SUCESIONES NUMÉRICAS EJERCICIOS
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5/25/2018 SUCESIONES NUM RICAS EJERCICIOS
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EJERCICIOS RESUELTOS:
Sucesiones numricas
Matemticas1
Elena lvarez Siz
Dpto. Matemtica Aplicada y C. Computacin
Universidad de Cantabria
-
5/25/2018 SUCESIONES NUM RICAS EJERCICIOS
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Profesora: Elena lvarez Siz
Ejercicios: Sucesiones numricasIngeniera de Telecomunicacin
Fundamentos Matemticos I
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Sucesiones montonas y sucesiones acotadas
1 Sucesiones montonas: ejemplos
La sucesin -1, -2, 3, -4, -5, 6, -7, -8, 9 ... no es montona.
La sucesin de trmino general( 1)n
na
n
= tampoco es montona.
La sucesin de trmino general na n= es montona creciente y tambin
estrictamente creciente.
La sucesin 1, -1, 0, 0, 1, 1, 2, 2 ... es montona creciente, pero no es
estrictamente creciente.
La sucesin de trmino general 2na n= es montona decreciente y es
tambin estrictamente decreciente.
La sucesin1 1 1 1 1 1 1 1 1, , , , , , , , ,
2 2 3 4 4 5 6 6 7es montona decreciente, sin embargo
no es estrictamente decreciente.
2 Estudiar la monotona de las siguientes sucesiones:
2 1n
na
n
=
8
1 2nn
bn
=+
3
1nn
cn
=+
3
1nd
n=
Solucin:
a) Vamos a probar que los trminos de esta sucesin verifican
1 0n na a n+ > , es decir que se trata de una sucesin montona
estrictamente creciente.
1
2 2
2( 1) 1 2 1 2 1 2 1
1 1(2 1) ( 1)(2 1) 2 2 1 1
0( 1) ( 1) ( 1)
n n
n n n na a
n n n n
n n n n n n n n
n n n n n n
+
+ + = = =
+ ++ + + +
= = = >+ + +
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Ingeniera de Telecomunicacin
Fundamentos Matemticos IEjercicios: Sucesiones numricas
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el carcter positivo del anterior cociente est garantizado porque n es un
nmero natural.
b) En este caso vamos a demostrar que 1n nb b n+ , con lo cual la
sucesin ser montona creciente.
1
2 2
8 ( 1)8
1 2 1 2 ( 1)8 8 8
1 2 1 2 28 16 16 8 8 16 16 0 8
n n
nnb b
n n
n n
n n
n n n n n n
+
+
+ + ++
+ + +
+ + + + +
lo cual es siempre cierto.
c) La sucesin dada es creciente, ya que 1n nc c n+ , pues
1
2 2
3 ( 1)3 3 3 3
1 ( 1) 1 1 2
3 6 3 3 3 3 0 3
n n
nn n nc c
n n n n
n n n n n
+
+ +
+ + + + +
+ + + +
la expresin ltima a la cual hemos llegado es siempre cierta, luego la
desigualdad inicial tambin lo es.
d) En este caso demostraremos que 1n nd d n+> , es decir que la sucesin
es montona estrictamente decreciente.
3 31 3 3
1 1( 1)
( 1)n nd d n n
n n+> > + >
+
esta desigualdad es cierta para cualquier nmero natural, luego se cumple
siempre.
3 Convergencia, divergencia: ejemplos
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1. La sucesin cuyos primeros trminos son los siguientes
1 1 11, , 3, , 5, , 7,...2 4 6
Esta sucesin no es convergente, pero tampoco tiende a ni a . Los trminos
impares se hacen infinitamente grandes a medida que n crece. Sin embargo, los
trminos pares tienden a 0, para n suficientemente grande. Se dice que esta sucesin
no tiene lmite o bien que su carcter es oscilante.
2. La sucesin de trmino general ( 1)nna n= , cuyos primeros trminos son:
-1, 2, -3, 4, -5, 6, -7, 8,...
Los trminos de esta sucesin tampoco se acercan a un nmero concreto. Tienden a
los trminos pares y tienden a los trminos impares. Por tanto, tampoco
tiene lmite, son oscilantes.
4 Monotona y acotacin de 11n
n +
El trmino general de esta sucesin es una expresin indeterminada del tipo 1 ,
luego no es evidente que sea convergente. Se trata de una sucesin de nmeros reales
positivos.
Comprobamos en primer lugar que la sucesin es creciente.
Por aplicacin de la frmula del binomio de Newton, tenemos
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2
2
1 1 1 11 ...
0 1 2
( 1) ( 1) ( 1) ( 1)1 1 ...2! !
1 1 1 1 22 1 ... 1 1
2! !
n
n n
n
n n n n a
nn n n n
n n n n n n n
n n n
n n n
= + = + + + + = +
= + + + + =
= + + +
11
n
n n
la expresin de anconsta de n sumandos. El trmino siguiente se expresar as
1
1 1 1 1 2 12 1 ... 1 1 1
2! 1 ! 1 1 11 1 2
1 1 1( 1)! 1 1 1
n
na
n n n n n
n
n n n n
+
= + + + + + + + + + + + + +
Esta expresin consta de n+1 sumandos. Como los sumandos de an+1 son
mayores que sus correspondientes de an, salvo el primero que es igual, resulta
que
an< a
n+1 n
luego la sucesin anes creciente.
Vamos a comprobar ahora que la sucesin est acotada. Consideramos
para ello las siguientes expresiones:
1 1 1 1 22 1 1 1 ...
2! 3!1 1 2 1
1 1 1!
nan n n
n
n n n n
= + + + + +
1 1 12 ...
2! 3! !n
b
n
= + + + +
2 1
1 1 12 ...
2 2 2n n
progresion geometrica
c
= + + + +
Comparndolas trmino a trmino resulta que, a partir de n = 3, se verifica:
1
12 3
2n n n n
a b c
< < < =
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es decir, 2 3na< < ,
luego la sucesin anest acotada. Se puede asegurar, por tanto, que la sucesin
de trmino general1
1
n
nan
= + es convergente, estando su lmite
comprendido entre 2 y 3. A este lmite se le designa con el nombre de nmero
e. Se trata de un nmero irracional cuyas diez primeras cifras decimales son:
e 27182818284
5 Se considera para cada nmero natural n la ecuacin:
6 2 13 5
2 2n x =
y se define para cada natural n el nmero na como la suma de las races
positivas de esta ecuacin. Se pide: encontrar el supremo, nfimo, mximo y
mnimo del conjunto formado por los nmeros reales na , es decir, el conjunto
{ }/na n
Solucin (Curso 03-04)
Para cada nmero natural n consideramos la ecuacin 6 213 5
2 2n x = . Las
races de esta ecuacin son los valores x que cumplen:
6 2 13 5
2 2n x = 6 2 13 5
2 2n x
=
Nota: En este paso aplico la definicin de valor absoluto. Si el valor absoluto
de A es 5/2 es porque A es 5/2 A es 5/2. Tambin podra haber elevado
al cuadrado y resolver la ecuacin pero me quedara de grado cuatro y habra
que realizar ms clculos.
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Resolviendo 6 2 6 2 26 3
13 5 9 39
2 2n x n x x x
n n = = = =
Resolviendo 6 2 6 2 23 3
13 5 4 24
2 2n x n x x x
n n
= = = =
Para cada n la suma de las races positivas de la ecuacin 6 213 5
2 2n x = es
3 3
3 2
n n+ .
El conjunto para el que hay que calcular el supremo, nfimo, mximo y
mnimo es3
5 /A nn
=
se cumple que el supremo es 5 y el nfimo es 0.
Como el supremo est en el conjunto (para n=1) se trata del mximo pero el
nfimo no es mnimo porque no es un elemento del conjunto A.
Clculo de lmites: Definicin
6 Demostrar, segn la definicin de lmite, que se verifica:1
lim 0 , 1n ncon r
r = > . Qu
sucede si r < 1?
- Supongamos r>1. Segn la definicin de lmite, hay que encontrar la
expresin de n0para cada 0> , tal que 01
0n si n n r < > .
1log
1 1 1 10 log log( )
log( )n
n nr n r n
rr r
< < < < 1, luego log (r) > 0. As pues, si
tomamos 0
1log
log( )n
r
= se cumple
10
nr <
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Si r < 1, ser log (r) < 0. Como es muy pequeo, verifica < 1, es
decir log( )< 0, luego1
log log( )
= > 0.
Teniendo en cuenta que siempre es n > 0, nunca puede ser
1log log( )n r
< , puesto que n. log (r) ser siempre negativo, mientras
que1
log
es positivo. Por lo tanto, si r < >
Observamos que
1 3 3 11 2 2
2 2
nn n
n n
+ < < < + basta tomar 01
2n E
= + para que se cumpla la definicin
de lmite.
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Nota.- E(x) denota la parte entera de x.
(b)Calcularemos la diferencia2
2 1 2( 1)( 2)
nn n
+ +
y la haremos menor que .
2
2 2 2
6( 1)2 1 6 5 6 52
( 1)( 2) 3 2 3 2 3 2
nn n n
n n n n n n n n
+ + = = +
Cualquiera que sea el valor de , tomando 06
2n E
= , se puede asegurar que
si n > n0entonces
22 12
( 1)( 2)
n
n n
Entonces, cualquiera que sea el valor de , tomando 02
n E
= , se puede
asegurar que
si n > n0entonces
3 3
2
(2 1) (2 1)8
3 1
n n
n
+