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Universidad de CartagenaFacultad de Ciencias Exactas
Ecuaciones DiferencialesEcuaciones Diferenciales Exactas
Daniela Perez NovoaEiver Rodrıguez Perez
Jon Valiente IglesiasAlberto Rodrıguez Castilla
28 de agosto de 2015
Ecuaciones Diferenciales 5 Sem. 2015
Solucion a los ejercicios:
1. Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales:
a.) (x + y)(x − y) dx + x(x − 2y) dy = 0
Reescribamos la ecuacion como:
(x2 − y2) dx + (x2 − 2xy) dy = 0
Tomemos;M(x, y) = (x2 − y2)
N(x, y) = x2 − 2xy
Ası, la ecuacion diferencial toma la forma:
M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0
Luego; para que esta ecuacion diferencial sea exacta debe suceder que:
∂M
∂y=
∂N
∂x
Dado que;∂M
∂y= −2y 6= ∂N
∂x= 2x− 2y
La ecuacion diferencial no es exacta.
Veamos si es homogenea:
(x2 − y2) dx + (x2 − 2xy) dy = 0 ⇒ dy
dx= − x2 − y2
x2 − 2xy
⇒ y′ = − x2 − y2
x2 − 2xy
2
Ecuaciones Diferenciales 5 Sem. 2015
Sea f(x, y) = y′ =dy
dx= − x2 − y2
x2 − 2xy
Entonces;
f(tx, ty) = − (tx)2 − (yt)2
(tx)2 − 2(tx)(ty)
= − t2x2 − t2y2
t2x2 − 2t2xy
= − t2(x2 − y2)
t2(x2 − 2xy)
= t0(− x2 − y2
x2 − 2xy
)= t0f(x, y)
Asi; f(x, y) es una funcion homogenea de grado n = 0; luego la ecua-cion diferencial es homogenea. Podemos resolverla por este metodo:
dy
dx= − (x2 − y2)
(x2 − 2xy)
Dividamos arriba y abajo por x2 del lado derecho de la ecuacion:
dy
dx=
(yx
)2− 1
1− 2(yx
)Luego; Tomemos el cambio de variable v =
y
xo bien, y = xv.
Entonces;
dy
dx= v + x
dv
dx⇒ v + x
dv
dx=
v2 − 1
1− 2v
3
Ecuaciones Diferenciales 5 Sem. 2015
Ası;
xdv
dx=
v2 − 1
1− 2v− v
=v2 − 1− v + 2v2
1− 2v
=3v2 − v − 1
1− 2v
Luego:1− 2v
3v2 − v − 1dv =
dx
xIntegrando en ambos lados de la ecuacion tenemos que:∫
1− 2v
3v2 − v − 1dv =
∫dx
x
Resolvamos primero: ∫1− 2v
3v2 − v − 1dv
Completemos el cuadrado en el denominador:
3v2 − v − 1 = 3
(v2 − v
3− 1
3
)= 3
(v2 − 1
3v +
(1
6
)2
− 1
3−(
1
6
)2)
= 3
((v − 1
6
)2
− 13
36
)
De tal forma que nuestra integral queda ası:
∫(1− 2v)
3v2 − v − 1dv =
∫1− 2v
3
((v − 1
6
)2 − (√1336
)2) dv
4
Ecuaciones Diferenciales 5 Sem. 2015
∫(1− 2v)
3v2 − v − 1dv =
1
3
∫1− 2v(
v − 16
)2 − (√1336
)2 dv
=1
3
∫ dv(v − 1
6
)2 − (√1336
)2 − ∫ 2v dv(v − 1
6
)2 − (√1336
)2
Resolvamos primero:∫dv(
v − 16
)2 − (√1336
)2 = −∫
dv(√1336
)2−(v − 1
6
)2
Tomemos x = v − 1
6⇒ dx = dv y a =
√13
36, por lo tanto, utilizando
las tablas de integrales:
∫dv(
v − 16
)2 − (√1336
)2 = −∫
1
a2 − x2= − 1
2aln
∣∣∣∣x + a
x− a
∣∣∣∣+ c
= −3√
13
13ln
∣∣∣∣∣∣∣∣v +−1 +
√13
6
v − 1 +√
13
6
∣∣∣∣∣∣∣∣+ c
Resolvamos ahora
∫2v dv(
v − 16
)2 − (√1336
)2Tomemos u = v − 1
6, entonces du = dv y v = u +
1
6
Ası nuestra integral toma la forma:
5
Ecuaciones Diferenciales 5 Sem. 2015
∫2v dv(
v − 16
)2 − (√1336
)2 = 2
∫u + 1
6
u2 − 1336
du
= 2
∫ u
u2 − 1336
du +1
6
∫du
u2 −(√
1336
)2
Tomemos otro cambio de variable:
w = u2 − 13
36⇒ dw
2= u du y a =
√13
36, por tanto
∫2v dv(
v − 16
)2 − (√1336
)2 = 2
1
2
∫dw
w− 1
6
∫du(√
1336
)2− u2
= 2
1
2ln |w| − 1
6
1
2
√13
36
ln
∣∣∣∣u + a
u− a
∣∣∣∣+ c
= ln |u2 − 13
36| − 1
3
3√
13
13ln
∣∣∣∣∣∣∣v − 1
6 +√
1336
v − 16 −
√1336
∣∣∣∣∣∣∣+ c
= ln
∣∣∣∣(v − 1
6)2 +
13
36
∣∣∣∣− √13
13ln
∣∣∣∣∣v + −1+√13
6
v − 1+√13
6
∣∣∣∣∣+ c
Finalmente podemos concluir que:
6
Ecuaciones Diferenciales 5 Sem. 2015
∫(1− 2v)
3v2 − v − 1dv =
1
3
∫ dv(v − 1
6
)2 − (√1336
)2 − ∫ 2v dv(v − 1
6
)2 − (√1336
)2
=1
3
−3√
13
13ln
∣∣∣∣∣∣∣∣v +−1 +
√13
6
v − 1 +√
13
6
∣∣∣∣∣∣∣∣− ln∣∣(v − 1
6)2 − 1336
∣∣+
√13
13ln
∣∣∣∣∣∣∣∣v +−1 +
√13
6
v − 1 +√
13
6
∣∣∣∣∣∣∣∣
+ k
=1
3
−2√
13
13ln
∣∣∣∣∣∣∣∣v +−1 +
√13
6
v − 1 +√
13
6
∣∣∣∣∣∣∣∣− ln
∣∣∣∣(v − 1
6)2 − 13
36
∣∣∣∣+ k
Por tanto la solucion a la ecuacion diferencial es:
−2√
13
39ln
∣∣∣∣∣∣∣∣v +−1 +
√13
6
v − 1 +√
13
6
∣∣∣∣∣∣∣∣−1
3ln
∣∣∣∣(v − 1
6)2 − 13
36
∣∣∣∣ = lnx + C
−2√
13
39ln
∣∣∣∣∣∣∣∣y
x+−1 +
√13
6y
x− 1 +
√13
6
∣∣∣∣∣∣∣∣−1
3ln
∣∣∣∣∣(y
x− 1
6
)2
− 13
36
∣∣∣∣∣ = lnx + C
.
7
Ecuaciones Diferenciales 5 Sem. 2015
b.)(x3 + y3
)dx + 3xy2 dy = 0
Veamos si la ecuacion diferencial es exacta.
Tomemos;M(x, y) =
(x3 + y3
)N(x, y) = 3xy2
Ası, la ecuacion diferencial toma la forma:
M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0
Luego; para que esta ecuacion diferencial sea exacta debe suceder que:
∂M
∂y=
∂N
∂x
En efecto;∂M
∂y= 3y2 =
∂N
∂x
Ahora busquemos una funcion g(x, y) tal que:
∂g
∂x= M(x, y) y
∂g
∂y= N(x, y)
La condicion∂g
∂x= M(x, y) implica que:
∂g
∂x= M(x, y) ⇒ ∂g = M(x, y) ∂x
⇒ g(x, y) =
∫M(x, y) dx =
∫ (x3 + y3
)dx
⇒ g(x, y) =x4
4+ xy3 + f(y)
La condicion∂g
∂y= N(x, y) implica que:
8
Ecuaciones Diferenciales 5 Sem. 2015
∂g
∂y= N(x, y) ⇒ ∂
∂y
(x4
4+ xy3 + f(y)
)= 3xy2
⇒ 3xy2 +∂f
∂y= 3xy2
⇒ ∂f
∂y= 0
⇒ f(y) = 0 = c
⇒ x4
4+ xy3 + c = q
Luego; la solucion general de la ecuacion diferencial(x3 + y3
)dx + 3xy2 dy = 0 es:
x4
4+ xy3 = t
donde t = q − c.
c.)(3x2y + ey
)dx +
(x3 + xey − 2y
)dy = 0
Tomemos;M(x, y) = 3x2y + ey
N(x, y) = x3 + xey − 2y
Ası, la ecuacion diferencial toma la forma:
M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0
Luego; para que esta ecuacion diferencial sea exacta debe suceder que:
∂M
∂y=
∂N
∂x
En efecto;∂M
∂y= 3x2 + ey =
∂N
∂x
9
Ecuaciones Diferenciales 5 Sem. 2015
Ahora busquemos una funcion h(x, y) tal que:
∂h
∂x= M(x, y) y
∂h
∂y= N(x, y)
La condicion∂h
∂x= M(x, y) implica que:
dh
dx= M(x, y) ⇒ dh = M(x, y) dx
⇒ h(x, y) =
∫M(x, y) dx =
∫ (3x2y + ey
)dx
⇒ h(x, y) = x3y + xey + f(y)
La condicion∂h
∂y= N(x, y) implica que:
dh
dy= N(x, y) ⇒ ∂
∂y
(x3y + xey + f(y)
)= x3 + xey − 2y
⇒ x3 + xey +∂f
∂y= x3 + xey − 2y
⇒ ∂f
∂y= −2y
⇒ ∂f = −2y ∂y
⇒ f(y) =
∫(−2y) dy = −y2 + c1
Luego; la solucion general de la ecuacion diferencial(3x2y + ey
)dx +
(x3 + xey − 2y
)dy = 0
es f(x, y) = c2. Es decir; y2 = k;
y = ±√k
Donde k = −(c2 − c1) = c1 − c2 > 0
10
Ecuaciones Diferenciales 5 Sem. 2015
d.) (y ln y − exy) dx +
(1
y+ x ln y
)dy = 0
Veamos si la ecuacion diferencial es exacta.
Tomemos;M(x, y) = y ln y − exy
N(x, y) =1
y+ x ln y =
1 + xy ln y
y
Ası, la ecuacion diferencial toma la forma:
M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0
Luego; para que esta ecuacion diferencial sea exacta debe suceder que:
∂M
∂y=
∂N
∂x
Como;
My =∂M
∂y= ln y + 1− xexy
Nx =∂N
∂x= ln y
Se tiene que:∂M
∂y6= ∂N
∂x
Ademas;My −Nx
N=
y − xyexy
1 + xy ln y
Nx −My
M=
xexy − 1
y ln y − exy
dependen de x e y. Por lo que dicha ecuacion diferencial no puedevolverse exacta por los medios conocidos hasta ahora.
11
Ecuaciones Diferenciales 5 Sem. 2015
Reescribamos la ecuacion como:
dy
dx=
yexy − y2 ln y
1 + xy ln y
Ası; la ecuacion diferencial no es separable.
Veamos si la ecuacion difrencial
(y ln y − exy) dx +
(1
y+ x ln y
)dy = 0
es homogenea.
Tomando; f(x, y) =dy
dx=
yexy − y2 ln y
1 + xy ln y
Entonces;
f(tx, ty) =tyetx(ty) − (ty)2 ln(ty)
1 + tx(ty) ln(ty)=
tyet2xy − t2y2 ln(ty)
1 + t2xy ln(ty)
Ası; f(x, y) =dy
dxno es una funcion homogenea. Por lo tanto dicha
ecuaion diferencial no es homogenea.
Ası; la ecuacion difrencial
(y ln y − exy) dx +
(1
y+ x ln y
)dy = 0
no es exacta, no es homogenea y no es separable.
Por lo tanto no puede resolverse con los metodos vistos hasta el mo-mento.
12
Ecuaciones Diferenciales 5 Sem. 2015
2. Determine el valor de k de modo que las siguientes ecuacionessean exactas:
a.)(y3 + kxy4 − 2x
)dx +
(3xy2 + 20x2y3
)dy = 0
Tomemos M(x, y) = y3 + kxy4 − 2x y N(x, y) = 3xy2 + 20x2y3.
Ası, la ecuacion diferencial toma la forma:
M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0
Luego; para que esta ecuacion diferencial sea exacta debe suceder que:
dM
dy=
dN
dx
Como:dM
dy= 3y2 + 4kxy3 y
dN
dx= 3y2 + 40xy3
Entonces:3y2 + 4kxy3 = 3y2 + 40xy3
4kxy3 = 40xy3
4k = 40 ; x 6= 0; y 6= 0
k = 10
Asi para que la ecuacion diferencial(y3 + kxy4 − 2x
)dx +
(3xy2 + 20x2y3
)dy = 0
sea exacta debe suceder que k = 10.
13
Ecuaciones Diferenciales 5 Sem. 2015
b.)(2x − y sin(x) + ky4
)dx +
(20xy3 + x sin(xy)
)dy = 0
Tomemos:M(x, y) = 2x− y sin(x) + ky4 y N(x, y) = 20xy3 + x sin(xy).
Ası, la ecuacion diferencial toma la forma:
M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0
Luego; para que esta ecuacion diferencial sea exacta debe suceder que:
∂M
∂y=
∂N
∂x
Como:∂M
∂y= − sinx + 4ky3
dN
dy= −20y3 − [xy cos(xy) + sin(xy)]
= −20y3 − xy cos(xy)− sin(xy)
Entonces:
− sinx + 4ky3 = −20y3 − xy cos(xy)− sin(xy)
4ky3 = −20y3 − xy cos(xy)− sin(xy) + sin x
k =−20y3 − xy cos(xy)− sin(xy) + sin x
4y3; y 6= 0
k =−20y3 − xy cos(xy)− sin(xy) + sin x
4y3
Asi para que la ecuacion diferencial(2x− y sin(x) + ky4
)dx +
(20xy3 + x sin(xy)
)dy = 0
sea exacta debe suceder que k =−20y3 − xy cos(xy)− sin(xy) + sin x
4y3.
14
Ecuaciones Diferenciales 5 Sem. 2015
c.)(6xy3 + cos y
)dx +
(kx2y2 − x sin y
)dy = 0
Tomemos M(x, y) = 6xy3 + cos y y N(x, y) = kx2y2 − x sin y.
Ası, la ecuacion diferencial toma la forma:
M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0
Luego; para que esta ecuacion diferencial sea exacta debe suceder que:
∂M
∂y=
∂N
∂x
Como:∂M
∂y= 18xy2 − sin y y
∂N
∂x= 2kxy2 − sin y
Entonces:18xy2 − sin y = 2kxy2 − sin y
18xy2 = 2kxy2
18 = 2k ; x 6= 0; y 6= 0
k = 9
Asi para que la ecuacion diferencial(6xy3 + cos y
)dx +
(kx2y2 − x sin y
)dy = 0
sea exacta debe suceder que k = 9.
3. Determine una funcion M(x, y) de forma que la ecuacion dife-rencial sea exacta:
M(x, y) dx +
(xexy + 2xy +
1
x
)dy = 0
Sea M(x, y) dx + xexy + 2xy +1
xdy = 0 se debe cumplir que:
15
Ecuaciones Diferenciales 5 Sem. 2015
∂M
∂y=
∂N
∂x=
∂
∂x
(xexy + 2xy +
1
x
)= exy + xyexy + 2y − 1
x2
Integrando respecto a y donde x representa una constante tenemos:
M(x, y) =
∫ (exy + xyexy + 2y − 1
x2
)dy
=
∫exy dy + x
∫yexy dy +
∫2y dy − 1
x2
∫dy
=
∫exy dy + x
∫yexy dy + y − y
x2+ c1
Resolvamos
∫exy dy
Tomando el cambio de variable siguiente:
w = xy ⇒ dw
x= dy∫exy dy =
1
x
∫ew dw =
1
x(ew) + c2 =
exy
x+ c2
Ahora resolvamos
∫yexy dy
Utilizando el metodo de integracion por partes tomando:
u = y ⇒ du = dy; dv = exy dy ⇒ v =1
x(exy), ası;
∫yexy dy =
∫u dv = uv −
∫v du =
y
xexy − 1
x
∫exy dy
=yexy
x− 1
x2(exy) =
1
x
(yey − exy
x
)+ c3
Finalmente podemos concluir que:
16
Ecuaciones Diferenciales 5 Sem. 2015
M(x, y) =exy
x+ x
(1
x
(yey − exy
x
))− 1
x2(y) + g(x)
= yexy + y2 − y
x2+ g(x)
De modo que podemos verificar
∂M
∂y= exy + xyexy + 2y − 1
x2=
∂N
∂x
4. Determine una funcion N(x, y) de manera que la siguiente ecua-cion diferencial sea exacta:(√
y
x+
x
x2 + y
)dx + N(x, y) dy = 0
Sea
(√y
x+
x
x2 + y
)dx + N(x, y) dy = 0, se debe cumplir que:
∂N
∂x=
∂M
∂y=
∂
∂y
(x−
12y
12 +
x
x2 + y
)=
1
2√
x√y− x
(x2 + y)2
Integrando con respecto a x donde y representa una constante.
Esto tomando u = x2 + y ⇒ du
2= xdx tenemos:
N(x, y) =1
2√y
∫x−
12 dx− 1
2
∫du
u2
=1
2√y
(x
12
12
)− 1
2
(u−1
−1
)+ g(y) =
√x√y
+1
2(x2 + y)+ g(y)
=
√x√y
+1
2(x2 + y)+ g(y)
17
Ecuaciones Diferenciales 5 Sem. 2015
De modo que podemos verificar que:
∂M
∂y=
1
2√x√y
+1
2
(−2x
(x2 + y)2
)=
∂N
∂x
∂M
∂y=
1
2√x√y− x
(x2 + y)2=
∂N
∂x
18