TALLER DE INVESTIGACION DE OPERACIONES II

CADENAS DE MARKOV

JAIDER ANDRES ARANGO MARTINEZHERNAN CAMILO FRANCO NOVOAMARIO FRANCISCO MARTINEZ CAMPOJUAN CAMILO VERGARA SALAZAR

PRESENTADO A:NESTOR CAICEDO SOLANO

UNIVERSIDAD DEL MAGDALENAFACULTAD DE INGENIERIAPROGRAMA DE INGENIERIA INDUSTRIAL SANTA MARTA2012

2. Considere un jugador que apuesta sucesivas veces en el mismo juego. En cada jugada existe una probabilidad p de ganar una unidad y una probabilidad 1 p de perder una unidad. Se asume que las jugadas sucesivas son independientes. El jugador comienza con una cantidad de i, 1 < i < N y juega hasta que pierde todo o llega a N.

a) Construya una cadena de Markov que describa la fortuna del jugador en cada instante. Incluya las probabilidades de transicin.

b) El jugador al llegar a N cambia su estrategia y decide apostar doble o nada, de manera que con probabilidad p su riqueza es 2N (y se retira), mientras con probabilidad 1 p pierde todo (y su riqueza se reduce a cero). Modele esta nueva situacin.

c) Si en la situacin de la parte (a), la probabilidad de ganar es p = 1/2, De que depende que nuestro jugador finalmente gane o pierda? Sin hacer clculos entregue valores especficos cuando se pueda e intrprete sus resultados.

d) Resuelva el problema para el caso general, es decir, encuentre las probabilidades de terminar ganando o perdiendo el juego si se empieza con una cantidad de i, 1 < i < N .Se juega hasta que pierde todo o llega a N, con p = (1 p).

Sol:a)

b)

c) Si en la situacin de la parte (a), la probabilidad de ganar es p = 1/2, De qu depende que nuestro jugador finalmente gane o pierda?. Sin hacer clculos entregue valores especficos cuando se pueda e intrprete sus resultados.

Sol:De acuerdo al tems anterior, sea: fi =P (Ganar a partir de i unidades)

Si f0=0 fN=1

Despejando,

d) Resuelva el problema para el caso general, es decir, encuentre las probabilidades de terminar ganando o perdiendo el juego si se empieza con una cantidad de i, 1 < i i>k>0

Caso 2

Caso 3

Ij=0

Caso 4

d). Debido a existen mltiples clases recurrentes no se hace posible tener una ley de probabilidades estacionarias en el problema original, lo que significa que la evolucin del sistema en el largo plazo no ser independiente de las condiciones iniciales. Si se permite que la gente con alguna probabilidad se mejore, se lograrn encontrar muchos estados que pertenecan a clases distintas, crendose una clase transigente formada por los estados (0,X), con 0 X < N la que confluye a la clase recurrente formada por el estado (0,N), es decir toda la poblacin sin enfermedades, sana.En el caso de iniciar con i individuos infectados estaremos en una clase transigente, y necesariamente luego de algn nmero finito de das se estar frente a un estado de la clase (0,X) (porque no existen transiciones a estados tipo (j,X) con j > i). Como en el largo plazo la probabilidad que se encuentre en un estado transigente es 0, con probabilidad 1 estaremos en la nica clase recurrente de esta cadena.

Es por esto, que si permitimos que la gente eventualmente mejore en el largo plazo esta enfermedad se habr acabado completamente, y existir una ley de probabilidades estacionarias.20. Una unidad productiva de una empresa minera tiene un nmero muy grande (iguala a T) de mini retro excavadoras para la extraccin del mineral. Estas mquinas se utilizan durante el da y al caer la tarde se guardan para ser utilizadas en la maana siguiente.Sin embargo, existe una probabilidad q que una mquina en operacin falle durante un da, independiente de cuntos das consecutivos lleve operando. En estos casos la mini retro excavadora ser enviada al taller de reparacin al final del da en el que falla, donde su mantenimiento siempre se realiza al da siguiente. De esta manera, una mquina que falla un da t estar lista para su utilizacin en la maana del da t + 2 independiente de lo que pase con las dems.

a) Justifique por qu es posible modelar como una cadena de Markov en tiempo discreto el nmero de mini retro excavadoras buenas al inicio de cada da. Cul es la probabilidad que un da fallen si mquinas si esa maana haba j buenas?. Llame a esta probabilidad s(i, j).b) Modele la situacin descrita como una cadena de Markov en tiempo discreto. Encuentre expresiones generales para las probabilidades de transicin en funcin de s(i, j), clasifique los estados en clases y caractercelas. Argumente la existencia de una ley de probabilidades estacionarias.c) Suponga que la cadena anterior admite probabilidades estacionarias y que usted conoce el vector . Adems se sabe que si la mina al final de un da cualquiera cuenta con menos de L mquinas buenas y es inspeccionada por la gerencia de produccin debe pagar una multa de C [$]. Segn informacin histrica en un da cualquiera existe un probabilidad r de que se produzca una revisin. Sin embargo, si al momento de producirse la inspeccin cuenta con la totalidad de estas mquinas en buen estado la unidad recibir un incentivo econmico de F [$]. Entregue una expresin para los beneficios diarios en largo plazo por concepto de multas y estmulos por revisin del organismo de seguridad.Considere que esta unidad de la mina modifica su poltica de envo de mquinas a mantencin de manera que las enviar al taller slo en lotes de J mquinas que necesitan reparacin. Todas las mquinas enviadas al taller sern reparadas el da siguiente y estarn disponibles en la maana del da subsiguiente del que fueron enviadas a mantencin. La probabilidad que una mquina que est en funcionamiento una maana cualquiera falle ese da seguir siendo q.d) Modele esta nueva situacin como una cadena de Markov en tiempo discreto. Dibjela con los respectivos estados, encuentre expresiones generales para las probabilidades de transicin en funcin de s(i, j).e) Suponga que la cadena anterior admite probabilidades estacionarias y que usted conoce el vector , y que la gerencia de operaciones realiza revisiones como las descritas en la parte (3) con las mismas probabilidades, costos y beneficios. Suponga adems que cada vez que esta unidad enva mquinas al taller incurre en un costo fijo K [$], (independiente de cuntas mquinas enve). Entregue una expresin para los beneficios diarios en largo plazo por concepto de multas y estmulos por revisin del organismo de seguridad.Sol:a). Si se hace posible modelar el nmero de mquinas buenas al comienzo de un da. Esto se logra ya que el estado posee informacin que resume todo lo que se necesita saber: Si existen i mquinas buenas al comienzo del da, entonces (dado que las maquinas solo pueden estar buenas o malas) obligatoriamente tengo T i maquinas malas las cuales estarn disponibles al comienzo del prximo da, si no fuese as no estaran malas (dado que solo pueden fallar durante el transcurso de un da).

Por lo tanto se determinara as:

b). pi

c).

d).

e).