Taller 1 antiderivadas y sustitución
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ACTIVIDAD: TALLER 1 ANTIDERIVADAS Y
MÉTODO DE SUSTITUCIÓN
Resolver los ejercicios del taller en el portafolio de
evidencias de manera individual o grupal, haciendo uso del
video chat para despejar dudas con sus compañeros.
Objetivos / competencias: 1. Competencia comunicativa: Identifica y usa el lenguaje propio de la matemática para comunicar
sus ideas en forma clara y coherente.
2. Tratamiento de la información y competencia digital: Utiliza de manera adecuada software libre,
plataformas digitales, OVAS, ODAS, webquest.
3. Interpretar y resolver problemas en contexto: Plantea, analiza, resuelve, y argumenta
problemas en contextos de la disciplina o reales, mediante modelos matemáticos.
4. Trabajo colaborativo: Identifica objetivos comunes permitiendo la asignación de
responsabilidades que conlleven a la producción colectiva de resultados, mediante el trabajo en
equipo.
5. Competencia social y ciudadana: Reconoce fortalezas y debilidades a nivel actitudinal y
cognitivo, para potencializar la confianza en sí mismo, logrando avanzar en su formación
profesional, a través de la matemática
6. Aprender a aprender:
7. Autonomía e iniciativa personal.
1. Resolver paso a paso los ejercicios de integrales directas que aparecen en el siguiente
enlace:
http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/Problemas/54-1-p-INM.HTML
EL MÉTODO DE SUSTITUCIÓN O CAMBIO DE VARIABLE
Consiste en sustituir una variable por una nueva variable:
Sea g una función derivable y supóngase que F es una antiderivada de f.
Entonces u = g(x). cxgFcuFduufdxxgxgf ))(()()()(')(
Ejemplo 1. Calcular la siguiente integral: dxxx 4 2
Paso 1: Se hace el cambio de variable, tomando 42 xu , y derivamos: dxxdu 2
Paso 2: Se sustituyen estos valores en la integral inicial. 2
4 2
1
2 duudxxx
Observa que dxxdu 2 y en el integrando sólo se tiene dxx , entonces dxxdu
2
.
Paso 3: Se aplican las propiedades de la integral; esto es, 2
1se escribe fuera de la integral por ser
una constante. 2
1 4 2
1
2 duudxxx
Paso 4: Se realiza la integral, obteniendo lo siguiente:
cu
duu
12
12
1
2
11
2
1
2
1
cucucu
2
3
2
32
3
3
1
6
2
2
32
1
Paso 5: Se hace el cambio de variable de 42 xu y se sustituye en el resultado:
cxdxxx 2
322 4
3
1 4 Por lo tanto la respuesta es: cx
32 43
1
Otra manera es despejar dx así: dxx
du
2 . Se reemplaza en la integral original y se
simplifica la x .
2
1 4 2
1
2 duudxxx y se siguen los pasos 4 y 5 para llegar a la respuesta.
Ejemplo 2. Evaluar la siguiente integral indefinida aplicando el método de sustitución.
dxxx 1243
Paso 1: Esta vez se sustituye 124 xz , entonces la derivada de z es dxxdz )04( 3 ,
Paso 2: despejamos dx así: dxx
dz
4 3
Paso 3: Se sustituyen los valores de z y dz en la integral, obteniendo de esta manera el cambio de
variable.
dxxx 1243 3
2
1
3
4x
dzzx Simplificamos 3x
Paso 4: Cómo 4
1es una constante se saca de la integral dzz
dzz
4
1
42
1
2
1
Paso 5: Se resuelve la integral respecto a z.
czcz
cz
dxxx
2
32
31
2
1
43
12
2
2
34
1
12
14
1 12
Paso 6: Se sustituye a 124 xz y se obtiene el resultado de la integral.
2
3443 12
6
1 12 xdxxx En forma de radical =
cx 34 12
6
1
Ejercicios complementarios:
Utilizar el método de sustitución para resolver las integrales:
1. dzzz 23 2 2. drrr 32
32 5
3. dx
e
ex
x
21 4. dppp
21
5. dwwwsen cos 3 6. dk
k
k
9
32
7.
t
dttln2 8. dxtg xx
2
2
2sec
9. zdze zsen 2cos2 10.
52
3
x
x
e
dxe
11. Para la integral: dttt )3(5 2 .
a) Calcular la integral después de realizar la multiplicación en el integrando.
b) Calcula la integral por el método de sustitución.
c) ¿Por qué los resultados son diferentes? ¿ambas son correctas? Explicar.
En el siguiente enlace encontrará ejercicios de sustitución para reforzar el tema de integración
cambiando variable. Contiene la respuesta y tips para su solución.
http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/Problemas/54-1-p-SUST.HTML
Elaboró:
NELSON QUINTERO ACUÑA Profesor de Matemáticas.