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CALCULO II
Sergio SolanoSabie
Series
SUCESIONES Y SERIES INFINITAS
Sergio Stive Solano Sabie
Agosto de 2012
CALCULO II
Sergio SolanoSabie
Series
SUCESIONES Y SERIES INFINITAS
Sergio Stive Solano Sabie
Agosto de 2012
CALCULO II
Sergio SolanoSabie
Series
Series
Si intentamos sumar los terminos de una sucesion infinita{an}∞n=1 obtenemos una expresion de la forma
a1 + a2 + a3 + · · ·+ an + · · ·
la cual se llama serie infinita, o tan solo serie, y se repre-senta, con el fin de abreviar, mediante el sımbolo
∞∑n=1
an o∑
an
¿tiene sentido hablar de la suma de una cantidad infinita determino?.Serıa imposible calcular una suma finita para la serie
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + · · ·+ n + · · ·
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Sergio SolanoSabie
Series
Series
Si intentamos sumar los terminos de una sucesion infinita{an}∞n=1 obtenemos una expresion de la forma
a1 + a2 + a3 + · · ·+ an + · · ·
la cual se llama serie infinita, o tan solo serie, y se repre-senta, con el fin de abreviar, mediante el sımbolo
∞∑n=1
an o∑
an
¿tiene sentido hablar de la suma de una cantidad infinita determino?.Serıa imposible calcular una suma finita para la serie
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + · · ·+ n + · · ·
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Sergio SolanoSabie
Series
Series
Si intentamos sumar los terminos de una sucesion infinita{an}∞n=1 obtenemos una expresion de la forma
a1 + a2 + a3 + · · ·+ an + · · ·
la cual se llama serie infinita, o tan solo serie, y se repre-senta, con el fin de abreviar, mediante el sımbolo
∞∑n=1
an o∑
an
¿tiene sentido hablar de la suma de una cantidad infinita determino?.Serıa imposible calcular una suma finita para la serie
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + · · ·+ n + · · ·
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Sergio SolanoSabie
Series
Series
Si intentamos sumar los terminos de una sucesion infinita{an}∞n=1 obtenemos una expresion de la forma
a1 + a2 + a3 + · · ·+ an + · · ·
la cual se llama serie infinita, o tan solo serie, y se repre-senta, con el fin de abreviar, mediante el sımbolo
∞∑n=1
an o∑
an
¿tiene sentido hablar de la suma de una cantidad infinita determino?.Serıa imposible calcular una suma finita para la serie
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + · · ·+ n + · · ·
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Ejemplo 1.1
Al sumar los terminos de la serie
1
2+
1
4+
1
8+
1
16+
1
32+
1
64+ · · ·+ 1
2n+ · · ·
notamos que las sumas parciales se aproximan a 1.
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Series
Series
Usamos una idea similar al ejemplo anterior para determi-na si una serie tiene una suma. Consideremos las sumasparciales
s1 = a1
s2 = a1 + a2
s3 = a1 + a2 + a3
s4 = a1 + a2 + a3 + a4
y, en general,
sn = a1 + a2 + a3 + · · ·+ an =n∑
i=1
ai
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Series
Series
Usamos una idea similar al ejemplo anterior para determi-na si una serie tiene una suma. Consideremos las sumasparciales
s1 = a1
s2 = a1 + a2
s3 = a1 + a2 + a3
s4 = a1 + a2 + a3 + a4
y, en general,
sn = a1 + a2 + a3 + · · ·+ an =
n∑i=1
ai
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Series
Series
Usamos una idea similar al ejemplo anterior para determi-na si una serie tiene una suma. Consideremos las sumasparciales
s1 = a1
s2 = a1 + a2
s3 = a1 + a2 + a3
s4 = a1 + a2 + a3 + a4
y, en general,
sn = a1 + a2 + a3 + · · ·+ an =
n∑i=1
ai
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Definicion 1.1
Dada una serie∞∑n=1
an = a1 + a2 + a3 + · · · , se
denotara mediante el sımbolo sn a su n-esima suma parcial:
sn =
n∑i=1
ai = a1 + a2 + a3 + · · ·+ an
Si la sucesion {sn} es convergente y si existe el lımn→∞
sn = s
como un numero real, entonces la serie∑
an se diceconvergente y se escribe a1 + a2 + a3 + · · · = s o bien∞∑n=1
an = s.
El numero s se denomina suma de la serie. En casocontario, la serie {sn} se dice divergente.
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Ejemplo 1.2Un ejemplo importante de series infinitas es la seriegeometrica
∞∑n=1
arn−1 = a + ar + ar2 + · · ·
la cual converge si |r| < 1 y su suma es
∞∑n=1
arn−1 =a
1− r
Si |r| ≥ 1, la serie geometrica diverge.
La serie geometrica∞∑n=1
12n converge y su suma es 1.
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Ejemplo 1.3
Demuestre que la serie∞∑n=1
1n(n+1) converge, y calcule sus
suma.
Solucion. Calculemos sus sumas parciales.
sn =
n∑i=1
1
i(i + 1)=
n∑i=1
(1
i− 1
i + 1
)=
(1− 1
2
)+
(1
2− 1
3
)+
(1
3− 1
4
)+ · · ·+
(1
n− 1
n + 1
)= 1− 1
n + 1
de modo que∞∑n=1
1n(n+1) = lım
n→∞sn = lım
n→∞
(1− 1
n+1
)= 1.
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Ejemplo 1.4
Demuestre que la serie armonica
∞∑n=1
1
n= 1 +
1
2+
1
3+
1
4+ · · ·
es divergente.
Teorema 1.1
Si la serie∞∑n=1
an es convergente, entonces lımn→∞
an = 0.
Prueba de la divergencia
Si lımn→∞
an no existe o lımn→∞
an 6= 0, entonces la serie∞∑n=1
an
diverge.
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Series
Series
Ejemplo 1.5
Demuestre que la serie∞∑n=1
n2
5n2+4diverge.
Teorema 1.2
Si∞∑n=1
an y∞∑n=1
bn son series convergentes, entonces
tambien los son las series∞∑n=1
can (donde c es una
constante),∞∑n=1
(an ± bn), y
1∞∑n=1
can = c∞∑n=1
an
2∞∑n=1
(an ± bn) =∞∑n=1
an ±∞∑n=1
bn
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Series
Series
Ejemplo 1.5
Demuestre que la serie∞∑n=1
n2
5n2+4diverge.
Teorema 1.2
Si∞∑n=1
an y∞∑n=1
bn son series convergentes, entonces
tambien los son las series∞∑n=1
can (donde c es una
constante),∞∑n=1
(an ± bn), y
1∞∑n=1
can = c∞∑n=1
an
2∞∑n=1
(an ± bn) =∞∑n=1
an ±∞∑n=1
bn
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Series
Ejemplo 1.6
Halle la suma de la serie∞∑n=1
(3
n(n+1) + 12n
)Solucion. TareaNota. Un numero finito de terminos no puede afectar la con-vergencia de una serie. Por ejemplo, supongamos que la se-rie
∞∑n=4
n
n3 + 1
es convergente. Entonces, como∞∑n=1
n
n3 + 1=
1
2+
2
9+
3
28+
∞∑n=4
n
n3 + 1
se deduce que toda la serie es convergente.
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Series
Series
Prueba de la integralSuponga que f es una funcion continua, positiva ydecreciente en [1,∞) y se an = f(n). Entonces
1 Si∫∞1 f(x)dx es convergente, entonces
∞∑n=1
an es
convergente.
2 Si∫∞1 f(x)dx es divergente, entonces
∞∑n=1
an es
divergente.
Ejemplo 1.7
¿Para que valores de p converge la serie∞∑n=1
1np ?.
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Series
Series
Solucion. Recordemos que∫∞1
1xp converge si p > 1 y di-
verge si p ≤ 1. Luego, por la prueba de la integral la serie∞∑n=1
1np converge si p > 1 y diverge si 0 < p ≤ 1.
La serie del ejemplo se conoce como serie p.
Prueba de comparacionSuponga que
∑an y
∑bn son series con terminos
positivos.1 Si
∑bn es convergente y an ≤ bn para toda n,
entonces∑
an tambien converge.2 Si
∑bn es divergente y an ≥ bn para toda n, entonces∑
an tambien diverge.
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Series
Series
Ejemplo 1.8
Determine si la serie∞∑n=1
52n2+4n+3
converge o diverge.
Solucion: Observe que
5
2n2 + 4n + 3<
5
2n2(converge por la serie p con p = 2 > 1)
luego por la prueba de comparacion∞∑n=1
52n2+4n+3
converge.
Ejemplo 1.9
Pruebe la convergencia o divergencia de la serie∞∑n=1
lnnn
Solucion. Note que lnn > 1, para n ≥ 3.
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Series
Series
Prueba de comparacion de lımitesSuponga que
∑an y
∑bn son series con terminos
positivos. Silımn→∞
anbn
= c
donde c es un numero finito y c > 0, entonces ambas seriesconvergen o divergen.
Ejemplo 1.10
Pruebe que la serie∞∑n=1
12n−1 converge o diverge.
Solucion. Usamos la prueba de comparacion de lımites conan = 1
2n−1 y bn = 12n
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Series alternantes
Una serie alternante es aquella cuyos terminos son positi-vos y negativos alternativamente. Por ejemplo
1∞∑n=1
(−1)n−1 1n
2∞∑n=1
(−1)n nn+1
Prueba de la serie alternanteSi la serie alternante∞∑n=1
(−1)n−1bn = b1 − b2 + b3 − b4 + b5 − b6 + · · · (bn > 0)
satisface1 bn+1 ≤ bn2 lım
n→∞bn = 0
entonces la serie converge.
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Series
Series alternantes
Ejemplo 1.11
La serie armonica alternante∞∑n=1
(−1)n−11
n= 1− 1
2+
1
3− 1
4+ · · ·
satisface1 bn+1 ≤ bn porque 1
n+1 < 1n
2 lımn→∞
bn = lımn→∞
1n = 0
por tanto la serie converge.
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Series
Convergencia absoluta
Definicion 1.2La serie
∑an es absolutamente convergente si la serie
de valores absolutos∑|an| converge.
Teorema 1.3Si una serie
∑an es absolutamente convergente,
entonces es convergente.
Ejemplo 1.12
La serie∞∑n=1
(−1)n−1
n2 converge.
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Series
Prueba de la razon
Prueba de la razon
1 Si lımn→∞
∣∣∣an+1
an
∣∣∣ = L < 1, entonces la serie∑
an esabsolutamente convergente (y por consiguienteconvergente).
2 Si lımn→∞
∣∣∣an+1
an
∣∣∣ = L > 1 o lımn→∞
|an+1
an| =∞, entonces la
serie∑
an diverge.
3 Si lımn→∞
∣∣∣an+1
an
∣∣∣ = 1, la prueba de la razon no decide.
Ejemplo 1.13
Pruebe la convergencia absoluta de la serie∞∑n=1
(−1)n n3
3n .
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GRACIAS POR SUATENCION