taller
2
TALLER ELECTRODIN ´ AMICA Multipolos, Diel´ ectricos Jhorman Gustavo Maldonado Villamizar Profesor: Luis Alberto Gualdron Sanchez Departamento De F´ ısica y Geolog´ ıa, Universidad De Pamplona Ejercicio 4,2 Un dipolo puntual, con momento dipolar ~ P est´ a localizado en el punto x 0 . De las propiedades de la derivada de la funci´ on Delta de Dirac, muestre que para el c´ alculo del potencial Φ o la energ´ ıa de un dipolo en un campo externo el dipolo puede ser descrito por una densidad de carga efectiva ρ ef ec (x)= - ~ P · ~ ∇δ(x - x 0 ) Soluci´ on: Teniendo en cuenta que conocemos de ntemano el potencial para un dipolo, que est´ a definido por Φ(~x)= ~ P · (~x - ~x 0 ) |~x - ~x 0 | 3 (1) y a dem´ as conocemos el potencila debido a una densidad de carga Φ(~x)= Z ρ(~x 0 ) |~x - ~x 0 | (2) igualando las expresiones (1) y (2) ~ P · (~x - ~x 0 ) |~x - ~x 0 | 3 = Z ρ(~x 0 ) |~x - ~x 0 | sabiendo tambi´ en que ~x - ~x 0 |~x - ~x 0 | 3 = ~ ∇ x0 1 |~x - ~x 0 | = d dx 0 1 |~x - ~x 0 | (3) entonces ~ P · ~ ∇ x0 1 |~x - ~x 0 | = Z ρ(~x 0 ) |~x - ~x 0 | utilizo la propiedad de la funci´ on Delta de Dirac para reescribir la derivada Z δ(~x 0 - ~x 0 ) ~ ∇ 0 1 |~x - ~x 0 | dx 0 = ~ ∇ x0 1 |~x - ~x 0 | luego Z δ(~x 0 - ~x 0 )dx 0 ~ P · ~ ∇ 0 1 |~x - ~x 0 | = Z ρ(~x 0 ) |~x - ~x 0 | (4) si saco a ~ P de la integral, y reescribo ~ ∇ 0 1 |~x - ~x 0 | = d dx 0 1 |~x - ~x 0 | obtengo ~ P Z δ(~x 0 - ~x 0 ) d dx 0 1 |~x - ~x 0 | dx 0 = Z ρ(~x 0 ) |~x - ~x 0 | (5)
-
Upload
jhorman-gustavo-maldonado-villamizar -
Category
Documents
-
view
20 -
download
1
description
electro
Transcript of taller
-
TALLER ELECTRODINAMICA
Multipolos, Dielectricos
Jhorman Gustavo Maldonado Villamizar
Profesor: Luis Alberto Gualdron SanchezDepartamento De Fsica y Geologa, Universidad De Pamplona
Ejercicio 4,2
Un dipolo puntual, con momento dipolar ~P esta localizado en el punto x0. De las propiedades de la derivada dela funcion Delta de Dirac, muestre que para el calculo del potencial o la energa de un dipolo en un campoexterno el dipolo puede ser descrito por una densidad de carga efectiva
efec(x) = ~P ~(x x0)
Solucion:Teniendo en cuenta que conocemos de ntemano el potencial para un dipolo, que esta definido por
(~x) =~P (~x ~x0)|~x ~x0|3 (1)
y a demas conocemos el potencila debido a una densidad de carga
(~x) =
(~x)|~x ~x| (2)
igualando las expresiones (1) y (2)~P (~x ~x0)|~x ~x0|3 =
(~x)|~x ~x|
sabiendo tambien que~x ~x0|~x ~x0|3 =
~x0(
1
|~x ~x0|)
=d
dx0
(1
|~x ~x0|)
(3)
entonces
~P ~x0(
1
|~x ~x0|)
=
(~x)|~x ~x|
utilizo la propiedad de la funcion Delta de Dirac para reescribir la derivada(~x ~x0)~
(1
|~x ~x|)dx = ~x0
(1
|~x ~x0|)
luego (~x ~x0)dx ~P ~
(1
|~x ~x|)
=
(~x)|~x ~x| (4)
si saco a ~P de la integral, y reescribo
~(
1
|~x ~x|)
=d
dx
(1
|~x ~x|)
obtengo
~P
(~x ~x0) d
dx
(1
|~x ~x|)dx =
(~x)|~x ~x| (5)
-
ahora debo integrar el primer termino de la igualdad, lo hago por partes, donde
u = (~x ~x0); du = ddx
(~x ~x0)dx (6)
dv =d
dx
(1
|~x ~x|)dx; v =
1
|~x ~x| (7)
entonces (~x ~x0) d
dx
(1
|~x ~x|)dx =
(~x ~x0)|~x ~x| |x=x
1
|~x ~x|d
dx((~x ~x0)) dx (8)
sid
dx((~x ~x0)) dx = ~ ((~x ~x0))
en la expresion (8) el primer termino de la derecha es cero porque se evalua en x = x0, al ingresar este resultadoen la ecuacion (5)
~P
1
|~x ~x|~ ((~x ~x0)) dx =
(~x)|~x ~x| (9)
al drivar ambos lados las integrales desaparecen y se obtiene la siguiente igualdad
~P|~x ~x|
~ ((~x ~x0)) = (~x)
|~x ~x| (10)
por lo tanto se llega a que
(~x) = ~P ~ ((~x ~x0))
haciendo un cambio de variables x = x llego a la expresion que quera demostrar (~x) = ~P ~ ((~x ~x0))
Ejercicio 4,10
dos conductores esfericos concentricos de radios interior y exterior a y b respectivamente, llevan cargas Q. Elespacio vacio entre las esferas esta semi lleno por un dielectrico (de constante dielectrica /0), como se muestraen la figura1()
Figura 1: Esferas concentricas, con dielectrico.
2
