Tarea4 09 sol

Departamento de Ingeniería de Sistemas y Automática

Universidad Politécnica de Valencia

INGENIERÍA DE CONTROL I 2009-10

P. Albertos. Dept. Ingeniería de Sistemas y Automática. UPV. Ext.: 79570 e-mail [email protected]

J.V. Roig. Dept. Ingeniería de Sistemas y Automática. UPV. Ext.: 75768 e-mail [email protected]

Tarea 4. Generador Sincrónico (entrega 17-12-09)

Un generador sincrónico conectado a un bus infinito, como el de la figura, puede

representarse por las ecuaciones:

tEttEtE

ttEtDtPtM

qq

q

cos

sin

32

1

Donde:

δ es el ángulo en radianes,

Eq es la tensión generada,

P es la potencia mecánica aplicada,

E es tensión de excitación,

05.0D es el coeficiente de amortiguamiento,

02.0M es el coeficiente de inercia,

5 es una constante de tiempo, y

21 , 5.22 , 5.13 son parámetros constantes.

Considerando P y E como entradas y, δ y Eq como salidas, se pide:

1. Realizar un simulador (SIMULINK) del generador sincrónico.

2. Obtener un modelo de estado del sistema completo.

3. Obtener un modelo linealizado aproximado, alrededor del punto de equilibrio

formado por: 20 P y 50 E .

4. Diseñar un control integral por realimentación del estado para el sistema linealizado

aproximado, que sitúe todos los polos en −10; e implementarlo en SIMULINK

suponiendo el estado accesible.

5. Linealizar exactamente el sistema mediante una realimentación del estado.

6. Diseñar del control integral por realimentación del estado para el sistema linealizado

exactamente que sitúe todos los polos del sistema en −10; e implementarlo en

SIMULINK suponiendo el estado accesible.

7. Comparar las respuestas de ambos controles para los mismos cambios en las

referencias. Comentar los resultados.

E Eq

P

G

δ






Solución

1. Simulador del generador síncrono implementado en SIMULINK.

2. Modelo en espacio de estado del sistema no lineal:

Tomando la velocidad angular como: , las variables de estado serán:

TqEx

Y las ecuaciones de estado del sistema no lineal serán las siguientes:

uxf

tEttE

ttEtDtPM

t

tE

t

t

tx

q

q

q

,

cos1

sin1

32

1

3. Modelo linealizado alrededor del punto de de equilibrio para 20 P y 50 E .

En primer lugar, determinamos el valor todas las variables en el punto de equilibrio.

Teniendo en cuenta que en el punto de equilibrio las derivadas son nulas, se cumple:

00

3

0

2

00

1

0

cos0

sin0

EE

EP

q

q

3

Eq

2

vel_ang

1

ang

n3

n3

n2

n2

n1

n1

d

coef_amort

cos

Trigonometric

Function1

sin

Trigonometric

Function

Product9

Product8

Product7

Product4

Product10

Product1

1

s

Integrator2

1

s

Integrator1

1

s

Integrator

1/tau

1/tau

1/M

1/M

2

E

1

P






Para resolver este sistema de ecuaciones despejamos las funciones seno y coseno, y

aplicamos la relación trigonométrica de un ángulo:

2

3

00

2

2

0

1

02020

3

00

20

0

1

00

cossin1

cos,sin

EE

E

P

EE

E

P

q

q

q

q

Operando se llega a una ecuación de 4º orden:

099110025

02

203040

202

3

202

3

2

1

202

1

300

2

2

1

402

2

2

1

qqq

qqq

EEE

PEEEEE

De las cuatro soluciones de esta ecuación: 0.2986j0.0475,5431.12.5520,0 qE ;

las complejas no pueden ser, y de las otras dos será la que nos dé el mismo ángulo con

las dos expresiones:

4365.25431.1 :Para

4026.05520.2 :Paraacos

7050.05431.1 :Para

4026.05520.2 :Paraasin

00

00

3

00

20

00

00

0

1

00

q

qq

q

q

q

E

EEE

E

E

E

P

La solución es, por tanto: 5520.20 qE Voltios y 4026.00 radianes.

A continuación, linealizamos las ecuaciones de estado del modelo no lineal alrededor

del punto de funcionamiento determinado, y obtenemos:

tutxtx

tE

tP

MtE

t

t

MM

DE

MtE

t

t

q

q

q

2.00

050

00

5.001176.0

18.395.28.234

010

10

01

00

0sin

sincos

010

203

01001

Completamos el modelo con las ecuaciones de salida, que serán directamente las

variables de estado t y tEq :

tE

t

t

tE

tty

q

q

100

001






4. Control integral por realimentación del estado para el sistema linealizado aproximado:

Con el modelo linealizado (A, B, C) determinado en el apartado anterior, construimos un

sistema ampliado que incluya la integral de los errores entre las salidas y sus respectivas

referencias:

txCtrtytrtetvdttetv

trI

tu

aB

Btx

aA

C

A

tv

txtx aa

0

00

0

El control por realimentación del estado para este sistema ampliado: txKtu aa ,

que incluye la acción integral, se puede diseñar mediante el comando place de

MATLAB. >> Aa = [ A zeros(3,2); -C zeros(2,2)];

>> Ba = [ B; -D];

>> Ka = place(Aa, Ba, [-10 -10 -10.001 -10.002 -10.001])

0500.50005050.9705878.0

00059.207837.05501.03053.1aK

El control diseñado para el sistema linealizado aproximado se puede aplicar al sistema

original no lineal, siempre que nos encontremos en un entorno próximo al punto de

funcionamiento.

El esquema de SIMULINK que implementa este control, suponiendo que todo el estado

es medible sería:

x

vxa

vel_ang

ref_ang

ref_Eq1

s

Integrator1

1

s

Integrator

U x

Generador

Sincrónico

Ka* u

Gain

Eq

DemuxAngulo






5. Linealización exacta mediante una realimentación del estado.

Si expresamos en modelo no lineal del generador síncrono, obtenido en el apartado 2, de

la siguiente forma:

tu

tu

Mtxtx

M

txtxtxD

tx

tx

tx

tx

tx2

1

1332

1312

2

3

2

1

10

01

00

cos

sin

tu

G

M

txtxtxf

txtxf

txtxtxf

tx

tx

txtx

10

01

,,

,

,,

321

312

3211

3

2

21

Aplicando la realimentación no lineal: tutxtxtxfGtu L

321

1 ,, , se

obtiene el sistema linealizado exactamente (Ale, Ble):

tu

tx

tx

tx

tx

tx

tx

tx L

10

01

00

000

000

010

3

2

1

3

2

1

6. Control integral por realimentación del estado para el sistema linealizado exactamente:

Como el modelo linealizado exactamente (Ale, Ble, Cle) determinado en el apartado

anterior, está desacoplado y ya dispone de integradores de las salidas, como se puede

demostrar al obtener su matriz de transferencia: >> Ale = [ 0 1 0; 0 0 0; 0 0 0];

>> Ble = [0 0; 1 0; 0 1];

>> SYSlr = ss(Ale, Ble, C, D);

>> Glr = tf(SYSlr)

s

ssGlr 10

01

2

El sistema está desacoplado y ambos bucles disponen de un integrador, por lo que el

control integral se puede diseñar ajustando la ganancia de la prealimentación, sin

necesidad de añadir otro integrador.

Si diseñamos un control por realimentación del estado para situar los polos en la

posición deseada, se observa este desacoplamiento: >> Kle = place(Ale, Ble, [-10 -10 -10.000001])

1000

020100leK






Los dos primeros estados se realimentan sobre la primera entrada para controlar la

primera salida (y1 = x1), y el tercer estado se realimenta sobre la segunda entrada para

controlar la segunda salida (y2 = x3).

También se podría diseñar la realimentación del estado por separado para cada bucle,

dando el mismo resultado: >> Kle1 = acker(Ale(1:2, 1:2), Ble(1:2, 1), [-10 -10])

>> Kle2 = acker(Ale(3, 3), Ble(3, 2), [-10])

>> Kle = [Kle1 0; 0 0 Kle2]

Para conseguir el seguimiento, simplemente hay que ajustar la ganancia de la

prealimentación para conseguir una ganancia estática en bucle cerrado unitaria.

32

211

3,33,3

2,11,11,1

2

1

xKrefKtu

xKxKrefKtu

leyleL

leleyleL

El esquema de SIMULINK que implementa este control, suponiendo que todo el estado

es medible sería:

7. Comparación de los dos controles:

En ambas simulaciones se parte del sistema en reposo y se aplican los siguientes

cambios en las referencias:

- La referencia del ángulo cambia de 4026.00 a 1.00 radianes en el

instante 2 seg.

- La referencia de qE cambia de 552.20 qE a 20 qE voltios en el instante 4 seg.

Las evoluciones de los estados es más suave con el control no lineal que con el control

lineal que presenta una mayor sobreoscilación. Sin embargo, la evolución de las señales

de control es más brusca con el control no lineal, que con el control lineal.

Ul

vel_ang

K*u

inv(G)

xf 1

f 2

Subsystem

Ref_ang

Ref_Eq

K*u

Kle(2,3)

K*u

Kle(1,1)

K*u

Kle

U x

Generador

Sincrónico

Eq

Entradas

Demux

Demux

Angulo






En las siguientes gráficas se pueden observar estas señales.

0 1 2 3 4 5 60

1

2

3

4

5

P(t

)Entradas (verde: control lineal, rojo: control no lineal)

0 1 2 3 4 5 60

50

100

150

E(t

)

Tiempo (seg)

0 1 2 3 4 5 60

0.5

1

(

t)

Estados (verde: control lineal, rojo: control no lineal)

0 1 2 3 4 5 6-2

0

2

4

(

t)

0 1 2 3 4 5 60

2

4

6

Eq (

t)

Tiempo (seg)

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