Técnicas de FL aplicadas al control automático

UNA INTRODUCCIÓN

CHP: 1Nelson AcostaINCA – UNCPBA - ARGENTINAINvestigación en Computación Aplicadahttp://www.exa.unicen.edu.ar/inca/Email: nacosta@exa.unicen.edu.ar

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Tabla de contenidos (Chp. 1)Contexto + contexto difuso .........................1 poco de historia .......................................Qué es Lógica Difusa?. Pro y contra .........Porqué control difuso? ................................Conjuntos difusos .......................................Funciones de pertenencia ............................Modelo difuso de MAMDANI ......................Controlador difuso. Ejemplo completo: fusificación, inferencia, reglas, defusificación.Otro ejemplo (Camión de Kosko) .................

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¿ Contexto ?Lenguaje Natural: ‘Alejandra es alta’.Sentencias de MUY difícil traducción a un lenguaje más preciso sin perdida de valor semántico.

Alejandra mide 1.52 cm de altura.No especifica si ella es alta o no.

La altura de Alejandra es 1.2 desviaciones estándar de la altura de una mujer de su edad y cultura.

Es muy complicado, además puede una mujer con desvío de 1.199999999

ser considerada alta?.Cuál es la cultura que define que Alejandra es alta?.Quién define tal función ?.

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¿ Contexto ? (2)Es muy conocido que el mundo no es de blancos y negros. Es muy conocido hace unos 3 o 4 años que GIL y GIL hizo comentarios racistas y que Roberto Carlos dijo que el era CAFÉ CON LECHE ...

Así, todo lo que nos rodea puede tener diferentes apreciaciones. Basados en diferencias culturales, religiosas, físicas, ....

Por ejemplo: TEMPERATURA, EDAD, ALTURA (nba), COLORES, AUTOS (fabricación).

El primero en plantear esa necesidad fue ZADEH en 1961. Presentó el 1er artículo de FL 4 años después.

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¿ Contexto ? (3)Se puede argumentar que tal falta de precisión es un obstáculo para la claridad de su significado.

Sólo algunos pueden sostener que no hay riqueza de significado en tales sentencias.

Esto sucede por tratar de traducir lenguaje natural a lógica clásica.

Esa pérdida de precisión quizás no interesa en un programa de ‘facturación telefónica’, pero cuando se utiliza lenguaje natural para consultar ‘bases de datos’ o ‘representación de conocimiento’ puede ser importante.

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¿ Contexto ? (4)Ejemplo 1:

Se está diseñando un sistema experto para emular el poder de diagnóstico de un físico, una de las mayores tareas es el codificar el proceso de decisión de los físicos ...

El diseñador pronto aprende que la visión del mundo los físicos, a pesar de su dependencia de la precisión, los científicos prueban y miden, incorporan evaluaciones de síntomas, ...

...y las relacionan de forma intuitiva ...(de forma difusa).

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¿ Contexto ? (5)Ejemplo 2:

Decidir que cantidad de medicación administrar puede tener mucho que ver con el sentido de los físicos, relativo a la fortaleza de los síntomas del paciente más que con su relación altura/peso.

Ejemplo 3:Recetas de cocina (de expertos ... abuela ELVA).

Ejemplo 4:Forma de conducción profesional de vehículos(de expertos: camioneros, pilotos, colectiveros, Montoya VS Senna, ...).

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¿ Contexto ? (6)MORALEJA ... s

Mientras algunas decisiones y cálculos pueden ser realizados usando la lógica tradicional,

se ve que en muchos campos de la ciencia y tecnología es más usual no hacerlo.

Ya sea porque no se conoce (o no existe) la forma de cálculo o el modelo matemático que describe el sistema.

O porque se está obteniendo la información de un experto.

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¿ Contexto Difuso ?

Nos movemos en un universo difuso ...Temperatura

(Chicago, Pappete, Suecia, España, ...)

Altura (NBA, jardín de infantes, ...)

Presión (neumáticos, caldera, política, ...)

Colores (autos, paredes, cabellos, ...)

Autos (marca, países, multinacionales, ...). . . . . . . . . . . . . . . . .

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Un poco de historiaLa precisión de matemáticos (o su fama) pertenece, en gran parte debido, al éxito de Aristóteles y algunos filósofos que lo precedieron ...

Ellos idearon una teoría concisa de lógica y, más tarde, matemática que llamaban: ‘leyes del pensamiento’ ...

Una de ellas, la conocida ‘ley de exclusión del medio’, determina que toda proposición debe ser Verdadera o Falsa.

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Un poco de historia (2)PARMINEDES propuso la primer versión de esta ley (400 años AC), provocó objeciones: HERACLITUS propuso que cosas pueden ser simultáneamente Verdad y No Verdad.

PLATON mencionó que hay una tercer región entre Verdadero y Falso ...

Otros más modernos Hegel, Marx y Engels.

Lukasiewicz propuso una alternativa sistemática a la lógica bi-valuada de Aristóteles.

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Un poco de historia (3)Cerca de 1900 Lukasiewicz describió una lógica tri-valuada con toda su base matemática. El tercer valor puede ser traducido como ‘posible’ y le asignó un valor entre Verdadero y Falso.

También propuso una entera notación y sistema de axiomas, del cual esperaba se generara la matemática moderna ...

Más tarde, exploró la lógica cuatri, quintu-valuada, y entonces declaró que en principio nada podría evitar la derivación de la lógica infinitamentevaluada.

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Un poco de historia (4)Lukasiewicz dijo que las lógicas 3/∞-valuada son las más intrigantes, pero que prefería la lógica 4-valuada porque es la más adaptable a la lógica de Aristóteles.

KNUTH propuso una lógica 3-valuada similar a la de Lukasiewicz, de la cual especulaba que la matemática se transformaría en más elegante que con la lógica bi-valuada. Su aporte fue el utilizar un rango integral entre [-1, 0, +1] en lugar de los valores [0, 1, 2].

Pero no tuvo aceptación y fue olvidada ....

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Un poco de historia (5)En 1961. LOFTI A. ZADEH presenta en un congreso de la IFAC que necesita una técnica nueva (un tipo especial de matemática) que considere valores lógicos multivaluados.

En 1965, LOFTI A. ZADEH publicó en un congreso de la IFAC su trabajo: ‘FUZZY SETS’, en los cuales describía la matemática de la teoría de conjuntos difusos y por extensión la

‘LÓGICA DIFUSA’.

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Un poco de historia (6)

Esta teoría propone:Hacer funciones de pertenencia, donde los valores Verdadero o Falso se reemplazan por un rango de números reales [0.0, 1.0].

Nuevas operaciones para el cálculo de las proposiciones.

Una generalización de la lógica clásica (o al menos un principio de generalización ...).

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OTRO poco de historia (7)1961. Lofti A. Zadeh menciona que se necesita de una nueva técnica.

1965. Lofti A. Zadeh introduce el concepto de conjunto difuso.

1969. Duke University investiga sobre materializaciones hardware.

1972. Sugeno M. presenta la idea de mediciones difusas.

1974. Mamdani E. H. presenta una aplicación de control difuso.

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OTRO poco de historia (8)1980. Yamakawa T. primer circuito con componentes bipolares discretos

1982. Linkman, aplicación industrial, fábrica de cemento en Alemania.

1984. Togai y Watanabe primera materialización de un VLSI difuso.

1986. Hitachi, metro con control realizado por algoritmos difusos.

1987. Yamakawa primer controlador difuso analógico.

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OTRO poco de historia (9)1988. Togai M. presenta ‘Digital fuzzy processors’

1990. Japón. Laboratory for International Fuzzy Engineering Research.

1992. 1ra conferencia internacional de la IEEEsobre sistemas difusos

1993. 1er número de IEEE Transactions on Fuzzy Systems.

2001. Primer curso de FLC en la UNCPBA, ... pero eso es historia...

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Qué es la Lógica Difusa ?Lógica multi-valuada, permite (por conjuntos de pertenencia) enfocar problemas como se ven en el mundo real (más cercano).

Permite realizar conclusiones a partir de información imprecisa, vaga o ambigua.

Con datos aproximados obtiene soluciones precisas.

Sistema difuso: mapea entradas en salidas (con

el mismo propósito que cualquier otro sistema de computación).

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Qué es la Lógica Difusa ? (2)

Poderosa metodología de resolución de problemas para “embedded control” y proceso de información.

Imita el sistema de decisión humano en la habilidad de encontrar resultados precisos partiendo de datos aproximados.

Alternativa de pensamiento que permite modelar sistemas complejos en alto nivel de abstracción (por conocimiento y experiencia).

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Qué es la Lógica Difusa ? (3)Permite expresar el conocimiento con conceptos subjetivos (alto, muy caliente, rojo

brillante, velocidad muy alta, rubio, ...) que son mapeados en rangos numéricos exactos.

Se puede utilizar, potencialmente, en casi todas las aplicaciones o áreas.

Brinda al diseñador: simplicidad, muy buenas prestaciones, bajo costo y productividad.

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Qué es la Lógica Difusa ? (4)Las 4 áreas que más lo utilizan:

Automóviles (encendido, consumo, guiado, ABS, temperatura, vigía, cambios, ...)

Electrodomésticos (lavarropas, tv, camcorder, vcr, alarmas, temperatura, smart-home, ...)

Aeroespacio (guiado, vigía, alarmas, ...)

Fabricación (buscando eficiencia de equipos y diagnostico de mal funcionamiento).

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Ventajas de la Lógica DifusaMatemática NO compleja (+ - * /).

Lenguaje natural (if - then).

Fácil configuración (MF y reglas).

Resultados precisos (#decimales).

Uso en colaboración con neural networks, algoritmos Genéticos omeméticos, Objetos, tiempo real, PID, reglas activas, AI, ....

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Resultados precisosEl ojo humano (como dispositivo) no tiene un medidor (sensor) que pueda determinar con precisión milimétrica (resolución) a 100 metros de distancia,

sin embargo ... se puede acertar a un blanco (o diana) a esa distancia ...

... con una pistola ...

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Desventajas de la Lógica DifusaEntender FL.

Buscar personal experto en FL.

Planteo del problema en FL.

Ajustar resultados.

Evaluar resultados (al no basarse en el modelo matemático de la aplicación).

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¿Porqué control difuso?Tecnología nueva puede usarse para eliminar los reclamos de patentes.

Los consumidores quieren lógica difusa (sinónimo de alta tecnología).

Más fácil de aprender y requiere menos personal que el desarrollo de controladores convencionales.

Los controladores difusos brindan mayor robustez que el control convencional.

Extractado por Nelson Acosta a partir de FL mailing-list y de los newsgroupdedicados a FL (entre 1995 y 2001).

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¿Porqué control difuso? (2)

Motivos para usar FLC para ‘embedded applications’:

• Metodología de diseño.• FL reduce el ciclo de diseño.• FL simplifica la complejidad del diseño.• FL reduce el tiempo de desarrollo.• Mejor alternativa para control ‘no lineal’.• FL mejora el desempeño en el control.• FL reduce el costo del hardware.

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¿Porqué control difuso? (3)

1) Metodología de diseño

• Un típico flujo de diseño para aplicaciones de embedded control se basa en una secuencia de pasos de diseño para desarrollo de un controlador.

• Así el enfoque convencional y difuso pueden ser comparados.

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¿Porqué control difuso? (4)• Enfoque convencional:

• Entender el sistema físico y los requerimientos del control.

• Desarrollar un modelo que incluya la planta, los sensores y los actuadores.

• Usar la teoría de control lineal para determinar una versión simplificada del controlador(parámetros del PID).

• Implementar algoritmo simplificado.• Simular el diseño incluyendo efectos de no-

linearidad, ruido y variación de parámetros.• Si el desempeño no es satisfactorio se necesita

modificar el modelo, rediseñar el controlador, reescribir el algoritmo, y re-intentar.

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¿Porqué control difuso? (5)• Enfoque de FUZZY LOGIC:

• Entender y caracterizar el comportamientodel sistema usando conocimiento y experiencia.

• Diseñar el algoritmo de control usando reglas difusas, que describen el controlador en términos de relaciones entre entradas y salidas.

• Simular el diseño.• Si el desempeño no es satisfactorio se necesita

modificar algunas reglas y re-intentar.

Ambas metodologías de diseño son similares,aunque la FL simplifica el ciclo de diseño, lo queimplica: reducción del tiempo de desarrollo,diseño más simple y rapidez en llegar al mercado.

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¿Porqué control difuso? (6)

2) FL reduce el ciclo de diseño• Con la metodología de diseño de FL algunos

pasos son eliminados.

• Durante la depuración y puesta a punto se puede cambiar el sistema, simplemente modificando las reglas en lugar de rediseñar el controlador.

• Como se basa en reglas, no se necesita un experto programador para optimizar el sistema de control.

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¿Porqué control difuso? (7)

3) FL simplifica la complejidad del diseño

• Permite describir sistemas complejos, usando el conocimiento y la experticia, con reglas en lenguaje natural.

• No requiere un modelo del sistema o complejas ecuaciones matemáticas que gobiernen las relaciones entre entradas y salidas.

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¿Porqué control difuso? (8)

• Las reglas difusas son muy fáciles de aprender y usar, incluso por no-expertos.

• Normalmente se necesitan pocas reglas para describir sistemas (incluso algunos bastante complejos).

• No requiere una plataformahardware/software con muy altas prestaciones (debido a su simplicidad).

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¿Porqué control difuso? (9)4) FL reduce el tiempo de desarrollo• La mayor parte de tiempo de desarrollo de un

proyecto de embedded control se dedica al software.

• El tiempo de desarrollo depende de la complejidad y del número de iteraciones (prueba, ajuste, ...).

• Los FLC tienen una media de ser: • más portables (entre plataformas y equipos)• con menor necesidades de mantenimiento• menor costo de actualización

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¿Porqué control difuso? (10)5) Mejor alternativa para control de

sistemas ‘no-lineales’• Muchas aplicaciones son sistemas no-

lineales.• Enfoques convencionales para sistemas no-

lineales: • LINEAR. Simple, pero limita el desempeño del sistema

de control y puede ser costoso para algunas aplicaciones.

• LINEAR x SEGMENTO. Mejora el desempeño, difícil de implementar (requiere varios controladores lineales).

• LUT. Mejora el desempeño, es de difícil debug y ajuste (con muchas entradas es poco práctico y muy costoso).

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¿Porqué control difuso? (11)• Las 3 diferentes alternativas (linear, linear

por segmento y LUT) balancean:• la complejidad, • costo y • desempeño del sistema.

• En FL la no-linearidad es manejada por • reglas, • funciones de pertenencia y • proceso de inferencias;

lo que mejora el desempeño y simplifica la implementación,

reduciendo los costos.

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¿Porqué control difuso? (12)6) FL mejora el desempeño en el

controlEjemplo: control de temperatura (con enfoquetradicional provoca sobre y bajo estimación deacuerdo al tiempo de respuesta).

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IF temperature IS cold THEN force IS high

IF temperature IS cool THEN force IS medium

IF temperayure IS warm THEN force IS low

IF temperature IS hot THEN force IS zero

¿Porqué control difuso? (13)6) FL mejora el desempeño en el control• En FL se usa funciones de pertenencia para

aproximar cualquier función con cualquier grado de precisión.

• Ej. Se usan 4 puntos (o reglas).

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¿Porqué control difuso? (14)• Reglas: no son como LUT porque la aritmética

difusa interpola la figura de las funciones no lineares.

• La memoria requerida para rótulos e inferencia es sustancialmente menor que para una LUT, especialmente en sistemas con múltiples entradas.

• Como resultado puede mejorarse la velocidad de cálculo también.

• FLC ofrece un mejor desempeño y mejor balance entre robustez y sensibilidad del sistema, lo que resulta en un mejor manejo de sistemas lineales (que los métodos tradicionales).

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¿Porqué control difuso? (15)7) FL reduce el costo de hardware• Controlador de temperatura con 2 variables de

entrada (humedad y temperatura) requiere una LUT con 64 KBytes o 0.5 KBytes de rótulos y código ejecutable (Aptronix sobre Motorola).

• Técnicas convencionales requieren un complejo análisis y modelo matemático, algoritmos con operaciones de punto flotante, y complejos sistemas de JUMP. Se implementan sobre un DSP o controlador PID. FLC ofrecen una reducción de memoria y del tipo de procesador necesario.

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Conjuntos DifusosDifusosGeneralización de conjuntos (0 ó 1 → 0 a 1).

Una función brinda una medición del grado de similitud de un elemento al subconjunto difuso.

En FL 1 elemento puede residir en más de un conjunto con diferentes grados de similitud.

Por ejemplo: líquidos potables (agua mineral 100%, cerveza 95%, ácido sulfúricoel 0%). La pertenencia puede interpretarse como similaridad.

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Conjuntos DifusosLa FL se basa en conjunto difusosconjunto difusos. Se reemplaza el rango de pertenencia de

0 ó 1 por 0 a 1. Se utiliza una función para determinar la pertenencia o no a un conjunto difuso.Un elemento puede residir en más de un conjunto difuso (con diferentes grados de similitud o

pertenencia).EJEMPLO: líquidos potables, agua mineral, cerveza y ácido sulfúrico.

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Variables del sistema

Variables de ENTRADA: son las variables de las cuales depende el sistema.

Variables de SALIDA: son las variables controladas por el sistema.

Los dominios de cada variable deben ser acotados y conocidos (edad: 0 a 150 años) ... los rangos y su precisión (temperatura: -25 a 80 grados en 16 bits, da una precisión de 65536/116=564.9 pasos por grado).

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Funciones de pertenencia

Forma de cálculo de la pertenencia de una variable a un conjunto difuso (que depende del valor de la variable y de la función que la define).MF(mayor), a partir de los 21 años, entonces 20 años y 364 días no es mayor, es MF(menor). Función gradual de paso entre las pertenencias a los diferentes conjuntos difusos. Por ejemplo, MF(mayor)=0.98 y MF(menor) 0.09 para 20 años y 364 días ...

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Motor de inferencias

difusasDefusificadorFusificador

Base de reglas difusas

Modelo difuso de ‘Mamdani’

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REGLAS: definen el comportamiento del controlador.MOTOR DE INFERENCIAS: realiza el cálculo o aplicación de las reglas.FUSIFICADOR: traduce a valores difusos los valores de las variables de entrada.DEFUSIFICADOR: traduce el valor difuso de salida a su valor crisp de salida.

Motor de inferencias

difusasDefusificadorFusificador

Base de reglas difusas

Controlador de Lógica Difusa

Modelo difuso de

‘Mamdani’.

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Controlador de Lógica Difusa (2)REGLAS

Base de reglas (IF – THEN).

TODAS las reglas deben ser evaluadas ...

AND de reglas ... duplica los antecedentes con (TODOS los) diferente(s) consecuente(s).

OR de reglas ... evaluación directa de cada condición ... de acuerdo a la inferencia ... no hay problema

IF (u1 is F1)∧... ∧(up is Fp)THEN vi is Gk

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Controlador de Lógica Difusa (2)REGLAS

REGLAS ACTIVAS ... sólo evalúan las reglas que aportan

información a la inferencia (SÓLO un pequeño porcentaje del total de reglas).

Reglas conflictivas ... de idéntico antecedente y diferente consecuente ...

se asigna un valor de credibilidad a cada una, y se aplica la de valor más alto.

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Controlador de Lógica Difusa (3)MOTOR DE INFERENCIAS

Es el encargado de aplicar todas las reglas para obtener los resultados difusos.

Cada regla es interpretada como una implicación difusa.

Bloque que mapea conjuntos de entrada difusos en conjuntos difusos de salida.

Normalmente hay muchos métodos, entre ellos los + conocidos utilizan las operaciones: a) máximos y mínimos, b) multiplicación punto flotante y suma, ...

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Controlador de Lógica Difusa (4)FUSIFICACIÓN

Fusificador: mapea conjuntos crisp en conjuntos difusos.

Función de pertenencia: Representan o calculan el valor de pertenencia de una variable a un conjunto determinado.

Las formas de las funciones de pertenencia más utilizadas son: Gausiana, triangular, trapecios, polinomios, polinomios lineales, ...

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Controlador de Lógica Difusa (4)FUSIFICACIÓNSu implementación ...

Fusificador por memoria: se tiene una tabla en memoria, cuyo índice es el valor de la variable, y el contenido en esa posición es el valor que debe tomar la MF.

Fusificador por cálculo: se ejecuta una función que en base a pocos parámetros calcula en línea el valor que debe tomar la función de acuerdo al valor de la variable.

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Controlador de Lógica Difusa (5)DEFUSIFICACIÓN

Salida crisp desde información difusa (del motor de inferencia).

CENTRO DE GRAVEDAD (COG):

y = [ ∫S y µB( y ) dy ] / [ ∫S µB( y ) dy ]

CENTROIDE:

y = [ ∫S y µB( y ) dy ] / [ ∫S µB( y ) dy ] =

= [ Σ yi µB( yi ) ] / [ Σ µB( yi ) ]

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Inferencia MAX-MINPasos para el cálculo de un FLC:

Asignación de los valores de pertenencia a cada antecedente.

Asignación de los valores de pertenencia a cada premisa.

Cálculo de la función de pertenencia de salida mediante la aplicación del método de inferencia (mediante las operaciones de truncar y unir en el caso del MAX-MIN)

Defusificación (COG o Centroide)

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Inferencia MAX-MIN (2)

IF (x is BAJO) and (y is MEDIO) THEN z is MEDIO .IF (x is BAJO) and (y is ALTO) THEN z is BAJO .

ENTONCES el CENTROIDE es el promedio ponderado de MEDIO y BAJO

Bajo Medio AltoVariable X

10.80.60.40.2

00 5 10 15 20

Bajo Medio AltoVariable Y

10.80.60.40.2

00 25 50 75 100

Bajo Medio AltoVariable Z

10.80.60.40.2

00 2.5 5 7.5 10

Bajo Medio AltoVariable X

10.80.60.40.2

00 5 10 15 20

Bajo Medio AltoVariable Y

10.80.60.40.2

00 25 50 75 100

Bajo Medio AltoVariable Z

10.80.60.40.2

00 2.5 5 7.5 10

Bajo Medio AltoVariable Z

10.80.60.40.2

00 2.5 5 7.5 10

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Inferencia MAX-MIN (3)

x = 5 e y = 70. µbajo(x)= 0.8, µmedio(x)= 0, µalto(x)=0

µbajo(y)= 0, µmedio(y)= 0.95, µalto(y)= 0.4

IF (x is BAJO) and (y is MEDIO) THEN z is MEDIO,

z1 = min(x is bajo, y is medio)= = min(0.8, 0.95)= 0.8.

IF (x is BAJO) and (y is ALTO) THEN z is BAJO,

z2 = min(x is bajo, y is alto)= = min(0.8, 0.4) = 0.4.

MAX/MIN + CENTROIDE + SINGLETON

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Inferencia MAX-MIN (4)

z = ( Σ defi * valor_difusoi ) / ( Σ defi ) =

(bajoz*defbajo + medioz*defmedio + altoz*defalto)= ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- =

(bajoz + medioz + altoz)

= (0.4 * 1 + 0.8 * 5 + 0 * 0) / (0.4 + 0.8 + 0) =

= (0.4 + 4) / (1.2) =

= 4.4 / 1.2 =

= 3.66.

MAX/MIN + CENTROIDE + SINGLETON

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Otro EjemploProblema: un vehículo tiene que moverse de tal manera que su parte trasera (punto T) coincida con el centro (punto C) de un muelle de carga.

C C

(a) (b)

T

T

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Otro Ejemplo (2)-x +x

y X , Y

T φ

θ

Sensoresde

posición ProcesamientoControlador Regulación

del ángulo

Regulaciónde velocidad

x,φ θidealΣ+

-

yθreal

•Coord. (x,y) de T.

•φ con respecto al eje y.

•FLC calcula el ángulo de giro ideal θ de las ruedas delanteras.

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Otro Ejemplo (3)LE LC CE RC RI

-50 -38 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 38 50

RB RU RV VE LV LU LB

-190.5 -180 -135 -97.5 -79.5 -63 -47 -28.5 -23.5 -12 0 12 23.5 28.5 47 63 79.5 97.5 135 180 190.5

NB NM NS ZE PS PM PB

-30 -25 -16 -15 -13 -6.5 -5 0 5 6.5 13 15 16 25 30

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Otro Ejemplo (4)Aplicaciones de APTRONIX:

φ

XLE LC CE RC RI

RB PS PM PM PB PB

RU NS PS PM PB PB

RV NM NS PS PM PB

VE NM NM ZE PM PM

LV NB NM NS PS PM

LU NB NB NM NS PS

LB NB NB NM NM NS

Auto Focus. 3 ve, 3 vs, 19 fp y 18r.

Pendulo Invertido Doble.

2 ve, 1 vs, 17 fp y 30 r.

Servomotor.2 ve, 1 vs, 23 fp y 64 r.

Horno fundición vidrio.2 ve, 1 vs, 17 fp y 24 r.

Reglas camión:

-x +x

y

X,YT

θ+φ

∆x

∆yθ

φ

φ

θ

Eso es todo por HOYGracias por participar en un mundo difuso ... Pero que exige decisiones precisas