Tarea 2

Daniel Camilo Arias Melo

201316121

[email protected]

Tarea 2. Computacin

Mtodo de Newton.

1.

{31

2 22 = 0

3122 1

3 1 = 0 (0) = [

11]

Para realizar el mtodo de Newton procedemos a crear una matriz F y una matriz J donde

F representa las ecuaciones y J es el jacobiano de dichas ecuaciones, por lo tanto,

= [31

2 22

3122 1

3 1]

= [61 22

322 31

2 612]

El mtodo expresa que debemos resolver la siguiente ecuacin para poder hallar que tan

lejos estamos de la solucin real del sistema,

= 1

Por lo tanto debemos invertir la matriz J para que se cumpla la anterior ecuacin,

1 =1

30122 + 62

3 [612 22

312 32

2 61]

Luego se procede a realizar la multiplicacin para hallar el delta de 1 y de 2 ,

[12

] = 1 =1

30122 + 62

3 [612 22

312 32

2 61] [

312 2

2

3122 1

3 1]

1 = 1

30122 + 62

3[(31

2 22) (612) + (312

2 13 1) (22)]

2 =1

30122 + 62

3[(31

2 322) (31

2 22) + (61) (312

2 13 1)]

Debemos asegurar que sea menor a 106, para lograr esto debemos realizar varias

iteraciones en donde se reemplaza el valor de 1 y 2, por los valores iniciales 1(0)= 1 y

2(0)= 1 respectivamente en la iteracin 0, ya hallado el valor de 1 y 2 se procede a

verificar si el valor de cada uno de los dos es menor a 106, si no es as se procede a la

iteracin 1 en donde 1(1)= 1 + 1

(0) y 2

(1)= 2 + 2

(0) y as hasta cumplir la

desigualdad.

Para hacer el clculo procedemos a utilizar Excel el cual nos permite la realizacin de

varias iteraciones de manera eficiente. El resultado se ve a continuacin,

iteracin 0 1 2 3 4

x_1 1,000000E+00 6,111111E-01 5,036591E-01 4,999641E-01 5,000000E-01

x_2 1,000000E+00 8,333333E-01 8,524944E-01 8,660456E-01 8,660254E-01

F1 2,000000E+00 4,259259E-01 3,427067E-02 -1,426772E-04 3,452458E-09

F2 1,000000E+00 4,492455E-02 -2,966666E-02 -1,257632E-06 -5,089167E-09

dF1/dx_1 6,000000E+00 3,666667E+00 3,021954E+00 2,999785E+00 3,000000E+00

dF1/dx_2 -2,000000E+00 -1,666667E+00 -1,704989E+00 -1,732091E+00 -1,732051E+00

dF2/dx_1 0,000000E+00 9,629630E-01 1,419223E+00 1,500213E+00 1,500000E+00

dF2/dx_2 6,000000E+00 3,055556E+00 2,576199E+00 2,597950E+00 2,598076E+00

1/Det(j) 2,777778E-02 7,807229E-02 9,799199E-02 9,622974E-02 9,622505E-02

delta x_1 -3,888889E-01 -1,074520E-01 -3,694960E-03 3,587894E-05 -1,491983E-11

delta x_2 -1,666667E-01 1,916109E-02 1,355121E-02 -2,023457E-05 1,967435E-09

El ejercicio consto de 4 iteraciones para lograr que sea menor a 106 por lo que el

resultado de este sistema de ecuaciones no lineales es,

x_1 5,000000E-01

x_2 8,660254E-01

2.

{ln(1

2 + 22) sin(12) = ln(2) + ln()

12 + cos(12) = 0 (0) = [

22]

Para este sistema de ecuaciones no lineales procedemos a crear una matriz F y una matriz

J donde F representa las ecuaciones y J es el jacobiano de dichas ecuaciones, por lo tanto,

= [ln(1

2 + 22) sin(12) ln(2) ln()

12 + cos(12)]

= [

1

12 + 2

2 (21) x2cos(12)1

12 + 2

2(22) x1cos(12)

12 x2sin(12) 12 1 sin(12)

]



= 1

Por lo tanto debemos invertir la matriz J para que se cumpla la anterior ecuacin,

1

=1

41 12

12 + 2

2 + 2 cos(12) 12

[ 12 x1sin(12)

1

12 + 2

2(22) + x1cos(12)

12 + x2sin(12)1

12 + 2

2(21) x2cos(12)

]

Luego se procede a realizar la multiplicacin para hallar los valores 1 y de 2 ,

[12

] = 1

1 = 1

41 12

12 + 2

2 + 2 cos(12) 12

[(12 x1sin(12))

(ln(12 + 2

2) sin(12) ln(2) ln())

+ (1

12 + 2

2(22) + x1cos(12)) (

12 + cos(12))]

2 = 1

41 12

12 + 2

2 + 2 cos(12) 12

[(12 + x2sin(12))

(ln(12 + 2

2) sin(12) ln(2) ln())

+ (1

12 + 2

2(21) x2cos(12)) (

12 + cos(12))]


iteraciones en donde se reemplaza el valor de 1 y 2, por los valores iniciales 1(0)= 2 y

2(0)= 2 respectivamente en la iteracin 0, ya hallado el valor de 1 y 2 se procede a

verificar si el valor de cada uno de los dos es menor a 106, si no es as se procede a la

iteracin 1 en donde 1(1)= 1 + 1

(0) y 2

(1)= 2 + 2

(0) y as hasta cumplir la

desigualdad.



Iteracin 0 1 2 3 4 5

x_1 2,000000E+00 1,968683E+00 1,830080E+00 1,775557E+00 1,772465E+00 1,772454E+00

x_2 2,000000E+00 1,478906E+00 1,709024E+00 1,768412E+00 1,772439E+00 1,772454E+00

F1 9,983670E-01 -2,637654E-01 -1,604959E-02 -2,201545E-03 -8,482014E-06 -1,208396E-10

F2 3,463564E-01 6,583080E-01 1,287855E-01 7,172763E-03 2,687522E-05 3,818241E-10

dF1/dx_1 1,807287E+00 2,089350E+00 2,292619E+00 2,333884E+00 2,336633E+00 2,336643E+00

dF1/dx_2 1,807287E+00 2,404653E+00 2,375049E+00 2,338754E+00 2,336651E+00 2,336643E+00

dF2/dx_1 2,513605E+00 1,294655E+00 1,104862E+00 1,004207E+00 1,000015E+00 1,000000E+00

dF2/dx_2 5,136050E-01 -2,080954E+00 -1,154203E+00 -1,010147E+00 -1,000038E+00 -1,000000E+00

1/Det(j) -2,766577E-01 -1,340296E-01 -1,897444E-01 -2,124875E-01 -2,139765E-01 -2,139822E-01

delta x_1 -3,131744E-02 -1,386025E-01 -5,452257E-02 -3,091999E-03 -1,162228E-05 -1,650546E-10

delta x_2 -5,210945E-01 2,301183E-01 5,938786E-02 4,026893E-03 1,525218E-05 2,167696E-10



x_1 1,772454E+00

x_2 1,772454E+00

3.

{

13 + 1

22 13 + 6 = 01 + 2 3 = 0

22 213 = 4

(0) = [121]



= [

13 + 1

22 13 + 61 + 2 322 213 4

]

=

[ 11

12

13

21

22

23

31

32

33]

Donde los elementos de la matriz J son,

11

= 312 + 212 3 ;

12

= 12 ;

13

= 1

21

= 1 ; 22

= 2 ; 13

= 1

31

= 23 ; 32

= 22 ; 33

= 21



= [123

] = 1

Por lo tanto debemos invertir la matriz J para que se cumpla la anterior ecuacin. Para

efectos de este problema se especifica que a cada elemento de la matriz J lo vamos a

especificar como una variable nica de la siguiente forma,

=

[ 11

12

13

21

22

23

31

32

33]

= [

]

Por lo tanto la inversa de la matriz J es,

1 =1

( ) ( ) + ( )[

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )]

Luego se procede a realizar la multiplicacin para hallar los valores 1 , de 2 y de 3,

1 =1

( ) ( ) + ( )[( )1 ( )2 + ( )3]

2 =1

( ) ( ) + ( )[( )1 + ( )2 ( )3]

3 =1

( ) ( ) + ( )[( )1 ( )2 + ( )3]


iteraciones en donde se reemplaza el valor de 1 , 2 y 3, por los valores iniciales

1(0)= 1 , 2

(0)= 2 y 3

(0)= 1 respectivamente en la iteracin 0, ya hallado el valor de

1 , 2 y 3 se procede a verificar si el valor de cada uno de los dos es menor a 106,

si no es as se procede a la iteracin 1 en donde 1(1)= 1 + 1

(0) , 2

(1)= 2 + 2

(0) y

3(1)= 3 + 3

(0) si no se vuelve a cumplir la desigualdad se realiza la siguiente iteracin

hasta cumplir la desigualdad.



Iteracin 0 1 2 3 4

x_1 -1,000000E+00 -1,636738E+00 -1,461001E+00 -1,456063E+00 -1,456043E+00

x_2 -2,000000E+00 -1,475774E+00 -1,679523E+00 -1,664533E+00 -1,664230E+00

x_3 1,000000E+00 3,347072E-01 4,115150E-01 4,224512E-01 4,224934E-01

F1 4,000000E+00 -1,790320E+00 -1,022961E-01 -9,153042E-04 1,436213E-06

F2 -4,967853E-01 8,850827E-02 6,951858E-03 -1,958467E-05 1,387922E-07

F3 2,000000E+00 -7,264347E-01 2,324484E-02 8,998423E-04 -2,197466E-06

dF1/dx_1 6,000000E+00 1,253294E+01 1,089962E+01 1,078523E+01 1,078407E+01

dF1/dx_2 1,000000E+00 2,678912E+00 2,134523E+00 2,120118E+00 2,120061E+00

dF1/dx_3 1,000000E+00 1,636738E+00 1,461001E+00 1,456063E+00 1,456043E+00

dF2/dx_1 3,678794E-01 1,946138E-01 2,320040E-01 2,331525E-01 2,331571E-01

dF2/dx_2 1,353353E-01 2,286017E-01 1,864629E-01 1,892791E-01 1,893364E-01

dF2/dx_3 -1,000000E+00 -1,000000E+00 -1,000000E+00 -1,000000E+00 -1,000000E+00

dF3/dx_1 -2,000000E+00 -6,694144E-01 -8,230301E-01 -8,449023E-01 -8,449868E-01

dF3/dx_2 -4,000000E+00 -2,951548E+00 -3,359046E+00 -3,329065E+00 -3,328460E+00

dF3/dx_3 2,000000E+00 3,273477E+00 2,922001E+00 2,912125E+00 2,912086E+00

1/Det(j) -4,481776E-02 -3,544097E-02 -3,197100E-02 -3,278110E-02 -3,279393E-02

delta x_1 -6,367383E-01 1,757376E-01 4,938137E-03 1,975610E-05 -8,311741E-09

delta x_2 5,242260E-01 -2,037489E-01 1,499021E-02 3,029093E-04 -6,501183E-07

delta x_3 -6,652928E-01 7,680783E-02 1,093612E-02 4,222584E-05 1,468554E-08



x_1 -1,456043E+00

x_2 -1,664230E+00

x_3 4,224934E-01

4.

{

61 2cos(23) 1 = 0

92 +12 + sin(3) + 1.06 + 0.9 = 0

603 + 312 + 10 3 = 0

(0) = [000]



=

[

61 2cos(23) 1

92 +12 + sin(3) + 1.06 + 0.9

603 + 312 + 10 3 ]

=

[ 11

12

13

21

22

23

31

32

33]

Donde los elementos de la matriz J son,

11

= 6 ; 12

= 23sin (23) ; 13

= 22sin (23)

21

=1

12 + sin(3) + 1.06

; 22

= 9 ; 13

=cos (3)

212 + sin(3) + 1.06

31

= 3212 ;

32

= 3112 ;

33

= 60



= [123

] = 1

Por lo tanto debemos invertir la matriz J para que se cumpla la anterior ecuacin. Para

efectos de este problema se especifica que a cada elemento de la matriz J lo vamos a

especificar como una variable nica de la siguiente forma,

=

[ 11

12

13

21

22

23

31

32

33]

= [

]

Por lo tanto la inversa de la matriz J es,

1 =1

( ) ( ) + ( )[

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )]

Luego se procede a realizar la multiplicacin para hallar los valores 1 , de 2 y de 3,

1 =1

( ) ( ) + ( )[( )1 ( )2 + ( )3]

2 =1

( ) ( ) + ( )[( )1 + ( )2 ( )3]

3 =1

( ) ( ) + ( )[( )1 ( )2 + ( )3]


iteraciones en donde se reemplaza el valor de 1 , 2 y 3, por los valores iniciales

1(0)= 0 , 2

(0)= 0 y 3

(0)= 0 respectivamente en la iteracin 0, ya hallado el valor de 1

, 2 y 3 se procede a verificar si el valor de cada uno de los dos es menor a 106, si no

es as se procede a la iteracin 1 en donde 1(1)= 1 + 1

(0) , 2

(1)= 2 + 2

(0) y

3(1)= 3 + 3

(0) si no se vuelve a cumplir la desigualdad se realiza la siguiente iteracin

hasta cumplir la desigualdad.

iteracin 0 1 2 3 4

x_1 0,000000E+00 5,000000E-01 4,981578E-01 4,981447E-01 4,981447E-01

x_2 0,000000E+00 -1,861423E-01 -1,993942E-01 -1,996024E-01 -1,996058E-01

x_3 0,000000E+00 -5,235988E-01 -5,288264E-01 -5,288260E-01 -5,288260E-01

F1 -3,000000E+00 9,491694E-03 5,519136E-05 -3,794381E-07 -6,488980E-09

F2 1,929563E+00 1,247190E-01 1,912484E-03 3,164919E-05 5,243569E-07

F3 3,141593E+01 2,926195E-01 -3,658300E-04 -5,796366E-06 -9,616597E-08

dF1/dx_1 6,000000E+00 6,000000E+00 6,000000E+00 6,000000E+00 6,000000E+00

dF1/dx_2 0,000000E+00 -1,019024E-01 -1,113176E-01 -1,114332E-01 -1,114351E-01

dF1/dx_3 0,000000E+00 -3,622690E-02 -4,197232E-02 -4,205982E-02 -4,206128E-02

dF2/dx_1 0,000000E+00 5,555556E-01 5,556943E-01 5,556841E-01 5,556841E-01

dF2/dx_2 9,000000E+00 9,000000E+00 9,000000E+00 9,000000E+00 9,000000E+00

dF2/dx_3 4,856429E-01 4,811252E-01 4,815606E-01 4,815645E-01 4,815645E-01

dF3/dx_1 0,000000E+00 6,128959E-01 6,606510E-01 6,614077E-01 6,614203E-01

dF3/dx_2 0,000000E+00 -1,646310E+00 -1,650542E+00 -1,650665E+00 -1,650668E+00

dF3/dx_3 6,000000E+01 6,000000E+01 6,000000E+01 6,000000E+01 6,000000E+01

Det(j) 3,086420E-04 3,078484E-04 3,078123E-04 3,078118E-04 3,078118E-04

delta x_1 5,000000E-01 -1,842190E-03 -1,312348E-05 -2,069162E-09 -5,728518E-13

delta x_2 -1,861423E-01 -1,325186E-02 -2,081937E-04 -3,458181E-06 -5,729655E-08

delta x_3 -5,235988E-01 -5,227620E-03 4,177216E-07 -1,122629E-10 -7,693052E-14



x_1 4,981447E-01

x_2 -1,996059E-01

x_3 -5,288260E-01

Tarea 2

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