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Soluciones a “Ejercicios y problemas”Soluciones a “Ejercicios y problemas”6
Unidad 6. Sistemas de ecuaciones
PÁGINA 121
■ Practica
Solución de un sistema de ecuaciones
1 Comprueba si x = 2, y = –1 es solución de los siguientes sistemas de ecuacio-nes:
a) °¢£
2x – y = –4 5x + y = –10
b) °¢£
3x – 4y = 10 4x + 3y = 5
a) °¢£
2x – y = –4 5x + y = –10
8 °¢£
2 · 2 – (–1) = 5 ? –45 · 2 – 1 = 9 ? –10
8 No es solución.
b) °¢£
3x – 4y = 10 4x + 3y = 5
8 °¢£
3 · 2 – 4(–1) = 104 · 2 + 3(–1) = 5
8 Sí es solución de este sistema.
2 Completa los siguientes sistemas de ecuaciones para que ambos tengan la solu-ción x = 3, y = –1/2:
a) °¢£
3x + 2y = … x – 4y = …
b) °§¢§£
x2
+ y = …
x – y = …
a) °¢£
3x + 2y = … x – 4y = …
8
°§¢§£
3 · 3 + 2 (– 12 ) = 9 – 1 = 8
3 – 4 (– 12 ) = 3 + 2 = 5
8 °¢£
3x + 2y = 8 x – 4y = 5
b) °§¢§£
x2
+ y = …
x – y = … 8
°§¢§£
32
– 12
= 1
3 + 12
= 72
8
°§¢§£
x2
+ y = 1
x – y = 72
3 a) Busca dos soluciones de la ecuación 3x – y = 1.
b) Representa gráficamente la recta 3x – y = 1.
c) Un punto cualquiera de la recta, ¿es solución de la ecuación?
a) 3x – y = 1
Si x = 1: 3 · 1 – y = 1 8 y = 2
Si x = 0: 3 · 0 – y = 1 8 y = –1
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Unidad 6. Sistemas de ecuaciones
b)
X
Y
(1, 2)1
1 2 3 4
2
(0, –1)
c) Todos los puntos de la recta son soluciones de la ecuación.
4 a) Representa gráficamente en los mismos ejes las dos rectas siguientes:
2x + y = 3 x – y = 3
b) Di cuál es la solución de este sistema:
°¢£
2x + y = 3 x – y = 3
c) Di si son equivalentes los sistemas:
S : °¢£
2x + y = 3 x – y = 3
S' : °¢£
y + 1 = 0 3x – 4y = 10
a) 2x + y = 3 x – y = 3
x 0 1
y 3 1
x 0 1
y –3 –2
X
Y
–1
2
(2, –1)
2x + y = 3x – y = 3
b) 2x + y = 3 x – y = 3
°¢£
La solución del sistema es x = 2, y = –1, que corresponde al punto de corte de am-bas rectas.
c) Por el apartado anterior, sabemos que la solución de S es x = 2, y = –1. Probemos si es solución del segundo:
°¢£
–1 + 1 = 03 · 2 – 4 · (–1) = 10
8 es solución.
Por tanto, S y S' son equivalentes.
Resolución de sistemas de ecuaciones
5 Resuelve gráficamente los siguientes sistemas de ecuaciones:
a) °¢£
3x – y = 1 x + 2y = 5
b) °¢£
3x – y = 0 3x + y = –6
c) °¢£
x + 3y = –5 2x – y = 4
d) °¢£
2x – 3y = –4 x + 8y = –2
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Unidad 6. Sistemas de ecuaciones
a) °¢£
3x – y = 1 x + 2y = 5
3x – y = 1 x + 2y = 5
x 0 1
y –1 2
x 1 –1
y 2 3 X
Y
–1
23
1
P(1, 2)
Solución: x = 1, y = 2
b) °¢£
3x – y = 0 3x + y = –6
3x – y = 0 3x + y = –6
x 0 1
y 0 3
x 0 –2
y – 6 0
X
Y
1
1
P(–1, –3)
Solución: x = –1, y = –3
c) °¢£
x + 3y = –5 2x – y = 4
x + 3y = –5 2x – y = 4
x 1 –2
y –2 –1
x 0 1
y – 4 –2
X
Y
1
1
–2 P(1, –2)
Solución: x = 1, y = –2
d) °¢£
2x – 3y = –4 x + 8y = –2
2x – 3y = –4 x + 8y = –2
x 1 –2
y 2 0
x 6 –2
y –1 0
X
Y
2–2 64
2
–2
Solución: x = –2, y = 0
6 Resuelve por sustitución.
a) °¢£
x + 3y = 0 2x + y = –5
b) °¢£
8x – 3y = –25 x – 5y = –17
c) °¢£
7x – y = –6 4x + 3y = 3
d) °¢£
2x + 16 = 2y 2y – 3x = 16
a) x + 3y = 0 2x + y = –5
°¢£ x = –3y2(–3y) + y = –5 8
8 –6y + y = –5 8 –5y = –5 8 y = 1 8 x = –3 · 1 = –3
Solución: x = –3, y = 1
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b) 8x – 3y = –25 x – 5y = –17
°¢£ 8
8 x = –17 + 5y 8 8(–17 + 5y) – 3y = –25 8 –136 + 40y – 3y = –25 8
8 37y = 111 8 y = 3 8 x = –17 + 15 = –2
Solución: x = –2, y = 3
c) 7x – y = –6 4x + 3y = 3
°¢£
7x + 6 = y 4x + 3(7x + 6) = 3 8 4x + 21x + 18 = 3 8
8 25x = –15 8 x = –1525
= – 35
8 y = 7(– 35
+ 6) = 95
Solución: x = – 35
, y = 95
d) 2x + 16 = 2y 2y – 3x = 16
°¢£ y = 2x + 16
2 = x + 8
2(x + 8) – 3x = 16 8
8 2x + 16 – 3x = 16 8 –x = 0 8 x = 0 8 y = 8
Solución: x = 0, y = 8
7 Resuelve por igualación.
a) °¢£
x = 4 x – y = 6
b) °¢£
x + 3y = –4 x – 2y = 6
c) °¢£
y = 6x 7x = 2y – 5
d) °¢£
3x – 4y = –4 2x + y = –1
a) x = 4 x – y = 6
°¢£ x = 4x = 6 + y
°¢£ 8 6 + y = 4 8 y = –2
Solución: x = 4, y = –2
b) x + 3y = –4 x – 2y = 6
°¢£ x = – 4 – 3yx = 6 + 2y
°¢£ 8 –4 – 3y = 6 + 2y 8 –4 – 6 = 5y 8
8 y = –2 8 x = –4 – 3(–2) = 2
Solución: x = 2, y = –2
c) y = 6x 7x = 2y – 5
°¢£ y = 6x
y = 7x + 52
°§¢§£
8 6x = 7x + 52
8 12x = 7x + 5 8 5x = 5 8
8 x = 1 8 y = 6 · 1 = 6
Solución: x = 1, y = 6
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d) 3x – 4y = –4 2x + y = –1
°¢£ y = 3x + 4
4y = –1 – 2x
°§¢§£
8 3x + 44
= –1 – 2x 8 3x + 4 = –4 – 8x 8
8 11x = –8 8 x = –811
8
8 y = –1 – 2( –811 ) = 5
11
Solución: x = –811
, y = 511
8 Resuelve por reducción.
a) °¢£
x + y = 0 x – y = 2
b) °¢£
3x – y = 0 3x + y = –6
c) °¢£
4x – 3y = 2 2x + y = –4
d) °¢£
x + 2y = 1 3x – y = 7
e) °¢£
x – 3y = 1 3x + 6y = 2
f ) °¢£
3x + 2y = 3 x + y = 7/6
a) x + y = 0 x – y = 2
°¢£
2x = 2 8 x = 1, y = –1
Solución: x = 1, y = –1
b) 3x – y = 0 3x + y = –6
°¢£
6x = –6 8 x = –1, y = –3
Solución: x = –1, y = –3
c) 4x – 3y = 2 2x + y = –4
°¢£ 4x – 3y = 2 6x + 3y = –12
°¢£
10x = –10 8 x = –1 8 2(–1) + y = –4 8 y = –2
Solución: x = –1, y = –2
d) x + 2y = 1 3x – y = 7
°¢£ x + 2y = 1 6x – 2y = 14
°¢£ 8 7x = 15 8 x = 15
7 8 15
7 + 2y = 1 8
8 y = 1 – 15/72
= – 47
Solución: x = 157
, y = – 47
e) x – 3y = 1 3x + 6y = 2
°¢£ 2x – 6y = 2 3x + 6y = 2
°¢£ 8 5x = 4 8 x = 4
5 8 4
5 – 3y = 1 8
8 y = 4/5 – 13
= – 115
Solución: x = 45
, y = – 115
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f ) 3x + 2y = 3 x + y = 7/6
°¢£ 3x + 2y = 3–2x – 2y = –14/6
°¢£ 8 x = 3 – 14
6 = 2
3 8 2
3 + y = 7
6 8
8 y = 76
– 23
= 12
Solución: x = 23
, y = 12
9 Resuelve estos sistemas por el método que consideres más adecuado:
a) °¢£
x – y = 1 4x – 3y = 8
b) °¢£
3x = 1 + y3 + 2y = 10x
c) °¢£
2x + 5y = –1 4x – 3y = –2
d) °¢£
3x – 2y = 2 x + 4y = –5/3
a) x – y = 1 4x – 3y = 8
°¢£ Por sustitución: °¢
£x = 1 + y4(1 + y) – 3y = 8 8
8 4 + 4y – 3y = 8 8 y = 4 8 x = 1 + 4 = 5
Solución: x = 5, y = 4
b) 3x = 1 + y3 + 2y = 10x
°¢£ Por sustitución: °¢
£y = 3x – 13 + 2(3x – 1) = 10x 8
8 3 + 6x – 2 = 10x 8 1 = 4x 8 x = 14
8 y = 3 · 14
– 1 = – 14
Solución: x = 14
, y = – 14
c) 2x + 5y = –1 4x – 3y = –2
°¢£ Por reducción:
– 4x – 10y = 2 4x – 3y = –2
°¢£ 8
8 –13y = 0 8 y = 0 8 2x + 5 · 0 = –1 8 x = – 12
Solución: x = – 12
, y = 0
d) 3x – 2y = 2 x + 4y = –5/3
°¢£ Por reducción:
6x – 4y = 4 x + 4y = –5/3
°¢£ 8
8 7x = 73
8 x = 13
8 3 · 13
– 2y = 2 8 –2y = 1 8 y = – 12
Solución: x = 13
, y = – 12
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10 Resuelve los sistemas siguientes:
a) °¢£
2x + y = 0 5x – 3 = 9y – 3
b) °¢£
2(3x – 2) = y – 13(x + y) + 2(x – y) = 8
c)
°§¢§£
x3
– y2
= 4
x2
+ y4
= 2 d)
°§¢§£
x + y – 24
= 1
x – 32
y = 5
e)
°§¢§£
2 – x3
+ 3 + y6
= 2
8 – 3x6
– 2 + y9
= 2 f )
°§¢§£
x – 12
+ y + 14
= 1
2x – 12
– 2y + 16
= 1
a) 2x + y = 0 5x – 3 = 9y – 3
°¢£ Por sustitución: y = –2x 8 5x – 3 = 9(–2x) – 3 8
8 5x – 3 = –18x – 3 8 23x = 0 8 x = 0 8 y = –2 · 0 = 0
Solución: x = 0, y = 0
b) 2(3x – 2) = y – 13(x + y) + 2(x – y) = 8
°¢£ 6x – 4 = y – 13x + 3y + 2x – 2y = 8 8 5x + y = 8
°¢£ 6x – y = 35x + y = 8
°¢£
Por reducción: 11x = 11 8 x = 1 8 6 · 1 – y = 3 8 y = 3
Solución: x = 1, y = 3
c)
x3
– y2
= 4
x2
+ y4
= 2
°§¢§£
Por reducción: 2x – 3y = 242x + y = 8
°¢£ 2x – 3y = 24–2x – y = –8
°¢£ 8
8 –4y = 16 8 y = –4 8 2x – 3(–4) = 24 8 2x = 12 8 x = 6
Solución: x = 6, y = –4
d) x + y – 2
4 = 1
x – 32
y = 5
°§¢§£
4x + y – 2 = 42x – 3y = 10
°¢£ 4x + y = 62x – 3y = 10
°¢£ Por reducción:
12x + 3y = 18 2x – 3y = 10
°¢£ 8 14x = 28 8 x = 2 8 2 – 3
2y = 5 8 y = 2 – 5
3/2 = –2
Solución: x = 2, y = –2
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e)
2 – x3
+ 3 + y6
= 2
8 – 3x6
– 2 + y9
= 2
°§¢§£
8 °¢£
2(2 – x) + 3 + y = 123(8 – 3x) – 2(2 + y) = 36
8
8 °¢£
4 – 2x + 3 + y = 1224 – 9x – 4 – 2y = 36
8 °¢£
–2x + y = 5–9x – 2y = 16
8
8 °¢£
– 4x + 2y = 10–9x – 2y = 16
8 –13x = 26 8 x = –2 8
8 2 – (–2)3
+ 3 + y6
= 2 8 3 + y6
= 2 – 43
8
8 3 + y6
= 23
8 y = 1
Solución: x = –2, y = 1
f )
x – 12
+ y + 14
= 1
2x – 12
– 2y + 16
= 1
°§¢§£
8 °¢£
2(x – 1) + y + 1 = 43(2x – 1) – (2y + 1) = 6
8
8 °¢£
2x – 2 + y + 1 = 46x – 3 – 2y – 1 = 6
8 °¢£
2x + y = 56x – 2y = 10
8
8 °¢£
4x + 2y = 106x – 2y = 10
8 10x = 20 8 x = 2 8
8 2 – 12
+ y + 14
= 1 8 y + 14
= 12
8 y = 1
Solución: x = 2, y = 1
Pág. 8