T-STUDENT

Ejemplo1: Un fabricante de focos afirma que su producto durará un

promedio de 500 horas de trabajo. Para conservar este promedio esta

persona verifica 25 focos cada mes. Si el valor y calculado cae entre –t 0.05

y t 0.05, él se encuentra satisfecho con esta afirmación. ¿Qué conclusión

deberá él sacar de una muestra de 25 focos cuya duración fue?:

520 521 511 513 510 µ=500 h513 522 500 521 495 n=25496 488 500 502 512 Nc=90%510 510 475 505 521 X=505.36

506 503 487 493 500 s=12.07SOLUCIÓN.

t= x -μ

SI n α = 1- Nc = 10%

v = n-1 = 24

t = 2.22

Enseguida se muestra la distribución del problema según el grafico

sig.

Ejemplo 2.- El profesor Pérez olvida poner su despertador 3 de cada 10

días. Además, ha comprobado que uno de cada 10 días en los que pone el

despertador acaba no levantándose a tiempo de dar su primera clase,

mientras que 2 de cada 10 días en los que olvida poner el despertador, llega

a tiempo a dar su primera clase.

(a) Identifica y da nombre a los sucesos que aparecen en el enunciado.

(b) ¿Cual es la probabilidad de que el profesor Pérez llegue a tiempo a dar

su primera clase?

Solución:

En primer lugar conviene identificar el experimento aleatorio que estamos

realizando. Este consiste en tomar un día al azar en la vida del profesor

Pérez y analizarlo en base a los siguientes sucesos.

(a) Para un día al azar decimos que se ha dado el suceso:

O ≡ cuando el profesor ha olvidado poner el despertador

T ≡ cuando el profesor ha llegado tarde a su primera clase.

Notemos que tanto {O, O} como {T, T} forman un sistema completo de

sucesos. A continuación traducimos en términos de probabilidad de los

sucesos anteriores todos los datos que nos dan en el enunciado.

P(O) = , P (T |O) = , P(O) = , P(T |O) = .

(b) El suceso”llegar a tiempo a su clase” es el complementario de T , por

tanto nos piden que calculemos P(T¯). Puesto que {O, O} es un sistema

completo de sucesos, podemos aplicar la formulas de la probabilidad total,

de donde tenemos que:

P (T¯) = P (T |O¯) P(O) + P (T | ¯ O¯) P (O¯).

En la expresión anterior aparecen varios de los datos que nos ha

proporcionando el enunciado, sin embargo no conocemos directamente el

valor de P(T |¯ O¯). Para calcularlo utilizamos que

P(T |¯ O¯) = 1 − P(T |O¯) = 1 − = De esta forma, la expresión anterior se

puede escribir como: P(T¯) = + =0.69

Ejemplo 3.- La longitud de los tornillos fabricados en una fábrica tienen

media μ=10 mm y desviación s=1 mm, calcular la probabilidad de que en

una muestra de tamaño n=25, la longitud media del tornillo sea inferior a

20.5 mm:

P (μ<20.5)

Estandarizamos T=(X-μ)/(s/√n) que sigue una distribución t de n-1 grados de

libertad

T=(20.5-20)/(1/√25) = 2.5

P (μ<20.5) --> P (T<2.5) ~ t(24)

P (T<2.5) = 0.9902

P (μ<20.5)=0.9902

La probabilidad que la longitud media de la muestra de 25 tornillos sea

inferior a 20.5 mm es del 99.02%

Ejemplo4.- Calcular el percentil w0=95 y w0=25 en cada uno de los

siguientes casos:

1. En una distribución t-Student con 3 grados de libertad.

2. En una distribución t-Student con 30 grados de libertad.

Solución.

1. Recordemos que w0=95 es aquel número real que verifica:

S [W · w0=95] = 0=95

Para encontrar este valor en la tabla de la distribución t-Student bastará:

- ) Localizar en la primera columna los grados de libertad, en este caso: 3.

- ) Localizar en la primer fila la probabilidad acumulada, en nuestro caso:

0=95=

- ) Movernos horizontal y verticalmente desde las posiciones anteriores

hasta cruzarnos en el punto w0=95.

Por tanto el percentil w0=95, en una t-Student con 3 grados de libertad será

el valor:

w0=95 = 2=3534

Es decir, si desde el valor 2.3534 nos movemos horizontalmente hasta la

primera columna, llegaremos al valor 3 (grados de libertad), y si lo hacemos

verticalmente hacia la primera fila la llegaremos al valor 0.95 (probabilidad

acumulada).

Como en la tabla únicamente tenemos tabulada la t-Student para colas

probabilísticas que van desde 0=75 hasta 0=999, para calcular el percentil

w0=25, tendremos que realizar la siguiente consideración:

S [W · w0=25] = 1 ¡ s[W ¸ w0=25]

Como la distribución t-Student es simétrica, se verifica:

w0=25 = ¡w0=75

Y resulta: s[W · w0=25] = 1 ¡ s[W · w0=75]

Por tanto, buscando en la tabla con los datos:

Grados de libertad: 3

Cola de probabilidad: 0.75

Tenemos: w0=25 = ¡w0=75 = ¡0=7649

2. En el caso de 30 grados de libertad actuaremos de modo similar al caso

anterior, pero buscando en la fila 30 de la tabla. Resultando:

w0=95 = 1=6973

Y w0=25 = ¡w0=75 = ¡0=6828

Ejemplo.-5 Calcular los percentiles I8>7;0=99 y I8>7;0=01

Solución.

Para buscar en la tabla de la F-Snedecor el percentil I8>7; 0=99 hemos de

tener en cuenta que:

df_1 = 8 (1d Fila de la tabla)

df_2 = 7 (1 d Columna de la tabla)

0=99 = Probabilidad acumulada (Última columna de la tabla)

El valor donde se cruzan todos estos datos será el percentil buscado.

Por tanto: I9>7; 099 = 6=840