Castillo, 1 de 9

APLICACIN AJUSTE DE BALANCES METALURGICOS POR METODOS NUMERICOS (SMITH E ICHIYEN).

Jhonny Handry Castillo Mamani

Ca. Minera San Valentn S.A. jcastillo_ciamsv@yahoo.es

Resumen

Cuando se hace un diagnostico metalrgico de un circuito de flotacin con el objetivo de mejorar y/o optimizar la recuperacin y ley del concentrado existen tres rutas posibles. - Mineral y operacin (ley, mineraloga, tonelaje,

granulometra, densidad de pulpa, litologa de la ganga y xidos).

- Reactivos qumicos (colectores, espumantes,

activadores, depresantes, pH y dispersante de lamas).

- Equipos y circuitos (tipo y tamao de celdas,

sistema de aireacin, configuracin de bancos y tiempo de residencia. Viendo lo anterior y el tercer punto como parte

del diagnostico metalrgico se requiere de un balance confiable del circuito de flotacin para evaluar la recuperacin por bancos de celda, recuperacin por tamao de partculas, carga circulante en el circuito, tiempo de residencia, etc.

Hoy en da hay muchos software comerciales

que puede realizar balances de procesos metalrgicos, sin embargo; al no contar con ello es necesario modelar el circuito y ajustar los valores de tal manera que se tenga la mejor estimacin.

En el presente trabajo se presentan los

resultados de la aplicacin de un mtodo de clculo para el ajuste de balance de materiales desarrollado por Smith e Ichiyen. Summary

When it is done one I diagnose metallurgic of a circuit of floating for the sake of getting better and or optimizing the recuperation and law of the concentrate three possible routes exist.

- Mineral and operation (law, mineralogy,

tonnage, classification by size of particles,

density of pulp, lothology of the bargain and oxides).

- Chemical reagents (collectors, fizzy, activators,

depressor, pH and to spread of slimes). - Teams and circuits (type and size of cells,

system of aeration, configuration of benches and time of residence. Seeing the above and the third point as part of

the metallurgic diagnosis is required of a reliable balance of the circuit of floating to evaluate the recuperation for benches of cell, recuperation for size of particles, circulating load in the circuit, time of residence, etc.

Nowadays the software has a great deals

commercial that you can sell off balances of metallurgic processes, however; It is necessary to model the and circuit to adjust moral values in such a way that one have the best esteem when not counting on it.

The results of the application of a method of

calculation are up for the adjustment of balance of materials unrolled by Smith and Ichiyen in the present work. INTRODUCCIN

Los circuitos de procesamiento de minerales, desde el chancado a flotacin, pueden ser bastante complejos e incluyen varios flujos de reciclo.

Frecuentemente no se dispone de estimaciones

de los flujos msicos en lnea, excepto para el flujo de alimentacin. Por lo tanto, estos flujos deben estimarse indirectamente si son requeridos.

La Figura muestra una situacin comn en circuitos de molienda o flotacin.

Castillo, 2 de 9

Figura 1: Anlisis de flujos en un circuito para el ajuste de balances de materiales. La letra minscula en la Figura se refiere a alguna cualidad de la corriente, por ejemplo: contenido fraccional de cobre, la fraccin ms fina que 200 mallas, etc.

Del balance de materiales en estado estacionario, tanto global como por componentes, se obtiene:

bc

ac

A

B

(1)

En consecuencia, la razn A = B se puede

determinar indirectamente de la cualidad o caractersticas medidas (anlisis qumico o granulomtrico).

La pregunta natural en este punto es: se

obtendr la misma razn B = A si se resuelve utilizando el anlisis fraccional y la fraccin ms fina que 200 mallas?. La respuesta es no.

La razn es que a menos que los valores a, b y

c sean perfectos, en el sentido que el muestreo, anlisis y estado estacionario sean perfectos, se debe esperar diferencias en la razn B = A si se utilizan distintas cualidades.

Por lo tanto, se requiere determinar la mejor

estimacin de B = A, adems, se desea que los valores a, b y c se ajusten para corresponder a la mejor estimacin anterior.

Esto no es un ejercicio acadmico, sino que

tiene significado prctico.

- Los balances de materia se efectan en forma rutinaria para estimar la velocidad de produccin de concentrado y, posteriormente, su recuperacin.

- En esquemas de control de procesos, la adicin

de reactivos puede realizarse en proporcin al flujo msico de mineral.

- La instrumentacin puede ser chequeada,

determinando que cualidad necesita mayor ajuste.

- En la construccin de modelos, la estimacin de los parmetros requiere de datos suavizados.

A continuacin se presentan los resultados de

la aplicacin de un mtodo de clculo para el ajuste de balance de materiales desarrollado por Smith e Ichiyen. AJUSTE DE BALANCE PARA SISTEMAS DE 1 NODO

Para explicar los fundamentos matemticos del ajuste para sistemas de 1 nodo, se analizar un separador tpico, con flujos de alimentacin (w1), concentrado (w2) y cola(w3); segn los flujos msicos involucrados son w1, w2 y w3 respectivamente, conteniendo n elementos de inters, con concentraciones c1i, c2i y c3i.

Alimentacion

w1,C1i

Colas

w3,C3i

Concentrado

w2,C2i

Celda Unitaria

Figura 2: Balance de materiales para sistemas de 1 nodo. El balance global de materiales est dado por,

0321 www (2)

El balance por componentes est dado por,

0*** 332211 iii cwcwcw (3)

Considerando los errores intrnsecos a los mtodos de muestreo y anlisis, asociados a los valores de las concentraciones de los diferentes elementos de inters en cada corriente, estos pueden expresarse segn,

iii cc 11,

1 (4)

iii cc 22,

2 (5)

iii cc 33,

3 (6)

Castillo, 3 de 9

De esta forma, la ecuacin 3 se puede expresar como,

0*** ,33,

22

,

11 iii cwcwcw (7)

De acuerdo con el mtodo desarrollado por Ichiyen et al., se define la funcin objetivo J que debe ser minimizada para obtener una solucin ptima al ajuste del balance de materiales. Dicha funcin est dada por,

i

ii

T

i MJ **1

(8)

k

j

n

i ij

ijJ

2

(9)

donde,

2

ij : es la varianza de ijc

k : es el nmero de corrientes n : es el nmero de elementos de inters En el caso del separador de la Figura 9.2, se tiene que:

2

3

2

2

2

1

00

00

00

i

i

i

iM

(10)

Se definen adems,

321 wwwB (11)

,

3

,

2

,

1

,

i

i

i

i

c

c

c

C (12)

i

i

i

i

3

2

1

(13)

Utilizando el mtodo de aproximacin de Lagrange, se llega a la siguiente expresin para la funcin objetivo,

i

i

T

ii

T

i CBML,1 ***2** (14)

donde,

n

.

.2

1

(15)

El desarrollo final de Lagrange arroja como

resultado la matriz de ajuste i para cada

corriente:

iTiTii CBBMBBM ******1

(16)

Ahora se pueden obtener los errores para cada elemento i en cada corriente j. Para esto, es necesario fijar las variables independientes, dado por la ecuacin 17, (grados de libertad) en el sistema para la optimizacin de la funcin objetivo J. grados de libertad = N corrientes N nodos 1 (17) Mtodo de solucin

De acuerdo con el mtodo desarrollado por Smith e Ichiyen, se define la funcin objetivo J que debe ser minimizada para obtener una solucin ptima al ajuste del balance de materiales, esto se puede resolver por mtodos de gradiente de primer orden (Gauss-Newton) o segundo orden (Newton-Raphson). Para facilitar el trabajo de mtodos numricos se usa la hoja de calculo utilizando la herramienta Solver. Conceptos bsicos de Solver

Solver es una herramienta para resolver y optimizar ecuaciones mediante el uso de mtodos numricos.

Con Solver, se puede buscar el valor ptimo

para una celda, denominada celda objetivo, en donde se escribe la frmula de la funcin objetivo f (x1, x2, ..., xn).

Solver cambia los valores de un grupo de

celdas, denominadas celdas cambiantes, y que estn relacionadas, directa o indirectamente, con la frmula de la celda objetivo. En estas celdas se encuentran los valores de las variables controlables x1, x2, ..., xn.

Puede agregarse restricciones escribiendo la

frmula objetivo en una celda y especificando las

Castillo, 4 de 9

observaciones respecto a esa celda (mayor que, menor que, diferente, etc)

Figura 3: Algoritmo del solver. Solver utiliza diversos mtodos de solucin,

dependiendo de las opciones que seleccione.

- Para los problemas de Programacin Lineal utiliza el mtodo Simplex.

- Para problemas lineales enteros utiliza el

mtodo de ramificacin y lmite, implantado por John Watson y Dan Fylstra de Frontline Systems, Inc.

- Para problemas no lineales utiliza el cdigo de

optimizacin no lineal (GRG2) desarrollado por la Universidad Leon Lasdon de Austin (Texas) y la Universidad Allan Waren (Cleveland).

Pasos para usar Solver - Plantear el problema. - Funcin objetivo y restricciones.

- Ingresar datos en el modelo de Solver

(variables y parmetros). - Obtener una respuesta ya sea maximizndola,

minimizndola o igualndola a un valor en particular.

APLICACIN DEL MTODO DE CLCULO

Para aplicar el mtodo de ajuste, se considera una celda unitaria de flotacin operando con mineral de cobre, en circuito abierto; como se muestra en la Figura 2.

Durante la operacin en estado estacionario se obtuvieron muestras sucesivas de los flujos de

alimento, concentrado y cola. Los resultados obtenidos se resumen en la Tabla 1, para las concentraciones de 5 elementos de inters: Cu, Pb, Zn, Fe y Ag. Tabla 1: Muestreo de las leyes en las corrientes del separador

No. Flujo %Cu %Pb %Zn %Fe Oz Ag/TC

1 Alimento 2.47 0.04 0.34 11.97 0.91

2 Concentrado 25.88 0.12 2.80 32.40 3.50

3 Colas 1.52 0.03 0.22 9.01 0.64

Nombre

El Problema tiene 1 grado de libertad, por lo tanto; se fija como valor conocido el flujo de la alimentacin w1=1, por lo tanto:

23 1 ww (18)

Tabla 2: Resumen de los resultados obtenidos para el separador.

Feed Conc. Tailing

%Cu ajustado 2.62 25.06 1.46

%Pb ajustado 0.04 0.13 0.03

%Zn ajustado 0.35 2.78 0.22

%Fe ajustado 10.79 32.83 9.65

%Ag ajustado 0.00 0.01 0.00

%Cu medido 2.47 25.88 1.52

%Pb medido 0.04 0.12 0.03

%Zn medido 0.34 2.80 0.22

%Fe medido 11.97 32.40 9.01

%Ag medido 0.00 0.01 0.00

Cu 0.153 -0.823 -0.055

Pb -0.004 0.002 0.002

Zn 0.006 -0.021 -0.003

Fe -1.186 0.426 0.639

Ag 0.000 0.000 0.000

Luego, la funcin es minimizada para w2 = 0.049.

Tabla 3: Balance en celda unitaria de Flotacin.

%Cu %Pb %Zn %Fe OzAg/tc

1.000 2.62 0.04 0.35 10.79 0.82

0.049 25.06 0.13 2.78 32.83 3.56

0.951 1.46 0.03 0.22 9.65 0.68

1.000 2.62 0.04 0.35 10.79 0.82

Relave (3)

Cabeza (c)

PesoProductos

Cabeza (1)

Conc.(2)

Leyes

Cu Pb Zn Fe Ag

1.000 100.00 100.00 100.00 100.00 100.00

0.049 46.85 16.69 39.28 14.91 21.20

0.951 53.15 83.31 60.72 85.09 78.80

1.000 100.00 100.00 100.00 100.00 100.00

Relave (3)

Cabeza (c)

PesoProductos

Cabeza (1)

Conc.(2)

% Distribucin

Es ptima?

Nueva solucin

Solucin Inicial

Fin

No

Si

Castillo, 5 de 9

AJUSTE DE BALANCE PARA SISTEMAS DE 8 NODOS

Para ilustrar el mtodo de clculo para sistemas de 8 nodos, se desarrollar el ajuste de balance de materiales para un circuito de flotacin zinc completo, segn muestra la Figura 4. Circuito de flotacin de zinc anterior

C1 C8w4 C10w5

C3(1-w1) C5(1+w3-w8)

C1 C11(1-w8)

C2w1 C4w2 C6w3

C17(w1+w7-w8)

C12w6

C16w8

C7(w4+w5+1-w8)

C13(w3+w2+w1-w8)

C15(w6+w2+w1-w8)

C14w7

C9(w5+1-w8)

Cl - I

Rougher I Scavenger IIAcond Rougher II Scavenger IUNIT

Cl - II Cl - III

Figura 4: Balance de materiales para sistemas de 8 nodos (circuito anterior).

El balance global de materiales est dado por,

Unitaria

(19)

Rougher I

(20)

Rougher II

(21)

Scavenger I

(22)

Scavenger II

(23)

Cleaner I

(24)

Cleaner II

(25)

Cleaner III

(26)

011 85473683551048 wwwCwCwwCwCwC

01)(1 8352481231313 wwCwCwwwwCwC

0)1( 13121 wCwCC

011 859488547 wwCwCwwwC

011 811510859 wCwCwwC

0)( 81231361281261536 wwwwCwCwwwwCwC

0)( 8126157148711724612 wwwwCwCwwwCwCwC

08711781671412 wwwCwCwCwC

El desarrollo del mtodo de optimizacin indica que la matriz de ajustes que minimiza la funcin J, al igual que en el sistema de 1 nodo, se describe segn,

Castillo, 6 de 9

iTiTii CBBMBBM ******1

(27)

En este caso, al tratarse de 17 corrientes,

(28)

(29)

Para el caso de 17 nodos, tambin se modifica la matriz B, a partir del balance de materiales,

1 -w1 -(1-w1) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 (1-w1) -w2 -(1+w3-w8) 0 0 0 0 0 0 0 (w3+w2+w1-w8) 0 0 0 0

0 0 0 0 (1+w3-w8) -w3 -(w4+w5+1-w8) w4 0 w5 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 (w4+w5+1-w8) -w4 -(w5+1-w8) 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 (w5+1-w8) -w5 -(1-w8) 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 w3 0 0 0 0 0 -w6 -(w3+w2+w1-w8) 0 (w6+w2+w1-w8) 0 0

0 0 0 w2 0 0 0 0 0 0 0 w6 0 -w7 -(w6+w2+w1-w8) 0 (w1+w7-w8)

0 w1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 w7 0 -W8 -(w1+w7-w8)

B

Durante una operacin en estado estacionario se obtuvieron muestras sucesivas para los 17 flujos del circuito de la Figura 4 , obtenindose los resultados que aparecen en la Tabla 4, para las concentraciones de 5 elementos de inters: Cu, Pb, Zn, Fe y Ag.

Tabla 4: Muestreo de las leyes en las corrientes del circuito de flotacin de zinc anterior.

No. Flujo %Cu %Pb %Zn %Fe Oz/tc Ag

1 Alimento Circuito Zinc 0.14 0.42 4.57 10.70 1.17

2 Espuma unitaria 0.89 1.87 52.20 4.60 5.25

3 Relave unitaria 0.12 0.33 3.00 10.04 0.68

4 Espumas rougher I 1.07 2.13 34.37 10.87 5.83

5 Relave rougher I 0.12 0.84 1.53 10.98 1.26

6 Espumas rougher II 1.33 8.33 17.80 18.87 13.13

7 Relave rougher II 0.13 0.50 1.57 11.90 1.31

8 Espumas scavenger I 0.70 2.43 8.33 16.90 4.67

9 Relave scavenger I 0.07 0.26 0.62 10.78 0.78

10 Espumas scavenger II 0.23 0.76 2.27 13.23 1.90

11 Relave scavenger II 0.07 0.22 0.56 6.23 0.35

12 Espumas cleaner I 1.33 3.33 23.60 14.00 7.28

13 Relave cleaner I 1.13 11.00 14.00 16.67 14.00

14 Espumas cleaner II 1.09 7.47 40.55 8.53 9.63

15 Relave cleaner II 1.40 5.53 22.00 14.13 8.04

16 Espumas cleaner III 0.96 1.91 53.81 5.20 4.38

17 Relave cleaner III 1.33 5.07 26.87 11.13 12.54

Nombre

2

71

2

16

2

15

2

14

2

13

2

12

2

11

2

10

2

9

2

8

2

7

2

6

2

5

2

4

2

3

2

2

2

1

0000000000000000

0000000000000000

0000000000000000

0000000000000000

0000000000000000

0000000000000000

0000000000000000

0000000000000000

0000000000000000

0000000000000000

0000000000000000

0000000000000000

0000000000000000

0000000000000000

0000000000000000

0000000000000000

0000000000000000

0

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

iM

'17'16'15'14'13'12'11'10'9'8'7'6'5'4'3'2'1' iiiiiiiiiiiiiiiiiT

i cccccccccccccccccC

(30)

Castillo, 7 de 9

Tabla 5: Resume los resultados realizados para el circuito de zinc.

%Pb %Cu %Ag %Fe %Zn %Pb %Cu %Ag %Fe %Zn Pb Cu Ag Fe Zn

1 0.39 0.14 0.002 8.44 4.99 0.42 0.14 0.003 10.70 4.57 -0.03 0.00 -0.001 -2.26 0.42

2 1.82 0.88 0.015 4.54 51.64 1.87 0.89 0.015 4.60 52.20 -0.05 -0.01 0.000 -0.06 -0.56

3 0.33 0.11 0.002 8.60 3.09 0.33 0.12 0.002 10.04 3.00 0.00 -0.01 0.000 -1.44 0.09

4 2.31 1.04 0.017 10.25 34.44 2.13 1.07 0.016 10.87 34.37 0.18 -0.03 0.001 -0.62 0.07

5 0.79 0.13 0.003 9.27 1.52 0.84 0.12 0.004 10.98 1.53 -0.05 0.01 0.000 -1.71 -0.01

6 9.97 1.23 0.040 17.83 17.93 8.33 1.33 0.037 18.87 17.80 1.64 -0.10 0.003 -1.04 0.13

7 0.52 0.14 0.003 10.27 1.59 0.50 0.13 0.004 11.90 1.57 0.02 0.01 -0.001 -1.63 0.02

8 2.36 0.65 0.014 17.29 8.28 2.43 0.70 0.013 16.90 8.33 -0.07 -0.05 0.001 0.39 -0.05

9 0.28 0.08 0.002 9.33 0.69 0.26 0.07 0.002 10.78 0.62 0.02 0.01 0.000 -1.45 0.07

10 0.74 0.22 0.006 13.70 2.15 0.76 0.23 0.005 13.23 2.27 -0.02 -0.01 0.000 0.47 -0.12

11 0.22 0.06 0.001 8.74 0.50 0.22 0.07 0.001 6.23 0.56 0.00 -0.01 0.000 2.51 -0.06

12 3.91 1.37 0.021 13.88 23.51 3.33 1.33 0.021 14.00 23.60 0.58 0.04 0.001 -0.12 -0.09

13 7.64 1.17 0.036 18.17 13.98 11.00 1.13 0.040 16.67 14.00 -3.36 0.04 -0.004 1.50 -0.02

14 2.28 1.16 0.025 8.64 37.67 7.47 1.09 0.027 8.53 40.55 -5.19 0.07 -0.002 0.11 -2.88

15 3.79 1.35 0.022 14.27 22.08 5.53 1.40 0.023 14.13 22.00 -1.74 -0.05 -0.001 0.14 0.08

16 2.09 0.97 0.014 5.42 49.87 1.91 0.96 0.012 5.20 53.81 0.18 0.01 0.001 0.22 -3.94

17 2.28 1.27 0.037 11.03 27.52 5.07 1.33 0.035 11.13 26.87 -2.79 -0.06 0.002 -0.10 0.65

ValoresExperimentales

No. Flujo

Valores calculados i

Luego, la funcin es minimizada para: w1 = 0.0392, w2 = 0.0767, w3 = 0.0564, w4 = 0.1374, w5 = 0.1225, w6 = 0.2975, w7 = 0.1074, w8 = 0.0910 Circuito de flotacin de zinc actual

C1 C8w4 C10w5

C5(1+w3-w8+w4+w5)

C1 C11(1-w8)

C2w1 C4w2 C6w3

C12w6

C16w8

C15(w6-w8)

C17(w7-w8)

C3(1-w1) C7(1-w8+w4+w5)

C9(1-w8+w5)

C13(w1+w2+w3-w8) C14w7

Cl - I

Rougher I Scavenger IIAcond Rougher II Scavenger IUNIT

Cl - II Cl - III

Figura 5: Balance de materiales para sistemas de 8 nodos (circuito actual). Al igual que en el balance del circuito de flotacin de zinc anterior se procede a formar las ecuaciones

para cada nodo, que en este caso son 8 nodos. A diferencia de circuito anterior mostrado en la Figura 4; en este caso los concentrados del Scavenger I y II retornan al circuito como alimento del Rougher I, as mismo; los concentrados de la Celda Unitaria, Rougher I y Rougher II son enviados como alimento al banco de celdas Cleaner I.

Durante una operacin en estado estacionario se obtuvieron muestras sucesivas para los 17 flujos del

circuito de la Figura 5 , obtenindose los resultados que aparecen en la Tabla 6, para las concentraciones de 5 elementos de inters: Cu, Pb, Zn, Fe y Ag.

Castillo, 8 de 9

Tabla 6: Muestreo de las leyes en las corrientes del circuito de flotacin de zinc actual.

No. Flujo %Cu %Pb %Zn %Fe Oz/tc Ag

1 Alimento Circuito Zinc 0.08 0.22 4.24 14.84 0.62

2 Espuma unitaria 0.63 0.39 49.69 9.59 2.38

3 Relave unitaria 0.08 0.14 2.62 15.09 0.45

4 Espumas rougher I 0.70 1.40 16.23 19.98 3.14

5 Relave rougher I 0.15 0.34 2.31 18.65 0.96

6 Espumas rougher II 0.56 1.11 10.39 23.92 2.68

7 Relave rougher II 0.10 0.69 0.90 17.77 0.58

8 Espumas scavenger I 0.40 0.95 4.39 31.51 1.90

9 Relave scavenger I 0.07 0.19 0.44 16.17 0.43

10 Espumas scavenger II 0.29 0.55 1.79 36.08 1.28

11 Relave scavenger II 0.05 0.14 0.31 15.73 0.25

12 Espumas cleaner I 0.92 1.51 34.01 14.15 3.84

13 Relave cleaner I 0.76 1.34 11.28 22.19 2.81

14 Espumas cleaner II 0.74 0.86 50.21 7.18 3.48

15 Relave cleaner II 0.94 2.15 19.93 19.35 4.01

16 Espumas cleaner III 0.71 0.56 55.37 5.13 3.12

17 Relave cleaner III 0.90 1.61 28.57 15.13 3.58

Nombre

La Tabla 7: Resume los resultados realizados para el circuito de zinc.

%Pb %Cu %Ag %Fe %Zn %Pb %Cu %Ag %Fe %Zn Pb Cu Ag Fe Zn

1 0.17 0.09 0.002 14.36 4.28 0.22 0.08 0.002 14.84 4.24 0.03 0.01 0.00 0.34 0.03

2 0.39 0.62 0.007 9.58 49.70 0.39 0.63 0.007 9.59 49.69 0.00 0.00 0.00 0.01 0.00

3 0.17 0.07 0.001 14.53 2.63 0.14 0.08 0.001 15.09 2.62 0.02 0.00 0.00 0.39 0.01

4 1.40 0.74 0.009 19.91 15.99 1.40 0.70 0.009 19.98 16.23 0.00 0.03 0.00 0.05 0.17

5 0.38 0.16 0.003 19.40 2.11 0.34 0.15 0.003 18.65 2.31 0.03 0.01 0.00 0.54 0.14

6 1.06 0.55 0.008 23.74 10.82 1.11 0.56 0.008 23.92 10.39 0.04 0.01 0.00 0.13 0.30

7 0.29 0.11 0.002 18.83 0.95 0.69 0.10 0.002 17.77 0.90 0.28 0.00 0.00 0.74 0.04

8 1.01 0.38 0.005 30.83 4.31 0.95 0.40 0.005 31.51 4.39 0.04 0.02 0.00 0.48 0.06

9 0.19 0.07 0.001 17.02 0.45 0.19 0.07 0.001 16.17 0.44 0.00 0.00 0.00 0.60 0.00

10 0.57 0.28 0.004 35.10 1.77 0.55 0.29 0.004 36.08 1.79 0.01 0.01 0.00 0.70 0.01

11 0.14 0.05 0.001 15.07 0.30 0.14 0.05 0.001 15.73 0.31 0.00 0.00 0.00 0.47 0.00

12 1.53 0.86 0.011 14.04 33.58 1.51 0.92 0.011 14.15 34.01 0.02 0.04 0.00 0.08 0.30

13 1.35 0.69 0.008 22.29 11.43 1.34 0.76 0.008 22.19 11.28 0.00 0.05 0.00 0.08 0.11

14 0.82 0.73 0.010 7.43 49.36 0.86 0.74 0.010 7.18 50.21 0.03 0.00 0.00 0.18 0.60

15 2.12 0.98 0.011 19.48 20.02 2.15 0.94 0.011 19.35 19.93 0.02 0.03 0.00 0.09 0.07

16 0.56 0.68 0.009 5.05 56.02 0.56 0.71 0.009 5.13 55.37 0.00 0.02 0.00 0.06 0.46

17 1.64 0.90 0.010 14.85 28.64 1.61 0.90 0.010 15.13 28.57 0.02 0.00 0.00 0.19 0.05

ValoresExperimentales

No. Flujo

Valores calculados i

Luego, la funcin es minimizada para: w1 = 0.0351, w2 = 0.4249, w3 = 0.1573, w4 = 0.1549, w5 = 0.1000, w6 = 0.1897, w7 = 0.0944, w8 = 0.0715

Castillo, 9 de 9

COMPARACION DE RESULTADOS

En la Tabla 8 y Tabla 9 se muestran los resultados obtenidos de los dos circuitos de flotacin, donde se observa que en nuestro circuito actual Zinc se tiene un incremento adicional en la recuperacin de 2.50% de Zinc; aun siendo la ley de cabeza menor, igualmente se tiene un incremento en la ley del concentrado final. En esta etapa se ha logrado incrementar la ley y recuperacin de concentrado cambiando los flujos de alimentacin a cada celda y/o banco de celdas de flotacin disminuyendo la carga circulante y maximizando la recuperacin en cada banco de celdas.

Tabla 8: Resultado de balance metalrgico (circuito flotacin anterior)

%Zn %Rec Zn

LEY CABEZA 4.99

UNITARIA 51.64 40.53

ROUGHER I 34.44 64.33

ROUGHER II 17.93 35.30

SCAVENGER 8.28 61.37

SCAVENGER II 2.15 36.76

CLEANER I 23.51 86.03

CLEANER II 37.67 36.23

CLEANER III 49.87 74.81

CIRCUITO 49.87 90.93

Descripcion

Tabla 9: Resultado de balance metalrgico (circuito flotacin actual)

%Zn %RecZn

LEY CABEZA 4.28

UNITARIA 49.70 40.75

ROUGHER I 15.99 70.61

ROUGHER II 10.82 60.20

SCAVENGER 4.31 59.24

SCAVENGER II 1.77 38.66

CLEANER I 33.58 50.52

CLEANER II 49.36 66.32

CLEANER III 56.02 85.90

CIRCUITO 56.02 93.43

Descripcion

CONCLUSIONES

La aplicacin del mtodo de clculo para el ajuste de balance de materiales desarrollado por Smith e Ichiyen, ha sido una herramienta como parte del diagnostico metalrgico; esto a conllevado optimizar nuestros circuitos de flotacin; maximizando la recuperacin de Zn, Pb,

Cu y las leyes de los concentrados respectivamente; as por ejemplo la ley del concentrado de zinc ha sido de 49.96% con una recuperacin de 83.42%, actualmente la ley del concentrado de zinc es de 54.39% con una recuperacin de 90.21%; que lgicamente ha sido un ingreso adicional econmicamente para la empresa. Adems frente a los otros balances como el de mnimos cuadrados, algebraico, matricial, Lagrange, el mtodo residual y otros; tiene una ventaja favorable ya que su modelamiento matemtico es bastante sencillo y de fcil uso. AGRADECIMIENTOS

A los Ingenieros: Arturo Arias, Juan Romero y Gilberto Yanarico; Director de Operaciones, Gerente de Operaciones y Superintendente de Planta concentradora de Ca. Minera San Valentn S.A., por permitir que este estudio de aplicacin sea publicado, a una persona en especial por ser mi motor y motivo, a los Supervisores y Operadores de la Planta Concentradora por su invalorable apoyo en todo tipo de cambio que estamos implementando y con su aporte se hacen realidad los resultados esperados. REFERENCIAS BIBLIOGRFICAS 1. H. Smith and N. Ichiyen, Computer Applications

and process control, Computer adjustment of metallurgical balances. (CIM) Bulletin for September (1,973)

2. J. Yianatos B, Flotacin de minerales. Universidad

Tcnica Federico Santa Maria. (2,005) 3. PROCEMIN 2006 IV Taller Internacional sobre

Procesamiento de minerales Pag 193- 207, Santiago Chile - Noviembre (2006).

4. E. Kreyszig. Matemticas avanzadas para

ingeniera (2003) 5. J. Murillo O. Modelos no lineales: Gauss Newton

y Newton Raphson (2002). 6. J. Castillo M. Aplicacin de la funcin solver en

procesos metalrgicos Enero (2009). 7. J. Castillo M., Informes internos de balances de

procesos metalrgicos CIAMSV.