CC1000 2014/01 Prof. Carlos Gonzlez C. Auxiliar: Alvaro Osorio H. / Angelo Gennari B. Ayudante: Matas Mattamala A. / Paula Ojeda C.

TAREA 2A Modele su propia Galaxia

Galaxia Remolino acompaada de la galaxia NGC 5195

Credit: NASA/ESA El objetivo de la tarea es resolver un problema numrico utilizando elementos de computacin cientfica. En especfico se utilizar Matlab para programar un mtodo de integracin numrica llamado Euler Progresivo para resolver un sistema de ecuaciones 1donde las incgnitas son funciones que representan un modelo para la formacin de estrellas.

Parte 1. Implementacin en Matlab (3.0 pts) Un modelo simple de formacin de estrellas en una galaxia considera que el gas atmico se convierte en gas molecular, ste en estrellas activas y luego las estrellas, al final de su vida, se transforman en supernovas iniciando el ciclo nuevamente en forma de gas atmico. Si es la fraccin de masa de gas atmico, la fraccin de masa de gas a m molecular y la fraccin de masa de estrellas activas, entonces el siguiente sistema se s modela a travs del sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias:

(t) (t) (t) s +m + a = 1 (1) (t) m(t) a(t) dt

da = s 8 2 (2) (3)m(t) a(t) 5m(t) s(t)dtdm = 8

2 1 n

Con condiciones iniciales y y . En donde y son las (0) .4 a = 0 (0) .3 m = 0 1 < n < 2 dtda dtdm

derivadas de las funciones y respectivamente, las cuales son las incgnitas de (t) a (t) m nuestro problema.

1http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_Euler

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Para resolver estas ecuaciones se propone utilizar el mtodo de Euler Progresivo, este es un mtodo de integracin numrica iterativo, donde los valores para un instante t dependen del instante anterior . Utilice el siguiente algoritmo:t 1

1. Discretizar el problema. Se debe dividir el intervalo de tiempo (que va de a ) ti tf en pasos de tamao de modo que se cumple la ecuacin (4). Mientras N ,h menor sea el paso ms cerca estar la aproximacin numrica de la solucin h real.

h = Nt tf i (4)

En la prctica, esto significa crear un vector de largo en el que iremos N almacenando los valores de nuestra solucin para cada instante discreto. En este caso, como se debe encontrar los valores para tres funciones, se crear una matriz de tres filas (una por funcin) y columnas (tiempo), la cual llamaremos matriz N de soluciones (ver Figura 1). Para el problema de formacin estelar se pide resolver la ecuacin entre y ti = 0

00. tf = 1

2. Condiciones iniciales. El siguiente paso es imponer las condiciones iniciales del problema, lo que da el punto de partida al mtodo iterativo. Para hacer esto tenemos que almacenar en la primera columna de nuestra matriz de soluciones, los valores de cada de las condiciones iniciales para cada incgnita del problema de formacin estelar (ver Figura 1).

3. Paso iterativo. El paso final es resolver iterativamente la ecuacin para el resto

de los puntos, para obtener el valor de un punto de una funcin de la forma , tenemos la siguiente relacin:(t) dtdx = f

hf xi = xi1 + i1 (5)

Con lo cual es sistema de ecuaciones (1), (2) y (3) se discretizan de la siguiente manera

a (s m a ) ai = i1 + h i1 8 2i1 i1 (6)

(8m a 5m s ) mi = mi1 + h 2i1 i1 1ni1 i1 (7)

)s i = 1 a ( i + mi (8)

Un aspecto importante de tener en cuenta es que para determinar el valor una de las ecuaciones en un instante , se necesita el valor de las otras ecuaciones el i instante anterior, como podemos ver en la Figura 1.

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Figura 1. Esquema de la matriz de soluciones

Si repite este proceso, desde la segunda columna en adelante (la primera tiene las condiciones iniciales), entonces se puede conocer el valor de las incgnitas en todo instante de tiempo. Se pide implementar la funcin euler_prog que resuelva el problema de formacin estelar implementando los 3 pasos anteriormente descritos. La funcin debe recibir el nmero de puntos de la discretizacin y el valor del parmetro . Es decir, la funcin N n se ejecuta como:

>>N=1000n=1.2>>euler_prog(N,n)

Parte 2. Resultados (1.0 pts)El objetivo final de la funcin euler_prog es estudiar las soluciones al problema de formacin estelar en funcin del parmetro para lo cual debe realizar lo siguiente:,n

1. Grafique superpuestas (un solo grfico) los resultados de las funciones y (t), m(t) a , para los siguientes valores de (t) s .2, 1.5y1.9. n = 1 a. En base a los graficos: Que podria decir sobre la solucin para es .2, n = 1

esta una solucion valida? Hint: Puede serle til recordar que la suma de las masas es 1

b. Para Cmo describira el comportamiento de esta solucin, .5, n = 1 presenta algn tipo de periodicidad?

2. Realice un grafico con en el eje x y en el eje y, con las soluciones de la (t) a (t) m

Parte 1, para cada uno de los valores de n

3. Para el caso la funcin tiende a un equilibrio?. Si es as, cul es el valor de .9, n = 1 equilibrio para y (t), m(t) a (t). s

Parte 3. Reporte de resultados (2.0 pts)

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1. Guarde los grficos resultantes de la parte 2. 2. Genere un reporte breve (dos o tres pginas) que explique los detalles de su tarea.

Debe incluir: a. Explicacin breve de su implementacin. b. Dificultades encontradas y su solucin. c. Presente los grficos obtenidos, complemente respondiendo las preguntas

propuestas en la Parte 2. d. Explique el fenmeno estudiado en base a los resultados. e. Explique el efecto de variar la cantidad de puntos utilizados en la

discretizacin, tanto en la calidad del resultado como en el tiempo de cmputo.

f. Discuta: Cul de los modelos graficados cree ud. que se acerca ms a la realidad? Nota: Si para esta parte utiliza alguna referencia no olvide la adjuntar la cita en el informe

BONUS (Mximo 1.5 pts.) La implementacin de cualquier funcionalidad o detalle extra sumar puntaje de bonificacin. El mximo bono posible es de 1,5 puntos. Este bonus se sumar a la nota de cualquiera de las tareas en el semestre, de no ser usado en tareas se ponderan en las notas de otras actividades.

Bonus software libre (0.5 pt.) Si realiza su tarea utilizando principalmente software libre podr optar a este bonus. Para esto en su tarea debe incluir una seccin donde se indique todo el software utilizado para el desarrollo de la actividad y el tipo de licencias de cada uno. En particular considere el uso de Octave como una alternativa libre a Matlab.

Bonus complejidad computacional (1.5 pt.) Considere realizar pruebas de rendimiento a la funcin implementada. Para esto reporte el tiempo de ejecucin del algoritmo principal en la resolucin para un solo (sin la n realizacin del grfico) utilizando las funciones tic y toc. Tome el tiempo para distintas discretizaciones, incrementando gradualmente la cantidad de puntos. Realice un grfico de la cantidad de puntos utilizados para resolver el problema versus el tiempo de ejecucin. Ajuste los puntos obtenidos con un modelo lineal y otro cuadrtico, determine cul es el mejor ajuste. Agregue estos resultados a su reporte. Cuando realice las pruebas asegrese de que el computador no est ejecutando ninguna otra aplicacin. Para ser ms riguroso, haga varias pruebas para la misma cantidad de puntos y reporte el promedio en cada caso.

Condiciones de entrega FECHA DE ENTREGA: SBADO 30 DE MAYO DE 2015. NO se contempla la

entrega de tareas fuera del plazo. LUGAR DE ENTREGA: U-cursos.

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Debe subir a u-cursos los siguientes entregables Cdigos utilizados para resolver la tarea. Grficos generados Archivo con el reporte de los resultados en formato PDF. No se

revisan otros formatos de archivo. La tarea debe desarrollarse de manera INDIVIDUAL. Las tareas sern revisadas para deteccin de copias. Casos de copia o fraude

sern sancionadas con la nota mnima segn el reglamento de la universidad. Consultas a travs del foro del curso. Planifique su tiempo y comience su tarea con anticipacin. Suba su tarea a tiempo: u-cursos toma algunos minutos en subir los archivos y

puede presentar fallas en los ltimos minutos.