Tarea de evaluacion

M. Moreno, A. Flores, R. Leo

27 de enero de 2015

(1) Considere la funcion separable

(~r, ~p) = (x, px

) (y, py

) (z, pz

) ,

si esta tiene la expresion

(~r, ~p) =1

(2⇡~)3/2exp

✓i~p · ~r~

◆, (1)

¿cuales son las expresiones de sus componentes?

(2) Usando la ecuacion (1) y el siguiente hecho

Z +1

�1

⇤(~r, ~p0) (~r, ~p)d3r = �(p0x

� p

x

)�(p0y

� p

y

)�(p0z

� p

z

) ⌘ �(~p0 � ~p)

determine una representacion de la funcion delta de Dirac (�) en una dimension.

(3) Los polinomios de Legendre P

l

(x) se pueden introducir por medio de la funcion generatriz

g(x, t) = (1� 2xt+ t

2)�1/2 =1X

l=0

P

l

(x)tl

y son soluciones de la familia de ecuaciones diferenciales ordinarias

d

dx

(1� x

2)d

dx

P

l

(x)

�+ l(l + 1)P

l

(x) = 0 .

En terminos de Pl

(x) halle una expresion para Pl

(�x), ¿es Pl

(�x) una solucion de la ecuacion diferencialanterior?

(4) La transformada de Fourier de una funcion de onda (x) esta definida por

(p) =1p2⇡~

Z +1

�1 (x)e�ipx/~

dx .

Halle la transformada de Fourier en los siguientes casos:

(x) = �(x� x0) y (x) =1p2⇡~

e

ik0x.

1

(5) En la mecanica cuantica las relaciones de conmutacion fundamentales son

[xi

, x

j

] = 0 , [pi

, p

j

] = 0 , [xi

, p

j

] = i~�ij

, (2)

donde x

i

y p

i

son los operadores de posicion e impulso, el conmutador de dos operadores arbitrariosA y B esta definido por [A, B] ⌘ AB � BA. La relacion entre la mecanica clasica (izquierda) y lamecanica cuantica (derecha) se puede establecer por medio de las relaciones

x

i

! x

i

,

p

i

! p

i

,

{, } ! [, ]

i~ ,

donde {, } denotan los parentesis de Poisson, determine las relaciones analogas a (2) de la mecanicaclasica (parentesis de Poisson fundamentales).

(6) El resultado de Max Planck para la densidad de energıa en una cavidad es

u(⌫, T ) =8⇡h

c

3

⌫

3

e

h⌫/kT � 1,

¿cuales son los lımites de frecuencias pequenas (⌫ ! 0) y frecuencias grandes (⌫ >> kT/h)?

(7) Se desea medir la distancia entre planos adyacentes en un cristal. Si rayos X de longitud de onda 0.5Ason detectados a un angulo de 5�, ¿cual es dicha distancia?

(8) Considere una partıcula de masa m con una frecuencia angular

! =~k22m

,

¿cuales son la ecuacion de Schrodinger que gobierna su movimiento y su funcion de onda?

(9) Para el atomo de hidrogeno (Z=1) determine los valores de: (a) el radio de la orbita de Borh masbaja, (b) el cambio en la energıa para una transicion del estado n = 1 al estado n = 2 y, la frecuenciaangular y la longitud de onda de la radiacion emitida.

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