TAREA 2 Teoria Electromagnetica vectores

República Bolivariana de Venezuela Ministerio de educación Superior

I.U.T. “DR. FEDERICO RIVERO PALACIOS” PNF - ELECTRICIDAD

TRABAJO # 2

INTEGRANTES:

T.S.U. Héctor Regnault C.I. 15715089

T.S.U. Jesús Pérez C.I 16146418 T.S.U. Daniel RojasC.I. 13537694

Wilmer Quintero C.I. 14322457

Caracas, Viernes, 01 de Abril de 2011

INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA

Dr. FEDERICO RIVERO PALACIO

1. A.(BxC) = ?

Dados los vectores

kajaiaA zyxˆˆˆ ++=

kbjbibB zyxˆˆˆ ++=

kcjcicC zyxˆˆˆ ++=

Para el cálculo de A.(BxC), primero se realiza el cálculo de BxC como sigue:

zyx

zyx

ccc

bbb

kji

CB

ˆˆˆ

=×

yx

yx

zx

zx

zy

zy

cc

bbk

cc

bbj

cc

bbiCB ˆˆˆ +−=×

Ahora para A.(BxC) seria:

+−

⋅++=×⋅yx

yx

zx

zx

zy

zy

zyx cc

bbk

cc

bbj

cc

bbikajaiaCBA ˆˆˆ)ˆˆˆ()(

Como αcos)( ⋅×⋅=×⋅ CBACBA y para los vectores unitarios se tiene que:

;0ˆˆ;0ˆˆ;0ˆˆ;0ˆˆ;0ˆˆ;0ˆˆ =⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅ jkikkjijkiji

yx

yx

zzx

zxy

zy

zy

x cc

bbkka

cc

bbjja

cc

bbiiaCBA ˆ.ˆˆˆˆˆ)( +⋅−⋅=×⋅

Y como 1ˆˆ;1ˆˆ;1ˆˆ =⋅=⋅=⋅ kkjjii queda lo siguiente

yx

yx

zzx

zxy

zy

zy

x cc

bba

cc

bba

cc

bbaCBA +−=×⋅ )(

Por lo tanto, el producto mixto es:

zyx

zyx

zyx

ccc

bbb

aaa

CBA =×⋅ )(

2. Demostrar )()()( BACACBCBA ×⋅=×⋅=×⋅

Dados los vectores



kcjcicC zyxˆˆˆ ++=

Para demostrar que )()()( BACACBCBA ×⋅=×⋅=×⋅ , se hace lo siguiente:

zyx

zyx

zyx

ccc

bbb

aaa

CBA =×⋅ )( yx

yx

zzx

zxy

zy

zy

x cc

bba

cc

bba

cc

bba +−=

)()()( xyyxzxzzxyyzzyx cbcbacbcbacbcbaCBA −+−−−=×⋅

xyzyxzxzyzxyyzxzyx cbacbacbacbacbacbaCBA −++−−=×⋅

zyx

zyx

zyx

aaa

ccc

bbb

ACB =×⋅ )(yx

yx

zzx

zxy

zy

zy

x aa

ccb

aa

ccb

aa

ccb +−=

)()()()( xyyxzxzzxyyzzyx acacbacacbacacbACB −+−−−=×⋅

xyzyxzxzyzxyyzxzyx acbacbacbacbacbacbACB −++−−=×⋅ )(

zyx

zyx

zyx

bbb

aaa

ccc

BAC =×⋅ )( yx

yx

zzx

zxy

zy

zy

x bb

aac

bb

aac

bb

aac +−=

)()()()( xyyxzxzzxyyzzyx babacbabacbabacBAC −+−−−=×⋅

xyzyxzxzyzxyyzxzyx bacbacbacbacbacbacBAC −++−−=×⋅ )(

xyzyxzxzyzxyyzxzyxxyzyxz

xzyzxyyzxzyxxyzyxzxzyzxyyzxzyx

bacbacbacbacbacbacacbacb

acbacbacbacbcbacbacbacbacbacba

−++−−=−+

+−−=−++−−

Para todos los productos mixto tienen el mismo valor de determinante, por tanto

se demuestra que )()()( BACACBCBA ×⋅=×⋅=×⋅ .

3. En que condiciones puede ser negativo el producto punto de dos vectores.

Dados dos vectores



B

α

A

Se tiene que αcos⋅⋅=⋅ BABA , por tanto, el producto punto será negativo

cuando el ángulo α formado por los vectores A y B se encuentre en el intervalo

(π/2,3π/2).

4. Escribe los resultados

?=⋅ BA BA× Si

a) A║ B

?=⋅ BA

Dados dos vectores



Como A es paralelo a B significa que tiene la misma dirección y sentido, como

el producto punto es:

αcos⋅⋅=⋅ BABA

Para los vectores unitarios se tendría que:


Y

1ˆˆ;1ˆˆ;1ˆˆ =⋅=⋅=⋅ kkjjii

Por ello, para A paralelo a B se tiene:

⋅++⋅++=⋅ )ˆˆˆ()ˆˆˆ( kbjbibkajaiaBA zyxzyx

zzyyxx bababaBA ++=⋅

BA×

Dados dos vectores



Como el vector A es paralelo al vector B significa que la misma dirección y sentido.

El producto cruz es:

αsenBABA ⋅⋅=×


0ˆˆ;0ˆˆ;0ˆˆ =×=×=× kkjjii

Por ello, para A perpendicular a B se tiene:

0=× BA

b) A ┴ B

?=⋅ BA

Dados dos vectores



Como A es perpendicular a B significa que tiene diferente dirección formando

un ángulo de 90 º, es decir, que A es ortogonal a B.

El producto punto es:





0=⋅ BA

BA×

Dados dos vectores



Como el vector A es perpendicular al vector B significa que tiene diferentes

direcciones formando un ángulo de 90 º, es decir, que A es ortogonal a B aplicándose la

regla de la mano derecha por conformar una base ortonormal.


αsenBABA ⋅⋅=×


ijkjikikjkijjkikji ˆˆˆ;ˆˆˆ;ˆˆˆ;ˆˆˆ;ˆˆˆ;ˆˆˆ −=×−=×=×−=×=×=×

Y



⋅++×++=× )ˆˆˆ()ˆˆˆ( kbjbibkajaiaBA zyxzyx

zyx

zyx

bbb

aaa

kji

BA

ˆˆˆ

=×

yx

yx

zx

zx

zy

zy

bb

aak

bb

aaj

bb

aaiBA ˆˆˆ +−=×

kbabajbabaibabaBA xyyxxzzxyzzyˆ)(ˆ)(ˆ)( −+−−−=×

c) B ┴ A

?=⋅ AB

Dados dos vectores



Como B es perpendicular a A significa que tiene diferente dirección formando

un ángulo de 90 º, es decir, que B es ortogonal a A.

El producto punto es:

αcos⋅⋅=⋅ ABAB




0=⋅ AB

ABBA ⋅=⋅

AB ×

Dados dos vectores



Como el vector B es perpendicular al vector A significa que tiene diferentes

direcciones formando un ángulo de 90 º, es decir, que B es ortogonal A aplicándole la

regla de la mano derecha por conformar una base ortonormal pero aquí para este

producto cruz se tiene que el sentido contrario a AxB.


αsenABAB ⋅⋅=×


ijkjikikjkijjkikji ˆˆˆ;ˆˆˆ;ˆˆˆ;ˆˆˆ;ˆˆˆ;ˆˆˆ −=×−=×=×−=×=×=×

Y


Por ello, para B perpendicular a A se tiene:

)ˆˆˆ()ˆˆˆ( kajaiakbjbibAB zyxzyx ++×++=×

zyx

zyx

aaa

bbb

kji

AB

ˆˆˆ

=×

yx

yx

zx

zx

zy

zy

aa

bbk

aa

bbj

aa

bbiAB ˆˆˆ +−=×

kababjababiababAB xyyxxzzxyzzyˆ)(ˆ)(ˆ)( −+−−−=×

kbabajbabaibabaAB xyyxxzzxyzzyˆ)(ˆ)(ˆ)( −−−+−−=×

( )kbabajbabaibabaBA xyyxxzzxyzzyˆ)(ˆ)(ˆ)( −+−−−−=×

ABBA ×−=×

5. Dado dos vectores A y B ¿Como se calcula?

a) la componente de A en dirección a B .

b) la componente de B en dirección de A .

Se tiene los siguientes vectores:



B

A. cos α

α A

B. cos α

a) La componente de A en dirección a B es A. cos α, este valor se obtiene del despeje

la ecuación de producto punto que seria:


B

BAA

⋅=⋅ αcos

b) La componente de B en dirección a A es B. cos α, este valor se obtiene del despeje

la ecuación de producto punto que seria:


A

BAB

⋅=⋅ αcos

6) Si CABA ⋅=⋅ implica CB = explique.

En las operaciones con producto escalar, no se admite la simplificación:

Si CABA ×=× No implica que CB =

En efecto:

⇒⋅=⋅ CABA

0=⋅−⋅ CABA ; Por la propiedad distributiva:

0)( =−⋅ CBA ; Pero esto no implica que:

CB − = 0; o sea que CB = dado que A y )( CB − pueden ser vectores ortogonales.

7) Si CABA ×=× implica CB = explique.

En las operaciones con producto vectorial, no se admite la simplificación:

Si CABA ×=× No implica que CB =

En efecto:

⇒×=× CABA

0=×−× CABA ; Por la propiedad distributiva:

0)( =−× CBA ; Pero esto no implica que:

CB − = 0; o sea que CB = dado que A y )( CB − pueden ser vectores paralelos.

TAREA 2 Teoria Electromagnetica vectores

Documents

Transcript of TAREA 2 Teoria Electromagnetica vectores