SOLUÇÕES - Areal Editores...TESTE GLOBAL 4 | PÁG. 129-131 TESTE GLOBAL 3 | PÁG. 126-128 O Im(z)...

SOLUÇÕES

AEPTM12V2-10

1.ª Parte

1. B 2. D 3. A 4. C

5. B 6. B 7. D

2.ª Parte

1.1. œ2w cis 1}1112π

}21.3. z2 – 2z + 17 = 0

2.1. A (– 3; 5,5) e B(3; 14,5)

2.2. y = 10

2.3. – 0,24; este limite é a derivada da função fno ponto de abcissa 9 e representa geome-tricamente o declive da recta tangente aográfico de f no referido ponto.

2.4.

O número de refr igerantes vendidosquando se iniciou a campanha publicitáriaera de 10 000, já que N(0) = 10. Com oefeito da campanha, o número de refrige-rantes vendidos aumentou, tendo atin-gido o máximo de 14 500 ao fim de 3 me-ses, uma vez que a função N tem ummáximo absoluto igual a 14,5 para x = 3. Apartir daí, o número de refrigerantes ven-didos decresceu, tendo, à medida que oreferido período de 24 meses decorria, es-tabilizado em torno do valor 10 000, queera precisamente o valor do início da cam-panha.

3.2. (6 + 2œ3w) cm

3.3. f é estritamente crescente em 40, }π2

}3, pelo

que não tem extremos relativos.

3.4. x = }π6

}

4. }13

120}

5. Há 6 bolas verdes e 6 amarelas.

1.ª Parte

1. D 2. B 3. D 4. C

5.1. B 5.2. C 6. C

2.ª Parte

1.1. – i

1.2. w2 = œ2w cis 1}1112π

}2 ; w3 = œ2w cis 1}1192π

}21.3. |z – 1 – i| = œ2w

2.1. g é contínua em R2.2. y = 0 (x → – `)

3.1. Aproximadamente 7 tarefas

3.2.

O operário conseguiu realizar 12 encader-nações diárias ao fim de dez semanas de ex-periência, mas não atingiu o segundo ob-jectivo.

4.1. h tem um máximo relativo para x = – }56π} e

tem um mínimo relativo para x = – }π6

}.

4.3. }16

} 4.4. }34π}

5.1. 2880 5.2. }221}

1.ª Parte

1. B 2. A 3. C 4. C

5. A 6. B 7. A

2.ª Parte

1.1. 3600 1.2. }315}

2.1. 2 œ2w

TESTE GLOBAL 7 | PÁG. 138-140

TESTE GLOBAL 6 | PÁG. 135-137TESTE GLOBAL 5 | PÁG. 132-134

SOLUÇÕES TESTES GLOBAIS

PREPARAR OS TESTES SOLUÇÕES

159

© A

REA

L ED

ITO

RES

O

y

x3

14,5 A

O

f(t)

t

12

15

8


PREPARAR OS TESTES MATEMÁTICA 12

158

© A

REA

L ED

ITO

RES

1.ª Parte

1. D 2. B 3. A 4. D

5. D 6. B 7. B

2.ª Parte

1.1. 0,41 1.2. }491}

2.1. Os zeros são – 9, – 7, – 5, – 3, – 1 e 1.

2.2. x = 0

3.2. x = }π4

}

4.1. 169 lebres

4.2. Agosto de 2001

4.3. 96 lebres por mês, aproximadamente.

4.4. 3000; num futuro distante, o número de le-bres na reserva irá estabilizar em tornodeste valor.

5.1. – 32 œ3w – 32 i

5.2. z = cis 1}1118π

}2› z = cis 1}2138π

}2› z = cis 1}3158π

}2

5.3.

1.ª Parte

1. D 2. B 3. A 4. C

5. A 6. B 7. C

2.ª Parte

1.1.

1.2. 87,4%

2.1. x = 0, y = 0 (x → + `) e y = 5 (x → – `)

2.2. A função g é estritamente crescente em ]– `,0[e em ]0, + `[, mas não é estritamente cres-cente em R\ {0}, pelo que a afirmação éfalsa.

3.1. k = 1,66 (2 c.d.)

3.2.1. t = 1 s 3.2.2. t [ 40, }13

}34.1. 375 coelhos, aproximadamente

4.2. 10 anos

4.3.1. O número mínimo de coelhos na referidareserva foi de 200 e ocorreu ao fim de 8,2anos, ou seja, em Março de 1999.

4.3.2.

Recorrendo à ferramenta “Intersect”, pode-se de-

terminar as coordenadas dos pontos de inter-

secção do gráfico de f com a recta de equação

y = 3,1. As abcissas desses pontos são 6,8 e 9,6

(valores arredondados com uma casa decimal).

Pretende-se determinar os valores de x para os

quais o gráfico de f está abaixo da referida recta,

que são os que estão compreendidos entre 6,8

e 9,6. Assim, foi aproximadamente entre Outu-

bro de 1997 e Agosto de 2000 que o número

de coelhos foi inferior a 310.

5.1. z2 = 12 – }œ

23w

}2 + }12

} i

5.2.



O

Im(z)

Re(z)-V√2

-V√2

-3 -V√2

X = xi 0

p(X = xi) 0,179

1

0,384

2

0,311

3

0,111

4

0,015

O

Im(z)

Re(z)2

1

2

-1

-2

-1-2 V√32

12

O

y

x6,8

2

4

6

9,6

f

y = 3,1



157

© A

REA

L ED

ITO

RES

39.2. œ2w cis 1}54p}2

40.1. }œ

22w

} cis 1}p4

}240.2. n = 3

41. – }141} + }

14

} i

42. 24 u.a.

1.ª Parte

1. B 2. A 3. B 4. D

5. B 6. C 7. B

2.ª Parte

1.1. }34

09} 1.2. }

169}

2. 8 vezes

3.1. 1206 (0 c.d.)

3.2. 2,8 anos, aproximadamente

3.3. 74 peixes por mês.

4. x = 0, y = – x – 3 (x → – `) e

y = – x + 1 (x→ + `)

5.1. – }56π}, – }

π6

}, }π6

} e }56π}

5.2. 1– }π2

}, – }π4

}2, (0,0) e 1}π2

}, }π4

}2

6.1. z61 = 512i

6.2. z = – 2œ3w – 8 + 10 œ3w i

6.3. z = 2 cis 1}1π2}2 › z = 2 cis 1}

71π2}2 ›

› z = 2 cis 1}1132π

}2 › z = 2 cis 1}1192π

}2

1.ª Parte

1. D 2. D 3. C 4. D

5. A 6. D 7. A

2.ª Parte

1.1. 100 1.2. 144 1.3. 135

2. }15

45}

3. 7,9 3 1017 J

4.1. 11 890; 6614

4.2. 9,8 meses, aproximadamente

5.1. π – 3; é a derivada de f no ponto de abcissa }π2

}.

5.2. y – 1}π4

2} + 3 œ2w2 = (π – 3) 1x – }

π2

}2

5.3. O gráfico de f tem a concavidade voltada

para cima em 3– }π3

}, }π3

}4 e voltada para baixo

em 4– π, – }π3

}4 e em 3}π3

}, π3 ; as abcissas dos

pontos de inflexão são – }π3

} e }π3

}.

5.4. O declive da recta tangente no ponto pe-

dido de abcissa x0 é dado por f'(x0). Como a

citada recta é paralela à recta de equação

y = – x + 3, então tem declive igual a – 1, pelo

que se tem de resolver graficamente a equa-

ção f'(x0) = – 1.

Ora, f'(x0) = – 1 ⇔ x0 = 2,1 (1 c.d.)

6.1. n = 3; w = 16 + 16i

6.2. |z + 2 – 2i| # 3 ‹ |z + 2 – 2i| # |z| ‹ Im (z) # 0



Im(z)

Re(z)O

B

A

C

SOLUÇÕES NÚMEROS COMPLEXOS


156

© A

REA

L ED

ITO

RES

15.1. }z3

1 +

i

2} = 6i

15.2. |z| , 2 ‹ arg z [ 4}π3

}, }1115π

}3 ‹ z ≠ 0

16.1. z2 = – 4i ; z3 = – 3 ; z4 = 3

16.2. z = 2 – i

17.1. 6 + 8i

17.2. O inverso de w não é œ2w cis 1}34π}2.

18.1. 2 + i

19.2. 8 u.a.

20.1. cis 1}π6

}2 e cis 1}76π}2 20.2. 2 + 2 œ3w i

21.1. z41 = z4

2; logo, z1 e z2 são duas raízes de índice

quatro do complexo – 4.

21.2. (2 + 2 œ2w) u.c.

22.1. w ≠ z1 porque arg w = }π4

} (≠ arg z1) ; w ≠ z2

porque |w| = œ2w (≠ |z2|)

22.2. z2 = – 2 œ3w + 2i

23.1. b = – 2 e c = 2 23.2. a = }54π}

24.1. 3

24.2. Como arg(z1.z2) [ 4π, }32π}3, a imagem geo-

métrica de z1. z2 pertence ao 3.º quadrante.

25.1. cis π 25.2. n = 3

26.1. 2i 26.2. |z – 2 + 2i| = 3œ2w

27.1. 3i

28.1. œ4

2w cis 1}1π2}2; œ

42w cis 1}

71π2}2; œ

42w cis 1}

1132π

}2;

œ4

2w cis 1}1192π

}228.2. z = – 2 + 4i

29. 2œ2w cis 1}54π}2

30. Se z = r cis q com

com qå 40, }π2

}3,

então z3 = r3 cis(3q) com 3qå 40, }32π}3.

Logo, a imagem geométrica de z3 pertenceao 1.º, 2.º ou 3.º quadrantes.

31.1. – 24 – 5i 31.2. i ww = 5 cis 1}π2

} – a232.1. }

œ

22w

} cis 1}π4

}2 33.1. – 1 – }œ

33w

} i

33.2.

34.1. œ2w cis 1– }π4

}2

34.2. Área = }31π6} u.a.

35.1. 25 cis 1}π7

}235.2. z = œ3w + i

36.2. a = }p6

}

37.1. Arg (– z2) = }32p} + a

37.2. z2 = 48 + 12i

38.1. (– z1)3 = z2

38.2. A (1, – œ3w); B (– 1, œ3w); AwBw = 4

39.1. }45

} – }25

} i

O

Im(z)

Re(z)-2

A

B

O 1

-V√3

Im(z)

Re(z)

y

xO

1

B

A

1

Im(z)

Re(z)1O 12

SOLUÇÕES NÚMEROS COMPLEXOS


155

© A

REA

L ED

ITO

RES

1. B 2. B 3. B 4. A5. A 6. A 7. B 8. B9. D 10. A 11. A 12. A13. D 14. A 15. B 16. B17. B 18. B 19. C 20. B21. A 22. B 23. C 24. C25. A 26. D 27. B 28. C29. A 30. D 31. A 32. C33. B 34. B 35. D 36. A37. C 38. C 39. A

1.2.

2.1. 4œ2w cis 1}34π}2 2.2. a = }

38π} + kπ, k [Z

2.3.

3.1. – 3 + i

3.2. 1x = }π2

} + 2kπ› x = π + 2kπ, k [Z2‹ y = – 2

3.3. n = 8

4.2.

5.1. – 3 – 4 i 5.2. n = 4

5.3.

6.1. 1 ; 1 + œ3w i ; 1 – œ3w i

6.2. œ2w – œ2w i

7.2. œ2w # |z| # 2 œ2w ‹ }π4

} # arg (z) # }53π}

8.1. 4

8.2.

9.1. |z| < 1 ‹ Re(z) < 0 ‹ Im(z) > 0

10.2. |z| = }œ

22w

} 11.2. z1 = œ3w + i

12.1. – 11 – 2 i 12.2. 5 cis 1}π2

} + 2a213.1. |z| = 2 13.2. w = – œ3w – i

14.1. }œ

22w

} – }œ

22w

} i

14.2.

Essa linha é um arco de circunferência corres-

pondente à quarta parte de uma circunferên-

cia de raio 1 u.c. Logo, o perímetro é }π2

} u.c.

EXAMES NACIONAIS | RESPOSTA ABERTA | 111-117

EXAMES NACIONAIS | ESCOLHA MÚLTIPLA | 104-110

O

Im(z)

Re(z)-1

1

-2

1-2

2

2

-1

O

Im(z)

Re(z)-1

1

-2

1-2

2

2

-1

-3 3

3

-3

O

Im(z)

Re(z)-1

1

1-2

2

2-1

3

3

O

Im(z)

Re(z)-1

1

-2

1-2

2

2-1

3

3

4

O

Im(z)

Re(z)-1

1

-2

1-2

2

2-1

-3

-3

O

Im(z)

Re(z)-1

1

-2

1

2

2-1

SOLUÇÕES TRIGONOMETRIA


154

© A

REA

L ED

ITO

RES

33.2. V(x) = 300 § x = 3,4 rad

33.3. 98 m3 33.4. B

34. y1 = d(t); y2 = 10

A Rita deve ser apurada para a final.

35.1. 6 vezes 35.2. 3,4 cm (1 c.d.)

36.2. A(x) = 4,5π § x = 0,42 rad

37.2. x = π; x = 2π

38.1. }œ

23w

} m 38.2. 0,5 s

39. a = 3,37 e b = 0,63

40.1. 4

40.2. g é crescente em 40, }π8

}3 e em 4}38π}, }

π2

}3; é de-

crescente em 4}π8

}, }38π}3.

g tem um mínimo relativo igual a 1 para

x = }38π} e tem um máximo relativo igual a 3

para x = }π8

}.

41.1. y = 2x 41.2. 0,2 u.a.

42.1. As distâncias, máxima e mínima da Terra aoSol são, aproximadamente, 152,1 e 147,1 mi-lhões de quilómetros, respectivamente.

42.2.1.Quando o ângulo é de π radianos, o tempoque decorre desde a passagem da Terra peloperiélio até ao ponto correspondente ao ân-gulo π (ponto da órbita da Terra mais afas-tado do Sol) é metade do tempo que a Terrademora a descrever uma volta completa.

42.2.2. 147,7 milhões de quilómetros

44. x = 0; y = 0

45. a = 1,36 e b = 4,61

46. q = }π3

}

O

y

x

20,4

12

10

13,3 27,3 52,8 58,7

O

A(x)

x

9p2

p2

0,42



153

© A

REA

L ED

ITO

RES

24.2.

f admite quatro zeros em 3}14

}, + `3.

25.2. limx → 1}

p2}2

– f(x) = 4. Quando x se aproxima de

}π2

}, o ponto E aproxima-se do ponto B e o

ponto F aproxima-se do ponto D. Assim, oquadrilátero [CEAF] aproxima-se do qua-drado [ABCD], pelo que o seu perímetrotende para o perímetro do quadrado que éigual a 4.

25.3. f é estritamente crescente.

26.1. limx → + `

f(x) = 1

26.2. Uma vez que a calculadora apenas nos for-nece informação sobre um número finitode imagens de x (através de um gráfico oude uma tabela), os resultados obtidos nuncapoderão ser conclusivos para a determina-ção de lim

x → + `f(x).

Assim, seria necessário verificar que, se-gundo a definição de limite de uma funçãonum ponto, a toda a sucessão de objectostendendo para + ` corresponde uma suces-são de imagens tendendo para 1. As limita-ções da calculadora não permitem fazer talverificação, pois para além de existir um nú-mero infinito de sucessões naquelas condi-ções, cada uma delas tem infinitos termos.

27.1.1. 2

27.1.2. O gráfico de f tem a concavidade voltada

para baixo em 3}π6

}, }56π}4 e para cima em

3– π, }π6

}4 e em 3}56π}, π4. Há dois pontos de

inflexão de abcissas }π6

} e }56π}.

27.2. –1,03 (2 c.d.)

28.1.1. y = }13

}

28.1.2. x = ln(3e)

28.2. {0, 1, 4, 5, 6}

29.1. 0,1875 km

29.4. O alcance máximo é de 0,5 km para α = }π4

}.

30.2. A(0) = 4. Para x = 0, os pontos C, D e E coinci-dem, correspondendo o polígono [ABEG] aotriângulo [ADG] cuja área é 4.

A 1}π2

}2 = 4. Para x = }π2

}, os pontos E e F coinci-

dem, bem como os pontos B e C, correspon-dendo o polígono [ABEG] ao quadrado[ABFG] cuja área é 4.

30.3. x = 0,2; x = 1,4

31.1. 1

31.2. a = 1 e b = – 4

32.1. 2

32.2. O gráfico de f tem a concavidade voltadapara baixo em [0, π] e voltada para cima em

3– }π2

}, 04 e em 3π, }32π}4. Os pontos (0, 0) e

(π, π) são pontos de inflexão do gráfico de f.

33.1. 503 m3

O

y

x1,4 3,4

f

g

O

y

x0,750,50,25



152

© A

REA

L ED

ITO

RES

8.2.2. f1}π2

}2 = 1. Para a = }π2

}, o trapézio [ABCD] é um

quadrado de lado 1, cuja área é 1 u.a.

9.2. P2 1}56π}, – }

œ

23w

}29.3. 0 # x # }

π3

} ‹ g(x) # y # f(x)

10.2. [ABC] é um triângulo rectângulo em C.

11.3. limn → + `

An = π = área do círculo. À medida

que o número de lados do polígono inscrito

aumenta, a área do polígono aproxima-se

da área do círculo.

12.1. O pôr-do-sol ocorreu às 18h50min.

12.2.

O tempo que decorreu entre o nascer e opôr-do-sol é superior a 14,7 horas durante38 dias, aproximadamente.

13.1. f é contínua em R \ {0}

13.2. f(– 2) = 1 + }4e

} é o único máximo de f, em R.

13.3. f(x) = 1 ⇔ x = kπ, k [ Z0+. Assim, conclui-se

que existem infinitos pontos de intersecçãoda recta r com o gráfico de f.

14.1.2031 km 14.2. 229 °(0 c.d.)

15.1.1. x = 0

15.1.2. f(– 1) = – e é o máximo de f em ]– `, 0[.

15.1.3. }π2

}, }π6

} e }56π}

15.2. – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3 e 4

16.2. Como f'(x) > 0, ∀ x [ R, f é estritamentecrescente em R e, por isso, f é injectiva, peloque o zero é único.

16.3. 8 u.a. (0 c.d.)

17.1.1. O gráfico de f tem a concavidade voltadapara cima em ]1, + `[.

17.2. 0,5 (1 c.d.)

18.1.1. h é descontínua no ponto de abcissa 0; po-rém, h é contínua à direita do referido ponto.

18.2. A(0,7; 0,5)

19.2. limx → 1}

p2}2

– A(x) = + `. À medida que x se

aproxima de }π2

}, a área total da pirâmide

aumenta indefinidamente.

20.1.2. 3}5π –

66œ3w}, 2π + 24

20.2.

A abcissa do ponto C é 3,8 (1 c.d.)

21.1. x = – π e x = π

21.2. f(0) = }12

} é o máximo de f.

21.3. }53π6}

22.1. x = }π2

}

22.2. f é decrescente em 3}π4

}, }π2

}3 e crescente em

30, }π4

}4;

f admite um mínimo relativo para x = 0 e um

máximo relativo para x = }π4

}.

23.2. f1}π4

}2 = 0. Para x = }π4

}, a região sombreada re-

duz-se a um ponto, que é a intersecção das

diagonais do quadrado.

24.1.1. y = x

24.1.2. y = x + 1

O

y

x3,8

C

B

A

55.2.530 dias após a fundação da associação.

56. A(– 0,3; – 2,3) e B(2,3; 0,3)

57.1.34h 39min58. O gráfico correcto é o 2.

60.2.g(x) = 2x, x å ] 0, 2]; A(0,3; 0,6)

61. S = 3}53

}, 2362.1. lim

t → +`C(t) = 0. Com o decorrer do tempo, a

concentração do medicamento no sanguetende para zero.

62.2.A concentração máxima ocorreu 3 horas e 20 minutos depois da primeira administra-ção, isto é, às 12 horas e 20 minutos.

63.1.h é contínua em R. 63.2. y = 0

65.1. 2,47 ha (2 c.d.) 65.2. 6,05 ha (2 c.d.)

1.1. B 1.2. D 2. D 3. B4. D 5. D 6. C 7. C8. C 9. A 10. D 11. B12. C 13. A 14. A 15. D16. A 17. A 18. A 19. D20. A 21. A 22. D 23. C24. B 25. D 26. A 27. C28. A 29. D 30. C 31. D32. A

1.1 5 cm

1.2 O pêndulo passa no centro de }14

} de segundo

em }14

} de segundo.

1.3 44,4 cm/s

1.4

1.5 t [ 30, }214}3 < 4}

254}, }

274}3 < 4}

12

14}, }

12

}4

2.2. u = }π4

}

2.5. (k = 1 ‹ a = 3) › (k = 1 ‹ a = – 3)

4.1. 7 m

4.2.

O Manuel demora 60 segundos a dar umavolta completa.

4.3. d(t) = 9,5 ⇔ t = 5 + 60k › t = 25 + 60k, k [Z;ao fim de 5 segundos.

4.4. 5 m

5.1. 0, }23π} e π 5.2. x = }

π2

}

6.3. }π4

}

7.2. g(0) = 12. Quando x = 0, o ponto P coincidecom o ponto M e o comprimento da canali-zação é de 12 km.

7.3. }π6

}

8.1. 0





151

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ITO

RES

O

d(t)

t

5

1

12

18

14

38

O

d(t)

t5

12752

15 45 75

A B

F

P ≠ M8 km

4 km

20.2.x ) 0,2 ou x ) 12,2

21.1.f é estritamente crescente em [0,+ `[ ; y = 5.Com o decorrer do tempo o número de pes-soas que tomou conhecimento do acidente écada vez maior, e tende a aproximar-se dos 5milhares.

22.1. 35 gramas

22.2. M é estritamente decrescente em R0+ ; y = 0

Com o decorrer do tempo, a massa de açúcar

não dissolvido vai diminuindo, uma vez que a

função é decrescente. Como limt → + `

M(t) = 0,

pode-se concluir que o açúcar tende a dissol-

ver-se na totalidade.

23.1.1. x = 0

23.1.2. Dado que a função é decrescente em

40, }23

}4 e crescente em 3}23

} , + `3,

f 1}23

}2 é o único mínimo de f.

23.2.

25.1. 33 kg (aprox.)

25.2.A(2p) – A(p) ) 0,38. Se o peso de um rapaz éo dobro do peso do outro, a diferença entreas suas alturas é, aproximadamente, 0,38 m,ou seja, 38 cm.

26.1.}A(

At(+t)

1)} ) 1,1.Por cada hora que passa,a área do

crude espalhado sobre o oceano aumenta 10%.

26.2.A mancha de crude atingiu a costa às 22 h e38 min do dia a seguir ao do acidente.

27.2.40 minutos

28.2.100 watts por metro quadrado

30.1.1. 0,05 miligramas por litro de sangue

30.1.2. As concentrações voltam a ser iguais 2 h e19 min após terem sido administradas.

31.2.A área total da embalagem é mínima para

x = œ3

2w.

32.1.A quantidade de aromatizante reduz-se ametade ao fim de cerca de 7 minutos.

32.2.

34.1.0,8 mg/’ 34.2. 1h 43min

35.1.g não é contínua no ponto de abcissa 0 poislim

x → 0g(x) ≠ g (0).

36.1.5,4 m

SOLUÇÕES INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL II


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ITO

RES

x = 2,3 (1 c.d.)

O

y

t15

7654321

Pastilha XM

asti

Bo

mP

asti

lha

X

O

y

t15

7654321

Pastilha Y

Mas

tiB

om

Pas

tilh

a Y

3,4

O

y

t15

7654321

Pastilha Z

Mas

tiB

om

Pas

tilh

a Z

3.1. k = – 2

3.3. Para se obter um lucro superior a um milharde euros tem de se produzir no mínimo 901peças.

4.1. r(0) = }12

} e limt → + `

r(t) = 4

r(0) é o comprimento, em cm, do raio da nó-

doa no instante em que foi detectada;

limt → + `

r(t) é o valor em torno do qual tende a

estabilizar o comprimento do raio da nódoa,

com o decorrer do tempo.

4.2.

4.3. limt → 0

}r(t) –

tr(0)} = }

74

} e representa a velocidade

de crescimento do raio da nódoa no instante

em que foi detectada.

4.4. 5,7 segundos

5.1. y = x – 1

5.2. f é contínua em x = 1 pois f' (1) = 1 e toda afunção com derivada finita num ponto é con-tínua nesse ponto.

5.3. O gráfico de f tem a concavidade voltadapara cima em ]0, 1[ e a concavidade voltadapara baixo em ]1, + `[ ; (1, 0) são as coordena-das do ponto de inflexão do gráfico da fun-ção.

6.1. 70 °C

6.2. y = 20 ; f é estritamente crescente em [0, + `[.O gráfico de f tem a concavidade voltadapara cima.

6.3. 20 °C

6.4. A taxa de variação média da função f, emqualquer intervalo do seu domínio, é nega-tiva, pois f é estritamente decrescente.

6.5. 2 min 38 s

7.1. R é estritamente decrescente, ∀ t [ R0+ ; y = 0

7.2. }RR

'((tt))

} = – }B1

} (constante), logo R e R' são direc-

tamente proporcionais.

7.4. A = 28 e B = ln 1}11

43}2

8.1. 22,2 m

8.2. 10 m

9.2. A amplitude do sismo será de 9,1.

10.2.A concentração do medicamento foi máximaàs 12 h e 20 min.

11.2.Entre a 6.ª hora e a 11.ª hora a altura da águano reservatório desceu, em média, 0,2 metrospor hora.

12.2.32

13.2.Como v'(t) > 0, ∀ t [ [0,160], v é estritamentecrescente nesse intervalo e, consequente-mente, v(160) = 3,2 km/s (1 c.d.) é o seu valormáximo.

14.2.A altura do tabuleiro da ponte é f(0) + 6 = 24metros. Como 27 > 24, a ponte ficaria total-mente submersa.

15.1.1,5 decigramas por litro de sangue

16.1.y = x

16.2.O gráfico de f tem a concavidade voltadapara cima em ]– `, – 4] e em [– 1, + `[ e vol-tada para baixo em [– 4, 1]. O gráfico de ftem dois pontos de inflexão de abcissas – 4e – 1.

16.3.y = 0

17.1.f é estritamente decrescente em ]– `, 1[ e em]1, 2] e estritamente crescente em [2,+ `[ ;f tem um mínimo relativo para x = 2.

17.2.2 é solução da equação.

17.3.x = 1 e y = 0

18.1.76 kPa

18.2.x = 5,8 km (1 c.d.)A um aumento de 5,8 km em altitude corres-ponde uma redução da pressão atmosféricapara metade.

19.1.209 parsec

20.1.1. x = 0

20.1.2. Como f é estritamente crescente em ]0, e] e

estritamente decrescente em [e , + `[,

f(e) = }1e} é o valor máximo de f.



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ITO

RES

39.1. 2592 39.2. 0,0015 (4 c.d.)

40.1. 604 800 40.2. 2400

41. }67

}

42.1. 57,9% 42.2. 44%

43.1. 48 43.2. 480

46.1.

46.2. }17

}

47.1. }13

} 47.2. 11,6%

49.1. }292} 49.2. }

212}

50.1.1. 72 50.1.2. 16

50.2.

51.1.60 51.2. }111}

52. 11 bolas pretas

54.1.}28513

} 54.2. }29

}

55. 0pção 4

56.1.A e B são independentes

57. 0,68 58. }14

69}

59.2.}185} 60.1. 0,24

62.2. 0,74

63.

O valor mais provável que x pode tomar é 3.

64. 210 65.1. }11

09}

67.1.15840

1. D 2. A 3. C 4. D5. B 6. D 7. D 8. B9. A 10. A 11. B 12. A

13. D 14. C 15. C 16. A17. B 18. D 19. C 20. A21. A 22. C 23. D 24. C25. A 26. A 27. C 28. C29. C 30. C 31. B 32. D33. D 34. B 35. B 36. A37. B 38. A 39. C 40. C41. D 42. D 43. C 44. B45. C 46. B 47. C 48. A49. D 50. C 51. D 52. D53. A 54. B 55. B 56. C57. D 58. A 59. C 60. A61. B 62. D 63. B 64. A65. B 66. D 67. B 68. B69. B 70. C 71. B 72. B73. A 74. C 75. A 76. D77. D 78. B 79. C 80. A81. C 82. A 83. B 84. B85. A 86. C 87. C 88. D89. C 90. A 91. A 92. B93. A 94. C 95. D 96. C97. C 98. B 99. A 100. C101. A 102. C 103. B 104. D105. A 106. B 107. C 108. B109. A 110. A 111. A 112. A113. B 114. D 115. D 116. B117. D 118. C 119. C 120. A121. C 122. B 123. A 124. B125. C 126. B 127. C 128. C129. B 130. A 131. D 132. A133. D 134. C 135. D 136. C137. C 138. A 139. C 140. A141. A 142. C 143. D 144. D145. C 146. B 147. A 148. C149. D 150. D 151. A 152. C153. C 154. B 155. C 156. D157. B

1.1. 10 1.2. 26 meses

2.1. 30 g 2.2. 2,026 min

2.3. q é estritamente decrescente em R0+.

Inicialmente foram colocados 30 gramas doproduto solúvel no recipiente com água.Com o decorrer do tempo, o produto foi-sedissolvendo e a quantidade de produto nãodissolvido na água foi tendendo para zero.

2.4. x = }10

90

} In }35

} ; y = 0 ; y = – 20





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ITO

RES

X = xi 0

p(X = xi) }25

}

1,5

}185}

2

}115}

X = xi 0

p(X = xi) }57

}

1

}27

}

X = xi 2

p(X = xi) }17

}

3

}47

}

4

}27

}

1. D 2. B 3. C 4. A5. A 6. B 7. A 8. A9. C 10. D 11. B 12. C13. A 14. B 15. D 16. A17. C 18. A 19. A 20. D21. B 22. C 23. C 24. A25. C 26. B 27. C 28. B29. B 30. D 31. B 32. C33. D 34. D 35. A 36. D37. B 38. B 39. C 40. D41. C 42. B 43. B 44. D45. C 46. D 47. D 48. B49. B 50. A 51. A 52. B53. C 54. C 55. B 56. B57. D 58. D 59. C 60. D61. C 62. C 63. A 64. A65. C 66. A 67. D 68. C69. A 70. C 71. D 72. D73. C 74. B 75. B 76. C77. B 78. A 79. D 80. A81. C 82. A 83. C 84. B85. C 86. C 87. D 88. D89. C 90. A 91. D 92. B93. D 94. C 95. C

1.1. 210 1.2. 6 1.3. }218}

2.1. 60% 2.2. 25%

3. }29

}

4.1. 7685 4.2. 0,45 (2 c.d.)

5.1. 4845 5.2. 6% (0 c.d.)

6.1. É maior a probabilidade do produto ser ne-

gativo 1p = }59

}2.

6.2. Não; neste caso, os acontecimentos são equi-prováveis.

7. 20% 8. 0,2% (1 c.d.)

9. }595} 10.2. }

221}

11.1.75 075 11.2. 0,114 (3 c.d.)

12.1.2916 12.2. 0,504

13. 3% (0 c.d.)

14.1. 120 14.2. }13

}

15.1. 70 15.2. 51% (0 c.d.)

16.1. 72 16.2. }29

}

17.1.1. 3 628 800 17.1.2. 103 680

17.2. }115}

19.1. 110 880 19.2. }1

165}

20.1. 630 20.2. }214}

21.1. 0,134

22.2. }11

67} 22.3. 4% (0 c.d.)

23.1. }25

}

23.2.Sabendo que o produto dos números das duasbolas é um número ímpar (isto é, sabendo quese verifica B), então os dois números saídos sãonecessariamente ímpares. Logo, as duas bolassão azuis, e, portanto, são da mesma cor, ouseja, verifica-se A. Logo, p(A / B) = 1.

25.1.1. 35% 25.1.2. }13

} 25.2. }115}

26.1.0,0000079

26.2.Como p(A > B) = 12,5%, conclui-se que oacontecimento “a bola é amarela e tem o nú-mero 1” é possível e que, portanto, a bolaamarela com o número 1 está no saco.

27.1.}16

} 27.2. }56

}

28.1.1656 28.2.1. 10 350

28.2.2. }12

33} 29. }

439}

30.1.

30.2. 3 bolas brancas e 9 bolas pretas

32.2.1. }172} 32.2.2. 64 084 800

33.1.1. 6% (0 c.d.) 33.1.2. 0,006

35. É mais provável nunca sair o número 6.

36.1. 0,336 36.2. }117}

37. 10%

38.2. }152} 38.3. 0,12



SOLUÇÕES PROBABILIDADES E COMBINATÓRIA


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ITO

RES

yi 0

p(Y = yi) }116}

1

}38

}

2

}196}

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