Universidad Estatal a DistanciaEscuela de Ciencias Exactas y NaturalesCatedra de Matematicas Superiores

Topologa - 03249Estudiante:Efren ChavesCed.: 701860847

1. Tarea N.3 de Topologa1. Sea S y T subconjuntos no vacios de un espacio topologico (X, ) con S T .

Definicion 1.1: Puntos de Acumulacion y Conjunto Denso

A es denso si A = A A = XAdemas, A ={x|x X, y A tal que Ux , y Ux, con x 6= y}

a) Si p es un punto lmite del conjunto S, verifique que p es un punto lmite delconjunto T .Hip: S T y p S P.D: p T SolucionComo p S entonces, p X, q S tal que q Up, Up . Y dado queq S y S T = q T entonces, p X, q T tal que q Up, Up y as p T .

b) Deduzca del punto anterior que S T .Solucion Dado que S = S S , y como se sabe que p S , p T , entonces,S T .Por transitividad, S T y S T entonces, S S T T = S T .

c) Muestre que si S es denso en X, entonces, T es denso en X.Hip.: S es denso. (S S = S = X)P.D.: T es denso.SolucionSi X T S y S S = S = X, y se haba dicho que S T = X TDado que p T , p T o p T , entonces, si p T, p X; si p T ,entoncesp T X o p X\T T . Por lo tanto, p T , p X y as T X. T = X.

d) Usando el punto anterior muestre que R tiene un numero innumerable de sub-conjuntos densos y distintos.SolucionDado que I R, y como I no es ni abierto ni cerrado, y x (a, b) R cona < b y a, b R, y como entre dos reales simpre existe un irracional, entoncesy I tal que y (a, b) por lo tanton, I = R y as I I = R por lo tanto,I = R.Dado que I es denso, entonces, todo subconjunto de I es denso, y dado que Ino es numerable, entonces, existe una cantidad innumerable de subconjuntosdensos distintos de R.

1

2. Resuelva cada uno de los siguientes ejercicios.

Definicion 1.2: Interior de un ConjuntoSea (X, ) un espacio topologico cualquiera y A cualquier subconjunto de X.El mas grande conjunto abierto contenido en A es llamado interior de A, y esdenotado por Int(A). (Este es la union de todos los conjuntos abiertos en Xcontenidos completamente en A).

a) Demuestre que en R, Int([0, 1]) = (0, 1).Hip.: [0, 1] es un intervalo cerrado, y (0, 1) es un intervalo abierto en RP.D: (0, 1) es el mas grande conjunto abierto en [0, 1]SolucionSupongamos que (0, 1) no es el mas grande abierto en [0, 1], entonces, (a, b) [0, 1] con a < b, a, b R tal que x (0, 1) (a, b)esto implica que y (a, b) tal que y 6 (0, 1)De lo anterior se deduce que x < b < 1 = x < y b < 1.Si hacemos xk = max {x|x (0, 1)}, entonces xk < y b < 1Ahora tomemos un abierto Uy tal que y Uy, dado que se esta en R y quexk < y < 1 entonces, xk Uy por lo tanto y es un punto lmite de (0, 1). Perocomo y 6 (0, 1) entonces y R\(0, 1), pero esto contradice el hecho de quexk < y < 1; por lo tanto (a, b) no es el mayor abierto contenido en [0, 1].y as, (0, 1) es el mayor abierto contenido en [0, 1] ,por lo tanto Int([0, 1]) = (0, 1).

b) Demuestre que en R, Int((3, 4)) = (3, 4).SolucionSupongamos que (3, 4) no es el mayor abierto contenido en (3, 4), entonces,(a, b) con a < b, tal que (3, 4) (a, b) (3, 4)Por lo tanto (a, b) = (3, 4), y as (3, 4) es el mayor abierto contenido en (3, 4),o Int((3, 4)) = (3, 4).

c) Muestre que si A es abierto en (X, ) entonces, Int(A) = A.Hip.: A es abierto.P.D.: A es el mayor abierto de A.SolucionSupongamos que esto no es cierto, entonces B tal que A B, y que Bsea el mayor abierto contenido en A; entonces, A B y B A A = B yas A es el mayor abierto contenido en A, o Int(A) = A.

d) Verifique que en R, Int({3}) = .SolucionComo se esta trabajando en R entonces x R\{3}, se tiene que Ux , Ux R\{3}. R\{3} es abierto y {3} es cerrado.Por lo tanto, U3 , U3 {3} se tiene que U3 = , y este es el mayor abiertocontenido en {3}.y as, se concluye que Int({3}) = .

e) Muestre que si (X, ) es un espacio indiscreto entonces, para todos los subcon-juntos propios A de X, Int(A) = .SolucionDado que = {, X}, estos son los unicos abiertos en este espacio.Por lo tanto, para cualquier conjunto A de X, se tiene que A es cerrado, y

2

as el unico abierto y a la vez es el mas grande abierto de A es .Por lo tanto, Int(A) = .

f ) Muestre que para cada subconjunto numerable A de R, Int(A) = .Hip.: A R es numerable.P.D.: Int(A) = SolucionA es abierto, si x A, (a, b) tal que a (a, b) A.Tomemos un intervalo (a1, a2), pero dado que entre dos numeros reales siempreexiste otro real, entonces, y (a1, a2) tal que y 6 A. Por lo tanto, A no esabierto.Y as el unico abierto y mayor abierto en A es . En conclusion, Int(A) = .

3