TABLA DE DERIVACION

y=k y’=0 y=x y’=1 y=xn y’=nxn-1

y=k*f(x) y’=k*f’(x) y=f(x)+g(x) y’=f’(x)+g’(x) y=f(x)*g(x) y’=f’(x)*g(x)+g’(x)*f(x) y=f(x)/g(x) y’=f’(x)g(x)-g’(x)f(x)/g2(x)

y=Sen x y’=Cos x y=Cos x y’= -Sen x y=tag x y’=1/Cos2 x y’=1+tag2*x y=Sec x y’=Sec x*tag x

y=Cosec x y’= -Cosec x*Cotag x y=Cotag x y’=-1/Sen2 x y’=-1-Cotg2 x

y=logax y’=1/x * loga e y=loga f(x) y’=1/f(x) * loga e * f’(x)

y=ln x y’= 1/x y=ln f(x) y’= 1/f(x) * f’(x)

y=ax y’=ax * ln a y=af(x) y’=af’(x) * ln a * f’(x) y=ex y’=ex

y=efx) y’=ef(x) * f’(x) y=arc Sen x y’=1/1-x2 ½

y=arc Sen f(x) y’=1/1-f2(x)1/2(x) * f’(x) y=arcCos x y’= - 1/1-x2 ½

y=arc Cos f(x) y’= -1/1-f2(x)1/2(x) * f’(x) y=arc tag x y’=1/1+x2

y=arc tag f(x) y’=1/1+f2(x) y=arc Cotag x y’= -1/1+x2

y=arc Cotag f(x) y’=1/1+f2(x) * f’(x) y=[f(x)]n y’=n[f(x)]n-1f’(x)

y=f(x) 1/n y’=1/n * [f(x)n-1]1/n f’(x)

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CÁLCULO DE PRIMITIVAS

TABLA DE INTEGRALES INMEDIATAS

∫ ++

=−≠+

Cpxdxxpp

p

11

1 ∫ += Ctgxdx

x2cos1

dxx

x C= +∫ ln −= +∫

12sen

cotxdx gx C

e dx e Cx x= +∫ dxx

x Ccosh

tgh2 = +∫

a a dxaa

Cxx

> =∫0,ln

+ dxx

x C1 2−

= +∫ arcsen

adxx a

x Ca> =∫0,ln

log + −

−= +∫

dxx

x C1 2

arccos

sen cosxdx x C= − +∫ dxx

x C1 2+

= +∫ arctg

cos senxdx x C= +∫ dxx

x C2 1+

= +∫ arg senh

senh coshxdx x= +∫ Cdxx

x C2 1−

= +∫ arg cosh

cosh senhxdx x C= +∫ dxx

x C1 2−

= +∫ arg tgh

COMPOSICIÓN DE FUNCIONES

Si , entonces u u x= ( ) ( )( )′∫ u x f u x dx( ) es inmediata siempre que lo sea

. Por ejemplo, ( )f x dx∫′

=∫uudx u Cln| |+ , o bien, ′

+= +∫

uudx u C

1 2 arctg

Cxdxxx

+=∫ 2)(lnln 2

Cedxe

e x

x

x

+=−∫ arcsen

1 2

MÉTODOS DE INTEGRACIÓN

1. - Cambio de variable:

Como todo cambio de variable se basa en la regla de la cadena.

Queremos realizar la integral ∫ dxxf )( donde f no tiene una

primitiva inmediata. Debemos buscar un cambio de variable que transforme

la integral en una integral inmediata o composición de funciones.

Entonces,

para el cambio, )(tgx = dttgdx )(′=

∫ ∫ ′= dttgtgfdxxf )())(()(

Más adelante estudiaremos algunos cambios específicos.

2. - Integración por partes

Se basa en la derivada de un producto.

Sean y v)(xuu = )(xv= entonces

. Integrando en ambos lados de la igualdad

obtenemos

vu ′+vuuv ′=′)(

∫∫ ′+ dxvu′= vdxuuv .

Por tanto,

∫ ∫ ′−=′ vdxuuvdxvu

Ejemplos:

xe dxu x du dxdv e dx v e

xe e dx xe e C e x Cxx x

x x x x x∫ ∫== → =

= → =

= − = − + = − +( )1

lnln

ln ln (ln )xdxu x du

dxx

dv dx v xx x dx x x x C x x C∫ ∫=

= → =

= → =

= − = − + = − +1

3. - Integración de funciones trigonométricas:

Realización de cambios basados en las identidades trigonométricas:

sen coscos( ) cos sen

2 2

2 2

12x xx x+ =

= − Resultan:

sen ( cos( ))

cos ( cos( ))

2

2

12

1 2

12

1 2

x x

x x

= −

= +

x

sen( ) sen cos2 2x x= x

sen cosx

x2

22

1

= − cos cos

xx

22

21

= + tg

coscos

x xx2

11

=

−+

sen( ) sen cos cos sencos( ) cos cos sen sen

sen cos sen( ) sen( )cos cos cos( ) cos( )sen sen cos( ) cos( )

x y x y x yx y x y x yx y x y x yx y x y x yx y x y x

+

y

= ++ = −

= + + −= + + −= − + + −

222

Ejemplos:

i) sen ( cos( )) cos( ) sen( )2 12

1 212

12

212

12

2xdx x dx dx x dx x x C∫ ∫= − = − = −

+∫ ∫

ii) sen( ) cos( ) (sen( ) sen( )) ( cos( )) ( cos( ))4 212

6 212

16

612

2x x dx x x dx x x C= + = − + −

+∫∫

iii) cos sen sen (sen ) senx xdx x x dx x C3 3 414

= ′ = +∫∫

iv) sen cos sen cos sen ( cos ) cos (cos )

( cos cos )cos (cos ) cos cos cos

5 2 4 2 2 2 2

2 4 2 3 5 7

1

1 213

25

17

x xdx x x xdx x x x dx

x x x x dx x x x C

∫ ∫ ∫

∫

= = − − ′ =

− + ′ = − + +

v) sen cos ( cos( ))( cos( )) ( cos ( ))

cos( ) sen( ) sen( )

2 2 214

1 2 1 214

1 2

14

18

1 414

18

132

414

132

4

x xdx x x dx x dx

dx x dx x x x x x

∫ ∫∫

∫ ∫

= − + = −

= − + = − − = − + C

=

vi) dxx x

x xx x

dxdxx

dxx

x xsen cos

sen cossen cos cos sen

tg cot2 2

2 2

2 2 2 2=+

= + = −∫ ∫∫∫ C+

dx

5. - Integración de funciones hiperbólicas:

Son integrales del tipo y se resuelven de alguna de

las siguientes formas:

R x x(senh , cosh )∫

1) Teniendo en cuenta la definición: senh ; coshxe e

xe ex x x

=−

=+− −

2 2

x

xx

2) Teniendo en cuenta las relaciones:

cosh senhsenh( ) senh coshcosh( ) senh cosh

2 2

2 2

12 22

x xx xx x

− ==

= +

de donde se deduce: senh (cosh( ) ); cosh (cosh( ) )2 212

2 112

2 1x x x x= − = +

Ejemplo: cosh (cosh( ) ) ,

cosh ( ) ( )

2

2 2 2

12

2 1

14

14

2

xdx x dx

xdx e e dx e e dxx x x x

∫ ∫

∫ ∫ ∫

= +

= + = + +− −2

6. - Integración de funciones irracionales:

1) Integrales del tipo R xax bcx d

ax bcx d

dxpq

pqk

k, , ...,++

++

∫

1

1

donde a b y c d R, , , ∈pq

pqk

k

1

1, ..., son funciones irreducibles.

Consideramos el cambio: t ax bcx d

n =++

donde n m c m q qk= . . .( , ..., )1

Ejemplos:

i) xx x

dxx

x xdx

6

23

16

12

23+

=+

∫ ∫ como m.c.m.(6,2,3)=6 cambio t x6 =

ii) 21

21

12x

xdx

xx

dx+

=+

∫ ∫ cambio t x

x2 2=

1+

2) Integrales del tipo:

R x a x dx( , )2 2−∫ R x a x dx( , )2 2+∫ R x x a dx( , )2 2−∫

cambio: x a= sen t cambio: x a t= senh cambio: x a t= cosh

dx a tdt= cos dx a tdt= cosh queda una trigonométrica. queda una hiperbólica. queda una hiperbólica.

dx a tdt= senh

Ejemplos:

( )sencos

cossen

sensen

cot cot(arcsen( )) arcsen( )

a Ix

xdx

x tdx tdt

ttdt

ttdt

t t Cx x

C

=−

===

= =

−=

− − + = − − +

∫∫ ∫4 2

21

2 2

2

2

2

2

2

2

( )coshsenh

cosh (cosh( ) )

( senh( ) ) senh( arccos ) arccos

b Ixx

dxx tdx tdt

tdt t dt

t t C hx hx C

=−

===

= = +

+ + = + +

∫∫ ∫2

22

112

2 1

12

12

214

212

=