Tema 1 Interacción Gravitatoria

FSICA 2 BACHILLERATO Tema 1: INTERACCIN GRAVITATORIA

I.E.S. Playamar 1

Tema 1: INTERACCIN GRAVITATORIA

1.- ANTECEDENTES HISTRICOS: DE ARISTTELES

A KEPLER.

2.- LEYES DE KEPLER.

3.- LEY DE LA GRAVITACIN UNIVERSAL.

4.- CONCEPTO FSICO DE CAMPO: CAMPO

GRAVITATORIO.

5.- REPRESENTACIN DEL CAMPO

GRAVITATORIO.

6.- FUERZAS CONSERVATIVAS. CONCEPTO DE

ENERGA POTENCIAL.

7.- ENERGA POTENCIAL GRAVITATORIA.

8.- ENERGA POTENCIAL Y FUERZAS

CONSERVATIVAS.

9.- CONCEPTO DE POTENCIAL.

10.- SUPERFICIES EQUIPOTENCIALES.

11.- APLICACIN DEL MODELO NEWTONIANO DEL

MUNDO AL MOVIMIENTO DE SATLITES Y

PLANETAS.

12.- EJERCICIOS DE REPASO.

13.- APNDICE I: DEDUCCIN DE LA LEY DE LA

GRAVITACIN UNIVERSAL.

14.- APNDICE II: EQUIVALENCIA DE LAS

EXPRESIONES DE LA ENERGA POTENCIAL.


I.E.S. Playamar 2

Tema 1 : INTERACCIN GRAVITATORIA

En el tema anterior hemos visto el concepto de fuerza como medida de la

interaccin entre los cuerpos. En la actualidad est aceptada la existencia de cuatro tipos

de interaccin: gravitatoria, electromagntica, nuclear fuerte y nuclear dbil.

En esta unidad estudiaremos la interaccin gravitatoria. Revisaremos algunas

cuestiones referentes a la misma y pasaremos a exponer la ley de Newton de la

gravitacin, que va a permitir estudiar el universo como un todo. En este tema

introduciremos un nuevo concepto fsico: el concepto de campo, que nos permitir

superar la idea de accin a distancia entre cuerpos.

1.- ANTECEDENTES HISTRICOS: DE ARISTTELES A KEPLER

Desde la ms remota antigedad el hombre se ha ido preguntado el porqu de

muchos fenmenos que observ en el mundo fsico de su entorno, y para darse

contestacin los interpretaba en trminos de teoras que encontraban ms o menos

confirmacin en posteriores observaciones hechas con mayor minuciosidad o con

detalles no tenidos en cuenta hasta el momento. As se ha ido labrando la historia de la

ciencia hasta nuestros das.

Quiz uno de los procesos ms representativos de esta historia es el que ha

tenido lugar buscando la interpretacin de dos fenmenos considerados inicialmente

como independientes: la cada de los cuerpos hacia la Tierra y el movimiento de los

astros en el firmamento.

Para interpretar la tendencia de todos los cuerpos a caer sobre la Tierra no hubo,

hasta el siglo XVII, ningn intento efectivo de explicarlo. Siempre se consider este

fenmeno como una propiedad fundamental e inherente a la materia que no necesitaba

de ningn tipo de aclaracin.

Sin embargo, para interpretar o describir el movimiento de los astros o

movimiento planetario se emitieron, ya desde las primitivas civilizaciones, las ms

diversas opiniones. As, en el mundo griego, y ms concretamente en la obra de

Aristteles (384-322 a. de C.), surgi la primera de las creencias que encontr gran eco

durante muchos siglos, consistente en suponer que la Tierra era el centro del Universo y

cuantos astros hay en el mismo posean movimiento de rotacin alrededor de ella

(sistema geocntrico). En el siglo III a. de C., para salvar ciertas dificultades y

discrepancias con los datos obtenidos de las observaciones, Aristarco de Samos expuso

la primera teora heliocntrica, afirmando que gran parte de las dificultades

desapareceran si se consideraba que el Sol era el centro de Universo y los dems

planetas, incluida la Tierra, giraban a su alrededor; pero los pensadores de su poca no

aceptaron su teora, y crearon una serie de argumentos para refutarla.

Mas tarde, astrnomos como Hiparco de Nicea y, sobre todo, Claudio Ptolomeo,

astrnomo del siglo II, fueron formulando diferentes modificaciones para hacer

desaparecer parte de las dificultades que razonablemente aparecan en el sistema

geocntrico.


I.E.S. Playamar 3

Ptolomeo elabor la teora de los epiciclos

consistente en considerar a cada astro girando

peridicamente en una rbita circular cuyo centro, a su

vez, describa un crculo mayor alrededor de la Tierra

originando una trayectoria epicclica.

El sistema de Ptolomeo era un buen sistema que

explicaba bien los datos, pero tena el inconveniente de

ser un sistema muy complicado que adems propona

explicaciones particulares para cada astro y no haba un mtodo comn para todos, pero

as y todo se mantuvo desde el siglo II hasta el siglo XVI.

El gran cambio de la teora se produce con el polaco Nicols Coprnico (1437-

1543), quien, sorprendido por la complejidad del universo de Ptolomeo, lleg a la

conclusin de que la explicacin deba ser mucho ms sencilla. Partiendo de que el

movimiento de los planetas era circular, y que cualquier otro tipo de trayectoria era

imposible de aceptar, describi el Universo como una gran esfera en donde se

encontraban las estrellas, a las que consideraba fijas, y dentro, en sucesivas esferas, los

planetas conocidos (Saturno, Jpiter, Marte, Tierra, Venus y Mercurio) y en el centro, el

Sol. As se resucitaba, esta vez con ms xito, la idea de Aristarco de que la Tierra

puede considerarse como un planeta girando alrededor del Sol.

Se abra con esta exposicin, una polmica entre los astrnomos de entonces

quienes se dividan de acuerdo con sus inclinaciones hacia el modelo geocntrico (la

Tierra es el centro del Universo) o el modelo heliocntrico (el Sol en el centro del

Universo).

El gran impulso que llev al conocimiento de la constitucin del Universo se

debe al astrnomo Tycho Brahe (1546-1601), quien realiz una cantidad ingente de

medidas con una precisin casi increble, considerados los medios con que contaba,

cuando ni siquiera se haba inventado el telescopio. Basado en sus medidas, Kepler

(1561-1630) estableci sus teoras y leyes, buscando una interpretacin matemtica a las

medidas obtenidas por Tycho Brahe.

Mientras Kepler descubra sus leyes, que estudiaremos a continuacin, Galileo

estaba estudiando las leyes del movimiento. El problema era, qu hace que los planetas

giren? (En esos das, una de las teoras propuestas era que los planetas giraban, porque

detrs de ellos iban ngeles invisibles, batiendo sus alas e impulsando los planteas hacia

adelante).

La aportacin de Galileo fue decisiva para la aceptacin de la teora de

Coprnico, aunque su apoyo le llev al enfrentamiento con los escolsticos y ms tarde

a comparecer en Roma ante la Inquisicin.

2.- LEYES DE KEPLER

Del anlisis cuidadoso de las mediciones de Brahe encontr Kepler una serie de

regularidades conocidas como las tres leyes de Kepler referidas al movimiento

planetario.

Estas se pueden enunciar del siguiente modo:


I.E.S. Playamar 4

Primera Ley: Los planetas giran alrededor del

Sol describiendo rbitas elpticas, estando el Sol en

uno de sus focos.

La elipse es una curva cerrada que posee un eje

mayor, un eje menor, un centro y dos focos.

Matemticamente es el lugar geomtrico de todos los

puntos cuya suma de las distancias a dos puntos fijos

llamados focos es constante.

Las elipses pueden ser muy parecidas a un crculo o ms alargadas. Para indicar

el grado de alargamiento de una elipse se define un nmero que se llama excentricidad, igual al cociente entre la distancia del foco al centro de la elipse y el

semieje (mitad del eje) mayor.

Para la circunferencia el valor de la excentricidad es cero (los focos estn en el

centro) y cuanto ms achatada es la elipse mayor es el valor de la excentricidad. Para

valores de 0,1 la elipse se confunde prcticamente con el crculo.

Las rbitas de los planetas del sistema solar tienen la mayora excentricidades

menores de 0,1 y slo en el caso de Plutn es de 0,25. Por eso, los dibujos que

generalmente encontramos en los libros no son representaciones reales de las rbitas de

los planetas, sino que estn realizados para subrayar que las rbitas no son crculos,

aunque no sean tan excntricas.

Esta ley, corroborada por las observaciones astronmicas, acaba definitivamente

con el mito que atribua al crculo la condicin de trayectoria perfecta y pura.

Segunda Ley: Al moverse el planeta en su rbita, el radio-vector, lnea que

une el Sol con el planeta, barre reas iguales en tiempos iguales.

El rea barrida cuando el planeta pasa de la posicin P1 a la P2, es A. En el

mismo intervalo de tiempo, el rea barrida cuando el planeta se encuentre en otra

posicin P3 y llegue a P4, ser B. La segunda ley afirma que esas dos reas son iguales,

lo cual supone que el planeta ha de moverse ms rpido cuando se encuentre en las

proximidades del Sol y ms despacio cuando est alejado de ste, como puede deducirse

de la figura anterior.

Esta ley acaba tambin con otro mito ancestral, el de la uniformidad del

movimiento.


I.E.S. Playamar 5

Finalmente, Kepler descubri mucho ms tarde una tercera ley; esta ley es de

una categora diferente de las otras dos, ya que trata no slo de un planeta, sino que

relaciona un planeta con otro.

Tercera Ley: El cociente entre el cuadrado del periodo (tiempo que emplea

el planeta en dar una vuelta alrededor del Sol) y el cubo del radio medio de su

rbita es la misma cantidad para todos los planetas

cteT

R

2

3

Con estas tres leyes es posible describir con facilidad los movimientos de los

planetas, por ello dio un apoyo decisivo a la teora heliocntrica de Coprnico.

Kepler explic la cinemtica de los movimientos planetarios pero, aun

reconociendo el gran valor de sus leyes, no fue capaz de explicar las causas por la que

los planetas se mueven en la forma descrita.

E.1 Jpiter est situado, por termino medio, 5,2 veces ms lejos del Sol que la Tierra. Calcula el periodo de revolucin de Jpiter alrededor del Sol. El perodo de

traslacin de la Tierra son 365,25 das.

Realiza los ejercicios de repaso R.1 y R.2

La tabla siguiente muestra algunos datos bsicos del sistema solar, ten en cuenta

que en la poca que vivi Kepler las distancias entre los planetas eran conocidas slo de

modo relativo y no como aparecen en la tabla.

DATOS BSICOS DEL SISTEMA SOLAR

Objeto

Masa

(kg)

Radio

(m)

Perodo

rotacin

(segundos)

Radio

medio de

rbita (m)

Perodo

revolucin

(segundos)

Excentricidad

de la rbita

Sol 1,981030

6,96108 2,1410

6 -- -- --

Mercurio 3,281023

2,34106 5,0510

6 5,7910

10 7,6010

6 0,21

Venus 4,831024

6,26106 2,1010

7 1,0810

11 1,9410

7 0,1

Tierra 5,981024

6,37106 8,6110

4 1,4910

11 3,1610

7 0,017

Marte 6,401023

3,32106 8,8510

4 2,2810

11 5,9410

7 0,09

Jpiter 1,901027

6,98107 3,5410

4 7,7810

11 3,7410

8 0,05

Saturno 5,681026

5,82107 3,6010

4 1,4310

12 9,3010

8 0,05

Urano 8,671025

2,37107 3,8810

4 2,8710

12 2,6610

9 0,05

Neptuno 1,051026

2,24107 5,6910

4 4,5010

12 5,2010

9 0.01

Plutn 5,371024

3,00106 5,5510

5 5,9110

12 7,8210

9 0,25

Luna 7,341022

1,74106 2,3610

6 * 3,8410

8 2,3610

6 0,05

(*) rbita respecto a la Tierra


I.E.S. Playamar 6

3.- LEY DE LA GRAVITACIN UNIVERSAL

A partir de la leyes de Kepler y para justificar el movimiento de los planetas,

Newton (1642-1727) propuso la existencia de una fuerza de atraccin entre stos y el

Sol, fuerza que vara en forma inversa al cuadrado de la distancia que los separa (Ver

Apndice I).

De este modo, resulta:

F GM m

R2

que constituye la ley de Newton de la gravitacin, en donde, G representa la constante

de la gravitacin universal cuyo valor debemos determinar, M sera la masa del Sol, m

la masa de cualquier planeta y R la distancia que separa ambos.

Cuando se habla de distancia entre el planeta y el Sol, hay que entender distancia

entre sus centros. Esto plante un problema que resolvi el propio Newton, quien

demostr que los planetas, y en general cualquier cuerpo esfrico, se comportan como si

toda su masa estuviese situada en el centro.

Si el trabajo de Newton se hubiese detenido en este punto, su trascendencia sera

mucho menor de la que tiene. El valor del trabajo de Newton consiste precisamente en

que generaliz el razonamiento anterior, limitado al sistema solar, a todos los cuerpos

del universo!

La hiptesis establecida por Newton fue que la naturaleza de la fuerza que

mantiene unida la Tierra al Sol es la misma que hace que la Luna gire alrededor de la

Tierra o que la de la fuerza que hace que todos los cuerpos caigan hacia el centro de la

Tierra.

El resultado de esta generalizacin se conoce como Ley de la Gravitacin

Universal, cuyo enunciado actual es:

Todos los cuerpos se atraen entre s con una fuerza directamente

proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado

de las distancia que los separa y dirigida segn la lnea que une el centro de ambos

cuerpos.

F GM m

R2

Siendo, en este caso, M y m dos masas

cualesquiera.

La direccin de la fuerza de atraccin gravitatoria

es la lnea recta que une ambas masas y el sentido hacia

la masa que crea la fuerza.

Para la determinacin del valor de G se necesita

medir la fuerza con que son atradas dos masas conocidas situadas a una distancia


I.E.S. Playamar 7

igualmente conocida. Newton haba intentado hacer la medida, pero los medios que

utiliz no le permitieron poner de manifiesto las pequeas atracciones gravitatorias

entre masas en la superficie de la Tierra, puesto que estas quedaban encubiertas con las

fuerzas de rozamiento.

La primera medicin fiable de la constante G fue realizada por Cavendish en

1798 utilizando una balanza de torsin.

El valor aceptado actualmente para G es:

G = 6,67 10-11

Nm2/kg

2

y este valor no depende del medio donde estn colocadas las masas.

E.2 Calcula la masa de la Tierra, sabiendo que la Luna tiene un periodo de 2,36106 s y se encuentra a una distancia media de 384000 km.

G = 6,67 10 -11

Nm2/kg

2

Realiza el ejercicio de repaso R.3

E.3 Calcula la velocidad con que gira un satlite artificial en su rbita, situado a 1000 km de la superficie terrestre. Masa de la Tierra = 5,98 10

24 kg ; Radio de

la Tierra = 6,37 106 m , G = 6,67 10

-11 Nm

2/kg

2

E.4 Contesta a las siguientes cuestiones: a) Si la fuerza de atraccin que ejerce la Tierra sobre los cuerpos depende de la

masa de stos, por qu no cae ms rpidamente un cuerpo pesado que uno

ligero?

b) Si la Tierra atrae a la Luna, por qu no cae sta sobre la Tierra? Por qu no cae la Tierra sobre el Sol?

4.- CONCEPTO FSICO DE CAMPO: CAMPO GRAVITATORIO

Cuando Newton propuso su expresin, la enorme potencia explicatoria de la

misma, que se poda aplicar para comprender tanto el movimiento de los cuerpos

celestes como la cada de los cuerpos en la Tierra, hizo que de alguna forma quedaran

soterrados algunos problemas que planteaba esa ecuacin. El ms importante de ellos es

el de la llamada accin a distancia. Cmo es posible que un cuerpo ejerza una accin sobre otro que no se encuentra en contacto con el primero?

Asimismo, en todos los estudios realizados hasta ahora, hemos supuesto

implcitamente que las interacciones son instantneas, lo que supone que stas se

transmiten a una velocidad infinita, pero un movimiento con velocidad infinita no tiene

significado para ninguna persona razonable.

Estas dificultades inherentes a la accin a distancia, no pasaron desapercibidas al

propio Newton cuando formul la ley de la gravitacin universal; sin embargo, no fue

posible superarlas hasta que, a mediados del siglo XIX, Faraday, en sus estudios sobre

electricidad, introdujo el concepto de campo. Ms tarde se generaliz dicho concepto,

siendo posible aplicarlo a cualquier interaccin como, por ejemplo, la gravitatoria.


I.E.S. Playamar 8

Concepto de campo gravitatorio

Supongamos que disponemos de una masa M,

alrededor de la cual se coloca en diferentes posiciones otra

masa m.

La masa m experimentar en cada posicin una

atraccin distinta dependiendo de la distancia que la separe

de la masa M.

Esto puede ser interpretado admitiendo que cada

punto del espacio alrededor del primer cuerpo (el

diagrama de la figura debe imaginarse en el espacio y no como imagen plana) est

dotado de cierta propiedad, creada por ste, que hace que, al colocar all un segundo

cuerpo, acte sobre l una fuerza. A esa propiedad la denominamos campo. La

existencia del campo en cada punto hace que, al colocar otro cuerpo en uno de esos

puntos, aparezca sobre l una fuerza. De este modo, la fuerza que acta sobre el

segundo cuerpo se debe al campo que crea en ese punto el primer cuerpo.

De este modo, al crear el cuerpo un campo de fuerzas que acta sobre los

cuerpos colocados a su alrededor, evitamos las dificultades que entraa admitir una

accin a distancia, ya que en cada punto del espacio existe un valor del campo.

Matemticamente no hay ninguna dificultad para definir el concepto de campo;

es lo que haremos a continuacin.

Si queremos determinar el campo gravitatorio creado por una masa M en puntos

situados a su alrededor, colocamos una masa m en dichos puntos y medimos la fuerza que acta sobre dicha masa.

De acuerdo con la ley de Newton para la gravitacin y teniendo en cuenta el

carcter vectorial (recuerda que los vectores aparecen representados con letra negrita),

la fuerza sobre m ser:

r2u

r

mMGF

siendo ru

un vector unitario (vector de mdulo la unidad) en la direccin de la lnea que

une ambas masas y dirigido de M a m. De ah el signo negativo de la fuerza que acta

sobre m.

Se define ahora la intensidad del campo gravitatorio creado por M como la

fuerza que se ejerce en cada punto sobre la unidad de masa, al colocarla en dicho punto:

r2u

r

MG

m

Fg

De ese modo, a cada punto del espacio alrededor de M lo caracterizamos por un

valor de g. (No confundir este valor con la aceleracin de la gravedad terrestre que


I.E.S. Playamar 9

tambin la hemos representado por g, slo coincidirn ambos cuando la masa M sea la

masa de la Tierra)

Al colocar en los alrededores de M una masa m, la fuerza que aparece sobre sta

ser:

gmF

Conocido el vector g en cada punto podemos prescindir de la masa que lo crea,

puesto que sus efectos se sustituyen por los que produce el campo.

El campo es, por tanto, un vector cuyo mdulo en cada punto del espacio

representa la fuerza que se ejerce sobre la unidad de masa colocada en dicho punto. Para

referirse al vector intensidad de campo gravitatorio, se utilizan expresiones tales como

vector campo, intensidad del campo o simplemente campo gravitatorio.

Las unidades de campo gravitatorio en el S.I. son N/kg o bien m/s2.

Del anlisis de la expresin del vector campo se deduce:

- Que el vector campo est siempre dirigido hacia la masa que lo crea, siendo

como consecuencia un campo central y vectorial.

- Que la fuerza ejercida por un campo gravitatorio sobre la unidad de masa en

cada punto viene determinada por la aceleracin que experimenta sta colocada en

dicho punto.

- Que el mdulo de g, cuyo valor es G M/r2, es independiente de la masa del

objeto y solamente depende de r, puesto que G es constante y tambin se supone que lo

es M.

- Que el campo gravitatorio no puede apantallarse ya que el valor de G es el

mismo para todos los medios (vaco, aire, agua, etc.)

Cuando haya ms de una masa creando el campo, podemos suponer que cada

uno de esos cuerpos crea un campo individual en el punto considerado; el campo

resultante en ese punto ser la suma vectorial de los campos individuales. Esta

propiedad es lo que se conoce como principio de superposicin.

De ese modo, el campo resultante en un punto, ser:

i321 g.....gggg

donde los distintos valores de g representan los campos individuales creados en ese

punto por las distintas masas.

Debemos tener en cuenta el carcter vectorial del campo gravitatorio a la hora de

realizar esta suma, por lo que previamente deberemos calcular la direccin y sentido de

los campos g que crea cada masa.


I.E.S. Playamar 10

E.5 Calcula el campo gravitatorio que crean las masas que se indican en la figura, en el punto (3,1). Las

distancias se miden en metros y las masas de 100

kg cada una.

Cul ser el valor de la fuerza resultante que

acta sobre una masa de 100 kg, colocada en

dicho punto?

Realiza los ejercicios de repaso R.4 y R.5

-Campo gravitatorio terrestre

La definicin de campo puede aplicarse al campo gravitatorio creado por la

Tierra.

La Tierra crea a su alrededor cierta propiedad, denominada campo gravitatorio,

que hace que, al colocar un cuerpo en sus proximidades, acte sobre l una fuerza de

atraccin.

Suponiendo que la Tierra es esfrica y homognea, el campo creado por ella en

un punto exterior es el mismo que creara una masa puntual cuya masa fuese la misma

que la de la Tierra, aproximadamente 5,98 1024

kg, colocada en el centro de la esfera.

En un punto de la superficie terrestre, cuyo radio medio es 6370 km, el mdulo

del campo gravitatorio, g0, toma un valor:

N/kg 9,8R

MGg

2T

T0

que conocemos tambin con el nombre de aceleracin de la gravedad, por corresponder

su unidad con la de una aceleracin.

Este valor se modifica al elevarnos sobre la superficie o al profundizar en el

interior de la Tierra.

Cuando nos elevamos una distancia h sobre la superficie de la Tierra, el mdulo

del campo gravitatorio en ese nuevo punto ser:

2T

T

hR

MGg

El peso de los cuerpos es un caso particular de la ley de la gravitacin universal.

Como sabemos, hemos llamado peso de un cuerpo a la fuerza con la que este es atrado

por la Tierra, y viene dado por la expresin F = m g, donde g representa la intensidad

del campo gravitatorio terrestre. Como g depende de la altura, el peso variar en funcin

de sta.

E.6 A qu altura sobre la superficie de la Tierra hay que elevarse para que la aceleracin de la gravedad disminuya en un 5%? Radio de la Tierra 6400 km.


E.7 Jpiter tiene una densidad media 1,34103 kg/m3 y un radio medio de 0,718105 km. Cul es la aceleracin debida a la gravedad en la superficie de Jpiter?

G = 6,67 10 -11

N m2/kg

2

1 2 3 4 5 6

1

2

X(m)

Y(m)

M1

M

M

3

2

P


I.E.S. Playamar 11

E.8 El campo gravitatorio terrestre es mximo ... a) en el centro de la Tierra.

b) en la superficie terrestre.

c) a distancia infinita de la Tierra.

d) el lugar depende de la masa del cuerpo que se considere.

Realiza los ejercicios de repaso R.7, R.8, R.9 y R.10

6.- REPRESENTACIN DEL CAMPO GRAVITATORIO

Una vez definido el campo gravitatorio vamos a intentar establecer una

representacin del mismo.

Sea una masa puntual M. El campo

gravitatorio que crea la masa es un campo radial,

dirigido siempre hacia ella.

Una forma de representar la direccin del

campo consiste en dibujar una serie de lneas

dirigidas hacia la masa (En realidad este diagrama

debe imaginarse en el espacio y no como figura

plana). Pero aun as, esas lneas no indican el mdulo

del campo en cada punto. Como adems existen

infinitos puntos alrededor de M, no sabramos cuantas

lneas trazar.

No obstante, el razonamiento que sigue puede sugerirnos cmo representar las

variaciones que se producen en la intensidad del campo en cierta regin del espacio.

Supn que rodeamos la masa que crea el campo con dos superficies esfricas,

como se muestra en la figura siguiente.

Si establecemos como norma el dibujar un

nmero fijo de lneas, con un espaciado regular entre

ellas y de forma simtrica respecto a la masa M,

observamos que la densidad de lneas (nmero de lneas por unidad de superficie) es mayor en la

superficie S1 que en S2, al igual que sucede con el

valor del campo, que es ms intenso en los punto de

S1 que en los de S2.

esfera la de superficie

lneas de nmerodensidad

La superficie esfera = 4 R2

para la superficie S1, la densidad d1:

21

1R4

lneas de nd

y para S2


I.E.S. Playamar 12

22

2R4

lneas de nd

cuanto mayor es el radio, menor ser la densidad de lneas, puesto que el n de lneas

dibujadas y (4 ) son constantes. La densidad de lneas decrece con el cuadrado de la distancia, al igual que el mdulo del campo gravitatorio.

Podemos obtener as una imagen del campo que crea la masa M: la direccin y

sentido del mismo nos lo indica la forma de las lneas, mientras que la intensidad nos la

indica lo apretadas que se encuentren esas lneas en una regin determinada. El vector campo es siempre tangente a las lneas dibujadas

Estas lneas que hemos dibujado las denominamos lneas de fuerza. Las lneas

de fuerza del campo coinciden con la trayectoria que seguira una masa que, partiendo

del reposo, fuese abandonada libremente a la accin del campo.

La introduccin del concepto de campo y su representacin mediante lneas de

campo, a pesar de que resulta difcil comprender la ventaja que tiene, resultar muy til

para establecer analogas entre las distintas interacciones conocidas y para traducir sus

leyes a un lenguaje claro, sencillo y ms fcilmente comprensible.

6.- FUERZAS CONSERVATIVAS. CONCEPTO DE ENERGA POTENCIAL

Hemos visto en el tema anterior que las fuerzas que tienen la propiedad de

devolver el trabajo que se realiza para vencerlas se denominan fuerzas conservativas.

En este apartado, vamos a formalizar este concepto, llegando a una definicin

concreta de dicho trmino.

Como sabemos, las fuerzas conservativas realizan un trabajo negativo durante

parte del trayecto (cuando utilizamos otra fuerza para vencerlas) y un trabajo positivo

cuando se deja libre al cuerpo y este vuelve a su posicin original. Ambos trabajos son

iguales, de modo que si tenemos en cuenta la totalidad del trayecto, el trabajo total

realizado por la fuerza conservativa es nulo.

Ello nos va a servir para definir el concepto de fuerza conservativa:

Una fuerza es conservativa si es nulo el trabajo total que realiza cuando el

cuerpo sobre el que acta describe una trayectoria cerrada.

Por trayectoria cerrada entendemos aquella que comienza y acaba en el mismo

punto.

Cuando la trayectoria es cerrada, suele incorporarse un crculo al smbolo de la

integral, en el clculo del trabajo. De ese modo, matemticamente, una fuerza es

conservativa, si:

0rdFW

La definicin de fuerza conservativa que hemos formulado es equivalente a otra,

cuyo significado fsico es muy importante:


I.E.S. Playamar 13

El trabajo que realiza una fuerza conservativa cuando el cuerpo sobre el

que acta se traslada de una posicin a otra, es independiente del camino seguido y

slo es funcin de la posicin inicial y final.

Considera que un cuerpo se traslada desde A hasta B por cierto camino y regresa

a A por otro cualquiera, como se indica en la figura.

Sea W el trabajo realizado al

desplazarse el objeto de A a B. Dado que

F es conservativa, el trabajo necesario

para volver de B a A ha de ser -W, sea

cual sea el camino utilizado, el trabajo

total ha de ser nulo.

No importa, por tanto, el camino

seguido, sino simplemente los puntos

inicial y final.

De ese modo, el trabajo que realiza una fuerza conservativa cuando un cuerpo se

traslada de un punto A a otro B, puede expresarse como diferencia de dos valores

distintos de cierta funcin, que depende nicamente de los puntos inicial y final del

trayecto:

Fconservativa WA,B = f(B) - f(A)

Esta ltima propiedad nos va a permitir definir el trmino energa potencial

asociado a fuerzas conservativas.

Supongamos que un cuerpo se desplaza desde un punto A hasta un punto B y

sobre l acta cierta fuerza conservativa.

Definiremos la energa potencial como una funcin, que depende nicamente

de la posicin, de modo que su incremento sea igual al trabajo realizado por la fuerza

conservativa, pero de signo opuesto.

EP = EP(B) - EP (A) = -W F cons A-B

Muchas de las fuerzas presentes en la naturaleza (gravitatoria, elctrica, elstica,

etc.) son conservativas, por lo que puede definirse para cada una de ellas una energa

potencial asociada.

7.- ENERGA POTENCIAL GRAVITATORIA

Ya hemos mencionado que la fuerza gravitatoria es una fuerza conservativa. Ello

implica que podemos definir una energa potencial, que slo depender de la posicin

del cuerpo. La forma de hacerlo es la que ya conocemos: calcular el trabajo que realiza

la fuerza conservativa cuando el cuerpo se desplaza de A a B y definir la variacin de

energa potencial de modo que:

EP = -W F cons A-B

Vamos a estudiar, en primer lugar, la energa potencial gravitatoria asociada a

dos partculas cualesquiera y, en segundo lugar, la energa asociada al sistema formado

por la Tierra y un cuerpo situado en sus proximidades.


I.E.S. Playamar 14

Veamos cmo definir la energa potencial para las fuerzas gravitatorias en el

caso de que g no sea constante.

Consideremos un cuerpo de masa m, situado alrededor de otro de masa M. Sobre

l acta la fuerza que viene dada por la ley de Newton de la gravitacin. Coloquemos el

sistema de referencia sobre la masa M, tal como se indica en la figura:

Supongamos que el cuerpo,

originalmente en la posicin A, se traslada

hasta la posicin B. Por tratarse de una

fuerza conservativa, no importa el camino

seguido para ir desde A hasta B, por lo que,

por comodidad, elegimos la trayectoria que

se indica en la figura, que consta de un tramo

(A-P) en direccin radial y otro tramo (P-B)

constituido por un segmento de

circunferencia, en la que todos los puntos se

encuentran a la misma distancia de M.

En estas condiciones, calculemos el trabajo que realiza la fuerza F cuando el

cuerpo se desplaza desde A hasta P:

P

A

P

APAcosdrFrdFW

Sustituyendo el valor del mdulo de la fuerza F = G M m /r2 y teniendo en

cuenta = 180, la expresin anterior queda:

P

A 2PAdr

r

mMGW

y resolviendo la integral, como G , M y m son constante, resulta: P

APA

r

mMGW

de donde

APPA

r

mMG

r

mMGW

donde rP y rA son las respectivas distancias de P y A, hasta la masa M.

En el tramo P-B, el mdulo de la fuerza es siempre el mismo, por encontrarse en

todos los puntos a la misma distancia de M. Asimismo, sta es un todo momento

perpendicular al desplazamiento, por lo que el trabajo efectuado por la fuerza en ese

tramo es nulo:

WPB = 0

De este modo, el trabajo total realizado al desplazarse desde A hasta B, ser:

ABBPPABA

r

mMG

r

mMGWW W


I.E.S. Playamar 15

donde se ha sustituido rP por rB, por ser estos iguales.

La energa potencial gravitatoria se define de modo que:

ABBAPPP

r

mMG

r

mMG W)A(E)B(EE

Por tanto, para cualquier punto X, situado a una distancia rX de M, la funcin

energa potencial gravitatoria viene dada por la expresin:

xP

r

mMG)X(E

Como sabemos la unidad de la energa potencial en el S.I. es el julio.

De la expresin anterior se deducen las siguientes consecuencias:

- Que a cada posicin relativa de dos masas corresponde una energa potencial.

- Que la energa potencial gravitatoria es siempre negativa. El sentido fsico de

este signo menos es el siguiente: Segn hemos visto, el trabajo realizado por una fuerza

conservativa es igual a la disminucin de la energa potencial. Por consiguiente, a

medida que la fuerza gravitatoria realiza el trabajo de aproximacin de dos masas, la

energa potencial disminuye. Si inicialmente la energa potencial era cero, forzosamente

al final del desplazamiento ser negativa.

- Que cuando dos cuerpos se aproximan, la energa potencial disminuye. El

trabajo de aproximacin lo realiza la fuerza gravitatoria a costa de la energa potencial.

- Que cuando separamos dos masas hay que aplicar una fuerza exterior al

sistema. Esta fuerza realiza un trabajo que se emplea en aumentar la energa potencial,

la cual tomar su valor mximo en el infinito.

- Que la energa asociada a un sistema formado por ms de dos partculas se

obtiene sumando las energas correspondientes a los sistemas que se pueden formar con

las partculas dadas tomadas dos a dos.

Una vez obtenida la expresin que nos da la energa potencial en forma general,

debemos establecer dos puntualizaciones importantes: a) la primera referida al origen de

energa potencial, y b) la segunda referente a dnde se almacena esta energa.

a) Respecto a la primera cuestin, debemos preguntarnos en qu punto se anula

la energa potencial gravitatoria.

De acuerdo con las expresiones obtenidas, la energa potencial slo puede ser

nula en puntos infinitamente alejados (rX = ). Este resultado supone implcitamente que la energa potencial es nula en el infinito, lo que equivale a afirmar que cuerpos

infinitamente alejados entre s, no interaccionan.


I.E.S. Playamar 16

No obstante, el origen para la energa potencial puede ser arbitrariamente

asignado al punto que se desee; ello slo supone introducir una constante en la

definicin de energa potencial.

Esto no influye en los clculos de EP , ya que:

EP = EP(B) - EP (A)

y por tanto, el hecho de incluir una constante en la expresin de la energa potencial

para un punto no altera los resultados, porque calculamos diferencias.

Ello podemos verlo reflejado en la expresin que hemos venido utilizando en el

curso anterior para la energa potencial gravitatoria en puntos prximos a la superficie

de la Tierra:

EP = m g h

que en nada se parece a la que hemos obtenido antes, incluso tiene signo contrario.

Esto se debe a que por un lado esta expresin supone constante el peso de los

cuerpos, mientras que la nueva obtenida tiene en cuenta el hecho de que la atraccin

entre dos cuerpos depende de la distancia.

El hecho de que tengan signos distintos es debido a que segn la expresin

EP = m g h, los puntos situados sobre la superficie de la Tierra tienen energa potencial

nula (h = 0). Implcitamente, se est considerando como origen de la energa potencial

la superficie de la Tierra. Por el contrario, la expresin EP = - G M m/r supone el origen

de la energa potencial en puntos infinitamente alejados de la superficie de la Tierra.

Lo que verdaderamente importa, es que cuando un cuerpo modifica su posicin

en las proximidades de la Tierra, las dos expresiones conducen al mismo resultado.

Puede demostrarse (Ver apndice II) que ambas expresiones son equivalentes

para puntos prximos a la superficie de la Tierra, si se tom el mismo origen para la

energa potencial.

b) Respecto a la segunda cuestin, hay que sealar que en fsica son muy

comunes expresiones como la siguiente:

Un cuerpo situado a cierta altura sobre la superficie de la Tierra, tiene cierta energa potencial.

Ello hace que nos preguntemos si la energa potencial es una propiedad del

cuerpo. Sin embargo, basta con observar las expresiones obtenidas para darnos cuenta

de que en modo alguno es la energa potencial una caracterstica propia del cuerpo

considerado, puesto que adems de la masa del cuerpo considerado, aparece la masa del

cuerpo con el que interacciona.

La energa potencial se debe a la interaccin que tiene lugar entre los cuerpos y

no pertenece a ninguno de los dos cuerpos; es del sistema formado por ambos. No tiene

sentido hablar de la energa potencial asociada a un cuerpo aislado, ya que el trmino


I.E.S. Playamar 17

energa potencial se asocia a las fuerzas conservativas que actan sobre el cuerpo, lo

que supone una interaccin entre cuerpos.

Lo que ocurre es que, en numerosas ocasiones, estamos interesados en lo que

sucede a un nico cuerpo, sin tener en cuenta lo que ocurre con el resto del universo. En

esos casos podemos afirmar que la energa potencial la tiene el cuerpo considerado,

como ocurre en la frase que hemos enunciado antes.

E.9 Calcula la energa potencial asociada a un sistema formado por tres partculas de 1, 2 y 3 kg de masa, situadas en los vrtices de un tringulo rectngulo cuyos

catetos valen 3 y 4 metros. G = 6,67 10 -11

Nm2/kg

2

Energa potencial gravitatoria terrestre

Hemos calculado la energa potencial asociada a dos partculas cualesquiera.

Estudiemos ahora la energa asociada a un sistema particular: el formado por la Tierra y

un cuerpo cualquiera.

Las frmulas obtenidas anteriormente son aplicables aqu haciendo M = MT

(masa de la Tierra) y m (masa del cuerpo). Cuando un cuerpo se encuentra a una

distancia h sobre la superficie de la Tierra la expresin de la energa potencial quedar

como:

)hRmM

GET

TP

siendo RT el radio de la Tierra.

E.10 Una masa de 5 kg se eleva desde un punto situado a 1 km de altura, hasta otro situado a 10 km, bajndola despus hasta una altura de 5 km.

Calcula el trabajo realizado por la fuerza peso durante todo el trayecto y la

variacin de energa potencial que existe entre el punto final y el punto inicial.

Qu relacin existe entre estas dos cantidades?

MT = 5,98 1024

kg ; G = 6,67 10 -11

N m2/kg

2 ; RT = 6370 km


8.- ENERGA POTENCIAL Y FUERZAS CONSERVATIVAS

Hasta ahora, hemos visto cmo obtener la energa potencial asociada a una

fuerza conservativa. Vamos a estudiar ahora el problema inverso, esto es, conocida la

energa potencial, determinaremos la fuerza conservativa que acta sobre la partcula.

Por simplificar, estudiaremos el caso de un cuerpo que se mueve en una sola

dimensin, aunque los resultados pueden generalizarse para tres dimensiones.

La definicin general de energa potencial es:


I.E.S. Playamar 18

P

B

AFconsErdFW

Consideremos un desplazamiento infinitesimal. El trabajo elemental dW

realizado por la fuerza conservativa, puede expresarse como:

PFcons dErdFdW

que, para el caso de desplazamientos en una sola dimensin, por ejemplo el eje X, se

convierte en:

F dx cos = -dEP

si hacemos F cos = Fx Fx dx = -dEP

siendo Fx la componente de F en la direccin x. De ese modo, resulta:

FdE

dxxp

Conocida, pues, la funcin energa potencial en cada punto, podemos obtener el

valor de la componente de la fuerza en esa direccin sin ms que cambiar el signo de la

derivada de la energa potencial.

E.11 La expresin que corresponde a la energa potencial de una partcula que se mueve en una direccin, bajo la accin de cierta fuerza, es:

EP = 3x2 - x

3

y viene dada en julios, con x en metros. Calcula el valor de la fuerza y el sentido

de la misma cuando la partcula se encuentra en la posicin x 1m

9.- CONCEPTO DE POTENCIAL

Cuando una fuerza es conservativa, como es el caso de las fuerzas

gravitatorias, el campo que se asocia a ella se dice que es conservativo. Como hemos

visto en los apartados anteriores, las fuerzas conservativas admiten una energa

potencial asociada, de tal modo que la expresin:

- F dr = EP permite, conocida la fuerza, calcular las variaciones que se producen en la energa

potencial.

A partir de la expresin anterior y de la definicin de campo, vamos a introducir

una nueva magnitud: el potencial. Este concepto no es nuevo del todo, ya que se estudi

el curso pasado asociado a la carga elctrica.

Supongamos que cierta masa M se encuentra en una regin del espacio.

La existencia de M hace que, al situar una masa m a una distancia r de M,

adquiera cierta energa potencial:

r

mMGEP


I.E.S. Playamar 19

Podemos suponer que M crea a su alrededor, en cada punto del espacio, cierta propiedad, a la que denominamos potencial gravitatorio (Vg).

El potencial gravitatorio en un punto lo definiremos como la energa

potencial por unidad de masa y es la energa potencial que adquirira la unidad de

masa al situarla en dicho punto:

r

MG

m

EV Pg

La unidad del potencial gravitatorio en el S.I. es el Julio/kg. (No confundir esta

unidad con la del potencial elctrico que es Julio/Culombio y que en este caso recibe el

nombre especial de voltio)

Cada punto alrededor de M posee cierto potencial, siendo nulo el potencial a

distancias infinitas de la masa que crea el campo. Al situar una masa m en un punto, la

energa potencial que adquiere es:

EP = m Vg

Tenemos, por tanto, para cada punto del espacio alrededor de M, un valor para el

campo gravitatorio (g) que nos proporciona la fuerza que acta sobre una masa m

colocada en dicho punto y un valor para el potencial gravitatorio (Vg) que nos permite

conocer la energa potencial que adquiere m al situarse all.

La relacin matemtica que existe entre campo y potencial es idntica a la que

relaciona la fuerza con la energa potencial:

rdgrdm

F

m

EV Pg

Al igual que sucede con el campo, el potencial en un punto puede ser el

resultado de la accin de ms de un cuerpo. En ese caso, el potencial en un punto es

igual a la suma de los potenciales creados por cada uno de los cuerpos.

E.12 Puede ser nulo el campo gravitatorio en un punto y no serlo el potencial? Pon un ejemplo.

E.13 El potencial gravitatorio creado por la Tierra se anula en: a) Cualquier punto de su superficie.

b) Cualquier punto situado a una distancia infinita de su centro.

c) Cualquier punto fijado arbitrariamente.

Significado fsico del potencial

Consideremos el desplazamiento que tiene lugar desde un punto A hasta un

punto B, el trabajo que realizan las fuerzas del campo por unidad de masa desde a A

hasta B, teniendo en cuenta la definicin de potencial, viene dado por la expresin:

VVVm

EE

m

E

m

WBA

pBpApBA


I.E.S. Playamar 20

Por tanto, la diferencia de potencial gravitatorio VA VB entre dos puntos es el trabajo que realizan las fuerzas del campo para trasladar la unidad de masa

desde el punto A al punto B

Si suponemos que el punto A est suficientemente alejado y aceptamos que la

energa potencial es nula cuando las masas estn infinitamente alejadas, queda:

BBBB

B

r

MG

r

MGV0VVV

m

W

El potencial en un punto es el trabajo, cambiado de signo, que realiza la

fuerza gravitatoria para trasladar la unidad de masa desde el infinito, donde se

supone que el campo es nulo, hasta el punto considerado.

Cuando una masa se traslada por s misma, disminuye su energa potencial, por

lo que esta se mueve hacia potenciales cada vez menores. En general, en ausencia de

fuerzas exteriores al campo considerado, los cuerpos se trasladan por s mismos

disminuyendo su energa potencial.

E.14 El potencial gravitatorio en un punto es -100 J/kg. Calcula el trabajo externo que hay que realizar para situar en dicho punto una masa de 10 kg, trada desde el

infinito. Cmo se interpreta el signo obtenido? Cmo vara la energa potencial

de esa masa? Podras, con el nico dato del enunciado, predecir cmo ser la

fuerza que actuar sobre la masa, una vez colocada en dicho punto? Qu otros

datos deberas conocer?



I.E.S. Playamar 21

Relacin campo-potencial

Cuando se conoce el valor del campo en un punto del espacio, podemos predecir

lo que ocurrir con un cuerpo al colocarlo en dicho punto, ya que, conocido el valor del

campo, podemos establecer el mdulo, la direccin y el sentido de la fuerza que actuar

sobre un cuerpo al situarlo en dicho punto.

En cambio, si nicamente conocemos el valor del potencial en un punto no

podremos decir que ocurrir con un cuerpo al colocarlo en dicho punto. La situacin se

modifica si se conoce el valor del potencial en dos o ms puntos prximos, ya que

entonces podremos saber, al colocar el cuerpo en esa posicin, hacia dnde se mover

espontneamente, pues lo har de modo que disminuya su energa potencial.

Podemos describir, por tanto, qu suceder con un cuerpo al colocarlo en cierta

regin del espacio si conocemos las variaciones que se producen en el potencial al

desplazarnos de un punto a otro de esa regin.

Es ms, siempre que entre dos puntos del espacio exista una diferencia de

potencial, podremos afirmar que existe un campo.

Vemoslo con un ejemplo:

En los puntos A, B y C de la figura, el potencial gravitatorio es tal que

VC VA VB.

Si colocamos una masa en el punto A, sta se mover por s misma de modo que

disminuya su energa potencial.

Al ser la energa potencial gravitatoria siempre negativa, la masa se mover

hacia el punto B. Por tanto, podemos afirmar que el campo gravitatorio en el punto A,

est dirigido hacia B, por lo que la fuerza que acta sobre la masa apunta hacia dicho

punto.

10.- SUPERFICIES EQUIPOTENCIALES

La representacin de un campo conservativo por medio de lneas de fuerza

puede completarse muy eficazmente con la introduccin de las superficies

equipotenciales.

Como su nombre indica, una superficie equipotencial es aquella en la que

todos sus puntos se encuentran al mismo potencial; la diferencia de potencial entre

dos puntos cualesquiera es nula (V = 0). Por tanto, no se realiza trabajo al trasladar un cuerpo de un punto a otro a lo largo de una superficie equipotencial, ya que:

VmWWcampoaplicada FF

Si V = 0 00mVmWaplicadaF


I.E.S. Playamar 22

Las superficies equipotenciales suelen representarse a intervalos fijos de

diferencia de potencial, por ejemplo, cada 5 J/kg, de modo que su mayor o menor

proximidad indicar una mayor o menor intensidad del campo.

Cuando nicamente tememos una masa M que

crea un potencial, las superficies equipotenciales son

esferas que rodean a la masa M y todos los puntos de esa

superficie estarn al mismo potencial.

Estas superficies equipotenciales son esferas

concntricas de radio diferente, pero adoptando el

convenio de trazarlas a intervalos de potencial regulares,

se observa que no estn igualmente espaciadas.

Al situar un cuerpo en un punto de la superficie, no realiza trabajo al desplazarse

por ella, y por tanto, mantiene constante su energa. Tal es el caso de la Luna en su

movimiento alrededor de la Tierra o de los satlites situados en una rbita estacionaria:

se desplazan sobre una superficie equipotencial y no consumen energa. Se consume

energa al desplazarse de una rbita a otra, ya que se produce entonces un salto de una

superficie equipotencial a otra.

Cuando existen varias masas, las superficies equipotenciales dejan de ser

esfricas y adoptan otras formas.

De la definicin de superficie equipotencial se deriva una consecuencia muy

importante: el vector campo es perpendicular, en todo punto, a la superficie

equipotencial.

En efecto, cuando un cuerpo se traslada desde un punto A a un punto B, a lo

largo de una superficie equipotencial, el trabajo realizado por la fuerza del campo es:

B

AFrdFW

grav

Si este trabajo es siempre nulo, el vector fuerza ha de ser necesariamente

perpendicular ( = 90) en todo punto al vector desplazamiento, para que cos = 0.

Como el vector fuerza tiene siempre la misma direccin que el vector campo y el

vector desplazamiento es siempre tangente a la superficie, obtenemos la conclusin:

En todo punto de una superficie equipotencial el vector campo es

perpendicular a la misma.

Esta propiedad permite conocer la direccin del campo si se conocen las

superficies equipotenciales, y viceversa.

E.15 Se pueden cortar dos superficies equipotenciales? Raznalo.


I.E.S. Playamar 23

11.- APLICACIN DEL MODELO NEWTONIANO DEL MUNDO AL

MOVIMIENTO DE SATLITES Y PLANETAS

Para finalizar la unidad podemos intentar comprender un poco el movimiento de

algunos astros o el lanzamiento de satlites artificiales, haciendo uso de las tcnicas

desarrolladas en este tema y de nuestros conocimientos de mecnica.

- Velocidad orbital de un satlite

Para que un satlite de masa m, situado a una distancia r del centro de la Tierra,

gire en una rbita circular alrededor de la misma, debe estar sometido a una fuerza

centrpeta.

Esta fuerza centrpeta la suministra la atraccin gravitatoria que ejerce la Tierra

sobre el satlite. Puesto que la fuerza que acta sobre l es:

2g r

mMGF

Igualando esta expresin con la de la fuerza centrpeta :

r

vmF

2

c

cg FF

r

vm

r

mMG

2

2

Donde M y m son las masas de la Tierra y del satlite respectivamente y r el

radio de la rbita, medido desde el centro de la Tierra. De esta igualdad se deduce la

velocidad con que gira el satlite en su rbita.

vG M

r

O bien poniendo r = RT + h, siendo RT el radio de la Tierra y h la altura sobre la

superficie terrestre

vG M

R hT

Aunque la expresin est deducida para la Tierra sera vlida para cualquier

planeta sin ms que cambiar los valores de M y RT.

E.16 Un satlite gira en una rbita circular alrededor de la Tierra a 150.000 km de distancia del centro de la misma. Si hubiese otro satlite en rbita circular

alrededor de la Luna que tuviese la misma velocidad, a qu distancia del centro

de la Luna se encontrara? La masa de la Luna es 0,0123 veces la de la Tierra.

E.17 Un satlite se dice que es geoestacionario cuando su periodo de giro es el mismo que el de la Tierra, por lo que aparenta permanecer sobre el mismo punto de la


I.E.S. Playamar 24

superficie. Calcula la altura a la que debe situarse un satlite de este tipo y la

velocidad con la que se mover. Perodo de rotacin de la Tierra 24 h ; Radio de

la Tierra: 6370 km; Masa de la Tierra: 5,96 1024

kg ;

G = 6,67 10 -11

N m2/kg

2

E.18 Con qu velocidad angular de rotacin debe girar un satlite artificial, alrededor de la Tierra, para que lo haga en una rbita cuyo radio sea el doble que el de la

Tierra. Radio de la Tierra: 6370 km, g0 = 9,81 m/s2

- Velocidad de escape de un cohete

Para conseguir que un cuerpo lanzado desde la superficie terrestre salga del

campo gravitatorio habr que comunicarle una gran velocidad. A medida que el cuerpo

se aleja de la Tierra aumenta su energa potencial (recuerda que sta es siempre negativa

y cero en el infinito) a costa de su energa cintica, de manera que la energa mecnica

(suma de energa cintica y potencial) se conserve, ya que nos movemos venciendo una

fuerza conservativa.

Se llama velocidad de escape a la velocidad que permite al cuerpo escapar de la atraccin terrestre. Ello requiere que la energa total sea como mnimo nula (Ver fig.).

Para calcular la velocidad de escape aplicamos el

principio de conservacin de la energa mecnica:

0Em mm EE erficiesup

0R

mMGvm

2

1 2e

de donde se deduce que:

v2 G M

Rescape

siendo M y R la masa y el radio del planeta.

Observa que la velocidad de escape es independiente de la masa del objeto que

se lanza. Por ejemplo, una nave espacial necesita la misma velocidad de escape que una

molcula.

Tambin sera independiente de la direccin del lanzamiento.

La frmula obtenida es vlida para objetos lanzados desde cualquier planeta. Si

se lanza un cuerpo desde la superficie de la Tierra, la velocidad de escape resulta ser de

unos 11 km/s.

E.19 Sabiendo que la gravedad en la superficie lunar es aproximadamente 1/6 de la terrestre, calcula la velocidad de escape en la superficie lunar. Esta velocidad,

depende de la masa del objeto? En qu medida importa la direccin de la

velocidad? Radio lunar = 1740 km ; g0 = 9,81 m/s2

E.20 Calcula la energa mnima requerida para enviar un vehculo espacial de 5000 kg desde la Tierra hasta un punto en donde la gravedad sea despreciable.


I.E.S. Playamar 25

Si el viaje dura 20 das, calcula la potencia media que deben desarrollar los

motores. Datos: Radio de la Tierra: 6370 km; Masa de la Tierra: 5,96 1024

kg.

G = 6,67 10 -11

N m2/kg

2

- Energa mecnica de un satlite

La energa total de un satlite, situado en una rbita a una distancia r del centro

de la Tierra, es la suma de su energa cintica y potencial.

r

mMGvm

2

1E 2m

Como la velocidad de un satlite situado en esa rbita ya la hemos calculado:

vG M

r

podemos sustituir y la expresin de la energa mecnica queda:

r

mMG

r

MGm

2

1Em

y restando

r

mMG

2

1Em

Mientras el satlite permanezca en su rbita, movindose con esta velocidad, no

consume energa, por desplazarse sobre una superficie equipotencial.

El signo negativo, obtenido para la energa total del satlite, nos indica que

constituye un sistema ligado a la Tierra, ya que por s mismo nunca podr escapar de la atraccin terrestre.

E.21 Un meteorito se encuentra inicialmente en reposo a una distancia sobre la superficie terrestre igual a seis veces el radio de la Tierra. Con qu velocidad

llegara a la superficie terrestre, si prescindimos del rozamiento con la

atmsfera?

Datos: Radio de la Tierra = 6370 km; Masa de la Tierra = 5,981024

kg

G = 6,67 10 -11

N m2/kg

2

E.22 La masa del Sol es 324440 veces mayor que la de la Tierra y su radio 108 veces mayor que el terrestre. Calcula:

a) Cuntas veces es mayor el peso de un cuerpo en la superficie del Sol que en la

de la Tierra?

b)Cul sera la altura mxima alcanzada por un proyectil que se lanzase

verticalmente hacia arriba, desde la superficie solar, con una velocidad de 720

km/h? g0 = 9,8 m/s2 Ejercicio Selectividad Andaluca Junio 96

- Cambio de rbita de un satlite


I.E.S. Playamar 26

Para una rbita estacionaria la energa mecnica del satlite es constante. Por

consiguiente, si queremos que un satlite cambie de una rbita r1 a otra distinta r2, habr

que realizar un trabajo equivalente a la diferencia entre las energas mecnicas

correspondientes.

12mm

r

mMG

2

1

r

mMG

2

1EEW

if

21 r

1

r

1mMG

2

1W

E.23 Un satlite artificial de 1,2 toneladas se eleva a una distancia de 6500 km del centro de la Tierra y se le da un impulso mediante cohetes propulsores para que

describa una rbita circular alrededor de la Tierra.

a) Qu velocidad debe comunicar los cohetes para que tenga lugar ese

movimiento?

b) Cunto vale el trabajo realizado para llevarlo de la superficie de la Tierra a

esa altura?

c) Cul es la energa total del satlite?

d) Si una vez en rbita queremos situarlo a 7000 km que energa hay que

gastar?

Datos: Radio de la Tierra = 6370 km ; g0 = 9,8 m/s2

- Otras consecuencia de la teora de la gravitacin

Newton aplic la ley de la gravitacin universal a una gran variedad de

problemas. De dicha ley dedujo las tres leyes empricas de Kepler. Despus estudi las

mareas y explic sus desplazamientos en virtud de la fuerza de gravitacin que ejerce la

Luna sobre la Tierra y los ocanos. Ahora se sabe que el Sol tambin produce una

fuerza de marea sobre los ocanos, pero esta fuerza es ms dbil que la de la Luna.

Newton tambin analiz las pequeas perturbaciones de las rbitas planetarias.

Estas ligeras desviaciones de los planetas sobre sus trayectorias elpticas tericas se

explicaban por las pequeas interacciones gravitatorias existentes entre los mismos

planetas.

Posteriormente, esta teora de las perturbaciones condujo al descubrimiento de

un nuevo planeta. En el siglo XIX se conocan siete planetas. De ellos, seis se

comportaban correctamente, pero el sptimo, Urano, no segua exactamente la rbita

prevista, a pesar de tener en cuenta las perturbaciones ejercidas por los restantes

planetas. Ello hizo pensar a los astrnomos que deba existir otro planeta, ms alejado

del Sol, pero suficientemente prximo a Urano para influir en sus movimientos. El 23

de Septiembre de 1846, se encontr el planeta Neptuno en el punto exacto que se haba

previsto.


I.E.S. Playamar 27

E.24 Razone la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones: a) El peso de un cuerpo en la superficie de un planeta cuya masa fuera la mitad

que la de la Tierra sera la mitad de su peso en la superficie de la Tierra.

b) El estado de ingravidez de los astronautas en el interior de las naves espaciales orbitando alrededor de la Tierra se debe a que la fuerza que ejerce la

Tierra sobre ellos es nula.

Selectividad 2004

E.25 Determine la densidad media de la Tierra. b) A qu altura sobre la superficie de la Tierra la intensidad del campo

gravitatorio terrestre se reduce a la tercera parte?

G = 6,67 10-11

N m2 kg

-2 ; RT = 6370 km ; g = 10 m s

-2

Selectividad 2004

E.26 Si por alguna causa la Tierra redujese su radio a la mitad manteniendo su masa, razone cmo se modificaran:

a) La intensidad del campo gravitatorio en su superficie.

b) Su rbita alrededor del Sol.

Selectividad 2006

E.27 a) Dibuje en un esquema las fuerzas que actan sobre un cuerpo de 1000 kg, situado en el punto medio entre la Tierra y la Luna y calcule el valor de la fuerza

resultante. La distancia desde el centro de la Tierra hasta el de la Luna es

3,84108 m.

b) A qu distancia del centro de la Tierra se encuentra el punto, entre la Tierra y

la Luna, en el que el campo gravitatorio es nulo?

G = 6,6710 11

N m2 kg

2 ; M T = 5,9810

24 kg ; M L = 7,3510

22 kg

Selectividad 2005

E.28 a) La energa potencial de un cuerpo de masa m en el campo gravitatorio producido por otro cuerpo de masa m depende de la distancia entre ambos. Aumenta o disminuye dicha energa potencial al alejar los dos cuerpos? Por

qu?

b) Qu mide la variacin de energa potencial del cuerpo de masa m al

desplazarse desde una posicin A hasta otra B? Razone la respuesta.

Selectividad 2004

E.29 a) El origen elegido habitualmente para la energa potencial gravitatoria lleva a que sta tome valores negativos. Por qu la energa potencial gravitatoria

terrestre, en las proximidades de la superficie de la Tierra, toma valores positivos

e iguales a mgh?

b) Discuta la siguiente afirmacin: Puesto que el valor de g disminuye al aumentar la distancia al centro de la Tierra, la energa potencial mgh disminuye

con la altura sobre el suelo. Selectividad 2004


I.E.S. Playamar 28

E.30 En dos vrtices opuestos de un cuadrado, de 6 cm de lado, se colocan las masas m1=100 g y m2 = 300 g.

a) Dibuje en un esquema el campo gravitatorio producido por cada masa en el

centro del cuadrado y calcule la fuerza que acta sobre una masa m =10 g

situada en dicho punto.

b) Calcule el trabajo realizado al desplazar la masa de 10 g desde el centro del

cuadrado hasta uno de los vrtices no ocupados por las otras dos masas.

G = 6,67 10 - 11

N m 2 kg

2 Selectividad 2003

E.31 Una partcula de masa m, situada en un punto A, se mueve en lnea recta hacia otro punto B, en una regin en la que existe un campo gravitatorio creado por

una masa M.

a) Si el valor del potencial gravitatorio en el punto B es mayor que en el punto A,

razone si la partcula se acerca o se aleja de M.

b) Explique las transformaciones energticas de la partcula durante el

desplazamiento indicado y escriba su expresin. Qu cambios cabra esperar si

la partcula fuera de A a B siguiendo una trayectoria no rectilnea?

Selectividad 2003

E.32 La misin Cassini a Saturno-Titn comenz en 1997 con el lanzamiento de la nave desde Cabo Caaveral y culmin el pasado 14 de enero de 2005, al posarse

con xito la cpsula Huygens sobre la superficie de Titn, el mayor satlite de

Saturno, ms grande que nuestra Luna e incluso ms que el planeta Mercurio.

a) Admitiendo que Titn se mueve alrededor de Saturno describiendo una rbita

circular de 1,2109 m de radio, calcule su velocidad y periodo orbital.

b) Cul es la relacin entre el peso de un objeto en la superficie de Titn y en la

superficie de la Tierra?

G = 6,6710 11

N m2 kg

2 ; MSaturno= 5,710

26 kg ; MTitn= 1,310

23 kg ;

RTitn= 2,6106 m ; g = 10 m s

2

Selectividad 2005

E.33 Dos satlites idnticos se encuentran en rbitas circulares de distinto radio alrededor de la Tierra. Razone las respuestas a las siguientes preguntas:

a) Cul de ellos tiene mayor velocidad, el de la rbita de mayor o de menor

radio?

b) Cul de los dos tiene mayor energa mecnica?

Selectividad 2003


I.E.S. Playamar 29

12.- EJERCICIOS DE REPASO

R.1 El periodo orbital de Saturno es de 29,43 aos terrestres. Calcula el radio medio de su rbita alrededor del Sol. Utiliza como datos el periodo orbital de la

Tierra y la distancia Tierra-Sol. Solucin: 1,42 1012

m

R.2 La distancia media entre Marte y el Sol es 1,53 veces la distancia media Tierra-Sol. Calcula el nmero de aos que tarda Marte en dar una revolucin

en torno al Sol. Solucin: 1,892 aos

R.3 El planeta Marte tiene un satlite situado en una rbita que se encuentra a una distancia de 9,4 10

6 m del centro de Marte. Su periodo de rotacin es 460 min.

Con estos datos calcula la masa de Marte. Solucin: 6,45 1023

kg

R.4 En qu punto, a lo largo de la lnea que une dos masas, una doble que la otra, se anula el campo gravitatorio resultante?

Solucin: En un punto situado entre ambas, a una distancia 0,586d de la

mayor.

R.5 Cuatro cuerpos, de igual masa M, se encuentran situados en los vrtices de un cuadrado de lado l. Calcular el mdulo de la fuerza que se ejerce sobre una

cualquiera de las masas por las otras tres. Solucin: (GM2/l

2) ( 2 + 1/2)

R.6 Encontrar hasta qu altura sobre la superficie terrestre tendremos que elevarnos para que el valor del campo gravitatorio se reduzca en un 20%.

Solucin: h = 0,12 RT

R.7 Suponer conocida la distancia de la Tierra a la Luna (d) y el periodo de revolucin de sta (T). Con esos datos, estimar la masa de la Tierra.

Solucin: MT = (42 d

3)/ (G T

2)

R.8 La masa de la Luna es, aproximadamente, 7,34 1022 kg y su radio 1,7 106 m. Qu distancia recorrer un cuerpo en un segundo de cada libre hacia la Luna,

si se abandona en un punto prximo a su superficie? Solucin: 0,847 m.

R.9 Cuntas veces es mayor el peso de un cuerpo que la fuerza centrpeta a que est sometido en la superficie de la Tierra, cuyo radio es 6370 km?

Periodo de rotacin de la Tierra 24 h; g0= 9,8 m/s2

R.10 Contesta a las siguientes cuestiones: a) De qu factores depende la intensidad de un campo gravitatorio?

b) Si la densidad de la Tierra fuera tres veces mayor, cul debera ser el radio

terrestre para que el valor de la gravedad no variara?

c) Si la Tierra se redujera a la mitad de su tamao y perdiera la mitad de su

masa, cmo afectara esto a la aceleracin de la gravedad?


I.E.S. Playamar 30

R.11 En la superficie de un planeta de 1000 km de radio la aceleracin de la gravedad es de 2 m/s

2. Calcula:

a) La energa potencial gravitatoria del un objeto de 50 kg de masa situado en

la superficie del planeta.

b) La velocidad de escape desde la superficie del planeta.

c) La masa del planeta.

Solucin: a) -108 J; b) 2000 m/s; c) 2,998 10

22 kg

R.12 Calcula la energa mecnica de un satlite artificial de 200 kg que describe una rbita circular a 400 km de altura sobre la superficie terrestre (RT = 6400 km).

g0 = 9,8 m/s2 Solucin: -59030 10

5 J

R.13 Cul es el trabajo mnimo necesario para lanzar una nave csmica de masa 2000 kg, desde la superficie de la Tierra a la Luna? Suponer que el cuerpo

alcanza la Luna, si es capaz de llegar hasta el punto en que se igualan la

atraccin lunar y la terrestre. Datos: Distancia Tierra-Luna = 3,8 108 m ;

Masa de la Tierra 81 veces la masa de la Luna ; Radio de la Tierra = 6370 km

Solucin: 1,23 1011

J

R.14 Calcular el potencial gravitatorio creado por un satlite de 1500 toneladas, supuesto puntual, en un punto situado a 3 km. Cul es la energa potencial,

debida a la interaccin con el satlite, de un objeto de 5 kg de masa situado en

ese punto? Solucin: -3,3 10-8

J/kg ; -1,67 10-7

J

R.15 El satlite Meteosat nos enva tres veces al da imgenes de Europa para la confeccin de los mapas del tiempo. Calcula:

a) Su periodo de revolucin.

b) El radio de la rbita que describe.

Solucin: a) 8 h ; b) 2,03 104 km

R.16 Un satlite de 250 kg de masa se lanza desde la superficie de la Tierra hasta colocarlo en una rbita circular a una altura de 500 km de la superficie. a)

Realice un anlisis energtico del proceso, desde el lanzamiento hasta que se

encuentra en rbita. b) Calcule la velocidad orbital y la energa mecnica del

satlite. c) Si el radio de la rbita fuera ms pequeo, explique como cambiara

la velocidad del satlite. Datos: Masa de la Tierra: 6 1024

kg; Radio de la

Tierra: 6370 km.

R.17 Un satlite artificial de masa 400 kg gira alrededor de la Tierra con rapidez constante. a) Haga un anlisis de las fuerzas que actan sobre el satlite e

indique las condiciones para que se mantenga en rbita.

b) Si la velocidad del satlite es de 3600 km/h, a qu altura de la superficie

terrestre est situado?

c) Si la masa del satlite se duplica, afectara a la altura a la que est

colocado?


I.E.S. Playamar 31

R.18 Como habrs visto alguna vez en TV, los astronautas se encuentran en estado de ingravidez cuando salen de la cpsula espacial. a) Por qu no caen hacia la

Tierra? b) Es debido a que al no haber aire en el espacio exterior no acta

sobre ellos la gravedad? Explica la respuesta.

R.19 Un astronauta, cuyo peso en la Tierra es de 700 N, aterriza en el planeta Venus y mide all su peso, que resulta ser de 600 N. El dimetro de Venus es

aproximadamente del mismo que el de la Tierra. a) Explique por qu ocurre lo

indicado. b) Calcule la relacin entre las masas de Venus y de la Tierra. c)

Qu relacin existe entre las masas de los dos planetas y sus periodos de

revolucin alrededor del Sol?

13.- APNDICE I

DEDUCCIN DE LA LEY DE LA GRAVITACIN UNIVERSAL

Para demostrar la expresin que facilita la fuerza de atraccin gravitatoria, es

necesario realizar unas aproximaciones suficientemente aceptables de las leyes de

Kepler, ya que su utilizacin en la forma general lleva a un clculo matemtico

inadecuado al nivel de este curso. No obstante debemos puntualizar que la deduccin

realizada por Newton fue ms general que la que vamos a realizar, en la que no

tendremos en cuenta que las rbitas son elpticas.

La primera Ley de Kepler afirma que las rbitas de los planetas son elipses; una

elipse particular es la circunferencia, en la que los dos focos coinciden en el centro. En

ese caso, la fuerza de atraccin entre el Sol y el planeta se dirige exactamente hacia el

centro de la circunferencia. Se tratara de un movimiento circular. La fuerza que

mantiene unido el planeta al Sol es una fuerza centrpeta, si el observador est sobre un

sistema de referencia inercial:

F mv

R

2

En esta expresin, m es la masa del planeta, v su velocidad y R el radio de la

rbita.

Si la rbita es circular, el movimiento del planeta es circular uniforme. Por tanto,

si conocemos el tiempo (T) que tarda en da una vuelta completa (2R) alrededor del Sol (periodo de revolucin), su velocidad es:

v = 2 R T

por lo que:

F = m 4 2 R2 1 = m 4 2 R T

2 R T

2

De acuerdo con la tercera Ley de Kepler:

T2 = k R

3

donde k es la constante.

Sustituyendo T en la expresin de la fuerza:


I.E.S. Playamar 32

F = 4 2 m k R

2

Vemos, pues, que para que se cumplan las leyes experimentales de Kepler, la

fuerza de atraccin debe ser una fuerza central (dirigida hacia el centro de la rbita) e

inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que separa ambos cuerpos.

Al igual que hemos procedido, un observador situado en el planeta vera al Sol

describir crculos. Podra, por tanto, obtener la expresin de la fuerza que liga al Sol con

el planeta:

F = 4 2 M k R2

donde M es la masa del Sol.

De acuerdo con la ley de accin y reaccin, la fuerza que ejerce el Sol sobre el

planeta es igual y de sentido opuesto a la que el planeta ejerce sobre el Sol. Por tanto, F

y F deben ser iguales, esto es: F = F

m = M_

k k

Tratemos ahora de buscar una expresin que relacione la constante k con la masa

M.

La expresin anterior puede ponerse como:

m k = M k

ambos productos son iguales y se pueden expresar mediante otra constante que

llamaremos K.

m k = M k = K y de ah:

k = K_

M

y sustituyendo en la expresin que da la fuerza de la gravedad el valor de k obtenemos:

F = 4 2 m M K R

2

Al producto 42/K lo identificamos como G, constante para todos los planetas. De este modo, resulta:

F GM m

R2

que constituye la ley de Newton de la gravitacin, en donde, G representa la constante

de la gravitacin universal cuyo valor debemos determinar, M sera la masa del Sol, m

la masa de cualquier planeta y R la distancia que separa ambos.


I.E.S. Playamar 33

14.- APNDICE II

EQUIVALENCIA DE LAS EXPRESIONES DE LA ENERGA POTENCIAL

A primera vista, las expresiones

EP = m g h EP = - G M m

R

parecen muy diferentes, sobre todo porque el resultado tiene distinto signo: positivo en

el primer caso y negativo en el segundo. Cmo se explica esto?

La causa del aparente contrasentido radica en la asignacin del origen para la

medida de la energa potencial. Cuando se utiliza la expresin mgh, se est admitiendo

que la energa potencial de un objeto situado sobre la superficie de la Tierra, es nula; en

cambio, al utilizar la otra expresin, se supone que los puntos en los que la energa

potencial es nula son los que estn infinitamente alejados de la Tierra.

Para reconciliar ambas expresiones hemos de unificar criterios. Si admitimos

que la energa potencial es nula en un punto sobre la superficie de la Tierra, la expresin

general debe modificarse, aadiendo una constante A, de tal forma que cuando la

distancia sea igual al radio de la Tierra, la energa potencial sea nula:

EP = - G M m + A

R

- G M m + A = 0

RT

y por tanto:

A = G M m

RT

De ese modo, la expresin que permite calcular la energa potencial se convierte

en:

EP = - G M m + G M m = G M m ( 1/RT - 1/R )

R RT

y por tanto, EP toma un valor positivo para puntos situados a cierta altura sobre la

superficie de la Tierra, ya que para R > RT se cumple que:

1 < 1 (1/RT - 1/R) > 0 EP > 0 R RT

Observa que si consideramos un punto a cierta altura h sobre la superficie de la

Tierra, tenemos que R = RT + h, con lo cual resultar:

EP = - G M m + G M m = G M m 1/RT - 1/(RT + h) R RT

y desarrollando el corchete:

E G M m

R h R

R R hP

T T

T T


I.E.S. Playamar 34

EP = G M m h

RT ( RT + h)

Si h es mucho menor que RT, podemos admitir que:

RT ( RT + h) RT2

y por tanto:

EP = G M m h = m g h

RT2

lo que demuestra que las dos expresiones son equivalentes.

Tema 1 Interacción Gravitatoria

Documents

Transcript of Tema 1 Interacción Gravitatoria