lgebra lineal 2

Tarea 2. Diagonalizacin

Profesora: Daniela Tern.

Ayudante: Fernando Esteban Contreras Mendoza.

Ejercicios

1. Demuestre que matrices similares tienen el mismo polinomio caracterstico. Deduzca que la

denicin de polinomio caracterstico de un operador lineal sobre un espacio vectorial V dedimensin nita es independiente de la eleccin de base para V .

2. Para cada una de las siguientes matrices A Mnn(F ),(i) Determine todos los valores propios de A.

(ii) Para cada valor propio de A, encuentre el conjunto de vectores propios correspondientea .

(iii) Encuentre una base para F n consistente de vectores propios de A y determine una matrizinvertible Q y una matriz diagonal D tales que D = Q1AQ.

(a) A =

2 0 14 1 42 0 1

para F = R

(b) A =

(i 12 i

)para F = C

3. Para cada operador lineal T sobre V , encuentre los valores propios de T y una base ordenada para V tal que [T ] es una matriz diagonal.

(a) V = R3 y T (a, b, c) = (4a+ 3b 6c, 6a 7b+ 12c, 6a 6b+ 11c)(b) V = P3(R) y T (f(x)) = xf (x) + f (x) f(2)4. Sea T un operador lineal sobre un espacio vectorial V , y sea x un vector propio de T co-rrespondiente al valor propio . Para cualquier entero positivo m pruebe que x es un vectorpropio de Tm correspondiente al valor propio m.

5. Sea T el operador lineal sobre Mnn(R) denido por T (A) = At.

(a) Muestre que 1 son los nicos valores propios de T .(b) Describa los vectores propios correspondientes a cada valor propio de T .

(c) Encuentre una base ordenada para M22(R) tal que [T ] es una matriz diagonal.

(d) Encuentre una base ordenada para Mnn(R) tal que [T ] es una matriz diagonal paran > 2.

6. Para cada una de las siguientes matrices A Mnn(R) pruebe si A es diagonalizable, y deserlo, encuentre una matriz invertible Q y una matriz diagonal D tales que D = Q1AQ.

(a) A =

(1 43 2

)

(b) A =

0 0 11 0 10 1 1

(c) A =

1 1 00 1 20 0 3

7. Para cada uno de los siguientes operadores lineales T sobre un espacio vectorial V , pruebesi T es diagonalizable, y de serlo, encuentre una base para V tal que [T ] es una matrizdiagonal.

(a) V = P3(R) y T est denida por T (f(x)) = f (x) + f (x).(b) V = P2(R) y T est denida por T (ax2 + bx+ c) = cx2 + bx+ a.

8. Para

A =

(1 42 3

)M22(R),encuentre una expresin para An, donde n es un entero positivo arbitrario.

9. Sea T un operador lineal sobre un espacio vectorial V de dimensin nita, y supongamos queexiste una base ordenada para V tal que [T ] es una matriz triangular superior.

(a) Demuestre que el polinomio caracterstico de T se escinde.

(b) Sean 1, 2, . . . , k los distintos valores propios de T , y sean m1,m2, . . . ,mk sus corres-pondientes multiplicidades. Demuestre que las entradas diagonales de [T ] son justa-mente 1, 2, . . . , k y que cada i tiene lugar mi veces.

10. Sea A Mnn(F ). Para cualquier valor propio de A, sean E y E los espacios propioscorrespondientes para A y para At, respectivamente.

(a) Muestre por medio de un ejemplo que, para un mismo valor propio , E y E no

necesariamente son iguales.

(b) Pruebe que para cualquier valor propio , dim(E) = dim(E).

(c) Pruebe que si A es diagonalizable, entonces At tambin es diagonalizable.

Punto extra

11. Sea T un operador lineal sobre un espacio vectorial V de dimensin nita.

(a) Demuestre que T es invertible si y slo si 0 no es un valor propio de T .

Suponiendo ahora que T es invertible:

(b) Pruebe que un escalar es un valor propio de T si y slo si 1 es un valor propio deT1.

(c) Demuestre que el espacio propio de T correspondiente a es el mismo que el espaciopropio de T1 correspondiente a 1.

(c) Demuestre que si T es diagonalizable, entonces T1 es diagonalizable.