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Unidad 5: Circuitos trifsicos con cargas conectadas en delta, alimentadas con tensiones simtricas. Teora de los Circuitos II

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CONTENIDO

UNIDAD 5.

CIRCUITOS TRIFSICOS CON CARGAS CONECTADAS EN DELTA. ALIMENTADAS CON TENSIONES SIMTRICAS.

1. CARGAS BALANCEADAS.

2. CARGAS DESBALANCEADAS.

3. EFECTO DE LA IMPEDANCIA DE UNA FUENTE CONECTADA EN DELTA. 4. MEDICIN DE LA POTENCIA ACTIVA. 5. DELTA DE CUATRO HILOS. 6. EJERCICIOS.



UNIDAD 5 CIRCUITOS TRIFSICOS CON CARGAS CONECTADAS EN DELTA, ALIMENTADAS CON TENSIONES SIMTRICAS.

1. CARGAS BALANCEADAS.

Alimentadas directamente en sus terminales.

Cuando se conectan tres impedancias idnticas, como se muestra en la figura, estas constituyen una carga balanceada conectada en delta.

Z Z

Z

AI

BI

CI

ABI

BCI

CAI

C

A

B

BCI

CAI

CAI

ABC

,A LI I

,AB FI I

FIGURA NMERO 1.

Si dicha carga se alimenta con un sistema trifsico simtrico, se puede concluir que las magnitudes de las intensidades de corriente en las impedancias deben ser iguales, esto es,

AB BC CA FI I I I

y la corriente de lnea de la fase A es, 0

/ 0,0 / 240,0 3 / 30,0A AB CA F F FI I I I I I

Puesto que las corrientes estn desfasadas entre si 120 grados, podemos observar que la

magnitud de la corriente AI es 3 veces mayor que la magnitud de la corriente ABI o CAI y que est

atrasada 30 grados con respecto a la corriente ABI , cuando tenemos secuencia de fases abc. Ya que el sistema est balanceado, podemos concluir que lo mismo sucede con las otras dos fases, por lo que la

magnitud de las corrientes de lnea sern 3 veces mayores que las corrientes de fase, esto es,

3L FI I

En el caso de tener una alimentacin con secuencia de fases acb, las corrientes de lnea se adelantan 30 grados con relacin a sus respectivas tensiones de fase.



Ejemplo 5-1. La impedancia de la carga conectada en delta que se muestra en la figura est formada por un resistor de 2,50 y un inductor de 9,28 mH por fase, dicha carga tiene una cada de tensin de lnea de 460 V, de una frecuencia de 60 Hz, con una secuencia de fases ABC. Tomando como referencia

a la cada de tensin ABV , determine: a) las corrientes de fase, b) las corrientes de lnea.

A

BC

Z Z

Z

SOLUCIN. La reactancia inductiva por fase es,

32 2 60,0 9,28 10 3,50LX f L

La impedancia por fase es,

02,50 j3,50 4,30/54,5Z

Las tensiones de lnea son,

0460/ 0,0 VABV

0

460/ 120,0 VBCV

0

460/ 240,0 VCAV

a) Las corrientes de fase son,

0460 / 0,0

107,0 / 54,5 A4,30 / 54,5

FF

VI

Z



0 0 0107,0 / 54,5 A ; 107,0 / 174,5 A ; 107,0 / 294,5 AAB BC CAI I I

b) las corrientes de lnea son,

0

3 / 30,0 3 107,0 / 54,5 30,0 185,3 / 84,5 AL F IFI I

0 0 0

185,3 / 84,5 A ; 185,3 / 204,5 A ; 185,3 / 324,5 AA B CI I I

ABV

BCV

CAV

ABI

BCI

CAI

CAI

AI

BI

CI

- 54,50

- 30,0

0

Ejemplo 5-2. Cada fase de una carga trifsica balanceada conectada en delta () consiste de un inductor de 0,200 H en serie con la combinacin en paralelo de un capacitor de 5,00 F y una resistencia de 200 . Suponga una tensin de lnea de 200 V, con una frecuencia angular = 400 rad/s. Encuentre: a) la corriente de fase, b) la corriente de lnea y c) la potencia activa total absorbida por la carga.



0,200 H

200

5,00 F

LI

FI

SOLUCIN. La impedancia del inductor es,

0j j400 0,200 80,0 /90,0LZ L

La impedancia del capacitor es,

0

6

1 1j / 90,0 500 / 90,0

400 5,00 10CZ

C

La impedancia del resistor es,

0200/ 0,0RZ

La impedancia de fase es,

0500 / 90,0 200 / 0,0

80,0 / 90,0 172,8 / 3,7500 / 90,0 200 / 0,0

C RF L

C R

Z ZZ Z

Z Z

a) La corriente de fase es,

0200 / 0,0

1,157 / 3,7 A172,8 / 3,7

LF

F

VI

Z

b) La corriente de lnea es,

3 3 1,157 2,00AL FI I

c) La potencia activa es,

3 cos 3 200 1,157 cos3,7 693WL FP V I



Ejemplo 5-3. Dos motores elctricos trifsicos estn conectados a una red trifsica cuya tensin de lnea VL es de 460 V, ver la figura. Los datos de los motores elctricos son: P1 (en la flecha) = 10,00 kW, cos 1 = 0,900 y 1 = 85 %; P2 (en la flecha) = 8,00 kW, cos 2 = 0,800, 2 = 90 %. Determine: a) la corriente de lnea del conjunto, b) el factor de potencia en la instalacin del conjunto, y c) la potencia elctrica consumida por los motores.

M1 M2

A

B

C

SOLUCIN. La corriente tomada por el motor 1 es,

3

11

1 1

10,00 1016,41A

3 cos 3 460 0,900 0,850L

PI

V

Tomando en cuenta el ngulo del factor de potencia del motor 1, tenemos

1 01 16,41/ cos 0,900 16,41/ 25,8 AI

La corriente tomada por el motor 2 es,

3

22

2 2

8,00 1013,95A

3 cos 3 460 0,800 0,900L

PI

V

Tomando en cuenta el ngulo del factor de potencia del motor 2, tenemos

1 02 13,95/ cos 0,800 13,95 / 36,9 AI

a) La corriente tomada por el conjunto de motores es,

0

1 2 16,41/ 25,8 13,95/ 36,9 30,2 / 30,9 AI I I

b) El factor de potencia del conjunto es,

cos(30,9) 0,858ATFP

c) La potencia elctrica consumida por los motores es,



3

3 cos 3 460 30,2 0,858 20,6 10 W 20,6kWLP V I

Alimentadas a travs de lneas.

ab

c

AB

C

Z

bcV caV

abV bBI

aAI

cCI

ABI

BCI

CAIAI

BI

CILZ

LZ

LZ

ZZ

FIGURA NMERO 2. Puesto que la alimentacin es simtrica las cadas de tensin tambin son simtricas, de aqu que

ab bc ca lV V V V

Cuando las cargas conectadas en delta estn balanceadas y las impedancias de las lneas son iguales entonces,

AB BC CAZ Z Z Z

aA bB cC LZ Z Z Z

Para determinar la relacin de las corrientes en la carga con las tensiones en la fuente, se aplica la ley de tensiones de Kirchhoff a los circuitos cerrados. Para el circuito aABba.

A AB B A B ABab L L LV I Z I Z I Z Z I I I Z

Sustituyendo las expresiones de las corrientes de lnea por las de sus componentes de fase, tenemos

2AB CA BC AB AB AB CA BC ABab L LV Z I I I I Z I Z I I I Z I

Por otro lado tenemos que,



0AB BC CAI I I

Despejando a ABI ,

AB BC CAI I I

Sustituyendo en la ecuacin de abV tenemos,

3 3AB AB ABab L LV Z I Z I I Z Z

Despejando a ABI tenemos,

3

abAB

L

VI

Z Z

En forma similar se pueden obtener las otras corrientes, por medio de las frmulas siguientes:

3

bcBC

L

VI

Z Z

3

caCA

L

VI

Z Z

Ejemplo 5-4. Se da el circuito de la figura donde, la tensin de lnea en la fuente es igual a 240 V, las impedancias de fase son Z = 10,00 /0,00 y la impedancia de las lneas es ZL = 0,500 /0,00 . Determinar: a) las corrientes de lnea y de fase del sistema, b) las tensiones en la carga, c) la cada de tensin en la lnea, d) la potencia activa consumida por la carga, e) la potencia prdida en las lneas y f)

construir el diagrama fasorial de tensiones y corrientes. Considere la tensin abV como referencia y una secuencia de fases abc.



b

c

ZL

ZL

ZL

aA

B C

Z

ZZ

SOLUCIN.


0 0 0240/ 0,0 V ; 240/ 120,0 V ; 240/ 240,0 Vab ab abV V V

a) Las corrientes de fase son,

0240 / 0,0

20,9 / 0,0 A3 3 0,500 / 0,0 10,00 / 0,0

abAB

L

VI

Z Z

0 0

20,9 / 120,0 A ; 20,9 / 240,0 ABC CAI I

Las corrientes de lnea son 3 veces mayores que las corrientes de fase y estn 30,00 atrasadas con respecto a ellas, de donde

03 / 30,0 3 20,9 / 0,0 30,0 36,2 / 30,0 AA AB ABI I

0 0

36,2 / 150,0 A ; 36,2 / 270,0 AB CI I

b) Las cadas de tensin en la carga son,

010,00/ 0,0 20,9 / 0,0 209/ 0,0 VABABV Z I

0 0

209/ 120,0 V ; 209/ 240,0 VBC CAV V

c) Las cadas de tensin en las lneas son,

00,500/ 0,0 36,2 / 30,0 18,10/ 30,0 VAaA LV Z I



0 018,10/ 150,0 V ; 18,10/ 270,0 VbB cCV V

d) La potencia activa consumida por la carga es,

33 cos 3 209 20,9 cos(0,0) 13,10 10 W 13,10kWL F FP V I

e) La potencia activa prdida en las lneas es,

33 cos 3 18,10 36,2 1 1,966 10 W 1,966kWL lL L lLP V I

f) Diagrama fasorial.

abV

bcV

caV

ABI

BCI

CAI

CI

AIBI

abc

30,00

Ejemplo 5-5. El sistema de la figura muestra una fuente y su carga conectada en delta balanceada, determine: a) las corrientes de fase en la carga, b) las corrientes de lnea, c) las cadas de tensin en la carga, d) las potencias activa, reactiva y aparente, y e) los factores de potencia de la carga y del sistema.

ab

c

AB

C

60 Hz

abc

0120,0 / 0,0 VabV

CI

bcV caV

AI

BI

1,000

1,330 mH

3,00

10,60 mH

ZZ

LZ

LZ



SOLUCIN. Las impedancias de la lnea y la carga son,

32 2 60 1,330 10 0,501L LX f L

0

1,000 j0,501 1,118/26,6LZ

3

2 2 60 10,60 10 4,00X f L

0

3,00 j4,00 5,00/53,1Z


0 0 0120,0 / 0,0 V ; 120,0 / 120,0 V ; 120,0 / 240,0 Vab bc caV V V

a) Las corrientes de fase en la carga son,

0120,0 / 0,0

14,74 / 42,5 A3 3 1,118 / 26,6 5,00 / 53,1

abAB

L

VI

Z Z

0 0

14,74/ 162,5 A ; 14,74/ 282,5 ABC CAI I

b) Las corrientes de lnea son 3 veces mayores que las corrientes de fase y estn 30,00

atrasadas con respecto a ellas, de donde

03 / 30,0 3 14,74/ 42,5 30,0 25,5 / 72,5 AA AB ABI I

0 0

25,5 / 192,5 A ; 25,5 / 312,5 AB CI I


0

5,00/ 53,1 14,74/ 42,5 73,7 /10,6 VABABV Z I

0 0

73,7 / 109,4 V ; 73,7 / 229,4 VBC CAV V

c) La potencia compleja tomada por la carga es,

2 2 3 0 0

3 -3

3 3 5,00 / 53,1 14,74 3,26 10 / 53,1 VA 3,26 /53,1 kVA

1,957 10 j2,61 10 VA 1,957 j2,61kVA

FS Z I



De donde las potencias activa, reactiva y aparente tomadas por la carga son,

1,957kW ; 2,61 varIND ; 3,26kVAP Q k S

La potencia compleja tomada por las lneas es,

2 2 3 0 33 3 1,118/ 26,6 25,5 2,18 10 / 26,6 VA=1,950 10 j977VALL LS Z I

De donde las potencias activa, reactiva y aparente tomadas por las lneas son,

1,950kW ; 977k varIND ; 2,18kVAL L LP Q S

La potencia compleja suministrada por la fuente es,

3 3 3 0

3 3

2,18 10 / 26,6 3,26 10 / 53,1 5,30 10 / 42,5 VA

= 3,91 10 j3,57 10 VA

f LS S S

De donde las potencias activa, reactiva y aparente suministradas por la fuente son,

3,91kW ; 3,57k varIND ; 5,30kVAf f fP Q S

d) El factor de potencia de la carga es,

0

cos cos53,1 0,600ATFP

El factor de potencia del sistema es,

0cos cos42,5 0,737ATf fFP

Ejemplo 5-6. Una fuente trifsica simtrica, con tensiones de lnea de 480 V, alimenta a travs de lneas, con impedancia de ZL = 0,0800 /0,00 , dos cargas balanceadas conectadas en delta, cuyas caractersticas son: Carga 1 de 80,0 kVA, con factor de potencia 0,800 adelantado, con una tensin nominal de 440 V; Carga 2 de 75,0 kW, con un factor de potencia 0,800 atrasado, con una tensin nominal de 440 V. Determinar: a) las corrientes de lnea totales que toman las cargas, b) las cadas de tensin en la carga, c) las potencias activa, reactiva y aparente que suministra la fuente, y d) el factor de potencia del sistema.



CARGA 1 CARGA 2

A

c

b

a

C

B

LZ

LZ

LZ

SOLUCIN.

La potencia compleja se puede expresar como,

2

*

VS

Z

De donde las impedancias de las cargas son,

2 2* 0

1 3 1

1

4407,26 / 36,9

80,0 10 / cos 0,800 / 3

FN

F

VZ

S

0

1 7,26 / 36,9Z

2 2 2

* 0

2 312 12

2

2

4406,20 / 36,9

75,0 10/ cos / cos 0,800

3 cos 3 0,800

FN FN

F

V VZ

PSFP

0

2 6,20 / 36,9Z

La impedancia equivalente es,

01 2

1 2

7,26 / 36,9 6,20 / 36,94,17 / 3,4

7,26 / 36,9 6,20 / 36,9

Z ZZ

Z Z

Tomando como referencia la tensin abV , con secuencia de fases abc, las corrietes de fase totales son,

0480 / 0,0

108,9 / 3,2 A3 3 0,0800 / 0,0 4,17 / 3,4

abAB

L

VI

Z Z



0 0

108,9 / 123,2 A ; 108,9 / 243,2 ABC CAI I

a) Las corrientes de lnea son,

03 / 30,0 3 108,9 / 3,2 30,0 188,6 / 33,2 AA AB ABI I

0 0

188,6 / 153,2 A ; 188,6 / 273,2 AB CI I


04,17 / 3,4 108,9 / 3,2 454/ 0,2 VABABV Z I

0 0

454/ 119,8 V ; 454/ 239,8 VBC CAV V

c) La potencia compleja tomada por las cargas es,

*3 0

3 3 454/ 0,2 108,9 / 3,2 148,3 10 / 3,4 VAFLcarS V I


2 2 3 03 3 0,0800/ 0,0 188,6 8,54 10 / 0,0 VALL LS Z I

De donde la potencia compleja suministrada por la fuente es,

3 3 3 0

3 3

148,3 10 / 3,4 8,54 10 / 0,0 156,8 10 / 3,2 VA

=156,6 10 j8,80 10 VA

f car LS S S

Las potencias activa, reactiva y aparente suministradas por la fuente son,

156,6kW ; 8,89kvarIND ; =156,8kVAf f fP Q S

d) El factor de potencia del sistema es,

cos cos 3,2 0,998ATf fFP



Circuito equivalente monofsico de una carga conectada en delta balanceada. Las ecuaciones de las corrientes de fase para cargas balanceadas conectadas en delta (), muestran que al igual que un circuito con cargas balanceadas en estrella (Y), se pueden resolver utilizando la tcnica del circuito equivalente monofsico. Con frecuencia los circuitos conectados en delta se pueden resolver en trminos de una estrella equivalente. En este circuito equivalente en estrella, las corrientes de lnea y las tensiones de lnea son las mismas que en un circuito delta. El generador conectado en delta se reemplaza por uno conectado en estrella. Similarmente, el juego de cargas conectadas en delta se reemplaza por un juego de cargas conectadas en estrella, el cual visto desde sus terminales es indistinguible del juego de cargas conectadas en delta. La relacin entre las impedancias equivalentes que se usan para convertir una carga balanceada conectada en delta a una carga conectada en estrella y para invertir la operacin se determinan rpidamente. En la figura las impedancias de fase conectadas en delta se denominan cada una como Z y las impedancias de fase conectadas en estrella como ZY.

A

B

C

A

B

C

YZZ Z

Z

YZ YZ

IMPEDANCIAS BALANCEADAS EQUIVALENTES

FIGURA NMERO 3.

Se puede demostrar que,

Y Y3 ;3

ZZ Z Z

Las impedancias en estrella por fase, equivalentes de la impedancia en delta son,

Y3

ZZ

La tensin al neutro equivalente en la fuente es,

/ 30,03

Ln L

VV



El circuito equivalente monofsico es,

n N

nV NV

LZ

YZ

f F

LI

FIGURA NMERO 4. La cada de tensin al neutro en la carga, aplicando la regla de la divisin de tensin es,

Y

YZN n

L

ZV V

Z

La cada de tensin de lnea en la carga es,

3 / 30,0L N NV V

La corriente de lnea es,

Y

NL

VI

Z

La corriente de fase en la carga conectada en delta es,

/ 30,03

LF L

II

Ejemplo 5-7. La carga balanceada conectada en delta () de la figura, con impedancias por fase de Z = 60,6 /53,10 , se alimenta con una fuente simtrica conectada en delta, con tensiones de lnea de 220 V, y tiene una secuencia de fases abc, las impedancias de las lneas, cada una, son de ZL = 0,1118 /26,60 . Encuentre: a). Las corrientes en la carga, b). Las cadas de tensin en la carga, c). Las potencias tomadas por la carga y d). Las potencias suministradas por la fuente. Tome como referencia

la tensin abV .

ab

c

AB

C

Z

bcV caV

abV bBI

aAI

cCI

ABI

BCI

CAIAI

BI

CILZ

LZ

LZ

ZZ

SOLUCIN. Utilizando la tcnica del circuito equivalente monofsico tenemos el circuito siguiente:



n N

nV NV

LZ

YZ

f F

LI

La tensin equivalente al neutro en la fuente, tomando como referencia a la tensin abV , es

0220/ 30,0 127,0 / 30,0 V

3nV

Convirtiendo las impedancias en delta a impedancias en estrella tenemos,

0

Y

60,6 / 53,120,2 / 53,1 12,13 j16,15

3 3

ZZ

a). La corriente de lnea es,

0

Y

127,0 / 30,06,26 / 83,0 A

0,1118 / 26,6 20,2 / 53,1

nL

L

VI

Z Z

Las corrientes en las lneas son,

0 0 0

6,26/ 83,0 A ; 6,26/ 203,0 A ; 6,26/ 323,0 AA B CI I I

Las corrientes de fase, en la carga son,

06,26/ 30,0 / 83,0 30,0 3,61/ 53,0 A

3 3

LF L

II

Las corrientes en las cargas son,

0 0 03,61/ 53,0 A ; 3,61/ 173,0 A ; 3,61/ 293,0 AAB BC CAI I I

b). Las cadas de tensin en la carga son,

0 060,6 / 53,1 3,61/ 53,0 219/ 0,1 VFLV Z I

Las cadas en las cargas son,

0 0 0219/ 0,1 V ; 219/ 119,9 V : 219/ 239,9 VAB BC CAV V V

c). La potencia compleja tomada por la carga es,



*

3 0

3 3

3 3 219 / 0,1 3,61/ 53,0 2,37 10 / 53,1 VA

1,423 10 j1,895 10 VA

FLCS V I

De donde las potencias activa, reactiva y aparente tomadas por la carga son,

1,423kW ; 1,895kvarIND ; 2,37kVAC C CP Q S

d) La potencia compleja suministrada por la fuente es,

*3

3 3

3 3 127,0 / 30,0 6,26 / 83,0 2,39 10 / 53,0VA

1,438 10 j1,909 10 VA

LnfS V I

De donde las potencias suministradas por la fuente son,

1,438kW ; 1,909kvarIND ; 2,39kVAf f fP Q S

Ejemplo 5-8. El motor M de la figura tiene aplicadas en sus terminales tensiones simtricas de 2,30 kV y toma 120,0 kVA con un factor de potencia de 0,600 adelantado. Calcule: a) las tensiones de lnea en la fuente, b) la potencia suministrada por la fuente y c) el factor de potencia en la fuente.

a

b

c

(2)(1) (3)0,500 + j 2,00 0,500 + j 2,00

0,500 + j 2,00

0,500 + j 2,00

0,500 + j 2,00

0,500 + j 2,00

- j 1 000 - j 1 000

- j 1 000 - j 250

- j 250 - j 250 -

j 1 0

00

- j

1 0

00

- j

1 0

00

MY

SOLUCIN. Puesto que se trata de cargas balanceadas, la solucin del problema se puede obtener utilizando la tcnica del circuito equivalente monofsico. Representando el circuito como su equivalente monofsico tenemos,

- j 1000



f

n

MILI

1I

12I

2I

23I

3I

MYZ

LZ LZ

1Z 2Z 3Z

(1) (2) (3)

La impedancia de la lnea en forma polar es,

00,500 j2,00 2,06/76,0LZ

La impedancia del motor por fase es,

2

232

MY 3

2,30 10344,1

120,0 10

3

L

L

V

VZ

S S

1 1 0

MY MY MY/ cos 44,1/ cos 0,600 44,1/ 53,1Z Z FP

Las impedancias equivalentes de los grupos de capacitores son,

011

1000 / 90,0333 / 90,0

3 3

ZZ

022

250 / 90,083,3 / 90,0

3 3

ZZ

033

1000 / 90,0333 / 90,0

3 3

ZZ

Las tensiones y corrientes en el circuito, considerando la tensin al neutro en la carga como referencia son,

33 0

3

2,30 10/ 0,0 / 0,0 1,328 10 / 0,0 V

3 3

LN

VV

3

3M

MY

1,328 10 / 0,030,1/ 53,1A

44,1/ 53,1

NVI

Z



3

3 03

3

1,328 10 / 0,03,99 / 90,0 A

333 / 90,0

NVI

Z

0

23 M 3 30,1/ 53,1 3,99/ 90,0 33,4 / 57,2 AI I I

0

2323 33,4 / 57,2 2,06/ 76,0 68,8 /133,2 VLV I Z

3 3 0

2 23 3 68,8 /133,2 1,328 10 / 0,0 1,282 10 / 2,2 VN NV V V

3

2 02

2

1,282 10 / 2,215,39 / 92,2 A

83,3 / 90,0

NVI

Z

0

12 23 2 33,4 / 57,2 15,39/ 92,2 46,8 / 68,1 AI I I

0

1212 46,8 / 68,1 2,06/ 76,0 96,4 /144,1 VLV I Z

3 0

1 12 2 96,4 /144,1 1,282 10 / 2,2 1,208/ 5,0 Vn NV V V

3

1 01

1

1,208 10 / 5,03,63 / 95,0 A

333 / 90,0

nVI

Z

0

1 12 3,63/ 95,0 46,8 / 68,1 50,1/ 70,0 ALI I I

a) Las tensiones de lnea en la fuente son,

3 3

13 3 1,208 10 2,09 10 VL NV V

La potencia compleja es,

*3 3 0

1

0

3 3 1,208 10 / 5,0 50,1/ 70,0 181,6 10 / 65,0 VA

181,6 /-65,0 kVA 76,7 j164,6kVA

LnS V I

b) De donde las potencias activa, reactiva y aparente suministradas por la fuente son,

P = 76,7 kW ; Q = 164,6 kvar CAP ; S = 181,6 kVA

El factor de potencia en la fuente es,



FP = cos-1 (65,00) = 0,423 AD Ejemplo 5-9. La carga 1 de la figura tiene una configuracin en estrella balanceada, mientras que la carga 2 tiene una configuracin en delta balanceada. Encontrar. a) el valor absoluto de la

corriente AI , b) el valor absoluto de la tensin en la carga ABV , c) la potencia activa total tomada por cada carga y d) el factor de potencia visto por el generador cuando:

Y1 2658V ; 6,00 j0 ; 20,0 j0 ; 36,0 j72,0LabV Z Z Z

Carga

1

Carga

2

Generadortrifsico

a

b

c

A

B

CLZ

BI

CI

AILZ

LZ

SOLUCIN. Puesto que se tienen cargas balanceadas, se puede utilizar el mtodo del circuito equivalente monofsico. El circuito equivalente es,

f f F

NN

F

n n

LILI

nV

LZ LZ

Y1Z Y2Z YPZnV

Donde la tensin al neutro es,

658380V

3 3

ln

VV

Convirtiendo las cargas en delta a una configuracin en estrella tenemos que su impedancia equivalente por fases es,

02Y2

36,0 j72,012,00 j24,0 26,8 /63,4

3 3

ZZ

La impedancia en paralelo de la carga es,



0Y1 Y2YP

Y1 Y2

20,0 j0 12,00 j24,012,00 j6,00 13,42 /26,6

Z 20,0 j0 12,00 j24,0

Z ZZ

Z

Y la corriente de lnea es,

0

YP

380 / 0,020,0 / 18,4 A

6,00 / 0,0 13,42 / 26,6

nL

L

VI

Z Z

a) De donde el valor absoluto de la corriente de lnea AI es,

20,0AAI

b) La cada de tensin al neutro en la carga es,

0

YP 13,42/ 26,6 20,0 / 18,4 268/ 8,2 VLNV Z I

El valor absoluto de la tensin en la carga es,

3 3 268 464VAB NV V

c) La corriente en la carga 1 es,

0Y21

Y1 Y2

26,8 / 63,420,0 / 18,4 13,41/ 8,2 A

Z 20,0 / 0,0 26,8 / 63,4L

ZI I

Z

La corriente en la carga 2 es,

0Y12

Y1 Y2

20,0 / 0,020,0 / 18,4 10,01/ 55,2 A

Z 20,0 / 0,0 26,8 / 63,4L

ZI I

Z

Las potencias activas totales tomadas por las cargas son,

2 2 3

1 1 Y13 3 13,41 20,0 10,79 10 W 10,79kWP I R 2 2 3

2 2 Y23 3 10,01 12,00 3,61 10 W 3,61kWP I R

d) El factor de potencia visto por la fuente es igual al coseno del ngulo de la corriente suministrada por la fuente, esto es,

cos 18,4 0,949ATfFP Ejemplo 5-10. Calcule las potencias totales, aparente, activa y reactiva, y el factor de potencia del sistema de la figura.



9

9 9

12

12 12

A

B

C

ABC

15,00

15,00

15,00 20,0

20,0

20,0

0125,0 / 0,0 V

SOLUCIN. Las impedancias son,

015,00 j20,0 25,0 /53,1Z

0

Y 9,00 j12,00 15,00/-53,1Z

Transformando las cargas conectadas en estrella a cargas conectadas en delta tenemos,

' 0

Y3 3 15,00/ 53,1 45,0 / 53,1Z Z

La impedancia equivalente de las ramas en paralelo es,

'

0

P '

25,0 / 53,1 45,0 / 53,125,0 / 20,8

25,0 / 53,1 45,0 / 53,1

Z ZZ

Z Z

La corriente de fase es,

0

P

125,0 / 0,05,00 / 20,8 A

25,0 / 20,8

LF

VI

Z

La corriente de lnea es,

03 / 30,0 3 5,00/ 20,8 30,0 8,66/ 50,8 AL F FI I

La potencia compleja es,

*0

3 3 125,0 / 0,0 5,00 / 20,8 1875/ 20,8 VA 1753 j666VAFFS V I



De donde,

1875VA ; 1753W ; 666varINDS P Q

El factor de potencia del sistema es,

cos20,8 0,935ATFP

2. CARGAS DESBALANCEADAS. Alimentadas directamente en sus terminales.

ABZ CAZ

BCZ

AI

BI

CI

ABI

BCI

CAI

C

A

B

FIGURA NMERO 5.

Si las impedancias de la carga mostrada en la figura no son idnticas, constituyen lo que se denomina una carga desbalanceada conectada en delta. Si una fuente trifsica se conecta a esta carga, las cadas de tensin en las impedancias se conocen y las corrientes en las lneas se pueden establecer sumando fasorialmente las dos corrientes de las fases involucradas en la lnea en cuestin. Las corrientes en las cargas son,

ABAB

AB

VI

Z

BCBC

BC

VI

Z

CACA

CA

VI

Z

Y las corrientes de lnea son,



A AB CAI I I

B BC ABI I I

C CA BCI I I

Ejemplo 5-11. Una fuente trifsica simtrica de tres hilos y 240 V, cuya secuencia de fases es ABC, est conectada a una carga desbalanceada conectada en delta con las impedancias siguientes:

0 0 010,00/ 20,0 ; 5,00/ 90,0 ; 8,00/ 20,0AB BC CAZ Z Z

ABZ CAZ

BCZ

AI

BI

CI

ABI

BCI

CAI

C

A

B

Determinar la corriente que hay en cada fase de la carga y en cada lnea. Tome como referencia

la tensin de lnea 0240/ 30,0 VABV V. Dibujar el diagrama fasorial para la carga.

SOLUCIN Las corrientes de fase son

0240 / 30,0

24,0 /10,0 A10,00 / 20,0

ABAB

AB

VI

Z

0240 / 90,0

48,0 / 180,0 A5,00 / 90,0

BCBC

BC

VI

Z

0240 / 210,0

30,0 / 190,0 A8,00 / 20,0

CACA

CA

VI

Z

Las corrientes de lnea son,



024,0 /10,0 30,0 / 190,0 53,2 / 1,1 AA AB CAI I I

0

48,0 / 180,0 24,0 /10,0 71,8 / 176,7 AB BC ABI I I

0

30,0 / 190,0 48,0 / 180,0 19,18/15,8 AC CA BCI I I

ABV

BCV

CAV

CAI

BCI

AIABI

BI

CI

Ejemplo 5-12. Una fuente trifsica, conectada en delta (), con tensiones de lnea de 220 V, con secuencia de fases ABC, tiene conectada una carga desbalanceada conectada en delta, como se muestra en la figura, con los valores de ZAB = 10,00 /0,00 , ZBC = 25,0 /0,00 y ZCA = 20,0 /30,00 . Obtenga: a) las corrientes de lnea, b) las potencias totales, c) trace el diagrama fasorial y d) dibuje, el tringulo de potencias de la carga.

ABZ CAZ

BCZ

AI

BI

CI

ABI

BCI

CAI

C

A

B

SOLUCIN.

Las tensiones de lnea, considerando a la cada de tensin ABV como referencia, son

0 0 0220/ 0,0 V ; 220/ 120,0 V ; 220/ 240,0 VAB BC CAV V V



Las corrientes de fase son,

0220 / 0,0

22,0 / 30,0 A10,00 / 30,0

ABAB

AB

VI

Z

0220 / 120,0

8,80 / 120,0 A25,0 / 0,0

BCBC

BC

VI

Z

0220 / 240,0

11,00 / 210,0 A20,0 / 30,0

CACA

CA

VI

Z


022,0 / 30,0 11,00/ 210,0 33,0 / 30,0 AA AB CAI I I

0

8,80/ 120,0 22,0 / 30,0 23,7 /171,8 AB BC ABI I I

0

11,00/ 210,0 8,80/ 120,0 14,09/111,3 AC CA BCI I I

b) Las potencias complejas por fase son,

* 03 0220/ 0,0 22,0 / 30,0 4,84 10 / 30,0 VA 4,84 / 30,0 kVAABABABS V I

*

3 0 0220/ 120,0 8,80 /120,0 1,936 10 / 0,0 VA 1,936/ 0,0 kVABCBCBCS V I

*

0

3 0 0

220 / 240,0 11,00 / 210,0

2,42 10 / 30,0 VA 2,42 / - 30,0 kVA

CACACAS V I

La potencia compleja total es,

3 3 3

3 0 3 3 0

4,84 10 / 30,0 1,936 10 / 0,0 2,42 10 / 30,0

8,31 10 / 8,4 VA 8,22 10 j1,210 10 VA 8,31/ 8,4 kVA

AB BC CAS S S S

De donde las potencias totales son,

8,31kVA ; 8,22kW ; 1,210kvarINDS P Q

c) El diagrama fasorial es,



AI

BCV

CAV

ABV

BCI

CAI

ABI

BI

CI

d) El tringulo de potencias es,

P = 8,22 kW

S = 8,31 kVA

Q = 1,210 kvar IND

Ejemplo 5-13. La fuente de la figura es simtrica y tiene una secuencia de fases positiva.

Encuentre: a) aAI , b) bBI , c) cCI , d) la potencia compleja total proporcionada por la fuente.

B

n

b

c

a A

C

10,00

-j10,00

j5,00

120,0 /0,00 V

SOLUCIN.

Puesto que tenemos tensiones simtricas y secuencia de fases positiva, la tensin ABV tendr

una magnitud 3 veces mayor que la tensin anV y estar 30,00 adelante de ella, esto es

03 120,0 / 0,0 30,0 208/ 30,0 VABV



Y las otras tensiones de fase son,

0 0208/ 90,0 V , 208/ 210,0 VBC CAV V


0208/ 30.0 20,8 / 30,0 A10,00 j0,0

ABAB

AB

VI

Z

0208/ 90,0

41,6 / 180,0 A0,0 j5,00

BCBC

BC

VI

Z

0208/ 210,0

20,8 / 120,0 A0,0 j10,00

CACA

CA

VI

Z

Las corrientes de lnea son, a)

020,8/30,0 20,8/ 120,0 40,2 / 45,0 AaA AB CAI I I

b) 041,6 / 180,0 20,8/30,0 60,5/ 170,1 AbB BC ABI I I

c) 020,8/ 120,0 41,6 / 180,0 36,0 / 30,0 AcC CA BCI I I

d) La potencia compleja total es,

* * *

3 0 0

208/ 30,0 20,8 / 30,0 208 / 90,0 41,6 / 180,0 208 / 210,0 20,8 /120,0

6,12 10 / 45,0 VA = 6,12 /45,0 kVA

AB BC CAAB BC CAAB BC CAS S S S V I V I V I

Alimentadas a travs de lneas.



a

bc

A

BC

aZ

BI

CI

AI

BCI

CAI

ABI

bcV

caV

abV

BCZ

CAZABZ

bZ

cZ

3I

1I

2I

FIGURA NMERO 6. Utilizando el mtodo de mallas tenemos que las ecuaciones de las corrientes de malla son,

1 2 3ab a AB b ABbV Z Z Z I Z I Z I

1 2 3bc b b BC c BCV Z I Z Z Z I Z I

1 2 30 AB BC AB BC CAZ I Z I Z Z Z I Utilizando el lgebra matricial para la solucin de las ecuaciones tenemos,

1

2

30

aba AB b b AB

bc b b BC BCC

AB BC AB BC CA

V IZ Z Z Z Z

V Z Z Z Z Z I

Z Z Z Z Z I

Si las corrientes son las incgnitas,

11

2

3 0

aba AB b b AB

bcb b BC BCC

AB BC AB BC CA

I VZ Z Z Z Z

I Z Z Z Z Z V

Z Z Z Z ZI


1AI I

2 1BI I I

2CI I



Ejemplo 5-14. La carga conectada en delta de la figura es desbalanceada, con impedancias por fase de ZAB = 54,7 /37,60 , ZBC = 88,1 /79,50 y ZCA = 88,1 /79,50 , esta se alimenta con una fuente simtrica conectada en delta, con secuencia de fases positiva, con tensiones de 127,0 V. Considere que las resistencias de los alimentadores son cada una de 0,500 . Encuentre: a) las corrientes de lnea, b) las corrientes de fase y c) las cadas de tensin en la carga.

a

bc

A

BC

aZ

BI

CI

AI

BCI

CAI

ABI

bcV

caV

abV

BCZ

CAZABZ

bZ

cZ

3I

1I

2I

SOLUCIN. Empleando el mtodo de corrientes de malla, tenemos

Las tensiones en la fuente son, considerando la tensin abV como referencia,

0 0 0127,0 / 0,0 V ; 127,0 / 120,0 V ; 127,0 / 240,0 Vab bc caV V V

Las impedancias de las mallas son,

0

11 0,500/ 0,0 54,7 / 37,6 0,500/ 0,0 55,5 / 37,0L AB LZ Z Z Z

0

12 21 0,500/ 0,0LZ Z Z

0

13 31 54,7 / 37,6ABZ Z Z

0

22 0,500/ 0,0 88,1/ 79,5 0,500/ 0,0 88,3 / 78,9L BC LZ Z Z Z 0

23 32 88,1/ 79,5BCZ Z Z

0

33 54,7 / 37,6 88,1/ 79,5 88,1/ 79,5 220/ 69,9AB BC CAZ Z Z Z



Utilizando el lgebra matricial tenemos,

11

2

3

55,5 / 37,0 0,500 / 0,0 54,7 / 37,6 127,0 / 0,0 2,43 / 71,9

0,500 / 0,0 88,3 / 78,9 88,1/ 79,5 127,0 / 120,0 2, 49 / 168,6

54,7 / 37,6 88,1/ 79,5 220 / 69,9 0 1,432 / 138,8

I

I

I


0

1 2,43 / 71,9 AAI I

0

2 1 2,49/ 168,6 2,43/ 71,9 3,68/150,4 ABI I I

0

2 2,49 /11,4 ACI I

b) Las corrientes en las fases son,

0

3 1,432/ 41,2 ACAI I

0

2,43/ 71,9 1,432/ 41,2 2,29/ 36,7 AAB A CAI I I

0

1,432/ 41,2 2,49/11,4 1,436/161,7 ABC CA CI I I

c) Las cadas de tensin en la carga son,

054,7 / 37,6 2,29/ 36,7 125,3 / 0,9 VABAB ABV Z I

0

88,1/ 79,5 1,436/161,7 126,5 / 118,8 VBCBC BCV Z I

0

88,1/ 79,5 1,432/ 41,2 126,2 /120,7 VCACA CAV Z I

Ejemplo 5-15. La fuente de la figura es simtrica y exhibe una secuencia de fases (+). La

resistencia de las lneas es de 1,000 , las impedancias de la carga son 010,00 / 0,0ABZ , 0

5,00/ 90,0BCZ y 0

10,00 / 90,0CAZ . Encuentre: a) las corrientes de lnea y b) la potencia

compleja total proporcionada por la fuente. Considere como referencia a la tensin 0

208/ 0,0 VabV .



a

bc

A

BC

aZ

BI

CI

AI

BCI

CAI

ABI

bcV

caV

abV

BCZ

CAZABZ

bZ

cZ

3I

1I

2I

SOLUCIN. Las tensiones en la fuente son,

0 0 0208/ 0,0 V ; 208/ 120,0 V ; 208/ 240,0 Vab bc caV V V

Las impedancias de las mallas son,

0

11 1,000/ 0,0 10,00/ 0,0 1,000/ 0,0 12,00/ 0,0L AB LZ Z Z Z

0

12 21 1,000/ 0,0LZ Z Z

0

13 31 10,00/ 0,0ABZ Z Z

0

22 1,000/ 0,0 5,00/ 90,0 1,000/ 0,0 5,39/ 68,2L BC LZ Z Z Z

0

23 32 5,00/ 90,0BCZ Z Z

0

33 10,00/ 0,0 5,00/ 90,0 10,00/ 90,0 11,18/ 26,6AB BC CAZ Z Z Z

Utilizando el lgebra matricial tenemos,



11

2

3

12,00 / 0,0 1,000 / 0,0 10,00 / 0,0 208 / 0,0 33,9 /15,2

1,000 / 0,0 5,39 / 68,2 5,00 / 90,0 208 / 120,0 25,2 /142,4

10,00 / 0,0 5,00 / 90,0 11,18 / 26,6 0 22,4 / 24,1

I

I

I


01 33,9 /15,2 AAI I

0

2 1 25,2 /142,4 33,9 /15,2 53,1/173,0 ABI I I

0

2 25,2 /142,4 25,2 / 37,6 ACI I

b) Las corrientes de fase son,

033,9 /15,2 22,4 / 155,9 12,27 / 1,2 AAB A CAI I I

0

22,4 / 155,9 25,2 / 37,6 40,9 /171,2 ABC CA CI I I

0 0

3 22,4 / 24,1 22,4 / 155,9 ACAI I

c) La potencia compleja tomada por la carga es,

2 2 2

2 2 2 3 010,00/ 0,0 12,27 5,00/ 90,0 40,9 10,00/ 90,0 22,4 3,67 10 / 65,8 VA

AB BC CAAB BC CACARS Z I Z I Z I


2 2 2

2 2 2 3 01,000 / 0,0 33,9 1,000 / 0,0 53,1 1,000 / 0,0 25,2 4,60 10 / 0,0 VA

L L LLIN A B CS Z I Z I Z I

La potencia compleja total suministrada por la fuente es,

3 3 3 0

3 3

3,67 10 / 65,8 4,60 10 / 0,0 6,96 10 / 28,7 VA

6,10 10 j3,35 10 VA

f CAR LINS S S

Solucin del circuito utilizando el mtodo de conversin delta a estrella.



Un mtodo alternativo de solucin es convertir las cargas conectadas en delta a su equivalente conectado en estrella. La relacin entre las impedancias en delta y sus impedancias equivalentes en estrella se muestra en la figura siguiente.

A

B

C

A

B

C

ABZ

BCZ

CAZBZ

AZ

CZ

FIGURA NMERO 7.

Las ecuaciones para las equivalencias son, De delta () a estrella (Y).

; ;AB CA AB BCA BAB BC CA AB BC CA

Z Z Z ZZ Z

Z Z Z Z Z Z

BC CAC

AB BC CA

Z ZZ

Z Z Z

La transformacin de una conexin en delta a una conexin en estrella reemplaza las cargas conectadas en delta por las cargas en estrella, como se muestra en la figura.nmero 8.

a

b

c

A

CB

N

LZ

LZ

LZ

CZ

AZ

BZ

CI

BI

AI

2I

1I

FIGURA NMERO 8. Aplicando el mtodo de mallas y utilizando el algebra matricial tenemos que las corrientes de mallas son,



1

1

2

2

2

abL A B L B

L B L B C bc

Z Z Z Z ZI V

Z Z Z Z ZI V

De donde las corrientes de lnea son,

1 2 1 2; ;A B CI I I I I I I

Las cadas de tensin en la carga equivalente en estrella son,

; ;A B CAN BN CNA B CV Z I V Z I V Z I

Lasa cadas de tensin en la carga conectada en delta son,

; ;AB AN BN BC BN CN CA CN ANV V V V V V V V V

Las corrientes de fase en la carga son,

; ;AB BC CA

AB BC CA

AB BC CA

V V VI I I

Z Z Z

Ejemplo 5-16. La carga conectada en delta de la figura es desbalanceada, con impedancias por fase de ZAB = 54,7 /37,60 , ZBC = 88,1 /79,50 y ZCA = 88,1 /79,50 , esta se alimenta con una fuente simtrica conectada en delta, con secuencia positiva, con tensiones de 127,0 V. Considere que las resistencias de los alimentadores son cada una de 0,500 . Encuentre: a) las corrientes de lnea, b) las cadas de tensin en la carga c) las corrientes de fase en la carga, d) la potencia compleja tomada por la carga y e) la potencia compleja subintrada por la fuente.

a

bc

A

BC

bcV

caV

abV

BI

CI

AI

BCI

CAI

ABI

LZ

ABZ

BCZ

CAZ

LZ

LZ

SOLUCIN.



Las tensiones en la fuente son, considerando la tensin abV como referencia,

0 0 0127,0 / 0,0 V ; 127,0 / 120,0 V ; 127,0 / 240,0 Vab bc caV V V

Las impedancias equivalentes de delta a estrella son,

054,7 / 37,6 88,1/ 79,5

21,9 / 47,2Z 54,7 / 37,6 88,1/ 79,5 88,1/ 79,5

AB CAA

AB BC CA

Z ZZ

Z Z

054,7 / 37,6 88,1/ 79,5

21,9 / 47,254,7 / 37,6 88,1/ 79,5 88,1/ 79,5

AB BCB

AB BC CA

Z ZZ

Z Z Z

088,1/ 79,5 88,1/ 79,5

35,3 / 89,154,7 / 37,6 88,1/ 79,5 88,1/ 79,5

BC CAC

AB BC CA

Z ZZ

Z Z Z

a) Las corrientes de malla, utilizando el circuito equivalente en estrella de la figura nmero 8

son

1

1

2

2

2

abL A B L B

L B L B C bc

Z Z Z Z ZI V

Z Z Z Z ZI V

Los trminos de la matriz de mallas son,

02 2 0,500/ 0,0 21,9 / 47,2 21,9 / 47,2 44,5 / 46,3L A BZ Z Z

00,500/ 0,0 21,9 / 47,2 22,2 / 133,7L BZ Z

2 2 0,500/ 0,0 21,9 / 47,2 35,3 / 89,1 53,9 / 72,3L B CZ Z Z

Sustituyendo valores en la ecuacin de las corrientes de malla tenemos,

1

1

2

2

2

abL A B L B

L B L B C bc

Z Z Z Z ZI V

Z Z Z Z ZI V

1

1

2

44,5 / 46,3 22,2 / 133,7 127,0 / 0,0 2,43 / 71,9

22,2 / 133,7 53,9 / 72,3 127,0 / 120,0 2,49 / 168,7

I

I




01 2,43 / 71,9 AAI I

0

2 1 2,49/ 168,7 2,43/ 71,9 3,68/150,3 ABI I I

0

2 2,49/ 168,7 2,49 /11,3 ACI I

b) Las cadas de tensin en la carga equivalente conectada en estrella son,

021,9 / 47,2 2,43/ 71,9 53,2 / 24,7 VAAN AV Z I

0

21,9 / 47,2 3,68/150,3 80,6 / 162,5 VBBN BV Z I

0

35,3 / 89,1 2,49/11.3 87,9 /100,4 VCCN CV Z I

Y las cadas de tensin en la carga son,

053,2 / 24,7 80,6 / 162,5 125,2 / 0,9 VAB AN BNV V V

0

80,6 / 162,5 87,9 /100,4 126,4 / 118,9 VBC BN CNV V V

0

87,9 /100,4 53,2 / 24,7 126,2 /120,6 VCA CN ANV V V

d) Las corrientes de fase en la carga son,

0125,2 / 0,9

2,29 / 36,7 A54,7 / 37,6

ABAB

AB

VI

Z

0126,4 / 118,9

1,437 /161,6 A88,1/ 79,5

BCBC

BC

VI

Z

0126,2 /120,6

1,432 / 41,1 A88,1/ 79,5

CACA

CA

VI

Z

d) La potencia compleja tomada por la carga es,



2 2 2

2 2 2

0

54,7 / 37,6 2,29 88,1/ 79,5 1,437 88,1/ 79,5 1,432

607 / 61,1 VA

AB BC CACAR AB BC CAS Z I Z I Z I

e) La potencia compleja tomada por las lneas es,

2 2 2 2 2 2

2 2 2 00,500 / 0,0 2,43 3,68 2,49 12,87 / 0,0 VA

L L L LL A B C A B CS Z I Z I Z I Z I I I

Y la potencia compleja suministrada por la fuente es,

0607 / 61,1 12,87 / 0,0 613/ 60,0 VAf CAR LS S S

Ejemplo 5-17. La fuente de la figura es simtrica y exhibe una secuencia de fases (+). La resistencia de las lneas es de 1,000 , las impedancias de las cargas son 010,00/ 0,0ABZ ,

05,00/ 90,0BCZ y

010,00/ 90,0CAZ . Encuentre: a) las corrientes de lnea y b) la potencia

compleja total proporcionada por la fuente. Considere como referencia a la tensin 0

208/ 0,0 VabV .

a

bc

A

BC

bcV

caV

abV

BI

CI

AI

BCI

CAI

ABI

LZ

ABZ

BCZ

CAZ

LZ

LZ

SOLUCIN. Las tensiones en la fuente son,

0 0 0

208/ 0,0 V ; 208/ 120,0 V ; 208/ 240,0 Vab bc caV V V

Las impedancias equivalentes de delta a estrella son,



0

A

10,00/ 0,0 10,00/ 90,08,94/ 63,4

10,00/ 0,0 5,00/ 90,0 10,00/ 90,0

AB CA

AB BC CA

Z ZZ

Z Z Z

010,00/ 0,0 5,00/ 90,0

4,47 /116,610,00/ 0,0 5,00/ 90,0 10,00/ 90,0

AB BCB

AB BC CA

Z ZZ

Z Z Z

05,00/ 90,0 10,00/ 90,0

4,47 / 26,610,00/ 0,0 5,00/ 90,0 10,00/ 90,0

BC CAC

AB BC CA

Z ZZ

Z Z Z

a) Las corrientes de malla, utilizando el circuito equivalente en estrella de la figura nmero 8

son

1

1

2

2

2

abL A B L B

L B L B C bc

Z Z Z Z ZI V

Z Z Z Z ZI V

Los trminos de la matriz de mallas son,

02 2 1,000/ 0,0 8,94/ 63,4 4,47 /116,6 5,66/ 45,0L A BZ Z Z

01,000/ 0,0 4,47 /116,6 4,12/ 75,9L BZ Z

2 2 1,000/ 0,0 4,47 /116,6 4,47 / 26,6 7,21/ 56,3L B CZ Z Z

Sustituyendo valores en la ecuacin de las corrientes de malla tenemos,

1

1

2

2

2

abL A B L B

L B L B C bc

Z Z Z Z ZI V

Z Z Z Z ZI V

1

1

2

5,66 / 45,0 4,12 / 75,9 208 / 0,0 33,9 /15,2

4,12 / 75,9 7,21/ 56,3 208 / 120,0 25,2 /142,4

I

I


01 33,9 /15,2 AAI I

0

2 1 25,2 /142,4 33,9 /15,2 53,1/173,0 ABI I I

02 25,2 /142,4 25,2 / 37,6 ACI I



b) Las tensiones equivalentes al neutro en la fuente son,

0208/ 30,0 /0-30,0=120,0 /-30,0 V

3 3

aban ab

VV

0 0

120,0 / 150,0 V ; 120,0 / 270,0 Vbn cnV V

La potencia compleja total suministrada por la fuente es,

* * *

3 0

120,0 / 30,0 33,9 / 15,2 120,0 / 150,0 53,1/ 173,0 120,0 / 270,0 25,2 / 37,6

6,97 10 / 28,7 VA

A B Can bn cnS V I V I V I

3. EFECTO DE LA IMPEDANCIA DE UNA FUENTE CONECTADA EN DELTA. En todos los ejemplos anteriores , se ha considerado que son conocidas las tensiones en las terminales del generador, y que son independientes de las corrientes suministradas por el generador. Esta consideracin con frecuencia es bastante prctica; no obstante, en muchos casos tambin se deben tomar en cuenta las impedancias de la fuente. En este caso la solucin de los problemas se complica bastante, debido a la reaccin de las corrientes de las diferentes fases dentro de la mquina, la cual requiere del uso de las reactancias propias y mutuas de los devanados como se estudia en los cursos de mquinas rotatorias. Si la fuente trifsica consiste de tres transformadores monofsicos, o uno trifsico, cuyas impedancias internas se conocen, el circuito bajo estudio se puede resolver rpidamente por cualquiera de los deferentes mtodos ya expuestos, aplicando el que presente mayores ventajas. Las impedancias serie localizadas en las fases de una conexin en estrella no presentan problema especial para el anlisis del circuito. Para impedancias en serie en las fases de una fuente conectada en delta, se pueden obtener tres ecuaciones para las cadas de tensin alrededor de las mallas. Para este propsito, es conveniente convertir el circuito del diagrama de la figura 9A al diagrama de la figura 9B el cul es elctricamente idntico al anterior, cuya simetra geomtrica facilita el establecimiento de las ecuaciones. Se considera que la carga est conectada en estrella. Si la carga est conectada en delta, es conveniente transformar la carga a una estrella antes de que se realice la solucin.



a

bc

A

B C

NZab

Zbc

Zca Z

A

ZB

ZC

Za

Zb

Zc

abV

bcV

caV

FIGURA NMERO 9A.

Las impedancias del circuito de la nueva estrella son,

; ;aN a A bN b B cN c CZ Z Z Z Z Z Z Z Z

a

bc

N1I abZ

bcZ

caZ

aNZ

bNZcNZ

2I

3IcaV

abV

bcV

FIGURA NMERO 9B. Resolviendo el circuito de la figura nmero 9B, por el mtodo de mallas tenemos que las impedancias propias y comunes de las mallas son,

11 aN bN abZ Z Z Z

12 21 bNZ Z Z

13 31 aNZ Z Z

22 bN cN bcZ Z Z Z

23 32 cNZ Z Z



33 aN cN caZ Z Z Z

Escribiendo la solucin de las corrientes de malla en forma matricial tenemos,

11

11 12 13

2 21 22 23

31 32 333

ab

bc

ca

I VZ Z Z

I Z Z Z V

Z Z ZI V

Y las corrientes de lnea son,

1 3 2 1 3 2; ;aN A bN B cN CI I I I I I I I I I I I

Ejemplo 5-18. La carga conectada en delta de la figura es desbalanceada, y est formada por las impedancias siguientes: entre las fases A y B tiene un resistor de 30,0 en serie con un inductor de 80,0 mH, entre las fases B y C tiene un resistor de 20,0 y entre las fases C y A tiene un resistor de 10,00 en serie con un capacitor de 265 F. La carga se alimenta con una fuente simtrica conectada en delta, con una tensin de 125,0 V por fase, con una frecuencia de 60,0 Hz, con una secuencia de fases abc, que tiene una impedancia interna de 0,1000 por fase. La fuente se une a la carga por medio de lneas que tienen una impedancia de 0,1000 . Determinar: a). Las corrientes de lnea, b). Las cadas de tensin en la carga, y c). Las corrientes de fase en la carga.

ZL

ZL

ZL

ZAB

ZBC

ZCA

A

B Cbc

a

b'

c'

a'

'abV

'bcV

'caV

fZ

fZ

fZ

SOLUCIN. Las impedancias de la carga son,

-3 030,0 j2 60,0 80,0 10 42,6 / 45,2ABZ

020,0 / 0,0BCZ



0

-6

110,00 j 14,15 / 45,0

2 60,0 265 10CAZ

Los fasores de tensin de la fuente, considerando a 'abV como referencia son,

0 0 0' ' '125,0 / 0,0 V ; 125,0 / 120,0 V ; 125,0 / 240,0 Vab bc caV V V

Convirtiendo la carga en delta a una carga en estrella tenemos,

042,6 / 45,2 14,15 / 45,0

9,52 / 18,442,6 / 45,2 20,0 / 0,0 14,15 / 45,0

AB CAA

AB BC CA

Z ZZ

Z Z Z

042,6 / 45,2 20,0 / 0,0

13,45 / 26,642,6 / 45,2 20,0 / 0,0 14,15 / 45,0

AB BCB

AB BC CA

Z ZZ

Z Z Z

020,0 / 0,0 14,15 / 45,0

4,47 / 63,642,6 / 45,2 20,0 / 0,0 14,15 / 45,0

BC CAC

AB BC CA

Z ZZ

Z Z Z

A

B C

N

ZA

ZB ZC

ZAB

ZBC

ZCA

Adicionando a la estrella las impedancias de las lneas tenemos,



a

A

b

B

c

C

ZL

ZL

ZL

ZA

ZB

ZC

N

0

9,52/ 18,4 0,1000/ 0,0 9,61/ 18,2aN A LZ Z Z

0

13,45/ 26,6 0,1000/ 0,0 13,54/ 26,4bN B LZ Z Z

0

4,47 / 63,6 0,1000/ 0,0 4,52/ 62,5cN C LZ Z Z

Redibujando el circuito tenemos,

a

A

b

B

c

C

ZL

ZLZL

ZA

ZB

ZC

N

b'

c'

a'

fZ'abV

'bcV

'caV

2I

3I

1I

fZ

fZ

Resolviendo el circuito por el mtodo de mallas tenemos, Las impedancias propias y mutuas de las mallas son,



0

11 9,61/ 18,2 13,54/ 26,4 0,1000/ 0,0 21,6 / 8,0aN bN fZ Z Z Z

0

12 21 13,54/ 26,4bNZ Z Z

0

13 31 9,61/ 18,2aNZ Z Z

0

22 13,54/ 26,4 4,52/ 62,5 0,1000/ 0,0 14,46/ 8,0bN cN fZ Z Z Z

0

23 32 4,52/ 62,5cNZ Z Z

0

33 9,61/ 18,2 4,52/ 62,5 0,1000/ 0,0 13,31/ 31,8aN cN fZ Z Z Z

Escribiendo las ecuaciones en forma matricial tenemos,

11

2

3

21,6 / 8,0 13,54 / 26,4 9,61/ 18,2 125,0 / 0,0

13,54 / 26,4 14,46 / 8,0 4,52 / 62,5 125,0 / 120,0

9,61/ 18,2 4,52 / 62,5 13,31/ 31,8 125,0 / 240,0

I

I

I

De donde,

0 0 01 2 34,56/ 1,2 A ; 3,44/ 100,0 A ; 7,22/143,8 AI I I


01 3 4,56/ 1,2 7,22/143,8 11,26/ 22,8 AA aNI I I I

0

2 1 3,44/ 100,0 4,56/ 1,2 6,12/ 147,4 AB bNI I I I

0

3 2 7,22/143,8 3,44/ 100,0 9,27 /124,3 AC cNI I I I

b). Las cadas de tensin en la carga son,

011,26 / 22,8 9,52 / 18,4 6,12 / 147,4 13,45 / 26,6 122,8 / 0,1 V

A BAB AN BN A BV V V I Z I Z

06,12 / 147,4 13,45 / 26,6 9,27 /124,3 4,47 / 63,6 123,7 / 120,3 V

B CBC BN CN B CV V V I Z I Z



09,27 /124,3 4,47 / 63,6 11,26 / 22,8 9,52 / 18,4 122,6 /119,5 V

C ACA CN AN C AV V V I Z I Z

c). Las corrientes de fase en la carga son,

0122,8 / 0,1

2,88 / 45,1 A42,6 / 45,2

ABAB

AB

VI

Z

0123,7 / 120,3

6,19 / 120,3 A20,0 / 0,0

BCBC

BC

VI

Z

0122,6 /119,5

8,66 /164,5 A14,15 / 45,0

CACA

CA

VI

Z

Mtodo alternativo de solucin utilizando la conversin de la fuente de tensin conectada en delta a fuente de tensin conectada en estrella. Un mtodo alternativo es convertir la fuente de tensin conectada en delta a una fuente equivalente conectada en estrella, y entonces resolver el circuito del problema como un circuito, conectado en estrella desbalanceado, utilizando los mtodos ya descritos. Cuando las impedancias de la fuente todas son iguales, este puede ser un mtodo ms rpido. Las relaciones necesarias para la conversin de la fuente conectada en delta a la fuente conectada en estrella se dan en las ecuaciones siguientes.

'ab ca ab caca ab ab ca

a n

ab bc ca ab bc ca ab ca

V Z V Z Z Z V VV

Z Z Z Z Z Z Z Z

'bc ab bc abab bc bc ab

b n

ab bc ca ab bc ca bc ab

V Z V Z Z Z V VV

Z Z Z Z Z Z Z Z



'ca bc ca bcbc ca ca cb

c n

ab bc ca ab bc ca ca bc

V Z V Z Z Z V VV

Z Z Z Z Z Z Z Z

a

bc

a

bc

abZ

bcZ

caZ

abZ

bcZ

caZ

abV

bcV

caV

ab

ab

V

Z

bc

bc

V

Z

ca

ca

V

Z

A: Generador conectado en delta

desbalanceada con impedancia

interna

B: Fuentes de corriente conectadas en

delta desbalanceada, equivalentes a

las fuentes de tensin de la figura A.

FIGURA NMERO 10. Las ecuaciones anteriores se pueden obtener de la manera siguiente. La figura nmero 10A

representa la fuente desbalanceada conectada en delta, cuyas tensiones son , y ,ab bc caV V V que

corresponden a las tensiones inducidas en los devanados de las fases componentes de la fuente; ellas no son las tensiones en los bornes terminales. Cada fuente de tensin con su impedancia asociada en serie, se convierte a una fuente equivalente de corriente como se muestra en la figura nmero 10B. Enseguida las impedancias conectadas en delta, de la figura nmero 10B, se convierten a impedancias equivalentes conectadas en estrella, como se muestra en la figura nmero 11. Al mismo tiempo cada fuente de corriente se divide en dos como se muestra, as que de las mismas fuentes de corriente salen y accesan las terminales a, b y c como antes, mientras que las corrientes en la unin de la estrella suman cero.



a

bc

a

bc

Z1

Z2

Z3

Z1

Z2

Z3

FIGURA NMERO 11

Transformacin de fuentes de corriente

conectadas en delta a fuentes de corriente

conectadas en estrella.

FIGURA NMERO |2

Combinacin de las fuentes de corriente

en paralelo conectadas en estrella de la

figura nmero 11.

ab

ab

V

Z

bc

bc

V

Z

bc

bc

V

Z

ab

ab

V

Z

ca

ca

V

Z

ca

ca

V

Zbc ab

bc ab

V V

Z Z

ab ca

ab ca

V V

Z Z

ca bc

ca bc

V V

Z Z

A continuacin las fuentes de corriente resultantes a travs de cada impedancia de la estrella se combinan en una fuente de corriente, como se muestra en la figura nmero 12. Ahora el circuito de la figura nmero 12 se puede convertir a fuentes de tensin equivalentes con impedancia en serie, dando la configuracin de la figura nmero 13, la cual es la fuente de tensin deseada en estrella

desbalanceada equivalente. Las nuevas tensiones ' ' ', ya n b n c nV V V son las tensiones individuales que se

tienen en cada fase de la fuente conectada en estrella, sin embargo ellas no son las tensiones que realmente se tienen disponibles en las terminales del generador, excepto en circuito abierto.

a

a'

b

b'

c

c'

n

Z1

Z3 Z2

c nV

a nV

b nV

Circuito equivalente de fuentes conectadas en

estrella de las fuentes de tensin conectadas en delta

FIGURA NMERO 13. En la mayora de los casos prcticos, las tensiones de la fuente en delta y sus impedancias son

simtricas y balanceadas, bajo tales condiciones y considerando la tensin abV como referencia y con

secuencia de fases abc tenemos,

ab bc ca fZ Z Z Z



ab bc ca lV V V V

0 0 0

/ 0,0 ; / 120,0 ; / 240,0ab bc cal l lV V V V V V

Sustituyendo las ecuaciones anteriores tenemos,

2

'

/ 0,0 / 240,0 1/ 0,0 / 240,0 / 30,0

3 3 3

l lF la n l l

f f f

V V VZV V V

Z Z Z

' '/ 150,0 ; / 270,03 3

l lb n c n

V VV V

Y las impedancias de las ramas son,

1 2 33

f

Y

ZZ Z Z Z

Ejemplo nmero 5-19. Resolver el ejemplo nmero 5-18, utilizando la conversin de la fuente conectada en delta a fuente conectada en estrella. Solucin.

Los fasores de tensin de la fuente conectada en delta, considerando a 'abV como referencia

son,

0 0 0' ' '125,0 / 0,0 V ; 125,0 / 120,0 V ; 125,0 / 240,0 Vab bc caV V V

Los fasores de tensin de la fuente en estrella equivalente son,

0''

125,0/ 0,0 30,0 / 30,0 72,2 / 30,0 V

3 3

aba n

VV

0 0

' '72,2 / 150,0 V ; 72,2 / 270,0 Vb n c nV V

Las impedancias en estrella de la fuente equivalente de la fuente conectada en delta son,

3 0

Y

0,1000 / 0,033,3 10 / 0,0

3 3

ZZ

Las impedancias de la carga son,

-3 030,0 j2 60,0 80,0 10 42,6 / 45,2ABZ



020,0 / 0,0BCZ

0

-6

110,00 j 14,15 / 45,0

2 60,0 265 10CAZ

Convirtiendo la carga en delta a una carga en estrella tenemos,

042,6 / 45,2 14,15 / 45,0

9,52 / 18,442,6 / 45,2 20,0 / 0,0 14,15 / 45,0

AB CAA

AB BC CA

Z ZZ

Z Z Z

042,6 / 45,2 20,0 / 0,0

13,45 / 26,642,6 / 45,2 20,0 / 0,0 14,15 / 45,0

AB BCB

AB BC CA

Z ZZ

Z Z Z

020,0 / 0,0 14,15 / 45,0

4,47 / 63,642,6 / 45,2 20,0 / 0,0 14,15 / 45,0

BC CAC

AB BC CA

Z ZZ

Z Z Z

El circuito equivalente es,

A

B C

N

ZB

ZA

ZC

ZY

ZY

ZY

ZL

ZL

ZL

a

a'

bc

c'

n

2I

1I

b'

Resolviendo el circuito por el mtodo de mallas tenemos, Las impedancias propias y comunes de las mallas son,

11

3 0

2 2

2 33,3 10 / 0,0 2 0,1000 / 0,0 9,52 / 18,4 13,45 / 26, 6 21,5 / 8,1

Y L A B L Y Y L A BZ Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z

12 21

3 033,3 10 / 0,0 0,1000 / 0,0 13,45 / 26,6 13,57 / 26,3

Y L BZ Z Z Z Z



22

3 0

2 2

2 33,3 10 / 0,0 0,1000 / 0,0 13,45 / 26,6 4,47 / 63,6 14,42 / 8,0

Y L B CZ Z Z Z Z

Las tensiones son,

0 0' ' ' '125,0 / 0,0 V ; 125,0 / 120,0 Va b b cV V

Escribiendo la solucin de las corrientes de malla en forma matricial tenemos,

1

1

2

21,5 / 8,1 13,57 / 26,3 125,0 / 0,0 11,30 / 22,8

13,57 / 26,3 14,42 / 8,0 125,0 / 120,0 9,29 / 55,5

I

I

De donde, las corrientes de lnea son,

01 11,30 / 22,8 AAI I

0

2 1 9,29/ 55,5 11,30/ 22,8 6,11/ 147,6 ABI I I

0

2 9,29/124,5 ACI I

Los parmetros restantes se calculan en la misma forma que con la alternativa anterior. Ejemplo 5-20. Una fuente simtrica conectada en delta, con secuencia de fases positiva, tiene una impedancia interna de 0,01800 + j 0,1620 por fase. Cuando no hay carga las tensiones en las terminales de la fuente son de 600 V. La fuente se conecta a una carga balanceada conectada en estrella que tiene una impedancia de 7,92 j 6,35 por fase, a travs de una lnea de distribucin con una impedancia de 0,0740 + j 0,296 por fase. Determinar a) las corrientes de lnea, b) las corrientes de fase en la fuente, y c) las tensiones en las terminales en la fuente con carga.



fZ

fZ

fZ

LZ

LZ

LZ

Z Z

Z

bcvV

a

bc

A

B C

abvV

cavV N

SOLUCIN. Transformando las fuentes de tensin en delta a fuentes de tensin en estrella tenemos, que puesto que se tienen tensiones simtricas, las tensiones al neutro de la estrella equivalente,

considerando la tensin abvV en vaco como la referencia, son

0

600/ 30,0 / 0,0 30,0 346 / 30,0 V

3 3

abva n abv

VV

0 0

346/ 150,0 V ; 346/ 270,0 Vb n c nV V

En virtud de que la fuente tiene impedancias iguales conectadas en delta, la estrella equivalente tiene una impedancia por fase de,

00,01800 j0,16200,0543 / 83,7

3 3

f

Yf

ZZ

A

B C

N

Z Z

ZY

ZY

ZL

ZL

ZL

a

a'

bc

c'

n

Z

ZY

b'



Ya que el circuito equivalente tiene tensiones simtricas y cargas balanceadas, se puede utilizar el circuito equivalente monofsico para resolver el problema. El diagrama equivalente del circuito monofsico es,

'anV

YfZ LZ

Z

a' a A

Nn

a) A partir del circuito equivalente. Las corrientes de lnea son,

0346 / 30,0

34,6 / 6,9 A0,0543 / 83,7 0,0740 j0,296 7,92 j6,35

AI

0 0

34,6 / 113,1 A ; 34,6 / 233,1 AB CI I

b) Las corrientes en la fuente son,

034,6/ 30,0 / 6,9 30,0 19,98 / 36,9 A

3 3

Aba A

II

0 0

19,98/ 83,1 A ; 19,98/ 203,1 Acb acI I

c) Las tensiones al neutro equivalentes son,

' 'a n a a aNV V V

' ' '

0

0,0543 / 83,7 346 / 30,0 0,0543 / 83,7 34,6 / 6,9

347 / 30,3 V

AaN an a n a a a nV V V V V I

Las tensiones de lnea en las terminales de la fuente son,

03 / 30,0 3 347 / 30,0 30,0 601/ 0,3 Vab an anV V

0

601/ 120,3V ; 601/ 240,3 Vbc caV V



4. MEDICIN DE LA POTENCIA ACTIVA. Recordando el teorema de Blondel, para una carga de tres hilos conectada en delta, la potencia activa del circuito se puede medir con tres o dos wttmetros, siendo el arreglo ms comn el que utiliza el mnimo de wttmetros, esto es dos. Como se muestra en la figura nmero 14.

a

b

c

A

B C

*

*

1

WM1

*

*

WM2

ABZ

BCZ

CAZBP1

BC2

BC1

BP2RP2

RP1

FIGURA NMERO 14.

Donde las indicaciones de los wttmetros son,

*WM1= cos VabA Aab abab A IAV I V I V I

*WM2= cos VcbC Ccb cbcb C ICV I V I V I

Y la potencia activa total de la carga es,

WM1+ WM2P

Ejemplo 21. Una fuente trifsica simtrica de 440 V, con una secuencia de fases abc, alimenta una carga conectada en delta, con las impedancias de fase siguientes:

0 0 010,00/ 90,0 ; 20,0 / 90,0 ; 10,00/ 0,0AB BC CAZ Z Z



Calcular la corriente que hay en cada lnea. La potencia de la carga se mide mediante dos wttmetros; uno tiene la bobina de corriente en la lnea A y el otro en la lnea C, como se muestra en la figura nmero 14. Determinar la lectura de cada instrumento y la potencia total consumida por el circuito.

SOLUCIN.

Tomando la tensin 0440/ 30,0ABV V. Las corrientes de fase son

0440 / 30,0

44,0 / 60,0 A10,00 / 90,0

ABAB

AB

VI

Z

0440 / 90,0

22,0 / 0,0 A20,0 / 90,0

BCBC

BC

VI

Z

0440 / 210,0

44,0 / 210,0 A10,00 / 0,0

CACA

CA

VI

Z

Las corrientes de lnea son

044,0 / 60,0 44,0 / 210,0 85,0 / 45,0 AA AB CAI I I

0

22,0 / 0,0 44,0 / 60,0 38,1/ 90,0 AB BC ABI I I

, / , , / , / , , 044 0 210 0 22 0 0 64 0 159 9 0 AC CA BCI I I

Las lecturas de cada wttmetro son

* 3 3WM1=Re Re 440 /30,0 85,0 / 45,0 Re 37,4 10 / 75,0 9,68 10 WAABV I

* 3 3WM2=Re Re 440 /90,0 64,0 / 159,9 Re 28,2 10 / 69,9 9,68 10 WCCBV I La potencia total es

3 3 3WM1+WM2=9,68 10 9,68 10 19,36 10 W 19,36kWP

Ejemplo 22. En la figura , yab bc caV V V , representan un sistema trifsico simtrico de cadas de

tensin , siendo la magnitud de cada una de 200 V. La secuencia de fases de la tensin es abc. Dos cargas trifsicas balanceadas, indicadas por los crculos, estn conectadas a las terminales A, B y C, como se muestra en la figura. Adems de las dos cargas balanceadas, a travs de las terminales B y C, como se indica, ha sido colocada una carga monofsica de factor de potencia unitario y de 4,00 kW. a).



Encuentre las lecturas de los wttmetros y b) encuentre el factor de potencia vectorial combinado de la carga compuesta.

3,00 kW

FP = 0,500

atrasado

(1)

4,00 kVA

FP = 0,800

adelantado

(2)

4,00 kW

FP = 1

(3)

*

*

**

A

B

C

a

WM1

WM2

b

c

SOLUCIN.

Las tensiones, tomando como referencia a la tensin ABV son,

0 0 0200/ 0,0 V ; 200/ 120,0 V ; 200/ 240,0 VAB BC CAV V V

La potencia activa en la carga 1 se expresa como,

1 1 13 cosLP V I

De donde, 3

11

1

3,00 1017,32A

3 cos 3 200 0,500L

PI

V

Considerando el factor de potencia de la carga y su caracterstica inductiva, la corriente

1I como fasor es,

1 1 0

1 1 1/ cos 30,0 17,32/ cos 0,500 30,0 17,32/ 90,0 AI I

Tomando como referencia a la tensin abV , las corrientes se pueden expresar como,

0 0 0

1 1 117,32/ 90,0 A ; 17,32/ 210,0 A ; 17,32/ 330,0 AA B CI I I

La potencia aparente de la carga 2 se expresa como,

2 23 LS V I

De donde la corriente tomada por la carga 2 es,



3

22

4,00 1011,55A

3 3 200L

SI

V

Considerando el factor de potencia de la carga 2 y su caracterstica capacitiva, la corriente 2I como fasor es,

1 1 02 2 2/ cos 30,0 11,55/ cos 0,800 30,0 11,55/ 6,9 AI I

Las corrientes se pueden expresar como,

0 0 02 2 211,55/ 6,9 A ; 11,55/ 113,1 A ; 11,55/ 233,1 AA B CI I I

La corriente que toma la carga 3 es,

3

33

3

4,00 1020,0A

cos 200 1B

L

PI

V

Considerando el factor de potencia de la carga 3, la corriente 3BI como fasor es,

3 20,0 / 120,0ABI


01 2 17,32/ 90,0 11,55/ 6,9 19,63/ 54,3 AA A AI I I

0

1 2 3 17,32/ 210,0 11,55/ 113,1 20,0 / 120,0 35,3 / 146,9 AB B B BI I I I

0

1 2 3 17,32/ 330,0 11,55/ 233,1 20,0 / 120,0 39,6 / 62, 8 AC C C BI I I I

Las indicaciones de los wttmetros son,

3WM1 cos 200 19,63cos 0,0 54,3 2,29 10 WVABAB A IAV I

3WM2 cos 200 39,6 cos 60,0 62,8 7,91 10 WVCBCB C ICV I

b). La potencia compleja es,

33 3 0

1 2 3

3,00 10/ 60,0 4,00 10 / 36,9 4,00 10 / 0,0 10,57 /15,3 A

0,500S S S S

De donde el factor de potencia vectorial combinado de la carga es,



cos 15,3 0,965ATFP 5. DELTA DE CUATRO HILOS. En algunos circuitos de distribucin de energa elctrica, cuando la carga es mediana se utilizan los sistemas monofsicos de tres hilos, cuando la carga crece en este tipo de circuitos, es conveniente, en este caso, alimentar la carga en forma trifsica, lo que normalmente se hace adicionando dos transformadores ms de las mismas caractersticas pero sin derivacin central, lo que da lugar a que se forme una fuente con una conexin en delta de cuatro hilos como se muestra en la figura nmero 15.

a

b

c

n

T3

T1T1 T2

T2 T3

ALTA TENSIN BAJA TENSIN

FIGURA NMERO 15.

La solucin de este tipo de circuitos se realiza utilizando los mismos principios que se han mencionado para la solucin de los circuitos conectados en delta.

Ejemplo 5-23. Los secundarios de un banco de transformadores de distribucin, conectados en delta de cuatro hilos, con tensin de lnea de 240 V y de 120 V en el secundario con derivacin central, alimentan un grupo de residencias con cargas formadas por lmparas incandescentes y motores trifsicos pequeos, dichas cargas en forma concentrada se pueden representar como se muestra en la figura siguiente:

a

b

c n

A

B

CN M10 CF

1 500 W

1 500 W



Las caractersticas nominales de las cargas concentradas son, lmparas de 125,0 V y 1 500 W; motor trifsico de 220 V, potencia 10,00 CF; eficiencia 90,0% y factor de potencia 85,0 % atrasado. Determinar: a) las corrientes tomadas por cada grupo de cargas y b) las corrientes suministradas por el secundario del banco de transformadores. SOLUCIN. La impedancia de cada

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