MATEMATICA Y LOGICALgica: La Lgica es la ciencia que estudia los principios y mtodos para distinguir un razonamiento correcto de otro incorrecto. Tradicionalmente ha sido considerada como una parte de la Filosofa, pero en su desarrollo histrico, a partir del final del siglo XIX, y su formalizacin simblica ha mostrado su ntima relacin con la Matemtica, de tal forma que algunos la consideran como Lgica Matemtica. La parte de la Lgica que se va a estudiar es la Lgica Proposicional, ella estudia las proposiciones y la inferencia Enunciado: Se denomina enunciado a toda frase u oracin.Ejemplos:1) Lima es la capital del Per2) 3) Compra cinco plumones azules y dos rojos Proposicin: Es un enunciado que tiene la propiedad de ser falso o verdadero, pero no ambos a la vez.Ejemplos:1) 6 es un numero primo2) Gabriel Garca Mrquez escribi Cien aos de soledad3) 1 es un numero entero, pero 2 no lo es.Enunciado abierto: Son expresiones que contienen una o ms variables. Ejemplos: 1) 2) Los enunciados abiertos no son proposiciones, pero pueden convertirse en proposiciones de dos maneras:a) Dando valores a las variables. Por ejm. Si en 1) hacemos , se obtiene , que es una proposicin falsa.b) Empleando cuantificadores. Hay dos tipos de cuantificadores: Cuantificador existencial, se lee existe; Cuantificador universal, se lee para todo. Por ejm. Si empleamos cuantificadores en 1), se obtiene una proposicin que es verdadera., se obtiene una proposicin que es falsa. Trminos de Enlace o Conectivos Lgicos: Son expresiones que se utilizan para unir proposiciones y obtener de esta manera otras proposiciones ms complejas.Entre ellos tenemos:Termino de enlaceSmbolo

no

y

O (inclusivo)

O (exclusivo)

Si y solo si

Si . entonces .

Nota: es un seudo trmino de enlace, ya que puede ser aplicado a una sola proposicin Clases de Proposiciones:Simples o Atmicas: Son aquellas que contienen un solo sujeto y un solo predicado. Tambin se dice que son aquellas que no contienen trminos de enlace. Ejemplos:1) La qumica es mi asignatura favorita. 2) 11Una proposicin atmica se simboliza por medio de una letra minscula.Ejemplo: Si hacemos, entonces esta representando a la proposicin , entonces esta representando a la proposicin Compuestas o Moleculares: Si las proposiciones simples se combinan con trminos de enlace, se forma una nueva proposicin a la cual llamaremos: proposicin compuesta.Tambin podemos decir que una proposicin compuesta es aquella que contiene ms de un sujeto o predicado. Ejemplos:1) El es inteligente o estudia todos los dasPara simbolizar hacemos, .Simbolizando, 2) Si la figura es un tringulo entonces tiene 3 lados.Para simbolizar hacemos, Simbolizando, Jerarqua de los trminos de enlace: La jerarqua de los trminos de enlace se refiere a la potencia de cada uno de ellos. Se considera que es el ms dbil; son de igual potencia, pero ms potentes que ; es ms potente que los anteriores, y es el ms potente de todos. Sin embargo, se puede hacer que un determinado conectivo sea ms potente que los dems utilizando, de manera conveniente, los signos de agrupacin (parntesis, corchetes, llaves).As, en la proposicin: el trmino de enlace dominante es . Si se quiere que el termino de enlace dominante sea , escribiremos .De acuerdo al trmino de enlace dominante las proposiciones moleculares toman los siguientes nombres:Negacin: Si el termino de enlace dominante es Disyuncin: Si el termino de enlace dominante es Conjuncin: Si el termino de enlace dominante es Condicional: Si el termino de enlace dominante es Bicondicional: Si el termino de enlace dominante es Nota: En la condicional Cuando una proposicin se da en el lenguaje oral o escrito para identificar el trmino de enlace dominante es costumbre expresarla en su forma ms completa. As, si la proposicin puede ponerse en la forma:No es cierto que ; No ocurre que entonces se trata de una negacinA la vez . Se trata de una conjuncin. En el proceso de simbolizacin la expresin A la vez no se simboliza, ella se utiliza solo para indicar que la proposicin es una conjuncin. O . Se trata de una disyuncin. En el proceso de simbolizacin la primera o no se simboliza, ella se utiliza solo para indicar que la proposicin es una disyuncin.Si . Se trata de una condicional. Se trata de una bicondicional Ejemplos: Simbolizar las siguientes proposiciones.1) A la vez, si Carlos estudia entonces no trabaja y Juan o Mara estudian con l. La proposicin tiene la forma: A la vez,( si Carlos estudia entonces no trabaja) y ( Juan o Mara estudian con l)Sean , Simbolizando: 2) No es cierto que, si y la figura es un tringulo entonces hoy es lunes.La proposicin tiene la forma: No es cierto que [si(3+2>5 y la figura es un tringulo) entonces(hoy es lunes)]Sean, Simbolizando: Valor de verdad de una proposicin compuesta: El valor de verdad de una proposicin compuesta queda completamente determinado por el valor de verdad de las proposiciones atmicas que la conforman junto con la forma en que estn conectadas, de acuerdo a como se indica en las siguientes tablas:

V VVVFVV

V FFVVFF

F VFVVVF

F FFFFVV

VF

FV

Ejemplos:1) Si la proposicin: es verdadera, halle los valores de verdad de las proposiciones p, q, r y s 2) Si la proposicin: es falsa, siendo p una proposicin verdadera, determine los valores de verdad de q, r,s

NOTA:1) Las palabras como: pero, sin embargo, adems, aunque, no obstante, a la vez tambin se utilizan en lugar de y2) Tambin se utilizan como conectivo condicional los trminos: porque, puesto que, ya que, si, cuando, cada vez que, etc. Todos ellos se caracterizan porque despus de cada uno de estos conectivos est el antecedente. Ejemplos:1) Carlos estudia a la vez que Mara trabaja. Es lo mismo que: Carlos estudia y Mara trabaja.2) 2 es un nmero par ya que el tringulo tiene 4 lados. Es lo mismo que: Si el tringulo tiene 4 lados entonces 2 es un nmero par.3) 10 es mltiplo de 3 pero 20 es mltiplo de 4. Es lo mismo que: 10 es mltiplo de 3 y 20 es mltiplo de 4.4) Luis estudia Contabilidad puesto que maana es lunes. Es lo mismo que: Si maana es lunes entonces Luis estudia Contabilidad.

TABLAS DE VALORES DE VERDAD (TVV)Las tablas de valores de verdad se utilizan para determinar el valor de verdad de proposiciones compuestas a partir del valor de verdad de las proposiciones atmicas que la conforman. El nmero de filas en una tabla de valores de verdad es , donde es el nmero de proposiciones atmicas que posee la proposicin compuesta. De este nmero de filas, para la 1ra variable, (de izquierda a derecha), la mitad le corresponde el valor V y a la otra mitad el valor F, para las siguientes variables, el nmero de V y F de la anterior variable se divide entre 2 y a cada parte se les asigna los valores V y F.Ejemplos: Construir la tabla de valores de verdad de las siguientes proposiciones:1) 2)

V V F V V F

V F V F V V

F V V F V V

F F V F V V

V V V F V F V F V V V F

V V F F V V F F F F F F

V F V V F F F F V V V F

V F F V V V F F F F F F

F V V V F F F V V V V F

F V F V V V V V V F F F

F F V V F F F V V V F V

F F F V V V V V V F V V

Tautologa y ContradiccinSea una proposicin compuesta por las proposiciones simples .es una TAUTOLOGIA, si es verdadera para todos los valores de verdad que se asignen a es una CONTRADICCION, si es falsas para todos los valores de verdad que se asignen a Denotaremos una tautologa por , y una contradiccin por .Una proposicin que no es tautologa ni contradiccin se llama CONTINGENCIA .

Ejemplo: De los esquemas moleculares que se dan determine cules son tautologas:1) 2) 3)

PROPOSICIONES LOGICAMENTE EQUIVALENTES:Dos proposiciones compuestas y son lgicamente equivalentes y se escribe o cuando ambas tiene los mismos valores de verdad. Para probar que las proposiciones y son lgicamente equivalentes se forma la bicondicional y se construye su TVV, si su resultado es una tautologa, ellas son equivalentes. Ejemplo 1: Determine si las proposiciones siguientes son equivalentes.Luis vive en Parcona puesto que Juan estudia Contabilidad

V VV F V

V FV V F

F VF V F

F FV V F

No es cierto que Luis vive en Parcona y Juan estudia ContabilidadSolucin Primero simbolizamos las proposiciones:Sean: 1) 2) Como sus TVV no son idnticas, entonces las proposiciones no son equivalentes.Ejemplo 2: Determine si las proposiciones siguientes son equivalentes.Si Juan aprob el examen de admisin entonces ingreso a la UniversidadNo es cierto que Juan aprob el examen de admisin y no ingreso a la Universidad

V VVV F

V FFF V

F VVV F

F FVV F

SolucionSimbolizando las proposiciones:Sean: 1) 2) Sus TVV son idnticas, por tanto las proposiciones son equivalentes.

LEYES LOGICASSon un conjunto de proposiciones equivalentes. Se utilizan para simplificar proposiciones complejas. Entre ellas tenemos:1) 2) Leyes de Idempotencia:a) b) 3) Leyes Conmutativas:a) b) c) 4) Leyes Asociativas:a) b) c) d) 5) Leyes Distributivas:a) b) c) d) e) f) g) 6) Doble Negacion: 7) Leyes de Complementacion:a) (T representa una tautologa)b ) ( C representa una contradiccin)c) d) 8) Leyes de Identidad:a) b) c) d) 9) Leyes de De Morgan:a) b) 10) Leyes de Absorcin:a) b) c) d) 11) Ley de Contraposicin: 12) Leyes de la Condicional: 13) Leyes de la Bicondicional:

Ejemplo 1: Simplificar la siguiente proposicin: Ley condicional De Morgan e Identidad Identidad Conmutativa Absorcin

Ejemplo 2: Simplificar la siguiente proposicin: Ley condicional y De Morgan Morgan y Conmutativa Conmutativa y Morgan Bicondicional

LA INFERENCIA LOGICALa inferencia o razonamiento lgico es el proceso mediante el cual, a partir de un conjunto de proposiciones llamadas Premisas se deduce la afirmacin de una proposicin llamada Conclusin.Una inferencia es Vlida o No vlida.Para verificar si una inferencia es o no valida podemos proceder de dos formas:1. Formar una condicional cuyo antecedente es la conjuncin de las premisas y su consecuente, es la conclusin. Construir la TVV de esta condicional. Si resulta una tautologa entonces la inferencia es vlida, si no es tautologa, la inferencia es no valida. O sea, si son las premisas y es la conclusin, entonces la inferencia ser vlida si la condicional:

es una tautologa. Cuando una inferencia es vlida tambin se dice que la conclusin es una consecuencia lgica de las premisas.

2. Dar valores de verdad V a cada una de las premisas y F a la conclusin. Luego se hallan los valores de verdad de cada una de las proposiciones atmicas. Si alguna de las proposiciones atmicas admite los dos valores de verdad (V y F), entonces la inferencia es vlida. Si cada proposicin atmica admite un solo valor de verdad (V o F), la inferencia es no valida.Una inferencia o razonamiento lgico generalmente se escribe en la forma siguiente:

Ejemplo 1: Determinar si: es una consecuencia lgica de SolucinLas premisas son: La conclusin es: Aplicando el segundo procedimiento: Damos valores de verdad V a las premisas y F a la conclusin1) ; 2) ; 3) ; 4) De 4) se obtiene: De 3) Si se remplazan los valores de verdad de y en 2) se obtiene . Pero , por tanto para que esto se cumpla es necesario que o . En cualquiera de los casos, una de las proposiciones atmicas o asume los dos valores de verdad. Es decir: y lo que indica que la inferencia es vlida, o sea que a partir de ese conjunto de premisas se puede llegar a la conclusin. Ejemplo 2: Determinar si el siguiente razonamiento es o no validoSi Rita est horneando un pastel, entonces no est practicando guitarra. Si Rita no est practicando guitarra entonces su padre no pagar el seguro del carro. Rita est horneando un pastel. Por tanto: su padre no pagara el seguro del carroEn este caso, primero hay que simbolizar las proposiciones y determinar cules son las premisas y cul es la conclusin. Hay que tener en cuenta que, la expresin que sigue a: Por tanto, ( a veces tambin se utiliza luego), es la conclusin.Sean, Simbolizando:Premisas: Conclusion:

V V V F F V F V V F

V V F F F V F V V V

V F V V F F F V V F

V F F V V V V V V V

F V V V V V F F V F

F V F V V V F F V F

F F V V F F F F V F

F F F V V V F F V V

Como se obtiene una tautologa, el razonamiento es vlido.

LISTA N 1 DE EJERCICOS1. Simbolizar las siguientes proposiciones:a) Los resultados se dirigen a la impresora si la salida no va a la pantalla.b) Ir a la ciudad siempre que, tenga tiempo y no este nevandoc) No puedo completar la respuesta si no me ayudasd) Si no es cierto que Marcos es un comerciante y un prspero industrial entonces es ingeniero o no es comerciante.e) O Luis est equivocado y Carlos tiene razn o el problema no tiene solucinf) Lograr aprender, si estudio y practico

2. Si son proposiciones tales que es V y es F; hallar el valor de verdad de 3. Sean: . Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones.1) 2) 3) 4) 5) 4. Verifique si las siguientes proposiciones son equivalentes:Si hoy es lunes pero no martes entonces hoy no es feriadoSi hoy es feriado entonces no es verdad que hoy es lunes y no es martes5. Empleando leyes lgicas, simplificar las siguientes proposiciones:a) b) c) d) 6. Si , halle el resultado de simplificar: 7. Verificar si las siguientes inferencias son o no validasa) Si Ral participa en el comit electoral de la universidad entonces los estudiantes se enojaran con l, y si no participa entonces las autoridades universitarias se enojaran con l. Ral participa en el comite electoral de la universidad. Por tanto, los estudiantes o las autoridades universitarias se enojaran con l. b) La biologa es sencilla o les gusta a los estudiantes. Si las ciencias naturales son difciles entonces la biologa no es sencilla. Por lo tanto, si a los estudiantes no les gusta la biologa entonces las ciencias naturales son difciles.c) Si el reloj est adelantado, entonces Juan lleg antes de las diez y vio partir el carro de Andrs. Si Andrs dice la verdad, entonces Juan no vio partir el carro de Andrs. O Andrs dice la verdad, o estaba en el edificio en el momento del crimen. El reloj est adelantado. Por lo tanto, Andrs estaba en el edificio en el momento del crimen.d) Si Juan es ms alto que Pedro, entonces Mara es ms baja que Juana. Mara no es ms baja que Juana. Si Juan y Lus tiene la misma estatura, entonces Juan es ms alto que Pedro. Por lo tanto, Juan y Lus no tienen la misma estatura.e) O me traes a casa, o no voy a la fiesta. Si no llueve entonces voy a la fiesta. Luego, Si no me traes a casa llueve8. Verificar si los siguientes razonamientos son o no vlidos:1) 2)

3)

4) 5) 6) 7) 9.