Tarea4 07 sol+manipulador2segmentos
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Departamento de Ingeniería de Sistemas y Automática
Universidad Politécnica de Valencia
INGENIERÍA DE CONTROL I 2007-8
__________________________________________________________________________________________________ P. Albertos. Dept. Ingeniería de Sistemas y Automática. UPV. Ext.: 79570 e-mail [email protected] J.V. Roig. Dept. Ingeniería de Sistemas y Automática. UPV. Ext.: 75768 e-mail [email protected]
Tarea 4. Control de sistemas no lineales Se tiene un manipulador con dos segmentos y una unión flexible al que se le ajusta un modelo simplificado que puede expresarse por:
;2)(5.0
)(5.0
212
2111
u
sen
⋅+−=
−−−=
θθθθθθθ
&&
&&
Un punto de equilibrio, para u=0, es 021 == θθ .
Tomaremos como vector de estado: [ ]Tx 2211 θθθθ &&= .
1. Obtener un modelo linealizado en torno al punto de equilibrio. 2. Encontrar una transformación no lineal, )(xhz = que permita linealizar el sistema
por realimentación del estado. 3. Diseñar para el sistema linealizado y para la aproximación lineal, un control por
realimentación del estado que sitúe los polos en torno a -2.
4. Comparar la respuesta de ambos sistemas cuando se parte de una posición inicial: rad05.00,20,1 == θθ
rad5.00,20,1 == θθ 5. Si solamente se miden los ángulos, diseñar el control equivalente por
realimentación de la medida (salida).
Solución.
1. Obtener un modelo linealizado en torno al punto de equilibrio. En el punto de funcionamiento las variables son:
u=0, es 02010 == θθ , 02010 == θθ && El modelo de estado, con el vector de estado elegido, es:
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__________________________________________________________________________________________________ P. Albertos. Dept. Ingeniería de Sistemas y Automática. UPV. Ext.: 79570 e-mail [email protected] J.V. Roig. Dept. Ingeniería de Sistemas y Automática. UPV. Ext.: 75768 e-mail [email protected]
u
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡−
+
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−=
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
2000
00
sin0
05.005.0100005.005.00010
1
2
2
1
1
2
2
1
1
θ
θθθθ
θθθθ
&
&
&&
&
&&
&
en el que se pone de manifiesto la parte no-lineal, que habría que linealizar. O bien
u
xxx
xxxx
uxgxfx
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−−−=+=
2000
)(5.0
)(5.0sin)()(
31
4
311
2
&
en forma afín del control.
En general, para linealizar habría que calcular: ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
∂∂
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
∂∂
j
i
j
i
xg
xf
, . En esta caso, la única
función no lineal (el seno) se linealiza sustituyéndolo por el ángulo. Por tanto, el sistema linealizado será:
u
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−=
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
2000
05.005.0100005.005.10010
2
2
1
1
2
2
1
1
θθθθ
θθθθ
&
&
&&
&
&&
&
2. Encontrar una transformación no lineal, )(xhz = que permita linealizar el sistema por realimentación del estado.
Para transformar el sistema, de forma que las funciones no lineales solamente aparezcan con la última variable de estado (o el último subconjunto de variables de estado de la misma dimensión que el vector de entrada, en el caso multivariable), seguiremos el procedimiento indicado en el anexo.
Definimos el nuevo vector de estado, z, tomando:
),,,(),,,(),,,(),,,(
432144
432133
432122
432111
xxxxhzxxxxhzxxxxhzxxxxhz
====
Empezamos por la primera nueva variable de estado: ];)()([111 uxgxf
xhx
xhz +
∂∂
=∂∂
= &&
Haciendo: ;01 =∂∂ g
xh debe ser: ;0
4
1 =∂∂xh dado que el vector [ ]Tg 2000= .
Así pues, ),,( 32111 xxxhz = .
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),,,()(5.0(sin( 43212243
1311
2
12
1
111 xxxxhzx
xh
xxxxh
xxh
xxh
z ==∂∂
+−−−∂∂
+∂∂
=∂∂
= &&
Operando como antes, dado el valor de g , ;04
2 =∂∂
xh ),,( 32122 xxxhz = ; ;0
3
1 =∂∂xh
);,( 2111 xxhz =
Repitiendo el proceso:
),,,()(5.0(sin( 43213343
2311
2
22
1
222 xxxxhzx
xh
xxxxh
xxh
xxh
z ==∂∂
+−−−∂∂
+∂∂
=∂∂
= &&
Igualmente, deberá ser ;04
3 =∂∂xh
),,( 32123 xxxhz = ; luego ;03
2 =∂∂
xh );,( 2122 xxhz =
;02
1 =∂∂xh );( 111 xhz =
Finalmente:
),,,()(5.0(sin( 43214443
3311
2
32
1
333 xxxxhzx
xh
xxxxh
xxh
xxh
z ==∂∂
+−−−∂∂
+∂∂
=∂∂
= &&
Ahora bien, al calcular 4z& debe ser:
;0;0;03
3
4
44 ≠∂∂
→≠∂∂
→≠∂∂
xh
xhg
xh
Hemos definido el nuevo vector como una cadena de integradores:
)(5.0cos
)(5.0sin
422134
31123
212
11
xxxxzz
xxxzzxzz
xz
−−⋅−==
−−−====
=
&
&
&
siendo:
]2)`(5.0[5.0)](5.0sin)[5.0(cossin 3131112214 uxxxxxxxxz −−+−−−+−⋅=&
con ecuación de estado:
u
zzzzzzzzz
z
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−++−
=
1000
)sin(5.0)5.0(cossin 3131221
4
3
2
&
El sistema, con este vector de estado, se puede linealizar tomando:
vkzzrvkzzzzzzzu +−=+−−−−++⋅−= )()sin(5.0)5.0(cossin 3131221
dando lugar al sistema controlado:
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uz
kkkk
z
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
1000
100001000010
4321
&
3. Diseñar para el sistema linealizado y para la aproximación lineal, un control por realimentación del estado que sitúe los polos en torno a -2.
Los sistemas en cuestión son:
u
llll ⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−−
−=
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
2000
5.05.0100005.005.10010
2
2
1
1
43212
2
1
1
θθθθ
θθθθ
&
&
&&
&
&&
&
y uz
kkkk
z
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−
=
1000
100001000010
4321
&
Ligados por la equivalencia:
)(5.0cos
)(5.0sin
21114
2113
12
11
θθθθθθθ
θθ
&&&
&
−−⋅−=
−−==
=
z
zz
z
Para que los polos esté, en torno a -2, en el segundo caso se puede hacer por simple comparación de coeficientes:
122
33
4442344 232248)2( kskskskssssss −+−−−=++++=+
k=[16 32 24 8] Luego será: Para el sistema linealizado aproximado: » a=[0 1 0 0;-1.5 0 .5 0;0 0 0 1;.5 0 -.5 0]; » b=[0 0 0 2]’; » p= [-2 -2.001 -2.01 -1.999];
l=[-17.5100 20.1050 11.0300 4.0050]
4. Comparar la respuesta de ambos sistemas cuando se parte de una posición inicial: rad05.00,20,1 == θθ
rad5.00,20,1 == θθ Observad que los tres sistemas que estamos considerando son:
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1. Sistema “real”:
2. Sistema aproximado lineal:
3. Sistema linealizado por realimentación:
Por lo tanto, cabe esperar que:
a. Los sistema S1 y S2 se comporten de forma semejante para pequeñas señales b. Los sistema S2 y S3 son lineales, con dinámicas distintas (S3 es una cadena de integradores). c. S3 es el sistema real, realimentado (por lo tanto modificado) y no se parece al S2 para ninguna señal.
Por lo tanto, podemos asignar polos similares en S2 y S3 pero no corresponderán a comportamientos similares de x en ambos sistemas. Para visualizar estas respuestas vamos a simular ambos sistemas con Simulink®.
x' = Ax+Bu y = Cx+Du
lineal-exact
Scope3
Scope2
Scope1
Scope
x' = Ax+Bu y = Cx+Du
Lineal-aprox
m
m
K
- l
K
- k
en el que se puede ver las diferencias de ambos sistemas lineales, en bucle abierto, y a partir de condiciones iniciales “coherentes”. 5. Si solamente se miden los ángulos, diseñar el control equivalente por realimentación de la medida (salida). Este apartado es similar (observador de orden reducido) en el caso del modelo lineal aproximado. Es inviable en el caso de la linealización exacta, que requiere la realimentación del estado, o bien ha de desarrollarse un observador no lineal del estado.
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Linealización por realimentación Si se tiene un sistema escalar dado por:
;)()( uxgxfx ⋅+=& (1)
en todo el rango de valores { }0)( , ≠⊆∈ xgRXx , se puede encontrar la ley de control
[ ]vxkxfxg
u +⋅+−= )()(
1 (2)
tal que el sistema controlado es lineal: vxkx +⋅=&
• En el caso de que f(x) tuviera varios sumandos, se podría cancelar selectivamente algunos de ellos, si el resto no fuera perjudicial desde el punto de vista dinámico o de control.
• En el supuesto de un sistema de mayor dimensión, en el que f y g son vectores de funciones, no se puede realizar esta cancelación (2), salvo que el control y el término no lineal aparezcan solamente en la ecuación de estado de una única variable.
Así, por ejemplo, si se tuviera:
uxgxf
bxaxxx
⋅⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡ +=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡)(
0)(
21
2
1&
&
se podría tomar [ ]vdxcxxfxg
u +++−= )()()(
121
dando lugar al sistema lineal:
vxx
dcba
xx
⋅⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡10
2
1
2
1&
&
• En caso contrario hay que recurrir a un cambio de variables previo, (una transformación no lineal o difeomorfismo), y deben darse determinadas condiciones para que se pueda realizar la linealización. La idea es trasladar a la ecuación de estado de una única variable, el comportamiento no lineal, para proceder como anteriormente. Supongamos que se tiene: ;)()( uxgxfx ⋅+=& con dim(x) = n
Se hace el cambio, para la primera variable: ;0)0( ),( 111 == hxhz de forma que
;0)()(
;1,,1 ;0)()(
sea ,)()(
)()()(
≠∂
∂−==
∂∂
∂∂
+∂
∂=
∂∂
=
xgx
xhnixg
xxh
uxgxxh
xfxxh
xxxh
z
ni
iiii
K
&&
(3)
y habiéndose tomado
;1,,1 );()(
1 −=∂
∂=+ nixf
xxh
z ii K (4)