Taller de Finanzas

Banca, Crdito y Gestin del Riesgo Modulo I

1

BANCA, CREDITO Y GESTION DEL RIESGO

MODELOS MATEMATICOS Y ESTADISTICOS DE APLICACIN EN EL SECTOR FINANCIERO

Objetivo: Facilitar el manejo de los modelos matemticos bsicos utilizados para la toma de decisiones financieras, as como el uso de sistemas cuantitativos que afectan la toma de decisiones en grupos financieros, por medio de valor del dinero a travs del tiempo y la resolucin de problemas y ejercicios prcticos que involucren mtodos cuantitativos. Se requerir el empleo de calculadora financiera y paquete de cmputo Excel.

Prof.: Cesar Emilio Contreras Piedragil


2

BANCA, CREDITO Y GESTION DEL RIESGO 1.- Tasas de inters

1.1.- Inters 1.2.-Inters simple y compuesto 1.3.-Tasa equivalente 1.4.- Valor del dinero en el tiempo 1.5.- Valor futuro y valor acumulado 1.6.- Valor presente y proceso de descuento 1.6.-Tasas Reales y Tasa Nominales 1.7.-Tasa efectiva 1.8.- Perpetuidades 1.9.- Valuacin de Bonos 1.10.- Introduccin a herramientas de evaluacin financiera 1.11.- Rendimiento de un Bono 1.12.- Tasas Forward 1.13.- Duracin y Convexidad 1.14.- Contratos Forward 1.15.- Valuacin de contratos Forward

2.- Elementos de probabilidad 2.1.- variables aleatorias 2.2.- Funciones de probabilidad 2.3.- Funciones de distribucin acumuladas 2.4.- Descripcin de las distribuciones 2.5.- Distribuciones Multivariadas 2.6.- Distribuciones importantes

3.- Elementos de estadstica 3.2.- Estimacin Parmetrica

Bibliografa


3

1.- Tasas de inters 1.1.- Inters El inters es el cambio en el valor del dinero en el tiempo. ste es el pago por el uso del dinero ajeno. Porcentaje del capital o principal a pagar en un plazo dado. Una tasa carece de significado si no se especifica su tipo de composicin y plazo. Vg. 10% semestral durante 18 meses, 5% mensual durante 45 das, 5% continua durante 15 meses. La tasa de inters se determina mediante la oferta y demanda de fondos. Una tasa de inters es el precio del dinero en el mercado La mayora de los agentes del mercado son tan pequeos (en relacin al mercado) que son precio aceptantes La existencia de varias tasas implica la existencia de varios mercados (segmentados por riesgo crdito, liquidez, etc.). Una tasa puede reflejar varios conceptos: tasa libre de riesgo crdito, riesgo pas, premio por liquidez, premio por riesgo de mercado, e inflacin por mencionar algunos. Diferentes clases de flujos deben ser descontados a diferentes tasas; cada flujo tiene su tasa propia El dinero es un activo que cuesta conforme transcurre el tiempo, permite compara o pagar a tasa de inters peridicas.

1.2.-Inters simple y compuesto El inters es simple cuando slo el capital gana intereses y es compuesto si a intervalos de tiempo preestablecidos, el inters vencido se agrega al capital. Por lo que ste tambin genera intereses.

1.2.1-Inters simple El valor acumulado M de un capital C que devenga intereses con la tasa de inters anual simple r, al final de t aos es

(1 )M C rt= +


4

1.2.2.-Periodo de capitalizacin El tiempo entre dos fechas sucesivas en las que los intereses se agregan al capital se llama periodo de capitalizacin

1.2.3.-Inters compuesto El valor acumulado M de un capital C al final de t aos es

1mtrM C

m = +

donde t = es el plazo en aos m = periodo de capitalizacin por ao r = es la tasa de inters anual mt = total de periodos Observe que

1 1 1 1

1mt

r r r rM Cm m m m

rCm

= + + + +

= +

Nota: El tiempo se mide como proporcin de un ao. Por ejemplo: t = 2 significa 2 aos, t =1 significa 1 ao, t = significa 6 meses, t = 1/3 significa 1 cuatrimestre, t = 1/12 significa 1 mes, t = 1/52 significa 1 semana, y t = 1/360 significa 1 da.

1.2.4.-Tasa de inters con capitalizacin continua Una tasa de inters simple slo se capitaliza una vez ( )sr Una tasa de inters compuesto supone que los intereses se reinvierten al

terminar el plazo 1mt

mrm

+

Una tasa de inters con capitalizacin continua es el lmite de de la tasa compuesta cuando el perodo de capitalizacin tiende a infinito

lim(1 ) 1mt

rtsmm

rr em

+ = + =


5

Por tanto rtM Ce= , donde 2.71828e = es una constante y t es el tiempo en aos.

1.3.-Tasa equivalente Se dice que dos tasa de inters son equivalentes si con diferentes periodos de capitalizacin producen iguales intereses en el mismo plazo

Esto es, si 2

1nt

nn

rM Cn

= +

y 1

1mt

mm

rM Cm

= +

entonces la tasa equivalente

a mr est dada por

1

21 1mtnt

mn

rr nm

= +

Observe que

2 1

1

2

1

2

1

2

1 1

1 1

1 1

1 1

n mnt mt

n m

mtnt

n m

mtnt

n m

mtnt

mn

M M

r rn m

r rn m

r rn m

rr nm

=

+ = +

+ = +

= + = +

Ejemplo: Cul es la tasa anual capitalizable por semestres equivalente al 39% anual compuesto por meses? Solucin: n = 2, 2 ?r = , t = 1 ao, nt = 2 m = 12, 12 0.39r = , t = 1 ao, mt = 12

1220.391 1 *2

12

0.42309453

nr = +

=


6

Esto significa que invertir al 42.31% anual compuesto semestralmente es igual de productivo que al 39% compuesto mensualmente. Ejemplo: Para invertir un capital usted tiene las siguientes opciones:

a) Inversin a plazo fijo con inters del 21.5% capitalizable por semestre b) Certificados que abonan el 20.6% capitalizable cada semana (52

semanas al ao) c) Bonos que le dan a ganar el 20.68% compuesto por meses

Suponiendo que todas ofrecen la misma liquidez, es decir iguales posibilidades de recuperara la inversin, por cul deber decidirse? Solucin: En virtud que no importa el capital a invertir para determinar la mejor alternativa, es suficiente encontrar la tasa anual en cada opcin que se capitalice con la misma frecuencia y que sea equivalente a las proporcionadas Opcin de inversin c) es la opcin de referencia: Paso1: encontrar una tasa capitalizable mensualmente equivalente a 21.5% capitalizable por semestre. n = 12, 12 ?r = , t = 1 ao, nt = 12 m = 2, 2 0.215r = , t = 1 ao, mt = 2

212

120.2151 1 *12

2

0.20595792

r = +

=

o 20.595792% Paso2: encontrar una tasa capitalizable mensualmente equivalente a 20.6% capitalizable semanalmente. n = 12, 12 ?r = , t = 1 ao, nt = 12 m = 52, 2 0.206r = , t = 1 ao, mt = 52

5212

120.2061 1 *12

52

0.207364296

r = +

=

o 20.7364296% Seleccin de inversin:

a) 20.5958% capitalizable mensualmente


7

b) 20.7364% capitalizable mensualmente c) 20.68% capitalizable mensualmente

1.3.1.- tasas equivalentes

1.3.2.- La tasa con periodo de capitalizacin n equivalentes a una tasa continua est dada por

1

2 1cr t

ntnr e n

=

Observe que

2

1

1

2

1

2

1

2

1

1

1

1

c

c

c

c

ntr tn

r tntn

r tntn

r tnt

n

r en

r en

r en

r e n

+ =

+ =

=

=

1.3.3.- La tasa continua equivalente a una tasa con periodo de capitalizacin n, est dada por

2

1

1ln 1nt

nc

rrn t

= +

Observe que

2

1

2

2

1

1

1

ln 1

1ln 1

c

ntr t n

ntn

c

ntn

c

ren

rr tn

rrn t

= + = +

= +


8

1.4.- Valor del dinero en el tiempo

Encontramos los conceptos de valor del dinero en el tiempo agrupados en dos reas: valor futuro y valor presente. El valor futuro (VF) describe el proceso de crecimiento de la inversin a futuro a un inters y periodos dados. El valor presente (VP) describe el proceso de flujos de dinero futuro a un descuento y perodos dados, representa valores actuales

Antes de tomar decisiones sobre un proyecto, necesitamos conocer la relacin que existe entre un dlar el da de hoy y un dlar (posiblemente incierto) en el futuro Ejemplo: Asuma que tiene C=$1 en el periodo 0, con una tasa de 10% compuesta anualmente, el siguiente esquema muestra el valor de este monto en diferentes periodos.

Usando la grfica anterior, podemos ver que el llevar el dinero en el tiempo, es cuestin de aplicar una tasa al capital en cuestin, poniendo el exponente como un nmero positivo si se lleva hacia adelante en el tiempo y un signo negativo si se lleva hacia atrs en el tiempo.

El tiempo de referencia no necesariamente es hoy, es el punto en el tiempo en el que se hace la valuacin.

Debe observarse que: el Monto acumulado M se convierte en el VF; y el capital C se convierte en el VP

t0 t-3 t-2 t-1 t1 t3 t2 1 .826446 1.1 1.21 1.331 .90.751314

( )11 1.1( )01 1.1 ( )21 1.1 ( )31 1.1( ) 11 1.1 ( ) 21 1.1 ( ) 31 1.1

t0 t-3 t-2 t-1 t1 t3 t2 1 1.102

t-2.5 t-0.5 t-1.5 t2.5 t1.5 t0.5

( )2 3.112

+

( )2 2.5.112

+

( )2 0.5.112

+

( )2 0.112

+

( )2 0.5.112

+

( )2 1.112

+

( )2 1.5.112

+

( )2 2.112

+

( )2 3.0.112

+

( )2 2.5.112

+

( )2 2.0.112

+

( )2 1.5.112

+

( )2 1.0.112

+

0.863 0.907 0.952 1.340 1.276 1.215 1.157 1.05 0.746 0.783 0.822

t0 t-3 t-2 t-1 t1 t3 t2 1 1.105

t-2.5 t-

t-1.5 t2.5 t1.5 t0.5

( ).1 3e( ).1 2.5e( ).1 0.5e( ).1 0e ( ).1 0.5e ( ).1 1e ( ).1 1.5e ( ).1 2e( ).1 3.0e ( ).1 2.5e ( ).1 2.0e ( ).1 1.5e

( ).1 1e

0.860 0.904 0.951 1.349 1.284 1.221 1.161 1.051 0.740 0.778 0.818


9

1.5.- Valor futuro y valor acumulado Inters simple: (1 )VF C rt= +

Inters compuesto: 1mtrVF C

m = +

Inters continuamente capitalizable: rtVF Ce= donde VF = es el valor Futuro C = es el efectivo a invertir en la fecha de valuacin r = tasa de inters

1.6.- Valor presente y proceso de descuento Inters simple:

1(1 )

(1 )

(1 )d

VP C rtC

rtCVP

r

= +

=+

=+

Inters compuesto:

( )

1

1

1

mt

mt

Td

rVP Cm

Crm

CVPr

= +

= +

=+

Inters continuamente capitalizable:

dr tVP Ce=

donde VP = es el valor Presente C = Flujo de efectivo en la fecha T=mt


10

dr = tasa de inters apropiada, algunas veces conocida como tasa de

descuento dr rt= , drrm

= y dr r=

1.6.-Tasas Reales y Tasa Nominales Se ha hecho mencin a que diferentes clases de flujos deben ser descontados a diferentes tasas; cada flujo tiene su tasa propia Tasa real: es la tasa que no incorpora los efectos de la inflacin Tasa nominal: es la tasa que incorpora los efectos de la inflacin La relacin entre los flujos de efectivo real y los flujos de efectivo nominal puede expresarse como ( 1 + Tasa Nominal) = (1 + Tasa real)(1 + Tasa de Inflacin) Reordenando los trminos se tiene

1+Tasa de inters nominalTasa de Inters real = 11+Tasa de Inflacin

1.7.-Tasa efectiva La tasa anual compuesta una vez en el ao, equivalente a la tasa nominal capitalizable m periodos por ao, se denomina tasa efectiva.

1 1m

me

rrm

= +

Ejemplo: Si la tasa anual de inters estipulada, 8%, se capitaliza trimestralmente, Cul es la tasa de inters efectiva? Solucin: m = 4, 0.08mr =

40.081 14

0.0824

er = +

=


11

o 8.24% Ejemplo: Suponga que se tiene un capital de C = $1,000 y r = 10%, el comportamiento de la tasa efectiva a diferentes periodos de capitalizacin es

C = $ 1,000 Frecuencia de capitalizacin

M Tasa efectiva

1,000 Anual (m=1) 1,100.00 0.10 1,000 Semestral (m=2) 1,102.50 0.1025 1,000 Trimestral (m=3) 1,103.81 0.10381 1,000 Diaria (m=365) 1,105.16 0.10516

1.8.- Perpetuidades Una perpetuidad es una corriente constante de flujos de efectivo

1.8.1.- Bonos consol Un inversionista que compra un consol tiene derecho a recibir un inters anual para siempre

1.8.1.1.- Valuacin de un bono consol Suponga que tiene un bono consol que paga anualmente un cupn C, entonces, el valor del bono es el valor presente de los flujos que se recibirn, esto es

( ) ( )2 31 1 1C C CVP

r r rCr

= + + ++ + +

=

Donde r es la tasa de inters relevante.

Observe que si se define 11

xr

=+

, entonces

( ) ( )2 32 3

1

1 1 1

i

i

C C CVPr r r

Cx Cx Cx

C x

=

= + + ++ + +

= + + +

=

y


12

1

1

1

i

i

i

i

xVP xC x

C x

=

+

=

=

=

Lo que se emplea para calcular

1

1 1

(1 )

1

i i

i iVP xVP C x C x Cx

VP x CxVP C

xCVPr

+

= =

= =

=

=

=

Ejemplo: Considere una perpetuidad que paga $100 al ao. Si la tasa de inters relevante es de 8% Cul ser el valor del consol? Solucin:

100 $1,2500.08

VP = =

Si suponemos que la tasa de inters disminuye a 6%

100 $1,666.670.06

VP = =

Note que: si entonces VPr y si entonces VPr

1.8.2.- Perpetuidad creciente Si el flujo de efectivo que se recibe por una perpetuidad aumenta a una tasa g anual, se denomina perpetuidad creciente El valor de una perpetuidad creciente, es el valor presente de sus flujos de efectivo, esto es

( ) ( )

2

2 3(1 ) (1 )

1 1 1C C g C gVP

r r rC

r g

+ += + + +

+ + +

=

Observe que


13

( ) ( )

2 3

2 3(1 ) (1 ) (1 )(1 )1 1 1

C g C g C gg VPr r r+ + +

+ = + + ++ + +

Si se define (1 )A g VP= + y 11

gxr

+=

+ entonces

2 3

1

i

i

A Cx Cx Cx

C x

=

= + + +

=

Empleando el resultado anterior, se obtiene

111(1 ) 11

1

xA Cx

grg VP C g

rCVP

r g

=+++ =+

+

=

Ejemplo: Una empresa est a punto de pagar un dividendo anual de $3.00 por accin. Los inversionistas anticipan que el dividendo anual aumentar 6% anual para siempre. La tasa de inters aplicable es de 11%. Cul es el precio de las acciones el da de hoy? Solucin Valor de la Accin = Dividendo inminente + VP de perpetuidad creciente Dividendo inminente = $3.00 Perpetuidad creciente C = 3.00 x (1+0.06) = 3.18, r = 0.11, g = 0.06

3.18Valor de la Accin = $3.00 + 0.11-0.06

$66.60=

1.8.3.- Anualidad Una anualidad es una corriente uniforme de pagos regulares que dura un nmero fijo de periodos


14

1.8.3.1.- Anualidad retardada En una anualidad retardada el primer pago se realiza al finalizar el primer periodo. -El valor presente de una anualidad retardada est dado por

1 1 11(1 ) (1 )T T

CVP Cr r r r r

= = + +

Donde r = tasa de inters relevante, T = el nmero total de pagos Observe que

Apoyndose en el grfico, el valor presente de la anualidad se obtiene como

( ) ( ) ( )2 31 1 1 1 TC C C CVP

r r r r= + + + +

+ + + +

Observe que si se define 11

xr

=+

, entonces

( ) ( ) ( )2 32 3

1

1 1 1 1 T

T

Ti

i

C C C CVPr r r r

Cx Cx Cx Cx

C x=

= + + + ++ + + +

= + + + +

=

y

1

1

1

Ti

iT

i

i

xVP xC x

C x

=

+

=

=

=

Lo que se emplea para calcular

VP C1 C2 CT


15

1 1

1 11

1

(1 ) ( )( )

1

(1 )1

T Ti i T

i iT

T

T

VP xVP C x C x Cx Cx

VP x C x xx xVP C

xxVP C x

x

+ +

= =

+

+

= =

=

=

=

finalmente note que 11

xx r=

y 1(1 ) 1

(1 )T

Tx r =

+, por tanto

11

(1 )TCVPr r

= +

1.8.3.2.- El valor Futuro de una anualidad retardada est dado por

(1 ) 1 (1 ) 1T

Tr CVP C rr r r

+ = = +

Donde r = tasa de inters relevante, T = el nmero total de pagos Ejemplo: Una persona recibir dentro de 6 aos una anualidad durante cuatro aos de $500 por ao. Si la tasa de inters es de 10%, cul ser el valor presente de su anualidad? Solucin:

Sea 5VP el valor presente de la anualidad en el ao 5, entonces C = $500, r = 0.1

5 4$500 110.10 (1 0.10)$1584.95

VP = + =

C C C C VP 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10


16

El valor presente es el VP de 5VP , esto es

55 5

1,584.95(1 ) (1 0.10)$984.13

VPVPr

= =+ +

=

1.8.3.3.- Anualidad anticipada En una anualidad anticipada el primer pago se realiza al inicio del primer periodo.

1

(1 ) 11(1 )

11(1 )

T

T

rVP Cr r

CCr r

+= +

= + +

1.8.4.- Anualidad Creciente Si el flujo de efectivo que se recibe por una anualidad aumenta a una tasa g anual, se denomina anualidad creciente

1.8.5.-El valor presente de una anualidad creciente est dado por

1 1( )(1 )

11(1 )

T

T

VP Cr g r g r

Cr g r

= +

= +

g = es la tasa de crecimiento de la anualidad

1.9.- Valuacin de Bonos

1.9.1- Bonos cupn cero Los bonos cupn cero, prometen un pago nico en la fecha de vencimiento. El valor o precio del un bono cupn cero es el valor presente del pago nico que realiza, esto es

( , )(1 )T t

FVP B t Tr

= =+


17

donde r = tasa de inters, t = fecha de emisin del bono, T = fecha de vencimiento y F = es el valor facial del bono. Note que: si entonces B(r,t,T)r y si entonces B(r,t,T)r El valor de los bonos cupn cero es menor a su valor facial F, razn por lo que se dice que se venden a descuento.

1.9.1.- Valuacin con tasa de descuento

1.9.1.2.-Tasa de descuento La tasa de descuento es el inters ganado expresado en trminos del valor facial (valor en la fecha de vencimiento) en vez del precio del instrumento. El precio de un bono cupn cero se escribe en trminos de la tasa de descuento como

[ ]( , ) 1 ( , )( )B t T F D t T T t=

1.9.2.- Valuacin con inters simple El rendimiento al vencimiento, L(t,T), por unidad de tiempo, se define como

( , ) 1( , )( , ) ( )

F B t TL t TB t T T t

=

reordenado

( , )1 ( , )( )

FB t TL t T T t

=+

L(t,T) puede verse como la tasa (anualizada) de inters de plazo T-t, asociada a B(t,T). La diferencia T-t, se interpreta como la proporcin de ao a la que se aplica la tasa anualizada L(t,T). La tasa L(t,T) acta como una tasa de inters simple en el clculo del valor presente de una unidad monetaria disponible hasta T.

1.9.3.- Rendimiento y Tasa de descuento Igualando las valuaciones con inters simple y tasa de descuento, se obtiene la relacin


18

11 ( , )( )1 ( , )( )

D t T T tL t T T t

=+

Lo que permite determinar la tasa de descuento una vez conocido el rendimiento y viceversa.

1.9.4.- Bonos con cupn Los bonos cuponados, proporcionan un flujo de efectivo constante,

denominado cupn, en periodos intermedios y regulares entre la fecha de emisin y fecha de vencimiento. En la fecha de vencimiento se paga el valor Facial y el cupn.

El valor o precio del un bono es el valor presente del pago nico que realiza, esto es

( ) ( ) ( ) ( )2 3( , , )

1 1 1 1 1T TC C C C FB r t T

r r r r r= + + + + +

+ + + + +

de donde

1( , , ) 1(1 ) (1 )T T

C FB r t Tr r r

= + + +

donde r = tasa de inters, t = fecha de emisin del bono, T = fecha de vencimiento, C = es el valor del cupn y F = es el valor facial del bono. Note que: si entonces B(r,t,T)r y si entonces B(r,t,T)r Ejemplo: Calcular el precio de un bono con valor facial de $100, que paga cupones semestralmente a una tasa del 6% anual. Para el calculo del precio considere que la tasa de inters no es constante, considere la siguiente informacin sobre tasas de inters

Estructura de plazos Vencimiento (aos) Tasa de inters %

Compuesta continuamente

t C C . . . C+F


19

0.25 5.0 0.50 5.8 1.00 6.4 1.50 6.8

Solucin:

Precio del Bono:

.05 0.5 .0.58 1.0 .064 1.5 0.068 2.0( , ) 3 3 3 10398.39

x x x xB t T e e e e = + + +=

1.9.5.- Estructura de plazos Una estructura de plazos o curva de ceros, son la tasa de inters con

plazo T-t, asociadas a los precios de los bonos cupn cero. Generalmente estas tasas de inters son expresadas en composicin continua. Ejemplo: Construya la estructura de plazos, dada la siguiente informacin: Valor Facial del

Bono ($)

Tiempo de maduracin

Cupn anual (pagado

semestralmente)

Precio del Bono

100 0.25 0 97.5 100 0.50 0 94.9 100 1.00 0 90.0 100 1.50 8 96.0 100 2.00 12 101.6

Primer bono

Plazo T-t = 0.25 (3 meses)

Rendimiento anual: 100 97.5 1( , ) .1025697.5 0.25

L t T = =

$ 3 3 3 103 t 0.5 1.0 1.5 2.0


20

Tasa compuesta continuamente:

40.10256 0.10256ln 1 4ln 1 0.101274 4c

r = + = + =

Segundo bono

Plazo T-t = 0.5 (6 meses)

Rendimiento anual: 100 94.9 1( , ) .1074894.9 0.5

L t T = =


20.10748 0.10748ln 1 2ln 1 0.10469

2 2cr = + = + =

Tercer bono:

Plazo T-t = 1 ao

Rendimiento anual: 100 90.0( , ) .1111190.0

L t T = =


( )ln 1 0.11111 0.10536cr = + =

Cuarto bono

Plazo T-t = 1.5 aos Calculo del rendimiento L(t,T) = ?

Es un bono caponado con Flujo de efectivos: $4 en 6 meses, $4 en 12 meses y $104 en 1.5 aos (valor facial y cupn) Rendimiento en 0.5 aos: 0.10469 Rendimiento en 1.0 aos: 0.10536 Rendimiento en 1.5 aos: L(t,T) Valor del bono

.10496 0.5 .10536 1.0 ( , ) 1.5( , ) 96 4 4 104x x L t T xB t T e e e = = + + cul es valor de L(t,T)?


21

( , ) 1.5 .10496 0.5 .10536 1.0

.10496 0.5 .10536 1.0( , ) 1.5

.10496 0.5 .10536 1.0

.10496 0.5 .10536 1.0

104 96 4 496 4 4

10496 4 4( , ) 1.5 ln

104

1 96 4 4( , ) ln1.5 104

(

L t T x x x

x xL t T x

x x

x x

e e ee ee

e eL t T x

e eL t T

L

=

=

=

=

ln(0.85196), )

1.5( , ) 0.10681

t T

L t T

=

=

Quinto bono

Plazo T-t = 2 aos Calculo del rendimiento L(t,T) = ?

Es un bono caponado con Flujo de efectivos: $6 en 6 meses, $6 en 12 meses, $6 en 1.5 aos y $106 en 2 aos. Rendimiento en 0.5 aos: 0.10469 Rendimiento en 1.0 aos: 0.10536 Rendimiento en 1.5 aos: 0.10681 Valor del bono

.10496 0.5 .10536 1.0 .10681 1.5 ( , ) 2.0( , ) 101.6 6 6 6 106x x x L t T xB t T e e e e = = + + + cul es valor de L(t,T)?

( , ) 2.0 .10496 0.5 .10536 1.0 .10681 1.5

.10496 0.5 .10536 1.0 .10681 1.5( , ) 2.0

.10496 0.5 .10536 1.0 .10681 1.5

106 101.6 6 6 6101.6 6 6 6

106101.6 6 6 6( , ) 2.0 ln

106

( ,

L t T x x x x

x x xL t T x

x x x

e e e ee e ee

e e eL t T x

L t

=

=

=

.10496 0.5 .10536 1.0 .10681 1.51 101.6 6 6 6) ln

2.0 106ln(0.80561)( , )

2( , ) 0.10808

x x xe e eT

L t T

L t T

=

=

=

Estructura de Plazos

Vencimiento (aos) Tasa de inters % 0.25 10.127


22

0.50 10.469 1.00 10.536 1.50 10.681 2.00 10.808

Curva de ceros

1010.210.410.610.8

11

0 0.5 1 1.5 2 2.5Vencimiento (aos)

Tasa

de

inte

rs

%

1.10.- Introduccin a herramientas de evaluacin financiera

1.10.1.- Valor Presente Neto El valor presente neto de una inversin es igual a la inversin inicial ms el valor presente de los flujos de efectivos generados por la inversin. VPN(r) = -I + VP(r) donde VPN = Valor presente neto VP = Valor presente de los flujos de efectivo posteriores a la inversin I = Inversin inicial. r = tasa de inters apropiada La aceptacin de proyectos con valor presente neto positivo beneficia a los accionistas

1.10.2.- Tasa Interna de retorno La tasa interna de retorno es la tasa requerida para obtener un Valor presente neto igual a cero.


23

( ) ( )0

I IVPN r I VP r= +=

Note que: si Ientonces VPN(r ) < 0Ir r> y si Ientonces VPN(r ) > 0Ir r<

1.10.3.- ndice de rentabilidad El ndice de rentabilidad se obtiene como la razn del valor presente de los flujos de efectivo esperados a futuro despus de la inversin y el monto de la inversin inicial.

VPIRI

=

donde IR = ndice de rentabilidad VP = Valor presente de los flujos de efectivo posteriores a la inversin I = Inversin inicial. Note que: si VP > I entonces IR >1 y si VP < I entonces IR < 1 Ejemplo: CPC, Inc, planea llevar a cabo un proyecto con los siguientes flujos de efectivo

Ao Flujo de efectivo 0 -8,000 1 4,000 2 3,000 3 2,000

a) Determine la tasa interna de rendimiento sobre el proyecto b) Suponiendo que la tasa de descuento apropiada es de 8%. Conviene realizar el proyecto? Solucin:

2 3

( ) 0( )

4000 3000 20008,000(1 ) (1 ) (1 )

I

I

I I I

VPN rI VP r

r r r

=

= +

= + + ++ + +

Si 0.0693Ir = , (0.0693) 0VPN = Si 0.08Ir = , (0.08) 136.62VPN =


24

1.11.- Rendimiento de un Bono El rendimiento de un bono es la tasa interna de retorno de la inversin que se realiza para la adquisicin del bono. Ejemplo: Calcular el rendimiento de un bono con valor facial de $100, que paga cupones semestralmente a una tasa del 6% anual (ejemplo de bonos caponados). El precio del bono es de $98.39. Solucin:

0.5 1.0 1.5 2.0

0.5 1.0 1.5 2.0

( ) ( )( , , ) 3 3 3 103

98.39 3 3 3 1030

I I I I

I I I I

I Ir x r x r x r x

Ir x r x r x r x

VPN r I VP rB r t T e e e e

e e e e

= +

= + + + +

= + + + +=

entonces

.05 0.5 .0.58 1.0 .064 1.5 0.068 2.098.39 3 3 3 103x x x xe e e e = + + + Emplear Buscar Objetivo en Excel

0.0676Ir = o 6.76%

1.12.- Tasas Forward Una tasa forward es una tasa de inters para periodos de tiempo en el futuro. Estas tasas son obtenidas a partir de la estructura de plazos. Note que la estructura de plazos, proporciona el rendimiento requerido de una inversin a diferentes plazos, a partir de una fecha t. Sin embargo, la tasa forward contesta la pregunta. Cul es el rendimiento requerido en una inversin que se realizar, por ejemplo, durante el transcurso del segundo ao, esto es, de principios del primer ao a finales del segundo ao.

t 1 2

1r 2r

fr


25

1.12.1.- Calculo de la tasa Forward (Estructura de plazos compuesta continuamente) Suponga que se cuenta con las tasas de inters requerida para una inversin a uno y dos ao, a partir de hoy, las cuales denotamos por 1r y 2r . Si se planea realizar una inversin durante el transcurso del segundo ao, el rendimiento requerido fr , debe satisfacer la relacin

( ) ( )( )

2 2 1 1 2 1

1 1 2 1

exp( ) exp exp ( )

exp ( )f

f

r T rT r T T

rT r T T

=

= +

a partir de donde se obtiene

2 2 1 1

2 1

2 2 2 1 2 1 1 1

2 1

12 2 1

2 1

( )

f

f

r T rTrT T

r T r T r T rTT T

Tr r r rT T

=

+ =

= +

Note que: si 2 1r r> entonces 2fr r> y si 2 1r r< entonces 2fr r< Ejemplo: Considere la siguiente estructura de plazos y calcule las tasas forward para el ao 2, 3, 4 y 5.

Estructura de Plazos Vencimiento (aos) Tasa de inters

% Tasa Forward

% 1 3.0 2 4.0 5.0 3 4.6 5.8 4 5.0 6.2 5 5.3 6.5

12 2 1

2 1

( )fTr r r r

T T= +

Periodo 2 2T = , 1 1T = , 2 0.04r = y 1 0.03r =


26

10.04 (0.04 0.03)2 1

0.05

fr = + =

Periodo 2 3T = , 1 2T = , 2 0.046r = y 1 0.04r =

20.046 (0.046 0.04)3 2

0.058

fr = + =

Periodo 2 4T = , 1 3T = , 2 0.05r = y 1 0.046r =

30.05 (0.05 0.046)4 3

0.062

fr = + =

Periodo 2 4T = , 1 3T = , 2 0.05r = y 1 0.046r =

30.05 (0.05 0.046)4 3

0.062

fr = + =

Periodo 2 5T = , 1 4T = , 2 0.053r = y 1 0.05r =

40.053 (0.053 0.05)5 4

0.065

fr = + =

1.12.2.- Calculo de la tasa Forward (Estructura de plazos linealmente capitalizable) Si las tasa de inters de la estructura de plazos son interes simple, entonces las tasa forward deben satisfacer las relacin

( )( )2 2 1 1 2 11 1 1 ( )fr T rT r T T+ = + + a partir de donde se obtiene

( )

2 2 1 1

2 1 1 1

12 2 1

2 1 1 1

11

11

fr T rTr

T T rT

Tr r rT T rT

=

+

= + +


27

1.13.- Duracin y Convexidad

1.13.1.- Duracin de Macaulay La duracin es definida como el vencimiento promedio ponderado de una inversin, esto es la duracin se mide en unidades de tiempo. La duracin expresa la dimensin de tiempo de una inversin, tomando en cuenta pagos intermedios, y puede interpretarse como una medida del vencimiento efectivo de un bono.

1

1

1

(1 )( , )

1( , ) (1 )

T

ii

iiT

t

Ti

it

D i w

Cri

B t TCi

B t T r

=

=

=

=

+=

= +

donde i = Es el tiempo en que se recibe el flujo de efectivo iC r = Es el rendimiento del bono B(t,T) = precio del bono que se emite en t y tiene fecha de maduracin T

1.13.2.- Duracin Modificada Este concepto de duracin est ntimamente ligado con la sensibilidad del precio de bono a cambios en la tasa de inters 1

(1 )dB D

B dr r=

+

De esta ltima relacin se define la Duracin modificada como

* 1(1 )

dB DDB dr r

= =+

Nota: En los bonos cupn cero la duracin es igual al tiempo de vida del bono (T-t). Si la tasa de inters esta expresada como una tasa capitalizable continuamente *D D=

1.13.3.- Convexidad La convexidad es un efecto de segundo orden que describe la forma en que la duracin cambia, a medida que cambia el rendimiento. La medida de


28

convexidad puede observarse a travs de la segunda derivada del precio del bono con respecto al rendimiento y dividiendo entre el precio, o la derivada de la duracin modificada con respecto al rendimiento.

**

2

2

21

1

1 1 ( 1)(1 ) (1 )

Tt

ii

dDCdrd B

B drCi i

B r r=

=

=

= + + +

*C = Convexidad

i = Es el tiempo en que se recibe el flujo de efectivo iC r = Es el rendimiento del bono B(t,T) = precio del bono que se emite en t y tiene fecha de maduracin T Empleando la duracin y la convexidad es posible aproximar el cambio del precio de un bono generado por un cambio de la tasa de inters como

22

212

dB d BdB dr drdr dr

= +

de donde

22

2

* * 2

1 1 12

12

dB dB d Bdr drB B dr B dr

D dr C dr

= +

= +

Lo que permite expresar el precio del bono como

* * 20 0 0 0 0

1( ) ( ) ( )( ) ( )( )2

B r B r D B r r r C B r r r= +

Ejemplo: Considere un bono a cinco aos que paga cupones anuales del 6% y cuyo precio ( , ) $100B t T = , obtener su duracin y convexidad (realice los clculos considerando su tasa interna de retorno).

Tiempo Flujo de efectivo VP t X VP t X (t+1) X VP

1 6 5.66 5.66 11.32 2 6 5.34 10.68 32.04 3 6 5.04 15.11 60.45 4 6 4.75 19.01 95.05 5 106 79.21 396.04 2376.27


29

Suma 100.00 446.51 2575.13 Rendimiento: r = 0.06

Precio: 2 3 4 56 6 6 6 106 100

(1 0.06) (1 0.06) (1 0.06) (1 0.06) (1 0.06)B = + + + + =

+ + + + +

Duracin:

2 3 4 51 1 6 2 6 3 6 4 6 5 106 4.47

(100) (1 0.06) (1 0.06) (1 0.06) (1 0.06) (1 0.06)D = + + + + = + + + + +

Duracin Modificada:

*2 3 4 5

1 1 6 2 6 3 6 4 6 5 106 4.21(1 ) (100)(1 0.6) (1 0.06) (1 0.06) (1 0.06) (1 0.06) (1 0.06)

DDr

= = + + + + = + + + + + + +

Convexidad:

*2 2 3 4 5

1 1 2 6 2 3 6 3 4 6 4 5 6 5 6 1 0 622.92(100)(1 0.6) (1 0.06) (1 0.06) (1 0.06) (1 0.06) (1 0.06)

C = + + + + = + + + + + +

Aproximacin al precio del Bono

21( ) 100 (4.21)(100)( 0.06) (22.92)(100)( 0.06)2

B r r r= +

1.13.4.- Duracin y convexidad de un Portafolios Considere un portafolio N bonos diferentes, la duracin y la convexidad de un portafolio de renta fija, puede ser obtenido mediante una suma ponderada de las duraciones de las duraciones individuales, esto es Considere el portafolio

0 1 2 3 4 4.47 5

Valor presente de los pagos

5.66 5.34 5.04 4.75 79.21

100


30

1

N

j jj

P x B=

=

donde ix representa el nmero de unidades del bono iB . Entonces, si i iix BwP

=

se tiene que la duracin del portafolio est dada por 1

N

P j jj

D w D=

= y la

convexidad por * *1

N

P j jj

C w C=

= ,

1.14.- Contratos Forward Un contrato forward sobre una accin que no paga dividendos es un acuerdo entre dos partes establecido en el tiempo t = 0, que obliga a una de las partes a comprar y a la otra a vender una accin en una fecha futura, T, a un precio predeterminado, K. El comprador paga la cantidad pactada K, hasta la fecha de vencimiento, T, momento en que el vendedor entrega la accin. El precio pactado K, ser llamado el precio de ejercicio.

1.14.1.- Precio Forward Si suponemos que r es la tasa libre de riesgo, entonces el precio forward del activo S que no genera flujos de efectivo, se denota por 0F y est dado por

0 0rTF S e=

Ejemplo Considere un contrato Forward a 4 meses para comprar un bono cupn cero que madura en un ao. El precio actual del bono es de $930. Si suponemos que la tasa libre de riesgo a 4 meses (compuesta continuamente) es de 6% anual cul es el precio forward del bono? Solucin:

En vista que los bonos cupn cero no generan ningn flujo de efectivo entre su emisin y vencimiento, T = 4/12, 0.06r = y 0 930S = . Entonces el precio Forward, Fo, est dado por

t 4 meses 1 ao

Fo=? 930


31

( )0 0

40.06 12(930)$984.79

rTF S e

e =

==

1.15.- Valuacin de contratos Forward El valor de un contrato forward en el momento que se realiza es igual a cero. Sin embargo, el precio es diferente de cero durante la vida del contrato. Si suponemos que K = precio de ejercicio de un contrato forward que fue negociado tiempo atrs T = es la fecha de vencimiento a partir de hoy r = es la tasa libre de riesgo a T aos. Fo = es el precio forward que se aplica si se negocia el contrato el da de hoy El valor de un contrato forward de compra est dado por

0( )rTV F K e=

El valor de un contrato forward de venta est dado por

0( )rTV K F e=

Ejemplo Un contrato Forward de compra sobre una accin que no paga dividendos, se realizo tiempo atrs. A da de hoy el tiempo de vida del contrato es de 6 meses. La tasa libre de riesgo (con composicin continua) es de 10% anual, el precio de la accin es de $25, y el precio de ejercicio es $24. Cul es le valor del contrato forward? Solucin

En el problema

0 25S = , 0.10r = , 0.5T = , y 24K = El precio forward es

t hoy 6 meses

Fo=26.28

930 K=24


32

0 00.10 0.5(25)

$26.28

rTF S ee

=

==

El valor del contrato es

( )0

0.1 0.5

( )26.28 24

2.17

rTV F K ee

=

=

=

1.15.1.- Swaps de tipo de cambio Un swap es un acuerdao entre dos partes para intercambiar flujos de efectivo en varias fechas futuras con base en una frmula predeterminada.

Los swaps de tipo de cambio sirven para intercambiar la obligacin de pagar los flujos de efectivo de una moneda por la obligacin de pagarlos en otra moneda. Esto es, en su forma simple, este instrumento involucra el intercambio de un principal y los intereses en una moneda por el principal e intereses en otra moneda. Un swaps de tipo de cambio puede entenderse como la diferencia entre dos bonos. Si se define swapV como el valor en dlares de un swaps donde los dlares son recibidos y una moneda extranjera es pagada, entonces

0Swap D FV B S B= Donde FB es el valor, en moneda extranjera, del bono que se define a partir de los flujos de efectivo que se pagan. DB es un bono que se define a partir de los flujos de efectivo que se reciben en moneda local (dlares). Finalmente, 0S es el tipo de cambio spot (expresado en dlares). Similarmente, el valor de un swap donde la moneda extranjera es recibida y dlares son pagados es

Empresa A Empresa B

Dolares

Moneda Extranjera


33

0Swap F DV S B B= Ejemplo: Suponga que una institucin financiera ha entrado en un swap de tipo de cambio en la cual recibe 5% anual en yenes y paga 8% anual en dlares una vez al ao. El principal en las monedas son de $10 millones de dollares y 1,200 millones en yenes. El swap tine de vida 3 aos, y el tipo de cambio actual es de 100 yenes por dlar. Si la tasa japonesa es de 4% anual compuesta continuamente y la tasa norteamericana es de 9% anual compuesta continuamente Cul es el valor del swap? Solucin:

Valor del Bono en Dlares: DB Principal = 10 millones Tasa Norteamericana = 9% Pago anual de 8% = 0.8 millones

Ao Pago VP 1 0.8 0.7311 2 0.8 0.6682 3 10.8 8.2445

Precio del Bono 9.6439

9.6439DB = Dlares Valor del Bono en Yenes: FB Principal = 1,200 millones Tasa Japonesa = 4% Pago anual de 5% = 60 millones

Ao Pago VP 1 60 57.6474 2 60 55.3870

Recibe Yenes Paga Dlares

60 60 1260

0.8 0.8 10.8

Flujos de Efectivo

Ao 1 2 3


34

3 1260 1117.5198 Precio del Bono 1230.5541

1,230.5541FB = Yenes

Valor del Swap

Tipo de cambio : 01

110S =

0

1 (1,230.5541) (9.6439)1101.5430millones

Swap F DV S B B=

=

=

2.- Elementos de probabilidad

2.1.- variables aleatorias El riesgo puede ser definido en trminos generales como la incertidumbre sobre los flujos futuros o resultados futuros. Esto se explica mejor en trminos de probabilidad. La probabilidad es el medio que permite cuantificar la posibilidad de que un resultado futuro se presente. La incertidumbre sobre los flujos futuros, permite considerar los flujos como una variable aleatoria, donde el trmino aleatorio establece la presencia de incertidumbre.

2.2.- Funciones de probabilidad

2.2.1.- discretas Si la variable aleatoria tiene como posibles resultados a un conjunto discreto. La variable aleatoria se dice que es discreta Ejemplo: Los resultados del lanzamiento de una moneda. Los resultados del lanzamiento de un dado.


35

Las variables aleatorias discretas se caracterizan por lo que se conoce como funcin de probabilidad, funcin masa de probabilidad o distribucin de probabilidad.

( ) ( )f x P X x= = Que debe satisfacer

( ) 0f x

( ) 1x

f x = Ejemplo: Considere la variables X = el resultado de lanzar un dado, X es una variable aleatoria discreta en vista que sus posibles resultados son {1,2,3,4,5,6} y la funcin de probabilidad es presentada en forma tabular

x f(X) =P(X=x) 1 1/6 2 1/6 3 1/6 4 1/6 5 1/6 6 1/6

Suma 1 Este tipo de funciones de probabilidad es conocida como funcin discreta uniforme, esto por que asigna la misma probabilidad a cada uno de los posibles resultados.

2.2.2.- Continuas Si el rango de posibles resultados de una variable aleatoria es continuo. La variable aleatoria se dice que es continua Ejemplo Los posibles valores de la tasa de inters Los posibles valores del precio de una accin Los posibles resultados del rendimiento de una inversin Las variables aleatorias continuas se caracterizan por lo que se conoce como funcin de densidad de probabilidad o simplemente funcin de densidad. Y que debe satisfacer


36

( ) 0

( ) 1

( ) ( )b

a

f x

f x dx

P a X b f x dx

=

< < =

Note que en lugar de sumar como en el caso discreto, se emplea una integral. Ejemplo Si X = los rendimientos de una inversin, es usual suponer que estos tienen una funcin de densidad normal

2

21 ( )2

2

1( )2

x

f x e

=

donde es la media y 2 la varianza

2.3.- Funciones de distribucin acumuladas Las funciones de distribucin acumuladas es una funcin que permite calcular la probabilidad de que una variable aleatoria X sea menor o igual a algn nmero x. Si se escribe

( ) ( )F x P X x= Se dice que F(x) es la funcin de distribucin acumulada de la variable aleatoria X. Para el caso de las distribuciones discretas esta funcin se expresa mediante sumatorias

( ) ( ) ( )t x

F x P X x f t

= =

Curva Normal


37

Para el caso de variables aleatorias continuas esta se representan mediante integrales.

( ) ( ) ( )x

F x P X x f u du

= = Comportamiento de la funcin de distribucin acumulada

Cuando la distribucin de probabilidad es la distribucin normal con media igual al cero y varianza = 1 (normal estndar), es comn denotar a F(x) como N(x). Esto es ( ) ( )N x P X x= . Ejemplo: Calcular la funcin de distribucin acumulada de la variable aleatoria X = el resultado de lanzar un dado

x f(X) =P(X=x) F(x)=P(X


38

2.4.- Descripcin de las distribuciones La descripcin de una funcin de probabilidad y una funcin de densidad se realiza mediante algunos valores numricos. Los principales son el valor esperado, varianza, desviacin estndar, los cuantiles, el coeficiente de asimetra y el coeficiente de curtosis.

2.4.1.- Valor esperado El valor esperado de una variable aleatoria, es el valor que tiene la mayor probabilidad de presentarse. Generalmente es conocido como la media de la variable aleatoria. Este valor como su nombre lo indica, es el resultado que se espera tenga una variable aleatoria ante la presencia de incertidumbre. La media o valor esperado de una variable aleatoria determina el lugar donde se centra la distribucin de probabilidad. Para el caso discreto

( ) ( )x

E x xf x = = Para el caso continuo

( ) ( )E x xf x dx

= = Ejemplo: Considere una inversin de $5,000, cuyos flujos de efectivo que genera dependen del las condiciones de la demanda, condiciones que son clasificadas como {alta, media y baja}. Se han determinado las probabilidades de estas condiciones.

X = Demanda f(X) =P(X=x) Alta 0.5

Media 0.3 Baja 0.2

Suma 1 El valor presente de los flujos de efectivo bajo las diferentes condiciones de demanda es

X = Demanda VP Flujos de efectivo Alta 8,800

Media 3,500 Baja 1,400


39

Calcular el valor presente neto esperado de esta inversin. Solucin: Con la informacin proporcionada es posible calcular el VPN para cada una de las condiciones de demanda

X = Demanda Inversin VP Flujos de efectivo

VPN Inversin VP

Alta 5,000 8,800 3,800 Media 5,000 3,500 -1,500 Baja 5,000 1,400 3,600

Funcin de probabilidad del valor presente neto

Y = VPN f(Y) =P(Y=y) 3,800 0.5 -1,500 0.3 -3600 0.2 Suma 1

Valor esperado de VPN

( ) (3,800)(0.5) ( 1,500)(0.3) ( 3,600)(0.2)1,900 450 720730

E VPN = + + = =

2.4.2.- Varianza y Desviacin Estndar Por s misma, la media no proporciona una adecuada descripcin de la forma de una distribucin. Se necesita caracterizar la variabilidad de la distribucin La varianza es una medida que nos permite cuantificar el grado de dispersin de la variable aleatoria tomando como referencia a la media o valor esperado. Para el caso discreto

( )22 ( ) ( ) ( )x

V x x E x f x = = Para el caso continuo

( )22 ( ) ( ) ( )V x x E x f x dx

= = Esta medida tiene la desventaja de que las unidades que tiene no coinciden con las unidades de la variable X, por lo que es ms conveniente emplear la desviacin estndar


40

( ) ( )DS X V X = =

Una de las distribuciones ms empleada en la finanzas es la distribucin normal.

2.4.2.1.- Regla emprica Si la variable aleatoria X tiene una distribucin normal, entonces se cumple que: a) ( ) .6826P X + = la probabilidad de que un resultado se encuentre en el intervalo [ ], + es de 0.6826 o 68.26% b) ( 2 2 ) .9544P X + = la probabilidad de que un resultado se encuentre en el intervalo [ ]2 , 2 + es de 0.9544 o 95.44% c) ( 3 3 ) .9974P X + = la probabilidad de que un resultado se encuentre en el intervalo [ ]3 , 3 + es de 0.9974 o 99.74% Nota: El valor de la variable aleatoria X puede ser expresado en trminos de la media y la desviacin estndar x z =

2.4.2.2.- Formula de Black-Scholes:

3 2 2 3

68.26%

95,44%

99.74%


41

La formula de Black-Scholes para valuar en un tiempo 0 una opcin de compra europea sobre una accin que no paga dividendos y una opcin de venta sobre una accin que no paga dividendos son

( )( )

0 1 2

2 0 1

20

1

20

2 1

max ,0 ( ) ( )

max ,0 ( ) ( )

ln2

ln2

rT rTT

rT rTT

C e E S K S N d Ke N d

P e E K S Ke N d S N d

S r TK

dT

S r TK

d d TT

= = = =

+ + =

+ + = =

donde So = precio de la accin en el tiempo 0 K = precio de ejercicio r = tasa libre de riesgo = volatilidad T = tiempo para la fecha de expiracin Ejemplo: Si suponemos que el precio de una accin a 6 meses que venza una opcin es de $42, el precio de ejercicio de la opcin es $40, la tasa libre de riesgo es 10% anual y la volatilidad es 20% anual. Calcular el precio de la opcin de compra y la opcin de venta. Solucin: So = 42, K = 40, r = 0.1, = 0.2 y T = 0.5 aos Se calcula

2

1

20.1 0.5

42 0.2ln 0.1 0.540 2

0.76930.2 0.5

0.7693 0.2 0.5 0.627840 38.049rT

d

dKe e

+ + = =

= =

= =

Para el calculo de probabilidades acumuladas, se hace uso de la distribucin normal estndar media igual a cero y varianza igual a 1.

(0.7693) ( 0.7693) 0.7791 ( 0.7693) ( 0.7693) 0.2209(0.6278) ( 0.6278) 0.7349 ( 0.6278) ( 0.6278) 0.2651

N P X N P XN P X N P X

= = = == = = =


42

El valor de las opciones

42 0.7791 38.049 0.7349 4.7638.049 0.2651 42 0.2209 0.81

CP= == =

2.4.3.- Cuantiles Los cuantiles son valores que complementan la descripcin de una distribucin de probabilidad realizada por la media y la varianza (desviacin estndar). El cuantil q de una distribucin de probabilidad es el valor qx que acumula una probabilidad q. donde 0 1q< < o 0 100%q< < Esto es,

( ) ( )q qF x P X x q= = Si q = 25% se denomina primer cuartil Si q = 50% se denomina segundo cuartil o mediana Si q = 75% se denomina tercer cuartil

2.4.3.1.- Valor en Riesgo El VAR resume la prdida mxima esperada (o peor perdida) sobre un horizonte de tiempo objetivo de un intervalo de confianza. De la definicin de VAR es posible considerar a la variable aleatoria X como los cambios de valor del portafolio y esta variable tiene una distribucin de probabilidad f(x).

qx

Funcin de Densidad f(x)

Funcin de Distribucin Acumulada F(x)

( )qF x q=

( )qF x q=

( ) ( )q qF x P X x=

( ) ( )q qF x P X x=


43

A un nivel de confianza dado c, se desea encontrar el valor de perdidas y ganancias x* que satisface

*

*( ) ( )x

P X x f u du c

> = =

O equivalentemente

* *( ) 1 ( ) 1P X x P X x c q = > = = Entonces el VAR = x* es el cuantil q de la variable X. Si se desea un VAR al 95% (c = 0.95 y q = 1-0.95 = 0.05), entonces el VAR del portafolio es igual al cuantil 0.05 o 5% ( 0.05x ).

2.4.4.- Asimetra o Sesgo Se dice que una distribucin es simtrica si puede ser doblada a lo largo de su eje vertical y sus dos lados coinciden. Una distribucin que carezca de esta asimetra son respecto a su eje vertical es asimtrica Un distribucin es asimtrica positiva o con sesgo positivo si presenta una cola derecha larga y una cola izquierda ms corta. Una distribucin es asimtrica negativa o con sesgo negativo si presenta una cola izquierda larga y una cola derecha ms corta

El siguiente coeficiente ayuda a determinar la asimetra esta dado por

3( ) ( )x

x E xCoef de Asimetria f x

=

Una distribucin simtrica tiene un coeficiente de asimetra igual a cero. Una distribucin con sesgo positivo tiene un coeficiente de asimetra positivo Una distribucin con sesgo negativo tiene un coeficiente de asimetra negativo

Sesgo Positivo Simtrica Sesgo Negativo


44

2.4.5.- Curtsis La curtosis mide lo puntiaguda o lo plana de una distribucin, la curtosis se define como

4( ) ( )x

x E xCurtosis f x

=

La distribucin de referencia es la distribucin normal, esta tiene una curtosis igual a 3. Si una distribucin tiene curtosis mayor que 3 entonces la distribucin es ms puntiaguda que la distribucin normal. Si una distribucin tiene curtosis menor que 3 entonces la distribucin es ms plana que la distribucin normal Las distribuciones con curtosis mayor que 3 se denominan leptocurticas y se dice que tiene colas anchas. Ejemplo: Considere la variable X = la suma de los resultados de lanzar dos dados, los resultados posibles de x son {2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12},

x frecuencia f(x) F(X) Media Varianza Asimetra Curtosis 2 1 0.0278 0.0278 0.0556 0.6944 -0.2465 0.5102 3 2 0.0556 0.0833 0.1667 0.8889 -0.2524 0.4180 4 3 0.0833 0.1667 0.3333 0.7500 -0.1597 0.1984 5 4 0.1111 0.2778 0.5556 0.4444 -0.0631 0.0522 6 5 0.1389 0.4167 0.8333 0.1389 -0.0099 0.0041 7 6 0.1667 0.5833 1.1667 0.0000 0.0000 0.0000 8 5 0.1389 0.7222 1.1111 0.1389 0.0099 0.0041 9 4 0.1111 0.8333 1.0000 0.4444 0.0631 0.0522 10 3 0.0833 0.9167 0.8333 0.7500 0.1597 0.1984 11 2 0.0556 0.9722 0.6111 0.8889 0.2524 0.4180 12 1 0.0278 1.0000 0.3333 0.6944 0.2465 0.5102

Suma 36 7.0000 5.8333 0.0000 2.3657

( ) ( ) 7.0000x

E x xf x = = =

( )22 ( ) ( ) ( ) 5.8333x

V x x E x f x = = = ( ) ( ) 2.4152DS X V X = = =

3( ) ( ) 0.0000x

x E xCoef de Asimetria f x

= =

4( ) ( ) 2.3657x

x E xCurtosis f x

= =


45

f(x)

00.020.040.060.08

0.10.120.140.160.18

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

2.5.- Distribuciones Multivariadas El estudio de variables aleatorias y sus distribuciones de probabilidad que se ha hecho hasta ahora est restringido a una sola dimensin, en los que se registran los resultados asumidos por una nica variable aleatoria. Sin embargo, el valor de un portafolio depende de numerosas variables aleatorias. Si consideramos inicialmente dos activos en un portafolio, el cambio en valor del portafolio puede generarse por cambio favorable o desfavorable de ambos activos, o por un cambio favorable en un activo y uno desfavorable en el otro. El conocimiento de la distribucin de probabilidad conjunta de ambos activos proporciona informacin que no resulta obvia a partir de las distribuciones individuales.

2.5.1.- Densidad conjunta Una funcin de densidad de probabilidad conjunta para dos variables aleatorias continuas X y Y satisface las siguiente propiedades.

1 1

- -

1 1- -

( , ) 0 para toda x, y

( , ) 1

( , ) ( , )

XY

XY

x y

XY

f x y

f x y dxdy

P X x Y y f x y dxdy

=

=


46

2.5.2.- Densidad marginal A partir de la funcin de densidad de probabilidad conjunta es posible obtener la funcin de densidad de cada una de las variables aleatorias, esta funcin de densidad es conocida como funcin de densidad marginal. Las funciones de densidad de probabilidad marginal de X y Y son

( ) ( , )

( ) ( , )

X XY

Y XY

f x f x u du

f y f u y du

=

=

En general, el trato con mltiples variables aleatorias complica la caracterizacin de la funcin de densidad conjunta.

2.5.2.- Variables independientes En el caso, de que las probabilidades de una variable no se vean afectada por el conocimiento de los valores de la otra, se dice que las variables son independientes En el caso de tratar con variables independientes, la funcin de densidad conjunta se obtiene como el producto de las funciones de densidad individuales.

( , ) ( ) ( )XY X Yf x y f x f y= Uno de los supuestos importantes cundo se trabaja con rendimientos es que los rendimientos de dos periodos consecutivos de tiempo son independientes. Este supuesto es consistente con los mercados eficientes, donde el precio actual incluye toda la informacin relevante acerca de un activo en particular. Por lo que el precio debe originarse de noticias que, por definicin, no pueden ser anticipadas y por lo tanto, no deben estar correlacionadas en el tiempo

2.5.3.- Densidad Condicional Hasta este punto, hemos considerado dos tipos de probabilidad, la probabilidad marginal y la probabilidad conjunta. Simblicamente, la probabilidad marginal es 1( )P X x y la probabilidad conjunta 1 1( , )P X x Y y . Adems de estas dos, existe otro tipo de probabilidad, conocida como probabilidad condicional. La probabilidad condicional es la probabilidad de que un resultado en la variable X se presente dado que se conoce el resultado de la variable Y.


47

2.5.3.1.- Matriz de transicin o de migracin de crdito Agencias independientes como Standard & Poors, Moodys entre otroas, proporcionan calificaciones crediticias a bonos corporativos, de mediano y largo plazo, a travs de una opinin imparcial. El cuadro muestra una descripcin de las calificaciones crediticias que otorga Standard & Poors a bonos corporativos en un pas determinado

Calificacin Descripcin AAA La ms alta calidad crediticia AA Muy alta calidad crediticia A Alta calidad crediticia BBB Buena calidad crediticia BB Calidad especulativa B Calidad altamente especulativa CCC Alto riesgo de incumplimiento

Comnmente pensamos en la prdida como la posibilidad de presentarse un incumplimiento (D), pero tambin es posible observar prdidas en el valor de un bono o un crdito debido a la degradacin de la calificacin crediticia del emisor. Cuando a una compaa se le baja la calificacin significa que la agencia calificadora cree que la probabilidad de que la compaa incumpla ha incrementado, por tal razn el precio del bono o el valor del crdito disminuye. La probabilidad de cambio de calificacin es la estimada y publicada por las agencias calificadoras.

AAA AA A BBB BB B CCC D AAA 93.66 5.83 0.4 0.08 0.03 0 0 0 AA 0.66 91.72 6.94 0.49 0.06 0.09 0.02 0.01 A 0.07 2.25 91.76 5.19 0.49 0.2 0.01 0.04

BBB 0.03 0.25 4.83 89.26 4.44 0.81 0.16 0.22 BB 0.03 0.07 0.44 6.67 83.31 7.47 1.05 0.98 B 0 0.1 0.33 0.46 5.76 84.18 3.87 5.3

CCC 0.16 0 0.31 0.93 2 10.74 63.95 21.94 D 0 0 0 0 0 0 0 100

La matriz muestra las probabilidades de migrar de una calificacin a otra dentro de un ao. Obsrvese que la suma de cada rengln es igual a 100%. Estas probabilidades son probabilidades condicionales. Analizando el cuarto rengln, se tiene: La probabilidad de que la compaa calificada como BBB se convierta en A, o equivalentemente, la probabilidad de que la compaa tenga una calificacin A dado que actualmente es una compaa calificada como BBB


48

( / ) 4.83%P A BBB = La probabilidad de que la compaa calificada como BBB se convierta en AA es

( / ) 0.25%P AA BBB = La probabilidad de que la compaa calificada como BBB no migre es

( / ) 89.26%P BBB BBB =

2.5.4.- Medias y varianzas Ahora se desarrollarn algunas propiedades tiles que simplifican los clculos de medias y variancias de variables aleatorias. Estas propiedades permitirn calcular valores esperados en trminos de otros parmetros que son, ya sean conocidos o fcilmente calculables.

( ) ( ) son constantesE aX b aE X b si a y b+ = +

( ) si b es constanteE b b=

1 1 2 2 1 1 2 2 1 2( ) ( ) ( ) si w w son constantesE w X w X w E X w E X y+ = +

2( ) ( ) son constantesV aX b a V X si a y b+ =

( ) 0 si b es constanteV b =

2 21 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) 2 Cov(X ,X ) si w w son constantesV w X w X w V X w V X w w y+ = + +

El trmino 1 2( , )Cov X X se denomina covarianza y cuantifica el movimiento conjunto de las dos variables Si la variables son independientes, entonces 1 2( , )Cov X X =0 ( nota: si la covarianza es igual a cero no significa que las variables son independientes), y se tiene

2 21 1 2 2 1 1 2 2 1 2( ) ( ) ( ) si w w son constantesV w X w X w V X w V X y+ = +

El trmino covarianza se define como

1 2 1 2 1 2( , ) ( ) ( ) ( )Co vX X E X X E X E X=


49

2.5.5.- Agregacin en el tiempo Suponga por un momento que tX rt= , es el rendimiento de un activo S, durante un periodo de tiempo t y este rendimiento es continuamente capitalizable. Entonces

0tX

tS S e= y 0

ln ttSXS

=

,

Ahora, si los mercados son eficientes, y 1X y 2X son los rendimientos de un activo en dos periodos consecutivos de tiempo, estos son independientes y por tanto 1 2( , ) 0Cov X X = , y si adems suponemos que los rendimientos para diferentes periodos estn idnticamente distribuidos en el tiempo.

1 2( ) ( )E X E X= . De lo anterior. Si X es la variable aleatoria que representa los rendimientos diarios de un activo. El rendimiento esperado y la varianza sobre un horizonte de dos das son

1 2 1 2( ) ( ) ( ) 2 ( )E X X E X E X E X+ = + =

1 2 1 2( ) ( ) ( ) 2 ( )V X X V X V X V X+ = + = El rendimiento esperado y la varianza sobre un horizonte de 30 das es

30

1( ) 30 ( )t

tE X E X

=

=

30

1( ) 30 ( )t

tV X V X

=

= En general se puede establecer que el rendimiento promedio durante un periodo de tiempo T, se puede expresar en trminos del rendimiento promedio de un da X ( ) ( )TE R E X T=

( ) ( )TV R V X T=

2.5.6.- Coeficiente de correlacin El coeficiente de correlacin, es una medida que nos indica el grado de independencia lineal entre dos variables y se define como

( ) ( )1 21 21 2

,Cov X X

X X

=


50

El coeficiente de correlacin satisface ( )1 21 , 1X X

2.6.- Distribuciones importantes

2.6.1.- Uniforme

1( ) ,( )

f x a x bb a

=

( )2

a bE x += 2( )( )

12b aV x =

2.6.2.- Binomial

( ) (1 ) , 0,1,......,x n xn

f x p p x nx

= =

[ ]E X pn= [ ] (1 )V X p p n=

2.6.3.- Normal

222

1 1( ) exp ( )22

f x x

= ( )E x = 2( )V x =

2.6.4.- Lognormal

222

1 1( ) exp (ln( ) ) , 022

f x x xx

= >

[ ] 21exp2

E X = + [ ] 2 2exp 2 2 exp 2V X = + +

[ ] ( )lnE Y E X = = [ ] ( ) 2lnV Y V X = =

2.6.5.- t_student

[ ]2 ( 1) / 2

( 1) / 2 1 1( )( / 2) (1 / ) kk

f xk x kk +

+=

+

Para k>0 ( ) 0E x = ( )2

kV xk

=


51

2.6.6.- Chi Cuadrada

2

1

k

jj

X Z=

= [ ]E X k= [ ] 2V X k=

2.6.7.- Distribucin F

2

2( ) /( , )( ) /a aF a bb b

=

2.6.8.- Distribucin exponencial

( ) exp( ) 0f x x x = < 1( )E x

= 21( )V x

=

2.6.9.- Distribucin de Poisson

( ) 0,1, 2,...!

x xef x xx

= = ( )E x = ( )V x =

2.6.10.-Distribucin Beta

1 1( )( ) (1 )( ) ( )

a ba bf x x xa b

+=

[ ] aXa b

=+

[ ]( ) ( )2 1

abV Xa b a b

=+ + +

3.- Elementos de estadstica La estadstica es un conjunto de mtodos que nos permiten realizar estimacin de los parmetros relevantes de las distribuciones de probabilidad haciendo uso de la informacin histrica.

3.2.- Estimacin Parmetrica Si suponemos que la informacin histrica es obtenida de variables independientes e idnticamente distribuidas se tiene que


52

3.2.1.- Media Aritmtica: El medio para obtener una estimacin del valor esperado a partir de la informacin histrica con la que se cuenta es empleando

1

n

ii

xx

n==

3.2.2.- Media Geomtrica: Si X es la variable aleatoria que representa el rendimiento de un activo, entonces una medida que se considera adecuada para medir el desempeo en el largo plazo se emplea la media geomtrica.

1

1(1 )

n n

g ii

x x=

= +

3.2.3.- Mediana: Para el clculo de la mediana es necesario ordenar la informacin que se analiza, 1: 2: 3: 1: :n n n n n n nx x x x x , lo cual se conoce como estadstica ordenada

( 1/ 2):

( / 2): ( 2 / 2):

2

n n

mediana n n n n

x n imparx x x

n par

+

+

= +

3.2.4.- Moda: La moda se define como la observacin que se presenta con mayor frecuencia en el conjunto de informacin que se analiza

3.2.5.- Cuantiles En una estadstica ordenada, un cuantil se define como el valor que al menos un determinado porcentaje de las observaciones son menores que est. El porcentaje es el que define al cuantil. Esto es, cuantil 10%, es el valor que deja


53

al menos un 10% de los observaciones menores que ste; el cuantil 29%, es el valor que deja un 29% de las observaciones menores a ste. Cuando los porcentajes son 25%, 50% y 75% se denominan primer cuartel, segundo cuartel y tercer cuartel respectivamente. Cuando los porcentaje son 10%, 20%, , 90% se denominan primer, segundo, tercer decil. Cuando los porcentajes son cualquier otro valor se conocen como percentiles. Entonces el trmino cuantil es un trmino genrico.

3.2.6.- Medidas de Variabilidad Las medidas de variabilidad intentan cuantificar el grado de dispersin que presentan. Por lo que tambin se les conoce como medidas de dispersin. Rango: El rango se define como la diferencia entre la observacin ms grande y ms pequea Rango interdecil: El rango interdecil se define como la diferencia entre el noveno decil y el premier decil. Rango intercuantil: El rango intercuantil se define como la diferencia entre el tercer cuartel y el primer cuartel.

3.2.7.- Varianza:

( )

( )

2

1

2

2

1

1

n

ii

n

ii

x xMuestra

nsx x

Poblacinn

=

=

=

3.2.8.- Desviacin Estndar


54

( )

( )

2

1

2

1

1

n

ii

n

ii

x xmuestra

ns

x xPoblacin

n

=

=

=

3.2.9.- Covarianza

( )( )1

1( , )n

i ii

Cov X Y x x y yn =

=

3.2.10.- Coeficiente de variacin

sCVx

=

El coeficiente de variacin es til cuando se compara la variabilidad de dos o ms conjunto de datos que difieren de manera considerable en la magnitud de las observaciones

3.2.11.- Coeficiente de asimetra:

31x

x xCoef de AsimetriaN s

=

3.2.12.- Curtosis:

41x

x xCurtosisN s

=

3.2.13.- Coeficiente de correlacin


55

( )

( ) ( )

11

22 2

1 1

( , )( ) ( )

n

ii

n n

i ii i

y x xCov X Y

DS X DS Yx x y y

=

= =

= =

Ejemplo: Considere los precios diarios durante el periodo de 01/01/2001 al 31/12/2007 de la accin de American Movil S.C. de C.V serie L, que cotiza en la bolsa mexicana de valores. Las estadsticas de los rendimientos son

Medida Valor Media 0.00107645 Error tpico 0.00060468 Mediana 0 Moda 0 Desviacin estndar 0.02575391 Varianza de la muestra 0.00066326 Curtosis 158.169478 Coeficiente de asimetra -7.7102917 Rango 0.68984157 Mnimo -0.56551724 Mximo 0.12432432 Suma 1.95268664 Cuenta 1814

Distribucin de Frecuencias

0100200300400500600700800900

0 5 10 15Clase

Frec

uenc

ia

0.00%

20.00%

40.00%

60.00%

80.00%

100.00%

120.00%

% acumuladoFrecuencia

Clase Frecuencia % acumulado

-0.0864606 3 0.17%


56

-0.06729833 2 0.28% -0.04813607 21 1.43%

-0.0289738 77 5.68% -0.00981154 333 24.04% 0.00935073 825 69.51%

0.028513 419 92.61% 0.04767526 102 98.24% 0.06683753 24 99.56% 0.08599979 5 99.83% 0.10516206 2 99.94% 0.12432432 1 100.00%

y mayor... 0 100.00% Ejemplo Considere la siguiente informacin de los precios de las acciones de Telmex serie L y de American Movil serie L, as como del ndice de Precios y Cotizaciones Fecha IPyC TELMEXL AMXL Movil R_IPyC R_TELMEXL R_AM

31/01/2007 27561.49 16.52 24.46 28/02/2007 26638.95 15.85 24.44 -0.03347207 -0.0405569 -0.00081766 30/03/2007 28747.69 18.25 26.44 0.07916003 0.15141956 0.08183306 30/04/2007 28996.71 18.53 28.78 0.00866226 0.01534247 0.08850227 31/05/2007 31398.96 21.45 32.47 0.08284561 0.1575823 0.12821404 29/06/2007 31151.05 20.38 33.44 -0.00789548 -0.04988345 0.02987373 31/07/2007 30659.66 18.74 32.71 -0.01577443 -0.08047105 -0.02183014 31/08/2007 30347.86 19.45 33.37 -0.01016971 0.03788687 0.02017732 28/09/2007 30296.19 17.99 34.89 -0.00170259 -0.07506427 0.0455499 31/10/2007 31458.67 19.34 33.87 0.0383705 0.07504169 -0.02923474 30/11/2007 29770.52 20.29 33.55 -0.05366247 0.04912099 -0.00944789 31/12/2007 29536.83 20.18 33.48 -0.00784971 -0.00542139 -0.00208644

La matriz de Varianzas y Covarianzas de los rendimientos est dada por

R_IPyC R_TELMEXL R_AMXL R_IPyC 0.00169053 R_TELMEXL 0.0024133 0.00624796 R_AMXL 0.00134188 0.00198964 0.00234763 De donde

( _ , _ ) 0.0024133( _ , _ ) 0.00134188( _ , _ ) 0.00198964

Cov R IPyC R TELMEXLCov R IPyC R AMXLCov R TELMEXL R AMXL

=

=

=

y


57

( _ ) 0.00169053( _ ) 0.00624796( _ ) 0.00234763

V R IPyCV R TELMEXLV R AMXL

=

=

=

( _ ) 0.04111603( _ ) 0.07904402( _ ) 0.04845237

DS R IPyCDS R TELMEXLDS R AMXL

=

=

=

Los coeficientes de correlacin entre los rendimientos son

0.0024133( _ , _ ) 0.742558(0.04111603)(0.07904402)

0.00134188( _ , _ ) 0.67357578(0.04111603)(0.04845237)

0.00198964( _ , _ ) 0.5195048(0.07904402)(0.04845237)

R IPyC R TELMEXL

R IPyC R AMXL

R TELMEXL R AMXL

= =

= =

= =


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Bibliografa - Philippe Jorion. Valor en Riesgo: El nuevo paradigma para el control de riesgos con derivados. Limusa - John C. Hull. Options, Futures and Other Derivatives. Pearson Prentice Hall - Frank K. Reilly and Edgar A. Norton. Investments. Thomson South-Western - Stephen A.Ross, Randolph W. Westerfield and Jeffrey F. Jaffe. Finanzas Corporativas. McGrawHill - Michel Crouhy, Dan Galai and Robert Mark. Risk Management. McGrawHill

BANCA, CREDITO Y GESTION DEL RIESGO1.- Tasas de inters1.1.- Inters1.2.-Inters simple y compuesto1.2.1-Inters simple1.2.2.-Periodo de capitalizacin1.2.3.-Inters compuesto1.2.4.-Tasa de inters con capitalizacin continua

1.3.-Tasa equivalente1.3.1.- tasas equivalentes1.3.2.- La tasa con periodo de capitalizacin n equivalentes a una tasa continua est dada por1.3.3.- La tasa continua equivalente a una tasa con periodo de capitalizacin n, est dada por

1.4.- Valor del dinero en el tiempo1.5.- Valor futuro y valor acumulado1.6.- Valor presente y proceso de descuento1.6.-Tasas Reales y Tasa Nominales1.7.-Tasa efectiva1.8.- Perpetuidades1.8.1.- Bonos consol1.8.1.1.- Valuacin de un bono consol

1.8.2.- Perpetuidad creciente1.8.3.- Anualidad1.8.3.1.- Anualidad retardada1.8.3.2.- El valor Futuro de una anualidad retardada est dado por1.8.3.3.- Anualidad anticipada

1.8.4.- Anualidad Creciente1.8.5.-El valor presente de una anualidad creciente est dado por

1.9.- Valuacin de Bonos1.9.1- Bonos cupn cero1.9.1.- Valuacin con tasa de descuento1.9.1.2.-Tasa de descuento

1.9.2.- Valuacin con inters simple1.9.3.- Rendimiento y Tasa de descuento1.9.4.- Bonos con cupn1.9.5.- Estructura de plazos

1.10.- Introduccin a herramientas de evaluacin financiera1.10.1.- Valor Presente Neto1.10.2.- Tasa Interna de retorno1.10.3.- ndice de rentabilidad

1.11.- Rendimiento de un Bono1.12.- Tasas Forward1.12.1.- Calculo de la tasa Forward (Estructura de plazos compuesta continuamente)1.12.2.- Calculo de la tasa Forward (Estructura de plazos linealmente capitalizable)

1.13.- Duracin y Convexidad1.13.1.- Duracin de Macaulay1.13.2.- Duracin Modificada1.13.3.- Convexidad1.13.4.- Duracin y convexidad de un Portafolios

1.14.- Contratos Forward1.14.1.- Precio Forward

1.15.- Valuacin de contratos Forward1.15.1.- Swaps de tipo de cambio

2.- Elementos de probabilidad2.1.- variables aleatorias2.2.- Funciones de probabilidad2.2.1.- discretas2.2.2.- Continuas

2.3.- Funciones de distribucin acumuladas2.4.- Descripcin de las distribuciones2.4.1.- Valor esperado2.4.2.- Varianza y Desviacin Estndar2.4.2.1.- Regla emprica2.4.2.2.- Formula de Black-Scholes:

2.4.3.- Cuantiles2.4.3.1.- Valor en Riesgo

2.4.4.- Asimetra o Sesgo2.4.5.- Curtsis

2.5.- Distribuciones Multivariadas2.5.1.- Densidad conjunta2.5.2.- Densidad marginal2.5.2.- Variables independientes2.5.3.- Densidad Condicional2.5.3.1.- Matriz de transicin o de migracin de crdito

2.5.4.- Medias y varianzas2.5.5.- Agregacin en el tiempo2.5.6.- Coeficiente de correlacin

2.6.- Distribuciones importantes2.6.1.- Uniforme2.6.2.- Binomial2.6.3.- Normal2.6.4.- Lognormal2.6.5.- t_student2.6.6.- Chi Cuadrada2.6.7.- Distribucin F2.6.8.- Distribucin exponencial2.6.9.- Distribucin de Poisson2.6.10.-Distribucin Beta

3.- Elementos de estadstica3.2.- Estimacin Parmetrica3.2.1.- Media Aritmtica:3.2.2.- Media Geomtrica:3.2.3.- Mediana:3.2.4.- Moda:3.2.5.- Cuantiles3.2.6.- Medidas de Variabilidad3.2.7.- Varianza:3.2.8.- Desviacin Estndar3.2.9.- Covarianza3.2.10.- Coeficiente de variacin3.2.11.- Coeficiente de asimetra:3.2.12.- Curtosis:3.2.13.- Coeficiente de correlacin

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