TALLER I CALCULO VECTORIAL

Carlos A. Benavides G.

Escuela de Ingenieros Militares

8 de febrero de 2014

1. Problema I

Toda partıcula cargada, en presencia de un campo magnetico o electrico, experimenta una fuerza. Esta fuerzaviene descrita por la siguiente ecuacion

~F = q ~E + q~v × ~B (1)

Esta ecuacion vectorial (funcion vectorial) recibe el nombre de fuerza de Lorentz. Todas las partıculascargadas, que llegan del sol o de otras galaxias, experimentan esta fuerza cuando entran al campo magneticoterrestre y se mueven como se muetra en la figura.

Cuando solo existe el campo magnetico la ecuacion (1) toma la forma

~F = q~v × ~B. (2)

Supongamos que tenemos un campo magnetico ~B = 0i+0j +B0k (B0 es constante). Una partıcula, cargadapositivamente +q, entra en el campo magnetico con una velocidad ~v = 0i+v0j +0k (v0 es constante) y siguela trayectoria que se muestra en la siguiente figura

La trayectoria que sigue esta partıcula dentro del campo magnetico esta descrita por el vector posicion

~r(t) =qv0B0

mω2[cos(π − ωt)i + sin(π − ωt)j + 0k], (3)

1

donde q es la carga (constante), v0 la rapidez (constante), B0 la magnitud del campo magnetico (constante),m la masa de la partıcula cargada y ω la velocidad angular. Deacuerdo a la informacion suministrada en elproblema, contestar las siguientes preguntas:

a. Para q = 1,6× 10−19C, v0 = 0,3ms , B0 = 5× 10−10Tesla (1Tesla= N

C·m/s ), m = 1,67× 10−27kg (masa

del proton) y ω = qB0m = 0,048s−1. Realizar una grafica que muestre la trayectoria de la curva en el

intervalo t = 0s y t = πω ¿Que unidades tiene el factor qv0B0

mω2 ?

b. Calcular los vectores ~v y ~a ¿Cual es la magnitud de estos vectores?

b. Calcular el vector fuerza de Lorentz. ¿cual es la magnitud de este vector?

c. ¿Son los vectores ~F y ~v paralelos? si no ¿Como son?

d. ¿Son los vectores ~F y ~r perpendiculares? si no ¿Como son?

e. De acuerdo a la segunda ley de Newton (~F = m~a = md~vdt ), una fuerza genera un cambio en el estado

de movimiento de un cuerpo; esto quiere decir que el vector velocidad cambia durante el tiempo. Sinembargo, cuando calculamos la magnitud del vector velocidad en este problema vemos que permanececonstante ¿Por que? ¿Estan erradas las leyes de Newton? de una razon fısica para resolver esta preguntaAyuda: analizar el resultado de la parte c.

2. Problema II

Una masa m descansa sobre una mesa horizontal sin rozamiento y esta unida a unos soportes rıgidos mediantedos resortes identicos de longitud sin deformar l0 y constante k (vease la figura). Ambos resortes se estiranuna longitud l con siderablemente mayor que l0. Los desplazamientos horizontales de m respecto a su posicionde quilibrio se denominaran x (sobre AB) e y (perpendicular a AB).

Usando las leyes de Newton se puede mostrar que el vector posicion ~r(t) de la masa m es

~r(t) = A0 cos

[(2

k

m

) 12

t

]i + A0 cos

[(2k

ml(l − l0)

) 12

t

]j (4)

Hallar:

a. El vector velocidad y su magnitud.

b. El vector aceleracion y su magnitud.

c. Para A0 = 0,02m, m = 0,5kg, l0 = 0,2m, l = 95 l0 y k = 1 N

m realizar la grafica que sigue la masa msobre la mesa.

3. Problema III

En la seccion 13.2 del texto guıa se modela el movimiento de un proyectil con funciones vectoriales. Comoresultado, se obtiene el vector posicion

~r(t) = [v0 cos(α)]ti +(

[v0 sin(α)]t− 12gt2

)j, (5)

2

Donde v0 es la velocidad con la que se lanza el proyectil, α el angulo que hace v0 con el eje x y g = 9,8ms2 la

aceleracion de gravedad. (Ver figura)

De acuerdo con esta informacion hallar:

a. El vector velocidad y su magnitud.

b. El vector aceleracion y su magnitud.

c. Para v0 = 500ms , y α = 60◦. Mostar que la trayectoria del proyectil es una parabola usando una grafica

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