Tarea_1-AL_2013
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Facultad de Ingenier´ ıa Qu´ ımica. ´ Algebra Lineal Tarea 1: Matrices y Determinantes Ejercicio 1 Considere la matriz A = 2a 1 4 8 7 5a 3 a -2 sin hacer c´ alculo del determinante de esta matriz, encuentre el coeficiente de a 3 en la expresi´ on de |A|. Ejercicio 2 Se dice que una matriz cuadra- da A es una matriz 1)sim´ etrica si A = A T ; 2) antisim´ etrica si A = -A T 1. Demuestre que si A y B son matrices sim´ etricas del mismos orden, entonces la matriz A + B tambi´ en es sim´ etrica. 2. Compruebe que si A es sime´ etrica y c es un n´ umero real, entonces cA tambi´ en es sim´ etrica. 3. Demuestre la validez de los incisos an- teriores para matrices antisim´ etricas. 4. Describa la estructura general de las matrices sime´ etricas de orden 2 y de or- den 3 5. Describa la estructura general de las matrices antisime´ etricas de orden 2 y de orden 3 6. Sea A una matriz cuadrada de orden n. Muestre que la matriz A 1 = A + A T es sim´ etrica. 7. Sea A una matriz cuadrada de orden n. Muestre que la matriz A 2 = A - A T es antisim´ etrica. 8. Use los incisos anteriores para mostrar que toda matriz cuadrada A puede es- cribirse como la suma de una matriz sim´ etrica y una matriz antisim´ etrica. Verifique este resultado con las matri- ces a) 2 8 9 10 b) 1 3 -2 5 7 8 4 5 -10 Ejercicio 3 Encuentra una matriz triangu- lar superior que satisfaga A 3 = 1 30 0 -8 Ejercicio 4 Suponga que a b c d e f g h i =3 cal- cular 1. d e f a b c g h i 2. 2a 2b 2c g h i 3d 3e 3f 3. a + d b + e c + f d e f g h i Ejercicio 5 Calcule los determinantes de las siguientes matrices 1. B = 6 6 2 1 4 3 7 3 6 5 3 0 6 3 0 7 6 4 2 -2 2. C = -3 4 2 6 3 1 4 -7 8 3. D = e 2x e 3x 2e 2x 3e 3x Ejercicio 6 Considere la l´ ınea recta que pa- sa por dos puntos distintos (x 1 ,y 1 ) y (x 2 ,y 2 ) en el plano xy. Muestre que la ecuaci´ on de la recta es: x y 1 x 1 y 1 1 x 2 y 2 1 =0
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Problemas
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Facultad de Ingeniera Qumica.Algebra Lineal
Tarea 1: Matrices y Determinantes
Ejercicio 1 Considere la matriz
A =
2a 1 48 7 5a3 a 2
sin hacer calculo del determinante de estamatriz, encuentre el coeficiente de a3 en laexpresion de |A|.
Ejercicio 2 Se dice que una matriz cuadra-da A es una matriz 1)simetrica si A = AT ;2) antisimetrica si A = AT
1. Demuestre que si A y B son matricessimetricas del mismos orden, entoncesla matriz A + B tambien es simetrica.
2. Compruebe que si A es simeetrica y c esun numero real, entonces cA tambien essimetrica.
3. Demuestre la validez de los incisos an-teriores para matrices antisimetricas.
4. Describa la estructura general de lasmatrices simeetricas de orden 2 y de or-den 3
5. Describa la estructura general de lasmatrices antisimeetricas de orden 2 y deorden 3
6. Sea A una matriz cuadrada de orden n.Muestre que la matriz A1 = A + A
T essimetrica.
7. Sea A una matriz cuadrada de orden n.Muestre que la matriz A2 = A AT esantisimetrica.
8. Use los incisos anteriores para mostrarque toda matriz cuadrada A puede es-cribirse como la suma de una matrizsimetrica y una matriz antisimetrica.Verifique este resultado con las matri-ces
a)
[2 89 10
]
b)
1 3 25 7 84 5 10
Ejercicio 3 Encuentra una matriz triangu-lar superior que satisfaga
A3 =
[1 300 8
]
Ejercicio 4 Suponga que
a b cd e fg h i
= 3 cal-cular
1.
d e fa b cg h i
2.
2a 2b 2cg h i3d 3e 3f
3.
a + d b + e c + fd e fg h i
Ejercicio 5 Calcule los determinantes de lassiguientes matrices
1. B =
6 6 2 1 43 7 3 6 53 0 6 3 07 6 4 2 2
2. C =
3 4 26 3 14 7 8
3. D =
[e2x e3x
2e2x 3e3x
]Ejercicio 6 Considere la lnea recta que pa-sa por dos puntos distintos (x1, y1) y (x2, y2)en el plano xy. Muestre que la ecuacion de larecta es:
x y 1x1 y1 1x2 y2 1
= 0
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