Taller N°5 Metodos Iterativos Algebra L Feb Jun2009
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UNIDAD CENTRAL DEL VALLE DEL CAUCA FACULTAD DE INGENIERÍA PROGRAMA: INGENIERIA DE SISTEMAS ASIGNATURA: MATEMÁTICAS APLICADAS Profesor: Efraín Vásquez Millán. TALLER N o 5. Métodos iterativos del álgebra lineal 1. Obtenga kxk ∞ y kxk 2 para los siguientes vectores. a. x = (3, -4, 0, 3 2 ) t b. x = (2, 1, -3, 4) t c. x = (sin k, cos k, 2 k ) t , para un entero positivo k d. x =( 4 k+1 , 2 k 2 ,k 2 e -k ) t para un entero positivo k 2. Encuentre el límite de las siguientes sucesiones si son convergentes. a. x (k) =( 1 k ,e 1-k , -2 k 2 ) t b. x (k) =(e k cos k, k sin 1 k , 3+ k -2 ) t c. x (k) =(ke -k 2 , cos k k , √ k 2 + k - k) t d. x (k) =(e 1 k , k 2 +1 1-k 2 , ( 1 k 2 )(1 + 3 + 5 + 7 + ··· + (2k - 1))) t 3. Obtenga k.k ∞ para las matrices siguientes a. A = • 10 15 0 1 ‚ b. A = 2 -10 0 -1 2 -1 0 -1 2 c. A = 4 -1 7 -1 4 0 -7 0 4 4. Los sistemas lineales siguientes Ax=b tienen a x como solución real y a b x como una solución aproxi- mada. Calcule kx - b xk ∞ y kAb x - bk ∞ a. 1 2 x 1 + 1 3 x 2 = 1 63 1 3 x 1 + 1 4 x 2 = 1 168 x =( 1 7 , - 1 6 ) t b x = (0 · 142, -0 · 166) t 1
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UNIDAD CENTRAL DEL VALLE DEL CAUCAFACULTAD DE INGENIERÍA
PROGRAMA: INGENIERIA DE SISTEMASASIGNATURA: MATEMÁTICAS APLICADAS
Profesor: Efraín Vásquez Millán.
TALLER No5. Métodos iterativos del álgebra lineal
1. Obtenga ‖x‖∞ y ‖x‖2 para los siguientes vectores.
a. x = (3, −4, 0, 32)t
b. x = (2, 1, −3, 4)t
c. x = (sin k, cos k, 2k)t, para un entero positivo k
d. x = ( 4k+1 , 2
k2 , k2e−k)t para un entero positivo k
2. Encuentre el límite de las siguientes sucesiones si son convergentes.
a. x(k) = ( 1k , e1−k, −2
k2 )t
b. x(k) = (ek cos k, k sin 1k , 3 + k−2)t
c. x(k) = (ke−k2, cos k
k ,√
k2 + k − k)t
d. x(k) = (e1k , k2+1
1−k2 , ( 1k2 )(1 + 3 + 5 + 7 + · · ·+ (2k − 1)))t
3. Obtenga ‖.‖∞ para las matrices siguientes
a. A =[10 150 1
]
b. A =
2 −10 0−1 2 −10 −1 2
c. A =
4 −1 7−1 4 0−7 0 4
4. Los sistemas lineales siguientes Ax=b tienen a x como solución real y a x̂ como una solución aproxi-mada. Calcule ‖x− x̂‖∞ y ‖Ax̂− b‖∞
a. 12x1 + 1
3x2 = 163
13x1 + 1
4x2 = 1168
x = (17 ,−1
6)t x̂ = (0·142,−0·166)t
1
b. 0·04x1 + 0·01x2 − 0·01x3 = 0·06
0·2x1 + 0·5x2 − 0·2x3 = 0·3
x1 + 2x2 + 4x3 = 11
x = (1·827586, 0·6551724, 1·965517)t x̂ = (1·8, 0·64, 1·9)t
5. La norma de Frobenius se define para una matriz A de n× n por medio de
‖A‖F =( n∑
i=1
n∑
j=1
|aij |2) 1
2
Obtenga la norma de Frobenius para la matriz
A =
4 −1 7−1 4 0−7 0 4
6. Considere las matrices siguientes:
A =[
2 −1−1 2
]B =
[0 11 1
]C =
[0 1
212 0
]D =
2 1 12 3 21 1 2
E =
−1 2 00 3 40 0 7
a. Calcule el radio espectral de las matrices dadas.b. ¿Cuáles de las matrices dadas son convergentes?.c. Obtenga ‖.‖2 de las matrices dadas.
7. Compruebe que si A es simétrica entonces ‖A‖2 = ρ(A).
8. Dados los siguientes sistemas lineales
3x1 − x2 + x3 = 13x1 + 6x2 + 2x3 = 03x1 + 3x2 + 7x3 = 4
10x1 − x2 = 9−x1 + 10x2 − 2x3 = 7
−2x2 + 10x3 = 6
10x1 + 5x2 = 65x1 + 10x2 − 4x3 = 25
−4x2 + 8x3 − x4 = −11−x3 + 5x4 = −11
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a. Obtenga las tres primeras iteraciones del método de Jacobi usando x(0) = 0.
b. Obtenga las tres primeras iteraciones del método de Gauss-Seidel usando x(0) = 0.
c. Aplique el método de Jacobi para resolver el sistema dado con una tolerancia de 10−3, usandox(0) = 0.
d. Aplique el método de Gauss-Seidel para resolver el sistema dado con una tolerancia de 10−3,usando x(0) = 0.
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