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Sucesiones

MatemTICas: 1,1,2,3,5,8,13,

http://profeblog.es/blog/luismiglesias

Profesor: Luis Miguel Iglesias Albarrn

MatemTICas: 1,1,2,3,5,8,13, http://profeblog.es/blog/luismiglesias

Ejercicio

Sucesiones y Progresiones

Averigua el trmino general de las siguientes sucesiones:

a) 4, 7, 12, 19, 28,

b)


a) 4, 7, 12, 19, 28,

A primera vista parece claro que le sumamos 3, luego 5, ms tarde 7, ...

Pero, esto que parece tan simple, es difcil de formalizar, al no tratarse de un crecimiento constante, es decir, al no aumentar una cantidad fija.

Hay que buscar otra alternativa ...

Si seguimos observando la sucesin, tambin podemos darnos cuenta de que: Cada elemento se obtiene elevando al cuadrado la posicin que ocupa y, posteriormente, sumndole 3 unidades


As que SLO nos queda encontrar, una expresin, que nos permita, simplemente sustituyendo n por un nmero, encontrar el elemento de la sucesin que ocupe el lugar indicado por este nmero.

a) 4, 7, 12, 19, 28,

Bastatraducirel lenguaje verbal al lenguaje matemtico

El elemento que ocupa la posicin nen la sucesin se obtendr de la siguiente manera: elevando n al cuadrado y posteriormente sumndole 3

As, el trmino general de la sucesin es:

Finalmente, basta comprobar que todo ha ido bien, dndole valores a n

Para n=1 obtenemos 1+3=4Para n=2 obtenemos 4+3=7




a) 4, 7, 12, 19, 28,

Hemos triunfado !

Hemos encontrado el trmino general de la sucesin:


A primera vista parece claro que:

b)

(1) Al numerador le sumamos 3, de modo constante.

Luego, el numerador est formado por una progresin aritmtica de diferencia 3.

(2) El denominador lo multiplicamos por 3 y luego le sumamos 2.

Pero, esto que por separado parece tan simple, es bastante difcil de formalizar, ya que obtener el trmino generaldebemos ser capaces de obtener la fraccin completa con una nica expresin.


As que SLO nos queda encontrar, una expresin, que nos permita, simplemente sustituyendo n por un nmero, encontrar el elemento de la sucesin que ocupe el lugar indicado por este nmero.

Bastatraducirel lenguaje verbal al lenguaje matemtico

Vayamos por partes. Recuerda:Divide y Vencers

NUMERADOR: El trmino general del numerador, al ser una progresin aritmtica viene dado por la expresin:

b)

En nuestro caso: Luego el trmino general de la sucesin del numerador viene dado por:


Vayamos ahora con el denominador.

DENOMINADOR: Ya hemos visto que para calcular el denominador de un trmino, necesitamos multiplicar por 3 el denominador del trmino anterior y, luego, sumarle 2.

Bien, y cmo obtenemos el denominador del trmino anterior?

b)

Para obtener el denominador de una fraccin cualquiera, basta con dividir el numerador de la fraccin entre la propia fraccin. Veamos un ejemplo:


En nuestro caso, cuando queramos calcular el denominador del trmino

necesitamos el denominador del trmino

El denominador del trmino se obtiene dividiendo el numerador de dicho trmino, entre el propio trmino.

Ahora bien, el numerador del trmino viene dado por:

b)

Por tanto, para obtener el denominador de la fraccin, realizamos la siguiente operacin:

Finalmente, basta con multiplicar la expresin anterior por 3 y luego sumarle 2, obteniendo la expresin del trmino general del denominador:


Llegados a este punto, nos queda colocar en el NUMERADOR y en el DENOMINADOR, las expresiones correspondientes a ellos, as, por fin, habremos conseguido encontrar el trmino general de una sucesin, que aparentemente, a primera vista, no pareca nada del otro mundo.

b)

Corolario: Las apariencias engaan (y en Matemticas, an ms)

As, el trmino general de la sucesin es:


Hemos triunfado !

pero despus de esto no me quedan fuerzas, y me voy a la cama.

Finalmente, basta comprobar que todo ha ido bien, dndole valores a n

- Debes obtener al menos, los 5 primeros trminos. Para n=2 obtenemos:

b)

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