sustitucion trigonomã-trica

Facultad de Ingeniería Semestre 2012-II

CURSO: CÁLCULO II

Tema :

IINNTTEEGGRRAACCIIÓÓNN PPOORR SSUUSSTTIITTUUCCIIÓÓNN TTRRIIGGOONNOOMMÉÉTTRRIICCAA..

Se puede utilizar sustituciones trigonométricas para resolver integrales cuyos

integrandos contengan los radicandos:

2 2a u 2 2u a 2 2u a

Donde )(xfu una función de x .

Para estos casos, el método más corto para integrar tales funciones es efectuar un

cambio de variable del siguiente modo:

Función Triangulo a construir Hacer Sustitución

2 2a u

usen

a

uarcsen

a

cos

u asen

du a d

2 2u a

secu

a

secu

arca

sec

sec tan

u a

du a d

2 2u a

tanu

a

arctanu

a

2

tan

sec

u a

du a d

Integración Por Sustitución Trigonométrica


El propósito de estas sustituciones (o cambios de variables) es eliminar los radicales.

Eso se consigue con las identidades de Pitágoras:

2 2cos 1sen , 2 21 tan sec

Ejemplos:

1. Calcular 22 ax

dxI

Solución:

En primer lugar, elegimos xu , puesto que la derivada ésta función es muy fácil

De donde tenemos que:

2

tan

tan

sec

x

a

x a

dx a d

Además a

xarctan , por otro lado

2 2 2 2 2 2 2

2 2

tan tan 1

sec

x a a a a

a

;

Luego sustituyendo en la integral tenemos:

Caa

d

a

da

ax

dxI

1

sec

sec

22

2

22

Por lo tanto: Ca

x

aax

dxarctan

1

22

2. Calcular 2

21

x dxI

x

Solución:

Del triángulo se tiene:

1

xsen

cos

x sen

dx d

22 ax

x

a


Además 2cos 1 x

Luego en la integral:

2 22

2

cos 1 cos 2

cos 21

cos 2 2

2 2 2 4

2 cos

2 4

cos

2 2

x dx sen dI sen d d

x

d send C

senC

senC

arcsen 21

2 2

x x xC

3. Calcular 3/2

2 2

dxI

x

Solución:

Hacer: tan 2

x

2

2 tan

2 sec

x

dx d

Además:

2 2

2

2

2 2 tan 2

2(tan 1)

2sec

x

Luego en la integral:

2 2

3/2 3/2 32 2

2 sec 2 sec 1 1

sec 2 sec2 22 2sec

dxI d d d

x

1 1

cos 2 2

d sen C

2

1

2 2

xC

x


4. Calcular 2 3x

I dxx

Solución:

Hacer: sec 3

x

3 sec

3 sec tan

x

dx d

Sustituir en la integral:

2 223 3sec 3 3sec tan

3 sec 1 tan 3sec

xI dx d d

x

2 23tan tan 3 tan tan 3 tan d d d

2 23 sec 1 3 secd d d

2

3 tan

33 sec

3 3

C

x xarc C

2 3 3 sec3

xx arc C

5. Calcular 3

2

2

x dxI

x

Solución:

Hacer: s 2

xen

2 s

2 cos

x en

dx d

22 x

x 2


Sustituir en la integral

3 33

2

2 2 2 cos 2 2

2 cos2

x dx sen dI sen d

x

2 2 22 2 2 1 cos 2 cos sen sen d sen d sen sen d

3

2 2 2

22 2

cos2 2 cos

3

2 2 22 2

22 3 2

22 2 2

3

C

x x xC

xx x C

6. Calcular 2

2

4

x dxI

x

Solución:

Haciendo: sec 2

x

2sec

2sec tan

x

dx d

2 2 3 3

2 2 22

4sec 2sec tan sec tan sec tan 8 8

4 4sec 4 4 tan4 sec 1

x dx d d dI

x

3

3sec tan 8 4 sec

2 tan

dd

Hallando 3

1 s e c I d

3 2sec sec sec d d

Integrando por partes:

sec sec tanu du d

2sec tandv d v

2 4x x

2


1

3 2

1

2

3

3

sec sec tan tan sec

sec tan sec 1 sec

sec tan sec sec

sec tan sec sec

I

I d d

d

d

d d

Entonces:

1

1

2 sec tan ln sec tan

sec tan ln sec tan

2

I

I

Luego en la integral 3

3sec tan 8 4 sec

2 tan

dI d

sec tan ln sec tan4

2

2sec tan 2ln sec tan

I

C

2 214 2ln 4

2I x x x x C

7. Calcular 2

2

2

x dxI

x x

Solución:

Completando cuadrados en 2 2 2 22 2 ( 1) 1 1 ( 1)x x x x x x

2 2

2 2

2 1 ( 1)

x dx x dxI

x x x

Haciendo: 1

1

xsen

1 s

cos

x en

dx d

Además se tiene:

1 sx en 1 sx en

22 cosx x

22x x

1x 1


Reemplazando en la integral

222 2

2

1 cos 1 1 2

cos2

senx dxI d sen d sen sen d

x x

2 1 cos 22cos 2cos

2

22cos

2 4

3 12cos cos

2 2

sen d d

senC

sen C

2 2

2

3 11 2 2 1 2

2 2

3 11 3 2

2 2

arcsen x x x x x x C

arcsen x x x x C


EJERCICIOS PROPUESTOS

1. 2

3/ 2216

x dx

x

2. 2

6

4 xdx

x

3. 225 x dx

4. 2 36 x dx

5. 29 1 x dx

6. 24 1

dx

x

7. 2 2

du

u a

8. 2

3

1xdx

x

9. 216 6

dx

x x

10. 2 2 26

dx

x x

11. 3/2

24

dx

x

12. 3

21

dx

x

13. 2 2x x

dxx

14. 2 21 2 4 4 4

dx

x x x

15. 24

dx

x

16. 2 2 8

dx

x x

17. 2

2 2

dx

x

18. 3/2

2 2 5

dx

x x

19. 22 916 xx

dx

20. 2 24

dx

x x

21. 216

xdx

x

22. 3

21

dx

x

23. 2 2 3

1

x xdx

x

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