Tema 1. Cinemtica de la partcula.

Concepto de movimiento.

Vectores posicin, desplazamiento, velocidad y aceleracin.

Componentes intrnsecas de la aceleracin.

Clasificacin de los movimientos.

Composicin de movimientos.

Transformadas de Galileo: sistema de referencia inercial.

BLOQUE TEMTICO 1: MECNICA DE LA PARTCULA

TEMA 1. CINEMTICA DE UNA PARTCULA

BLOQUE TEMTICO 1: MECNICA DE LA PARTCULA

TEMA 1. CINEMTICA DE UNA PARTCULA

TEMA 1. CINEMTICA DE UNA PARTCULA

1. Vector de posicin. Desplazamiento. Velocidad y Aceleracin. Valores medios e instantneos

Vector desplazamiento: variacin que experimenta la posicin de un mvil.

Vector de posicin: vector que une el origen del sistema de referencia con la situacin del mvil en cada instante.

Coordenadas cartesianas de un vector

Trayectoria: lnea que une las sucesivas posiciones que adopta el mvil.

Velocidad media: variacin que experimenta la posicin de un mvil en la unidad de tiempo.

y

x

Vector velocidad media Mdulo de la velocidad media

Velocidad instantnea: es la derivada de la posicin con respecto al tiempo.

La direccin del vector velocidad es siempre tangente a la trayectoria

Mdulo del vector velocidad

Coordenadas cartesianas del vector velocidad

Definimos el vector unitario como aquel cuya direccin es la de la tangente a la trayectoria en cada punto y cuyo sentido es el del movimiento: este vector, de mdulo constante y direccin variable, marca, pues, la direccin y el sentido de la velocidad instantnea.

Aceleracin media: variacin que experimenta la velocidad instantnea del mvil en la unidad de tiempo.

Mdulo de la aceleracin mediaVector aceleracin media

Coordenadas cartesianas del vector aceleracin

Mdulo del vector aceleracin

Aceleracin instantnea: es la derivada de la velocidad instantnea con respecto al tiempo.

EJEMPLOS

1- A position-time graph for a particle moving along the x axis is shown in Figure 1. (a) Find the average velocity in the time interval t =1.50 s to t = 4.00 s. (b) Determine the instantaneous velocity at t = 2.00 s by measuring the slope of the tangent line shown in the graph. (c) At what value of t is the velocity zero. d) Plot the v-t and a-t graphs. Sol: a) 1,14 m/s; b) 3,7m/s; c) t=4s

Figura 1

15

2,66

04

-13

-3,72

-61

V(m/s)t (s)

Ecuacin posicin-tiempo de una partcula que describe un movimiento.

2- A particle starts from rest and accelerates as shown in Figure 2. Determine (a) the particles speed at t = 10.0 s and at t = 20.0 s, and (b) the distance traveled in the first 20.0 s. Sol: (20 m/s; 60 m/s)

Figura 2

OPERACIONES CON VECTORES

SUMA DE VECTORES

Propiedad conmutativa

DIFERENCIA DE VECTORES

MOVIMIENTO EN UNA DIRECCIN

In Figure 3, match each vx -t graph on the left with the ax -t graph on theright that best describes the motion.

Figura 3

2. COMPONENTES INTRNSECAS DE LA ACELERACIN

Aceleracin tangencial. Mide los cambios del vector velocidad en mdulo (es el mdulo lo que se deriva) y su direccin coinciden con los del vector velocidad.

Dichas componentes miden los cambios en el mdulo y la direccin del vector velocidad instantnea y dichas componentes son perpendiculares entre s.

Mdulo del vector aceleracin tangencial

Vector aceleracin tangencial

Aceleracin normal. Mide los cambios que experimenta la velocidad en direccin (es el vector unitario lo que se deriva) y su direccin y sentido es perpendicular al del vector velocidad.

Consideremos un MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME. La aceleracin se debe exclusivamente al cambio en la direccin de la velocidad.

Ambos tringulos son semejantes y sus lados son proporcionales.

COMPONENTES INTRNSECAS DE LA ACELERACIN

Movimiento de una partcula a lo largo de una curva arbitraria que se encuentra en un plano xy.

Descripcin de los vectores unitarios en la direccin de las aceleraciones tangenciales y normales.

PROBLEMAS4. La velocidad de una partcula en un cierto instante, es v = = = = 5i 2 j + + + + 2k ((((m/s) ) ) ) y su aceleracin a = = = = 2i 3 j ((((m/s2 )))). Determinar: a) el mdulo de su aceleracin tangencial, b) el mdulo de su aceleracin normal y c) el radio de curvatura en dicho instante.SOL: a) 0,69 m/s2; b) 3,54 m/s2; c) 9,33 m

5. En un movimiento rectilneo se mantiene constante, con valor k, el producto de su posicin por su velocidad. Encontrar la ecuacin de la posicin en funcin del tiempo para este movimiento, si inicialmente su posicin era x0.

TIPOS DE MOVIMIENTOS

Cualquier tipo de movimiento se puede caracterizar mediante las ecuaciones horarias del movimiento: posicin, velocidad y aceleracin-tiempo. Veamos algunos ejemplos:

Movimiento Rectilneo Uniforme. Partcula que se mueve en el eje X con v=cte y trayectoria rectilnea.

Representacin de la (a) ecuacin horaria y de la velocidad para un movimiento rectilineo en sentido (a) positivo y (b) negativo del eje X.

(a)(b)

Movimiento rectilneo uniformemente acelerado. Partcula que se mueve en el eje X con a=cte; trayectoria rectilnea implica velocidad y aceleracin paralelos.

Movimiento en el que la velocidad de la partcula aumenta con el tiempo y la aceleracin tangencial es del mismo sentido que la velocidad.

Trayectoria

Eliminando el tiempo de la ecuaciones horarias de la posicin y la velocidad se obtiene:

Ejemplo de movimiento uniformemente acelerado:

Lanzamiento de un objeto en vertical.

Movimiento en el que la velocidad de la partcula

disminuye con el tiempo y la aceleracin tangencial es de

sentido contrario a la velocidad.

EJEMPLO: MOVIMIENTO EN UNA DIRECCIN

Diagrama de movimiento

Expresar la ecuacin horaria y la velocidad y aceleracin frente al tiempo para cada movimiento.

Movimiento Parablico El movimiento tiene lugar con aceleracin constante. La velocidad instantnea y la aceleracin no son paralelos y la trayectoria no es rectilnea pero s es plana.

maxx

maxy

Trayectoria Parablica

0x =

Ecuaciones Paramtricas

Eliminamos el tiempo

Distancia mxima horizontal

Altura mxima

22

0

02 cos

gy xtg x

v

= =

0v sentg

=0yv =

La ecuacin de la trayectoria se obtiene eliminando el tiempo de la ecuaciones paramtricas.

Se obtiene aplicando la condicin de y=0 en la ecuacin de la trayectoria

Ecuacin de la trayectoria

Se aplica la condicin de vy=0 , se obtiene el tiempo y se sustituye en la ecuacin de la ordenada y

Representacin grfica del alcance mximo horizontal para distintos valores del ngulo de inclinacin. Demostrar que el ngulo para el valor mximo de Xmax es de 45.

PROBLEMAS

12. Las ecuaciones paramtricas de la posicin de una partcula vienen dadas por:

Hallar:a) la rapidez en cualquier instante, b) los mdulos de las aceleraciones normal y tangencial en cualquier instante,c) la ecuacin de la trayectoria y el tipo de movimiento descrito por el cuerpo.

13. Una piedra se lanza horizontalmente con una velocidad de 10 m/s. Hallar el radio de curvatura de su trayectoria a los 3 s de comenzar el movimiento. (g = 10 m/s2)

3. Una pelota resbala por un tejado que forma un ngulo de 30 con la horizontal y, al llegar al borde, queda en libertad con una velocidad de 10 m/s. La altura desde el borde del tejado es 60 m y la anchura de la calle es 30 m. Calcular: a) la ecuacin de la trayectoria descrita por la pelota, b) caer al suelo o chocar con la pared opuesta? c) situacin de la pelota en el instante en que su velocidad forma un ngulo de 45 con la horizontal. (g = 10m/s2). NOTA: El sistema de referencia se ha tomado con origen en el punto de salida (borde del tejado) y eje vertical positivo hacia abajo.

SOL: a) ; b) cae al suelo, c) x = 3,17 m; y = 2,50 m

2

2 c o s

x s e n t

y t

=

=

MOVIMIENTO CIRCULARRadin es el ngulo central de una circunferencia cuyo arco tiene una longitud igual al radio:

El radin es la unidad de medida del ngulo en el S.I. y es adimensional.

cte =

Definicin de producto vectorial:

Se define la velocidad angular (w) como la derivada del espacio angular con respecto al tiempo.

La velocidad angular puede expresarse como un vector de mdulo la derivada del espacio angular respecto al tiempo, direccin perpendicular al plano que contiene a la trayectoria y sentido el del avance de un sacacorchos en el sentido del giro.

(rad/s)

Movimiento Circular Uniforme. Es aqul cuya trayectoria es una circunferencia y en el que la velocidad angular es constante.

cte =2 2 2

2n

v Ra R cte

R R

= = = =

El movimiento circular uniforme es un movimiento peridico: aqul en el que el mvil pasa, a intervalos regulares de tiempo, por los mismos puntos de la trayectoria y con idntica velocidad. Para este conjunto de movimientos se definen las magnitudes perodo y frecuencia.

Perodo (T), es el tiempo que tarda el mvil en describir un ciclo completo. Frecuencia (f), es el nmero de ciclos que describe el mvil en la unidad de tiempo.

Movimiento Circular Uniformemente Acelerado. Es aqul cuya trayectoria es una circunferencia y en el que la aceleracin angular es constante.

La aceleracin angular es la derivada de la velocidad angular con respecto del tiempo.

(rad/s2)

Puesto que y R son constantes, la aceleracin tangencial es constante en este movimiento. Puesto que no es constante, la aceleracin normal no es constante y tampoco lo ser la aceleracin total.

SISTEMAS DE REFERENCIA INERCIALES Y ACELERADOS. Existen dos tipos de sistemas de referencia: los que se encuentran en reposo absoluto, o se mueven con velocidad vectorial constante respecto de uno que se encuentre en reposo absoluto, y los que se mueven con algn tipo de aceleracin: los primeros se denominan INERCIALES y los segundos NO INERCIALES o ACELERADOS. La Tierra, debido a la rotacin de la misma, no es estrictamente un sistema de referencia inercial, ya que tiene una aceleracin dirigida hacia el eje de rotacin. En el ecuador, dicha aceleracin vale:

Movimiento CircularMovimiento Circular Movimiento Lineal

LAS TRANSFORMACIONES DE GALILEO. Sirven para determinar la posicin, velocidad y aceleracin de un objeto, respecto de un sistema de referencia inercial, si las conocemos respecto de otro sistema de referencia, tambin inercial.

v0

La persona que est sobre la cinta transformadora percibe que el joven se desplaza a menor velocidad que la persona que se encuentra fuera de la cinta.

Sean dos sistemas de referencia, que se mueven, uno respecto al otro, con movimiento de traslacin uniforme, es decir, son dos sistemas de referencia inerciales, se han de cumplir las siguientes expresiones:

Trayectorias que perciben un observador fijo (B) y un observador (A) que se desplaza en un monopatn a velocidad constante.

Transformadas de Galileo

a) b)

9. La brjula de un avin indica que su proa se dirige hacia el norte y su indicador de velocidad seala que se mueve respecto al aire con una rapidez de 120 km/h. Si hay un viento de 50 km/h, que sopla de Oeste a Este, calcular: a) la rapidez del avin respecto a tierra, b) en qu direccin debe el piloto mantener el rumbo para marchar en direccin norte? cul ser entonces su rapidez? SOL: a) 130 km/h, b) 24,6E (Noroeste); 109,1 km/h

14. Un punto material describe un movimiento circular de radio 2 cm. La relacin entre la posicin del punto y el tiempo viene expresada por la ecuacin s=0,1t3 (cm, s). Hallar el mdulo de las aceleraciones normal y tangencial del punto en el instante en que su velocidad vale 0,3 m/s. SOL: an = 4,5 m/s2; at = 0,06 m/s2

Reconocer la diferencia entre los vectores posicin, desplazamiento, velocidad y aceleracin.

Escribir y razonar las ecuaciones de los vectores de posicin, velocidad y aceleracin en los movimientos: rectilneo y uniforme, uniformemente acelerado y parablico.

Escribir y razonar las ecuaciones paramtricas y de la trayectoria de los movimientos anteriormente citados.

Describir las componentes intrnsecas de la aceleracin. Razonar su significado fsico

Escribir y razonar las ecuaciones temporales (posicin, velocidad y aceleracin frente al tiempo) de los movimiento circular uniforme y circular y uniformemente acelerado.

Distinguir entre los sistemas de referencia inerciales y acelerados o no inerciales

Escribir las ecuaciones de posicin, velocidad y aceleracin en movimientos relativos y en sistemas de referencia inerciales y acelerados.

OBJETIVOS