ACTIVIDAD 2: TRABAJO EJERCICIOS PROPUESTOS

UNIDAD 1

ADRIANA PATRICIA VALBUENO B

Curso: Lógica matemática

Trabajo colaborativo

Oscar Jhonny Gómez Suarez

Tutor

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA -UNAD

PEREIRA

2013

Ejercicios propuestosUnidad 1Ejercicio Propuesto 1: A continuación te invitamos a plantear la pertinencia del curso deLógica matemática para tu programa de estudio:

Elaborar proposiciones en los diversos temas que se involucran en los programasde estudio de administración de empresas e ingeniería.

Establecer algunos procedimientos para analizar situaciones en el área económica, comercial entre otras.

Para reducir afirmaciones a proposiciones simples, y así facilitar su análisis.

Para relacionar dos situaciones por medio del uso de las proposiciones compuestas.

Para analizar la veracidad o falsedad de un argumento en un ejercicio de aplicación en cualquier ciencia relacionada con la administración de empresas e ingeniería.

Para analizar situaciones en ejercicios de matemáticas, calculo y geometría.

Ejercicio Propuesto 2: Plantea cinco expresiones asociadas a tu programa de estudio que no sean proposiciones y cinco expresiones que si lo sean, recuerda que una proposición puede ser falsa y continúa siendo proposición:

Son proposiciones No son proposiciones

La lógica matemática seaprende si estudiamosadecuadamente

Acompañamiento tutorial

El curso de administración es un área disciplinar

Agenda educativa

La ingeniería industrial esimportante para el desarrollotecnológico de las empresas

Estudio a distancia

La cultura es la memoria no genética del ser humano.

Grupo colaborativo

Las tutorías son exitosas para los estudiantes.

Foros del curso

3: Plantea el análisis de todos los casos y valores de verdad:

Ejerciciopropuesto

En la mañana escribo mi programa de computación y en la tardejuego tenis

CASO 1: p = En la mañana escribo mi programa de computaciónq = En la tarde juego tenisEn el que no termino de escribir mi programa de computador perojuego tenis ¬p ^ q = F ¬p=F q=V

CASO 2: En el que termino de escribir mi programa de computador pero nojuego tenisp ^ ¬q = F ¬q=F q=V

CASO 3: En el que no escribo mi programa de computación y en la que no juego tenis.

¬pᴧ¬q1 1111111212222 = F ¬p=F ¬q1 1111111212222=F

CASO 4: En la mañana escribo mi programa de computación y en la tarde juego tenis

pᴧq = v p=V q=V

4: Plantea el análisis de todos los casos y valores de verdad:

Plantea ejemplos de premisas r y s asociados con tu programa de estudio, tal que te permitanverificar el valor de verdad de la proposición compuesta r s . Usa como referencia loscuatro casos anteriores.

Premisaselegidas

r = quiero las matemáticass= quiero los lenguajes

CASO 1: Quiero las matemáticas o quiero los lenguajes

r v s = V

CASO 2: Si no quiero las matemáticas o quiero lenguajes

¬r v s = V

CASO 3: Si quiero matemáticas o no quiero lenguajes

r v ¬s = V

CASO 4: Si no quiero matemáticas o no quiero lenguaje

¬r v ¬s = F

5: Plantea cinco ejemplos de premisas asociados con tu programa deestudio, y su correspondiente negación. ¿Consideras que es necesario emplear siempre lapalabra NO para negar una proposición?

Premisa Negación de la premisa

p = aprendemos matemáticas ¬p no aprendemos matemáticas

q = sabemos interpretar ¬q no sabemos interpretar

r = practicamos ¬r no practicamos

s = aplicamos lo aprendido ¬s no aplicamos lo aprendido

t = estudiamos a distancia ¬t no estudiamos a distancia

6: Elije una proposición condicional asociada con tu programa deestudio y plantea la misma expresión de diferentes formas sin cambiar su sentido.

Proposiciónescondicionaleselegidas

p-estudiamosq- aprendemosr- Somos ordenados

Manera 1 Estudiamos y somos ordenados entonces aprendemos

p ᴧ r →q = V

Manera 2 Estudiamos entonces aprendemos

p → q = V

Manera 3 aprendemos si estudiamos

q → p = V

Manera 4 Aprendemos entonces si somos ordenados y estudiamos

q → r ᴧ p = V

Manera 5 Si somos ordenados y estudiamos entonces aprendemos

r ᴧ p → q = V

7: Construye una proposición bicondicional con dos proposicionesasociadas a tu programa de estudio, luego rescribe la proposición bicondicional sin cambiar su sentido. ¿Cuántas maneras diferentes de expresar la misma idea en leguaje natural encuentras?

Proposición 1: estudiamos matemáticas

Proposición 2: se estudia ingeniería

Proposición bicondicional: Expresa a continuación la misma proposición bicondicional de otra manera:

Si estudiamos matemática si y solo si estudiamos ingenieríap ↔ qSi estudiamos ingeniería si y solo si estudiamos matemáticasq ↔pMi conclusión: Para que ocurra un acontecimiento, se requiere que se trabaje en detalles previos.

8: De acuerdo a la definición estudiada para el bicondicional; para

determinar los valores de verdad de la proposición bicondicional basta indagar por el valor de verdad de la conjunción entre las implicaciones p q y q p Se propone al estudiante hacer la demostración.

p q p q q p qppq p q

V V V V V V

V F F V F F

F V V F F F

F F V V V V

9: Determinar los posibles valores de verdad para las proposiciones:

1) p q 2) p q 3) p q 4) p p

5) p q6)p qp q

7) p qr s1/: 2/:

3/: 4/:

p

p p p

V V V

V V V

F F F

F F F

p q q p q

V V F F

V F V V

F V F F

F F V F

p q p q p qV V F F F

V F F V F

F V V F F

F F V V V

p q q p qV V F F

V F V V

F V F V

F F V V

p q p q p q p q p qp q ¬p qp q

V V F F F V V F

V F F V V F F V

F V V F F V V F

F F V V F V V F

7/:

p q ¬p ¬q p q ¬p q

V V F F F V

V F F V V F

F V V F F V

F F V V F V

p q r s p q r s p qr sV V V V V V V

V V V F V F V

V V F V V F V

V V F F V F V

V F V V F V V

V F V F F F F

V F F V F F F

V F F F F F F

F V V V F V V

F V V F F F F

F V F V F F F

F V F F F F F

F F V V F V V

F F V F F F F

F F F V F F F

F F F F F F F

10: Demostrar que la proposición pqqr __pr es una tautología:

p q r p q q r

p r

pqqr pqqr pr

V V V V V V V V

V V F V F F F V

V F V F V V F V

V F F F V F F V

F V V V V V F V

F V F V F V F V

F F V V V V V V

F F F V V V V V

11: Demostrar que la proposición

pqr s p r q ses una tautología:

p q r s pq r s pqr s p r pqr s p r qs

pqr s p r q s

V V V V V V V V V V V

V V V F V F F V F V V

V V F V V V V V V V V

V V F F V V V V V V V

V F V V F V F V F V V

V F V F F F F V F F V

V F F V F V F V F V V

V F F F F V F V F F V

F V V V V V V V V V V

F V V F V F F V F V V

F V F V V V V F F V V

F V F F V V V F F V V

F F V V V V V V V V V

F F V F V F F V F F V

F F F V V V V F F V V

F F F F V V V F F F V

12: Demostrar que la proposiciónpqy la proposición p qson lógicamente equivalentes:

13: Demostrar que las proposiciones p q y la proposición p qson lógicamente equivalentes:

p q p pq pq

V V F V F

V F F V F

F V V V F

F F V F V

p q p q p q

V V F F F

V F F V F

F V V F F

F F V V V

p q p q

V V V

V F F

F V V

F F V

p q p p q

V V F V

V F F F

F V V V

F F V V

14: Haciendo uso de la doble implicación,1. Demostrar la equivalencia de las proposiciones directa y contra recíproca. Y2. Demostrar la equivalencia de las proposiciones recíproca y contraria.

1/:

Directa

Si ve matemáticas si y solo si estudia ingeniería

p ↔q

V V

Contraria

Si no ve matemáticas si y solo si no estudia ingenieria

¬q ↔ (¬p )

F F

2/:

Reciproca

Si tiene pelo entonces es mamífero

q p

V V

Contraria

Si no es mamífero entonces no tiene pelo

¬p ¬q

F F

p q ¬p ¬q Directap→q

Reciprocaq→p

Contraria¬p→(¬q)

Contrarreciproca¬q→(¬p)

V V F F V V V VV F F V F V V FF V V F V F F VF F V V V V V V

15: Demuestra que todas estas leyes del álgebra corresponden atautologías. Propón expresiones del lenguaje natural para cada ley.

1. IDEMPOTENCIA (P V P) ↔ P

p p (p v p) (p v p) ↔ pV V V VF F F V

IDEMPOTENCIA (P ˄ P) ↔ P

p p (p Ʌp) (p Ʌ p) ↔ pV V V VF F F V

2. LEY ASOCIATIVA. (p v q) v r ↔ p v ( q v r )

p q r (p v q) ( q v r ) (p v q) v r p v ( q v r ) (p v q) v r ↔ p v ( q v r )V V V V V V V VV V F V V V V VV F V V V V V VV F F V F V V VF V V V V V V VF V F V V V V VF F V F V V V VF F F F F F F V

LEY ASOCIATIVA. (p Ʌ q) Ʌ r ↔ p Ʌ (q Ʌ r)

p q r (p Ʌ q) (q Ʌ r) (p Ʌ q) Ʌ r p Ʌ (q Ʌ r) (p Ʌ q) Ʌ r ↔ p Ʌ (q Ʌ r)V V V V V V V VV V F V F F F V

V F V F F F F VV F F F F F F VF V V F V F F VF V F F F F F VF F V F F F F VF F F F F F F V

3. LEY CONMUTATIVA. (p v q) ↔ (q v p)

p q (p v q) (q v p) (p v q) ↔ (q v p)V V V V VV F V V VF V V V VF F F F V

(p Ʌ q) ↔ (q Ʌ p)

p q (p Ʌ q) (q Ʌ p) (p Ʌ q) ↔ (q Ʌ p)V V V V VV F F F VF V F F VF F F F V

4. LEY DISTRIBUTIVA

p v (q Ʌ r ) ↔ (p v q) Ʌ (p v r)

p q r (p v q) (p v r) (q v r ) p v (q Ʌ r ) (p v q) Ʌ (p v r) p v (q Ʌ r ) ↔ (p v q) Ʌ (p v r)V V V V V V V V VV V F V V F V V VV F V V V F V V VV F F V V F V V VF V V V V V V V VF V F V V V V V VF F V F F F F F VF F F F F F F F V

p Ʌ (q v r ) ↔ (p Ʌ q) v (p Ʌ r)

p q r (p Ʌ q) (p Ʌ r) (q v r ) p Ʌ (q v r ) (p Ʌ q) v (p Ʌ r) p Ʌ (q v r ) ↔ (p Ʌ q) v (p Ʌ r)V V V V V V V V VV V F V F V V V VV F V F V V V V VV F F F F F F F VF V V F F V F F VF V F F F V F F VF F V F F V F F VF F F F F F F F V

5. IDENTIDAD

(p v 0) ↔ p

p 0 (p v 0) (p v 0) ↔ p

V F V VF F F V

(p v 1) ↔ 1

p 1 (p v 1) (p v 1) ↔ 1V V V VF V V V

(p Ʌ 0) ↔ 0

p 0 (p Ʌ 0) (p Ʌ 0) ↔ 0V F F VF F F V

(p Ʌ 1) ↔ p

p 1 (p Ʌ 1) (p Ʌ 1) ↔ pV V V VF V F V

6. COMPLEMENTO(p v ¬p) ↔ 1

P 1 ¬p (p v ¬p) (p v ¬p) ↔ 1V V F V VF V V V V

(p Ʌ ¬p) ↔ 0

p 0 ¬p (p Ʌ ¬p) (p Ʌ ¬p) ↔ 0V F F F VF F V F V

¬(¬p) ↔ p

p ¬p ¬(¬p) ¬(¬p) ↔ pV F V VF V F V

¬ 1 ↔ 0

1 0 ¬1 ¬ 1 ↔ 0V F F VV F F VV F F VV F F V

¬ 0 ↔ 1

0 1 ¬0 ¬ 0 ↔ 1F V V VF V V VF V V VF V V V

7. LEYES DE MORGAN

¬ (p v q) ↔ (¬p Ʌ ¬ q)

p q ¬ p ¬ q (p v q) ¬ (p v q) (¬p Ʌ ¬ q) ¬ (p v q) ↔ (¬p Ʌ ¬ q)

V V F F V F F VV F F V V F F VF V V F V F F VF F V V F V V V

¬ (p Ʌ q) ↔ (¬p v ¬ q)

p q ¬ p ¬ q (p Ʌ q) ¬ (p Ʌ q) (¬p v ¬ q) ¬ (p Ʌ q) ↔ (¬p v ¬ q)

V V F F V F F VV F F V F V V VF V V F F V V VF F V V F V V V

16: Identifica en el siguiente silogismo las diferentes proposicionescategóricas, propón una representación mediante diagramas de Venn de las diferentesrelaciones entre las clases implicadas:

Ningún estudiante es perezosoTodos los amantes del conocimiento son estudiantesLuego, ningún amante del conocimiento es perezoso

E: estudiante Ningún E, es P

P: Perezoso

U

E P

A: Todos los amantes del conocimiento Todos A, es E

E: Estudiantes

U

A E

Ningún amante del conocimiento es perezoso

A: Amante Ningún A, es P

P Perezoso

U

A P