TEMA 1. ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO

TEMA 1. ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO

1 1 Campo electrostático1.1. Campo electrostático

1.2. Conductores y dieléctricos

1 3 Ci it d i t ti1.3. Circuitos de corriente continua

1.4. Campo magnético y generación de tensiones alternas

1.5. Circuitos de corriente alterna

1.6. Campo electromagnético y ondas

1.1. Campo electrostático

Campo originado por cargas eléctricas en reposo.

Carga eléctrica Carga eléctricaPropiedad básica de la materia. La carga eléctrica de un cuerpo u objeto es la suma de las cargas de cada uno de sus constituyentes mínimos: moléculas, átomos y partículas elementales. Existen cargas positivas y negativas.

E l t d l d l t i l l lé t i í iEn el estado normal de los cuerpos materiales, las cargas eléctricas mínimas están compensadas, por lo que dichos cuerpos se comportan eléctricamente como neutros.

Hace falta una acción externa para que un objeto material se electrice. La electrización de un cuerpo se consigue extrayendo del mismo las cargas de un signo y dejando en él las de signo contrario En tal caso el cuerpoun signo y dejando en él las de signo contrario. En tal caso, el cuerpo adquiere una carga eléctrica neta no nula.

La interacción eléctrica es la existencia de fuerzas eléctricas entre cargas SiLa interacción eléctrica es la existencia de fuerzas eléctricas entre cargas. Si esas cargas están en reposo, se denomina interacción electrostática.

Experiencia

Fricción entre materiales transferencia de carga entre ellos aparición de fuerzas

Bola de corcho suspendida por un hilo no metálico a la que se acercaBola de corcho suspendida por un hilo no metálico a la que se acerca, sin tocar, una varilla de vidrio o de ámbar previamente frotadas

Hilo no metálico Hilo no metálico

Corcho Varilla de vidrio

+

a)

Corcho Varilla de ámbar

_

b)a) b)

Hilo no metálico

Corcho

Varilla de vidrio Varilla de ámbar +

_

Corchoc)

Si tocamos dos bolas de corcho con las barras de vidrio y/o ámbar

+ + _ + _

a) b)

+ _

c)

Conclusión

H d ti t d d l t i ió B j í F kli (1706 1790)Hay dos tipos o estados de electrización, que Benjamín Franklin (1706-1790) llamó positiva (+, vidrio) y negativa (-, ámbar). Y hay dos tipos de interacción eléctrica, y dos tipos carga eléctrica (+ y -).

Cuantización de la carga

Átomo: Núcleo (protones y neutrones) + electrones Protones: +eElectrones: -e

e=1.6x10-19 C Unidad fundamental de carga eléctrica. Unidad S.I.: culombio (C)

T d l b bl t tid d t d l id dTodas las cargas observables se presentan en cantidades enteras de la unidad fundamental e. Q=±Ne. La carga está cuantizada.Normalmente N es muy grande y la carga parece ser continua.

Conservación de la carga

La carga no se crea ni se destruye sólo se transfiere La suma algebraicaLa carga no se crea ni se destruye, sólo se transfiere. La suma algebraica de todas las cargas en cualquier sistema cerrado es constante.

Inicialmente los átomos son neutros: el número de protones y electrones es igual. Al frotar lo cuerpos, se liberan electrones de los átomos, que se transfieren entre ellos.

Si un cuerpo cede electrones a otro se queda con un defecto de cargaSi un cuerpo cede electrones a otro se queda con un defecto de carga negativa, o lo que es lo mismo, cargado positivamente, y viceversa.

Ley de Coulomb

z q1

q2

12r

1r

Ley empírica que proporciona la fuerza de interacción entre dos cargas puntuales, en reposo y en el vacío.

y 2r

La fuerza que ejerce la carga q1 sobre q2 está dada por

21 ˆ1 qqF

x12212

21

012 ˆ

41 r

rqqF

12121212121212 ˆ , ,

rr rrrrrrr

229

0

22-1-120

12

CmN1099.84

1 ,CmN 10854.8

r

permitividad dieléctrica del vacío

Esta fuerza tiene las siguientes propiedades:· Es repulsiva si q1 y q2 son del mismo signo (positiva).

E i i d i ( i )

pe dad d e éc ca de ac o

· Es atractiva si q1 y q2 son de signo opuesto (negativa).· Satisface el principio de acción y reacción.· Satisface el principio de superposición: si hay más de dos cargas presentes, la fuerza sobre cada una de ellas será la suma vectorial de las fuerzas que ejercen todas las demás sobre ella individualmente.

Campo eléctrico

El hecho de que una carga eléctrica ejerza una fuerza sobre otra se puede interpretar considerando que una carga crea un campo eléctrico E en todo el espacio, y es este campo el que ejerce una fuerza sobre otras cargas.

El campo eléctrico en un punto del espacio se define como la fuerza Fejercida por unidad de carga sobre una carga de prueba positiva q0colocada en ese punto F

colocada en ese punto

0qFE

El campo eléctrico en el S.I. se expresa en N/C.

La dirección y el sentido en un punto son los de la fuerza en ese punto. Esto nos permite poder calcular el campo eléctrico E creado por una carga puntual q en un punto P a una distancia rP comopuntual q en un punto P a una distancia rP como

PP

rr

qqFE ˆ

4 200

ˆdonde es un vector unitario que apunta desde el punto de la carga fuente al punto de observación P. El campo eléctrico es entonces un vector radial desde la posición de q hacia fuera si q es positiva, y hacia q

Pr̂

si es negativa. La fuerza que experimentaría una carga q’ por acción de este campo sería simplemente EqF

'

En el caso de tener n cargas puntuales qi situadas en puntos ri (distribución di d ) l i i i d i ió d l f d C l bdiscreta de cargas), por el principio de superposición de la fuerza de Coulomb, el campo eléctrico total será la suma vectorial de los campos creados por cada una individualmente

n

i rqE ˆ

i

iPiP

rr

E1

204

donde riP es un vector unitario que apunta desde el punto de la carga fuente i al punto de observación del campo Ppunto de observación del campo P.

Líneas de campo

El lé t i d t dib j d lí i diEl campo eléctrico puede representarse dibujando líneas que indiquen su dirección. En un determinado punto el campo E es tangente a las líneas de campo eléctrico. El espaciado de las líneas da idea de la intensidad del campo eléctrico Ejemplos:eléctrico. Ejemplos:

Figura extraída de Física para la Ciencia y la Tecnología, Tipler/Mosca, Ed. Reverté

Potencial eléctrico

La fuerza electrostática que experimenta una carga de prueba q0 en presencia de un campo eléctrico E es .

Si debido a esa fuerza, q0 se desplaza recorriendo un trayecto infinitesimal

EqF

0

Si debido a esa fuerza, q0 se desplaza recorriendo un trayecto infinitesimal dl en esa región, el trabajo hecho por el campo será

ldEqldFdW

0

que por conservación de la energía se traducirá en una disminución de la energía potencial electrostática de q0 en el campo ldEqdWdU

0

La energía potencial por unidad de carga, U/q0, es lo que se denomina potencial eléctrico o electrostático o simplemente potencial. Se suele

t V U/ E it d lrepresentar por V= U/q0. Es una magnitud escalar.

La diferencia de potencial entre dos puntos vendrá dada por

BU

A

AB ldEqUVVV0

que es el trabajo por unidad de carga realizado por un agente externo para mover una carga de prueba positiva del punto A al punto B sin cambio en sumover una carga de prueba positiva del punto A al punto B sin cambio en su energía cinética.

Se suele elegir el origen de potenciales en el infinito, lo cual nos permite definir el potencial eléctrico en un punto cualquiera como el trabajo pordefinir el potencial eléctrico en un punto cualquiera como el trabajo por unidad de carga necesario para llevar una carga de prueba positiva desde el infinito hasta ese punto:

B

ldEV

B ldEV

En el S.I. la unidad de potencial es el voltio (V): V=julio/culombio=J/C.

Para una carga puntual q situada en el origen de coordenadas tendríamosP

rqqVqU

rqldEVr

rqE

P

0

00

02

0 44ˆ

4

Líneas de fuerza y superficiesLíneas de fuerza y superficies equipotenciales de una carga puntual positiva


1.2. Conductores y dieléctricos

Conductores son aquellos materiales que contienen cargas eléctricas que pueden moverse libremente en su interior. Se dice que tienen cargas libres. Ejemplo: metales, en los que las cargas libres son los electrones de valencia (los más j p , q g (externos, los poco ligados al núcleo de los átomos).

Dieléctricos son aquellos materiales que no tienen cargas libres susceptibles de moverse. Se dice que sus cargas están ligadas. Son muy malos conductores de la electricidad (aislantes). Ejemplo: vidrio, corcho, madera.

Propiedades de un conductor ideal en equilibrio:· El campo eléctrico en el interior de un conductor en equilibrio electrostático es cero.

L t d d t ilib i l t táti ól d t· La carga neta de un conductor en equilibrio electrostático sólo puede estar en su superficie.

· El campo eléctrico justo fuera del conductor es perpendicular a la superficie.· Un conductor en equilibrio electrostático es un volumen y una superficie equipotenciales.

· Dos conductores separados entre sí estarán, en general, a distinto potencial. La diferencia de potencial dependerá de la carga de cada uno, de sus formas y de la distancia entre ellos.

Capacidad y condensadores

Se denomina capacidad C al cociente entre la carga Q y el potencial V de un conductor aislado. C=Q/V. Mide la capacidad de almacenar carga para una determinada diferencia de potencial. Como el potencial siempre es proporcional a la carga, esta relación no depende de Q o de V, sino sólo del tamaño y forma del conductor.

La unidad en el S I es el faradio (F): F=culombio/voltio=C/VLa unidad en el S.I. es el faradio (F): F culombio/voltio C/V.

Un condensador es un sistema de dos conductores aislados entre sí, que tienen cargas iguales y de signo contrario (±Q) Son dispositivos capaces detienen cargas iguales y de signo contrario (±Q). Son dispositivos capaces de almacenar carga eléctrica y energía eléctrica. La carga eléctrica se deposita en las placas (conductores) y la energía eléctrica se almacena en la región entre placas (dieléctrico, que puede ser el vacío).entre placas (dieléctrico, que puede ser el vacío).

Ejemplo: condensador de placas plano-paralelas. Formado por dos grandes placas conductoras paralelas. Suelen ser láminas metálicas muy finas, separadas y aisladas una de otra por una lámina delgada de plástico Su capacidad es dAC /una de otra por una lámina delgada de plástico. Su capacidad es

Conductores, armadura o placas

Símbolo de un condensador

dAC /

Hilos de conexión

En principio, las dos placas del condensador son neutras, y se cargarán si las conectamos a través de un “dispositivo” (batería o pila) que mueva cargas deconectamos a través de un dispositivo (batería o pila) que mueva cargas de una placa a la otra. Este movimiento de cargas tiene lugar hasta que la diferencia de potencial entre las placas sea igual a la diferencia de potencial Ventre los terminales de la bateríaentre los terminales de la batería.

Figura extraída de Física para la Ci i l T l íCiencia y la Tecnología,

Tipler/Mosca, Ed. Reverté

La cantidad de carga eléctrica Q que se acumula en las placas depende del valor de V y de la capacidad C del condensador. Q=CV.

La energía electrostática almacenada en un condensador cargado es

22 111 CVQVQU

222CVQV

CU

Si q es la carga transferida de una placa a otra y se desea transferir un dq adicional desde el conductor negativo a potencial 0 hasta el positivo a potencial V, el incremento de energía potencial del condensador será

CQdq

CqdUUdq

CqVdqdU

Q 2

0 21

En su forma más sencilla los condensadores se pueden conectar:

Asociación de condensadores

En su forma más sencilla, los condensadores se pueden conectar:

- En serie

C C 1 2

1 1 1

eqC C C

C

- En paralelo 1C 2C1C

1 2eqC C C

2C

Conexión serie Conexión paralelo

n 11 n

n

i ieq CC 1

11

n

iieq CC

1n condensadores

Figuras extraídas de Física para la Ciencia y la Tecnología, Tipler/Mosca, Ed. Reverté

Diferentes tipos de condensadoresp

Corriente eléctrica en conductoresEn un conductor sus cargas libres pueden moverse y dar lugar a corrienteEn un conductor sus cargas libres pueden moverse y dar lugar a corriente.

La corriente eléctrica se define como el flujo de cargas eléctricas que, por unidad de tiempo, atraviesan un área transversal.

tQI

Figura extraída de Física para la

Ciencia y la Tecnología, Tipler/Mosca, Ed. Reverté

Las partículas que contribuyen a la corriente pueden tener carga positiva o negativa. Por convenio, el sentido de la corriente es el del flujo de las cargas positivas En un conductor metálico la corriente es debida al flujo de electronespositivas. En un conductor metálico la corriente es debida al flujo de electrones y, por tanto, el sentido de la corriente es el opuesto al del movimiento de los electrones. La unidad de corriente en el S I es el amperio (A): A=culombio/segundo=C/sLa unidad de corriente en el S.I. es el amperio (A): A=culombio/segundo=C/s.

Cable de sección A, con n partículas libres portadoras de carga q por unidad de volumen (densidad), desplazándose a una velocidad vdunidad de volumen (densidad), desplazándose a una velocidad vd(velocidad de arrastre o deriva)

qnAvQItqnAvQ Figura extraída de Física para la

dd qnAvtQItqnAvQ

Ciencia y la Tecnología, Tipler/Mosca, Ed. Reverté

La corriente por unidad de área (densidad de corriente) será

dd vqnJqnvAIJ

ó (A/m2)

Tanto J como vd son vectores (de igual o distinto sentido según la carga de d ( g g glas partículas). vd es la velocidad media de todas las partículas, nula en equilibrio (E=0) y distinta de cero fuera de equilibrio (E≠0), puesto que el campo ejerce una fuerza F=qE sobre las partículas cargadas.

vd depende de la intensidad de E, y en principio se puede pensar que son proporcionales.

Si sobre un conductor de longitud L (y área transversal A) aplicamos una diferencia de potencial V aparecerá un campo eléctrico E=V/L que dará

Resistencia y ley de Ohm

diferencia de potencial V, aparecerá un campo eléctrico E V/L, que dará lugar a un desplazamiento neto de las partículas cargadas y por lo tanto a una corriente I.

Figura extraída de Física para la

Se define la resistencia del conductor como R=V / I

Figura extraída de Física para la Ciencia y la Tecnología,


Se define la resistencia del conductor como R V / ILa unidad de resistencia en el S.I. es el ohmio (): =voltio/amperio=V/A

En muchos materiales (la mayoría de los metales), la resistencia no depende ni de V ni de I Se denominan materiales óhmicos donde se cumple quede V ni de I. Se denominan materiales óhmicos, donde se cumple que

V=IR con R constante, que es la denominada ley de Ohm

La resistencia de un trozo de material es proporcional a su longitud e inversamente proporcional a su área transversal

AL

ALR

1

siendo la constante de proporcionalidad, denominada resistividad. Su inversa se conoce como conductividad.

A partir de las relaciones anteriores la ley de Ohm también podría ponerse como

EJ

La potencia suministrada a un trozo de conductor (disipada en forma de calor, efecto Joule) por el que circula una corriente será

V 2

RVRIIVP

22 (vatios)

Las resistencias comerciales (típicamente de carbono) sólo se fabrican de ciertos valores indicados por bandas que siguen un código de coloresciertos valores, indicados por bandas que siguen un código de colores

Resistencia

Hilos de cone iónHilos de conexión

Símbolo para representar una resistencia en un circuito

Figuras extraídas de www.fegasinel.com

Asociación de resistencias

En serie Por ellas circulará la misma corrientePor ellas circulará la misma corriente

eqIRRRIIRIRV )( 2121

Para n resistencias

n

ieq RR

En paralelo Entre ellas existe la misma diferencia de potencial

i 1

Entre ellas existe la misma diferencia de potencial

eqRV

RRV

RV

RVIII 111

112121

eq1121 Para n resistencias

n

RR11

i ieq RR 1


1.3. Circuitos de corriente continua

Fuentes de tensión y de corrienteCircuitos que trabajan con señales constantes en el tiempo

Para mantener una corriente en un conductor se necesita mantener el campo eléctrico. Esto se consigue con un generador o fuente de fuerza electromotriz o fuente de tensión, el cual es un dispositivo que convierte , p qotras formas de energía (química, mecánica) en energía eléctrica: realiza un trabajo sobre la carga que pasa a su través, elevando su energía potencial.

El trabajo realizado por la fuente por unidad de carga se llama fuerzaEl trabajo realizado por la fuente, por unidad de carga, se llama fuerza electromotriz (fem o tensión) de la fuente. Se suele representar por o V , y se mide en voltios. Dentro de la fuente, las cargas positivas se mueven desde un punto de menor potencial eléctrico a otro de mayor potencial (aldesde un punto de menor potencial eléctrico a otro de mayor potencial (al revés los electrones).

Una fuente de tensión (o fem) ideal es A

VA>VBaquella que mantiene una diferencia de potencial constante entre sus terminales independientemente de la corriente I que i l é B

+ _

VA>VB

VA-VB = V = circule a su través. B

Si conectamos con unos conductores ideales una fuente ideal a una resistencia R circulará una corriente I de valor I=/R y la potencia

resistencia R, circulará una corriente I de valor I=/R, y la potencia suministrada por la fuente será P=I=VI.

IA

V =+

I

R

A

V = +

_

I

R V _

R

B

F t d t ió id lB

r


Tipler/Mosca, Ed. Reverté Fuente de tensión ideal

Una fuente de fem real es aquella en la que la diferencia de potencial entre

Fuente de tensión realp / ,

sus terminales depende del flujo de carga (corriente) que pase por la fuente. Dentro de la fuente hay, para las cargas, un aumento de energía potencial menor que la correspondiente a , tanto menor cuanto mayor sea la

i t E t di i ió d t ñcorriente. Esta disminución puede representarse por una pequeña resistencia r en serie con la fuente ideal, cumpliéndose que

l i t á IrVV BA y la corriente será

rRI

Una fuente de corriente ideal es aquella que siempre da la misma corriente, independientemente de la tensión entre sus terminales.

A A

I I

B

r

B B

Ideal Real

Una fuente de corriente real tiene una resistencia interna r, de modo que

Real

, qla corriente que suministra depende de la diferencia de potencial entre sus terminales. Se representa por una fuente de corriente ideal en paralelo con su resistencia interna. La fuente de corriente ideal es una real con r =∞.

Resolución de circuitos

VA VBI

RLey de Ohm IRVV BA

La ley de Ohm y las reglas de asociación de resistencias no son suficientesLa ley de Ohm y las reglas de asociación de resistencias no son suficientes para resolver un circuito arbitrario.

R c

bR/4

R R/2

a e

R/2 R

R d

N d d l ió d 3 ó á d t ( b d )Nudo o nodo es la unión de 3 ó más conductores (a, b, c, d y e).

Malla es cualquier camino cerrado en un circuito (acba, cbec, aceda, etc.).

Rama es cualquier trayecto entre dos nudos (ac ab eb etc )Rama es cualquier trayecto entre dos nudos (ac, ab, eb, etc.).

Leyes de Kirchhoff

Ley de Nudos: La suma de las corrientes que entran a un nudo es igual a la suma de las corrientes que salen de él. Consecuencia del principio de conservación de la carga.conservación de la carga.

321 III

Ley de Mallas: La suma algebraica de las diferencias de potencial entre extremos de los componentes de una malla es cero Consecuencia delextremos de los componentes de una malla es cero. Consecuencia del principio de conservación de la energía.

01132221 IrIRIrIRIR


Pasos para aplicar la ley de mallas con las corrientes de cada rama:

a) Se dibujan (se ponen las flechas) las corrientes en cada rama (como se desee).

b) S l i d t i l lé t i lb) Se ponen los signos , de mayor y menor potencial eléctrico en las resistencias según el sentido de I.

- +

R + -

I

+

- recorrido

recorrido -IR

+IR

c) Se elige un sentido de recorrido de la malla empezando en un punto cualquiera y se van poniendo los sumandos de las diferencias de potencial con los signos correspondientes Se iguala la suma algebraicapotencial con los signos correspondientes. Se iguala la suma algebraica a cero.

Para resolver un circuito se plantean las ecuaciones de las diferentesPara resolver un circuito se plantean las ecuaciones de las diferentes mallas y se soluciona el sistema resultante.

Teoremas adicionales

Teorema o principio de superposición linealEn un circuito de componentes lineales conteniendo varios generadores (fuentes), la corriente en cada rama se puede calcular como la suma algebraica de las corrientescorriente en cada rama se puede calcular como la suma algebraica de las corrientes producidas independientemente por cada generador cuando el resto de los generadores se sustituye por sus resistencias internas.

R R RIII

r r

1 2

R

+ r1

r1

r2

r2

R R 1 2 I1 I2 I

21 III

r1 r2

T i it i l t d Thè iTeorema o circuito equivalente de ThèveninCualquier circuito lineal activo (con fuentes), con terminales de salida A y B, puede sustituirse por un solo generador de voltaje ideal en serie con una resistencia, tales que:1.- La fem de la fuente equivalente es igual a la diferencia de potencial entre los terminales A y B en circuito abierto.2.- El valor de la resistencia es igual a la resistencia equivalente del circuito entre los puntos A y B sustituyendo cada generador por su resistencia interna.

Teorema o circuito equivalente de NortonCualquier circuito lineal activo, con terminales de salida A y B, se puede sustituir por una fuente de corriente ideal en paralelo con una resistencia, de forma que:1 - El valor de la corriente del generador equivalente es igual a la intensidad de1. El valor de la corriente del generador equivalente es igual a la intensidad de corriente que circula entre A y B en cortocircuito.2.- El valor de la resistencia es igual a la resistencia equivalente del circuito entre los puntos A y B sustituyendo cada generador por su resistencia interna (coincide con la p y y g p (resistencia del circuito de Thèvenin).

Teorema de MillmanTeorema de MillmanEl potencial en un punto B de un circuito lineal activo respecto al potencial en un punto A que tomamos como referencia se puede expresar como

i

iii

AB R

RVV 1

1

donde i representa cada una de las ramas que van de A a B, siendo i la fem equivalente de la rama i y Ri la resistencia equivalente en la rama i.

i

1.4. Campo magnético y generación de tensiones alternas

El campo magnético es el transmisor de la interacción magnética. Es producido por corrientes eléctricas (cargas en movimiento) y sólo actúa sobre corrientes o cargas en movimiento.

Experimentalmente se demuestra que una carga q que posee velocidad v en presencia de un campo magnético B experimenta una fuerza magnética perpendicular a ambos dada por BvqF

perpendicular a ambos dada por BvqF

Figuras extraídas de Física para laFiguras extraídas de Física para la Ciencia y la Tecnología,


La unidad del S.I. para el campo magnético es el tesla (T). Una carga de un culombio que se mueve con una velocidad de un metro por segundo perpendicular a un campo magnético de un tesla experimenta una g p p p g pfuerza de un newton.

mAN 1

m/sCN1T 1

El tesla es una unidad muy grande. En su lugar se suele utilizar el gauss (G)T 10G 1 -4

La fuerza que experimenta una partícula cargada en presencia de un campo eléctrico y un campo magnético viene dada por la expresión de la fuerza de Lorentz BvEqF

Un campo magnético variable en el tiempo crea en un conductor una fuerza

Ley de Faraday

p g pelectromotriz y una corriente eléctrica. Se llaman fem inducida y corriente inducida, y el proceso se denomina inducción electromagnética. Ejemplo: imán acercándose o alejándose de una espira conductora varía el númeroEjemplo: imán acercándose o alejándose de una espira conductora varía el número de líneas de campo que atraviesan el área encerrada por la espira y por tanto varía el flujo magnético a través del circuito. La corriente inducida cambia de sentido según se acerque o aleje el imán.



Imán acercándose a una espira

Esta experiencia explica que si el flujo magnético que atraviesa un Mcircuito varía en el tiempo, se induce una fem , cuyo valor es:

S

MM AdB

dtd

con

la cual se conoce como ley de Faraday.El signo menos indica que la fem y la corriente inducidas tienden a oponerse

S

a la variación que las produce (ley de Lenz).La unidad del flujo magnético en el S.I. es el weber (Wb): Wb=T. m2

Si suponemos por sencillez un campo magnético B uniforme, el cual forma un ángulo con la normal a la espira (de área A) tendremos queángulo con la normal a la espira (de área A), tendremos que

coscos BAdtd

dtdBA M

M

que nos indica que se induce una fem cuando varía B, A, , o una combinación de ellas.

El flujo magnético que atraviesa un circuito puede ser

AutoinducciónEl flujo magnético que atraviesa un circuito puede ser debido al campo magnético producido por su propia corriente.

)()()( ttBtI M

Al cerrar el interruptor S, la corriente varía en el tiempo hasta que se alcanza su valor final (la corriente en un circuito no cambia de forma instantánea desde cero a un valor finito o al revés). Es decir, se induce una fem en el circuito que se opone al aumento de la corriente. Cuando se abre el interruptor S ocurre algo similar. A

t f l d i t i d id l f óesta fem se la denomina autoinducida, y al fenómeno se le llama autoinducción.


Si consideramos una espira o una bobina por la que circula una corriente I, esta corriente produce un campo magnético B que es siempre proporcional a I. Luego el flujo magnético a través de la espira será también proporcional a I.g j g p p p

LII MM

La constante de proporcionalidad L se denomina autoinducción de la espira o b bi d d d t í d l dibobina, y depende de su geometría y del medio.La unidad de inductancia en el S.I. es el henrio (H): H=Wb/A=T.m2/A

La autoinducción de un solenoide de N espiras muy juntasy longitud l es:

A

l

y longitud l es:

lANL

2

0 I I

donde A es el área de las espiras y 0 la permeabilidad magnética del medio.

L Símbolo utilizado para representar una bobina ideal de autoinducción LL Símbolo utilizado para representar una bobina ideal de autoinducción L. La autoinducción real, además del valor de la autoinducción, tiene una resistencia en serie r, asociada al hilo con el que se fabrica.

Asociación de autoinducciones

L L 1L 2L

1L

1 2eqL L L Serie

1 2

1 1 1

eqL L L

1L

2L

Paralelo

Generación de una fem sinusoidal

E ió i lifi d d d i t lt tá f d iEn su versión simplificada, un generador de corriente alterna está formado por una espira (o una bobina de espiras) que gira en un campo magnético uniforme producido por un imán. Al variar el flujo que atraviesa la espira se induce una fem que varía sinusoidalmente en el tiempo, obteniéndose una corriente también sinusoidal con tsinusoidalmente en el tiempo, obteniéndose una corriente también sinusoidal con tcuando se cierra el circuito con una resistencia, una autoinducción, un condensador o una combinación de ellas.

Los extremos de la espira van unidos a unos anillos que rotan con ella. Los contactos aLos extremos de la espira van unidos a unos anillos que rotan con ella. Los contactos a estos anillos se llevan a cabo con escobillas de grafito. La espira rota con velocidad angular constante. Este movimiento se puede producir por un salto de agua, una turbina de vapor, un motor de combustión, etc.


Si n es la normal al plano de la espira (o bobina) y el ángulo que forman n y B, el flujo que atraviesa la espira seráj q p

y al girar la espira se cumplirá que , siendo el ángulo inicial en t=0.

cosABM

t 0

En una bobina de N espiras el flujo podrá ponerse como

y según la ley de Faraday, la fuerza electromotriz inducida en la bobina será

)cos( 0 tNABM

que se puede poner como

)sen( 0 tNABdt

d M

)sen()( tt que se puede poner comosiendo max la amplitud de ó valor máximo ó valor de pico. A (+t) se le llama fase del movimiento armónico y indica el origen de fases. Dependiendo del origen de tiempos (t) puede tener la forma sen ó cos (t) es el valor instantáneo de la tensión

)sen()( 0max tt

tiempos, (t) puede tener la forma sen ó cos. (t) es el valor instantáneo de la tensión.

~ +

símbolo de un generador ideal de tensión alterna

T_


Se denomina periodo al intervalo de tiempo entre dos valores iguales consecutivos de la tensión y se representa por T.

Se denomina frecuencia f al número de veces que se repite la señal en 1 s. Sus unidades son hertzios (Hz): Hz=ciclos/segundo.La frecuencia de la red eléctrica en Europa es de 50 HzLa frecuencia de la red eléctrica en Europa es de 50 Hz.

Frecuencia angular =2f es la velocidad angular. Se mide en radianes/segundoradianes/segundo.

Longitud de onda es el periodo espacial de la señal =cT = c/f , siendo c=3 108 m/s la velocidad de la luz en el vacíosiendo c=3.108 m/s la velocidad de la luz en el vacío.

Además de la generación de una tensión alterna monofásica (la que se ha presentado) también se tiene la trifásica (industrial)presentado), también se tiene la trifásica (industrial).

1.5. Circuitos de corriente alterna

Circuitos que trabajan con señales que varían periódicamente (típicamente sinusoidalmente) en el tiempo.

Las definiciones de fuentes de corriente y tensión (ideales y reales) dadas para los circuitos de corriente continua son igualmente válidas para corriente alterna.

Lo teoremas de superposición lineal, Thevenin, Norton y Millman son igualmente válidos

Generador conectado a una resistencia

, I I,

0

2

t

, I

Figuras extraídas de Física para la Ciencia y la

Tecnología, Tipler/Mosca, Ed. Reverté

2

)cos()()( tttVR )cos()cos()()( max tItttI

)cos()()( max tttVR )cos()cos()( max tItRR

tI

todas las magnitudes están en fase

La potencia instantánea suministrada por el generador (que será la que se disipe en la resistencia) podrá ponerse comodisipe en la resistencia) podrá ponerse como

tRItRItItIttP 2cos121coscos)()()( 2

max22

max2

maxmax

Consta de un término constante y otro variable en el tiempo de frecuencia doble de la del generador. Siempre es positiva o cero.

Figura extraída de Física para la Ciencia y la l í l / d éTecnología, Tipler/Mosca, Ed. Reverté

El valor medio de la potencia instantánea en un periodo (potencia que se convierte en trabajo útil en la resistencia) es

2221)(1)( maxmax

2max

2max

0

IRITRIT

dttPT

tPT

Valores eficaces

El valor medio de una tensión o una corriente sinusoidal es cero. Por ello se definen los valores eficaces de estas magnitudes y de la potencia. Mientras en el osciloscopio se observan los valores instantáneos, en los voltímetros yen el osciloscopio se observan los valores instantáneos, en los voltímetros y amperímetros de alterna se miden valores eficaces.

En general, si g(t) es el valor instantáneo de una señal, su valor eficaz es

)()(1 2

21

2 tgdttggT

)()(0

tgdttgT

gef

Para señales armónicas (sinusoidales) en el tiempo, tendremos

maxmax 707.02 ef )cos()( max tt

maxmax 707.02 IIIef

efefefef IRIP 2

)cos()( max tItI

efefefef

igual expresión que para corriente continua

Generador conectado a una autoinducción (bobina)

Figuras extraídas de Física para la Ciencia y la Tecnología, Ti l /M Ed R té


Suponemos que la bobina es ideal, r =0 , por lo que en continua equivale a un cortocircuito. Cuando se le aplica una señal alterna , I variará en el tiempo, y en la bobina se producirá una fem inducida (fuerza contraelectromotriz) que

l i ió dse opone a la variación de I.

dtdIL

dtd M

ind

Es una tensión que proporcionará una corriente de sentido contrario a I. Si consideramos la tensión entre extremos de la bobina en el sentido de I

ddtdILV indL

Por la ley de mallas se cumple que , luego se ha de cumplir que0 LV

dtdILVL

Si la fuente del circuito es una tensión cosenoidal )cos()( max tt

sensen cos11 max0

max

0max

0

tL

tL

dttL

dtL

I ttt

2cos2cos maxmax

tItL

A la vista de estos resultados, podemos decir que la corriente y la diferencia de , p q ypotencial entre extremos de L no están en fase. La corriente se retrasa /2con respecto a VL(t) ó (t).

La relación entre los valores máximos de la tensión aplicada y la corriente es

LI

maxmax L

L tiene dimensiones de impedancia (), y a

LX

se la conoce como impedancia de la bobina (reactancia inductiva). XLdepende de la frecuencia: aumenta con y es nula (cortocircuito) para una

LX L

señal continua (=0).

La relación entre los valores eficaces de la tensión aplicada y la corriente que circula por el circuito escircula por el circuito es

L

efefef XL

I

La potencia instantánea cedida a la bobina por el generador será

tIttItIttP

2cos)22cos(2

)2cos()cos()()()( maxmaxmaxmax

tItP

2sen2

)(

2maxmax

Varía con frecuencia 2 y su valor medio en un periodo es cero (es negativa la mitad del tiempo y positiva la otra mitad). Esto es consecuencia de que la bobina es ideal: en media la bobina no disipa ninguna energía (la f i i ib í d l b bi id l)

)(tP

fuente ni entrega ni recibe energía de la bobina ideal).

P

0 2 t

Generador conectado a un condensador

Figuras extraídas de Física para la Ciencia y la Tecnología, Ti l /M Ed R té

En continua un condensador no deja pasar la corriente actúa como un circuito


En continua un condensador no deja pasar la corriente, actúa como un circuito abierto (sólo pasa corriente en transitorios de carga o descarga). Cuando se le aplica una señal alterna , el condensador se carga y se descarga periódicamente La oposición que presenta a la corriente procede de laperiódicamente. La oposición que presenta a la corriente procede de la oposición entre las cargas de las placas al cargarse.

Por la ley de mallas se cumple que luego se ha de cumplir que0 VPor la ley de mallas se cumple que , luego se ha de cumplir que0 CV

CQVC CVCdttIQ C

t

0

)(con

Si la fuente del circuito es una tensión cosenoidal )cos()( max tt

)2cos()2cos(sen maxmaxmax tItCtCdt

dVCdtdQI C

dtdt

Vemos que la fase de I se adelanta en /2 a la fase de VC(t) ó (t).

La relación entre valores máximos esC

CI

1

maxmaxmax C1

1/C tiene dimensiones de impedancia (), y a

se la conoce como impedancia del condensador (reactancia capacitiva). XC depende de la frecuencia: disminuye al aumentar y se hace infinito

CX C /1

C p y y(circuito abierto) para una señal continua (=0).

La relación entre los valores eficaces de la tensión aplicada y la corriente que p y qcircula por el circuito es

C

efefef X

CI

CX

La potencia instantánea cedida al condensador por el generador será

I

tXItI

tIttItIttP

C

2sen2

2sen2

)2cos()22cos(2

)2cos()cos()()()(

2maxmaxmax

maxmaxmaxmax

22

tItP

2sen2

)( maxmax

2

Varía con frecuencia 2 y su valor medio en un periodo es cero (es)(tPVaría con frecuencia 2 y su valor medio en un periodo es cero (es negativa la mitad del tiempo y positiva la otra mitad). Podemos decir que un condensador ideal no consume potencia; la que recibe, la devuelve (al igual que la autoinducción ideal).

)(tP

que la autoinducción ideal).

P

t 0 2

t

Generador conectado a un circuito RLC serie

Como la corriente I que circula por todos los elementos del circuito es la misma

t

IdtCdt

dILIRCQ

dtdILIR

0

1

Para calcular I(t) deberíamos resolver la anterior ecuación integro-diferencial.


Si suponemos que , en el estado permanente la corriente será del tipo , donde debemos determinar Imax y para que satisfagan la ecuación anterior. Sustituyendo la solución propuesta

)cos(max tII)cos()( max tt

)(sen)(sen)cos(cos maxmaxmaxmax

t

CItILtRIt

D ll d i l d l té i lti li)( )()( )(Desarrollando y , e igualando los términos que multiplican a y

)cos( t )(sen t)cos( t )(sen t)cos( t )(sen t

sensencos max

maxmaxmax CILIRI

coscossen0 maxmaxmax C

ILIRI

C

De la segunda ecuación: R

CL

1

tan1

L CL X XC

22 1R L

C

R R

Triángulo de impedancias

Y teniendo en cuenta la primera ecuación maxIY teniendo en cuenta la primera ecuación 2

2

maxmax

1

CLR

I

2Impedancia del circuito

Valor eficaz de la corriente

22 1

CLRZ

ZI ff Valor eficaz de la corriente

Admitancia del circuito

ZI efef

1 ZY

Reactancia del circuito CLXXX CL /1

La fase de la corriente (fase de - fase de I ) cumple que 22 La fase de la corriente (fase de - fase de I ) cumple que . Cuando , en el circuito sólo hay condensador. Y cuando , en el circuito sólo hay autoinducción.Si el circuito es inductivo Si el circuito es capacitivo Y si el circuito

22 2 2

Si el circuito es inductivo. Si el circuito es capacitivo. Y si el circuito es resistivo.

La potencia instantánea suministrada por la fuente es

)cos()2cos(2

)cos()cos()( maxmaxmaxmax

tIttIItP

0,4 __ Potencia instantánea

El primer término (sumando) de esta potencia es de frecuencia doble de la del generador y dependiente del tiempo El segundo sumando

0,1

0,2

0,3 +++

Término en cos

uito

ser

ie R

LC

..... Término P(2wt)

dependiente del tiempo. El segundo sumando es constante en el tiempo.0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

-0,2

-0,1

0,0

----

Pot

enci

a en

circ

u

wt=1000 t rad/s

-0,3

La potencia media en un periodo es

coscos2

)(1)(0

maxmaxefef

T

IIdttPT

tP0

Se denomina potencia activa, se mide en vatios y es positiva o cero. Se puede poner como

RIRZIRIP efefefefa22

ZZ efefefefa

interpretándose como la potencia que se cede a la R (trabajo útil).

Se denomina factor de potencia a cos. Siempre es positivo. Si cos no hay potencia p p p y pactiva y si cos la potencia activa es máxima.

Circuitos de corriente alterna mediante impedancia compleja

Hasta ahora hemos representado las señales alternas mediante sus valores instantáneos, que constan de amplitud, frecuencia y fase, lo cual hace difícil su estudio. Mediante la notación fasorial para corrientes y tensiones, y el concepto de impedancia compleja de los elementos del circuito el estudio del régimenimpedancia compleja de los elementos del circuito, el estudio del régimen permanente senoidal se simplifica mucho.

j, Imaginario

yxrz 22

z

Real

y r

1j

xy

yxrzrezjyxz j

arctan

x

El valor instantáneo de una señal alterna es , o bien tt cos)( 0 tt sen)( 0

Si escribimos tjtet tj sencos)( 000

)sen()cos()( 00)(

00 tjteeet tjjtj

, ó

ápodemos decir que los valores instantáneos de una señal real son los valores de la parte real o los de la parte imaginaria de su representación compleja.

Esta notación hace más fácil integrar y derivar señales en el tiempo.g y p

Integración de señales complejas

)2(0)()()( 1)( tjtjtjt

tj Ijd )2(0)(0

)(0

0

)(0

1)(

tjtjtjtj eIeIjeI

jdtIeItI

En la operación de integración la amplitud se divide por y la señal resultante se retrasa en /2 (fase /2) En un circuito esto es lo que ocurrirá cuando se tenga unretrasa en /2 (fase -/2). En un circuito esto es lo que ocurrirá cuando se tenga un condensador (VC se retrasa en /2 respecto a IC).

Derivación de señales complejas

)2(0

)(0

)(0)( tjtjtj eIeIj

dtIdeItI

En la operación de derivación la amplitud se multiplica por y la señal resultante seEn la operación de derivación la amplitud se multiplica por y la señal resultante se adelanta en /2. En un circuito esto es lo que ocurrirá cuando se tenga una autoinducción (VL se adelanta en /2 respecto a IL).

Circuito RLC serie estudiado con notación compleja

dtICdt

IdLRIVVVt

CLRt

1

0

)(

ZICj

LjRIICj

ILjRI

11

Se define la impedancia compleja del circuito RLC serie como

1 jXRXXjRLjRZ CL

Se define la impedancia compleja del circuito RLC serie como

1 , , ,

CjjXZLjjXZRZZZZZ

jXRXXjRC

LjRZ

CCLLRCLR

CL

j

con parte real e imaginaria. Su módulo y fase serán

1 2

con parte real e imaginaria. Su módulo y fase serán

L

CLRZ

eZZ j Z

1

1

2

IdeFasedeFase

RC

Z arctanFiguras extraídas de Física para

la Ciencia y la Tecnología, Tipler/Mosca, Ed. Reverté

Resonancia

Si suponemos que la amplitud de la señal del generador es constante ySi suponemos que la amplitud max de la señal del generador es constante y que se puede variar su frecuencia, la amplitud de la corriente Imax variará con la frecuencia. Hay un valor de la frecuencia =0 para la que se cumple que X =X =0 y Z=R es mínima de modo que e I están en fase y la amplitudXL=XC, =0 y Z=R es mínima, de modo que e I están en fase y la amplitud de la corriente es máxima, =max/R.

LCf

LCXX CL

211

00 LCLC 2

frecuencia de resonancia del circuito

1,4

1,6

1,8

2,0

R= 5 C= 1 FL= 1 mH

= 31620 rad/s

Imáx

0.707xImáx

VL

0,6

0,8

1,0

1,2

0= 31620 rad/s

1= 29220 rad/s2= 34220 rad/s

Q= 6.3

máx

I (am

perio

s)

I VR

VC

0 1x104 2x104 3x104 4x104 5x104 6x1040,0

0,2

0,4

0,6

012

VC

CL VV

(radianes/s)

Ejemplo de curva de resonancia de un circuito RLC serie Diagrama de fasores en resonancia

1.6. Campo electromagnético y ondasLas ecuaciones de Maxwell relacionan los vectores campo eléctrico y magnético, Ey B, con sus fuentes, que son las cargas eléctricas y las corrientes. Estas ecuaciones resumen las leyes experimentales de la electricidad y el magnetismo.


Ley de Gauss Ley de Faraday

Ley de Gauss del magnetismo

Ley de Ampere (+corriente de desplazamiento)

Estas ecuaciones pueden combinarse para originar una ecuación de ondas que deben satisfacer los vectores campo eléctrico y magnético. Estas ondas electromagnéticas están originadas por cargas eléctricas aceleradas como, por j l l lé t i lt t t t Fejemplo, las cargas eléctricas alternantes presentes en una antena. Fueron

producidas por primera vez por Hertz en 1887. La velocidad de las ondas electromagnéticas en el vacío es

m/s1031 8

00

c 0 permeabilidad magnética del vacío0 permitividad dieléctrica del vacío

Ecuación de ondas

2

2

22

2 ),(1),(t

txyvx

txy

v velocidad de la onda

solución general )()(),( 21 vtxfvtxftxy

que se puede expresar como superposición de funciones de onda armónicas de la forma

)sen(),( e )sen(),( 00 tkxytxytkxytxy

Ondas planas: de valor uniforme en todos los puntos de cualquier plano perpendicular a la dirección de propagación

con

2k el número de onda ( longitud de onda)

f 2

fv

la frecuencia angular

velocidad de la onda

Considerando el vacío, en ausencia de cargas y corrientes, y que E y B son funciones

Ondas electromagnéticasg y y q y

del tiempo y de una sola coordenada espacial x, las ecuaciones de Maxwell implican que tanto E como B obedecen a ecuaciones de onda, en particular:

Se trata de ondas planas, puesto E y B son uniformes en todos los puntos de cualquier plano perpendicular al eje x.

Ambos campos están en fase, son perpendiculares entre sí y perpendiculares a la dirección de propagación. Las ondas electromagnéticas son, por lo tanto, ondas

ltransversales.

En cada punto del espacio y en cada instante de tiempo los módulos de E y B están relacionados por la expresión E=cB, con c la velocidad de las ondas en el vacío.

La dirección de propagación de una onda electromagnética es la dirección del producto vectorial ExB


El espectro electromagnético


TEMA 1. ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO

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