TÉCNICAS AVANZADAS DE SERIES TEMPORALES PARA LA …©cnicas avanzadas de series temporales...

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1 Dpto. de Estadística ,Estr.Eca.y O.E.I. Universidad de Alcalá de Henares. Técnicas avanzadas de series temporales TÉCNICAS AVANZADAS DE SERIES TEMPORALES PARA LA PREDICCIÓN ECONÓMICA Y EL ANÁLISIS DE COYUNTURA 2 Dpto. de Estadística ,Estr.Eca.y O.E.I. Universidad de Alcalá de Henares. Técnicas avanzadas de series temporales PREDICCIÓN ECONÓMICA Control y planificación : gestión de inventarios, previsión de ventas, planificación de la producción, etc. Marketing: Las decisiones sobre precios y gastos en publicidad se basan en predicciones de respuestas a las ventas en distintos escenarios. Economía : Los Gobiernos usan las predicciones en el contexto de la política económica y fiscal, mientras que las empresas las usan para su planificación estratégica, puesto que las fluctuaciones económicas generalmente tienen efectos a nivel de industria y empresa. Especulación Financiera: Los analistas financieros buscan beneficios con la predicción de las series de rendimientos de los activos. Demografía: Los nacimientos, muertes, inmigrantes, emigrantes son características que se predicen de forma rutinaria.

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Dpto. de Estadística ,Estr.Eca.y O.E.I.Universidad de Alcalá de Henares.

Técnicas avanzadas de series temporales

TÉCNICAS AVANZADAS DE SERIES TEMPORALES PARA LA PREDICCIÓN

ECONÓMICA Y EL ANÁLISIS DE COYUNTURA

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Técnicas avanzadas de series temporales

PREDICCIÓN ECONÓMICA

Control y planificación: gestión de inventarios, previsión de ventas, planificación de la producción, etc.Marketing: Las decisiones sobre precios y gastos en publicidad se basan en predicciones de respuestas a las ventas en distintosescenarios.Economía: Los Gobiernos usan las predicciones en el contexto de la política económica y fiscal, mientras que las empresas lasusan para su planificación estratégica, puesto que las fluctuaciones económicas generalmente tienen efectos a nivel de industria y empresa. Especulación Financiera: Los analistas financieros buscan beneficios con la predicción de las series de rendimientos de los activos.Demografía: Los nacimientos, muertes, inmigrantes, emigrantes son características que se predicen de forma rutinaria.

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En un ejercicio de predicción se necesita:

(a) Una adecuada especificación del problema de predicción.

(b) Reunir toda la información relevante, de acuerdo a la anterior especificación.

(c) La formulación de un modelo para procesar toda la informacióny producir la predicción.

Un modelo nunca puede llegar a ser una descripción completamente exacta de la realidad, porque para ello se tendría que desarrollar un modelo tan complejo que no sería útil en la práctica.

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PREDICCIONES E INNOVACIONES

• Los agentes económicos planifican de acuerdo con predicciones.

• La predicción se denomina “expectativa”.

• La discrepancia entre la “expectativa” y la realidad se denomina“innovación”.

• La innovación es la única nueva información contenida en losnuevos datos observados.

• Cuando una nueva observación llega, el agente no actúa de acuerdo con la magnitud publicada, sino en respuesta a sucorrespondiente innovación.

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HORIZONTE DE PREDICCIÓN Y PRECISIÓN EN LAS PREDICCIONES.

• El horizonte de predicción se define como el número de períodos entre hoy y la fecha de la predicción que hacemos. Las consideraciones corto, medio o largo plazo dependerán del problema considerado.– Para un director de ventas, un horizonte de un año podría

ser el largo plazo.– Para un Ministro de Fomento, un horizonte de dos años

podría ser el corto plazo.

• La PRECISIÓN en la predicción depende de:– El tipo de variable a predecir. – El horizonte de predicción.– El método de predicción.

• Asociada a la correcta especificación del modelo• Asociada a la estimación de los parámetros.

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SERIES TEMPORALES ECONÓMICAS• Los fenómenos económicos cambian a lo largo del tiempo. • Para entederlos, se necesita medirlos en el tiempo. • En esta medición, el orden temporal es esencial.

TAL MEDICIÓN GENERA UNA SERIE TEMPORAL.

• Una serie temporal económica es:– Una secuencia de valores que corresponden a cierto

fenómeno económico. – Ordenados a lo largo del tiempo. – Y generalmente registrados en intervalos equidistantes.

• La longitud del intervalo es fija, dependiendo de:– la naturaleza del fenómeno y– el coste de conseguir los datos.

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VARIABLES MACROECONÓMICAS DE INTERÉS

• Entre otras– PIB– Inversión– Producción Industrial– Consumo Privado– Ventas al por menor.– Ventas de automóviles– Empleo en la industria.– Empleo en el sector de servicios.– Inflación– Comercio Exterior– Indicadores de Confianza de los

Consumidores– ...

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-40

-30

-20

-10

0

10

1988 1990 1992 1994 1996 1998 2000 2002

CONFIND

Indicador de Confianza de los Consumidores en la UM

CARACTERÍSTICAS DE LAS SERIES ECONÓMICAS

Las series económicas presentan distintas regularidades: tendenciales, estacionales, cíclicas.

No presenta un tendencia sistemática a crecer, sino más bien fuertes oscilaciones alrededor de una media.

Otras serie con estas características podría ser la tasa de desempleo.

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145

150

155

160

165

170

1995 1996 1997 1998 1999 2000

IPC Alimentación en E.E.U.U.

40000

60000

80000

100000

120000

140000

160000

180000

1990 1992 1994 1996 1998 2000 2002

MATRICULACION_VEHICULOS

Matriculación de vehículos en España

Presenta evolución tendencial, fuerte estacionalidad y comportamiento cíclico.

Este comportamiento se puede observar en series de actividad.

Presenta una tendencia sistemática a crecer.

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Rendimientos mensuales de INTEL

-0.6

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

74 76 78 80 82 84 86 88 90 92 94 96 98

INTEL

No presenta evolución tendencial, ni correlaciones importantes. Sin embargo, muestra signos de heterocedasticidad.

Este comportamiento se puede observar en series financieras.

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PROCESOS ESTOCÁSTICOS:Xt : Un proceso estocástico, es una colección {Xt; t=1,2,...,T} de variables aleatorias ordenadas en el tiempo.

Características:E(Xt) = medida de posición central en el momento t = µtVar(Xt) = medida de dispersión en el momento t =γot Cov (Xt, Xt+k ) = medida de la relación lineal entre las observaciones = γkt

( )( )[ ]

)(00 ktt

ktkt

ktktttkt XXE

−−

=

−−=

γγγρ

µµγ Función de autocovarianzas

Función de autocorrelación

Una Serie Temporal es la realización de un proceso estocástico

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Procesos estacionarios: Un proceso estacionario no presenta evolución en media ni en varianza y la relación entre las observaciones en dos momentos del tiempo diferentes sólo dependedel número de observaciones que distan entre ambas y no del momento en el que se calculan.

Una serie temporal Xt es débilmente estacionaria si(1) E(Xt) = constante = µ(2) Var(Xt) = constante =γo(3) Cov (Xt, Xt+k ) solo depende de k = γk

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-3

-2

-1

0

1

2

3

4

25 50 75 100 125 150 175 200

A

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

25 50 75 100 125 150 175 200

SERIE1

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

25 50 75 100 125 150 175 200

SERIE2

¿Cómo distinguir entre estas tres series?- Función de autocorrelación teórica- Función de autocorrelación estimada

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Estimación de las características del proceso:

Empíricamente: Sean x1, x2, ..., xT los datos observados

( )

( )( )

( )grandes) muestras(en 1,0

ˆ

ˆˆˆ

1

ˆˆ

ˆ

1

2

1

1

2

0

1

−−=

−=

=

=

+=−

=

=

TN

X

XX

T

X

T

X

T

ii

T

kikii

k

T

ii

T

ii

µ

µµρ

µγ

µ

con lo cual, una autocorrelación es distinta de cero si no pertenece al siguiente intervalo:

±

T196.1

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Ruido blanco:Una serie at es ruido blanco si es impredecible:

E(at) = 0Var(at) = cor(at, at-j) = 0 ∀ j ≠0

Un ruido blanco es un proceso estocástico estacionario.Un proceso estocástico estacionario puede ser, en general, predecible y

por tanto, no ser un ruido blanco.

2aσ

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Modelos de series temporalesxt = f (información conocida) + ruido blanco

predecible + impredecible

Hasta el momento t-1 se tiene la siguiente información:Valores pasados de la serie: x1, x2, ..., xt-1Innovaciones pasadas: a1, a2, ..., at-1

Según la información disponible, hay tres tipos de modelos:

xt = f (a1, a2, ..., at-1) + at Modelos de medias móviles (MA)

xt = f (x1, x2, ..., xt-1) + at Modelos autorregresivos (AR)

xt = f (x1, x2, ..., xt-1 , a1, a2, ..., at-1) + at Modelos mixtos (ARMA)

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Descomposición de Wald: Dado un proceso Xt de media 0, estacionario de segundo orden, se puede representar de la forma:

con at ruido blanco.

jtj

jt aX −

=∑=

0ψ ∑

=

∞<=0

20 ,1

jjψψ

!++++= −−− 332211 ttttt aaaaY ψψψ

Este teorema dice que cualquier proceso estocástico estacionario

Tiene las siguientes implicaciones:- la importancia de una innovación es menor cuanto mayor sea el tiempo que ha transcurrido desde que ocurrió- Es una caracterización poco operativa puesto que requeriría la estimación de infinitos parámetros.

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PROCESOS DE MEDIAS MÓVILES

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Modelo de medias móviles de orden q: MA(q)El modelo incorpora las últimas q innovaciones.

qtqtttt aaaaX −−− −−−−= θθθ !2211

Para comprender las características de este modelo, se analizan primero algunos casos simplificados.

Modelo de medias móviles de orden 1: MA(1)El modelo incorpora la innovación actual y la anterior.

11 −−= ttt aaX θCon at un proceso ruido blanco con desviación típica residual aσ

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( )( ) ( )( )

( )

>

=+−

==

>=−

==

+==

==

10

11,

101

,cov

1

0

21

1

21

2210

ksi

ksiXXcorr

ksiksi

XX

XVXE

kttk

akttk

at

t

θθ

ρ

σθγ

σθγµ

Características del modelo MA(1)

- siempre es estacionario.- sólo la primera autocorrelación es distinta de cero.

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0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

-2

-1

0

1

2

MA(1);_-0.5

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

-3

-2

-1

0

1

2

3 MA(1);_0.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1 2 3 4 5 6

�� � � � � �

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1 2 3 4 5 6

��

��

�� �� �� �� ��

( )4.0

5.015.0

25.115.01

21

20

−=+−=

=×+=

ρ

γ ( )4.0

5.015.0

25.115.01

21

20

=+

=

=×+=

ρ

γ

FAC

1,5.0 1 =−= − attt aaX σ 1,5.0 1 =+= − attt aaX σ

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Modelo de medias móviles de orden 2: MA(2)El modelo incorpora la innovación actual y la anterior.

2211 −− −−= tttt aaaX θθcon at un proceso ruido blanco con desviación típica residual aσ

( )( ) ( )

( )

>

=++

=++−−

==

++==

==

20

2)1(

1)1(

)1(

,

1

0

22

21

2

22

21

21

222

210

ksi

ksi

ksi

XXcorr

XVXE

kttk

at

t

θθθθθθθ

ρ

σθθγµ

Características del modelo MA(2)

- siempre es estacionario.- sólo las dos primeras autocorrelaciones son distintas de cero.

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��������

��������

���������� �� �� ��

-1.00-0.80-0.60-0.40-0.200.000.200.400.600.801.00

1 2 3 4 5

tt aLLX )2.09.01( 2+−=

Ejemplo:

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

25 50 75 100 125 150 175 200

MA2

Función de autocorrelación

( )

>=−=

==

=

20211.0139.0

,

85.10

ksiksiksi

XXcorr kttkρ

γ

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- Siempre es estacionario- Solo q innovaciones pasadas entran en el modelo- µx = 0 , - γo = (1+θ1

2+…+ θq2) σa

2.

- La función de autocorrelación se corta tras q retardos.- Las innovaciones persisten q períodos.- Sólo q predicciones hacia el futuro son distintas de 0 y la incertidumbre hacia el futuro es acotada.

Modelo de medias móviles de orden q: MA(q)El modelo incorpora las últimas q innovaciones.

qtqtttt aaaaX −−− −−−−= θθθ !2211

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NOTACIÓN: Operador de retardos L

==

==

==

bttb

bttb

tt

tt

tt

tt

aaLXXL

aaLXXL

aLaXLX

general,en , ,2

22

2

1

1

En el caso de un polinomio de medias móviles MA(q):

tq

q

qtqtttt

aLLL

aaaaX

)1( 221

2211

θθθ

θθθ

−−−−=

=−−−−= −−−

!

!

Polinomio en el operador de retardos LFiltro de medias móviles (porque está aplicado a las innovaciones).

Observación: Suma de una serie geométrica

gggg

−=++++

111 32 ! Pero para que sea convergente debe

ser |g|<1

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PROCESOS AUTORREGRESIVOS

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Modelo autorregresivo de orden p: AR(p)El modelo incorpora la información de las últimas p observaciones.

tptpttt aXXXX ++++= −−− φφφ !2211

Otras formulaciones:

tptpttt aXXXX =−−−− −−− φφφ !2211

( ) ttp

p aXLLL =−−−− φφφ !2211

Polinomio en el operador de retardos LFiltro de autorregresivo (porque está aplicado a la propia variable).

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Modelo autorregresivo de orden 1: AR(1)El modelo incorpora la última observación.

ttttt aXLaXX =−+= − )(1 ó 111 φφ

Estacionariedad: Para comprobar esta característica es preciso conocer cómo afectan las innovaciones en el modelo.

( )!

!

−−−−=

=−−−−=

=−

=⇒=−

−−− 33

22

11

33221

11

11

111

)(1)(1

tttt

t

tttt

aaaa

aLLLL

aXaXL

φφφ

φφφφ

φ

La condición de estacionariedad:

( ) 11 10

2642111

<⇔∞<=++++ ∑∞

=

φφφφφi

ii!

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( )( )

( )( ) k

kkttk

kkkttk

at

t

XXcorr

XX

XV

XE

11

11

1

01

22

10

,

,cov1

10

φρφρ

γφγφγ

σφ

γ

µ

===

===

−==

==

−−

−−

Características del modelo AR(1)

- Hay infinitas correlaciones distintas de cero. - Las autocorrelaciones tienden a cero exponencialmente.- Las autocorrelaciones siguen la misma ecuación en diferencias que el proceso AR(1) original

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Técnicas avanzadas de series temporales

��������������

��������������

��������������

�����������

�����������

�����������

���������

���������

���������

��������

��������

���������������

�������

�������������

������

������

�����������

�����

�����

-1-0.8-0.6-0.4-0.2

00.20.40.60.8

1

1 2 3 4 5 6 7

��������������

��������������

�������������� ���������

���������

���������

������

������

������ ������

������

������

������

������

������ ���� ���� ���� �� �� ��

-1-0.8-0.6-0.4-0.2

00.20.40.60.8

1

1 2 3 4 5 6 7

-4

-2

0

2

4

6

25 50 75 100 125 150 175 200

AR1POS

-4

-2

0

2

4

6

25 50 75 100 125 150 175 200

AR1NEG

kk 7.0=ρ

( )kk 7.0−=ρ

ttt aXX += −17.0

ttt aXX +−= −17.0

Ejemplos:

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Modelo autorregresivo de orden 2: AR(2)El modelo incorpora las dos últimas observaciones.

tttttt aXLLaXXX =−−++= −− )(1 ó 2212211 φφφφ

Estacionariedad:

)(1)(1

)(1)(1

21

221

221

LGLGa

LLaXaXLL

t

tttt

−−=

=−−

=⇒=−−φφ

φφ

La condición de estacionariedad:

)1( polinomio del inversas raíces las y siendo ,1y 1 2212121 LLGGGG φφ −−<<

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Ejemplo ( ) tt aXLL =+− 235.02.11

El polinomio autorregresivo se puede descomponer de la siguiente forma:

( ) ( )( )LLLL 5.017.0135.02.11 2 −−=+−Con lo cual:

( ) ( )( ) ( ) ( )LLLLLL 5.015.2

7.015.3

5.017.011

35.02.111

2 −−+

−=

−−=

+−

y aplicado a la secuencia de innovaciones:

( ) ( )( ) t

ttt

aLaLLaLLX!

!!

+×−×+×−×+=

=+++−+++=222

2222

)5.05.27.05.3()5.05.27.05.3(1

5.05.015.27.07.015.3

Las inversas de las raíces del polinomio 0.7 y 0.5 son las que restringen el comportamiento de los coeficientes

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FUNCIÓN DE AUTOCORRELACIÓN

La función de autocorrelación sigue la misma ecuación en diferencias que el proceso AR(2) original:

2211

2

11 1

−− +=−

=

kkk ρφρφρφφρ

kkk GAGA 2211 +=ρLa solución para k>2 es:

con G1 y G2 las raíces inversas del polinomio AR y A1 y A2 constantes a determinar.

•Si G1 y G2 son reales, el decrecimiento de las autocorrelaciones será la suma de dos exponenciales•Si G1 y G2 son complejas conjugadas, el decrecimiento será de forma sinusoidal.

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Tipos de raíces que se pueden obtener con un AR(2) y comportamientos que inducen

PACFFAC

Reales

Complejas

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TRIÁNGULO DE ESTACIONARIEDAD PARA UN AR(2)

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Función de autocorrelación parcial:Permite distinguir entre un proceso AR(1) y un AR(2).La función de autocorrelación parcial de orden k es una medida de la relación lineal entre las observaciones separadas por k períodos, independientemente de los valores intermedios

Ejemplos:

tttttt

ttt XXXaXXaXX

→→

+=+=

−−−−−

−12

1211

11

φφAR(1)

AR(2)ttttttt XXXaXXX →→++= −−−− 122211 ,φφ

Existe relación entre Xt-2 y Xt tanto en el modelo AR(1) como en el AR(2), pero en el caso del AR(1) es indirecta (si se eliminaran los efectos de Xt-1 ya no existiría esta relación)

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Nuevas consideraciones sobre los procesos de medias móviles

Concepto de invertibilidad: La invertibilidad de un proceso es la condición que permite estimar las innovaciones. Un proceso es invertible si se puede escribir como una combinación lineal infinita de las observaciones pasadas.MA(1)

!

!

−−−+=⇒

=++++⇒

=−

⇒−=

−−− 33

22

11

33221

11

11

11)1(

)1()1(

ttttt

tt

tt

tt

XXXXa

aXLLL

aL

XaLX

θθθ

θθθθ

θ

Para que la representación sea convergente, el parámetro debe ser inferior a la unidad en valor absoluto. (Al igual que ocurría con la condición de estacionariedad para los procesos autorregresivos).

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FAC PACF

FAC y PACF para modelos MA

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COMPORTAMIENTO DUAL DE LOS PROCESOS MA Y AR

Estacionariedad Invertibilidad F. Autocorrelación F. Autocorrelación Parcial Predicciones

MA(q) Siempre Depende Se corta tras q retardos

Estructura exponencial o sinusoidal

q predicciones distintas de cero sin estructura

AR(p) Hay que comprobarlo Siempre

Estructura exponencial o

sinusoidalSe corta tras p retardos

Infinitas predicciones distintas de cero pero que

tienden a cero con estructura exponencial o

sinusoidal

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PROCESOS MIXTOS: AUTORREGRESIVOS Y DE MEDIAS

MÓVILES

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Modelos Mixtos: ARMA(p,q)Incluyen p retardos de la propia variable y q innovaciones pasadas.

tq

qtp

p

tqtqttptpttt

aLLLXLLL

aaaaXXXX

)(1)(1 221

221

22112211

θθθφφφ

θθθφφφ

−−−−=−−−−

+−−−−+++= −−−−−−

!!

!!

Parte autorregresiva.Responsable de la estacionariedad.Responsable de la estructura de la función de autocorrelación y en las predicciones.

Parte de medias móviles.Responsable de la invertibilidad.Responsable de la ausencia de estructura de la función de autocorrelación y en las predicciones.

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CARACTERÍSTICAS DEL MODELO ARMA(1,1)

tt aLXL )(1)(1 11 θφ −=−

Estacionariedad: A partir de la representación de medias móviles del proceso:

( ) tkk

t

tt

aLLLX

aLLX

!! +−++−+−+=⇒

⇒−−=

− )()()(1

)(1)(1

1112

11111

1

1

1θφφθφφθφ

φθ

El proceso es estacionario si el parámetro autorregresivo es inferior a la unidad en valor absoluto.

Invertibilidad: A partir de la representación autorregresiva del proceso. De igual manera, el proceso será invertible si el parámetro de medias móviles es inferior a la unidad en valor absoluto.

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FAC PACF

FUNCIÓN DE AUTOCORRELACIÓN SIMPLE Y PARCIAL DE LOS PROCESOS ARMA(1,1).

1

12

21 )21()1)((

−==

+−−−=

kk φρρφρρ

θφθφθθφρ

Tras la primera autocorrelación, las siguientes se comportan según la parte AR

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• El proceso será estacionario si la mayor raíz del polinomio autorregresivo G, satisface |G|<1.

• El proceso será invertible si la mayor raíz del polinomio de medias móviles H satisface |H|<1.

• Los modelos MA(q), AR(p) or ARMA(p,q) estacionarios e invertibles siempre tienen – (1) Una representación AR– (2) Una representación MA.

• El correlograma del proceso presenta q-p+1 retardos distintos de cero sin estructura y decrecimiento a 0 como mezcla de exponenciales y sinusoidales posteriormente.

• El correlograma parcial del proceso presenta un comportamiento dual.• Al igual que el correlograma simple, las predicciones se prolongarán sin

estructura durante q períodos y posteriormente decrecerán exponencialmente a 0, según las raíces del polinomio AR.

• Al ser el proceso estacionario la incertidumbre en la predicción está acotada.

CARACTERÍSTICAS DEL MODELO ARMA(p,q) EN GENERAL

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Resumen de procesos estacionarios

• En los procesos estacionarios la persistencia de las innovaciones es menor en el tiempo.• Los modelos AR, MA y ARMA son capaces de describir el comportamiento de los procesos estacionarios con una cantidad pequeña de parámetros.• En los procesos AR la persistencia de las innovaciones, la función de autocorrelación y las predicciones presentan un comportamiento decreciente a cero como mezcla de exponenciales y sinusoidales.• En los procesos MA la persistencia de las innovaciones, la función de autocorrelación y las predicciones se prolongan q períodos sin estructura.• Los modelos ARMA combinan las propiedades de los procesos AR y MA.• La función de autocorrelación parcial sirve para determinar el orden de los procesos AR.