Taller Determinantes e Inversas
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Algebra LinealFacultad de IngenierıaPrimer ParcialNombre: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Codigo: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1. Encontrar k de tal manera que las ma-
trices:
(3 −4−5 1
)y
(7 45 k
)conmuten.
2. Si A =
(2 −6−1 3
)encontrar B2×2 6= 02×2
y B2×2 6= I2×2 talque A y B conmuten.
3. Si A =
(2 −6−1 3
)encontrar B2×2 6= 02×2
talque AB = 02×2
4. Sean p(x) = 2x3 − x2 + 5x − 3 y A =(1 −10 2
)determinar p(A).
5. Considere las matrices: A =(1 23 6
). B =
(3 −82 3
)y C =
(5 21 −2
)Calcule AB y AC compare y analice.
6. Sean A,B ∈ Mn×n y supongamos queexiste P ∈Mn×n no singular talque B =PAP−1 , ademas se sabe que A5 = 2I,entonces: B5 =
7. Sean A,B ∈ Mn×n , si A2 = A, entonces(AB − ABA)2 =
8. En los problemas siguientes determi-nar la matriz X2×2 que satisfaga cadauna de las ecuaciones matriciales plan-teadas
a) Si 2X
(1 −12 1
)=
(4 21 −1
)t
b) (5X)−1 =
(1 21 3
)t
c) (I2 +X)−1 =
(1 01 −1
)t
+
(2 1
21 −3
4
)t
9. Si A y B son matrices cuadradas, de-muestre que (I − BA) es invertible si
(I − AB) es invertible (sugerencia em-piece con la siguiente igualdad B(I −AB) = (I −BA)B
10. Si el producto M = ABC de tres ma-trices cuadradas es invertible, enton-ces A,B y C son invertibles. Encuentreuna formula para B−1 que involucre aM−1, A, y C
11. Calcule la inversa de la matriz A =1 −1 32 1 01 −1 2
12. Calcule el determinante de las siguien-
tes matrices
a)
(1 −12 1
)
b)
1 2 −2 02 3 −4 1−1 2 0 20 2 5 3
c)
1 2 −2 00 3 −4 10 0 π 20 0 0 3
13. Si una matriz 4 × 4 tiene por deter-
minante |A| = 12. encuentre |2A|, | −
A|, |A2|, |A−1|
14. Complete
1 3 02 5 1−3 −9 −1
−1
= 4 3 3· · · −1 −1· · · · · · −1
15. Si
∣∣∣∣∣∣a b cp q rx y z
∣∣∣∣∣∣ = 6 entonces
∣∣∣∣∣∣a+ x b+ y c+ z3x 3y 3z−p −q −r
∣∣∣∣∣∣ =
16. Encontrar x ∈ R que satisfaga:∣∣∣∣x −13 1− x
∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣1 0 −32 x −61 3 x− 5
∣∣∣∣∣∣17. Determinar si la proposicion es ver-
dadera o falsa (JUSTIFICAR) A,B ∈Mn×n
a) det(AAt) = det(A2)
b) Si A es antisimetrica, entoncesdet(A) = 0
c) Si A es ortogonal, entonces det(A) =±1
d) Si det(A) = 0 ,entonces A = 0
e) det(A+B) = det(A) + det(B)
f ) Si Ak = On×n para algun k enteropositivo, entonces A es singular.
g) Si det(A) = −2,entonces el sistemaAX = 0 tiene solamente la soluciontrivial.
h) Si A es idempotente, entoncesdet(A) = 0
i) Si B = PAP−1 y P es no singular,entonces det(A) = det(B)
j ) Si A y B son matrices no singula-res, entonces A+B es no singular.
k) det(AB) = det(BA)
l) M y N son matrices 3× 3 tales quedet(2M−1N) = 12 y det(N) = 3, en-tonces det(M) = 1
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m)
∣∣∣∣∣∣a b cx y zs t u
∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣y b tx a sz c u
∣∣∣∣∣∣18. Coloque el menor numero de ceros en
una matriz 4 × 4 que garantice quedetA = 0
19. a) Si a11 = a22 = a33 = 0 ¿ Cuantos delos 6 terminos de detA son cero
b) Si a11 = a22 = a33 = a44 = 0 ¿ cuantosde los 24 terminos del detA son cero
c) Suponga que detA = 1 y que se co-nocen todos los cofactores de A,como puede encontrarse A
d) Si se conocen todos los 16 cofac-tores de la matriz A4×4 invertible¿como se puede encontrar A?
e) A partir de la formula
AAdjA = detAI
demuestre que
|AdjA| = (detA)n−1
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