Universidad Estatal a DistanciaEscuela de Ciencias Exactas y NaturalesCatedra de Matematicas Superiores

Topologıa - 03249Efren Chaves701860847

1. Sea X = {a, b, c, d, e} con la topologıa

τ = {X, ∅, {a}, {a, b}, {a, c, d}, {a, b, c, d}, {a, b, e}}

(a) Determine los subconjunto cerrados de X.Los subconjuntos cerrados de τ son:

X, ∅, {b, c, d, e}, {c, d, e}, {b, e}, {e}, {c, d}

(b) Determine la clausura de los conjuntos {a}, {b}, {c, e}.{a} = X{b} = {b, e}{c, e} = {c, d, e}

(c) Determine si los conjuntos del punto (b) son densos en X.Unicamente {a} es denso, dado que su clausura es X.

2. Sea X = {a, b, c, d, e} y la topologıa de X dada por

τ = {X, ∅, {a}, {a, b}, {a, c, d}, {a, b, c, d}, {a, b, e}}

Si A = {a, b, c}

(a) Determine los puntos interiores de A.El mayor abierto contenido en A es {a, b}, por lo tanto, Int(A) = {a, b}.

(b) Determine los puntos exteriores de A (El exterior de A es el interior R\A).El mayor abierto contenido en R\A es ∅; por lo tanto, Ext(A) = ∅.

(c) Determine los puntos frontera de A.

Definicion 0.1: FronteraSea A un subconjunto en un espacio topologico (X,τ ). La frontera deA viene dado por:

FrA = A\IntA

Dado que A = {a, b, c, d, e} y IntA = {a, b} entonces, FrA = {c, d, e}.

3. Un espacio topologico (X,τ ) se dice separable si tiene un subconjunto denso quees numerable. Determine cuales de los siguientes espacios son separables:

(a) El conjunto R con la topologıa usual.• Dado que Q ∪Q′ = Q = R entonces, Q es denso.• Ademas, existe una biyeccion entre Q y N por lo tanto, Q es numerable.∴ R es separable.

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(b) Un conjunto numerable con la topologıa discreta.i. X es numerable por hipotesis.

ii. X es denso dado que X es el menor cerrado que contiene a X, esto esX = X.∴ X un conjunto numerable y con la topologıa discreta, es separable.

(c) Un conjunto numerable con la topologıa cofinita.i. X es numerable por hipotesis.

ii. X es denso dado que X es el menor cerrado que contiene a X, esto esX = X.∴ X un conjunto numerable y con la topologıa cofinita, es separable.

(d) (X,τ ) donde X es finito.X es contable dado que es finito, esto es que es vacıo o que tiene n elementospara algun n ∈ N, pero no es numberable, dado que no es contable infinito.Por lo tanto, X no es separable.

4. Demuestre que si X es un conjunto infinito, entonces X es conexo con la topologıacofinita.Hip.: X es infinito, con la topologıa cofinita.P.D.: X es conexo.SolucionSupongamos que X no es conexo. Esto es ∃A ⊂ X tal que A 6= X,A 6= ∅, y a lavez abierto y cerrado.Como se esta trabajando en la topologıa cofinita, entonces, X\A es finito. Sinembargo, como A es tambien cerrado, entonces X\A tendrıa que ser abierto. Elcomplemento de X\A tiene que ser finito, esto es que A sea finito.Pero como el conjunto X es inifinito, no es posible que A y X\A sean ambos finitos.Por lo tanto, 6 ∃A ⊂ X tal que A 6= X,A 6= ∅ y que sea a la vez abierto y cerrado.y ası, X es conexo.

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