = e* - 5x - — ahora reemplazamos en la segunda dt

t . d x d 2x 2/ >> t .c ^dxe - 5 ----------— = e + x -3 e +15x + 3—dt d t1 dt

d x „dx ^ A t ot — ~—h8 — + 16x = 4e - e d t2 dt

La solución de esta ecuación diferencial es:

4 , 1 ,x = — c ---------e25 361 , 7 , y = — e + — e

25 36

825)

dx ~ o — = 3x + 8y

*= -3 y - x

... (1)í x(0) = 6 , y(0) = -2

... (2)

Solución

De (2) despejamos x es decir: x = 3y

444

dy d y , d y _ dy— — 3y) = -3 — - 9y + 8y => — f - 3 - ^ = - 3 - ^ - - ydt dt dt dt dt dt

d 2vd t¿

■y = 0

sea p(r) = r 2 - 1 = 0 => ^ = 1 , r2 = - l entonces: y = ciet +c2e

x - - 4 c xe l - l c 2e 1

( t t t= 0 \x = - c 1e - 2 c2e luego: | para x = 6

{y = cle , +c2e~‘ y = _2

6 = -4c { - 2c 22 == Cj C2

Cj = - 1por lo tanto:

jx = 4c' + 2e /

[y = - e t ~e~‘

826)

dxdtdy_dt

Y r y

= - x

... (1)

... (2)x(0) = y(0) = 1

Solución

Reemplazando (1) en (2) se tiene:

d ,dx. d x— (— ) = - x ==> — -dt dt dt

+ x = 0

p(r) = r 2 +1 => rx = i , r2 = - i entonces: x = A eos t + B sen t

dxv = — = -v4senx + £ co sx => y - = -A s e n t + B cosí^ dt

445

\x = Acost + Bscnt Luego: < , t = 0, x = y = 1

[y = -A sen t + B eos t

1 = A

1 = 3por lo tanto:

x = eos ¿ +sen í y = - sen r +cosí

827)

dx~dt

-4 (x + y)

dy a dy a — + 4 — = -4 ydt dt

... (1)x(0) = 1 , y(0) = 0

••• (2)

SolucióndxDe (1) se tiene: - 4 y = — + 4 x , derivandodt

Ady d 2x A dx4 — = ------r---4 ----dt dt dt

ahora reemplazando en la ecuación (2)

dx d 2x dx dx A , ,----------_ 4 — = -\-4x de donde:dt dt dt dt

d x dx+ 4 — + 4x = 0

dt2 dt

sea p(r) = r 2 + 4 r + 4 = 0 r= -2 de multiplicidad 2.

x = cle 21 +c2te 2r

dxcomo - 4 y = -----\-4x entonces:dt

- 4 y = -2c le 2t +c2e 2t - 2 c2te lt +4cxe ¿t + 4c2te- 2 t - 2 t - 2 t

- 4 y = 2cxe 2t + (c2 +2c2t)e 2t

para t = 0, x = 1, y = 0 entonces:

C i+0 = 1 c1 = 1 íx = (1 - 2t)e 1=> por lo tanto: <

2cx + c2 =0 c2 = -2 [ y = te~2t

446

828)— = 4x - 5 y dt

dt

(1)

(2)x(0) = 0 , y(0) = 1

Solución

Reemplazando (2) en (1) se tiene:

d y - a dy= 4 — - 5 y de donded t2 dt

d y A dy- 4 — +5 = 0dt2 dt

sea p(r) = r 2 - 4 r + 5 = 0rx = 2 + /

r2 = 2 - i

y - c xe 2t eos t + c2e 2t sen /

como x = ^-==2cle lt eost - c xe 2t scnt + 2c2e 2t sen t + c2e 2t eost

jc = (2cx +c2)e2r eost +(2c2 ~ cx)e2t sen t

para t = 0, x = 0, y = 1

2 c i-fc2 = 0 cx =1 , \x = -5 e 2t sení=> por lo tanto: <

ci = 1 c2 ~ “ 2 \y - e 2t c o s t - 2 e 2t sení

829)

dx— = x + y + t dt 7dydt

= x - 2 v + 2t

(1)

•(2)m — j , m — -

Solución

De (1) despejamos y es decir:

447

y - ~ - x - t , ahora reemplazando en (2) dtdx

d 2x dxdt2 dt

+—- - 3 x = 4í + l => p(r) = r + r - 3 = 0 entonces:

1 13r + r + —= 3 + — => (rn— ) = — entonces:

í+Jñ í+ViT

+ c2e 2

xp =At + B => => y* =0

0 + A —3At —3B = 4t + 1 => -3At + A —3B = 4t + 1 entonces:

— 3A = 4 A - 3 B = 1

3

4 7=-----1 —

p 3 9

•JÍ3-1 -713-1x = x + x =c ,e + c2e 2

3 9

dxy = ------x - í entonces:

dt

■731-1 715+1 4 # i - # ! . 4 , 7— -— c,e ¿ ----------c2e z ------c,e 2 - c 2e 2 +—+—-2 2 2 3 1 2 3 9

a/3 1 - 3 y = — - — cl£>Vñ-i

2 _ a/13+3V3I+1

-c2e •' t 5H--------3 9

1 5para t = 0, x = — , y - — 9 9

7 7— = c. + c , —9 1 2 9

5 ^ 3 1 -3 -VÍ3+3 5•— = --------- c ------------ c2 ----9 2 2 2

[cx + c2 = 0

1 (V31 + 3)0, - (-7Í3 + 3)c2

de donde q = c2 = 0 por lo tanto:

4 7x = ----1----

3 97 5y = — t ----3 9

dx = x+ 5 y

dy— = -3 v - x

... (1)(2)

x(0) = -2 , y(0) = 1

Solución

dyDe (2) despejamos x - -3 y — — ahora reemplazamos en (1)dt

,dy d 2y dy-3—------- 7 T --3 y ------ + 5 y entonces:

dt d t2 *

d y . d y — f + 2 — + 2y = 0 dt2 dt

sea p(r) = r 2 + 2 r + 2>i = -1 + /' r, = - l - ¡

y = c¡e ' eos t + c2e 's e n t

x ^ - 2 y - ^ - = -3cle ' c o s í -3 c 2e 'sen t + cxe r eost + cxe 'sen í +

+ c2e ' s e n f - c 2e ' eos/

jc = (-2cx - c 2)e ' eost + (cx - 2 c2)e ' senf

para t = 0, x = -2, y = 1 entonces:

- 2cx - c 2 +0 = -2 cx = \ \x = -2e 1 cosí+ e r sení=> por lo tanto: <

q + 0 = 1 c 2 = 0 I y = e eos í

831)— + 2 - ^ = 17je+8 y dt di

13 — = 53x+2 y dt

- O)

... (2)

Solución

x(0) = 2, y(0) = -1

De (2) despejamos y es decir: y = — (13 — - 53x)2

Ahora reemplazamos en (1) se tiene:

dx A d x „~dx dx---- h 13— — - 53 — = 1 7jc + 4(13 — - 53x)di d t2 dt dt

1 3 - ^ - 1 0 4 — +195* = 0d t1 dt

d x n dx- 8 — + 15x = 0

dt2 dt

450

/?(r) = r -8 r + 15 = 0 => rx =3\ r2 =5 entonces: * ^ e 3' + c 2e 5'

j = — (13 — -53jc) entonces: y = — (39cxe3x +65c2e5t -5 3 q e 3/ -5 3 c 2e5/) 2 dt 2

y = - l c xe*x +6c2e5t para t = 0, x = 2, y = -1 entonces:

por lo tanto:cx + c2 = 2 -7 c j + 6c2 = -1

q = l c2 =1

* = e 3'+ * 5'

y = -7 e 3' + 6 e5'

832)

dxY t = ydx dy--------— = JC+vdt dt

. . . a)

...(2)x(n) = -l , y(n) = 0

Solución

Reemplazando (1) en (2)

dx d x dx a , ,— -----— = x + — , de dondedt d t2 dt

d 2X „ 2 Aj =1— —+ x = 0 sea p(r) = r +1 =>r f r r2 = - /

dxcomo v = — = -Ci sen r + c-, eos r entonces:

' ¿í 1 2y = -Cj sen+ c2 eos t

para t = n , x = -1 , y = 0 entonces:

- c x +0 = -1 |0 + c2 =0

C 1=1c2 =0

=> * _ por lo tanto:x = eos t y = - sen t

451

833)

dx dy— + — = e - y d t dt y„dx dy2 — -i—— = s e n í-2 v

dt dt *

Restando (2) — (1) se tiene:

dx

(1), x(0) = -2 , y(0) = 1

(2)

Solución

dt= sen t - e - y dxy = sen t - e -----

dt

reemplazando en la ecuación (1) se tiene:

dx~dt

- t d x -t dx+ c o s / + e ----- — = e - sen t+ e + -d t1 dt

d 2xd t2

= cosí + sen t - e ' integrando

dx _t— = sen t - eos t + e + Cj integrando

x - - c o s í - s e n / - e f +cxt+ c 2

como y = - c o s í - s e n t - e + cxt + c2

y = SQnt-e ' - s e n t + c o s t - e ' + q /

y = -2e ' + eos t + Ci

para t = 0, x = -2 , y = l entonces:

-1 + 0 -1 + c2 = -2 Cj = 2 ¡x = - c o s / - s e n í - e„ t => por lo tanto: <

- 2 + l + Ci = 1 c2 =0 = -2e~' +COS+2

452

’ +2t

834)2 — = - 6 x - y - 6 t 2 - t + 3

dt

De la ecuación (2) se tiene:

dtL . dt

(2)

Solución

(1) x(0) = 2y(0) = 3

2y = -2 1 -1 ecuación lineal en y

-\-2dt f Í-2í// y = e J [ \ e 3 (-2t-X)dt +

y = e 2,[ - je ~ 2' (2t + \)dt+c{\ => y = e2'[-te -2' + c j

>> = l + í+Cie 2»

como 2 — = 6 x - y - 6 2 - í + 3 dt

2 — = 6 x - l - í - c 1e 2' - 6 f 2 - r + 3 dr 1

2 — = 6 x - 6 t z - c , e 2' + 2 -2 t dt 1

— -3 x = -3 í2 e 2' +1-1 linealenxdt 2

resolviendo la ecuación y aplicando datos se tiene:

jx = e 2' + e3' + í 2 + r 2t[y = 2ez t+t + l

453

|MI TODO OPIÎRACIONAL Y SU APLICACIÓN PARA

.. iLA RESOLUCION DE ECUACIONESDIFERENCIALES.

1. LA TRANSFORMACION DE LAPLACE YPROPIEDADES FUNDAMENTALES EL OBJETO Y SUIMAGEN J

Se llama función-objeto a una función compleja de Variable Real F(t) que cumple las siguientes condiciones:

1) F(t) = 0 para t < 0

2) F(t) es continua junto con sus derivadas de orden suficientemente grande en todo el* eje t, a excepción de algunos puntos en los que F(t) y sus derivadas tienen discontinuidades de primera especie, siendo finito el número tales puntos en cada intervalo finito del eje t.

3) Al aumentar t, el crecimiento del modulo de la función F(t) no es superior al de alguna función exponencial, es decir existen unos números M > 0 y s0 > 0 ,

tales que * \F(t)\<M eSot Vt ...(1 )

El numero s0 se llama exponente de crecimiento de la función F(t), se llama imagen de la función-objeto (según Laplace), la función f(s) determinada por la formula:

f ( s ) = F(t)e~stdt ...(2 )Js0

siendo s > s0 donde s0 es el exponente de crecimiento de F(t).

La ecuación (1) garantiza la existencia de la integral (2).

La transformación (2), que hace corresponder a cada función objeto F(t) una función imagen f(s), se llama transformación de Laplace, lo cual se anota escribiendo:

L{F(t)} = f(s)

Subsiste el siguiente teorema:

454

Si L{F(t)} = fi(s), en cualquiera de sus puntos de continuidad la función F(t) se determina así:

1 ffl+iooF(t) = — i es f(s )d s ... (3)

27TI Ja-ico

r+wo ña+ibes f(s )d s = lim ep f(s )ds

-ico ¿>—>+oo Ja-ib

(la formula (2) se denomina formula de inversión para la transformación de Laplace).

m

PROPIEDADES DE LA TRANSFORMACION DE LAPLACE.

1) Propiedad de Linealidad.-

L{aF(t) + pG(t)} = af(s) + pf(s) ... (4)

Donde L{F(t)} = f(s) y L{G(t)} = g(s)

2) Teorema de Semejanza.-

Para cualquier constante a >0 ‘

L { F ( t ) } = - n - ) . ..(5 )a a

3) Derivación de la Función Objeto.-

Si F'(t) es una función-objeto, se tiene:

L{F'(t)} = s f ( s ) - f ( 0 ) . ..(6 )

Generalización.- Si F(t) tiene derivadas continuas hasta el orden n en <0,+oo> siendo F (n) (t) función objeto, se tiene:

Z,{F(n)(O} = s n/ ( 5 ) - 5 '’"1 ( 0 ) -5 '” 1 ” ( 0 ) - . . . - F ("“1)(0) ... (7)

455

Es equivalente a la multiplicación de la función objeto por el argumento tomado con el signo menos, es decir:

f ' ( s ) = -íF(t) . ..(8 )

Generalizando.-

f M (s) = ( - l ) nL{tnF(t)} ...(9 )

La Integración de la Función Objeto.-

Se reduce a la división de la imagen por s.

J V ( 0 < * = ^ ...(1 0 )Jo 5-

La Integración de la Imagen.-

Es equivalente a la división de la función-objeto por t.

r f (S)d s = . . . (i i )Js t

Teorema de la Tardanza.-

Para cualquier numero positivo a, se tiene:

L {F (t-a )} = e-“sf ( s ) ...(12 )

Teorema del Desplazamiento.-

La Derivada de la Imagen.-

(Multiplicación de al función objeto por una función exponencial), para cualquier numero complejo X, se tiene:

Teorema del Producto.-

E1 producto de dos imágenes f(s) y g(s) es también una función imagen, siendo

L~X{f(s)g(s)} = I 'F(u)G(t-u)du ... (14)

La integral que figura en el segundo miembro de (14) lleva el nombre de Convolución de las funciones F(t) y G(t) y se denota por:

. F * G = í F(u)G(t-u)du Jo

El teorema IX afirma que la multiplicación de las imágenes es equivalente a la convolución de las funciones objetos.

f(s)g(s) = F*G ...(15)

Teorema de la Imagen Racional.-

Para que la imagen f(s) sea una función racional es necesario y suficiente como la función-objeto F(í) sea una combinación lineal de funciones de la forma:

t ne ÁJ (n es un numero no negativo, X es un complejo).

Calculo de la función-objeto-

Cuando la imagen es una fracción racional, supongamos que f(s) es una fracción racional propia, cuya descomposición en fracciones simple es:

/ M - 1 1 7 7 7 7 - < “ >k r-\ (P ~ Pk)

como M kr y p k son números complejos, entonces:

Sera una función-objeto cuya imagen es la función f(s).

En particular, si todos los polos de f(s) son simples, se tiene:

A(s)si f ( s ) = — es una fracción racional, siendo el grado del polinomio A(s)

menor que el del polinomio B(s) la función objeto correspondiente a f(s) es:

1 d Hk~l t í lim ~ - ^ u m - s k ) nkest ... (i9)

L? ( n k_x)\p->pk ds

donde sk son los polos de F(s), nk son sus ordenes de multiplicidad y la sumase extiende a todos los polos de f(s) son simples, la formula (19) se simplifica y toma la forma:

F(t) = Y * ° J ± e ‘k 'r * '(**)

En los siguientes ejercicios hay que hallar la imagen de la función objeto dada:

915) F{t) = t l - 2 t + 2

Solución

L{F(t)} = L{t2 - 2 t + 2 } = \ - ~ + - = f ( s )s s s S

916) F(í) = t 3 + 4 /2 +4í

Solución

/(5)= i {f (0}=¿{í3+4/2+4/}=4+4- 4 +4 = 4 +4 +4s s s s s s

458

917) F(t) = ( t - 2 ) \ ( t - 2 )

Solución

f ( s ) = L{F(t)} = L { ( t - 2)3 u(t - 2)} = e~2sL{t3} = ^s s

918) F(t) = t - e ~ cu

Solución

Z{e- « } = _ L => ! { * “ }= — L _s+ a (^+ a )

919) F(t) = (t + 2)te'

Solución

F(t) = t 2e‘ +2te‘

/ (* ) = I { í V +2te'} = (-1)2 ± T L{e'} + 2 ( - l ) ^ -L { e '} =ds ds

ii,_L ).2Í-(-L)__?-+-?____—ds2 í - 1 ds s - 1 ( j - 1 ) 3 ( í - 1 ) 2 ( j - l ) 3

2 spor lo tanto: f ( s ) = L{t 2e' + 2te‘} = ------—

( s - i y

920) F (/) = cosh2 at

F(t) = cosh2 at = ( -—-£■— )2 =

Solución

a,+e~at e 2al +e~2(tt +2

459

/ ( J) = i l { e 2" + e -2‘tf+ 2} = I ( - L - + — ! _ + ! )4 4 5 - 2a (.y + 2a) ^

s - l a sf ( s ) = ---- r-------—

s(s - 4 a )

921) F(t) = (/ -1 ) 2 u(t - l)e1-'

Solución

L{F(0} = c - í ¿{í2e- , } = ( - l ) 2e -í =ds

m9- < L (- L . ) m - e - ± (— L _ )& 2 í + 1 ^ (J+ 1)2

922) Z,{e" sen fit}

Solución

s 2 + p 2 ( s - a ) 2 + p 2

923) F(í) = e3' eos 3í eos 4/

Solución

eos 31 eos 4í = ™ (eos It + eos i)

1 1 s sZ,{cos3í cos4í} = — Ajeos 7f+ cos) = — (—--------t- —— )2 2 í ‘ +49 j +1

L{3' eos 3 í eos 41} = — [— S—^------+ — - —-— 12 (í -3 ) +9 (j — 1) +1

2e~J(* + l)3

460

924) F (0 = é>A('~a) s e n ( /-a ) t /( f -a )

Solución

L{F(t)} = e ^ L i e “ senr} = -----------—( s - a ) +1

925) F{t) = e2t sen(í + —)4

Solución

7T. V2 , .sen(í+ —) = — (sen t + eos í)

^ 1 t <■ *s’ + lZ{sen(r + —)} = - = Z{sen t + eos r} =4 ^2 •n/2 (í 2 +1)

Líe2' sen(/ + —)} = -54-1

4 -\/2(í 2 — 4j + 5)

926) F{t) = ea cos(t + P ), P > 0

Solución

cos(r + fi) = eos p eos í - sen /? sen r entonces:

, „ s s enB eos f í s - s e n f iL{cos(t + P)} = eos P - y — — — = ------- j —-------

.T + l J +1 5 +1

H e “ COSÍH-f f ) ¡ - ( l ~ ‘>)c°s ^ ~ se° ^( s - a ) +1

.. sen í927) F(r) = ----------------------------

461

Solución

tí 1 rfScní. f°° du /°° n 1¿{sen t} = —---- => I{------ } = —---- = arctg / = ----- arctg s = arctg(—)j +1 í w +1 ' * 2 s

928) F (0 = e"Aí —t

Solución

. sení 1 senr , 1 vL{------} = arctg(-) => L{e m ------} = arctg(------ )

t s í s+A

929) F(t) = sen 51 sen 21

Solución

sen 5í sen 2t = (eos 3f - eos 7r) entonces:

1 1 »y vZ,{sen 51 sen 2t) = — ¿{eos 31 - eos I t} = — (—------------------ )2 2 s +9 s 2 +49

20íi 4 + 58j 2 +141

930) F(t) = sen 2 2í

Solución

£{sen2 2í} = —Z,{l-cos4f} = —(—— ^ — ) = - 82 2 s s 2 + 16 s (s2 +16)

931) F(t) = t cosh t

Solución

462

L{tcoshí} = L{t — —) = —\ ~ r L { e ' + e '}2 2 ds

1 d 1 | 1 1 <f 2 j2<fc s - l + s + l 2 d s í 2 - l

s 2 - l - 2 s 2 s 2 +l(s2 - l ) 2 (s2 - l ) 2

932) F(t) = í sen /

Solución

, d , 1 . 2 íI{í sen t} = —— Z,{sení} = —— (—5— ) = — ------jds ds s 2 + 1 ( í 2 +1)2

933) F(t) = eos 2í eos 4r

Solución

eos 2 /eos 4? = -^(6 eos 6t + cos2í)

s sX{cos2í eos4í} = — L{6eos6; + eos 2t\ = — (—----------------1- ,-)

v 2 2 j +36 s +4

j 3 +20i j 4 +40s + 144

934) F(0 = cos2 4í

Solución

¿{eos2 4f} = ¿{1 + eos 8í} = ^ ( - + - y ^ — ) = — y*" 2 2 s s +64 í ( í +64)

463

En los siguientes ejercicios están dados las imágenes y hay que hallar las funciones- objeto correspondientes.objeto correspondientes

935) f ( s ) = - T^ ± 3s +45 +5s

Solución

F(t) = U x { /(í)} = L~l { 3 2S+. 3-----}5 + 4j + 5¿

_ 1 £-i f3 3s__________25 5 ( j+ 2 )2 +1 (í + 2 )2 +1

F(t) = — (3 - 3e_2í eos t - l e 1' sen í)

s 2 + a 2936) f ( s ) = —------—— (a es una constante)

(s - a )

Solución

f / \ _ _ s 2 + o 2 _ 1 l a 2( s 2 - a 2) 2 s 2 - a 2 + (s 2 - a 2)2

aplicando convolución se tiene:

F(t) = 2T1 { f(s)} = r 1 { ~ +a' . }(s ~a )

= L ' {—;----- T + —T ~ 7 ■> } = 1 cosh at1 - n 2 ( v 2 ^ „ 2 \ 2s 2 - a 2 (s2 - a 1)

93?) f(s) = -£ r

Solución

464

Como ¿{í XO} = £ { '* } = - £ tO 5

F(t) = t k = 1 1 por lo tanto: I 1 { -£ f} = t k

938) F ( í )( 5 - l ) ( 5 - 3 )

Solución

m = 2 L + . 1(í -1)(í -3 ) 5 -1 s - 3

F(í) = 2T> { --* -+ J _ } = -e' + e3' 5 -1 s - 3

939) / ( , ) = _ 3í+19O * A2j +85+19Solución

19 19 _ 135 + ------ 1 5 H --------- - 5 + 2 +

m - f (--------^ - 1 ( ---------- ^ T 7 ) - T ( --------~ 7 T >2 5 2 + 4 5 + ——■ ( 5 + 2)2 + — ( 5 + 2)2 + —

2 2 2

F(0 - i" 1 </W) - 1 i -1 <-----— ttI + Y 1-1 *-----L “ ÍT'

3 _a, ÍTT 13 _2r [ í l F{t) = - e 2> cos^— t+ — e sen^ j j t

940) / (5 ) =(5 2 + 5 +1) 2

Solución

465

L 1 {—-— ---- -} = f H(u)G(t-u)du donde( í +5+1) Jo

i 1 { - r - } = H(t) = e~t2t sen íj ^ + í +I 2

I ’1 { 2 1 } - G(t) = e -'/2 s e n ^ fj +5+1 2

¿ _1 {—5— ---- - } = f e ~ “/2 sen— u£ 1 sen— (t-u )dtV + í + 1 ) 2 Jo 2 2

4-^3 _j/2 ^3 2 _//2 ^ 3= - ^ — e sen — r — te " z cos — r 9 2 3 2

941) / ( , ) 1( 5 - l ) Z(5 + 2)

Solución

v A B C 1 . 1 1 3 v5 + 2 + s-1 + ( j- 1 )2 9 5 + 2 5 - l + ( ,- i> ? *

F(r) = i x - 1{ - Í - — L + __3 _ _L(g~2/ _ e , +3(e/y9 5 + 2 5-1 ( j - l ) 2 9 ’

942) n s ) = 2f - ~ 2f S5 -35 + 2

Solución

. . . 252 -2-725 2 j2 -2 -J ls/ ( J ) = „4 ,„2 = -------------------5 —35 + 2 (5 —2)(5 —1)

466

¿ g | c | ü _ -2V2 | V 2-11 - J 2 + 1

i - s Í 2 + s + J l + 5 - l + 5 + l í + V 2 + 5 -1 5 + 1

. -2V2 V2-1 V2+1. . t ,I *{---------- -+ ---------} por lo tanto:5+V 2 5 -1 5+1

F (í) = -2 ^ 2 e ~ ^ ' + (V 2 - l)e' + (^ 2 + l)e- '

1 _+ 1

Solución

943) / ( 5 ) = - ^5 + 5 + 1

m = L~l { ■ ■1— -} = I - ‘ {------ 1 = - | e - , /2 sens +s + 1 ( í + I ) 2 + ( l l ) 2

v 2 2

944) / ( 5 ) = - 15 — 1

Solución

1 1 _ A B Cs + D^ ” í 4 - 1 ” ( 5 . - . 1 ) ( 5 + 1 ) ( 5 2 + 1 ) ” 5 - 1 + 5 + 1 + J 2 + 1

/ ( i ) = ^ [ - ^ — — 2~ ] entonces:2 r - i 5 +1

F (í) = I _1{ - ( - / -------r — )} => F(/) = ^ (c o sh f-se n í)2 s -1 s +1 2

945) m = se2ss 2 +4

Solución

I “1 — } = eos 2/ => L 1 {— — } = sen(2r - 4)w(í - 2)5 +4 5 +4

467

e-'2946) f(s) =

s 2 +9

Solución

l 1{~ T — } = |s e n 3 r => L l { - ----- } = - s e n 3 ( í - - ) u ( r - - )s + 9 3 V + 9 3 2 V 2

947) f ( s ) = j 3 + 9 s2 + 27j + 25(í + 1)3(s + 2)2

Solución

6 1/(•*) = --------r + -

948) /(* ) =

(5 + I) 3 (s + 2)2

m - 1~' ' 6e" r ' <->+ •~2' (1>(i + 1) (j + 2) 5 5

F(t) = 3e~'t2 +te~2’

2s + 5

s 2 - 6 s + 12

Solución

„ V 2j + 5 2 (^-3 ) + l lj (S) - ------------ _ --------- ------ entonces:s 2 -6 5 + 12 ( j - 3 ) +3

r l {- — 23 ) >+1 i r 1 {— - — }(5 — 3) + 3 (s — 3) + 3

F(t) = 2e3' eos V3í + -^L sen ~¿3ts

468

949) / ( í ) = ^ — i 2í 4 + 2 s¿ - 3

Solución

/ ( s ) = —— ~ ~------ = —7-----~ 2----j +2s - 3 (s +3)(í -1)

/ ( Í ) = T ( - 2 Í , 24 -1 s ¿ +3

5 -1 5 +3

1 J íF (í) = — (senh t ------- sen 31)

4 3

3- - S

950) / ( * ) - - y -

Solución

3

{-y> = í =* =5- 2 Z

F (í) = ( í - | ) « ( í - | )

[ECUACIONES DIFERENCIALES DE COEFICIENTE! c o n s t a n t e s ]

Consideremos una ecuación diferencial lineal de segundo orden de coeficientes constantes.

x"(t) + axx'{t) + a2x(t) = f ( t )

y las condiciones iniciales x(0) = x0 , x' (0) = x , , se toma la Transformada de Laplace en la ecuación (1) es decir:

L{x (í) + a¡x (t) + a 2x{t)} = L { f( t )} , por propiedades se tiene:

í 2 x(s) - íx' (0) - x(0) + a is x ( s ) -a l x(0) + a2x(s) = F(s)

( s 2 + a , +a2)x(s) = / r(í) + x0í + x1 + a tx,

x ( í ) =+ + x x + axjCj

s + axs + a2

ahora tomamos la transformada inversa.

x(f) = L"1 + + + fli*i Js~ + axs + a 2

que es la solución general de la ecuación diferencial.

Resolver las siguientes ecuaciones:

951) x'+3x = e ~2‘ , x(0) = 0

Solución

Aplicando la Transformada de Laplace se tiene:

L{x'+3x} = H e ' 21}

470

sx(s)-x(0 ) + 3x(s) = —l— => (i + 3 ) x ( í ) = ^ - => x(s) =

entonces: x(t) = L~l < + ^ + 3) > = 1 ' f e ~ f e

x( í)= e 2' ~e~3'

952) x ’-3 x = 3r3 + 3í2 + 2í +1, x(0) = -l

Solución

L{x’-3x} = L{3í3 + 3í2 + 2t +1}

18 6 2 1 æx( s) - x(0)-3x(s) = - + — + — + -

s s s s

18 6 2 1 . ( í-3 )x (s ) = -T + T + - y + - - 1

S S S s

18 6 2 1j 4(s -3 ) ' j 3( j - 3 ) ' í 2( s -3 ) ' *(*-3) s - 3

1 , - s 4 + s 3 + 2 j 2 +6s + 18

*(° - i <----------T v ó ) ----------1

í (5 -3 ) S s S s

x(t) = - ( í3 + 2 /2 + 2í +1)

953) x’- x = eos t - sen r, x(0) = 0

Solución

Js + 2)(s + 3)1

}

471

5*(5) - x(0) - X(j) = —- ------- -i—52 +l 52 +l

Z{x'~x} = Z{cos t - sen í} entonces:

g _ | | 1( í - I ) x ( j ) — ---- => x(í) = —----- entonces: x( t)= L ~l {—----- }

s 2 +l s 2 + 1 V + l

por lo tanto: x(f) = sen t

954) x'+x = 2 sen t , x(0) = 0

Solución

L{x'~x} = L{2 sen/}

íx( j ) - x(0) + x(í ) = — => (í -1 )x(í ) = —^r _i_1 „2

x(5) =

s*+1 j 2+l

1 5 1(5 + l)(52 +l) 5 + 1 Í 2 +1 í 2 +l

x ( f ) = r 1{ - L - ^ _ + - ± 4í + l s +1 s + 1

x(t) =e 1 -c o s /+ se n /

955) 2x'+6x = te~3t, x(0) = ~ ~

Solución

L{2x'+6x} = L{te~3t}

2sx(s) - 2x(0) + 6x(j) = -— entonces: (2s + 6)x(í) = ------------- —— -1(í +3)2 ( ,+ 3)2

472

956)

957)

x(.í) = ----- —y — — entonces x(t) = L 1 {----- — - —,.’(í + 3) 5(5 + 3) 5(5 + 3) í (j + 3)

1 e~3' _ e~3í 2 e~3'x(t) = e 3,L{— - } --------entonces: x(í) =

2 5 3 2

x’ '+4x’+3x = 1, x(0) = 3, x' (0) = -2

Solución

L{x"+4x'+3x\ = L{1}

s 2 Jt(f) - sx' (0) - x(0) + 4sx(s) - 4x(0) + 3 x(s) = —s

? 1 ($ + 4s + 3)x(s) = — 2x - 7 entonces:

, \ - 2 s 2 - 7 s - 2 s 2 - 1 s + \ 1 3 2— --------------------------------------— — --------------------------------------------= ------------------------------------1---------------------------

( í 2 +45 + 3)5 5(5 + l)(5 + 3) 3i 5 + 1 3(5 + 3)

x(o=r1{4 - ~ + : 23s s +1 3(^ + 3)

x(t) = - - 3 e - ' + - e -3' 3 3

x”-2 x ’+2x = l , x(0) = i , x' (0) = 0

Solución

L{x"-2x'+2x\ = L{\\

- 1 s x(x) - 53t(0) - x (0 ) - 2sx(s) + 2x(0) + 2x(s) = -

s

473

2 - 2^ -f 2)x(.y) = —- —- 1 entonces: x(s) — ------ —— = - —s 2 2 s ( s - 2 s + 2) 2s

x(t) = L 1 {— —} = por lo tanto: x(í) = - —2s 2 2

958) x' '-5x'+6x = 12, x(0) = 2, x'(0) = 0

Solución

L{x"-5x'+6x\ = ¿{12}

s 2x{x) - 5x(0) - x ' (0) - 55x0) + 5x(0) + 6jt(,y) = —s

2 12 (s - 5j + 6)x(.y) = — + 2^-10 entonces:

, , 2*2 -l í t e + 12 2 r-i,2 . *x (s) ------- z-------------- — => x(í) = L {—} = 2 entonces: x(t) = 2

s(s - 5 s + 6) s s

959) x"+3x'-l = 0 , x(0) = 0 , x'(0) = -3

Solución

L{x' ,+3jc'-1} = 0 entonces:

£ 2 x(s) - sx( 0) - x' (0) + 3 jc(^) - 3x(0) = -

r 2 t \ \ 1 1 / x S + 3 1(s +3s)x(s) = - + - => x(s) = — -------- = —S 3 3j (j + 3) 3s

x(t) = L~l {-^-} = t por lo tanto: x(t) = — s 3

474

960) x''-2x'+\ = 0 , x(0) = x'(0) = i

Solución

L{x' -2jc,+1} = 0 entonces:

s 2 *(.?) - 5jc(0) - x1 (0) - 2sx(s) + 2jc(0) + — = 0s

. 2 ^ 1 $ 1 i(s - 2í)jc(5) = — H---- h----1 entonces:s 2 2

(s -2 ) (x + l) s + l 1 1W 2s(s2 -2 s ) 2 s 2 2 s 2 s 2

, X T - l , 1 1 > 1 1 , . . /X í + 'x(t) = L {— + —y } = - + - por lo tanto: x(t) = —2 s 2s1 2 2 2

961) x”+3x'+2x= 2í2 +1 , x(0) = 4 , x’(0) = -3

Solución

L{jc,,+3jc’+2jc} = L{2r2 +l}

s 2 x(.y) - (O) - x' (0) + 35x(5) - 3 x(0) + 2x(s) = A r + —

2 \ 4 1( j + 3s + 2)x(s) = — + — + 4.S + 9 entonces:

( .♦ 2 X .♦ 1W») - 4J< * « 4 ± í l í l , <«+2X. + lX 4 .’ - 3 . + 2)s s

. . 4 3 2*(í) = 7 ~ ^ + 7T s s s

x(t) = L~l {—— \ + ~ t ) = 4 - 3 t + t 2 por lo tanto: x (i) = 4 - 3 t + t 2s s 2 s 3

475

Solución

*' '-2x'-3x = 3 + It + 3t2, x(0) = x'(0) = l

L{x' '-2x'-3x} = L{3 + I t + 3t2} entonces:

^ n / 2 *(.?) - .sx(O) - *' (0) - 2^(5) + 2 jc(0) - 3*0?) = - + — + —

s s 2 s 3

/ 2 ~ ox / x 1 ^ 3 ^ 2 + 7 ^ + 60 -2 ^ -3 )x (^ ) + .y + l - 2 = -------- ------ entonces:s

( 2 o \ 3^2 +7.V + 6(s -2 x -3 ) jc (» = ------- ----------s +1s

t i \ i . t\ / \ —í 4 + $3 + 3 í2 + 7j + 6(j - 3 )(j+ 1)x(í) = ---------------3-------------j

- í 4 + j 3 +3s2 + 7 í + 6 s 2 + s + 2í 3( í - 3 ) ( í + 1) í

x(t) = L~X{~—— \ -------------------------------- \-} entonces: x(t) = - ( t 2 + t +1)s s s

x " - l x '= -(14f + 5 ) , x(0) = 2, *' (0) = 8

Solución

L {x" - lx '} = -Z,{14f + 5) entonces:

í 2 x(s) - sx(0) - x' (0) - 7sx(s) + 7x(0) = - - -í 2 J

(j 2 - 7s)x(s) - 2s - 8 +14 = --- ■■ 14s

964)

965)

( í 2 - 7s)x(j) = ——y — + 2s - 6 entonces:£

s ( * ) - 2*3 - f 2 - 5 j ~— => ^ ) = 7 + J r + 7 + 7 T ?5 ( j - 7 ) s S S S I

x(Ú = I “1 { - + — + — + —— } porlo tanto: x(0 = 1 + r + í 2 + e 7'w s j 2 s 3 í - 7

x"+2jt'= 6í2, x(0) = 0, x'(0) = |

Solución

L{x' '+2x'} = L{6í2 } entonces:

12,? 2x(.s) - 5*(0) - (0) + 2 - 2x(0) - - y

l 2 3(s2 + 2s)x(s) = — + 2 entonces:

_ 3í 2 +24 . 3 , 1 . 1 ^x ( s ) = i z----------- = — 3 4 ’

• 2j ( j + 2j) 2 s 2 s s

x{t) = - L A { \ - \ + } entonces: x (t) = ^ t ~ t 2 + í 32 s s s

x"+6x'= í , x ( 0) = 0, *'(<>) = - j ¿

Solución

L{x"+6jc’} = í ,{í}

477

s 2 x( s) - sx( 0) - x’ (0) + 6jx(í) - 6x(0) = —-s

s 2 36 36í

T(J)_ ~36 _ (s + 6 )(s-6 )36s 2(s 2 + 6 s) 36í 3(j + 6)

, , j - 6 1 1= ------- r = ------- ¡r + — r entonces:

36 j 3 36s 6s3

~ i l 1 t t 2 —tx( t)= L {------- - + — -} por lo tanto: x(t) = -+ — = --36s 6s 36 12 36

966) x" + x = 2 e ' , x(0) = 1, x' (0) = 2

Solución

L{x* '+*} = -Z,{2ef} entonces:

5- 2x(^) - jx(0) - x’ (0) + x(s) = 2s - l

2 2(s + l)x(s) - s - 2 = ----- entonces:s - l

, v s 2 +s 1 1x(s) =( s - l ) ( s 2 +l) s - l s 2 +1

x(t) = L 1 {—— + — — } = e l + sen r por lo tanto: x(f) = e ' + sen / *y-l s z + 1

478

967) 7x”+ 1 4 x '= ( í- - )e 2‘ , x(0) = 2, x’(0) = - 7 ~4 56

Solución

I{7x"+14x'} = L { ( t - - ) e ~ 2'}4

Is 2x(s) - 7sx(0) - 7x' (0) + 14jx(í) - 14x(0) = -— ------ —(s+ 2)2 4(j + 2)

(7j 2 + 14j )x(í ) - 14s+ i - 28 = 48 4(í + 2)

2 , 112s3 + 671j 2 + 1338s+896(7í 2 + 14j)x(í) ------------------------z-------------

8(j +2)

, ' 112j 3 +671í 2 +1338í + 896 JC(iy) = ----------------------- _ -------- entonces:56.í (í + 2)

! 112i3 +671j2 + 1338í + 896 x(í) = L 1 {---------------------- ------------ } por lo tanto: x(í) = 2 -56í (j + 2)3

968) x’'-4x'+4x = ( / - l)e2í, x(0) = 0, x'(0) = 1

Solución

L{x’’-4x'+4x} = L{(l - \)e2' } entonces:

1s x ( s ) - sx(0) - x' (0) - 4sx(s) + 4x(0)+ 4x(í) :

(s 2 - 4 j + 4)x(s) = ---- -— y ----- “ + 1( s - 2 ) s - 2

( s - 2 ) s - 2

+ 2, 56

479

/ x s 2 - 5 s + 7*(.?) = ---------- -— entonces:

(í - 2 ) 4

x(í) = I _1{----- ^ i Z } = (L— t +í)e 2' por lo tanto: x(t) = (-— — + t)e21(s - 2 ) 6 2 6 2

969) 4x' '-Ax'+x = e " 2, x(0) = -2, x' (0) = 0

Solución

L{4x"-4x'+x} = L{etl2} entonces:

4s 2 x(s) - 4sx(0) - 4x' (0) - 4sx(s) + 4x(0) + x(s) = ——s —

2

(4.? 2 - 4s + l)x(s) + 8s - 8 = —— entonces x(.v) = ----- ---- + — —2 j - l (2 s - l ) ( 2 s - l ) 3

2 1 s 2x(f) = L l {--------- - + 8 -------^—} por lo tanto: x(í) = (— + f - 2 ) e ,/2

(2 s - l ) (2 s - l ) 8

970) x''+3x'+2x =e~‘ + e~2‘ , x(0) = 2, x '(0) = -3

Solución

L{x' '+3x'+2x} = L{e~‘ + e ~2t} entonces:

s 2 x(s) - sx( 0) - x' (0) + 3sx(s) - 3x(0) + 2x(s) = —— +- 1s + 1 s + 2

( i 2 + 3s + 2 )x (s)-2 s + 3 - 6 = 2 í + 3(s+ l)(s+ 2 )

480

(2s + 3)(s + 3s + 3) ^ i (2s + 3)(s + 3s + 3)x(s) = -------- ------------- entonces x(í) = L l {-------- —---------

(s + 1) (s + 2) (s + 1) (s + 2)

„ 1 1 1 1 ,x(t) = L {----- + -------- t- + ----------------- r-}í + 1 (s + 1)2 s + 2 (s+2)

x(í)=e~t + te~t + e~2t -te~2t porlotanto: x(t) = (\ + t)e~t + ( l - t )e ~ 2t

971) x''-x'-6x = 6e3' + 2e~2' , x(0) = 0, x' (0) = |

Solución

L{x' '-x'-6x} = L{6e3/ + 2e 2t) entonces:

s 2 jt(j) - jx(0) - jc’ (0) - £*($) + x(0) - 6*(.y) = —— + ^s - 3 s+2

/ 2 ¿\ / \ 6 2 4(s - s -6 )x ( s ) = ----- + ------------j - 3 s+2 5

, „ -2 (2 s 2 -2 2 s -2 7 ) r_ , - 2 ( 2 s 2 -2 2 s -2 7 ) .x(s) = — ¿------ 5-------^ entonces x(í) = l ‘ {— ---------------------- 5-j 1 }

5 (s-3 ) (s + 2) 5 (s-3 ) (s + 2)

x(í) = — L 1 {------- -—----- -——} por lo tanto: x(í) = — [6íe3' - 2te~2’ ]5 ( s - 3) (s + 2)2 5

972) x"+4x'+4x = t2e~2‘ , x(0) = x'(0) = 0

Solución

L{x' ’+4x'+4x} = -L{ 2 - e 2' } entonces:

„2 , ................................................ . . . 2s x(s) - sx(0) - x' (0) + 4s(s) - 4x(0) + 4x(s) =(s + 2)3

481

( í + 4 í+ 4 )x (í) = -------- - => x(s)= --(j +2) (j + 2)

x(r) = ZT1 {-— => x(^) = 2e-2,U x{ \ ) J ~ e - , (s + 2) í 5 12

por lo tanto: x(r) =< v 2'

12

973) x' '-x ' = 2 sen f , x(0) = 2, x’ (0) = 0

Solución

L{x' ' - x ' } = L {2 sen í} entonces:

s 2 x(s) - sx(0) - x' (0) -sx(s) + x(0) = ~s L +1

, 2 \ % 2 _ .. - 2( j 3 + j - 1)( í + s)x(j) = —— — 2 s => x(s) = — --------- — -s 2 + 1 (s —s)(s + 1)

_1 1 s 1x(t) = L {— - + —5-,— } por lo tanto: x(t) = e‘ + c o s /-s e n í

s - l J 2 +l i 2 +l

974) x' '+9x = 18 eos 3 í , x(0) = 0, x ’ (0) = 9

Solución

L{x’ ’+9x} = 18£{eos 3} entonces:

s 2x ( s ) - íx(0) - x' (0) + 9x(j) = - -1--—s +9

18(s 2 + 9)x(¿) = —-+ 9 entonces:s 2 + 9

(s +9) (i +9)

por lo tanto: x{t) = 3(t +1) sen 31

s e n 9 /975) x' '+4x = 4 eos 21-------— , x(0) = 0, x' (0) = -

t < 2 8

Solución

sen 2tL{x' *+4x} = L{4 eos 2 í----- — } entonces:

45 1s x (5 )-5x (0 )-x '(0 ) + 4x(5) = —----------- —

s + 4 s + 4

<2 AX / 45-1 1 , A s 2 + 325-( 5 + 4 ) x ( 5 ) = — r-------------------------------------------+ - = > * ( • ? ) = -

s 2 +4 8 8 (í2 + 4 )2

2x(r) = L~l {- +t 32- y ) por lo tanto: x(í) =

8(s2 +4)

976) x' '+2x'+3x = t eos t , x(0) = - , x' (0) = 0

Solución

L{x' ’+2x'+3x} = L{t o s í} entonces:

„2J ¿ x( s) - sx(0) - x' (0 )+ 2ix(j) - 2x(0) + 3x(í ) =(s

s 2 s 2 - 1o + 2 í + 3)x(í ) + — + — = —------ - entonces:4 4 (j 2 +1)2

s 5 +2s4 +2s3 +s + 6 , . T-\ ,x(i) = ---------------------- ------ r- => x(t) = L l {-4(í + 2 í + 3)(j +1)

4

. „ cos2í.í(sen 2/ + —-— )

, 2 - l2 + l)2

s 5 + 2s4 + 2 i3 + s + 6 , 4 ( i2 +2s + 3 )(i2 +1)2

x(/) = -—- (eos t + sen í) 4

483

1977) x"-2jc'+10jc = cos3r, x(0) = 1, x'(0) = ~

Solución

L{x' '-2x'+\0x} = Z{cos 3r} entonces:

j 2 x(.y) - sx(0) - x' (0) - 2.yjc(1y) + 2x(0) +1 0x(» = Ss 2 + 9

(s2 -2 s + 1 0 )x ( s ) - s ~ — +2 = - 537 í +9

. . 37s3 + 373s-494 - 56s2x(.y) = — — ------ ——-----------entonces:37(s +9)(s - 2 s + 10)

! 37s3 + 37 3 s-5 6 s2 -4 9 4 ,x(t) = L {------- --------- ---------------} por lo tanto:37(s + 9)(s - 2 s + 10)

(36ef + l)co s3 f-6 sen 3 / X(t) = ----------- L— --------------37

978) x' '-4x + 5x = 2e2í(sení + eos/) , x(0) = 1, jc’(0) = 2

Solución

L{x' ’-4x'+5x} = 2 L{e21 (sen t + cot)} entonces:

s 2x(s) - sx( 0) - x' (0) - 4sx(s) + 4x(0) + 5x(s) = 2[------ ------- + — -—\ — 1(s -2 ) +1 ( s -2 ) +1

484

j ( s - 1)(s -4 s -u5 )x ( s ) -x -2 + 4 = 2 -------- t——

( s -2 ) +1

s 3 - 6 x 2 + l ls -1 2 r- i , s 3 - 6 s 2 + l l s - 1 2 ,x(s) = --------- --------:------------ => x(t) = I {—-r ---- ——r —}

((s -2 ) + l)(s -4 x + 5 ) (s - 4 s + 5)(s - 4 s + 5)

/. x(t) = [(1 — í)cosí + (l + /)sen /]e2'

979) x’" - x " = 0 , x(0) = 1, x'(0) = 3 , x"(0) = 2

Solución

X{x"'-x"} = 1(0} entonces:

s 3 x(s) - s 2x(0) - sx’ (0) - (0) - s 2 x(s) + 5x(0)+x'(0) = 0

(s3 - s 2)x ( s ) - s 2 - 3 s - 2 + s + 3 = 0 entonces:

, x s 2 + 2 s - l 1 1 2x(s) = — -----— = — + — + ----- entonces:s —s s s s “ 1

1 1 2x(t) = L~l {----- 1— r-H-------} por lo tanto: x(t) = - \ + t + 2e‘

s s 2 s —1

980) x '" -4 x '= l , x(0) = 0, x’(0) = - i , x " (0 )= 0

Solución

í,{x'"-4x'} = ¿{1}

s 3 x(s) - s 2 x(0) - sx' (0) - x" (0) - 4sx(s)+ 4x(0) = ~

485

(j 3 -4s)x (s) + ^ = -4 s

x(s) = 4 - 5 2 = ( j - 2 ) ( j + 2) = _ J _4í (s 3 - 4 í ) 4í 2(í -2 ) ( í + 2) 4í 2

x(í) = - L l {—i—} = - — por lo tanto: x(t) = - —4í 4 4

981) x,”+x"-2x = 5 e ', x(0) = 0, x’(0) = l , x"(0) = 2

Solución

£{x"’+x"-2x} = L{5e' } entonces:

j 3 x ( í ) - j 2 x(0) - sx' (0) - x" (0) + j 2 x( j ) - íx(0) - x' (0) - 2x(s) = —5 -1

(í 3 + í 2 - 2 ) x(j ) - í - 2 - 1 = —5-1

3 2 5(s + 5 -2)x(5) = 5 + 3 + ----- entonces:5 -1

, . s 2 +2s + 2 s 2 +25 + 2 x(s) = r-----«-----= -----------}------------

s 3 + s 2 - 2 (5 - l)(5 2 +25 + 2)

x(,y) = - i — => x(t) = Z~1{——} por lo tanto: x ( t)= e ts - l 5 -1

982) jt,,+* = 8>/2sen(f+;r \ x(0)^=0, x'(0) = -44

Solución

L{x' '+*} = 8V2Z{sen(í + -^)} entonces:

s 2 x( s) - sx(0) - x'(0) + x(í ) = 8Í —— - + )j 2 +l j +1

( , 2 + l ) x ( í ) = 8 ( 4 l L ) _ 4 = z V r ^ l 2 )

5 + 1 5 " + l

_ 4(52 - 2 5 - 2 ) x(s) = — ———-r —- mediante convolución

( i 2 + i)2

x(t) = L 1 { — -—— = 4r(sen t - eos t)(í 2 + D 2

por lo tanto: x(í) = 4í(sen t - eos t)

983) x’'+4x = 2 eos2 t , cx(0) = x(0) = 0

Solución

í.{x"+4x} = 2I{cos t}

s 2 x(s) - sx(0) - x' (0) + 4x(s) = - +S s +4

2 . ->\ o / ,27 2(s +2) , , 2(s +2) „r 1 2f + 4 )x (j) = — ------ entonces: x(s) = — ------ = 2[—-------------------- ------ -

s + 4 ( í + 4) s 2 + 4 ( í + 4)

487

aplicando el teorema de convolución se tiene:

i 1 2x(t) = L~ {2(—---------- - ----- -} entonces: x(t) = - (1 - eos 2/ + í sen 2í)

í -t4 (s +4) 4

984) x"+x’ = l , x(0) = 0, x'(0) = 1

Solución

L{x' M-*'} = Z{1} entonces:

s 2 (x) - soc(O) - JC'(0 )+ jx(í ) - x(0) = -s

(s2 +s)x(s) = ^ + l => x(S) ----- ^ - = - 12 .y2

x(t) = L 1 {-^-} = t por lo tanto: x(t) = t.y

488

SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES.

Supongamos que se necesita hallar la solución de un sistema de dos ecuaciones diferenciales lineales de coeficientes constantes.

... (1)

que cumple las condiciones iniciales: x(0) = x0, y(0) = y0

ahora se toma la transformada al sistema de ecuaciones diferenciales

L{— ) = alL{x} + blL{y} + L { f{(t)} dt

L{‘ } = a 2L{x)+b2L{y) + L { f2(t)} dt

sx( s) = fl] x(s) + ¿>j y(í) + F, (t) + x0 ^ ( s ) = a 2x(s)+b2y(s) + F2(t) + y 0

= a lx+ b l y + /] (t)dtdy— = a 2x + b2y + f 2(t) dt

mediante la regla de Cramer se tiene:

x(s) = f ( s ) í x(t) = L 1 {x(s)}y(s) = g(s) ** {•>,(,) = L-'{y(s)}

y se obtiene la solución del sistema lineal de ecuaciones diferenciales.

489

En los siguientes ejercicios hay que resolver los sistemas de ecuaciones por el método operacional (Transformación de Laplace).

985)

dxdt

+y = 0

dy— + x = 0 dt

; x(0) = 2, y(0) = 0

Solución

L { ^ } + L{y}=0

¿ Á + H y } = 0 dt

sx(5) - x(0) + y(5) = 0 ^ (5 )-y (0 )+ x (5 ) = 0

i j [sx(5) + y(5) = 2reemplazando datos 4 por la regla de Cramer

lx(5)+jy(5) = 0

*(*) =

2 1

0 5 2 5

5 1 5 2 - 1

1 5

x (t) = L 1 {*(*)} = L 1 = 2 cosh t =e ' +es 2 - l -

Rpta. x(t) = e ' +e '

y(t) = e~‘ - e '

986)

dx „— + x - 2 y = 0 dt

dy— + x+ 4 y = 0 dt

! x(0) = y (0 )= l

Solución

Tomando Transformada de Laplace

490

Í ( í+ l)x ( í) -2 y ( í) = l , , J „{ , por la regla de Cramer[W + ( s + 4 M j ) = 1

1 - 21 5 + 4 5 + 6 4 3

5 + 1 2 5 2 + 5 5 + 6 5 + 2 5 + 31 5 + 4

y(í) =

5 + 1 1

1 1 5 3 2

5 + 1 - 2 5 2 + 5s + 6 s + 2 5 + 31 5 + 4

y(t) = 1 - ) = 3 e 2' - 2 e ~ 3'5+2 5+3

¡x(t) = 4e~2' -3e~3' por lo tanto: <

1^(0 = 3e ~ 2e

dx- d t= ~y

^ = 2 (x + y) dt

; x(0) = y(0) = l

Solución

L{^-} = -L{y)

L Á = 2L{x} + 2L{y}dt

Ííx(í) - x(0) + y(.v) = O W c o - j(0 ) - 2x(s) - 2y(s) = O

|jx ( j )+ y ( í) = l [(¿ -2 X y (j)-2 x (j) = l

, por la regla de Cramer

x(s) =

1 11 j -21 s - 3 s -1s 1

- 2 i - 2 l( j - i r + i ( j - i r + i (j - i) 2 + i

x(t) = L 1{ —- } - 2 L l {-— L— } = e ' c o s r -2 e ' senf( s - l ) 2 + l ( i - l ) + l

y(s) =

s 1 - 2 1 J + 2 s -1

s 1 - 2 s - 2

( j - l ) 2 +l (j -1 )2 +1 (j -1 )2 +1

y(t) = L ! {-------------- 1------- ------- } = e ' cosí+ 3e ' senr(j -1 )2 +1 (í -1 )2 +1

Rpta.¡x(t) = e' c o s r -2 e ' senr

I y(t) = e ‘ eos t + 3e‘ sen t

988)

dx -— + 2 y = 3r dt

dt

; x(0) = 2 , y(0) = 3

Solución

492

L Á + 2L{y} = L{3tl dt *

L Á - 2 L { x } = L{4\ dt

sx(s) - x(0) + 2y(s)

sy(s)-y{Q )-2x(s)

íx(s) + 2>'(s) = — +2s , por la regla de Cramer

- 2x(s)+ sy(J) = —+3s

x(s) =

- y + 2 2s—+ 3 5

2ss 2

- 2 s

6s + 5s 2 + 4 í ( j 2 +4)

3 3s-------+- 12x(s) = 2 - . .

s 2 + 4 2x s +4 s +4

x(t) = L~\-5s 122 + 4 2s s 2 + 4

x (t) = 5 eos 2t - — - 12 sen 21

y(s) =

s —+2 s

- 2 - + 3 s 3 + 8

S 2 +4 52(52 +4)

y(0 = r 1{i 35 + 8

5 2 +4 5 ( 5 +4) 2} = — t + 3 eos 2t +

13

45

sen 2/

3 13y(t) = — í + 3 eos 2t + — sen 2í2 4

989)

dt

dx ,

; x(0) = y (0 )= l

Solución

L { ~ )+ L { x } = L{y}+L{e'}

L{~ } + L{y} = L{x} + L{e'}

sx(s)-x(0) + x(s) = y(s)+

sy(s) -y(0 )+ y(s) = x(s) +

(s + 1)x(ì) - ( j) = _ L + 1S ~ 1

(s + O X i) - x(s) = —— +1J - l

, por la regia de Cramer

x(ì ) =

ì -11

s - 1

+ 1 -1

+ 1 s + 1 s + 2 _ s - l

+ (s+2)

ì + 1 -1 -1 j+ 1

s ¿ +2s(* + l)2 - l (ì -1)(j 2 + 2 j )

y(s) =

J + l — +l| j -1

-1 — +li j -1 s 2 + 2 j

ì + 1 -1 -1 s + 1

[ ( J -1 ) '- 1 ] ( J -1 ) s - l

y ( t) - L 1 {— -} = e' por lo tanto: j - 1

\x (t) = e l

W ) = e ‘

494

990)

dx dy ,y + edt dt

dt dt

; x(0) = y(0) = 0

Solución

L { ^ - } + L { % = L{y}+L{e‘} dt dt

2 Z . Á + + 2 L{y) = I{cos t }dt dt

, operando tenemos

5x( j) - x(0) + sy(s) - y( 0) = >>(ì ) +s - l

2sx(s ) - 2x(0) + .?_y(i)->'(0) + 2y(5) = —----s +1

íx(í ) + (í -1)^(í ) =s - 1 , por la regia de Cramer

2ìx(ì) + (.5 + 2)y(s) = - y — s +1

x(s) =

s - ls

s 2 + 1

s - l

s-1-2

s s - l 2 s s + 2

s+ 2 s +s------- 1— -----S - 1 J 2 +l- ( s 2 -4 s )

x (s )= ____________________=- ( s - l)(i 2 + l)(i 2 - 4ì)

_ 1 1 11________3s | _____ 5 2s J - l 3 4 ( j-4 ) 17(s2 +1) 17(52 +1)

495

2 34 17 17/v» 1 t 11 4, 3 5x(t) = — e ' ----- e ----- eos t + — sen t

y (í) =2s

s - 1 s

52 +l2s

s s - 1 2^ 5 + 2

5 + 1 S - l- ( s 2 - 4 s)

2 t 22 4, 41 = — e + — e + — cy(t) = - —e' h-----e " h-----eos í ------sen t3 51 17 17

991)

dx* = y ~ Z

^ = x + y ; x(0) = i , y(0) = 2 , z(0) = 3

dz— = x + z dt

Solución

L { ~ } = L {y \-L {z}

L {^} = L { x } + L { y }

L { ~ } = L{x} + L{z) dt

5*(5) - x(0) = y(s) - z(s)

syis)-y(Q) = x(s) + y(s) sz(s) - z(0) = x(s) + z(s)

s x ( s ) - y ( s ) + z ( s ) = l

- x(í ) + (x + 1)^(í) = 2 , por la regla de Cramer -x (5 ) + (5 + l)z(5) = 3

496

x(s) =

1 -1 12 2 + 1 03 0 5 + 1 (s + l )2 - ( s + l) _ 1

5 -1 1-1 5 + 1 0-1 0 5+1

5(5 + 1)2 5 + 1

x ( s ) =1

5 + 1x(t) = L 1{ ^ - \ = e -‘

y(s) =

5 1 1- 1 2 0 - 1 3 5 + 1

5 + 1

25(5 + 1) + 5 25 -1 1-1 5+1 0-1 0 5+1

5(5 + 1)2 í + i ( s + i ) 3

y(t) = I “1 { ^ - + - - L r } = 2e~l +e~’t 5 + 1 (5 + 1)

Z(5) =

5 - 1 1 - 1 5+1 2- 1 0 3

5 - 1 1

-1 5+1 0-1 0 5+1

3 1- + -

Z(o = r 1{— +1

5 + 1 (5 + 1)

35(5 +1) + 55(5 + 1)2 S + \ (5 + 1 ) :

r} = 3 e ”'+ e " 'í

La solución es:

x(t) = e -

y(t) = 2e~' +te~' + te~'

z(í) = 3e~' +te~'

497

992)

dx~Jtdydtdzdt

— z ; x(0) = 5 , y(0) = O , z(0) = r

= 4y

= 4 y + z

L { ^ } = 4L{y)+L{z)

í { j } = ¿{z| dt

L { ~ ) = 4 L{y)

Solución

íx(j) - x(0) = 4y(s) + z(s) í>'(í )-> '(0) = z(j ) sz(s) - 2(0) = 4y(.v)

íx ( í- ) -4 y (j) -z ( í) = 5 ■ sy(s) - z(s) = O , por la regla de Cramer- 4 y ( i) + .sz(.y) = 4

x (j ) =

Tti*1

0 í -14 - 4 s 5s2 + 4 í - 4s - 4 -1 s(s2 - 4 )0 í -10 - 4 s

x(í) = Z,-I{ i + —s s - 2 s+ 2

1} =l + 3e2' + e~2'

x(t) =l+3e2r +e~2>

498

y(j) =

s 5 -10 0 - 1

0 4 í 4ss - 4 -1 0 í -1 0 - 4 i

s(s2 - 4 ) s 2 - 4 s-

z(s) =

s - 4 5 0 5 00 - 4 4 45 4 5

5 - 4 -10 5 - 10 - 4 5

5( 5 2 - 4 ) 5 2 - 4

Z(0 = L~x { *S } = 4 cosh 21 = 2e2' + 2e~2' s - 4

z(t) = 2e2' + l e -21

993)

dx . dy— + 2 — + x + y + z = 0 dt dtdx dy— + — + x + z = 0 dt dtdz dy--------— y = 0dt dt

; x(0) = y(0)=l

Solución

2 s + 11

, z(0) = -2

499

L {d t ] “ 2L{d t ] + z w + L {y}+ L {z}= 0

' L{— } + £{-—} + L{x} + Z,{z} = 0 , operando tenemosat ai

ix (i) - x(0) + 2sy(s) - 2y(0) + x(s)+ j>(j)+ z(s) = 0• sx(s) -x (0 ) + jy(x) - (0) + x(s) + z(s) = 0 jz (ì) - z(0) - 2iy(i) + 2^(0) - y(i) = 0

( s + l)x(s) + (2 s + 1)>>(ì)+ z(s) = 3 - ( j + l)jf(j) + sy(s) + z(s) = 2 , por la regia de Cramer

- (2s + l).y($) + sz(s) = -4

3 25 + 1 12 5 1

- 4 “ (25 + 1) s _ 3(s + l)2 -2 (2 j + 1)(ì + 2 ) - 2 5 + 35 + 1 25 + 1 1 - j (ì + 1)2 5(5 + 1)5 + 1 5 1

0 - (2j +1) s

5 + 1 3 15 + 1 2 1

0 - 4 5 - s O + l) 15 + 1 25 + 1 1 - i ( i + l)2 s + l5 + 1 5 1

0 (2s+1) s

y(£ = L l { - U = e“' => y(t) = e-‘5 + 1

Z(j) =

s +1 2 s +1 3j+ 1 s 2

0 - ( 2 j +1) - 4

5 + 1 2s+\ 1j + 1 s 1

0 - (2s +1) s

(5+1)(2j +3) 1___ 3

- s ( j + l)2 s + 1 s

z(/) = L~l {—--------------------------------- } = é T '-3 => z(t) = e~' -3ì+ 1 s

1 3

994)

* _ & _ 2 * + 2 , , i _2 , dt dtd 2x dy

+ 2 — + x = 0x(0) = y(0) = x’(0) = 0

A

Solución

L & ~ U r f ) ~ 2L{x} + 2L{y} = I{1 - 2t) at at

, operando tenemosI{— }+2!{^-} + I W = 0

¿ i'' dt

sx(s) - x(0) - jy (j) + (0) - 2x{s) + 2y(s) = ~ ~ \s s

s 2 *(5) - 5*(0) - Jt(0) - 2sy(s) - 5j>(0) + *(5) = 0

( í - 2 ) x ( í ) - ( i - 2 M í ) = i - - 4s s , por la regia de Cramer

(5 2 + 1)jc(5) + 257(5) = 0

501

x(s) =

1 2 / ^5 S2

O 2 s 2 - —

s - 2 - ( s - 2)s 2 +l 2s

(s -2 )(s + l) s(s + l)2 s s + l (s + l)

s s + l (í + i) :-} = 2 -2 e~ ‘ -2te~

y(s) = -

s - 2 1 2

s 2 +l2 s 2

0 2 1 2 2s - 2 - ( s - 2 ) i s 2 s+ l (s + l)2

s 2 +1 2s

-------r ------ ----------- 7 } entonces: y ( t ) - 2 - t - 2 e - 2 te"s s 2 S + l (j + 1)2

995)

d 2xd t‘

d 2y

= y

d t2= X

x(0) = y(O) = 1, x'(O) = 2 , / ( 0 ) = 0

Solución

2B ¿ - ± ) = L { y )dtd 2yL {— =dt

I s x(s) - sx' (0) - x(0) = y(s)

(s 2y(s) - sy' (0) - y{ 0) = x(s)

, por la regla de Cramer

502

996)

x(s) =

2 s+ l -11 s ; 2 s 3 + s 2 +1 2 1

s 2 -1 -1 s :

?4 -1 í - 1 s 2 +l

x(t) = L 1 {—í— + — } = 2e' + sen t s - 1 S + l

y(s) =

s 2s + l -1 l ( j + i r s + i 1 1

s ¿ -1 -1 s :

s 4 - l ( s - l ) ( s 2 +l) s - l í 2 +l

y (0 = L 1 {—-t “— } =e' - sen; => v(t) = e' - s e n /s - l s +1

d 2x- T T = x ~ 4y

, , x(0) = 2 , y(0) = 0 , x’ (0) = — 3 , / ( 0 ) = ^ -d 2y 2

2 = - * + > ’d t2

Solución

d 2xd t2 * - j s 2x (s )-sx '(0 )-x (0 ) = x(s)-4.y(s)

r , . , , . | s 2y(s) - s / ( 0 ) - y(0) = -x ( s ) + _y(s)I{— í - )= -L {x ) + L{y\

dtí i i,

(s2 - l)x (s) + 4y(s) = 2 - f í sJ J , por la regla de Cramer

x(s) + (s2 - l)y (s ) = — — s

503

jc(j ) =V3 2 ,------ s s -12

2 ~ j3 s 4

5¿ -1 41 s 2 - ì

52 +l 5-1-^3

x(t) = L-1{ S52 +l 5 + V3

-— 1 = cos/ + e

y(i) =

52 - l 2 -V 3 j

1 ------ s2

5 ^ - 1 41 s 2 - Ì

2 ( 5 2 + 1 ) 2 ( ì + ^ 3 )

y(t) = L i { s } = — c o s i- — e2 ( 5 2 + 1 ) 2 ( j + V 3 ) 2 2

997)

d x dy ,— T + — = e ' - x d t2 dtd 2 y dx

+ — = 1d t2 dt

, x (0 ) = l , y(0) = 0 , x'(0) = 2,

Solución

</r dt

L { ^ l i + L { ~ ) = L{1\ d t¿ dt

, operando tenemos

52 x(5) - sx' (0) - x(0) + y(s ) = —----- x(5)5 - 1

*2y ( s ) - s y ‘ (0 )-y (0 ) + x(i) = -

/ ( 0)

504

998)

? 1(s +1 )x(s) + y(s) = 2s + l +-----s - 1

2 1jc(5) + 5 y(s) = - s + —

s

, por la regia de Cramer

x(j) =

25 + 1+ 1 15-1

1----5 525

52 +l 11 52

1 1 -J- 152 3654 5 -1

. 3 2 J 12 5 + 5 + ---------------+ 5_________ 5 -1 5

s 4 +s 2 - 1

, -1 ,1 1 . 1V 3654 5 -1

x(t) = t - — + e ‘ 6

y(s) =

i 2 +l 25 + 1 +-----5-1

1 - 5 + -5

52 +l5(5 + 1) + ---------25-1------- , , .5 5-1 1 , 1 1

5 + 1 11 52

54 +52 - l 5 24255 i - 1

y(t) = L 1 {-+■- ------i—r} entonces: y(t) = \ + - ^ - e '

d 2xd t1

d 2y

s 24 5 ì - 1

+ x+ y = 5

24

, x(0) = y(0) = 0 , x'(0) = / ( 0 ) = 0

dt1-4x -3 j> = -3

Solución

505

L* r - y } +L{x) + L{y) = ¿{5}dt1d 2yL { - f } - 4 L { x } - 3 L { y } = L { - 3 }dt

, operando tenemos

i 55 x(5)-5x'(0)-jt(0) + jt(5) + j>(>) = —

s 2y ( s ) - s y ' ( 0 ) - y (0 ) -4 x ( s ) -3 y (s ) = - -

(s2 -l)x(5) + > (5) = - s

- 4 x(ì ) + (ì 2-3 W s) = - -, por la regia de Cramer

x(s) =- 3- s 2 -3

5j

s ¿ + 1 1- 4 s 2 -3

(ì 2 -1 )2

x(t) = L '{—^ — } = 12coshí - 1 2 - —fsenh t2(s2 - l ) '

x(f) = 12 co sh í-1 2 — isenhr 2

^(5) =- 4

+1 1

- 4 52 -3|

-, I7

(s2 - i ) 2

506

y(t) = L '{——j— - y } = 1 tsenht - 17(cosh? -1) j ( j -1)

v(0 = 7i. senh / - 1 7(cosh / -1)

999)— + 4v + 2x = 4/ + l dtdy 3 2——+ x —y = — f dt 2

x(0) = y(0) = 0

Solución

l Á + 4 I M + 2 IW = I{4í + l} at

L Á + L { x } - L { y } = L { - -} at l

sx(s) - x(0)+ 4y (ì) + 2x(s) = A r + —s 2 S

(s + 2 )x(s) + 4 _y(i)= ^ - + i = S -s s , por la regia de Cramer

*(■*) + ( j - lM - 0 = - ys

x(s) =

4 1 — + - 4s 2 s

7 -s+ 2 4

1 J - l l

■r3 + 3 ^ 2 — 4 j —12

j 3(í 2 + J - 6 )

x(j) =s(j 2 + ì -6 ) 2(ì 2 + 5 -6 )

j 3(j 2 + í - 6 ) ì 3(ì 2 + j - 6 )

, a 1 2*(J) = - T + -T s s s s

x ( / ) = / + r

507

y(s) =

s + 2 s + 4

- ( s z + s - 6) 1s + 2 4

1 s - 153(52 + 5 - 6 )

1 ty{t) = L~l {— —} = ----- por lo tanto:s 2

x(t) = t + t

A 0 = - y

1000)

de~dt

di

+ y - 2 x = 0

+ x - 2 y = -5 e‘ seni, x(0) = 2 , y(0) = 3

Solución

L { ^ } + L{y}-2L{x} = 0

/.{— } + L{x) - 2L{y) = -5 L{e‘ sen /} dt

, operando tenemos

5x(5) - jc(0) + y (5) - 2x(s) = 0

sy(s) - y(0) + x(s) - 2y(j) =- 5

( ì - 1 ) 2 + 1 s 2 - 2 s + 2

( s -2 )x (s ) + y(s) = 2

(3s2 - 6 ì+1) , por la regia de Cramerx(i) + ( i -2 ) y ( j ) = -

(ì -1 ) +1

508

x(s) =

2 13s 2 - 6 j + 1

2 * 2 s - 2 i + 2 2s 3 -11s 2 +18s - 9s - 2 1

1 s - 2( j 2 - 2 s + 2)(s 2 - 4 s + 3)

x(s) =2 5 -3 2(j -1)

s 2 - 2 s + 2 ( i - l ) 2 +l ( J - 1 ) 2 +1

. . „ 1. 2(5-1)x(t) = L '{ 7

( s - l ) 2 + l ( i - l ) 2 +l

x(t) = 2e' c o s i - e ' sen/ => x(t) = e' (2 cosí -se n /)

y(s) =

s - 2 2j 3s2 - 6 i + l

s - 2 11 s - 2

3s3 - 1 4 j2 + 1 7 ^ -6 (s2 - 4 ì + 3)(s2 - 2 s + 2)

3 s - 2 3(5 -1 ) +1y(s) = —-----------= -------- -— entonces:52 - 25 + 2 (5 — 1) +1

(5 — 1) + 1 (5 — 1) + 1

y(t) = 3e' eos t + e* sen / => y(t) = e1 (3 eos t + sen t)

por lo tanto:\x(t) = e '(2 e o s / - s e n t)

I y(t) = e1 (3 eos t + sen t

509

A P E N D I C EDERIVADAS ELEMENTALES

!) y = f ( x ) = c = > ^- = f ' ( x ) = odx

2) y = k f (x ) = c=> — = k f '(x )dx

3) y= f ( x ) ± g ( x ) ^ ^ - = f ' ( x ) ± g ( x )dx

4) y = f { x ) = x n => — = f ' ( x ) = nxn~1dx

5) y = f ( x ) g ( x ) = > - ~ = r ( x ) .g ( x ) + f ( x ) .g ' ( x )dx

f ( x ) dy g ( x ) . f ' ( x ) - f ( x ) . g ' ( x )6) y = — =>— --------------- 2---------

g(x) dx g(x)

7) y = ( / ( x ) ) ndx

DERIVADAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS Y SUS INVERSAS

dy1) y = 3en(/(x)) => — = cos f ( x ) . f ' ( x )

dx

2) j = cos(/ (* ) ) =* ^ = - sen( f ( x ) ) . f ' ( x )dx

3) J = tg(/(jc)) => — = sec2(/(x ) ) ./" (x )dx

4) y = c tg ( f (x ) ) => — = -cosec2 ( f ( x ) ) . f ' ( x )dxdy

5) = sec(/(x )) => — = s e c ( /(x )) .tg ( /0 ) ) ./ '(x )dx

6) _y = cosec(/(x)) => — = ~cosec( f (x))£ig(f (x)) . f ' (x)dx

510

7) y = arc.senif (x))

8) y = arc.cos(f (x ))

9) y = are. tg (/(x )) =

10) y = arc.cig(f{x))

dy / '(* )dx •y/T -/2(x)

dy -/■ (* )—

dx V1_/ 2wdy / ' ( * )dx \ + f 2(x)

dy

dx 1 + / (x) dy / ’(x)

11) y = arc.sec(f(x))1

dy - / ' ( * )12) y = arc.cosec(/(x)) => — =

dx 1 / w l V / 2 ^ ) " 1

DERIVADA DE LAS FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS

¿/v loe c1) y = logfl( / (x ) )= > - j-= " a *0,1

dx f ( x )dy / ' ( * )

2) ,y = ln (/(x))=> — = ——dx / ( x )

3) y = a f{x) => — = a f{x).Ln a . f ' ( x )dx

4) J = edx

5) y = ( f ( x ) g{X) ^ — = g ( x ) ( f ( x ) f i*)~i . f ' ( x ) + ( f ( x ) f (X)M f( x ) ) .g ' ( x )dx

DERIVADAS DE LAS FUNCIONES HIPERBOLICAS Y SUS INVERSAS

dy1) y = s e n h ( /(*)) => — = cosh ( / ( * ) ) • / ’(*)

dx

dy2) v = c o s h ( /(x )) => — = s e n h ( / (x ) ) . / ' ( x )

511

r = tgh(/(jr)) => — = sech2( f ( x ) ) . f ' ( x ) dx

dv 94) ,y = c tg h (/(x )) => — = -cosech ( f ( x ) ) . f ' ( x )

dxdy

5) y = sec A ( /(* ) ) => — = -sec A(/(x)).tgh( f(x ))./'( jc )dxdy

6) _y = coseh(f(x)) => — = -cosecA( f (x)).ctgh( f(x)). f ' ( x )dx

7) j = örc. senh(/(x)) => — = •a/ / 2W + 1

¿V + f (*) 8) j; = <2rc.cosh(/(x)) => — = •

¿¿r ¿ í 2(x)~ 1dy f ' ( x )

9) _y = arc. tgh(/(jr))=> — = —— ----- , -1 < f(x) < 1dx l - f (x)

dy f ' ( x )10) y = arc .c tgh (/(x )) => — = —:— ---------------------- , (f(x>) > 1

dx 1 - f { x )

i n u n n d y * / '( * )11) y = arc.sec h ( f (x ) ) => — =

12) y = arc. cos e c h ( f (x))

dx f ( x ) ^ l - / 2(x) dy - f ' ( x )

dx |/(x ) |V l + / 2W

TABLA DE INTEGRALES

1) fa d x = ax + c 2) j kf(x)dx = k j f ( x ) d x

3) f d ( / ( x ) ) = / ( x ) + c 4) j ( f (x )± g (x ))d x = j f ( x ) d x ± j g(x)dx

f Xn+* r i/n+*\ x ndx = ----- + c, « * - 1 6) i undu = ------- + c, n * -1J «+1 J n + \

5)

7) = Ln\u\ + c 8) j" e“du = eu+ c

9)

512

L udu = ^ — +c, a > 0, a * l 10) \ ~ * U - = l a r e t g -J Ina J a 2 + w2 a a

+ c

ID

I Si

15)

16)

17)

18)

*19)

21)

23)

25)

27)

29)

31)

33)

35)

37)

38)

1 ; u - a 12) f d u ----— Lnu + a

— Ln 2 a u + a

+ c i a 2 - u 2 2a u - a

du i u \ , s ..—= = = = = -= arc.sen(—) + c I 2 2 aV a —u

i du

V - 7 a 2

J a " - ¿/

r_ _ i

f ^ L - = i l + V ¡ W 1

_ ______ 2 *J J a 2 - i c du --- " \/a' - h ’ + y «« . sen + c

j Vm2 - "a2 dit = >/«" - a2- * - 1—- Lnu + u2 - a2 +

jV î/2 +a2 dit = ^ 4 î (

Jscn = -ÇOSM.+ 6*

J tg il du = - L/?jcob 4 + c‘

+ c

= Ln u +'yliF~+a* + 6*

+ a" +— Ln u + \ ¡/' + a +:c

! + c

20) Jcoshc/w = senw + c

22) J c tg udu = ¿«|sen «[+ c

Jscc udu = /.«¡sec w + Ig u\ + C 24) J cos ecudu = Z.«|cos ecu - c tg w| + c

26) Jcos ec2udu = -c tg u + c

28) J cos ecu. c tg udu = - cos ecu + c

30) Jcosh udu = senh u + c

32) Je tgh z/c/z/ = I^ |sec hu\ + c

34) Jcos ech2 udu — - c tgh u 4- c

Jsec hu. tgh udu = - sec />« + c 36) j cos edi «. c tgh udu = - cos ecA » + c

r „ fa sen(¿>z/) - b cos(bu))\e au scn(bu)du = -----------

f , /m (ùfCosèw + èsen(ÔM))j euU cos(bdt)du ~-:e' —

Jsec'' u du - tgw

J sec u tg z/ c/i/ -- sec £/ + c

J senh udu = cosh + c

Jtgh udu - ¿wjcosh m| + c

J sec h udu — tgh u + c

a2 +b2- c

Solucionario de B. Makarenko

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