Tema 1 ELEMENTOS DE ÁLGEBRA Y CÁLCULO VECTORIAL Fundamentos de Física Facultad de Ciencias del...

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Tema 1 ELEMENTOS DE ÁLGEBRA Y CÁLCULO VECTORIAL Fundamentos de Física Facultad de Ciencias del Mar.

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Tema 1 ELEMENTOS DE ÁLGEBRA Y CÁLCULO VECTORIAL

Fundamentos de Física

Facultad de Ciencias del Mar.

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Magnitud escalar. Aquéllas cuya medida queda completamente especificada por

un número real y su unidad.

Ejemplos: la masa, la temperatura, la presión.

Magnitud vectorial. Aquéllas en las que para su determinación se necesitan tres

números reales y su unidad. O equivalentemente, un módulo (definido por una

número real positivo y su unidad), una dirección (definida por una recta) y un

sentido. Estas magnitudes se pueden representar por una recta orientada también

llamada vector.

Ejemplos: la velocidad, la fuerza, el campo gravitatorio.

Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.

Álgebra vectorial1.1.

Fundamentos de Física. FCM.

A

'A

a

dirección

sentido

módulo

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Álgebra vectorial1.1.

A

'A

a

dirección

sentido

módulo

Vector. Se denota como . Se define como un segmento orientado

caracterizado por:

• Un origen o punto de aplicación. Punto A.

• Un escalar o módulo, , dado por la longitud del segmento AA’. El módulo

es siempre positivo e independiente de la dirección del vector.

• Una dirección, recta que contiene al segmento AA’.

• Un sentido, que se indica mediante una punta de flecha.

a ó a

aa ó

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Álgebra vectorial1.1.

Suma de vectores.

a

b cd

cbad

a

b

c

Regla del polígono

Regla del paralelogramo

bac

a

b

a

b

c

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Álgebra vectorial1.1.

Vectores opuestos. Vectores con igual módulo y dirección, pero sentidos

opuestos.a

a

Diferencia de vectores.

bacbac

b

a

a

b

c

b

Producto de un vector por un escalar.

aa

0

1

a

0

1

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Álgebra vectorial1.1.

Propiedades de la suma de vectores y producto de un escalar por un vector.

000 :nulo elemento vii)

: vectoresde suma la a respecto producto del vadistributi vi)

:escalares de suma la a respecto producto del vadistributi vi)

:producto el para asociativa v)

es, esto ,0/ , :suma la para simétrico elemento iv)

0 :suma la para neutro elemento iii)

:suma la para aconmutativ ii)

:suma la para asociativa i)

a

baba

aaa

aa

ababbaba

aa

abba

cbacba

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Álgebra vectorial1.1.

aa

ua

Vector unitario. Es un vector de módulo unidad. Un vector unitario en la dirección

de será:a

Eje. Recta orientada. Se toma un sentido como sentido positivo y se asigna un

vector unitario en dicho sentido.

Proyección de un vector sobre un eje.

eu

a

aPe

coscos aaaPe

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Álgebra vectorial1.1.

Triedro de referencia. Tres ejes perpendiculares que se cortan en un punto

denominado origen del triedro.

X

Y

Z

pulgar

índice

corazón

Levógiro (mano izquierda)

Y

X

Z

pulgar

corazón

índice

Dextrógiro (mano derecha)

i

jk

dextrógiroTriedro cartesiano

kji

, ,vectores unitarios:

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Coordenadas cartesianas

Y

X

Z

yx

z

zyxP ,, zrP ,,

Y

X

Z

r

z

Coordenadas cilíndricas

,,P

Y

X

Z

Coordenadas esféricas

Álgebra vectorial1.1.

Sistemas de coordenadas.

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Álgebra vectorial1.1.

Componentes cartesianas.

xa Y

X

Z

a

ya

za a

Y

X

Z

xk

j yz

i

zyx aaaa

kaa

jaa

iaa

zz

yy

xx

zZz

yYy

xXx

aaPa

aaPa

aaPa

cos

cos

cos

Componentes cartesianas Cosenos directores

aa

aa

aa

zz

yy

xx

/cos

/cos

/cos

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Álgebra vectorial1.1.

Componentes cartesianas.

zzyyxx aaaaaa cos cos cos

kaajaaiaa zzyyxx

zyx aaaa kajaia zyx

kjia zyx

coscoscos

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kjia

au zyxa

coscoscos

),,( zyxzyx aaaaaaa

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Álgebra vectorial1.1.

Suma y diferencia de vectores en términos de las componentes cartesianas.

kajaiaa zyx

kbjbibb zyx

kbajbaibaba zzyyxx

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kbajbaibababa zzyyxx

)(

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Producto escalar de dos vectores.

Álgebra vectorial1.1.

cosb

ab

cosabba

Propiedades.

kaajaaiaauaaP

aaaa

ikkjjikkjjii

bababa

baba

bcacbac

abba

zyxee

, , ia,consecuencEn . vii)

vi)

0 ,1 v)

0y 0, si iv)

:escalares a respecto asociativa iii)

:vadistributi ii)

:aconmutativ i)

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Producto escalar de dos vectores.

a

cosb

b

cosabba

Producto escalar en términos de las componentes cartesianas.

zzyyxx babababa

Ángulo que forman dos vectores.

ab

bababa

ab

ba zzyyxx

cos

Álgebra vectorial1.1.

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Álgebra vectorial1.1.

Y

X

Z

ab

bac

• Vector perpendicular al plano determinado por .

• Sentido el que da la regla de la mano derecha al hacer girar

• Módulo dado por

ba y

ba sobre

senabbac

Propiedades.

bababa

bcacbac

bababa

cbacba

abba

|| 0y 0, Si v)

:suma la a respecto vodistributi iv)

:escalarun por producto el para asociativo iii)

:asociativo-no ii)

:ativoanticonmut i)

c

Producto vectorial de dos vectores.

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Producto vectorial de dos vectores.

Álgebra vectorial1.1.

Producto vectorial en términos de las componentes cartesianas.

kbabajbabaibaba

bbb

aaa

kji

ba zyyxzxxzyzzy

zyx

zyx

Y

X

Z

ab

bac

• Vector perpendicular al plano determinado por .

• Sentido el que da la regla de la mano derecha al hacer girar

• Módulo dado por

ba y

ba sobre

senabbac

c

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Producto mixto de tres vectores.

Álgebra vectorial1.1.

Y

X

Z

a

b

c

ba

cosabcsenbac

Volumen del paralelepípedo formado por los tres vectores

Propiedades.

acbbaccba

:cíclica i)

Producto mixto en términos de coordenadas cartesianas.

zzyyxyzxxzxyzzy

zyx

zyx

zyx

cbabacbabacbaba

bbb

aaa

ccc

bac

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Momento de un vector con respecto a un punto.

r a

d

OM

O

P

araMO

adarMO sen

El momento de un vector con respecto

a un punto no varía al cambiar el punto

de aplicación del vector sobre la recta

soporte.

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Álgebra vectorial1.1.

ja

límia

lím yx

00

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Cálculo vectorial1.2.

Función vectorial con respecto a un escalar.

1a

2a

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kajaiaaa zyx

12 aaa

a

aaa

2

1

12

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Cálculo vectorial1.2.

Derivada de una función vectorial con respecto a un escalar.

a

a

a

a

dad

dad

dad

dad

aalím

alím

d

ad

00

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aaa

aaa

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Cálculo vectorial1.2.

Derivada de una función vectorial con respecto a un escalar.

j

d

dai

d

daj

alími

alím

jaa

límiaa

lím

aalím

alím

d

ad

yxyx

yyxx

00

00

00

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Cálculo vectorial1.2.

Derivada de una función vectorial con respecto al escalar tiempo.

dt

ad

dt

ad

dt

ad

k

dt

tdaj

dt

tdai

dt

tda

t

alím

dt

tad zyx

t

0

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k

dt

tdaj

dt

tdai

dt

tda

t

alím

dt

tad zyx

t

0

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Cálculo vectorial1.2.

Derivada de una función vectorial con respecto a un escalar.

Propiedades.

dbd

abdad

badd

dbd

abdad

badd

ddf

adad

fafdd

dλbd

dλad

λbλadλd

:es vectorialfunciones dos de vectorialproducto del Derivada iv)

:es vectorialfunciones dos deescalar producto del Derivada iii)

:escalarun por ctorialfunción ve una de producto del Derivada ii)

: vectoresde suma la de Derivada i)

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Cálculo vectorial1.2.

Derivada de una función vectorial con respecto a un escalar.

Algunas consecuencias.

auaa

Si iii)

|| Si ii)

general,En i)

aa

aaa

aa

udad

dud

adad

ctea

udad

udda

dad

cteu

dud

audda

dad

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Cálculo vectorial1.2.

Integral de una función vectorial.

2

112

/ , Dadas

dbaa

cdbab

dad

ba

Propiedades.

1

2

2

1

2

1

2

1

v)

:y Si iv)

:, Si iii)

: Si ii)

:y Si i)

21

dada

dd

dada

dadacte

dadada

dakdakctek

dbdadbabbaa

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Cálculo vectorial1.2.

Integral en función de las componentes cartesianas.

kajaiaa zyx

kdajdaidada zyx

Integral de una función vectorial.

2

112

/ , Dadas

dbaa

cdbab

dad

ba

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