Analisis Numerico. Proyecto 1.

Modelacion Matematica y Aritmetica de Punto Flotante.

Profesor: Javier de Jesus Cortes Aguirre.Ayudantes: Ulises Uriel Giovanni Nepomuceno Campos.

Citlali Edith Ramrez Galicia.

Facultad de Ciencias, UNAM28 de agosto de 2015

Ejercicios teoricos.

1. Responde las siguientes preguntas:

a) Que es un modelo (en el sentido cientfico) y que se entiende por un modelo matematico?b) Elabore un diagrama que ilustre los pasos principales en el proceso de modelacion y su

solucion mediante el uso de la CPU.

c) Tomando en cuenta el inciso anterior, por que es importante el analisis numerico?

d) Cuales son las principales fuentes de error al resolver numericamente un problema -modelo- matematico practico?

e) Que es el Error Absoluto? y que es el Error Relativo? Cual es la diferencia entre ellos?

f ) Que se entiende por un problema bien planteado y cual es su importancia?

g) Ilustre dos ejemplos de problemas bien planteados y dos que no lo sean.

h) Que se entiende por problema bien condicionado?

i) Que significa que un algoritmo sea numericamente estable?j ) Por que es importante que se cumplan las condiciones de los dos incisos anteriores?

k) Menciona tres caractersticas de un buen programa en Computacion Cientfica?

l) Cuales son los principales tipos de error cometidos por la computadora y en que consis-ten?

m) Que se entiende por la unidad de redondeo de la maquina?n) Que se entiende por la mantisade un valor flotante?

n) Que se entiende por overflow y underflow?

o) En que consiste la regla de redondeo al mas cercano?, que pasa cuando el valor real quese redondea esta a la misma distancia de dos flotantes consecutivos (en el punto medio)?

2. Elabore dos modelos matematicos sencillos de problemas reales, ilustre los principales proble-mas que tendra el modelo y las posibles fuentes de error.

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3. Sea N, > 1. Si a R tiene representacion -cimal

a = bmb(m1)...b0.b1b2b3...

demuestra que

bmb(m1)...b0.b1b2...bn a bmb(m1)...b0.b1b2...bk + 1k

Como puede interpretarse esta desigualdad, que importancia tiene?

4. Con respecto al sistema fl(10, 4, 2, 3) y utilizando notacion estandar, halla el fl(x) para:

x = (2/3)T , x = (e)R, x = (6.99999)T , x = (pi)R, x = (2)R

Aqui, ()T significa con truncamiento y ()R con redondeo.

5. Tomando la notacion estandar, d cuales de los siguientes numeros no pertenecen a fl(2, 4, 2, 2):

.1011 20, 9.542 22, 1.111 22, 1.112 101

.01101 22, 2.121 22 .1101 22, 0.0001 24.

6. Considera a los numeros de punto flotante fl(10, 5, 8, 9).

a) Encuentra la cardinalidad del conjunto.

b) Halla el elemento positivo mas chico.

c) Halla el elemento positivo mas grande.

d) Cual es el espaciamiento mnimo entre dos numeros consecutivos?

e) Cual es el espaciamiento maximo entre dos numeros consecutivos?

f ) Calcule los valores del inciso (a) al (e) pero ahora para el sistema fl(2, 53, 1023, 1024), esdecir, para la aritmetica de la computadora en doble precision.

7. Para el conjunto flotante fl(2, 3, 2, 2) determine:

a) La cardinalidad del conjunto y todos los elementos del conjunto.

b) Los valores maximo y mnimo utilizando la formula vista en clase, coinciden con loscalculados en el inciso anterior?.

8. Sabemos que, para el conjunto flotante fl(, t, L, U ), el valor maximo (o nivel de overflow)esta dado por:

Max = ( 1).( 1)...( 1) U .En algunos textos se utiliza la expresion equivalente:

Max =(1 t) U+1.

De tres ejemplos en los que se cumpla la igualdad entre ambas expresiones.

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9. Sea a = (+.b1b2...) p, 0 < b1 < , 0 bk < para k = 2, 3, ... y p Z.Considera a la sucesion {qn}nN Q, qn = (+.b1b2...bn) p.a) Demuestra que {qn}nN es una sucesion creciente y acotada. Luego, por el axioma del

supremo, existe a R tal que a = supnN{qn} (o bien que qn a R, cuando n).

b) Demuestra que 0 a qn pn. Esto es, que qn a cuando n . As, concluyeque a = a R.

10. Sean a, b fl(, t, L, U ), a = ma e1 , b = mb e2 , 1 |ma|, |mb| < . Si e1 > e2 + t,demuestra que fl(a + b) = a.

11. Considera el sistema de numeros de punto flotante fl(, t, L, U ). Dado que la unidad de re-dondeo u esta dada por u = 12

(t1). Si > 0 es el elemento mas chico en fl(, t, L, U ), escierto que u < ?Hint: ilustre ejemplos en los que se verifique o no esta relacion.

12. Pruebe si, en una Aritmetica de Punto Flotante (A.P.F.), es cierto que:

(b (a + b)) + a = 0

Sugerencia: en una A.P.F. de 7 dgitos significativos con redondeo, considera a = 0.1234567 yb = 0.4711325 104.

13. En una A.P.F. averigua la validez de la relacion; a = (a + b) b.Sugerencia. Considera el caso a = 0.8614 102 y b = 0.3204 en una A.P.F. de 4 dgitossignificativos con redondeo.

14. En una A.P.F. de 4 dgitos significativos con redondeo, halla la solucion positiva mas chica dela ecuacion:

fl(23.45 + a) = a

15. En una A.P.F. de 4 dgitos significativos con redondeo, halla la solucion positiva mas grandede la ecuacion:

fl(23.46 + b) = 23.46

16. Recordando que fl(a) = a(1+ ), para algun con || u (con u la unidad de redondeo de lamaquina), para cada uno de los casos siguientes:

a)fl10

(14

)= 0.25 b)fl10(

(2)) = 1.414214

c)fl10

(13

)= 0.3333333 d)fl10(pi) = 3.14159265359

Cuanto vale ?, cual es la unidad de redondeo u? y se cumple que || u? Comente.NOTA. Para los casos (b) y (d), considera como exactos a los valores de

2 y pi calculados

con Matlab en formato largo (usa la instruccion format long para desplegar los valores en esteformato).

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Ejercicios practicos.

1. El algoritmo siguiente es debido a C. Moler y sirve para el calculo de la unidad de redondeo u:

a 4/3b a 1c b+ b+ bu |c 1|

Explica la idea que esta detras de este algoritmo. Escribe un programa en Matlab que imple-mente este algoritmo y compara el valor calculado con el valor dado por la instruccion eps deMatlab.

2. Tomando las funciones en 2D:

a) f1(x) = excos(2pix)

b) f2(x) = x6 + x3 3x2 + x 1c) f3(x) = 1x2+25

y las funciones en 3D:

a) f4(x, y) = x2 y2

b) f5(x, y) =sen(3

x2 + y2)

x2 + y2 + 0.001c) Una esfera con centro y radio dados por el usuario.

elabore un programa en Matlab que mediante un menu de opciones el usuario elija la funciona graficar as como el intervalo de graficacion (en el caso de la esfera, el usuario debera elegirel centro y el radio) y se efectue la grafica de la funcion elegida.Hint: para el grafico de la esfera utilice el comando sphere.

3. Crea 2 archivos con extension .dat que contengan los valores (x, y) de dos funciones en 2D.Utiliza la funcion load de Matlab para cargar los datos en el programa y graficar las funciones.

4. Una conjetura interesante es la conjetura de Collatz. Iniciando con un valor natural n, losvalores siguientes se calculan de la siguiente forma:

Si n es impar remplace n por 3n+ 1, si no, remplace n por n/2.Eventualmente el proceso terminara en n = 1.

Elabore un programa en Matlab en el cual el usuario proporcione el valor inicial de n y quecalcule los terminos siguientes de la conjetura de Collatz hasta llegar a n = 1. Ademas realicela grafica de todos los terminos. Pruebe su programa con n = 108, 109, 110. A partir deque termino comienzan a coincidir los valor calculados para los tres casos? Realice una graficadonde se ilustre esta coincidencia.

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5. Elabore una funcion en Matlab que, dado el numero de lados por el usuario, se grafique elpolgono regular de ese numero de lados (con sus vertices en la circunferencia unitaria). Utiliceesta funcion y el comando subplot para graficar 12 polgonos regulares en una sola ventana degraficacion.

6. Utilizando los comandos plot, pause, delete y for de Matlab, elabore un laberinto similar a laque se ilustra en la siguiente figura:

Figura 1: Laberinto con la pelota en la posicion inicial.

El usuario debe poder controlar la pelota para encontrar la salida del laberinto.

7. Supongamos que lanzamos n dardos a un crculo inscrito en un cuadrado, asumimos que losdardos pueden caer en el cuadrado con igual probabilidad y que el cuadrado mide 2 unidadesde cada lado con centro en el (0, 0). Despues de un gran numero de lanzamientos, la fraccion delos dardos dentro del circulo debera ser aproximadamente igual a pi

4, que es igual a la relacion

del area del crculo con el area del cuadrado. As

pi = 4 Numero de lanzamientos dentro del circuloTotal de lanzamientos

Genere un codigo en Matlab que de una aproximacion a pi para distintas cantidades de lanza-mientos, y que muestre una grafica donde se vean las aproximaciones.Hint: Genere numeros aleatorios que tomen los valores en el intervalo [1, 1].

8. Una forma de aproximar a n! es mediante la aproximacion de Stirling:

Sn =2pin

(ne

)nRealice un programa en Matlab que, para un valor de n dado el usuario, despliegue una tablacon los valores de n, n!, la aproximacion calculada y, el error absoluto y relativo entre laaproximacion y el valor exacto.Hint: Puede utilizar la instruccion sprintf o la instruccion fprintf.

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9. La ecuacion general (en coordenadas cartesianas) de una seccion conica esta dada por:

Ax2 +Bxy + Cy2 +Dx+ Ey + F = 0

El tipo de seccion puede ser determinada por el signo de: B2 4AC.- Si B2 4AC < 0, tenemos una elipse, un crcunferencia, un punto o ninguna curva.- Si B2 4AC = 0, tenemos una parabola, 2 lneas paralelas, 1 lnea o ninguna curva.- Si B2 4AC > 0, tenemos una hiperbola o 2 lneas intersectadas.

Utilizando la funcion ezplot o la funcion contour de Matlab, realice un programa que le pida alusuario introducir los valores de A,B,C,D,E, F y se realice la grafica de la conica respectiva.

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