Taller Final

Señales y Sistemas Lineales – Facultad de Minas – Universidad Nacional de Colombia

Taller Final Transformada z y Análisis de Fourier

Señales y Sistemas Lineales – Eliana I. Arango Z.Taller Final Transformada z y Análisis de Fourier

Objetivos: Obtener la transformada Z de funciones en el dominio de n utilizando Matlab. Obtener la transforma Z inversa de funciones en el dominio de Z utilizando Matlab. Analizar los sistemas descritos en el dominio Z Analizar la estabilidad de sistemas en el dominio Z. Aplicar los teoremas del análisis de Fourier a las señales representadas. Identificar las principales cuestiones implicadas en el muestreo.

Orientación para la realización del taller:

A continuación se describe el trabajo que debe realizar. Encontrará algunos cálculos teóricos solicitados que puede hacerlos a mano y escanearlos para facilitar el trabajo. Debe presentar un informe detallado en un archivo en Word que incluya todos los cálculos teóricos, los análisis solicitados, todas las respuestas obtenidas en matlab, todas las conclusiones solicitadas y los pantallazos que usted considere necesarios para darle solución a las preguntas del taller.

Parte 1 - Transformada Z de funciones en el dominio discreto

La transformada Z desempeña el mismo papel para las señales y sistemas en tiempo discreto que el que tiene la transformada de Laplace para señales y sistemas de tiempo continuo. El análisis de un sistema discreto en el dominio de Z permite obtener algunas características de la respuesta del sistema y así mismo inferir sobre su estabilidad.La transformada Z se puede calcular en Matlab haciendo uso de las variables simbólicas y de la función ztrans, para hacer uso de este comando se recomienda que la función a la cual se desea calcular la transformada Z sea función de n.

Ejemplo 1

syms n; % Se define la variable simbólica nf = n^4; % Se define una función f que depende de nztrans(f) % Se calcula la transforma Z

Actividad 1

Consulte la ayuda del comando ztrans. R/ F = ZTRANS (f) es la transformada z de un escalar simbolico f, por defecto con variable indepen-diente n. El retorno predeterminado es una función de z.f = f (n) => F = F (z). El Z-transformada de f se define como:F (z) = symsum (f (n) / z ^ n, n, 0, inf),Donde n es variable simbólica de f según lo determinado por SYMVAR. si f = f (z), entonces ZTRANS (f) devuelve una función de w: F = F (w).

Implemente el Ejemplo 1, en un archivo .m y verifique la respuesta.



R/ captura del .m

Captura de la respuesta

Da como se esperaba

Calcule la transformada Z para las siguientes funciones básicas usando el comando ztrans de Ma-tlab. Realice esta actividad en un archivo .m

a) nu [n ]b) nα nu [n ]c) cos (αn)u [n ]

Compare la respuesta con los datos que se encuentran en la siguiente tabla.

1 nu [n ]z

( z−1 )2|z|>1

2nα nu [n]

zα

( z−α )2|z|>|α|



3cos (nΩ)u [n]

z2−zcos(Ω)z2−2 zcos (Ω)+1

|z|>1

R/ captura del .m

captura de la salida

Transforma Z inversa

Análogamente a la transformada inversa de Laplace, la transformada Z inversa permite obtener la respuesta en el dominio del tiempo discreto de un sistema en el dominio de Z.



La transformada Z inversa se puede calcular en Matlab haciendo uso de las variables simbólicas y del comando iztrans, para el uso de dicho comando se recomienda que la función se encuentre descrita en términos de Z. Veamos el siguiente ejemplo obtenido de la ayuda del Matlab.

Ejemplo 2

syms z % Se define la variable simbólica nf = 2*z/(z-2)^2; % Se define una función f que depende de ziztrans(f) % Se calcula la transformada inversa de la función f

Actividad 2

Consulte la ayuda del comando iztrans.R/f = IZTRANS (F) es la transformada Z inversa de un escalar simbolico F con variable independiente z por defecto. El retorno predeterminado es una función de n:F = F (z) => f = f (n). Si F = F (n), a continuación, IZTRANS devuelve una función de k: f = f (k). f = IZTRANS (f, k) hace que la función F de k en lugar de la n por defecto. Aquí m es un escalar simbólico. f = IZTRANS (F, W, k) realiza F a ser una función de w en lugar de la symvar predeterminado (F) y devuelve una función de k: F = F (w) y f = f (k).

Implemente el Ejemplo 2 en un archivo .m y analice el resultado.R/ Captura del .m

Captura de la salida

Calcule la transformada Z inversa de las siguientes funciones haciendo uso del comando iztrans de Matlab. Esta actividad se debe entregar en un archivo .m.



a. X [ z ]= 2Z3+Z(Z−2 )2 (Z−1 )

b. H [z ]= 2ZZ−0.8

c.F [ z ]= 2 Z(Z+1)

(Z−13 )(Z2+ 1

4 ) ( z2+4 Z+5 )

R/Captura del .m

Captura de la salida

((24*Z^2 + 24*Z)*(((- 4*Z - 5)^(1/2))^(n - 1)/(2*(- 4*Z - 5)^(1/2)) + kroneckerDelta(n, 0)/(4*Z + 5) - (-(- 4*Z - 5)^(1/2))^(n - 1)/(2*(- 4*Z - 5)^(1/2))))/((3*Z - 1)*(4*Z^2 + 1))

Funciones de Transferencia

El poder real de la transformada de Laplace se halla en el análisis del comportamiento dinámico de sistemas en tiempo continuo. De una manera análoga, el de la transformada Z está en el análisis del comportamiento dinámico de sistemas en tiempo discreto



La respuesta y [n ] de un sistema con una respuesta al impulso h [n ], ante una entrada arbitraría x [n], está

dada por la convolución y [n ]=x [n]∗h[n]. Dado que la operación de convolución se convierte en un

producto con la transformada Z. Se tiene:

H ( z )=Y ( z )X (z )

Los sistemas en tiempo discreto se pueden describir de una manera muy conveniente mediante diagramas de bloques, y es posible escribir las funciones de transferencia de manera directa a partir del diagrama de bloques.

Ejemplo 3.

Considere el siguiente diagrama de bloques, a partir del diagrama obtenga:

La ecuación en diferencias que representa el sistema. La función de transferencia del sistema. Represente la función de transferencia en Matlab. Realice en Simulink la representación del diagrama de bloques y de la función de transferencia;

aplique un escalón discreto con un Ts=0.01s.

Solución

La ecuación en diferencias que describe el sistema que está representando en el diagrama de bloques es:

y [n ]=2 x [n ]−x [n−1 ]−12y [n−1 ]

Y es equivalente a:

Y (z )=2 X (z )−z−1 X (z )−12z−1Y (z )

La función de transferencia corresponde a:

H ( z )=Y ( z )X (z )

=2 z−1

2+12

La función de transferencia de un sistema en tiempo discreto se representa de manera similar a las correspondientes en sistemas en tiempo continuo, la única diferencia es que se debe especificar el tiempo de muestreo (o el tiempo entre cada muestra) del sistema.

fs=100; % Se define la frecuencia de muestreo del sistemaTs=1/fs; % Se define el tiempo de muestreo del sistemaH=tf([2 -1],[2 1/2], Ts) % Se define los componentes de la función de transferencia



La implementación en Simulink del diagrama de bloques y de la función de transferencias se obser-va en la siguiente figura.

Actividad 3

Considere el anterior diagrama de bloques, a partir del diagrama obtenga:

La ecuación en diferencias que representa el sistema.R/

y [n ]=x [n ]+2 x [n−1 ]+3 x [n−2 ]−0.75 y [n−1 ]+0 .3 y [n−2 ]

Y ( z )=X ( z )+2 z−1 X ( z )+3 z−2X ( z )−0.75 z−1Y (z )+0.3 z−2Y (z) La función de transferencia del sistema.

R/

H ( z )=Y( z )X (z )

= z2+2 z+3z2+0.75 z−0.3

Represente la función de transferencia en Matlab. (considere un tiempo de muestreo igual 0.01s)R/ Captura .m



Captura salida

Realice en Simulink la representación del diagrama de bloques y de la función de transferencia; aplique un escalón discreto con un Ts=0.01s. Compare las respuestas.R/ Captura Simulink



Las dos graficas son correspondientes a los scopes 0 y 1, son iguales (solo diferente zoom).

Ejemplo 4

Sea y [n ]=0.6 y [n−1 ]+4 x [n ], se pide:

Hallar la función de transferencia Hallar los polos y los ceros de la función de transferencia, y determinar la estabilidad del sistema. Realizar un análisis gráfico de estabilidad. Obtener el diagrama de bode de la respuesta del sistema, use el comando dbode, el tiempo de

muestro es de 0.01ms Hallar la respuesta del sistema ante una entrada tipo escalón unitario. Utilizando el comando step.

Solución

La función de transferencia del sistema se halla de la siguiente manera:

Y ( z )=0.6 z−1Y ( z )+4 X (z )

Y ( z )X ( z )

= 4 zz−0.6

→Función de transferencia

Los polos y los ceros de un sistema discreto se hallan de manera análoga para un sistema en tiempo continuo, esta operación se puede realizar en Matlab mediante el siguiente comando:

[ceros,polos,ganancia]=tf2zpk([4 0],[1 -0.6])

De acuerdo a la respuesta este sistema no tiene ceros, tiene una ganancia de 4 y tiene un polo en z=0.6.



Como presenta un único polo en z=0.6<1 entonces se puede decir que el sistema es estable, esto se corrobora usando el comando isstable.

F=tf([4 0],[1 -0.6], 0.01)isstable(F)

Usando el comando rlocus se puede observar gráficamente la posición de los polos y ceros dentro del circulo unitario, por lo que se podría determinar la estabilidad de un sistema de una manera sencilla

F=tf([4 0],[1 -0.6], 0.01)rlocus(F)

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1Root Locus

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

En la gráfica anterior se observa la posición del único polo dentro del circulo unitario, por lo que se confirma la estabilidad del sistema.

El diagrama de bode se obtienen utilizando la función dbode.

6

8

10

12

14

16

18

20

Ma

gn

itud

(d

B)

10-1

100

101

102

-40-35

-30-25

-20-15

-10-5

05

Fa

se (

de

g)

Diagrama de Bode

Frequencia (Hz)



La respuesta del sistema al escalón unitario se realizó de la siguiente manera:

F=tf([4 0],[1 -0.6], 0.01)step(F)

Respuesta al escalon

Tiempo (sec)

Am

plit

ud

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.254

5

6

7

8

9

10

Actividad 4

Sea F (z)=

2Z (Z+1)

(Z−13 )(Z2+ 1

4 ) ( z2+4 Z+5 ) , se pide

Hallar los polos y los ceros de la función de transferencia, y determinar la estabilidad del sistema.R/

Polos: z=13, z=± i 1

2, z=−2± i

Ceros: z=0 , z=1Para que el sistema sea estable, debe ser bilateral ya que la magnitud de polo menor es menor que 1 y la magnitud de polo mayor es mayor de que 1, por lo tanto para que sea estable debe ser bilateral, de lo contrario será inestable.

Realizar un análisis gráfico de estabilidad. Consulte la ayuda del comando rlocus.R/Rlocus (SYS) calcula y dibuja el lugar de las raíces de la única entrada y una salida-SYS modelo LTI. El diagrama del lugar de la raíz se utiliza para analizar el ciclo de retroalimentación negativa.



Obtener el diagrama de bode de la respuesta del sistema, use el comando dbode, el tiempo de muestro es de 0.01ms. Cómo se interpreta el diagrama de bode. Qué información se puede extraer a partir del diagrama de bodeR/



Un acercamiento:



Hallar la respuesta del sistema ante una entrada tipo escalón unitario. Utilizando el comando step. Halle los valores del tiempo de establecimiento y el tiempo de levantamientos, y determine si estos valores se ven afectador por el tiempo de muestreo. Realice una explicación coherente de todas sus conclusiones.

R/



Actividad 5

Evalúe la estabilidad de los siguientes sistemas de manera analítica, posteriormente evalúe la estabilidad con el comando isstable de Matlab. Finalmente compare los resultados.

Nota: Antes de realizar esta actividad consulte la ayuda del comando isstable

a) H ( z )= zz−2

Para que sea estable tiene unilateral izquierda para que contenga el círculo unitario, ya que su polo es mayor que 1

b)H ( z )= z

z2−78



Para que sea estable tiene que ser unilateral derecha, puesto que las raíces son repetidas menores que 1

c)H ( z )= z

z2−32z+

98

Para que sea estable tiene unilateral izquierda para que contenga el círculo unitario, ya que sus polos son conjugados y de igual magnitud (1.0667) es mayor que 1

d) H ( z )= z2−1z3−2 z2+3.75 z−0.5625

Para que se sea estable tiene que ser unilateral, ya que la magnitud de las raíces conjugadas es 1.85756 mayor que uno, y además la raíz real es menor que 1.

R/

ISSTABLE (SYS) devuelve TRUE si la dinámica del sistema SYS tiene una dinámica estable y False en caso contrario. Para las matrices de los sistemas dinámicos, ISSTABLE devuelve una matriz lógica donde la entrada k-ésima indica la estabilidad del modelo k-ésimo.

ISSTABLE sólo es compatible con los modelos de análisis con un número finito de polos.



Parte 2 - Análisis de Fourier

Esta parte se subdivide en una parte teórica que consistirá en responder una serie de preguntas, luego tiene una parte práctica para la cual deberá utilizar unos “applet” que se le especifican al final.

1. Identifique la señal a la que pertenece cada uno de los espectros dados a continuación:

(a) (b) (c)

a) Es el espectro de frecuencia de un tren de impulso con periodo de muestreo igual a ts y A = 2/ts

b) Es el espectro de frecuencia de un pulso rectangular con ancho igual a T

2. Calcule la densidad espectral de potencia de una señal senoidal x(t) = Asen(2 fo t)3. Haga una figura en la que se explique claramente el proceso de muestreo ideal de una señal cualquiera en el dominio

del tiempo. (La figura debe incluir la señal analógica, la función de muestreo y la señal muestreada)

Primero escogemos un periodo de muestreo para la señal igual a ts, Luego el espectro del tren de impulso será otro tren de impulso con S=1/ts, finalmente escogemos S >2b de modo que cumplimos el teorema de shanon y así a la hora de re-cuperar la información se necesita menos exactitud en el filtro.

4. Se tiene una señal cualquiera con un espectro dado por la siguiente figura, donde B=1000 Hz:

Dibuje el espectro de la señal muestreada idealmente (usando un tren de impulsos) para los siguientes casos:a. Se usa una frecuencia de muestreo S=2000 Hz. ¿Qué caso de muestreo se observa?

Para este caso tenemos la frecuencia de muestreo critica “frecuencia de Nyquist”S=2B

b. Se usa una frecuencia de muestreo S=2500 Hz. ¿Qué caso de muestreo se observa?Vemos que cumple el teorema de muestreo “Shanon ”, ya que S>2B , y se logra un muestreo donde el filtro para recupe-rar la información no tiene que ser ideal.



c. Se usa una frecuencia de muestreo S=1000 Hz. ¿Qué caso de muestreo se observa?Aca con S<2B se pierde información ya que a la hora de intentar recuperar la información no es posible

Para los ejercicios del tema de Series de Fourier vamos a utilizar un applet que se encuentra en la siguiente dirección web:

http://www.jhu.edu/signals/fourier2/index.html

He probado el applet en mi computador y me ha funcionado correctamente. Deben usar el internet explorer e instalar el pluggin de java, de ser necesario, para poder obtener el funcionamiento del applet.

Les adiciono una figura de cómo se ve el applet:

Inicialmente vamos a verificar el fenómeno de Gibbs para cada una de las señales que se pueden calcular en el applet.

Seleccione “Rectangular Pulse” Escriba el número 1 en la casilla “Fourier Series Coefficientes” Click en “Calculate” Click en “Table”, abre una pequeña ventana con los valores numéricos de los coeficientes calculados. Observe la gráfica roja que acaba de aparecer sobre el pulso azul y verifique que es muy poco aproximado al

pulso rectangular azul Ahora haga Click en el símbolo “+” para aumentar el número de coeficientes Debe observar que la gráfica roja se aproxima cada vez más a la gráfica azul al aumentar el número de coefi-

cientes En la parte inferior también puede observar los espectros de magnitud y fase correspondientes.

5. Complete la siguiente TABLA 3

http://www.jhu.edu/signals/fourier2/index.html



Función a aproximar en la sumatoria de armónicos de la Serie de Fourier

Número de Coeficientes de la serie de Fourier que usted considera suficientes para lograr una buena aproximación

Rectangular Pulse 180

Bipolar Pulse 175

Sawtooth 177

Triangle 30

Exponential 170

Noise 175

El espectro de Magnitud de cada aproximación de Fourier que se observa debajo de la Figura principal y la tabla de coeficientes de la Serie que aparece al hacer Click sobre “Table” nos puede orientar acerca de cuántos coeficientes de la serie de Fourier correspondiente serán necesarios para obtener un alto porcentaje de la potencia de la señal, utilizando el Teorema de Parseval.

6. Complete la TABLA 4 utilizando el Teorema de Parseval:Función aproximada por la Serie de Fourier

Número de Coeficientes de Mayor Magnitud en el espectro

Potencia contenida hasta el armónico representado en el coeficiente de la columna anterior

Rectangular Pulse 27 511.808

Bipolar Pulse 15 539.454

Sawtooth 10 811.292

Triangle 10 864.619

Exponential 10 252.031

Noise 35 6194.43

7. Para ejemplificar el teorema del muestreo de Shannon y Nyquist utilizaremos un applet que se encuentra en la siguiente dirección web:

http://www.jhu.edu/signals/sampling/index.html

He probado el applet en mi computador y me ha funcionado correctamente. Deben usar el internet explorer e instalar el pluggin de java, de ser necesario, para poder obtener el funcionamiento del applet.Les adiciono una figura de cómo se ve el applet:

http://www.jhu.edu/signals/sampling/index.html



Inicialmente vamos a seleccionar la señal SINC.

Como podemos observar la gráfica azul es la señal en el dominio del tiempo y la señal roja es el espectro de magnitud de la transformada de Fourier de la señal, es decir está graficada en el dominio de la frecuencia.

Podemos seleccionar entre las señales Pulse, Sen, Sinc. También podemos dibujar una señal usando el cursor.

Podemos introducir la frecuencia de muestreo: “Sampling frecuency” para la señal seleccionada y al hacer click en “Sample”, nos aparece la gráfica del espectro de Fourier de la señal muestreada.

Luego con el objetivo de recuperar la señal muestreada podemos introducir una frecuencia de corte para un filtro pasabajas ideal, (ideal low-pass cutoff frequency), y al hacer click en “filter” nos aparece el espectro de Fourier filtrado (en rojo) y la señal en el dominio del tiempo (en azul), que se debe aproximar bastante a las señal original si hemos utilizado una frecuencia de muestreo adecuada.

Recordemos el Teorema del Muestreo: Una señal limitada en banda a una frecuencia B (es decir que tiene un ancho de banda igual a B= Máxima frecuencia contenida en la señal y que se puede observar en el espectro de magnitud de su transformada de Fourier), puede recuperarse completamente de sus muestras tomadas a una frecuencia de dos veces su ancho de banda, es decir a una frecuencia 2B que se denomina Frecuencia de Nyquist ó frecuencia crítica de muestreo.

8. Vamos a comprobar los resultados para los tres casos del teorema de muestreo para la señal Sinc. Utilizaremos copy-paste para copiar las figuras obtenidas en el applet para cada una de las frecuencias de muestreo utilizadas.

Seleccione la señal Seno Cardenal (click en Sinc) En la gráfica roja puede observar que el ancho de banda de la señal Sinc es aproximadamente B=15 rad/sec.

Este dato nos informa sobre la frecuencia del filtro pasabajas que se utilizará para recuperar la señal y que se mantiene constante aunque se modifique la frecuencia de muestreo. También nos informa sobre la Frecuencia de Nyquist para esta señal.

a. Frecuencia de muestreo crítica F=2B. Copie la gráfica obtenida



En la grafica vemos que cuando S=2B estamos en la denominada frecuencia de muestreo de Nyquist y por lo tanto no habrá perdida de información, lo malo es que en la vida real no tendremos un filtro ideal.

b. Submuestreo F<2B. Copie la gráfica obtenida

Aca con S<2B se pierde información ya que a la hora de intentar recuperar la información no es posible, pode-mos decir que es indeseable por la perdida de la informacion

c. Sobremuestreo F>2B. Copie la gráfica obtenida



Vemos que cumple el teorema de muestreo “Shanon ”, ya que S>2B , y se logra un muestreo donde el filtro para recupe-rar la información no tiene que ser ideal.

9. Ahora observe el caso del pulso rectangular. Click en Pulse En la gráfica roja puede observar que el ancho de banda de esta señal es muy amplio, ya que su espectro se ex-

tiende hasta frecuencias muy altas. Por tanto para poderla recuperar con buena exactitud tendremos que utilizar una frecuencia de muestreo bastante alta.

Comience utilizando una frecuencia de muestreo que considere aproximada y defina para el filtro pasabajas una frecuencia de corte igual a la mitad de la frecuencia de muestreo. Observe las gráficas obtenidas y si es necesa-rio aumente las frecuencias de muestreo y de corte del filtro, hasta obtener que la señal recuperada después del filtro le parece lo suficientemente aproximada al pulso rectangular inicial.

a. Utilice Copy-paste para copiar la figura obtenida en el applet:

b. Qué Frecuencias de muestreo y de corte utilizó?



La frecuencia de muestreo 450, para que S>2B y de corte utilizamos 225 para que pudiera filtrar la mayoría de los armónicos

Con este ejercicio del pulso rectangular se puede entender por qué el ancho de banda de los sistemas digitales debe ser tan amplio, ya que las señales utilizadas en estos sistemas son formas diferentes de pulsos rectangulares.

Taller Final

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