Colaborativo 2 presentado por

LUIS EYDER ORTIZ COLLAZOS

CC. 76.332.853

Primera parte

−x−4 y−11 z=−15

x−9 y+z=−8

−x+6 z=6

Convertimos la ecuación a matriz.

−1−4−11∨−15

1−91∨−8

−1 06∨6

La fila se divide por (-1), para convertir a positivos

f 1=−1−1

=1− 4−1

=4− 11−1

=11− 15−1

=15

1 4111 5

1−91−8

−1 06 6

Fila 1 multiplicada por (-1) mas Fila 2

(−1 ) (14 1115 )=−1−4−11−15

1−91−8

____________________________

0−13−10−23

1 411∨1 5

0−13−10∨−23

−1 06∨6

Fila 1 mas fila 3

1+(−1 )=0 4+0=411+6=17 15+6=21

1 411∨15

0−13−10∨−23

0 4 17∨21

Fila dos dividida por -13

−13−13

=1− 10−13

=1013

− 23−13

=2313

1 411∨1 5

0 11013

∨2313

0 4 17∨21

Luego -4 por fila 2 + fila 1

−4∗fila2=0−4−4013

−9213

fila1=14 1115

_________________________________

1 010313

10313

1 010313

∨10313

0 11013

∨2313

0 417113

∨15813

-4 por fila 2 + fila 3

−4∗fila2=0−4−4013

−9213

fila3=0 417 21

_________________________________

0 018113

18113

1 010313

∨10313

0 11013

∨2313

0 018113

∨18113

Fila multiplicada por 13/181

1 010313

∨10313

0 11013

∨2313

0 01∨1

-103/13| multiplicado por Fila 3 + fila 1

−10313

∗fila3=00−10313

−10313

fila1=1010313

10313

_________________________________

1 00 0

1 00∨0

0 11013

∨2313

0 01∨1

-103/13 multiplicado por fila 3 + fila 2

−10313

∗fila3=00−1013

−1013

fila2=111012

2313

_________________________________

0 10 1

1 00∨0−−−X

1 00∨0−−−Y

1 00∨0−−−Z

Este es el valor que toma cada variable en el sistema lineal

X = 0

Y= 1

Z= 1

Segunda parte

−7 x+2 y−z+4 w=10

3 x−5 y−2 z−w=−9

|−7 2−1 4|10|

|3−5−2−1|−9| f 2→f 2+−3−7

∗f 1

|−7 2−1 4|10|

|0 −297

−177

57|−97

7 | f 2→1

−29f 2

|−7 2−1 4|10|

|0 11729

−529 |−33

29 | f 1→f 1+(−2 )∗f 2

|−7 0−6329

12629 |224

29 |

|0 11729

−529 |−33

29 | f 1→1

−7f 1

|1 09

29−18

29 |−3229

∨¿

|0 11729

−529 |−33

29∨¿

|1 09

29−18

29 |−3229

∨¿

|0 11729

−529 |−33

29∨¿ x

y = -32/29

z -33/29

w

|x 09

29z−1829

w| = −3229

|0 y1729

z−529

w| −3329

1.

x+ 929

z−1829

w=−3229

2.

y+ 1729

z−−529

w=−3 329

Despejando de 1

x=−3229

− 929

z+ 1829

w

x= 129

(−32−9 z+18w)

Despejando de 2

y=−3229

−−1729

z+ 529

w

x= 129

(−33−17 z+5w)

El ejercicio puede presentar infinitas soluciones.

Segunda parte de la Actividad

Resuelva el siguiente sistema lineal, empleando para ello la inversa (utilice el método que

prefiera para hallar A−1.

x− y−z=0

3 x− y+3 z=2

−x+z=−1

1−1−1∨1−1

3−13∨3−1

−1 01∨−1 0

El determinante es:

(1∗−1∗1 )+(−1∗3∗−1 )+ (−1∗3∗0 )− (−1∗−1∗−1 )−(0∗3∗1 )−(1∗3∗−1)

|A|=−1+3+1+3

|A|=6

Hallar los cofactores de los nueve elementos de a

A11=[−1 30 1]A12=[ 3 3

−1 1]A13=[ 3 −1−1 0 ]

A21=[−1 −10 1 ] A22=[ 1 −1

−1 1 ] A23=[ 1 −1−1 0 ]

A31=[−1 −1−1 3 ] A32=[1 −1

3 3 ] A33=[1 −13 −1]

La matriz de los cofactores de A es: [−1 6−1 0−4 6

−1−12 ]

A−1=16∗adjA [−1 6

−1 0−4 6

−1−12 ]

A−1=[−1/6 1−1/6 0−4/6 1

−1/6−1/62/6 ]

0+2−6=−6

0+0+6=6

0+2−2=0

−6−16=1−−−X

6+ 16=1−−−Y

2−06=0−−−Z

Conclusión:

X=1Y=1Z=0

Tercera parte de la Actividad.

Encuentre las ecuaciones simétricas y paramétricas de la recta que:

Contiene los puntos R=(-6,6,1) y Q=(-10,2,-3) Las ecuaciones son las siguientes:

Ecuación paramétrica.

X=x1+at Y= y1+at Z=z1+at

Ecuación simétrica.

x−x1a

= y− y 1b

= z−z 1c

Se define el vector de los puntos R y Q (se restan los puntos de la siguiente manera)

v⃗=R⃗Q=(−10−(−6 ) ) i+(2−6 ) j+(−3−1)k

v⃗=R⃗Q=(−4 ) i+ (−4 ) j+(−4)k

Por lo tanto a=−4 , b=−4 , c=−4

X, Y, Z equivalen a los puntos R o Q

Ecuación paramétrica.

X=−6−4 tY=6−4 tZ=1−4 tEcuación simétrica.x+6−4

= y−6−4

= z−1−4

Contiene a P=(−5 ,0 ,8) y es paralela a la recta x−9−1

= y+3−6

= z−5−10

Se define el vector del punto P

xi+ yj+zk=−5 i+0 j−8k+ t(−1 i−6 j−10k )

Por lo tanto a=−1 , b=−6 , c=−10

X, Y, Z, equivalen al punto P

Ecuación paramétrica.

X=−5−1 tY=0−6 tZ=−8−10 t

Ecuación simétrica.x+5−1

= y−0−6

= z+8−10

Contiene a los puntos S= (1,−8 ,−2 ) ,Q=(−3 ,0 ,−8 ) yT=(5 ,−6 ,1)

Formamos los vectores S⃗Q y S⃗T

S⃗Q= (−3−1 ) i+ (0+8 ) j+(−8−1)k S⃗T=(5−1 ) i+(−6+8 ) j+(1−1)kS⃗Q= (−4 i+8 j−9k ) S⃗T=(4 i+2 j+0 k )

Ahora debemos hallar un vector que sea perpendicular a S⃗Q y S⃗T

S⃗Q∗S⃗T=[ i j−4 8

4 2

k−90 ]=i [8 −9

2 0 ]− j [−4 −94 0 ]+k [−4 8

4 2]¿18 i−36 j+40k¿18(x−x1)−36( y− y1)+40(z−z1)¿18 (x−(−3 ))−36 ( y−0 )+40 ( z−(−8 ) )¿18 ( x+3 )−36 ( y−0 )+40 ( z+8 )¿18 x+54−36 y+40 z+320¿18 x−36 y−40 z=−374 Ecuación general del plano

Contiene al punto Q= (−7,2,1 ) y tienecomovector normal a n⃗=−i−2 j+4 k

¿−1 ( x+7 )−2 ( y−2 )+4 ( z−1 )

¿−x−7−2 y+4+4 z−4¿−x−2 y+4 z=7−4+4¿−x−2 y+4 z=7 Ecuación general del plano

Encuentre todos los puntos de intersección de los planos:

π1:−3 x−5 y+z=−2 y π 2:−9 x+7 y+3 z=−10

V=u∗vV= (−3 ,−5,1 )∗(−9,7,3 )

U⃗∗V⃗=[ i→

j→

u1 u2

v1 v2

K→

u3

v3]=[u2 u3

v2 v3] i→

−[u1 u3

v1 v3] j→

+[u1 u2

v1 v2] k→

V=u∗v=[ i j−3 −5−9 7

k13 ]

V= [ (−5 ) (3 )−(1 ) (7 ) ] i−[ (−3 ) (3 )−(1 ) (−9 ) ] j−[ (−3 ) (7 )−(−5 ) (−9 ) ] kV=−22i ,0 j ,66 kV=(−22 ,0,66)

Teniendo el vector director v, nos hace falta un punto común Q a ambos planos. Por eso damos un valor a la variable X, y obtenemos las otras dos.

El valor será X=1

Con el plano π1 :

π1:−3 x−5+z=−2

π1:−3−5 y+ z=−2

π1:−5 y+z=−2+3

π1:−5 y+z=1

Con el plano π2 :

π2:−9 x+7 y+3 z=−10

π2:−9+7 y+3 z=−10

π2:7 y+3 z=−10+9

π2:7 y+3 z=1

De esta manera queda un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, realizamos la operación,

−5 y+z=1 *77 y+3 z=−1 *5________________

−35 y+7 z=7 *735 y+15 z=−5 *5________________

0 22z = 222z = 2

z= 222

= 111

Despejamos Y

−5 y+z=1

−5 y+ 111

=1

−5 y=1− 111

−5 y=1 011

y=−1055

El punto común Q a ambos planos es:

Q=(1 ,−1055

,111

)

Hallamos la ecuación teniendo en cuenta que:

( x , y , z )=Q+t ( v )

( x , y , z )=(1,−1055

,1

11 )=(−22,0,66 )