Unidad l polinomios y expresionesracionales Revisión de aritmética.

En esta unidad se realizaran las cuatrooperaciones básicas de suma, resta,multiplicación y división. Con númerosenteros, racionales y con fraccionesdecimales. Para ello informaremosacerca de los números y suspropiedades. Clases de número

Y que nos sirven para contar.

Las matemáticas han tenido una influenciadeterminante en las ciencias naturales, lasciencias sociales y la tecnología. Cuando elhombre se hizo sedentario, surgió lanecesidad de saber cuanta gente pertenecía auna determinada tribu, contar sus pieles, suspertenencias etc. Para esto se utilizabanciertos signos, puntos y rayas etc. Así nació elprimer conjunto de números llamadosnúmeros naturales conteniendo los siguienteselementos: N= 1,2,3,4,5,6,7,8,9,......

Posteriormente inventó los números enterosZ= .....-5,-4,-3,-2,-1, 0,1,2,3,.....

El conjunto de los números racionales que estaformado por las fracciones (representadas porel cociente de dos números enteros)

Ejemplos: Q= ½,1/3, ¼. –8/25 , -1/5 etc.

Se hace notar que el conjunto de los númerosracionales incluye los números enteros.

El conjunto de los números irracionales que se denota como Q’ , estosnúmeros no se pueden expresar como el consiente de dos enteros .

Ejemplos. , etc.Por último el conjunto de los números reales R esta formado por la unión de

los números racionales con los irracionales y son todos los númerosEjemplos -5, -8/4, 0, 4 etc.La unión de números tiene propiedades que se han utilizado continuamente,

algunas son:

propiedad conmutativa para la suma a+b=b+a ejemplos 5+8=8+5 (-6)+2=2+(-6)

propiedad asociativa de la suma (a+b) +c = a+(b+c) ejemplos. (7+9)+3=7+(9+3)

propiedad distributiva x(a+b)=ax+bx ejemplos 5(3+8)= 5(3) +5(8)ejercicios: identifique las propiedades aplicadas en los siguientes incisos.

– ( 8+4) 5 = 5(8)+5(4)– (-3+15)+6=-3+(15+6)– 9+(-2)=-2+9– (21+(-5) )+13 =(21+13)+(-5)

OPERACIONES FUNDAMENTALES

suma y resta.

Cuando sumamos o restamos, debemos acomodar las cantidades, las unidades con las unidades, las decenas con las decenas, las décimas con las décimas de tal manera que el punto quede en una sola posición ejemplos.

456.781400.40 1400.00

+ 360.13 - 1.74.14 ______________

100. 1398.26___________

2317.55

MULTIPLICACIÓN

•

En la multiplicación se cuentan las posiciones del punto a la derecha en los factores, se suma el número de estas posiciones y contamos este mismo número de posiciones en el producto, ejemplo.

45.64 dos posicionesx .343 tres posiciones

_________________

13692 2+3= 5 posiciones 18256

13692____________-

15.65452 5 posiciones

DIVISIÓN

cociente

divisor dividendo

resto o residuo

Cuando el divisor no tiene decimales pero eldividendo si ejemplo 512.3 únicamentesubimos el punto decimal y realizamos la

operación de la siguiente manera se buscaun número que multiplicado por 5(divisor) nos de un número igual omenor a 12 en este caso es 2 y secoloca como la primera cifra delcociente.

Operaciones con los números reales

Las operaciones fundamentalescon los números naturales sonla suma y la multiplicación, loselementos de la suma sellaman sumandos, y los de lamultiplicación se llamanfactores.

Múltiplos y divisores

con a, b c. Que pertenecen a losnúmeros naturales, si a=bcentonces a es múltiplo de b y de c; b y c son divisores de a ejemplo7x3=21 en donde 21 es múltiplode 7 y 3; 7 y 3 son divisores de21.

La divisibilidad es la parte de la aritmética queestudia las condiciones que deben reunir dosnúmeros para que uno de ellos sea dividido demanera exacta entre el otro, estas condiciones sellaman caracteres o criterios de divisibilidad.

Todo número es divisible entre uno, todonúmero terminado en cero o en cifra par esdivisible entre dos , si la suma de un número esdivisible entre 3 entonces todo el número esdivisible entre 3 ; todo número terminado encero o en 5 es divisible entre 5 , si la suma de lascifras que forman un número es divisible entre 9entonces todo el número es divisible entre 9 .

Números primos

Los números naturales que solo sondivisibles entre sí mismos y la unidad sellaman números primos. Los números queno son primos se llaman compuestos.

Son primos los números 2,3,5,7,11,13,17,1923 etc.

Criba de Eratóstenes

Para formar una tabla de los números primos,inferiores a cierto límite se usa el método llamadocriba de Eratóstenes la cual consiste en losiguiente.Se Escribe la serie de los números naturales hasta elnúmero que se quiera por ejemplo hasta el 40 .

A continuación se tachan los números que sonmúltiplos de los números primos . principiando con2, 3...

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40.

Los números no tachados son númerosprimos , dado un número cualquierapara averiguar si es primo, o no sinnecesidad de construir la tabla, essuficiente con determinar si es divisibleentre 2,3,5,7,11 ...(números primos) sise llega hasta u divisor primo p cuyocuadrado p2 es mayor que el númerodada n sin lograr división exacta dichonúmero es primo .

Teorema de eratóstenes

Un número es primo si no es divisible entreninguno de los números primos cuyocuadrado sea menor que dicho número.Ejemplo

Determinar si 37 es número primo. Vemos22=4, 32=9 52 =25 72=49 vemos que 37 noes divisible entre 2,3,5,por lo tanto es primo

MÁXIMO COMUN DIVISOR

se llama máximo común divisor de varios númerosal mayor de los divisores comunes a dichosnúmeros

el máximo común divisor se indica mediante lasletras m.c.d. o bien M.C.D.

para hallar el máximo común divisor de variosnúmeros se descomponen en sus factores primos, el m.c.d. es igual al producto de todos losfactores primos comunes con sus menoresexponentes.

Ejemplo

Se dispone de 3 rollos de tubo de goma de36,54 y 12 mts. Respectivamente, averiguarcuantos trozos iguales podemos partir demanera que se tengan la máxima longitudposible. .

Descomponemos en factores primos los tresnúmeros

Mínimo común múltiplo

Llamaremos mínimo común múltiplo de variosnúmeros al menor múltiplo común de todos ellos

La notación empleada para expresar el mínimocomún múltiplo es m.c.m o M.C.M.

para hallar el mínimo común múltiplo de variosnúmeros, se descomponen primero en susfactores primos .

el mínimo común múltiplo es igual al producto delos factores primos comunes y no comunes conlos mayores exponentes.

Ejemplo.

Dos trabajadores acuden a las oficinas de su empresa para cobrar cada 18 y 24 días respectivamente habiendo coincidido el día 1 de marzo en que otro día se volverán a ver en dicha oficina para volver a cobrar

Calculamos el mcm.

2x32=18 23x3=24

El mcm es 23x32=72 coincidirán al cabo de72 días es decir el 11 de mayo.

El producto de dos números es igual alproducto de su máximo comun divisor porsu mínimo comun múltiplo .. se puedecomprobar fácilmente con los datos delejercicio anterior .

potencias de 10 y notación científica

• en ocasiones realizar operaciones de multiplicación o división, puede resultar muy complicado porque los números con que se trabajan tienen muchas cifras.

•

• Por ejemplo:• la distancia de la tierra al sol es aproximadamente

150’000,000 de Km. • La distancia del sol al centro de la vía láctea es

casi 3000 años luz y un año luz equivale aproximadamente a 9’500,000,000,000de km.

• Los virus se componen de poco menos de 10,000 átomos

potencias de 10 y notación científica

• en ocasiones realizar operaciones de multiplicación o división, puede resultar muy complicado porque los números con que se trabajan tienen muchas cifras.

•

• Por ejemplo:

• la distancia de la tierra al sol es aproximadamente 150’000,000 de Km.

• La distancia del sol al centro de la vía láctea es casi 3000 años luz y un año luz equivale aproximadamente a 9’500,000,000,000de km.

• Los virus se componen de poco menos de 10,000 átomos

• La vida terrestre se origino hace cerca de 4,000,000,000 de años

• Hay alrededor de 10,000,000,000,000,000,000,000,000,000. de átomos en el cuerpo humano.

• La longitud de onda aproximada de los rayos gamma es 0.00000001 cm.

• Si estos números a se expresan con potencia de 10 sería más fácil trabajar con ellos , la distancia de la tierra al sol puede expresarse así:1.5x100,000,000= 1.5x108.

• el punto decimal se coloca siempre después de la primera cifra significativa , esta forma de escribir un número se llama notación científica .

• entonces un año luz equivaldría a 9.5x1012. , y el número aproximado de átomos en el cuerpo humano sería 1x1028

• cuando se manejan números con muchas cifras decimales puede ser algo parecido extendiendo la forma de escribir los números por medio de potencias negativas, puesto que 0.01= y 100= 102

puedes escribir 0.01 como

• si aparece una potencia de 10 en el denominador de una fracción se anota un signo menos en el exponente , por ejemplo la fracción 1/10 al cuadrado se escribe como 10-2

• así la longitud de los rayos gamma es aproximadamente – = 1x10-8.

• Multiplicar un número por 10n significa mover el punto decimal n cifras hacia la derecha (se agregan ceros si es necesario) , multiplicar un número por 10-

n equivale a recorrer el punto decimal hasta la primera cifra significativa n cifras a la izquierda ( se añaden ceros si es necesario)

• La notación científica no solo abrevia las expresiones sino que es muy útil para llevar a cabo operaciones.

Teorema del binomio

Álgebra

• Álgebra es la rama de las matemáticas que estudia las cantidades consideradas del modo más general posible.

• El concepto de cantidad en álgebra es mucho más amplio que en aritmética, en aritmética las cantidades se representan por números, y expresan valores determinados, así 50 expresa un solo valor 50 para expresar otra cantidad mayor habrá que escribirlo ejemplo 100 .

En álgebra para lograr lageneralización, las cantidades serepresentan por letras, las cuales puedenpresentar todos los valores así a puederepresentar el valor quequeramos, ejemplo a=50 eso sí ; hay quetener cuidado de no darle dos valoresdistintos en el mismo problema.

Notación algebraica.

Los símbolos usados en álgebra para representar cantidades son los números y las letras.

• Los números se emplean para representar cantidades conocidas y determinadas, las letras se emplean para representar cantidades desconocidas o conocidas, una misma letra puede representar distintos valores diferenciándolo por medio de comillas por ejemplo a’, a” etc. que se leen a prima, a segunda etc. O también por medio de subíndices ejemplo a1, a2. etc. Que se leen a subono, a subdos etc.

Formulas

• Consecuencia de la generalización que implica la representación de las cantidades por medio de letras son las formas algebraicas.

• Formula algebraica: es la representación por medio de letras de una regla o de un principio general.

• Así la geometría enseña que el área de un rectángulo es igual al producto de su base por su altura luego llamando A al área, b a la base, y h a la altura tenemos que : A=bxh . la fórmula representa de un modo general el área de cualquier rectángulo pues un rectángulo especifico de dos metros de base, por 3 metros de altura tendrá un área de A = 2X3 = 6 M2.

SIGNOS DEL ÁLGEBRA

• Los signos empleados en el álgebra son de 3 clases,

• Signos de operación

• Signos de relación

• Signos de agrupación.

• Signos de operación.

• Suma (+) resta (-) multiplicación (*) (x) división ( ÷) elevación a la potencia ax y signo radical

• En el signo de la multiplicación suele emplearse un punto u omitir y simplemente presentar juntas las letra ejemplo abc indica que se estanmultiplicando.

• Coeficiente

• En el producto de dos factores, cualquiera de los dos factores es llamado coeficiente del otro factor asi en el producto 3a el factor 3 es coeficiente del factor a e indica que el factor a se toma como sumando 3 veces o sea 3a = a+a+a .

Signos de relación

• Se emplean para indicar la relación que existe entre dos cantidades , las principales son:

• = se lee igual, > mayor que se lee mayor que < menor que así a=b, a>b, a<b .

signos de agrupación

• los signos de agrupación son el paréntesis ordinario, ( ) el paréntesis angular o corchetes [ ] las llaves la barra ___.

• Estos signos indican que las operaciones colocadas entre ellos deben efectuarse primero así, (a+b)c indica que el resultado de la suma de a+b debe multiplicarse por c , a+b ÷ c-d indica que la suma de a y b, debe dividirse entre la diferencia de c y d.

Lenguaje algebraico

• Se dice que el paso más importante para la resolución de un problema es plantearlo adecuadamente, esta afirmación vale sobre todo en matemáticas, si un problema se formula de manera correcta, se ha avanzado más de la mitad del camino, el lenguaje algebraico, es una herramienta que permite plantear con precisión y claridad una cantidad de problemas.

Operaciones con expresiones algebraicas

• Términos semejantes

• En las expresiones algebraicas, reducir términos semejantes, tiene por objeto convertir en un solo término dos o mas términos semejantes.

Suma y resta

• En álgebra los términos suma y resta se usan en el mismo sentido que en aritmética si se aplican a números positivos, sin embargo su aplicación a números negativos hace necesario precisar el procedimiento de suma a esta operación se le conoce como, suma algebraica y se describe en la regla siguiente: la suma algebraica de dos números con el mismo signo es la suma de los valores absolutos de los números precedida de su signo común, la suma algebraica de dos números con el signo diferente es la diferencia de los valores absolutos de los números precedida por el signo del número de mayor valor absoluto.

• Para realizar la suma de varios términos semejantes, se efectúa la suma aritmética de los coeficientes, y se agrega el grupo de literales.

Signos de agrupación

• Cuando un grupo de términos en una expresión algebraica, van a ser manejados como un solo número, se encierran en paréntesis, ( ) en corchetes o en llaves estos signos también se usan para indicar que se van a efectuar ciertas operaciones, y el orden en el cual deben efectuarse por ejemplo:

• (2x +4y –2) + (3x –2y +3z) significa que el número representado por la expresión del primer paréntesis, debe sumarse al representado por la expresión del segundo paréntesis. Se necesita quitar dichos símbolos antes de llegar a la operación final. De lo anterior se tiene

• (2x +4y –2) + (3x –2y +3z) = 2x+4y-2+3x-2y+3z=5x+2y+3z-2

• cuando se realizan las diferentes operaciones algebraicas, se deberá llevar a cabo la siguiente regla: Eliminar paréntesis, eliminar corchetes, y eliminar llaves. Se agrupan en términos semejantes, y se reducen estos.

• Eliminar los signos de agrupación en la sig. Expresión.

• 2x - 3x + [4x – (x -2y) +3y]-4y +2y

• 2x- 3x +[4x –x+2y +3y]-4y +2y eliminamos paréntesis.

•

• 2x- 3x+4x-x+2y+3y-4y +2y eliminamos corchetes.

•

• 2x-3x-4x+x-2y-3y+4y+2y eliminamos llaves.

•

• -4x+y

Ley de los signos

• En cualquier suma o resta con dos cantidades con diferentes signos, el resultado tendrá el signo de la cantidad mas grande

• Si las cantidades tienen el mismo signo el resultado tendrá también el signo de las cantidades sumadas

• Restar equivale a cambiar el signo del sustraendo y de esta manera toma las reglas de la suma o sea es igual a multiplicar sustraendo por el signo menos.

• En la multiplicación y división signos iguales nos dan más y signos diferentes nos dan menos.

Es todo por este semestre

• Alumno: Sergio Sánchez