TAREA

HUMBERTO ROMERO RUBIO

November 18, 2016

1- Dada la matriz

3240 −1669 −299 951328 −648 −116 37−217 106 19 −635 −17 −3 1

hallar su inversa por

medio de su adjunta.

3240 −1669 −299 951328 −648 −116 37−217 106 19 −635 −17 −3 1

F3 = F3 + 6F4−−−−−−−−−−→

3240 −1669 −299 951328 −648 −116 37−7 4 1 035 −17 −3 1

−95

1328 −648 −116−7 4 135 −17 −3

+37

3240 −1669 −299−7 4 135 −17 −3

+1

3240 −1669 −2991328 −648 −116−7 4 1

1328 −648 −116−7 4 135 −17 −3

= (−15936− 13804− 22680)−(−16240− 22576− 13608)⇐⇒ 4

3240 −1669 −299−7 4 135 −17 −3

= (−38880− 35581− 58415)−(−41860− 55080− 33049)⇐⇒ −887

3240 −1669 −2991328 −648 −116−7 4 1

= (−2099520− 1588288− 1355228)−(−1356264− 1503366− 2216432)⇐⇒ 33020

Resolvemos las matrices de 3x3

−95 (4) + 37 (−887) + 33020 = −719

Se procede a hallar los valores de la matriz adjunta:

1

C11 =

−648 −116 37106 19 −6−17 −3 1

⇐⇒ 1

C12 =

1328 −116 37−217 19 −635 −3 1

⇐⇒ −2C13 =

1328 −648 37−217 106 −635 −17 1

⇐⇒ −1C14 =

1328 −648 −116−217 106 1935 −17 −3

⇐⇒ 4

C21 =

−1669 −299 95106 19 −6−17 −3 1

⇐⇒ 2

C22 =

3240 −299 95−217 19 −635 −3 1

⇐⇒ −183C23 =

3240 −1669 95−217 106 −635 −17 1

⇐⇒ −718C24 =

3240 −1669 −299−217 106 1935 −17 −3

⇐⇒ −887C31 =

−1669 −299 95−648 −116 37−17 −3 1

⇐⇒ 4

C32 =

3240 −299 951328 −116 3735 −3 1

⇐⇒ 887

C33 =

3240 −1669 951328 −648 3735 −17 1

⇐⇒ 3397

C34 =

3240 −1669 −2991328 −648 −11635 −17 −3

⇐⇒ 5028

2

C41 =

−1669 −299 95−648 −116 37106 19 −6

⇐⇒ −3C42 =

3240 −299 951328 −116 37−217 19 −6

⇐⇒ 1259

C43 =

3240 −1669 951328 −648 37−217 106 −6

⇐⇒ 6089

C44 =

3240 −1669 −2991328 −648 −116−217 106 19

⇐⇒ 2852

Valores de la matriz adjunta:1 −2 −1 42 −183 718 −8874 887 3397 5028−3 1259 6089 2852

Despues haremos la traspuesta de la adjunta, que es intercambiar �las por

las columnas y a estala multiplicamos por 1−179 :

1 2 4 −3−2 −183 887 1259−1 718 3397 60894 −887 5028 2852

∗ 1

−179=

Y entonces la inversa de la matriz es:− 1

179 − 2179 − 4

1793

1792

179183179 − 887

179 − 1259179

1179

718179 − 3397

179 − 6089179

− 4179

887179 − 5028

179 − 2852179

2.- Dada la matriz

3240 −1669 −299 951328 −648 −116 37−217 106 19 −635 −17 −3 1

hallar su inversa por el

método de Gauss-Jordan.3240 −1669 −299 95 1 0 0 01328 −648 −116 37 0 1 0 0−217 106 19 −6 0 0 1 035 −17 −3 1 0 0 0 1

3

3240 −1669 −299 95 1 0 0 01328 −648 −116 37 0 1 0 0−217 106 19 −6 0 0 1 035 −17 −3 1 0 0 0 1

F1 = F1 ∗1

3240−−−−−−−−−−−→

1 − 1669

3240 − 2993240

193240

13240 0 0 0

1328 −648 −116 37 0 1 0 0−217 106 19 −6 0 0 1 035 −17 −3 1 0 0 0 1

F2 = F1 ∗ −1328−−−−−−−−−−−−→

1 − 1669

3240 − 2993240

193240

13240 0 0 0

0 14614405

2654405 − 157

81 − 166405 1 0 0

−217 106 19 −6 0 0 1 035 −17 −3 1 0 0 0 1

F3 = F3 − (−217)F3−−−−−−−−−−−−−−−→

1 − 1669

3240 − 2993240

193240

13240 0 0 0

0 14614405

2654405 − 157

81 − 166405 1 0 0

0 − 187333240 − 3323

3240235648

2173240 0 1 0

35 −17 −3 1 0 0 0 1

F4 = F4 − 35F4−−−−−−−−−−−→

1 − 1669

3240 − 2993240

193240

13240 0 0 0

0 14614405

2654405 − 157

81 − 166405 1 0 0

0 − 187333240 − 3323

3240235648

2173240 0 1 0

0 667648

149648 − 17

648 − 7648 0 0 1

F2 = F2/14614

405−−−−−−−−−−−→

1 − 1669

3240 − 2993240

193240

13240 0 0 0

0 1 13277307 − 785

14614 − 837307

40514614 0 0

0 − 187333240 − 3323

3240235648

2173240 0 1 0

0 667648

149648 − 17

648 − 7648 0 0 1

F3 = F3 −(−18733

3240

)F2

−−−−−−−−−−−−−−−−−−→

1 − 1669

3240 − 2993240

193240

13240 0 0 0

0 1 13277307 − 785

14614 − 837307

40514614 0 0

0 0 71329228

6089116912

1914614

18733116912 1 0

0 0 125729228

3397116912

1314614 − 3335

11692 0 1

F4 = F4 −(667

648

)F2

−−−−−−−−−−−−−−−→

1 − 1669

3240 − 2993240

193240

13240 0 0 0

0 1 13277307 − 785

14614 − 837307

40514614 0 0

0 0 71329228

6089116912

1914614

18733116912 1 0

0 0 125729228

3397116912

1314614 − 3335

11692 0 1

F3 = F3/

(713

29228

)−−−−−−−−−−−−−−→

1 − 16693240 − 299

324019

32401

3240 0 0 00 1 1327

7307 − 78514614 − 83

7307405

14614 0 00 0 1 6089

285238713

187332852

29228713 0

0 0 125729228

3397116912

1314614 − 3335

116912 0 1

F4 = F4 −(

1257

29228

)F3

−−−−−−−−−−−−−−−−−→

4

1 − 1669

3240 − 2993240

193240

13240 0 0 0

0 1 13277307 − 785

14614 − 837307

40514614 0 0

0 0 1 60892852

38713

187332852

29228713 0

0 0 0 − 1792852 − 1

713 − 8872852 − 1257

713 1

F4 = F4/

(− 179

2852

)−−−−−−−−−−−−−−→

1 − 1669

3240 − 2993240

193240

13240 0 0 0

0 1 13277307 − 785

14614 − 837307

40514614 0 0

0 0 1 0 38713

187332852

29228713 0

0 0 0 1 4179

887179

5028179 − 2852

179

F3 = F3 −(6089

2822

)F4

−−−−−−−−−−−−−−−−→1 − 1669

3240 − 2993240

193240

13240 0 0 0

0 1 13277307 − 785

14614 − 837307

40514614 0 0

0 0 1 0 1179 − 718

179 − 3397179

6089179

0 0 0 1 4179

887179

5028179 − 2852

179

F2 = F2 −(− 785

14614

)F4

−−−−−−−−−−−−−−−−−−→

1 − 1669

3240 − 2993240

193240

13240 0 0 0

0 1 13277307 0 − 13287

13079533843951307953

19734901307953 − 1119410

13079530 0 1 0 1

179 − 718179 − 3397

1796089179

0 0 0 1 4179

887179

5028179 − 2852

179

F1 = F1 −(

19

648

)F4

−−−−−−−−−−−−−−−→

1 − 1669

3240 − 2993240 0 − 67

193320 − 16853115952 − 7961

96661354728998

0 1 13277307 0 − 13287

13079533843951307953

19734901307953 − 1119410

13079530 0 1 0 1

179 − 718179 − 3397

1796089179

0 0 0 1 4179

887179

5028179 − 2852

179

F2 = F2 −(1327

7307

)F3

−−−−−−−−−−−−−−−−→

1 − 1669

3240 − 2993240 0 − 67

193320 − 16853115952 − 7961

96661354728998

0 1 0 0 − 2179

183179

887179 − 1259

1790 0 1 0 1

179 − 718179 − 3397

1796089179

0 0 0 1 4179

887179

5028179 − 2852

179

F1 = F1 −(− 299

3240

)F3

−−−−−−−−−−−−−−−−−−→

1 − 1669

3240 0 0 49289980 − 99649

193320 − 1493363579960

2091551579960

0 1 0 0 − 2179

183179

887179 − 1259

1790 0 1 0 1

179 − 718179 − 3397

1796089179

0 0 0 1 4179

887179

5028179 − 2852

179

F1 = F1 −(−1669

3240

)F2

−−−−−−−−−−−−−−−−−−→1 0 0 0 − 1

1792

179 − 4179

−3179

0 1 0 0 − 2179

183179

887179 − 1259

1790 0 1 0 1

179 − 718179 − 3397

1796089179

0 0 0 1 4179

887179

5028179 − 2852

179

F1 = F1 −(−1669

3240

)F2

−−−−−−−−−−−−−−−−−−→− 1

179 − 2179 − 4

1793

1792

179183179 − 887

179 − 1259179

1179

718179 − 3397

179 − 6089179

− 4179

887179 − 5028

179 − 2852179

5

3.- Dada la matriz

3240 −1669 −299 951328 −648 −116 37−217 106 19 −635 −17 −3 1

hallar su determinante

por medio de expansión de cofactores.

Realizamos algunas operaciones para reducir las matrices de 3x3 que re-

alizaremos para encontrar el determinante de la matriz.

3240 −1669 −299 951328 −648 −116 37−217 106 19 −635 −17 −3 1

F3 = F3 + 6F4−−−−−−−−−−→

3240 −1669 −299 951328 −648 −116 37−7 4 1 035 −17 −3 1

−95

1328 −648 −116−7 4 135 −17 −3

+37

3240 −1669 −299−7 4 135 −17 −3

+1

3240 −1669 −2991328 −648 −116−7 4 1

Resolvemos las matrices de 3x3 y tenemos:

−95 (4) + 37 (−887) + 33020 = −179

Así que−179 es la determinante de nuestra matriz 4x4

Dada la matriz A =

14 0 1

40 1 014 0 1

4

hallar An donde n ∈ N.

A1 =

14 0 1

40 1 014 0 1

4

A2 =

14 0 1

40 1 014 0 1

4

∗ 1

4 0 14

0 1 014 0 1

4

⇐⇒ 1

8 0 18

0 1 018 0 1

8

A2 ∗A1 = A3 ⇐⇒

14 0 1

40 1 014 0 1

4

∗ 1

8 0 18

0 1 018 0 1

8

=

116 0 1

160 1 0116 0 1

16

Vemos que 5 terminos son iguales a la matriz original cuando la elevamos a

una potencia y que ademas los que no son iguales a los terminos de la matriz

original van cambiando constantemente al ser elevados.

Cuando A1 = 14

Cuando A2 = 18

6

Cuando A3 = 116

Debemos encontrar el termino enesimo de la sucesion:

Encontramos que 12n+1 es por la que debemos elevar a la matriz

A

4.- DADA LA MATRIZ A=

[3 −17 2

]HALLAR LA MATRIZ PORLA QUE

HAY MULTIPLICAR A PARA OBTENERLA MATRIZ B =

[41 819 4

][3 −17 2

].

[A CB D

]=

[41 819 4

]3a− b = 41

7a+ 2b = 19

3c− d = 8

7c+ 2d = 4

[3 −17 2

]4s = 6− (−7) = 13

[41 −114 2

]4a = 82− (−14) = 10

[3 417 19

]4b = 57− 287 = −320

−→ a =101

13

−→ b = −230

13

3c− d = 8

7c+ 2d = 4

(3 −17 2

)4s = 6− (−7) = 13

(8 −14 2

)4c = 16− (−4) = 20

7

(3 87 4

)4d = 12− 56 = −44

−→ c =20

13

−→ d = −44

13

−→=

(3 −17 2

).

(10113

2013

− 23013 − 44

13

)=

(41 817 4

)

8