Sucesio y Series

CAPACIDADES:

Interpretar, conjeturar, formular, demostrar, abstraer, resolver y generalizar.

APRENDIZAJE ESPERADO:

-Se pretende que los estudiantes interpreten, formulen y resuelvan ejercicios yproblemas con sucesiones y series.

-Incorporar y aplicar sucesiones y series no sólo en la clase de matemáticas,sino en la vida cotidiana

NOCIÓN DE SUCESIÓN POR EL TÉRMINO GENERAL:Cuando los términos de la sucesión se for-man mediante una ley de correspondencia. Ejemplo:

Es una función con dominio en losnúmeros enteros positivos (Z+),los elementos del rango pertene-cen a los números reales y son los términos de la sucesión:

Ejemplo: Sea la sucesión E definida porF(n) = {2n - 2} ; sus términos serán:

Sn= {O; 2;4;6;8...}.

Gráficamente:F POR LA LEY DE RECURRENCIA:N Sn1. .O Cuando se establece el primer término como

punto de partida y los demás se enlazan con los que le preceden mediante una regla de recurrencia. Ejemplo:

2. .23. .44. .6

n. .2n-1

NOTACIÓN: Se denota mediante una le-tra mayúscula con subíndice y entre llaves.

3 3

POR UNA CARACTERÍSTICA:Ejemplo: A = {S }

n Cuando los términos de la suce-comúm.sión tienen una característicaDETERMI N A CIÓN DE

Ejemplo:1. La sucesión conformada por los números impares. Sn = {1; 3; 5; 7; 9;. . . }2. La sucesión conformada por los números cuadrados perfectos. Sn = {1; 4; 9, 16; 25; . . }

LÍMITE DE U N A SUCESIÓN

U N A SUCESIÓN

La sucesión {Sn} tiene por límite al núme-ro real R,cuando n tiende al infinito y simul- táneamente Sn tiende a R. Simbólicamente:

lim Sn

R ⇔ lim Sn R

n ∞ n ∞

Se lee:”El límite de la sucesión cuando n tien-de a más infinito es igual a un número real R, si y sólo si ,el límite de la sucesión es igual al número real R

PO

R E

L T

ÉR

MIN

O

GE

NE

RA

L

PO

R L

A L

EY D

E

RE

CU

RR

EN

CIA

PO

R U

NA

CA

RA

CT

ER

ÍSC

A

t1

tn + 1

t2

t3

t4

3 2tn

2t1= 2(3) = 6 2t

2 =2(6) = 12 2t

3=12(12)=24

2 n3tn

0,5t1= 0,5(2)= 1 2 (1) = 8 3 (8) = 216

TÉRMINO ENÉSIMO SUCESIÓN

Sn = 5n + 2 7; 12; 17; 22; . . .

Sn = n + 8 9; 10; 11; 12; . . .

Sn = n2 + 1 2; 5; 10; 17; . . .

Sn = nn-2 1; 1; 3; 16; . . .

RAZONANDO CONLAS

SUCESIONES I

TIPOS DESUCESIONES

A)SUCESIONES CONVERGENTES:Son las sucesiones que tienen límite. Ejem-

1. Escribe los primeros cinco primeros térmi-

n 1Sn

nplo: Asignando valores a “n”c) { n2 - 3 }a) { 5n - 3 } b) { 2n +4}

Sn n 4n 3

4 3

nd) n

2

e) { 5 - 10 } f)

n

Solución: a) { 5n - 3 } asignamos valores

A medida que crece el valor de “n”; Sn seacerca al límite que es 1, es decir, converge a la unidad.B)SUCESIONES DIVERGENTES: Sonlas sucesiones que no tienen límite.

Ejemplo: Sn={n2 + 2 } Asignando valores a“n” { 5n - 3 } = 2; 7; 12; 17; 22; . . .

4n 3

f) asignamos valores naturales

a “n”n

n

A medida que crece el valor de “n”; Sn sehace mas grande, tiende al infinito. C)SUCESIONES OSCILANTES:Son las sucesiones cuyos términos tienen signos alternados. Ejemplo: Sn={3(-1)n n } Asignando valores a “n”

(4 - 3)! 1 = 1

4n 3

= 1; 1312; 6113; 25314; 192115; . . .

n

Importante: escribirá los 5 prime-ros términos de las sucesiones b, c , d y e

2.Escribe el término general o enésimo de las siguientes sucesiones:Los términos de la sucesión tienen signos

alternados.D)SUCESIONES CRECIENTES: Cuando un término cualquiera, a partir del segundo, es mayor que el anterior. Ejemplo: 3; 5; 7; 9; 11; . . . E)SUCESIONES DECRECIENTES: Cuando un término cualquiera, a partir del segundo, es menor que el anterior. Ejemplo: 30; 25; 20; 15; 10; . . .

a) 5; 8; 11; 14; 17; . . .

d) 2; 4; 8; 16; 32: . . .3 5 7 9 11

b) 5 ;

6 ;

7 ;

8 ;

9 ;...

e) 1; 3; 6; 10;15; . . .

1 ;

6 ;

25 ;

62 ;

123

;...

c)1

f) 4; 18; 40; 70; 108;. .2 3 4 5

n Sn={3(-1)n n }1 -3

2 6

3 -9

4 12

n 4n 3

1 1

2 (42 - 3)! 2 = 13!2

3 (43 - 3)! 3 = 61!3

4 (44 - 3)! 4 = 253!4

5 (45 - 3)! 5 = 1021!5

n Sn={n2 + 2 }

1 3

2 6

3 11

10 102

n { 5n - 3 }

1 5(1)-3= 2

2 5(2)-3 = 7

3 5(3) - 3 = 12

4 5(4) - 3 = 17

5 5(5) - 3 = 22

n n 1

n

1 22 312 = 1.5

3 413 = 1,3333. . .

10 11110 = 1,111. . .

Solución: a) 5; 8; 11; 14; 17; . . .IMPORTANTE: Recuerda quepara determinar la convergencia odivergencia de las sucesiones de- bes conocer algunas propiedades de límites.

ALGUNAS PROPIEDADES DE LÍMITES

3 3 3 3Observamos que los términos de la sucesiónse llevan de 3 en 3; entonces el término ené- simo de la sucesión será de la forma 3n + k El valor de K hallamos reemplazando para n=1 e igualando al valor del primer término que es 5. Asi: 3n + k = 5; 3(1) + k = 5k= 5 - 3 = 2; finalmente la fórmula del térmi- no general o enésimo será : {3n + 2 } Solución: f) 4; 18; 40; 70; 108;. . .

Si k ∈ E ; r

∈ E

14 22

Observamos que los dos primeros términos de la sucesión se diferencian por 14 unidades y que no es la misma diferencia con el tercer término. Hallamos la fórmula para los dos primeros términos que es 14n - 10y para los demás términos agregamos un término que se anule para n=1 y para n=2 y funcione para el resto de los términos. Este será de la forma: k(n-1)(n-2), es decir si n=1 ó n=2, este se anula. Luego la ley de forma- ción del término enésimo será:14n-10 + k(n-1)(n-2); hallamos el valor de k en el tercer término que es igual a 40,Asi: para n=3 reemplazando en 14n-10 +k(n-1)(n-2), obtenemos 14(1) - 10 +k(3-1)(3-2) = 40; resolviendo resulta32+2k=40, de donde k=4. Finalmente la fórmula del término enésimo de la sucesión dada queda como{14n-10 +4(n-1)(n-2)}Importante: El alumno hallará el tér- mino enésimo de las sucesiones:b, c, d y e.3.Hallar el límite y determina la convergen-

n

n n

lim 5n 2n 5n 2 n nn

3. Solución: Hallamos el límite de la

lim n2 7sucesión:Aplicamos la propiedad N° 4 n

lim n2 lim 7 7 x x

La sucesión es divergente f)Hallamos el límite de la sucesión: Aplicamos las propiedades 4 y 5Ahora aplicamos las

3 7n 4

n2 5

propiedades 1: 2 y 3 lim 7n3 lim 4

7n3 4 n n lim

2 2 nes: n 5 lim n lim

5

5

n n

4

2n2 a) d) n la respuesta es indeterminada

n2 2

5 Levantamos la indeterminada dividiendo alnumerador y el denominador entre n3 (variable con mayor exponente)

b) e) n2 2

2

3n2

7n3 4 n3 4 n 3

n 3

7 n3 7

O lim l 5 O O

lim

n2 5n n 3 3

3

c) f) n n n n 7n 4

3 2n2 lO

La sucesión es divergente porque tiende al infinito. El alumno hallará los límites de las sucesiones: b, c, d y e.

n2 5n

4

No PROPIEDAD EJEMPLOS

1lim Knr

n

n lim 6n2

lim

3 n

n 4

2 k lim nr

O

lim

l2 O

n 2 n

3 lim k

k

lim 7 7n

4lim an bn n

lim an lim bn n n

lim 4 8nn

lim 4 lim 8n

5 a lim alim n n

n

n

b

lim b

4 n2 lim 4 n2

lim n

n

a=rI2; b=b0-a y c= a

0 .

Ejemplo:Hallar el término enésimo de lasucesión cuadrádica:7; 9; 17; 31; 51; . . . SOLUCIÓN

SUCESIONES LITERALESEstá conformado por unconjunto ordenado deletras que obedecen a

un criterio establecido. Ejemplo:En la sucesión literal : A, D, I, O,. . que letra sigue:Solución:

sólo se

usan 27

letras del

alfabeto

a a a a a a0 1 2 3 4 5

c=a =11 11 7; 9; 17; 31 51o

b b b b b0 1 2 3 4

b=b -a=- -4 2 8 14 20o

A B C D E F G H I J K L M N Ñ r6

r6

r6

r2 4 6 6a=r/

P Q R S T U V W X Y Z. Respuesta: x8

Como se observa la sucesión tiene una razón de 2 (aumenta de 2 en 2), no se han usado las letras CH y LLSUCESIONES POLINOMIALES

DE PRIMER ORDENSon aquellas sucesiones de primer grado o lineales cuyo

término enésimo tiene la forma de:

Luego el término enésimo será:

T =3n2 - 7n + 11

n

SUCESIONES POLINOMIALESDE ORDEN SUPERIORSon aquellas sucesiones mayores desegundo grado cuyo término enésimo tiene la forma de :

T = anx + bnx-1 + cnx-2 + dnx-n

. + zn+© .Donde a,b,c,d,z y © son tantes; X E

3Importante:Para hallar el término enésimode una sucesión de orden superior se usa el

Tn = r.n +

bDonde, T : término enésimon

r: razón a = primer término1n1 n1 n1 n1b: a - r T a C bC c C d

C ...n

21

Ejemplo: Escribir el término enésimosucesión: 5; 8; 11; 14; 17; . . .

Solución: 5; 8; 11; 14; 17; .

n 1 0 1 1 1 2

a3

1 3

a5

de laTérminos de la Suces. a1

Diferencias de l° Orden b

a2 a4

b b b b1 2 3 4 5

c1 c2 c3 c43 3 3 3 Diferencias de 2° Orden

Observando:a = 5; r= 3; b= 5 - 3 = 21

Entonces el término enésimo es: d1 d2 d3Diferencias de 3° Orden

Ejemplo: Hallar el término enésimo de laT = 3n + 2. Comprobamos hallando el térmi-n

no que sigue, en este caso es el sexto térmi-no (n=6)

sucesión: 2SOLUCIÓN:a = 21

72

187 18

37 66 107. . .37 66 107

Reemplazamos en la fórmula delb = 51

5 11 19 29 41término enésimo. T = 3n + 2n

T = 3(6)+ 2 = 20c = 6 6 8 10 126

1

SUCESIONES POLINOMIALESDE SEGUNDO ORDEN

d = 2 2 2 21

n 1 n 1 n 1 n 1Tn 2C0 5C

1 6C2

2C3 5( n1

)6( n1)( n2)

2( n1)( n2)( n3)

Son aquellas sucesiones desegundo grado o cuadráticas cuyo

término enésimo tiene la forma de:

Tn

0!

2 1! 2! 3!

3 2

Tn n 3 n n

3Resolviendo

3

Comprobamos hallando el sexto término que es 107Tn = an + bn +

c

23 2( 6 ) 3( 6 ) 7

3T6

107

Donde, T : término enésimo 3n

SUCESIONESHIPERGEOMÉTRICAS

Son aquellas

2.Dado la sucesión: 700; 690; 680; 670; . a)no b)

¿Qué lugar ocupaes

elese

térmi-número?negativo y cuál

¿Qué término ocupa el lugar 2000?sucesiones{T )

n

que tienen la for-ma de:

Solución: 700; 690; 680; 670; . . .

n

-10 -10 -t n+1 Observamos que la sucesión es polinomialde primer orden de razón -10 , su forma est n n

Tn = r.n +

bT

n = -10.n +

bEjemplo:Dado la sucesión:15; 105; 315; 693. . . ;comprobar si es

Hallamos el valor de “b”, para n=1; t = 7001

b = 710; entonces hipergeométrica y luego hallar

, ,

700 = -10.1+b;Solución:La sucesión se puede

expresarcomo: 1x3x5; 3x5x7; 5x7x9; 7x9x11; .

término enésimo es: T = -10.n+ n

a) Hallamos qué lugar ocupa el tér-mino negativo y cuál es ese

t =(2n-1)(2n+1)(2n+3); t

=(2n+1)(2n+3)(2n+5)

n n+1 T

n<0

;-10.n+ t n

1

(2 n 1)(2 n 3)(2 n 5)

(2 n 5)

Resolviendo n>71Entonces el primer término negativo ocupa el lugar 72 y es: T

72 = -10.72+ 710 = -10

(2 n 1)(2 n 1)(2 n 3)

(2 n 1)t

n 2; 5;

1 b)Hallamos el término que ocupa

ellugar 2000.T

2000 = -10.2000+ 710 = -19290

3.Hallar el término que ocupa el lugar 30 en la sucesión:9; 15; 23; 33; 45; . . .

RAZONANDOCON LAS

SUCESIONES II

9; 15; 23; 33; 45;. .5c=a0=

5 aBATERÍA DE PROBLEMAS

RESUELTOS Nº 2

0

6 8 10 12b=b0-

a=34

b0

r 2que

2la

2 2a=r/1.¿Cuántos términos tiene lasucesión: 5; 8; 11; 14; . . . ; 242Solución: 5; 8; 11; 14; . . . ; 242

Observamos sucesión es poli-nomial de segundo orden su forma esT = T =

n nAhora hallamos el término de lugar 30

r 3 3 3 T =(30)2+3(30)+5 = 30

4.Dado las Observamos que la sucesión es polinomialde primer orden de razón 3 , su forma es

a = -42;-38; -34; -30; . . .;110T

n = r.n +

bT

n = 3.n +

b

n

an ∩

bn

b = -69; -62; -55; -48; . . .; 113.Hallar:Hallamos el valor de “b”, para n=1; t = 5

1

b = 2; entonces Solución Primero hallamos el tér-

5 = 3.1 + mino enésimo de ambas sucesiones:término enésimo es: T

n = 3.n + 2

Ahora hallamos el número de términos para= 7n - 76; luego halla-a =4n- y

n n

mos el término donde coinciden ambosvalores igualando4n - 16 = 7n - 76 en el término 10

las sucesiones: a = bn n

n= 10 ; coincidendonde ambos valen -6.

Tn=242; 242 = 3.n

+ 2n=8

Asi: 2/1; 3/3; 5/5; 8/7; 12/9; . . .Analizamos el numerador: 2; 3; 5; 8; 12; Es una sucesión cuadrática

2

n

n 2 1 2 3 4Tn

2 214

Su 100 término es: 1 1 1(10)2 10

T

2 47

n 2 226

Analizamos el denominador: 1; 3; 5; 7; 9; . .30

Son los números impares T = 2n - 1n

Su 100 término es: 2(10) - 1= 19 47Luego; el 100 termino de la sucesión es: 19

Finalmente an bn ={-6; 22; 50; 78; 106; }

5.hallar el 300 término de la sucesión:

8.Hallar por cuatro métodos diferentes eldécimo término de la sucesión cuadrática:32; 96; 192; 320; 480; . . .Solución:A)Primer método(por la fórmula del término enésimo de una

Solución 6; 10; 21; 42; 76....

4 11 21 34

ecuación de segundo orden ,T =an + bn + c)

7 10 13 2

0 32; 96; 192; 320; 480;a

03 3 32 64 96 128 160Observamos que la sucesión es polino-

mial de orden superior su forma es:

6

4(n 1)

7(n 1)(n 2)

3(n 1)(n 2)(n

b0

32 32 32 32

r

a= r/2 = 32/2 = 16; b=b0-a=16

c=a0=0T =16n + 16n + 0; remplazando valores paran

20! 1! 2!

n 2

3!

2n 12

n=10 T =16(10)2 + 16(10) + 0 = 176010

n3tn 32 64(n 1) 32(n 1)(n 2)Tn Ahora hallamos t 0! 1! 2!30 B)Segundo

3 2 (de combinación, teorema de Gregory) 30 30 2(30) 12 27852

t30T = 32 +64(n-1)+16(n-1) (n-2)

n

=32 + 64(9) + 16(9)(8)=17606.hallar el 200 término de la sucesióncuadrática: 20 ; 31 ; 46 ; 101 ; 130 ....

(x) (x) (x) (x) (x) D)Tercer método (de Solución: Los números están escritos enbase distinto al decimal, donde x>6; puedeser 7; 8 ; 9;...; los términos de la sucesión expresada en base 7 son:14; 22; 34; 50;70;.. que viene a ser una sucesión de 20 Orden.

A(l) + B(l)+(C)=32

2

14; 22; 34; 50; 70 Resolviendo el sistema de ecuaciones:A=16; B= 16 y C = 0 T =16n2 + 16n +

n

17608 12 16 20 T =16(10)2 + 16(10) + 0 =10

E)Cuarto método (hipergeométrico)La sucesión se puede expresar como

4 4 4El término enésimo es: T = 2n2 + 2n + 10

n

El 200 término es: T =2(20)2 +2(20)+10=85020

7.hallar el 100 término de la sucesión:2; 1; 1; 8/7; 4/3Solución: La sucesión se puede

4x8; 8x12; 12x16; 16x20; 20x24; . . .

y su término enésimo es:T = [4(n)] [ 4(n+1)]n

Remplazando valores T = [4(10)] [ 4(10+1)]10

T = [40] [ 44] = 176010

an

Ecuacióna

l = 32 2 A+B+C=32

a = 96 A(2)2+ B(2)+(C)=32 4A+2B+C=96

a = l923

A(3)2+ B(3)+(C)=32 9A+3B+C=l92

TÉRMINOS VALORESa

n=4n-46 b

n = 7n -

a10 a10 -6

a17 b 22

a24 b18 50

a31 b22 78

a38 b 106

a45 b 134(incorrecto)

Sus términos varían de 7 en 7

Sus términos varían de 4 en 4

Los valores varían de 28 en 28 que es el mcm de (4 y 7)

SUCESIONES ESPECIALES

PROGRESIONESARMÓNICASPROGRESIONES

ARITMÉTICAS

Son aquellas sucesiones donde sus térmi-nos son las inversas de las progresiones aritméticas.

Son aquellas sucesiones de primer ordendonde un término cualquiera es igual al anterior incrementado en una misma cantidad llamada razón.Su término enésimo es:

1 ;

1 ;

1 ;

1Ejemplo: : .

.3 7 11 15

Su término enésimo se halla con la fór-an

= a1

+ (n-1) rDonde:a

n= término de lugar “n”

mula de la progresión aritmética, luegoresultado se invierte.

al

a1= primer término de la progresión

r = razón o diferencia de la progresiónn = número de elementos de la progresiónEjemplo:Hallar el vigésimo término de la progresión:2; 5; 8; 11; 14; . . .

PRÁCTICANº 1

SUCESIONES

AHORA TE

Observamos que: an

= a1

+ (n-1) r TOCA A TIa

1 = 2; r =3; n= 20; a

20 = 2 + (20-1) 3

Luego el vigésimo término es: 2+19(3) = 59 CEREBRITO

1.En la sucesión :12; 48; 9; 36; 6; 24; a; b ; . . .Hallar a + b

a) 12 b) 13 c) 15 d) 18 e) 20PROGRESIONESGEOMÉTRICAS 2 Qué término

10; Z;sigueQ;

d)

en9;

laY; T

sucesión 1; 2;Sa) P b) Q c) R e)Son aquellas sucesiones donde un término

cualquiera es igual al anterior multiplicado por una misma cantidad llamada razón. Que letra

b) Ssigue:G;

c) TL; O; R; . .

e).

V3. I d) U

Su término enésimo es: an

= a1 .

r

n-1

3 n 4 2 n 4. La siguiente Donde:

an= término de lugar “n”

S n3

1

a)es divergentec)converge a 3

b) converge a 0a

1= primer término de la progresión

r = razón de la progresiónn = número de elementos de la progresiónEjemplo:Hallar el décimo término de la progresión:2; 4; 8; 16; 32; . . .

d) es indefinida e) N.A.

5.¿Cuántos términos tiene la sucesión?3;

a) 10010;b) 102

17; 24;. . . 696e) 108c) 104 d) 106

an

= a1 .

r

6.Hallar el término que ocupa el. .

n-1Observamos que:lugar 2010 en la sucesión: 1; 3; 5; 7; .

a10

= 2 . 2

10-1a1

= 2; r =2; n= 10; Luego a)1011 b) 2013 c) 3015 d) 4019 e) 4021el décimo término es: 210 = 1024

7. Halla el término que sigue en la 17.Si la sucesión: 10; 18; x; 56; 94; y: . . espolinomial y de tercer orden, halle su décimotérmino.

2 ; 2;

b)

8; 4; ...a) 6 c) 8 d) e)

14 18 32a) 620 b) 624 c) 630 d) 634 e) 640

8.En el siguiente arreglo triangular hallar a n

tiene 20 filas. 18. Hallar el término de lugar 20 en la suce-sión polinomial de primer orden cuyos térmi-

13 4

5 8 12 _ 7 12 20 32 a; ba; (b+1)a; (b+2)a: (b+3)a; . . .

9 16 28 48 80 a) 175 b) 185 c) 195 d) 205 e)215a - - - - - - - - - - - - a

20 n19. En el mes de febrero del 2008 Franz tuvoun record de visitantes en su blog; el primerdía le visitaron 8 personas, el segundo día 13, el tercer día 20, el cuarto día 29, el quinto día40 y asi sucesivamente.¿Cuántas personas

a)5.217 b) 5.218 c) 5.219 d) 5.220 e) 5.221

9.Halla el 210 término de:2; 9; 28; 65; 126; . .a)9520 b)9262 c)9530 d)10340 e)10540

10. Halle el 200 término de la sucesión en el

sistema decimal: 157;

267; 46

7; 75

7;. . .

a) 845 b) 850 c) 875 d) 904 e)905

20.En la sucesión literal: L; M, M; J; .....que

11. ¿En qué termina lanúmero

fila que100?

a) K b) N c) O d) R e) Vcomienza con el

246810

21. En la progresión aritmética decrecien-te: 69; 65; 61; 57; . . . Halla la suma del pri-

691215

121620

2025

a) -110 b) -111 c) - 113 d) - 114 e) - 11530

a) 2000 b) 2200 c) 2300 d)2450 e) 2550 22. El tercer término de una progresiónaritmética es 22 y un término no conse-cutivo posterior a él es 31. Halle el térmi- no de lugar 100 si la razón es mayor que 1.

12.Hallarsucesión:a) -1 b)

el primer término negativo de la.512; 509; 506;

d) -4503; .e) -5

.-2 c) -3 a) 312 b) 314 c) 316 d) 318 e) 320

13. Hallar el de lugar 31 en la 23. Si la progresión aritmética: xy; xp; xq; yx;sucesión: 22; 42; 74; 121; 186; 272; . . .

a)18000 b)18010 c)18020 d)18220 e)18022 a) 18 b) 19 c) 19 d) 20 e) 21

14 ¿Cuántos términos de la sucesión: Halle el 200 término de la pro-2410; 22; 34; 46; 58; 70; . . . son núme- gresión armónica: 1/5; 1/8; 1/11; . . .ros de tres cifras terminados en 0? a) 1/58 b) 1/59 c) 1/60 d) 1/61 e) 1/62a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

25. En una progresión geométrica de 15.¿Cuántos términos de la sucesión:15; 22; 29; 36; 43;. . . ; tienen cuatro cifras enel sistema de base 6 ?

términos y de razón igual a 3; el décimo

273.

33

témino es

b)

Hallar el primer término.

34 32 31 30a) c) d) e)a) 154 b) 155 c) 156 d) 157 e) 158

26.

26x-4;a) 0,8

En la progresión geométrica:16. Halla a + b + c ,en la sucesión:

1534; 1836; 2138; 2440; 2742; . . . a(2b)cabc 22x-1;b) 0,7

2x/2;c) 0,6

. . . Hallar “x”d) 0,5 e) 0,4a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

3. SERIE INFINITA DECRECIENTE EILIMITADA (SUMA LÍMITE):SERIES Son adiciones

indicadas desucesiones, elvalor de laserie estáexpresado porla suma

Ejemplo: Dado la sucesión:

Representa la suma límite desión geométrica decreciente

una progre-e ilimitada.

Se calcula con la fórmula: a1S 1 r

Ejemplo: Hallar. S = 9 + 3 + 1 + 1/3 + . . .

Solución: a1

= 9 , r = 1/39

S

13, 5

Sn ={a1; a

2; a

3; a

4;. . .a

n}.La serie será:

Sn = a1

+a2+ a

3+ a

4+ . . .+a

n

PRINCIPALES SERIES

11

3

4. SERIE CUADRÁTICA:Es la suma de una sucesión de segundoorden o cuadrática. Se calcula con la fórmula:

1. SERIE DE PRIMERGRADO O ARITMÉTICA

Sus términos forman una progresión aritméti-ca. Para hallar esta serie se utiliza la fórmula:

Sn a1 (n)

b1 (n)(n 1)

c1 (n)(n 1)(n

2) 1! 2! 3!

a1

= primer término Ejemplo:Hallar.S = 2+5 +10 +17 +26+. . + a1 an

n

Sn

n

20 términosan

= último término n = número total de

términos

2 Solución2 5 10 17 26a

1Sn = Suma de términos de la sucesión

aritmética.Ejemplo: Hallar el valor de:3 + 5 + 7 + . . . + 135

b 3 5 7 91

c 2 2 21Solución: a

1 =

3;

an

=135 . n = Reemplazando en la fórmula:Necesitamos hallar “n” para aplicar la fórmulaHallamos “n” con la fórmula del término ené- simo de la sucesión lineal.

2(20 3(20)(19)

2(20)(19)(18)

1! 2! 3!

Resolviendo S= 40 + 570 + 2280 = 28905. SERIE DE GRADO SUPERIOR:

Sus términos forman una sucesión de grado superior. La serie se halla con la fórmula:

Tn = 2n + 1n= 67

135 = 2n + 1 134 = 2n

Sn 3 135

67

4623

2

2. SERIE GEOMÉTRICA:Sus términos forman una progresión geomé-trica. Para hallar esta serie se utiliza la fórmula:

Sn= a1 (n)

+ b1 (n)(n-1)

+ e1 (n)(n-1)(n-2)

+ d1 (n)(n-1)(n-2)(n-3)

+.....1! 2! 3! 4!

Ejemplo: hallar S= 1+3+19+61+141+...+t

10 términosSolución:

n

a1 (r n 1)Sn

r 1 a1

b1

c1

1 3 19 61 141

Ejemplo: Hallar el valor de:

1 + 2 + 4 + 8 + . . . + 219

2 16 42 8019Solución: a

1 =

1;

an

=2 . n =2014 26 38

Reemplazando en la fórmula:12 12d

1Reemplazando en la fórmula:

1(220 1)Sn

1048575

1(10) 2(10)(9) 14(10)(9)(8) 12(10)(9)(8)(7)Sn=

+ + + =43002

11! 2! 3! 4!

3.Suma de los “n” primeros númerosnaturales

6. SERIEforma de:

HIPERGEOMÉTRICA:Tiene laS= 2+ 4+ 6+ 8+ . . . S= n (n+ 1)

n

tn

1tn n 4.Suma de los “n” primeros

númerosnaturales La serie hipergeométrica se halla con la S = n2S = 1+ 3+ 5+ 7+ . . .

fórmula:Sn

tn (n )

t15.Suma de los cuadrados de los

“n”primeros números

;

yDonde: son diferentes de

O S n(n 1)(2n

1)

S = 12+ 22+ 32+. . . +n2

tn= término enésimo

n= número de términos6

6.Suma de los cubos de los “n”

primeros números t = primer término1 = Coeficiente de n

= Término independiente en el numeradorS = 13+23+33+. . . n3 2

n(n 1) S

2 7.Suma de las cuartas potencias delos “n” primeros números

=Término independiente en el denominadorEjemplo:Hallar S=1x3x5+3x5x7+5x7x9+. . .

S = 14+ 24+ 34+ . . . n4

n(n 1)(2n 1)(3n2 3n 1)

2O términosSolución: Le damos forma se sucesión hipergeométrica.

tn

= (2n-1)(2n+1)(2n+3)

tn+1

=(2n+1)(2n+3)(2n+5)

tn1 (2n 1)(2n 3)(2n 5)

(2n 5)

S 308.Suma de las quintas potencias

delos “n” primeros números

naturales:n2 (n 1)2 (2n 1)(2n2 2n 1)

tn (2n 1)(2n 1)(2n 3) (2n 1)

S 12 donde: = 2 = 5 = -19.Suma de los productos binarios

delos “n” primeros números

Sn tn (n )

t1

Sn (2n 1)(2n 1)(2n 3)(2n 5)

15(1)n(n 1)(n 2)

S 3Sn

(2(20) 1)(2(20) 1)(2(20) 3)(2(20) 5) 15(1)

3867602 5 (1)

SERIES NOTABLES 1O.Suma de los productos ternarios

de los “n” primeros números

1.Suma de los elementos neutros

multiplicativos n(n 1)(n 2)(n 3S

S = 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ . . . . S = n 4

11.Suma de las “n” potencias de

igual base:

S = k1+ k2+ k3+ k4+. . . +kn

n términos

2.Suma de los “n” naturales nk (k 1)

S n(n

1)

S = 1 +2+ 3+ 4+ 5+. . . .+ n S k 12

n términos

12.Suma de las inversas deproductos de igual razón: RAZONANDO CON 1 1 1 1

...

SERIESa1 xa2

r

a2 xa3

r

a3 xa4

r

an1 xan

r BATERÍA DEPROBLEMAS

1 1 1 RESUELTOS N° 31. Halla la suma de las cifras de la suma de

los 10

S

a1

an i

13.Suma de números enteros

consecutivos:

A = {10; 15; 20; 25; . . . }n

Bx= { 7; 10; 13; 16, . . .}

a) 19 b)20 c) 21 d)22Solución:

e) 23

(n m)(n m 1)S

Los términos enésimos de las sucesiones

2 son: A = 5n ; B = 3x + 4; por condiciónn

del problema:x

5(2) = 3(2) + 45(5) = 3(7) + 4

5(8) = 3(12) + 45(11) =3(17) + 45(14) =3(22) + 4

14.Serie geométrica de “n” términospositivos:

S= 1 + x1 + x2 + x3 + x4 + x5 +. . . + xn-1

Los términos que coinciden son:10; 25; 40;55; 70;. . . ,forman una progresión aritmé-

tica cuyo término enésimo es: tn= 15n - 5

donde t10

= 15(10) - 5 = 145 y la suma

xn 1S x 1

de los 10 primeros términos es:15.Serie geométrica de infinitostérminos:

S= 1 + x1 + x2 + x3 + x4 + x5 +. . . + o S t1 t10 10

10 145 10

775

10 2 2 1 0

1

xS

Respuesta: 1 x

(condición de convergencia) 2. Halla

1 1 1 1 116.Serie geométrica de “n” términos

con signos alternados(+) y (-):

S

...3.3 9.5 15.7 21.9 213.73

a)24/73 b) 24/146 c) 12/73 d) 12/146 e) N.ASolución: Factorizando

(+), si n es par

(-), si n es imparxn

1S x

1

1

1

1 1 1 1 ...

S3 1.3 3.5 5.7 7.9 71.73

17.Serie geométrica de coeficientescrecientes naturales de infinitos

términos:

S=1 + 2x +3x2 + 4x3 + . . . + o

Aplicando la fórmula 12

1 1 1S

a

a i 1 n

1 1

1 1 121 0

x

13

1 73

2

S

73 2(1 x) Respuesta: (condición de convergencia)

3.tCuántos términos hay que considerar enlas 2 series para que la suma de ambas seala misma?

S1

= 2; 4; 6; 8; . . . n términos

S2= 50; 48; 46; 44, . . .n términos

a) 21 b) 22 c) 23 d) 24 e) 25Solución:Sabemos que:

S1

= (n+1), suma de números pares

Solución:Ordenando:

S = 5+8+11+14+17. . . t = 3(50) + 2 =152

1 50

S2

= 6+9+12+15+18 . . . t50

= 3(50)+3 = 153S

1 =[(5+152)12]50 = 3925

S = [(6+153)12]50 = 3975

2

Finalmente S = S1

+ S2

= 3925+3975 = 7900Respuesta d

Sn al an

n

6. Halla la suma de cifras del resultado de y S

2=

suma

,2

de 12

22

32

42

.

.

.

22

32

42

52

.

.

.

32

42

52

62

.

.

42

52

62

+ 202+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+ . . . . . . . . . . .de términos una progresión

+ 202+ . . . . . . .aritmética. Reemplazando valores en la fórmula

S2= (51-n)n

Según la condición del problemaS

1 = S

2

+ 202+ . . . . .

72 +. . . . .+202

.

..

2n = 50, de dondeRespuesta e

n= 25

202

a) 94.Calcular 20 cifras b)10 d)12 e) 13Solución: Si observamos cuidadosamente

Tenemos 1.12+2.22+3.32+4.42+. . .

S= 3 + 33 + 333 + 3333 + . . . + 33... 333a) 62 b) 63 c) 64 d) 65Solución:Multiplicamos por 3

e) 6613+23+33+43. de los 20

. . 203 (Suma de los cubos primeros números naturales)

20 cifras[(20.21)12]2

=44100.S= Donde lasuma de las cifras es 4+4+1+0+0 =9Respuesta a

3S= 9 + 99 + 999 + 9999 + . . . + 99...999

3S=[101-1 + 102-1 + 103-1 + . . .+ 1020-1]

3S=[101 + 102 + 103 + . . .+ 1020 - 20(-1)] 7. Si M = 1 + 2 + 3+ 4 + 5 + . . .+ S =VVV

( Suma de la “n” potencias de igual base)20 cifras

a)108 b) 37 c) 216 d) 36 e) 206Solución:1 + 2 + 3+ 4 + 5 + . . .+ S = S (S

l) VVV3S=[ 10(1020 -1) - 20]

=10[( 99...999)19- 20] 2

(suma de los S primeros números naturales)Resolviendo: S(S+1) = 2(100v + 10V +V)

3S = 10[( 11...111] - 20

21 cifras

S(S+1) = 2(101V) S(S+1) = 2(37.3V)S(S+1) = 37. 6V 36.(36+1) =37.6VDe donde S=36 y V = 6Respuesta c

SV = 2163S = 11...11090 ; S= 3703. . . 370307 veces 3 + 6veces 7 = 7x3 + 6x7 =Respuesta b

100 sumandos

21 +42 8.Hallar la suma de cifras del resultado de S:

S=23 + 43 + 63 + 83 + . . . . 203a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) 14Solución: Factorizando

S=23(13 + 23 + 33 + 43 + . . . . 103)5.Hallar

S= 8 [ (10.11)12]2

S = 8.552 24200a) 7600 b) 7700 c) 7800 d) 7900 e) 8050Luego la suma de cifras de S es= 2+4+2= 8Respuesta b

9. Hallar Z7326 = 123 + 122 + 121 + 120 + . . . + za) 21 b) 22 c) 23 d) 24 e) 25

10. Halla sumatoria de todos los ele-mentosFila 1Fila 2Fila 3Fila 4

.

.

del siguiente2

4 4

arreglo triangular:

68

68

..

.

68

.NIVEL I 8

. .. . .

..

. . . . .. . . . .Fila 15

a) 2380 b) 2480 c) 3280 d) 3480 e) 4320

NIVEL II

1. El siguiente triángulo numérico está forma-do por el - 1 y todos los números impares po-sitivos en forma correlativa. Calcula la suma de todos los números ubicados en la fila 20 (Problema 5 , ONEM 2005 -II Fase Nivel 2)

Fila 1Fila 2Fila 3Fila 4

.

.

-11 3

5 7 911 13 15

..

17

...

.

. .. . .

. . . . . .. . . .

d)6960 e) 7960Fila 20a) 3960 b) 4960 c) 5960

2.Calcular S= 1+ 11+ 111 + 1111 + . . .11...111(UNI 97 II )

1 10n1 10

1 10n1 10

a) E n1b) E n19 9 9 9

1 10n1 10

1 10n1 10

n1d ) E n1e)N.Ác) E9 9 9 9

3. Halla la suma de cifras del resultado de F

10 cifrasd) 17a)14 b) 15 c) 16 e) 18

PRÁCTICA N° 2SERIESAHORA TE

TOCA A TI

CEREBRITO

1.Hallar RR=1 + 3 + 5 + 7 + 9 + . . . + 2n-1

50 sumandosa)1500 b) 2000 c) 2500 d)3000 e) 3500

2. ¿ Cuántos sumandos hay en la serie ?2 + 4 + 6 + 8 + . . . + 2n = 992a) 31 b) 32 c) 33 d) 34 e) 35

3. En la serie: 1 + 2 +3 +4 + . . . n = 378 hallar na)25 b) 26 c) 27 d) 28 e) 29

4. Calcular S= 22+42+62+82+. . . +1002

a)17070 b)17170 c)170070 d) 171700 e) N.A.

5.Hallar SS= 1+1+1+4+8+3+9+27+5+16+64+7. . .

60 sumandosa) 44100 b) 46970 c) 47010 d)47370 e) N.A.

6.HaIIar S (x, número par menor que

3) S = 1 + 2 + 3 + 4 +. . .+ xxxa)24753 b)24754 c)24756 d) 24853 e) N.A.

7.Calcular:

S 1 1

1

1

...5 25 125

a) 314 b) 413 c) 415 d1 514 e) 315

8. Hallar SS= 1 - 2 + 4 - 8 + 16 - 32 + . . .

12 sumandosa)1365 b) -1365 c) 2730 d) - 2730 e) N.A.

NIVEL III4. Halla la suma de todos los términos de lasucesión finita. ( San Marcos 2003) 1. Hallar S, si está en progresión a) 1836 b) 1785 c) 1863 d) 1896 e) 1752 S= 23 + 30 + 35 + . . . 155

(x) (x) (x) (x)a)1214 b) 1314 c) 1215 d)1216 e) 1218

5. Si la suma de los 20les consecutivos es N, la

números natura-suma de los 20 2. Hallar S + V + P

siguientes será: (Villareal 2001) Si 5 + 7 + 9 + 11 + . . . = SVSVP sumandos

a) 113 b) 114 c) 115 d) 116 e) 117

a) N b) N + 20 c) N + 400 d) N + 120 e) N.A.

6.Hallarde: M

la suma de las cifras del resultado

1 2 3 43.Hallar P = 2 S + 2 S + 2 S + 2 S M=1+3+5+11+33+55+111+333+555+ . . .

10 sumandosV = 1 + 1.2 + 2. 3 + 3.4 + . . .

60 sumandosa) 24 b) 25 c) 26 d) 27 e) 28

S.682 V 111 sumandos

7. Halla la sumatoria de todos los elementos

a)1/5 b) 3/7 c) 2/ 7 d) 1/ 7 e) 1/21

Fila 1Fila 2Fila 3Fila 4

Fila 5

.

5 4. Halla f + r + a + n + z, si los sumandos6 6

7 1 78

6

8 2 3f + 10 + 30 + 90 + . . . =

(n) (n) (n)9 4 5

.. .

.

9. . . .

. .. .

r sumandosb) 27. . . a) 26 c) 28 d) 29 e) 30

. . .Fila 205.Hallaa) 4/3

8 = 1 +b) 5/3

1/8 + 3/32c) 7/2

+ 7/128d) 3/5

+ . . . .e) 7/5

a)15281 b)16721 c) 17684 d) 15106 e) N.A.

6. Una pelota se suelta desde una altura de 42metros, si en cada rebote alcanza una altura iguala los 3/5 de la altura anterior. Calcula la distancia

8. Calcular pp= 1 + 2 + 6+ 12 + 20 + . . . . + 420a) 2270 b) 2280 c) 3080 d) 3081 e) 4320

a)160 b) 162 c) 168 d) 170 e) 1729. Sumar:1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + . . . . . . . . . . . . .+ 24

2 + 3 + 4 + 5 + 6 + . . . . . . . . . . . . .+ 243 + 4 + 5 + 6 + . . . . . . . . . . . . .+ 24

4 + 5 + 6 + . . . . . . . . . . . . .+ 245 + 6 + . . . . . . . . . . . . .+ 24

7. Hallar s+m en:1.5 + 2.6 + 3.7 + 4.8 + . . . + s.m = a)56 b) 58 c) 60 d) 62 e) 648. Hallar R en:R= -2+0 + 0+ 0+ 2 + 8 +20 + . . . + 6552a) 47 502 b) 47450 c)47500 d) 45600 e) N.A.9.Un jardinero tiene que regar sus 10 plantas de naranjos situados en línea recta.Si su primera planta se encuentra a 3 metros del pozo de agua y las plantas se encuentran separa- das entre si entre 3 y 5 metros alternadamen- te, sabiendo que en cada viaje que realiza solo puede regar una planta. ¿Cuál es el recorri- do total que hará para regar todas las plantas?

. ..

.

.

.

.

.

.23 +

.

.

.24

+ 24d) 5800 d) 5900a)4800 b) 4900 c) 5000

a) 390 b) 395 c) 400 d ) 485 e) 49010. Hallar S

S = 6 + 24 + 60 + 120 + . . . . 9240a)53103 b) 53010 c) 53303 d) 53130 e) N.A.

10. Sea N = 9 + 99 + 999 + 9999 + . . . + 99...9992009 veces

¿Cuántas veces aparecerá el dígito 1 en el número N (ONEM 2010-Segunda Fase- Nivel II)a) 2007 b) 2008 c) 2009 d) 2010 e) 2011

Dos velas del mismo tamaño se prenden

simultáneamente.Después de cierto

tiempo una de las velas es “V”

veces el otro, si se sabe

que uno se agota en

CAPACIDADES: Interpretar, comprender, formular, plantear, resolver y


- Interpreta y comprende problemas con ecuaciones.

- Plantea y resuelve ecuaciones.

- Formula problemas con ecuaciones.

- Aplica las ecuaciones en la solución de problemas de la vida cotidiana.

b) Indeterminadas: Cuando admiten ilimi-tadas soluciones.Ejemplo:4x + 2( x + 4 ) - 5 = - 7 + 5(x + 2 ) + x4x + 2x + 8 - 5 = -7 + 5x + 10 + x6x + 3 = 6x + 3. se verifica para cualquier

c: No admiten solución alguna por eso sellaman ecuaciones absurdas.Ejemplo:2 ( 2x + 5 ) = 3 ( x + 4 ) + x4x + 10 = 3x + 12 + x10 = 12 (absurdo). C.S. = { }

II)POR EL GRADO DE SU

NOCIÓN DE ECUACIÓN 1. Ecuaciones lineales.-Cuando son deprimer grado.Ejemplo:

Es la relación de igualdad entre expresionesalgebraicas, contiene variables(incógnitas )y números.

2. Ecuaciones cuadráticas.- Cuandoson de segundo grado.Ejemplo:

x2 + 5x + 6 = 0

CONJUNTO SOLUCIÓN DE UNAECUACIÓN (C . S.)

Son los números, valores o elementos queverifican el valor de verdad de una ecuación,

3. Ecuaciones de tercer grado.- Cuan-do el grado de la ecuación es 3Ejemplo:

x3 - 3x2 - 10 = 13x - x2. ; etc.

tambien se conoce como raícesción.Ejemplos de ecuaciones1. 3x + 2 = 26

de la ecua-

El valor de la incógnita que verifica la ecua-ción es x = 8 C.S. = {8} III)POR LA CANTIDAD DE VARIABLES2. x(x - 3) 10Los valores de x que hacen verdadera la ecua-ción son x= -2 y x= 5; llamados tambien raí-

1. Con una variable.Ejemplo:2x - 9 = x + 6

ces de la ecuación C.S. = { -2; 5 }

CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIÓNES 1. Con dos

variables.Ejemplo:x + y = 42x - y = 53. Con tres variables.Ejemplo:x + y + z = 20

I)POR EL TIPO DE SOLUCIONES:

Ecuaciones compatibles.-1admiten por lo menos una solución, éstaspueden ser:

a)Determinadas.- Admiten un númerolimitado de soluciones.

Ejemplo: (x2 - 1 ) ( x + 2 ) = 0

PASOS PARA PLANTEAR ECUACIONESIV) POR SU

1. Ecuaciones racionales.-Cuando susincógnitas tienen exponentes enteros y no

COMPRENDA EL PROBLEMA

DISEÑE UN PLAN DE SOLUCIÓN

EJECUTE EL PLAN DE SOLUCIÓN

EXAMINE LA SOLUCIÓN OBTENIDA

a) Ecuación racional entera:Cuando sus incógnitas sólo están afectadasde exponentes enteros positivos, no tienen incógnita en el denominador.Ejemplo:

3x2 + 2x - 5 = 2x2 - 6x + 16b) Ecuación racional fraccionaria:Cuando sus incógnitas tienen exponentes ne-gativos o tienen incógnita en el denominadorEjemplo: 3

5 x2 19x x

COMPRENDA EL PROBLEMA

Reconociendo las incógnitas, los datos y las condiciones.

2. Ecuaciones irracionales.-Cuando susincógnitas tienen exponentes fraccionarios,decimales o están dentro de un radical. Ejemplo:x 1 5

x 2 6

DISEÑE UN PLAN DE SOLUCIÓN

planteando el problema traduciendo el enunciado verbal y expresándolo con signos matemáticos.

PLANTEO DE ECUACIONES

Plantear una ecuación es traducir un enunciado verbal y expresar con sím- bolos matemáticos en unaexpresión algebraica.

ENUNCIADO VERBAL

EJECUTE EL PLAN DE SOLUCIÓN

resolviendo la ecuación usando los métodos de solución aprendidos en clase.

TRADUCCIÓN EXAMINE LA SOLUCIÓN OBTENIDA

Verificando sus resultados en las operaciones y procedimientos aplicados en otros problemas.

SÍMBOLOSMATEMÁTICOS

EXPRESIÓNALGEBRAICA

La comprensión de lectura es muy importante en latraducción de enunciados verbales

ALGUNOS EJEMPLOS DET RADUCCIÓN DE ENUNCIADOS

VERBALES A FORMAS SIMBÓLICAS

N° ENUNCIADO VERBAL FORMA SIMBÓLICA1 El triple de un número aumentado en 8 3x + 8

2 La suma de dos números consecutivos x + (x + 1 )

3 Un número par disminuido en siete 2n - 7

4 Un número par aumentado en su mitad (2x - 1) + (2x-1) / 2

5 Mi edad dentro de cinco años x + 5

6 Tu edad hace ocho años x - 8

7 El doble de mi edad aumentado en 40 es igual a 80 años 2x + 40 = 80

8 Un número aumentado en su inverso es igual a treinta x + 1/x = 30

9 Tres números se encuentran en relación a dos; tres y cinco

2x, 3x ; 5x

10 El cuadrado de la suma de dos números ( a + b )2

11 La suma de los cuadrados de dos números a2 + b2

12 Las edades de Pedro y Juan suman 90 años Edad de Pedro: x; edad de Juan 90 - x x + (90 - x) = 90

13 Faltan transcurrir dos tercios de las horas transcurridas horas transcurridas:x; faltan transcurrir: 24-x

24 - x = (2/3)x

14 Un número de cuatro cifras abcd

15 Un número capicúa de cinco cifras abcba

16 Gasto los cinco séptimos de lo que no gasto gasto: x; no gasto: y x = (5/7)y

17 El cociente de dos números es igual a la cuarta parte del número mayor

a: número mayor; b: número menor(a/b) = ( a/4)

18 Mi edad es excedido por tu edad en quince años Mi edead: x ; tu edad: x + 15

19 La semisuma de dos números (x + y) / 2

20 La suma de las cifras de un número de tres dígitos es múl- tiplo de 9

El número de tres dígitos es abc a + b + c = 9k , k pertenece a N21 Hoy tengo el cuádruple de lo que tuve ayer y ayer tuve

la séptima parte de lo que tendré mañanahoy tengo: 4x ; ayer tuve:

x mañana tendré : 7x

22 El triple, de lo que tengo disminuído en cinco 3 (x - 5)

23 El triple de lo que tengo , disminuído en cinco 3 x - 5

24 M es dos veces más que N M=N + 2N ; M = 3N

25 Dos números están en la relación de dos a tres A/B = 2 / 3

26 Si me das S/. 10 entonces tendremos igual cantidad Yo tengo x; tu tienes x + 20

27 El exceso de P sobre Q es treinta P - Q = 30

28 Sesenta se divide en cuatro partes, tal que cada uno es el doble de su anterior

x + 2x + 4x + 8x = 60

29 Un número es 40 veces más que que otro y su suma es 200 x + x + 40 = 200

30 En un salón de un colegio mixto se conformas igual cantidad de equipos de vóley y básket con las

alumnasy los alumnos respectivamente, sabiendo que hay cinco alumnas más que alumnos. ¿ Cuántos estudiantes hay

en el salón de clase?

Alumnas: 6x Alumnos: 5x

Ecuación: 6x = 5x + 5

De donde x = 5hay 6(5) = 30 alumnas

y 5(5)=25 alumnos

ALGUNAS FRASESCOMUNES Y RECOMENDACIONES

PARA PLANTEAR ECUACIONES

a c

2

edad de c es igual a dos:

ALGUNAS RECOMENDACIONES PARA PLANTEAR ECUACIONES

1. En dos o más números,edades, cantidades, etc.; se recomienda representar al menor con la varia-ble “x” y al que le sigue debe expresarse como una suma o diferencia de la cantidad total. Ejemplo: La suma de las edades de un padre y de su hijo es cincuenta años Edad del hijo: x Edad del padre: 50 - x

2. Antes de plantear una ecuación es importante tener presente:- Leer atentamente el enunciado o problema- Para visualizar un problema es mejor graficar o dibujar el problema.- Relacionar las cantidades desconocidas unas con otras.- Es preferible utilizar una sola variable para representar cantidades desconocidas.- En algunos casos se usa dos o más variables tratando que se relacionen en un solo sistema.- Los enunciados o problemas se representan con símbolos matemáticos respetando las comas y

los demás signos de puntuación.- Generalmente los puntos nos indican que ha terminado la parte de una ecuación y a partir de el

ella se debe plantear otra igualdad o ecuación.- La solución de una ecuación no necesariamente es la respuesta del problema, pero si de ella

depende la solución.- Verifique los datos resueltos en una ecuación luego de haber relacionado datos e incógnitas

FRASES COMUNES EQUIVALENTES EJEMPLOS

ADICIÓN ( + ) Sumar, agregar, aumentar, más, ganancia, incremento, exceso, suma, dentro de x años, etc.

El incremento de un número A sobre otro número B excede a un terer número C en20 unidades: C = A + B + 20SUSTRACCIÓN ( - ) Restar, disminuir, quitar,

diferencia, deuda, bajo cero, descontar, perder, hace x años, etc.

La diferencia de dos números disminuído en su semidiferencia es 40(a-b) - [(a- b) 1 2] = 40

MULTIPLICACIÓN ( X )

Producto, de, del, de los , de las, n veces, etc.

El doble de los tres quintos de la cuarta parte de 0cho: 2 [(315) (114)(8)]DIVISIÓN Entre, cociente, dividido, sobre,

estan en la relación de, son entresi como, son proporcionales a, etc.

El cociente de las edades de a y b entre la

bIGUALDAD Igual, equivale, es, son,

como, vale, es similar, etc.La edad de x es igual a la edad de y x = y

NÚMERO PAR 2n Dos números pares consecutivos se diferencian en tres: (2n+2) - 2n = 3

NÚMERO IMPAR 2n - 1 la suma de un número impar con otro par equivale a veinticuatro: (2n-1) + 2n = 24

DOBLE, TRIPLE, CUÁDRUPLE, ...

2x, 3x, 4x, ... La diferencia entre el triple y el doble de un número: 3x - 2x

MITAD, TERCERA PARTE, CUARTA PARTE, . . . .

x12; x13; x14; . . . La suma de la mitad y la cuarta parte de un número: x12 + x14

y 5

PRÁCTICA N° 3

PLANTEO DE ECUACIONESAHORA TE TOCA PENSAR A TI CEREBRITO, DEMUESTRA TU

HABILIDAD USANDO TU IMAGINACIÓN Y DOMINIO DE COMPRENSIÓN LECTORA.

No ENUNCIADO VERBAL FORMA SIMBÓLICA

1 El triple de un número disminuído en cinco 3x - 5

2 x/2 + 8

3 Dos números son entre si como cinco es a siete

4 x2 + 205 El doble de un número disminuído en su tercera parte

6 El producto de dos números consecutivos

7 5 - 3x = 2

8 ( x - y ) / 2

9 La semisuma de dos números consecutivos

10 x

3

11 Lo que sobra a “x” para ser “y” es cincuenta

12 y - x = 50

13 La suma de las cifras de las unidades con las decenas

14 (x) ( x + 2 ) ( x + 4 )

15 x3 - y3 = 1916 El exceso de treinta sobre el doble de un número

17 Un número excede a dos en veintiocho

18 (1 / x) + 2x = 100

19 Tres números consecutivos

20 La edad de mi padre excede a mi edad en 30 años Edad de mi padre: x + 30 mi edad: x

21 José tiene cuatro veces más que Luis José tiene: . . . . . . . .Luis tiene: . . . . . . . .

22 Adolfo tiene el doble de la edad de Pedro Edad de Adolfo: . . . .Edad de Pedro: . . . .23 Tres números estan relacionados de modo que el segundo

es dos unidades mayor que el primero y el tercero es cuatro unidades mayor que el segundo.

Número mayor: . . . . . . . . . . . . . . . . . Número intermedio: . . . . . . . . . . . . . Número menor . . . . . . . . . . . . .

. . . .24 Las edades de Franz Bryan y Jayaira están en proporción a tres, cinco y siete

25 Gasté los 3/4 de lo que no gasté

26 La diferencia de dos números es catorce y el duplo del me- nor de los números es 5 unidades menor que el mayor de

los números

27 La mitad de un número , aumentado en su triple

28 La mitad, de un número aumentado en su triple (x + 3x) / 2

29 En un corral hay gallinas y conejos, el número de cabezas es 18 y el de patas es 52

RAZONANDO Observando detenidamente el gráfico“H” es la altura de las velas

El primero en una hora se consume (1/4) H El segundo en una hora se consume (1/3) H En un determinado tiempo de “m” horas la altura del 1° será el doble del 2°El primero se consume (1/4) H. mEl segundo se consume (1/3) H. m

OBSERVA Y

CON LAS ECUACIONES

BATERÍA DE PROBLEMAS

VERIFICA

LAS

ECUACIONES

RESUELTAS2h = H - (1/4)H.m (1) h = H - (1/4)H.m (2)

RESUELTOS N° 41. Un galgo persigue a una liebre que lleva90 saltos de adelanto sabiendo que el galgoda 7 saltos mientras que la liebre da 6 saltos y que 4 saltos de liebre equivale a 3 de galgo¿Cuántos saltos dará el galgo para alcanzar a la liebre?

Reemplazando (2) en (1)2[H-(1/3)Hm = H - (1/4)HmResolviendom= (12/5) horasRespuesta: a3.Se ha comprado cierto número de som-breros por S/.300. si el precio por unidad hu-biese sido cinco soles menos se tendrían 10 sombreros más por el mismo precio. ¿Cuán-

a) 160 b) 169 c) 180 d) 189 e) 190

SOLUCIÓN ( raaicando); d= distanciaa) 5 b) 10 c) 15 d) 25 e) 20

90 saltos de liebre = (9014)d

SOLUCIÓN:DatosGalgo da 7

saltosLiebre da 6 saltos

Avanza 113 de d

Avanza 114 de dEn un mismo lapso de tiempo

El galgo avanza (7/3)dLa liebre avanza (6/4)dEn cada 7 saltos el galgo se aproxima a la liebre en: (7/3)d - (6/4) d = (5/6)dEn 7 saltos

el galgo se aproxima

(5/6) d Resolviendo la

ecuación

300x = 300x + 300 - 5x2 - 50x

5x2 + 50x - 3000 = 0

Resolviendo. X =( 90/4) 7 ( 6/5 ) = 189Respuesta: d

2. Dos velas de la misma altura se encien- den simultáneamente, el primero se consume en 4 horas y el otro en 3 hoiras, suponiendo que cada uno se consume en una cantidad constante. ¿Cuántas horas después del en- cendido, la altura del primero es el doble del segundo?

De donde x = 20 Respuesta:

4.En una sección de “S” alumnos del colegioparroquial “San Vicente de Paúl “ de Tarmaun profesor formó “V” grupos de 5 alumnos cada gaupo, con la inalidad de que el nú- mero de alumnos sea par, formó dos grupos más, disminuyendo un alumno por cada

a) 2h 24m b) 2h 30m c) 2h 45SOLUCIÓN: Graficando

d) 3h e) 4h

1° 2°(114)H.m

a) 310 b) 320 c) 340 d) 350 e) 355H.m SOLUCIÓN:

N° de alumnos: S; N° de grupos : VEcuación: 5V= 4(V + 2), resolviendo V = 8S = 5(8) =40 Finalmente S.V = 40. 8 = 320Respuesta: b

2h H

(113)

h

No de sombreros comprados

Precio de cada

sombreroPrimero x 3001xLuego x + 10 (3001x) - 5

Ecuación: 300 x l0

300 5

x

Galgo da

5.Los profesores de primaria juegan contralos profesores de secundaria, del ColegioParroquial “San Vicente de Paúl “ de Tarma, acuerdan que el que pierda dará al ganador50 soles, si después de 16 partidos consecutivos los profesores del nivel secundario han ganado S/. 100. ¿Cuántos partidos han ganado los profesores del nivel primario?

SOLUCIÓN:Datos:

a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9Analizando el cuadroSonita en el tercer encuentro con Panchito sequeda con S/.260, entonces la ecuación será:2(4s-60)-20 = 260 (Ecuación 1)

Resolviendo: 8S - 120 - 20 = 2608S = 400; S = 50Panchito en el tercer encuentro con Sonita se queda con S/.0; entonces la ecuación será:P - 7S + 140 = 0 (Ecuación 2)

Reemplazando S = 50 y resolviendoP - 7(50) + 140 = 0P = 210Respuesta: c

SOLUCIÓN:Datos:PG = partidos ganadosPP = partidos perdidos

Se sabe que los profesores de secundaria han ganado S/.100 después de 16 partidos; además reciben S/. 50 por partido ganado y pagan S/. 50 cuando pierden. Entonces la ecuación será:

PG + PP = 1650PG - 50PP = 100Resolviendo el sistema de ecuaciones con dos variables:PG = 9 y PP = 7, significa que los profesores de primaria han ganado 7 partidos. Respuesta: c 8.Para ir al segundo piso en el colegio

“SanVicente” hay “ n “ gradas. Si Tomás subede 4 gradas en 4 gradas y da un paso más que José que sube de 5 gradas en 5 gradas.

6.Una obra se puede realizar con 30 obrerosen 55 días. Si 12 de ellos aumentan su efi-ciencia en 1/4. ¿ En cuántos días harían toda a) 10 b) 15 c) 18 d) 20 e) 22

SOLUCIÓN:Datos:a) 15 b) 20 c) 30 d) 40 e) 50

SOLUCIÓN:Datos:En 1 día 18 obreros harán “x” parte de la obrax =18(1/30)(1/55)

En 1 día 12 obreros harán “y” parte de la obra y = 12(1/30) (1/55) (5/4)En un día los 30 obreros harán (sumando)x + y = ( 3/275) + ( 1/110) = 1/50 .

Finalmente toda la obra lo realizarán en 50 días Respuesta: e

Analizando el cuadroComo el N° total de gradas es igual en amboscasos. La ecuación será:4 ( x + 1 ) = 5xResolviendo: 4x + 4 = 5x x = 4El N° total de gradas es 5 ( 4 ) = 20Respuesta: d9. A un curso asistieron 3 ingenieros porcada 4 profesores y 3 profesores por cada2 médicos. Si en total asistieron entre ingenieros, profesores y médicos 290 personas. Hallar el número de profesores ingenieros y médicos que asistieron al cursoa) 180, 90 y 120 b) 120, 60 y 80

7.Cada vez que Sonita se encuentra conPanchito,éste último duplica el dinero que lle-va Sonita . Sonita en retribución le entrega 20 soles. Si se han encontrado tres veces luego de los cuales Sonita tiene 260 soles y Panchi- to se queda sin dinero en el bolsillo. ¿Cuánto tenía Panchito inicialmente?

c) 120, 90 y 80 c) 80, 60 y 120 e) N.A.a)200 b) 205 c) 210 d) 215 e) 220

Personas Pasos que da para ir al 20 piso

N0 total de gradas

Tomás x + 1 4 ( x + 1 )

José x 5 x

Encuen

tros

Personas

Te- nía

Queda

SI. 10 encuen-

tro

20 encuentro

30 encuentro

Sonita S 2s - 20 2(2s-20)-20 2(4s-60)-20

Panchito P P - S + 20 P - 3S + 60 P - 7S + 140

SOLUCIÓN:Datos: Representando los asistentes en fun-

Ecuación. [(8x-228)127] = 0Resolviendo 8x - 228 = 0

8x = 228 x = 28,5Respuesta: a

médicos:(813)k

1ngenieros: 3k, profesores: 4k,La relación de médicos hallamos mediante la proporción:

Si por 3 profesores hay 2 médicos por 4 profesores habrá x médicos

Ahora sumamos los asistentes e igualamos a290 personas: 3k + 4k + (813)k = 290Resolviendo la ecuación: k = 30

Luego hay: 3(30) ingenieros = 904(30) profesores = 120

(813)(30) médicos = 80Respuesta: c10. Las mascotas de Daniel son todos cone-jitos menos 8, todos gatitos menos 6 y todosiguanas menos 4. ¿Cuántas mascotas tiene?

13.En un laboratorio nacieron ratones fenó-menos con 4 cabezas y 12 patas, además ra-tones normales. Si en total hay 32 cabezas y100 patas ¿Cuántos ratones anormales hay?a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7SOLUCIÓN:Planteamos la ecuación con dos incógnitasSea x: ratones normales.

y: ratones anormalesSegún el cuadro adjunto tenemos:

a) 10 b) 9 c) 11

d) 12 e) 13SOLUCIÓN:Datos: C= conejitos, G= Gatitos,G + 1 = 8 (ecuación 1)C + 1 = 6 (ecuación 2) C + G = 4 (ecuación 3) Sumando: 2C + 2G + 21 =

1= 1guanas

Planteando la ecuación:x + 4y = 324x + 12y = 100Resolviendo el sistemaSimplificando C + G + 1 = 9 Respuesta: x = 4, y= 7Respuesta: e

14. José Luis ha resuelto 150 ejercicios

defísica en 4 días, si cada día resolvió la mi-tad del día anterior. ¿Cuántos ejercicios ha

11. Virgilio tiene 80 billetes de 10 soles ymáximo tiene 56 billetes de 50 soles. Halle elnúmero de billetes que deben intercambiar Virgilio y Máximo( el mismo número) para que ambos tengan igual dinero.

a) 10 b) 15 c) 20 d) 25 e) 30a) 10 b) 15 c) 20 d) 25 e) 30SOLUCIÓN: Sea “x” el número de billetes aintercambiar. Según la tabla adjunta SOLUCIÓN:

resolviendo la ecuación. x = 25Respuesta: d12. Alexandra cada vez que va al comedorgasta la tercera parte de lo que tiene más cua-tro soles, al salir por tercera vez se queda sin dinero. ¿Cuánto tenía al comienzo?

Respuesta: c

15. En una fiesta Bruno le dice a Mirella:somos el doble o el triple de ustedes. Mirellale responde: Mira allí vienen mis 5 amigas con los cuales nadie quedará sin pareja .¿Cuántas personas había en la fiesta?

a) 28,5 b) 17,5 c) 14,5 d) 15,6 e) N.A.SOLUCIÓN:

a) 10 b) 15 c) 20 d) 25 e) 30N° de mujeres: x; N° de varones: 2x ó 3xSi llega 5 mujeres. x + 5 = 2x ó x + 5 = 3xCumple solo en el primero x= 5; Total personas: x + 2x = 5 + 10 = 15. Respuesta: b

JUEGOS TENÍA GASTA QUEDA

1° x (x13) + 4 (2x-12)13

2° (2x-12)13 [(2x-12)19]+4 (4x-60)19

3° (4x-60)19 [(4x-60)127]+4 (8x-228)127

Día Ejercicios resueltos

Ecuación

1° x x + x12 + x14 + x18 = 15015x = 1200 x = 80El tercer día resolvió:8014 = 20

2° x12

3° x14

4° x18

PERSONAS TENÍA (S1.) DA (S1.) RECIBE(S1.)

Virgilio 800 10x 50x

Máximo 2800 50x 10x

Ecuación 800 - 10x + 50x = 2800 - 50x + 10x

Ratón N° de cabezas N° de patas

Normal 1 4

Anormal 4 12

Total 32 100

TICA4

¿De cuántos cuadernos dispone para la venta?PRÁC

Nºa)8 b) 9 c) 10 d) 1

1e) 12

9. Un depósito contiene 72 galones de pe-tróleo si éste debe ser envasado en 30dad yvases a)12

otros dede éste

4 galones. ¿Cuántos en-último se va necesitar?

b) 14 c) 10 d) 18 e) 16

N1VEL 11.La suma de tres números

10. En una fiesta la relación de hombres a la demujeres es de tres a cinco; en un momento dadose retiran ocho damas y llegan tres caballeros con lo que la relación es ahora de tres a cua-

consecuti-vos es 90 . ¿Cuál es el número mayor?a)32 b) 31 c) 30 d) 29 e) 28

2. El exceso de cinco veces un número sobrecuarenta equivale al exceso de cuarenta sobre

a)91 b) 81 c) 71 d) 61 e) 52

N1VEL 1 a)8 b) 10 c) 12 d) 14 e) 15

1. Un carnicero obtuvo por la venta de susanimales SI.9600. Si vendió 3 carneros másque vacas y en ambas ventas obtuvo lo mismo. ¿Cuántos animales vendió si los carne-

3. Bryan compradora y una maletaculadora cuesta el

un libro, una calcula-por SI. 200. Si la cal- doble del precio del li-

bro y la maleta cuesta SI.25calculadora. ¿Cuánto cuesta la

más que lacalculadora?

a)13 b) 14 c) 15 d) 16 e) 17a)50 b) 60 c) 70 d) 80 e) 90

2. En una reunión hay 45 personas( entredamas y caballeros) si se retiran 5 parejas,la diferencia entre el número de hombres y

4. En un corral de chanchos y pavos, el nú-mero de ojos es 24 menos que el núme-a)6 b) 8 c) 10 d) 12 e) 14

a)13 b) 15 c) 16 d) 18 e) 20

5. En una granja por cada gallo hay 3 gallinasy por cada gallina hay 4 pavos. Si en total se

3. Tengo tres números los sumo 2 a 2 y ob-tengo 13, 17 y 24. Hallar la semisuma de losdos mayores.a)8 b) 10 c) 12 d) 13 e) 15a)20 b) 18 c) 12 d) 10 e) 8

6. retirarse 30 alumnos del Colegio “San4. En una tienda donde se venden conejospalomas y gatos, son todos conejos menos 6,son todos gatos menos 3 y son todos

Vicente de Paúl”, se observa que éste que-dó disminuído es sus 1I33 parte. ¿Cuántos alumnos se matricularon en ese colegio?a)800 b) 860 c) 900 d) 950 e) 990

a)4 b) 5 c) 6 d) 8 e) 10Lorena y Magaly tienen SI.1200, si7

Lorena le dierabos tendrían la

SI. 200 a Magaly, am-misma cantidad. ¿Cuán-

5. En un eámen de 60 preguntas Franzacertó tanto como falló; y no contestó tantocomo puntaje sacó. Si las preguntas se cla- sifican así: Correcta 5 puntos; incorrecta - 2 puntos; no contestada 0 puntos.¿ Qué puntaje sacó?

to más tiene600

Lorena que Magaly?a)800 b) c) 400 d) 200 e) 100

8. Si vende cada cuaderno a SI.15,si vende a SI.12 cadagana SI.20, pero a)26 b) 28 c) 30 d) 34 e) 36

cuaderno pierde la mitad de su ganancia.

6. Un grupo de amigos deciden alquilar un lo-cal para hacer una fiesta. Si el alquiler cuesta

3. Del dinero que tengo, gasto el doble de loque no gasto, de lo que no gasto pierdo la mi-tad de lo que no pierdo, de lo que no pierdo regalo la tercera parte de lo que no regalo. Si la suma de lo que gasto más de lo que

entonces cada uno de los restantesS/.10 más. ¿Cuántos alquilan el local?

pagan

a)8 b) 7 c) 6 d) 5 e) 4a)20 b) 30 c) 36 d) 40 e) 50

7. Un anciano reparte cierta cantidad de susahorros entre sus hijos. Primero desea darleS/. 30 mil a cada uno de ellos; antes que se efectúe el reparto , uno de ellos se va y la suma que le correspondía se reparten equitativamen- te entre los demás recibiendo ahora cada uno S/. 36 mil . ¿Qué cantidad

4. Si a un número de tres cifras que empiezaen 9, se le suprime esta cifra queda 1/21 delnúmero. Dar como respuesta la suma de las cifras de la s decenas y unidades del a)6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10

5. Tengo un negocio de venta de plátanos;por cada 100 que compro, 10 se me malograny por cada 100 que vendo doy 10 de regalo. Si vendo 1800 plátanos. ¿Cuántos compré?

8.da5.

Subiendo las escaleras de 3 en 3, Joséseis pasos más que subiendo de 5 en¿Cuántos peldaños tiene la escalera?

a)35 b) 40 c) 45 d) 50 e) 556. Dos cilindros contienen un total de 688 ga-lones de petróleo. Si se vende 1/4 del conte-nido del primero y 2/5 del segundo, queda 30 galones más en el primero que en el segundo. ¿Cuántos galones hay en cada cilindro? a)330 y 358 b) 360 y 390 c) 360 y 330 d) 328 y 358

9. En el cine hay 126 personas, si el número dehombres supera en 24 al número de mujeres y elnúmero de hombres y mujeres supera en 66 a)20 b) 30 c) 35 d) 40 e) 45

10. Una llave puede llenar un reservorio deagua en 3 horas, otra llave puede llenarlo en 6horas y un desagüe puede vaciarlo en 18 horas, estando lleno. ¿En cuánto tiempo se llenará el depósito, estando vació y abierto el desagüe, si se abren a la vez las dos llaves

7. Gasté 4/5 de lo que tenía , perdí 3/5 delo que me quedó, si luego volvi a perder 40soles quedándome sin nada. ¿Cuánto tenía al principio.a)300 b) 350 c) 400 d)500 e) 550

8. Entre mis primos y tíos son 32. Y quecasualidad que cada uno de mis tíos tie-ne la misma cantidad de hijos Si cuadrupli- co el número de tíos que tengo, el resultado excede a la cantidad de primos en 8.¿Cuántos hijos tiene cada uno de mis tíos?

N1VEL 1

1. Walter dice: yo tengo tantas hermanas comohermanos, pero mi hermana tiene la mitad de

a)5 b) 4 c) 3 d)2 e) 1a)7 b) 6 c) 5 d) 4 e) 8

9. Hay “n” niños y una caja con “m” carame-los. El primer niño coge un caramelo más1/10 de los restantes, el segundo niño coge2 caramelos más 1/10 de los restantes, y asi sucesivamente hasta que el n-ésimo niño coge n caramelos. Si todos los niños cogie- ron la misma cantidad de caramelos, Hallam + n. (ONEM 2010 -segunda fase.- nivel 3)

2. Dos helados de igual calidad y diámetro sediferencian en 10 cm, de longitud. Se empie-zan a derretir al mismo tiempo y se observa que en un momento determinado la longitud de uno de ellos es el triple del otro y quince minutos después se termina el más pequeño, si el mayor se derritió en dos horas. ¿Cuál era la longitud del helado más pequeño?

a)81 b) 90 c) 91 d)92 e) 98a)20 b) 30 c) 32 d) 35 e) 40

CAPACIDADES: Interpretar, comprender, formular, plantear, resolver y


- Interpreta y comprende problemas sobre edades- Plantea y resuelve problemas con edades-Utiliza de manera adecuada las tablas de doble entrada en la solución de problemas con edades- Formula problemas con ecuaciones.- Aplica métodos prácticos para el planteo y resolución de problema con edadesde la vida cotidiana.

a)Cuando los tiempos son concretos

y específicos:En estos casos se usa un cuadro de dobleentrada que contiene nombre de las personas personas, sua respectivas edades a través del tiempo.Ejemplo: 11, Hace siete años la edad de Bryan eraseis veces la edad de Franz. Dentro de cinco años tendrá veinticinco veces la edad que Franz tenía cuando el tenía la edad que Franz tendrá dentro de once años. ¿Qué edad tiene Bryan?Solución: Mediante la tabla

En las ecuacionescon edades inter-vienen personas,edades y tiempos,para su resoluciónes necesario te-ner un cocimiento

Cuando se trata de ecuaciones donde inter-vienen las edades se presentan varios casos de planteamientos. A continuación abordare- mos los casos más usuales:1. Cuando

interviene la edadde una sola persona

Según la tablaBryan tiene 6x + 2 años y hace “a” años tenía x + 13 añosHallamos “a” 6x + 2 - a = x + 13, entonces a = 5x - 11;hace “a” años Franz tenía x + 2 - (5x- 11) 0 -4x + 13Finalmente la ecuación planteada será:6x + 7 = 25 (- 4x + 13 ) Resolviendo: 6x + 7 = - 100x + 35x = 3; reemplazando en la edad actual deBryan 6x + 2 = 6(3) + 2 = 20.Respuesta: Bryan tiene actualmente 20 añosEjemplo: 22. Hace 5 años la edad de un hijo se dife-renciaba en el doble de su edad con la edadde su padre, y se diferenciaba en la mitad de su edad con la de su hermano me- nor. Si dentro de 7 años el menor tendrá la edad que tiene su hermano mayor. Calcula

Se establece determinadas relaciones dela persona con su edad a través del tiempo ( pasado, presente y futuro) mediante una tabla simple de doble entrada.Ejemplo:1. Hace cinco años Jayaira tenía 2/5 de los años que tendrá dentro de 10 años. ¿Cuán- tos años tendrá dentro de 20 años? Solución: Según la tabla

2. Cuandointervienenlas edadesde dos o más

Se dan dos casos:a) Cuando se dan tiempos concretos y

específicos.b) Cuando los tiempos no se especifican Edad del padre: 47; edad del hijo mayor:19

Diferencia de edades 28

PERSO- NAS

EDADESHace 5 años Actual Dentro de 7

años

Padre 3x 3x + 5 3x + 12hijo mayor x x + 5 x + 12Hijo menor x12 x12 + 5 x12 + 12

Ecuación x12 + 12 = x + 5, resolviendo x=14

TIEMPO

PERSONA

PASADO PRESEN- TE

FUTURO

Hace 5 años

Actual- mente

dentro de

10 años

20 años

Edad de- Jayaira

x -5 x x+10 x+20

Ecuación x - 5 = (215)(x + 10) Resolviendo: 5x - 25 = 2x + 20x= 15 . Dentro de 20 años tentrá 35

EDADESTiem-

po Personas

Hace 2 años

Actuasl- mente

Dentrode 5 años

Dentro de 11 años

Bryan 6x 6x +2 6x+7 6x+13

Franz x x+2 x+7 x+13

Solución: Graficando en la

TE

Aplicando la propiedad de las sumas en as-pas son iguales:y - 3 + y = x + x + 52y - 2x = 8 y - x = 4( ecuación 1)x + 5 + 2( x + 5) = y + 49 - 2 (x + 5)5x - y = 24 ( ecuación 2 ) Resolviendo (1) y (2)y - x = 4-y + 5x = 24

4x = 28 x = 7

y - x = 4y - 7 = 4 y = 11

Respuesta: Jayaira tiene 12 años y Bryantiene 11 años.Ejemplo: 2

Sonia tiene “x “ años y Mary “y” años. ¿Den-tro de cuántos años ambas edades estarán en relación de 2 a 1?a) x + y b) x - y c) x + 2y d) x - 2y e) N.A.Solución:

años

Según el enunciado planteamos la ecuaciónx n

2 Resolviendo: x + n = 2y + 2n

x - 2y = ny n l

Respuesta: d

3.Relaciones entre del año de naci-miento, la edad actual y el año actual.Propiedades:

2. Si una persona aún no cumplió añosAÑO DE NACIMIENTO + EDAD = AÑO ACTUAL - 1Ejemplo : El año en que nació Danielito representa el cuadrado de su edad en 1980. Calcular su edad en el año 2010.Solución: Sea x su año de nacimiento y E: edad XE = 1980 - x

+ E = 198

Ecuación: x = ( 1980 - x )2

x2 -3961 + 3920400 = 0 , de donde x = 1936l936 44O sea en 1980 tenía años.

En el 2010 tiene 44 + 30 = 74 años.

Personas Edad actual Dentro de n

Sonia x x + n

Mary y y + n

PERSO- NAS

PASADO PRESEN- FUTURO

JAYAIRA y - 3 x + 5 49 - 2(x + 5)

BRYAN x y 2( x + 5)

b)Cuando los tiempos no se

especifican.Esto ocurre cuando no se especifican exac-tamente el tiempo y las edades de las personas que intervienen en el problema.En estos casos es bueno utilizar algunas propiedades como:•La diferencia de edades de 2 personas esconstante en cualquier tiempo.• Las sumas de edades de 2 personas en diferentes tiempos , ubicadas en aspa son iguales.Ejemplo (en la tabla) EDADES

TIEMPO PERSONAS

Hace 6 años

Actual Dentro de8 años

Fulano 12 18 26

Sultano 20 26 34•Diferencia de edades:0 - 12 = 26 - 18 = 34 - 26 = 8•Suma en aspas12 + 26 = 20 + 18 = 3818 + 34 = 26 + 26 = 52Ejemplo: 1Coco le dice a Fico. “Yo tengo 3 veces laedad que tú tenías, cuando yo tenía la edad que tu tienes y cuando tengas la edad que yo tengo, la suma de nuestras edades será 35 años. Hallar ambas edades.Solución: Haciendo uso de la tabla y apli-cando las propiedades mencionadas:

PERSO- NAS

EDADES

TIEMPO PERSONAS

PASADO PRESEN- TE

FUTURO

Coco x 3y 35 - 3y

Fico y x 3y

Aplicando la primera propiedad:x - y = 3y - x, entonces 2x = 4y x = 2y35 - 3y - 3y = 3y - x y = 5 x = 10Respuesta: Las edades son 15 y 10 años.Ejemplo: 2Jayaira le dice a Bryan yo tengo 5 años másde la edad que tu tenías, cuando yo tenía tres años menos de la edad que tienes y cuandotu tengas el doble de la edad que yo tengo, nuestras edades sumaran 49 años. ¿Que edad tienen Jayaira y Bryan?

PROBLEMASDE

EDADES

4. Cuando tenga “a” años tendré “v” vecesla edad que tenía hace “ n” años. ¿Cuántosaños tendré dentro de “n” años ?Solución:

BATERÍA DE

PROBLEMAS RESUELTOS

N° 5 Ecuación planteada: a = v (a - n) (Ec. 1)Dentro de “n años tendré: a + n = v (a - n) + nResolviendo (Ec. 1)a =va - vn a ( v - 1 ) = vn a = [(vn)/(v-1)]1. A los 80 años murió Fulano y nació Luego: a + n = [(vn)/(v-1)] + n

a + n =[ n( 2v - 1)] (v - 1 )el año 19ba y en el año 19ab tenía (2a + b)años. ¿Cuándo murió Fulano si aún no cum-plía años? ( a > b)Solución:AÑO DE NACIMIENTO + EDAD = AÑO ACTUAL - 1

19ba + (2a + b) = 19ab - 1

5. En el mes de marzo Jacinto sumó a losaños que tiene la mitad de los meses que havivido obteniendo como resultado 324. ¿En qué mes nació Jacinto?Solución:Años que tiene Jacinto: xmeses que ha vivido 12x

(2a + b) + 1= 19ab - 19ba2a + b + 1 = 1900 + 10a + b - 1900 - 10b - a1 = 7a - 10b. Por tanteo a= 3 y b = 2Entonces Fulano nació en el año de 1923y murió después de 80 años; es decir en el año: 1923 + 80 = 2003

Ecuación: x + 6x = 324 7x = 324324

442

Jacinto tiene 46 años y 2 mesesen el mes de marzo; entonces hace 2 meses nació; o sea en el mes de Enero.

46

2. Mi gato “Chalaco” pasó 1/3 de su vidadurmiendo; 1/12 comiendo; 1/4 lavándose lacarita; 1/6 matando sus pulguitas y el resto de su vida que son 3/2 peleando en el techo con otros gatos machos. ¿Cuándo nació si murió envenenado en el mes de julio del 2010? Solución:Sea “x” la edad que tenía antes de morirPlanteamos la ecuación:x - [ (1/3)x+ (1/12)x + (1/4)x + (1/6)x +3/2 ] = 0Resolviendo la ecuación: x = 9Entonces nació en el año 2010 - 9 =

6. La edad de Renato al fallecer era 1/31 delaño de su nacimiento ¿Que edad tenía en elaño de 1980?Solución: Sea “m” el año en que murió y x” el año de su nacimientoRenato nació antes de 1980 y murió después de 1980AÑO DE NACIMIENTO + EDAD = AÑO ACTUALx + E = Año en que murióE =(1/31)x31x + x = 31 m

x + (1/31)x = m32x = 31m x = (31m)/32

Analizando: x< 1925 , además x es múltiplo de31 y 32 y tiene 4 cifras.Luego x = 1922 (año de nacimiento) y m = 1984( año en que murió). Renato murió a los 62 años de edad.En 1980 tenía 1980 - 1922 = 58 años

3.Mi tía Rosalía tenía en el año 1972 , tantosaños como el doble del número formado porlas dos últimas cifras del año de su nacimien- to. ¿Cuántos años tendrá mi octogenaria tía en el año 2012?Solución:AÑO DE NACIMIENTO + EDAD = AÑO ACTUAL

7. Mi edad es mayor en 4 que el cuadrado de tuedad y menor en 5 que el cuadrado de tu edaddel próximo año. ¿En qué relación estan nuestras edades?Solución: Sea “x” mi edad; “y” tu edadEl próximo año tu edad será y + 1.

19ab 2ab 1972 Resolviendo:1900 + 10a + b + 20a + 2b = 197230a + 3b = 72, simplificando l0a + b = 24Por tanteo a= 2 y b = 4, luego nació en 1924 y el 2012 tendrá: 2012 - 1924 = 88 años

Ecuaciónes: x = y2 + 4; x = (y + 1 )2 - 5Resolviendo: x = 20; y = 4.La relación es de 5 a 1

7

PASADO PRESENTE FUTURO

Edad hace “n”años

Edad actual Dentro de “n”años

a - n a a + n

8. Le preguntaron a Poly por su edad ycontestó: Mi edad más el doble de Saly, más

Solución:Edad del abuelo: Edad del nieto:b6 a6

el triple de Saly y así sucesivamente hastaedad suman en total 1090

- 8 = 3 10b + b - 8 = 30a + 18b6 a6tantas¿Cuál tán

veces mi 10b - 30a = 20; por tanteo a = 2 y b = 8Luego el nieto tendrá 26 años y el abuelo ten- drá 86 años, siendo la suma de las edades 112.

esen

la edad dede

Saly, si es-2?relación 1 a

Solución:Edad de Poly = x; Edad de Saly = 2xSegún el enunciado del problema tenemos:

12. La tercera parte de la edad de más la cuarta parte de la edad Toco

esx + 2(2x) + 3 (2x) + 4(2x) + . . . + x (2x)x + 2x(2 + 3 + 4 + . . .x) = 1090 x + x [ x (x+1) - 2 ] = 1090

x + x3 + x2 - 2x = 1090Resolviendo la ecuación: x = 10

=1090 igual a 16 años. Si a Tico se le disminuye-ra 4 años y a Toco se le aumentara 4 años; entonces la quinta parte de la edad de Tico más la sexta parte de la edad de Toco sería 10 años. ¿Que edad tiene cada uno? Solución:Edad de Tico: x; Edad de Toco: y(x13) + (x14) = 16[(x- 4) 1 5] + [(y+ 4) 1 6 = 10

Edad de Poly = 10; Edad de Saly = 20

9. Cocoliso nació en el año y en el añol9ab1990 tenía (a + b ) años. ¿En que año tendrá2a + 8b años?Solución:AÑO DE NACIMIENTO + EDAD = AÑO ACTUAL 13. Rosita dice: No nací en mayo,

lue-go multiplica la fecha de su nacimien-

+ x = 1990l9ab

1900 + ab + a + b = 1990 para finalmente sumar esos productosResolviendo: 10a + b + a + b = 9011a + 2b = 90. Tanteando a = 8 y b = 1Tendrá 2a + 8b años ( 24 años) en:1981 + 24 = 2005

y obtener 204. ¿Cuándo nació Rosita?Solución:Mes en que nació Rosita: xFecha en que nació Rosita: yEcuación: 30x + 18y = 204Por tanteo: 30(2) + 18(8) = 204Rosita nació el 8 de Febrero

10. Coquito en el mes de agosto resta losaños que tiene de los meses que ha vivido yobtiene 221 meses. Si es mayor en 194 mesesque su hermano, Pachón.Pachón?Solución:

¿ En qué mes nació 14. Si al año de mi nacimiento le sumo lacuarta parte de mi edad actual obtengo 1990.Si actualmente estamos en el año 2003 y aún no cumplo años. ¿En qué año nací? Solución:

Años vividos de Coquito: xMeses vividos de Coquito: 12xEcuación: 12x - x = 221 11x = 2212211

l9ab + x = 2003 - 1 x - 2002 = - l9ab20 En el mes de agosto Coquito te- Ecuación:

nía 20 años 1 mes ; es decir nació en Julio.Además, es mayor que Pachón por 194 meses (16 años + 2 meses) ; O sea Pachón cumplirá años dentro de 2 meses , es decir en Septiembre.

l9ab + x14 = 1990 l9abx14 - 1990 = -Igualando: x - 2002 = x14 - 1990

Resolviendo: x = 16(años de edad) Nací en el año: 2002 - 16 = 198615. Macario en 1993 tenía una edad igual ala suma de las cifras del año de su nacimien-to. ¿En qué año nació ?AÑO DE NACIMIENTO + EDAD = AÑO ACTUAL

11. Un abuelo dice a su nieto. Nuestras eda-des terminan en 6, su producto termina en 36,su suma está comprendida entre 100 y 150. Si yo tuviese 8 años menos, mi edad sería el triple de tu edad. Hallar la suma de las edades del nieto y del abuelo.

+ x = 1993l9ab1900 + 10a + b + 10 + a + b = 199311a + 2b = 83. Por tanteo : 11(7) + 2(3) = 83Nació en el año: 1973

11

8. Actualmente las edades de un tío y susobrino suman 56 años, sabiendo que hace 4años la edad del tío era el doble de su sobrino. ¿Hace cuántos años la edad del tío era el triple de su sobrino?

PRÁCTICANº 5

ECUACIONES CON EDADES

a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16

9.Ana le dice a Ruth, actualmente tengoel triple de la edad que tu tenías cuando yotenía tu edad, y cuando tu tengas mi edad, entre ambos sumaremos 119 años. ¿Cuántos años tiene Ruth?

NIVEL I

a) 32 b) 33 c) 34 d) 35 e) 361. Si actualmente la suma de las edades dedos hermanos es 72. ¿ Hace cuántos añosla suma de sus edades era 50? 10. Mi abuelo nació 6 años antes que mi

abuela y en 1950 la suma de sus edades erala cuarta parte de la suma de sus edades en1965. Si estamos en el año 2010 y mi abuelo está celebrando su onomástico. ¿Cuántos años está cumpliendo?

a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12

2. Dentro de 20 años tendré el doble de la edada) 20 b) 30 c) 40 d) 50 e) 60

a) 68 b) 69 c) 70 d) 71 e) 72

3. Pedro comentaba: “La suma de mi edadde hace 9 años con la edad que tendré dentrode 9 años es igual a 36 años”¿Cuántos años tiene actualmente si estamos en el 2010?

NIVEL I I

1. Si Antonieta tuviese 9 años menos, eltiempo que hubiese permanecido durmiendosería la quinta parte del tiempo que hubiese permanecido despierto si es que tuviese9 años más. Si en el transcurso de su vida duerme 8 horas diarias. ¿ Cuántos años tiene antonieta?

a) 30 b) 31 c) 32 d) 33 e) 34

4. Nicole fue madre por primera vez a los 20años, por segunda vez a los 25 años y porúltima vez a los 30 años. Si a fines del 2010 las edades de Nicole y sus tres hijos suma- ban 65 años. ¿En qué año nació Nicole?a) 1969 b) 1970 c) 1973 d) 1975 e) 1976

a) 12 b) 14 c) 17 d) 19 e) 215. En el año 2010 la edad de Ana coincidíacon la cantidad que expresa las dos últimascifras de su año de nacimiento. ¿En qué año nació Ana?a) 1949 b) 1955 c) 1960 d) 1965 e) 1970

2. Si a la edad que tengo en el año 2010,primero le quito la mitad más 1, de lo quequeda, nuevamente le vuelvo a quitar la mitad más 1, y asi sucesivamente repito la misma operación por 5 veces consecutivas hasta quedarme con cero años. ¿En qué año nací?

6. Hace 9 años tenía la tercera parte dela edad que tendré dentro de nueve años.¿Dentro de cuántos años tendré el doble de la edad que tengo actualmente? a) 1948 b) 1949 c) 1950 d) 1951 e) 1952a) 18 b) 19 c) 20 d) 21 e) 22

3. En una reunión hay 8 personas, si sesuman sus edades más los años de sus na-cimientos dará 16075. Si la suma se hizo en el 2010. ¿cuántas personas de la reunión ya cumplieron años?

7. Emilio multiplica los años que tiene porlos meses que ha vivido. Obteniendo 10800.Hallar la suma de las cifras de la edad que tiene Emilio.

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

4. En el año 2010 Panchito “El producto de las cantidades que N1VEL 1 representa las 2 últimas cifras del año de

con los 3/11 de la suma dichas cantidades, es igual

mide al

nacimientomi edad y 1. En el año 2010 le preguntaron por su

edad a Francisco y el contestó: “Mi edad esigual a 1/19 del año de mi nacimiento, menos 50 . ¿Cuántos años cumplirá Francisco en el año 2020?

año actual. ¿cuándo nació Panchito?

a) 1956 b) 1957 c) 1958 d) 1959 e) 1960

5. La edad de Sonia en el año dela raíz cuadrada de la año de su nacimiento.

a) 60 b) 61 c) 62 d) 63 e) 641974 era igual adécima parte del¿Cuántos años tendrá Sonia en el 2015? 2. Sonia dice: “Si al año de mi nacimiento

lomultiplico por 10 y luego le extraigo la raízcuadrada obtengo 140” ¿Qué edad tiene el hijo Franz de Sonia que nació cuando ella tenía 31 años?

a) 52 b) 53 c) 54 d) 55 e) 56

6. La edad de Elsner al fallecer era 1/90 desu nacimiento. ¿Qué edad tenía el año 2000?

a) 19 b) 20 c) 21 d) 22 e) 23a) 18 b) 19 c) 20 d) 21 e) 22

3. Un abuelo dice: “Tengo 2 hijos y 4 nietos(2 nietos por cada hijo); las edades de misnietos por parte de cada uno de mis hijos son números primos y se diferencian en 16; mis nietos menores se llevan por 4 años ,

7. En el mes de Marzo Lucíalos años que tiene, la mitad de

sumó alos me-

ses que ha vivido obteniendo comoresultado 324. ¿ En qué mes nació Lucía?

lo mismo pasa con mis nietos mayo-hijo primogénito es las edades de sus mi otro hijo es igual

a) diciembre b) enero c) febrero d) abril e) mayo

res; Laigual al sobrinos

edad de miproducto de y la edad de8. En navidad del 2010, Francisco divide el

cuadrado de los meses que ha vivido con elsextuplo de los años que tiene obteniendo1281. ¿En qué mes y año nació Francisco?

a la suma de edades de sus sobrinos”Hallar la suma de edades de loshijos y nietos del abuelo(6 personas).

a) marzo 1957 b) mayo 1957 a) 139 b) 132 c) 138 d) 140 e) 136c) junio 1958 d) febrero 1959 e) marzo 1960

4.Aynor nació en el año de l9ab y su hijo en9. Las edades de Chayer y Chimeco semuestran en tiempos diferentes en la tablaadjunta. Hallar la suma de sus edades actuales

el año l9ba ; en el año de 1992 las edadesde Aynor y su hijo estaban el la relación de4 a 1. Determinar la edad actual de Aynor si

estamos en el año 2011 y aún no cumple años.a) 42 b) 43 c) 44 d) 45 e) 46

5.Un niño resta a los meses que ha vividolos años que tiene, obteniendo un cuadra-do perfecto que tiene raíz cúbica exacta. Si estamos actualmente en el mes de agosto del 2011. ¿En qué mes y año nació el niño?

a) 55 b) 56 c) 57 d) 58 e) 59

10. Thalia nació en la

n2

segunda

tenía “n”mitad del siglo XX en el añoa) noviembre del 2003 b) diciembre del 2004c) enero del 2005 d) noviembre del 2006 e) diciembre del 2007

años. ¿Qué edad tiene actualmente?

a) 27 b) 28 c) 29 d) 30 e) 31

TiempoPersonas

Pasado Presente Futuro

Chayer a 2b 72 - 2b

Chimeco b a 2b

6.El año del nacimiento de Franz es igual aun número capicúa cuya suma de sus dí-gitos es igual a 20, si actualmente estamos en el año 2011. ¿¿Cuntos años tiene

12. Milagritos dice mi edad es igual a (a+b) ;

además 333 + 333 = 444. ¿Cuántos añosa

tiene Milagritos?b

a)14 b)15 c) 16 d) 17 e) 18

a)19 b)20 c) 21 d) 22 e) 23 13. Lucía Antonieta nació en el año l9ab

y en el tenía ( a + b ) años. En quel9ba7. Sonia sumó un año, más 2 años, más 3 añosy asi sucesivamente hasta la edad actual quetiene, dando como resultado un número de

año tendrá a3 + b años.

a)2011

b)2012 c) 2013 d) 2014 e) 2015

a)32 b)33 c) 34 d) 35 e) 36

8. Cuando yo tenga 5 veces la edad quetenías cuando yo tenía la edad que tendráscuando yo tenga lo que ya te dije, habrán transcurrido 5 años a partir de ahora. ¿Qué edad tienes , si es la mitad de lo que tengo?a)8 b)10 c) 12 d) 19 e) 6

9. Tú tienes la mitad menos 5 años de laedad que yo tendré cuando tú tengas lo queyo tenía cuando tú tenías la cuarta parte de la edad que yo tuviese, si tendría 10 años más de los que yo tendré, pero si yo tuviese10 años más de lo que tendré y tú los que te he dicho que tienes, entonces entre ambos tendríamos 110 años. ¿Qué edad tengo?

a)50 b)65 c) 55 d) 56 e) 54

10. Romeo y Julieta tienen varios hijos,. Si lasuma de sus edades y la de sus hijos están enla relación de 2 a 1; si hace 2 años dicha rela- ción era de 7 a 3 y dentro de 4 años a)2 b)3 c) 4 d) 5 e) 6

11. Mi abuelo nació 6 años antes que miabuela y en 1950 la suma de sus edades erala cuarta parte de la suma de sus edades en1965. Si estamos en el año 2011 y mi abuelo está celebrando su onomástico. ¿Cuántos años está cumpliendo?

a)65 b)66 c) 67 d) 68 e) 69

CAPACIDADES

Interpretar, comprender, formular, plantear, resolver y aplicar.


- Interpreta y comprende problemas sobre relojes- Plantea y resuelve problemas con campanadas-Utiliza de manera adecuada las tablas de doble entrada en la solución de problemas con tiempos transcurridos- Formula problemas con ecuaciones de relojes malogrados.- Aplica métodos prácticos para el planteo y resolución de problemas con relojes en la vida cotidiana.

Observando detenidamente la figura 1 pode-mos afirmar:-El avance del horario es (1/12) del minutero.-El avance del horario es (1/720) del segundero.-El segundero avanza 60 veces un minutero.

ECUACIONES CONRELOJES

Se denomina reloj a uninstrumento que permite medir el tiempo. Exis- ten diversos tipos, que se adecuan según el propósito:

ÁNGULO QUE FORMAN EL

HORAR

IOY EL MINUTERO A CIERTA HORA( )

I. CUANDO EL HORARIO ESTÁ DELANTEDEL MINUTEROConocer la hora actual (reloj de pulsera

automático o de cuerda, reloj de bolsillo, reloj desalón o pared, cronómetro)Medir la duración de un suceso (cronó- grafo, reloj de arena)Señalar las horas por sonidos parecidos a campanadas o pitidos (reloj de péndulo, reloj de pulso con bip a cada hora)Activar una alarma en cierta hora espe-cífica (reloj despertador).En este capítulo estudiaremos al reloj con

=30H - 11

II. CUANDO EL MINUTERO ESTÁ DELAN-TE DEL HORARIO

FUSIONANDO LAS DOS

manecillas. FIGURA 1 (11 / 2)M 30( H ) = ángulo H= horas;

Si 30H > 11M/2Si 30H < 11M/2

M = minutos30H es (+) y 11M/2 es (-)30H es (-) y 11M/2 es

EJEMPLOS APLICATIVOS1 ¿Cuál es el menor ángulo que forman lasmanecillas de un reloj a las 7h 30 min?Solución: Graficando

Mi=Posicióninicial delminutero

Mf=Posición final del

minuteroHi=Posición

inicial del horario

Hf=Posición final del horario

Según el gráfico debemos calculat el ángulo

O

E Hf O Avance del minutero es igual a 1800

E E

Avance del horario es 1/12 de 1800 = 150

Hf O Mf + E

Hi O

Hf O Mf = 150 + 300 =

ESPACIO MANECILLAS

Espacios re- corridos en una vuelta

HORA- RIO

MINUTE- RO

SEGUN- DERO

x 12x 720x

Espacio en grados(hora)

300 3600 7200

Espacio en grados (mi-

nuto)

(1/2)0 600 3600

Tiempo que demora en

avanzar 300

1 hora 5 minutos 5 segun- dos

= 11 M12 - 30H

Segundo método: Con la fórmula

Solución: (Observando detenidamente gráfico)Avance del horario: 300 -

Avance del minutero: 1800 -Ecuación planteada:

M= 30 =30H - 11

H= 7 =30(7)- 11 (30)12=210 - 65 = 450

2

300 -

= (1800 - ) / 122

2. ¿A qué hora entre las 10 y las 11 el minu-tero está exactamente a 6 minutos del hora-rio?Solución:

= 180 = 3’ ( porque 1’ = 60 )El minutero de su posición a la posición finalavanzó 30’ - 2 = 30’ - 6’ =

24’Rpta: Marca las 2h 24

4. ¿A qué hora entre las 5 y las 6 un relojtiene sus agujas formando un ángulo recto?Solución: Se da dos casosa) Por primera vez:Primer método (Graficando)

Mf O Hf = 6’ de EE Mf O Hi = 6’ - x de

Planteando la ecuación:12x + 6’ - x = 50’x = 4’ 6’ - x = 2’Hora final: 10 h 48 minutos.Segundo método (Con la

Ecuación planteada: 12x + 900 = 25’ + x12x + 15’ = 25’ + x

11x = 10’

x = 10/11Luego el avance del minutero será: 12x

12(10/11)Rpta: Por primera vez forman un ángulo recto a las 5horas10

10 min

= 6’ = 360 = 30H - (11M) /2Reemplazando valores en la fórmula

H= 10 M = x360 = 30(10) - (11x) /2 11

a) Por segunda vez:Primer método (Graficando)

x= 528/11

x = 48 Rpta: 10h 48 minutos.

3. ¿Qué hora marca el reloj mostrado en la Ecuación:

12x =25’ + 15’ + x11x = 40’x = 40/11Luego: 12x =12(40)/11

Rpta: Forman un ángulo 5horas43

7 min

11

Se gundo método (Con la fórmula a) Por primera

I. CUANDO EL HORARIO ESTÁ DELANTEDEL MINUTERO

900 = 30(5) - 1112(M)M = 120111

5horas10 10 11Rpta

a) Por segunda

I. CUANDO EL MINUTERO ESTÁ DELAN-TE DEL HORARIO

= 11 M12 - 30 900 = 11 M12 - 30 (5)[ 2(2400) ]111= MRpta 7

5horas43 min11

=30H - 11 M12

CLAVE DE RESPUESTAS

1.C 2.C 3.C 4.A 5.A 6.D 7.E

8.E 9.B 1O.A 11.E 12.A 13.E 14.C

15.A 16.B 17.D 18.C 19.A 2O.B 21.A

22.C 23.D 24.D 25.E 26.APRÁCTICA N° 2 - SERIESNIVEL I NIVEL II NIVEL iii

1. C 6. A 1.E 6. D 1. D 6. C

2. A 7. D 2. C 7. A 2. A 7. E

3.C 8. B 3. B 8. D 3. D 8. C

4. D 9. E 4. A 9. B 4. A 9. A

5. D 1O. B 5. C 1O. D 5. B 1O. APRÁCTICA N° 4 - PLANTEO DE

ECUACIONESNIVEL I NIVEL II NIVEL III

1. A 6. E 1. A 6. E 1. A 6. E

2. B 7. D 2. B 7. D 2. B 7. D

3. C 8. C 3. C 8. C 3. C 8. C

4. D 9. B 4. D 9. B 4. D 9. B

5. E 1O. A 5. E 1O. A 5. EPRÁCTICA N° 5 - PLANTEO DE

ECUACIONES CON EDADESNIVEL I NIVEL II NIVEL III

1. D 6. A 1. E 6. C 1. D 6. B 11. E

2. C 7. B 2. A 7. B 2. A 7. E 12. C

3. A 8. A 3. B 8. A 3.A 8. B 13. D

4. D 9. C 4. B O. B 4. A 9. C

5. B 1O. A 5. D 1O. D 5.D 1O. C

PRÁCTICA DE SUCESIONES N° 1

Sucesio y Series

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