Tarea Gauss Seidel y Relajacion
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7/23/2019 Tarea Gauss Seidel y Relajacion
1/4
Tarea (Unidad III)
Mtodos numricos
Problema
Dado el siguiente sistema de ecuaciones:
- X1+ 3X2 + 5X3 + 2X4 = 10
X1 + 9X2 + 8X3+ 4X4 = 15
X2 + X4 = 2
2X1+ X2 + X3 X4 = - 3 , se pide:
a !esol"e#lo usando $auss %eidel con c#ite#io de c"&
|xk+1xk|=(x1k+1x
1
k)2+(x2
k+1x2
k)2++(xn
k+1xn
k)2 ' ; =10-2
( !esol"e#lo usando $auss %eidel con un p#oceso ite#ati"o )ue pe#mita acele#a# la c"
*mtodo de #elaacin& *"isto en clase& .se / = 1&3&
c omente compa#e #esultados de *a *(&
Resolucin:
Para resolver estas ecuaciones, se utilizo el mtodo Gauss-eidel, ! "ara las iteraciones
se mane# $%cel&
'a matriz modiicada a utilizar es la siuiente:
x1 x2 x3 x4 b2 1 1 -1 -3
1 9 8 4 15
-1 3 5 2 10
0 1 0 1 2
u res"ectivo sistema de ecuaciones, se*n el mtodo de Gauss, es el siuiente:
X1K+1
=1
2[3(X2
K+X
3
KX
4
K )]
X2K+1
= 1
9[15(X1K+1+8 X3K+4 X4K)]
X3
K+1=1
5[10(X1K+1+3 X2K+1+2 X4K )]
-
7/23/2019 Tarea Gauss Seidel y Relajacion
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Tarea (Unidad III)
Mtodos numricos
X4K+1
=1
1[2(X2
K+1)]
=0
X11
=1
2[3(0+00 )] = -1,5
X2K+1
= 1
9[15 (1,5+80+40 )] = 1,833333333
X3K+1=
1
5[10(1,5+31,833333333+20 )] = 0,
X4
K+1=1
1[2(1,833333333 )] = 0,1
+omo !a sabemos las ecuaciones, ! !a tenemos nuestra "rimera iteracin, acemos una tabla
resumen en $%cel, utilizando los datos dados en cada iteracin, asta llear a un ./0-1
k x1^k x2^k x3^k x4^k |x^(k+1) -x^k|
0 0 0 0 01 -1,5 1,83333333
3
0,6 0,1666666
67
2 -2,63333333 1,351851852
0,59555555
6
0,6481481
48
1,32216225
6
3 -2,14962963 1,08806584
4
0,65797530
9
0,9119341
56
0,61402900
2
4 -1,917053498
0,8895016 0,71811467
8
1,1104984 0,36954555
6
5 -1,748558939
0,72907199
1
0,76864565
8
1,2709280
09
0,28708729
6
6 -1,61339482 0,59783528 0,810248664
1,4021647
2
0,23333730
5
7 -1,502959612
0,49025682
4
0,84438809
5
1,5097431
76
0,19106984
1
8 -1,412450872
0,40204149 0,87238766
1
1,5979585
1
0,15665151
9
9 -1,338235321
0,329699999
0,895349533
1,670300001
0,128459247
10
-
1,277374765
0,27037538
9
0,91417981
3
1,7296246
11
0,10534422
3
11
-
1,227465295
0,22172537
2
0,92962187
3
1,7782746
28
0,08638900
8
12
-
1,186536308
0,18182920
1
0,94228536
6
1,8181707
99
0,07084458
3
-
7/23/2019 Tarea Gauss Seidel y Relajacion
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Tarea (Unidad III)
Mtodos numricos
13
-
1,152971884
0,14911175
1
0,95267025
3
1,8508882
49
0,05809715
6
14
-
1,125446877
0,12228131
7
0,96118653
5
1,8777186
83
0,04764344
1
5
-
1,102874584
0,10027862 0,96817043
8
1,8997213
8
0,03907071
416
-
1,084363839
0,08223497
9
0,97389769
3
1,9177650
21
0,03204052
2
17
-
1,069183825
0,06743802
2
0,97859441
3
1,9325619
78
0,02627530
9
18
-
1,056735229
0,05530355
7
0,98244602
9
1,9446964
43
0,02154745
9
19
-
1,046526571
0,04535250
8
0,98560460
4
1,9546474
92
0,01767031
6
20
-1,03815481 0,03719200
1
0,98819484
1
1,9628079
99
0,01449080
6
2
1
-
1,031289421
0,03049985
6
0,99031900
3
1,9695001
44
0,01188340
222
-
1,025659357
0,02501186
2
0,99206095
4
1,9749881
38
0,00974516
1
23
-
1,021042339
0,02051135
1
0,99348946
7
1,9794886
49
0,00799166
5
Ahora utilizamo !" mimo m#to$o% &!ro 'o" r!laa'i"% !l 'ual
'o"it! !" a*r!*ar u" , 1%3 % $a"$o lo i*ui!"t! $ato
x1 x2 x3 x4 b .
2 1 1 -1 -3 1,3
1 9 8 4 15
-1 3 5 2 10
0 1 0 1 2
u res"ectivo sistema de ecuaciones, se*n el mtodo de Gauss-eidel con rela#acin,
es el siuiente:
X1K+1 =1
2[3(X2K
+X3K
X4K
)W]+[ X1K
(1W) ]
X2K+1
= 1
9[15(X1K+1+8 X3K+4 X4K)W]+[ X2K(1W)]
X3
K+1=1
5[10(X1K+1+3 X2K+1+2 X4K )W ]+[ X3K(1W )]
-
7/23/2019 Tarea Gauss Seidel y Relajacion
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Tarea (Unidad III)
Mtodos numricos
X4K+1
=1
1[2(X2
K+1)W]+[X4K(1W)]
=0
X1K+1
=1
2[[3(0+00 )]1,3 ] +[0(11,3 )] = -1,95
X2K+1=
[15(1,95+80+40 )]1,31
9[ ]+[0(11,3 )] = 2,44833333
X3K+1
=1
5[[10(1,95+32,44833333+20 )]1,3]+[0(11,3 )] = 0,1833
X4K+1=
1
1[[2(2,44833333 )]1,3]+[0(11,3 )]
= -0,582833333
2ora, acemos una tabla resumen en $%cel,asta llear a un ./0-1
k x1^k x2^k x3^k x4^k |x^(k+1) -
x^k|
0 0 0 0 0
1 -1,95 2,44833333 0,1833 -0,582833333
2 -3,45440333 2,05607085 0,3462032 0,101957893 1,706627001
3 -2,4088845 1,43882936 0,69452407 0,698934468 1,397070198
4 -2,15970697 0,84058559 0,81101629 1,297558397 0,88989106
5 -1,53221617 0,44893632 0,93341821 1,627115264 0,818977296
6 -1,33124067 0,20554845 0,96742424 1,84465244 0,384847553
7 -1,11403595 0,0822068 0,99678281 1,939735428 0,268874975
8 -1,05630443 0,022008 1,00049735 1,989468976 0,097180493
9 -1,00458231 -0,00043063 1,00447142 2,003719125 0,058288334
10 -0,99883439 -0,00735498 1,00276457 2,008445734 0,010307247
11 -0,99187619 -0,00704132 1,00238327 2,006619993 0,007210661
12 -0,99510641 -0,00517334 1,00115016 2,00473934 0,004356729
13 -0,99577244 -0,003126 1,00072794 2,002642004 0,003035168
14 -0,99799223 -0,00171988 1,0002713 2,001443246 0,002924068
