Solucionario mas. aplicad de ingeniería

7/25/2019 Solucionario mas. aplicad de ingeniera

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IQ-481 Matemtica Aplicada

SOLUCIONARIO PRUEBA DE CTEDRA N 1

Problema 1 (15 ptos.)

Determine la raz real mayor de la funcin:32 5.045.51)( xxxxf

(a) Utilice el grfico para encontrar el valor inicial para iterar. (1 pto)

La raz real mayorde la funcin, segn el grfico, se ubica entre 6 < x < 8. El valorinicial elegido para iterar es x0=6.

(b)Utilice el mtodo de Newton-Raphson con un error de tolerancia de s = 1%. (14

ptos)

Primera iteracin:

Calcular f(xi) y f(xi)para x0=6

4)6(5.0)6(4)6(5.51)6(

5.045.51)(

32

3

0

2

000

f

xxxxf

La derivada de la funcin:

5.11)6(5.1)6(8)6(5.5)6('

5.185.5)('

2

2

000

f

xxxf

Calcular xi+1:

6.3478265.11

)4(6

)('

)(1

i

i

iixf

xfxx %479.5%100

347826.6

6347826.61,

a

sa , por lo tanto, continua la iteracin

Segunda iteracin:

Calcular f(xi) y f(xi)para x1=6.347826

0.625955)(

)347826.6(5.0)347826.6(4)347826.6(5.51)(

1

32

1

xf

xf

La derivada de la funcin:

15.159735)('

)347826.6(5.1)347826.6(85.5)('

1

2

1

xf

xf


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Calcular xi+1:

6.30653515.159735

0.6259556.347826

)('

)(1

i

i

iixf

xfxx

%0.655%1006.306535

347826.66.3065352,

a

sa , por lo tanto, se termina la iteracin

Y la raz real mayor, para un error del 0.655%, es 6.306

NOTA: Si se hubiera elegido x0=8, se hubiera iterado 4 veces hasta llegar al valor determinado.

Si se hubiera elegido x0=7, se hubiera iterado 3 veces hasta llegar al valor determinado.


Para el Mtodo de la Biseccin (hasta 3 iteraciones)

Requiere f(x)=0, por tanto, la ecuacin de Chen se puede ordenar como: (5 ptos)

0Re

8506.5

8257.2log

Re

0452.5

7065.3log4

1898.0

1098.1

f

Calcular nmero de Reynolds (Re) mediante iteraciones, utilizando el rango 15000 < Re < 20000.

Teorema de Bolzano: para [xi , xj] =[15000 , 20000]

f(xi)*f(xj) = 0,2443901 * -0,0024069= -0,000588221 (es menor a cero, por tanto se inicia iteracin)

Primera iteracin: [xi , xj] =[15000 , 20000] (20 ptos)

xr= (15000+20000) /2 = 17500 (No es necesario calcular error, ya que es primera iteracin)

f(xi)*f(xr) =0,2443901 *0,1081233 > 0 , entonces se cambia el valor del extremo inferior del

intervalo (xi) por el valor xr calculado anteriormente. Se mantiene el extremo superior xj=20000.

Teorema de Bolzano con el nuevo intervalo [xi , xj] =[17500 , 20000]:f(17500)*f(20000)= 0,1081233 *-0,0024069 = -0,000260241 < 0, por tanto, dentro de ese intervalo

existe la raz y se continua con la iteracin.

Segunda iteracin: [xi , xj] =[17500 , 20000]

xr= (17500+20000) /2 = 18750


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|Ea|=|(18750 - 17500)/ 18750|*100 = 6.67%

f(xi)*f(xr) =f(17500)*f(18750) =0,1081233 * 0,0501428> 0 (Se cambia xi =xr, se mantienen xj)

Teorema de Bolzano con el nuevo intervalo [xi , xj] =[18750 , 20000]:

f(18750)*f(20000)= 0,0501428*-0,0024069 = -0,000120688 < 0 (continua la iteracin)

Tercera iteracin: [xi , xj] =[18750 , 20000]

xr= (18750+20000) /2 = 19375

|Ea|=|(19375 - 18750)/ 19375|*100 = 3.23%

Hasta aqu terminan las iteraciones y la ltima raz aproximada (xr= 19375) ser el valor Reque se

busca, para luego calcular el dimetro de la tubera.

Clculo del dimetro de la tubera: (5 ptos)

Sea:

svD Re y AvQ

La velocidad se obtiene de la frmula del caudal y el rea (A) se deja en funcin del

dimetro transversal de la tubera, obtenindose:

2

4

D

Qv

Esta ecuacin se remplaza en la ecuacin del Re

D

Q

4Re De esta ecuacin se obtiene el dimetro, remplazando los valores

correspondientes.

][5.65][655.0)19375)(/10*003.1(

)/01.0(4

Re

426

3

cmmsm

smQD

Por lo tanto, el dimetro de la tubera era de 65.5 cm


(a) Desarrolle las ecuaciones del balance de masa para los reactores. (5 ptos)

E - S = 0 (No hay reaccin)

0500:3

0:2

0200:1

333223113

223221112

112113221

cQcQcQR

cQcQcQR

cQcQcQR


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(b)Determine las concentraciones de cada reactor. Utilice el mtodo de Eliminacin

Gaussiana. Indique cada paso claramente. (25 ptos)

Simplificando, reordenando el sistema de ecuaciones, y finalmente, remplazando los valores de los

caudales:

500

0)(

200)(

333223113

22321112

22111213

cQcQcQ

cQQcQ

cQcQQ

5001206040

09090

20030130

321

21

21

ccc

cc

cc

Aplicando el mtodo de Eliminacin Gaussiana: Eliminacin hacia adelante

5001206040009090

200030130

5001206040000

200030130

13

900

137300

13900

131800

13900

1200

00

200030130

)3(

)2(

)1(

12000

00

200030130

139100

131800

13900

Se obtuvo la Matriz Triangular Superior

De esta ltima matriz se obtienen las concentraciones con la Sustitucin hacia atrs:

De la ecuacin (3), se obtiene c3. De la ecuacin (2), se obtiene c2.

833.5120 3139100

3 cc

2 2131800213900 cc

Finalmente, reemplazando c2 en la ec. (1) se obtiene c1.

2200)2(30130 11 cc

(90/130)*f1

+f2

(40/130)*f1

+f3f2+f3


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(2)04

(1)02

2

xy

yex

(a) Iterar con el mtodo del Punto Fijo, encuentre una de las races comenzando con

la aproximacin inicial (x0,y0)=(0, 1). Para un error de tolerancia de s = 1%.

(20 ptos)

De la ec. (1) se despeja el x, y de la ec. (2) se despeja y, se obtiene:

24

/2ln

xy

yx

Primera iteracin: (x0,y0)=(0, 1)

3.519547)0.693147(44

0.6931471/2ln/2ln

22

11

01

xy

yx

Calcular el error aproximado absoluto para xe y:

%100%100693147.0

0693147.0,

xa

%71.59%1003.519547

13.519547,

ya

Segunda iteracin: (x1,y1)=(0.693147, 3.519547)

3.680566)-0.565185(44

-0.5651853.519547/2ln/2ln

22

22

12

xy

yx

%222.64%1000.565185-

693147.00.565185-,

xa

%4.37%1003.680566

3.5195473.680566, ya

Tercera iteracin: (x2,y2)=(-0.565185, 3.680566)

3.627998)-0.609919(44

-0.6099193.680566/2ln/2ln

22

33

23

xy

yx


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%7.33%1000.609919-

0.5651850.609919-,

xa

%1.45%100

3.627998

3.6805663.627998,

ya

Cuarta iteracin: (x3,y3)=(-0.609919, 3.627998)

3.645339)-0.595534(44

-0.5955343.627998/2ln/2ln

22

44

34

xy

yx

%2.42%1000.595534-

0.6099190.595534-,

xa

%0.48%1003.645339

3.6279983.645339,

ya

Si bien el error para yes menor a 1%, falta que el error dexsea menor a dicho error de tolerancia.

Quinta iteracin: (x4,y4)=(-0.595534, 3.645339)

3.639637)-0.600302(44

-0.6003023.645339/2ln/2ln

22

55

45

xy

yx

%0.79%1000.600302-

0.5955340.600302-,

xa

%0.16%1003.639637

3.6453393.639637,

ya

Ya que ambos errores son menores a 1% de tolerancia, una de las races (x,y) del sistema son:

x = -0.600302 y = 3.639637

NOTA: otras de las races (x,y)=(1.925714, 0.291625)


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(b)Es posible que exista divergencia en uno de los arreglos de las ecuaciones?

Demuestre si existe. (5 ptos)

Con el siguiente arreglo, existe divergencia al evaluar los valores iniciales (x0,y0)=(0, 1):

yx

ey x

4

/2

Usando el arreglo con la segunda ecuacin en raz negativa:

Primera iteracin: (x0,y0)=(0, 1)

-1.41421424

2/2

1

)0(

1

x

ey

Calcular el error aproximado absoluto para xe y:

%100%1001.414214-

01.414214-,

xa

%50.0%1002

12,

ya

Segunda iteracin: (x1,y1)=(-1.414214, 2)

imaginario8.2265014

8.226501/2

2

)-1.414214(

2

x

ey

Aqu se observa que diverge el arreglo del sistema de ecuaciones, ya que la segunda

iteracin al calcular x da un valor imaginario.

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