REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA

MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACION

U. E COLEGIO PABLO NERUDA

BARQUISIMETO EDO. LARA

INTEGRANTES:

Karla Espinosa

María Navega

Arausi Yajure

Mimi Zhen Cen

PROFESOR:

Robert Olivera

5to C

Equipo 3

Vectores

Un Vector en el plano es un segmento de recta orientada, que posee un sentido de recorrido. Tiene un punto de origen y el otro extremo punto final. Igualmente, es un elemento de un espacio vectorial. Comúnmente se representan por medio de flechas y con una letra inicial; siendo esta la propiedad que denota la cantidad. Por ejemplo:

Vector velocidad:

Representación grafica: Generalmente el marco de referencia utilizado es el plano cartesiano, con el eje x positivo dirigido hacia la derecha y el eje y positivo dirigido hacia arriba. Cuantificación del vector: el valor o magnitud del vector está dada por la escala utilizada y el tamaño del vector. La dirección del vector esta dada por la orientación que tenga la flecha en el plano cartesiano.

Componentes de un vector

• Dirección de un vector: Es la or ientación de la recta que contiene al vector o de

cualquier recta paralela a ella. Esta definida por la posición que ocupa en el plano.

• Sentido de un vector: El sentido queda determinado si señalamos cual es el origen del

recorrido y cual es el extremo. Es conveniente escribir en primer lugar el origen y en

segundo lugar el extremo. Así:

Gráf icamente puede f i jarse el sent ido haciéndolo como en la f igura anter ior ;

d ibujando una f lecha en el extremo del segmento.

• El módulo del vector : es la longi tud del segmento AB, se representa por

. S iendo este un número siempre posi t ivo o cero.

Módulo de un vector a part i r de sus componentes: donde U1 y U2 son

valores en los ejes X y Y. Si U1:3 y U2:4, entonces tenemos:

Tipos de vectores

• En el origen: posee un solo punto.

: (3,2)

Su modulo: |v|= x² + y²

Su dirección A =Tan-1 (y/x)

• En el espacio: posee dos puntos, A: (X1,Y1) y B:(X2,Y2) AB=(x,y)

|AB|= x² + y²

A =Tan-1 (y2-y1/x2-x1)

• Unitarios: su modulo es igual a 1. Tienen de módulo, la unidad. Para obtenerlo, de la misma dirección y sent ido que el vector dado se div ide éste por su módulo.

• Equipolentes: para que dos vectores sean equipolentes, deben tener la misma dirección, modulo y sentido. Pueden ser vectores en el espacio, origen, unitarios, entre otros. A=B

Dos vectores son equipolentes si al unir sus orígenes y sus extremos se forma un paralelogramo o bien: si poseen el mismo modulo, la misma dirección y el mismo sentido.

Pasos para realizar un vector en el plano cartesiano 1.- En una hoja dibuja un punto (va a ser el origen)

.

2.-Para dibujar el eje X, traza una línea recta (horizontal) desde el punto origen hasta otro punto que sitúes a la derecha. Con la medida (escala) de tu preferencia.

3.- Para dibujar el eje Y traza otra línea recta pero esta ves vertical al punto origen, creando un sistema de coordenadas de dos dimensiones.

(Y)

(X)

4.- Para tridimensionarlo, puede utilizar un transportador. Colocándolo en el origen. El cero del transportador debe coincidir con el eje X, dibujando un punto en 210º sentido antihorario. Traza una línea recta del punto origen al punto de 210º. Este es el eje z. También, puedes hacer esto con una escuadra de 60º ubicando el lado mediano (tamaño) de la escuadra paralelo al eje X, con otra regla u escuadra (de forma que corra un lado de la escuadra) pasa una línea recta sobre el lado mayor desde el origen hacia el tercer cuadrante.

(Y) (X) (Z)

Suma de vectores

Para sumar dos vectores l ibres y se escogen como representantes dos vectores tales que el extremo de uno coincida con el or igen del otro vector.

Regla del paralelogramo

Se toman como representantes dos vectores con el origen en común,

se t razan rectas paralelas a los vectores obteniéndose un paralelogramo

cuya diagonal coinc ide con la suma de los vectores.

Para sumar dos vectores se suman sus respect ivas componentes.

Cuando se suman más de dos vectores, coloca siempre el

origen del siguiente vector en el extremo del vector actual, después construye el vector resultante uniendo el origen del primer vector al extremo

del último.

Propiedades de la suma de vectores

• Asociativa: Propiedad que establece que cuando se suman tres o mas vectores, la suma

siempre es la misma independientemente de su agrupamiento.

• Conmutat iva: El orden de los sumandos no altera el resultado

• Elemento neutro: Existe un vector que actúa como elemento nulo y cuando

cualquier vector se sume con este vector el resultado es el mismo vector original.

0+a = a

• Elemento opuesto: Para cualquier vector a, existe un vector −a tal que a+(-a) = 0.

Este vector −a se denomina vector opuesto, y es único para cada a.

+ (− ) =

conmutativa

Asociativa

Elemento neutro

0+a=a

Vector opuesto

+ (− ) =

Resta de vectores

Para restar dos vectores l ibres y se suma con el opuesto de .Las componentes del vector resta se obt ienen restando las componentes de los vectores.

B B =

A A A-B

Vectores opuestos

Los vectores opuestos t ienen el mismo módulo, d i recc ión, y dist into

sent ido.

Dos vectores t ienen sent ido contrar io s i al unir sus orígenes los extremos

quedan en dist into semiplano.

Semiplano P Semiplano P

D C A B

Ejercicios

1. ¿Que rectas pertenecen a la misma dirección que A? A D I H F G

B

Respuesta: A, B, D

2. Tenemos los puntos A y B A

B

1.b) dibuja el segmento que determina

2.b) dicho segmento lo podemos indicar indistintamente con o ____.

3.b) indica los extremos del segmento . Respuestas: 1.b) A B 2.b) BA 3.b) B y A

3. Construye un vector equipolente al vector v con origen en a.

V A

Respuesta: V c) A

Suma de vectores A

4. Te dan los vectores: A, B, C. 1.d) halla A+B C 2.d) halla A +C B 3.d) halla C+ D Respuesta: A+B C+B A+C Ejemplos: propiedad asociativa de la adición de vectores U V W

• Construyamos el vector suma U + V • • Construyamos el vector suma V + W • • Construyamos el vector suma U +( V + W ) • • Construyamos el vector suma (U + V) + W

U V V+W U+V W U + (V + W) = (U +V) =W Comparando 3 y 4 notamos que el vector suma es el mismo. Generalizando, tenemos que (se verifica la formula de propiedad asociativa en la adición de vectores).

Para todo U V W (U + V) + W = U (V + W)