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TEMA 1 Métodos Matemáticos en FísicaL3. Oscilaciones en sistemas discretos
En parte Según Cap.1 Libro Levanuyk+Cano
Antes de tratar aplicación de método Fourier para sistemas continuoshttp://www.youtube.com/watch?feature=endscreen&NR=1&v=no7ZPPqtZEg=>Consideramos sistemas discretos en ejemplo de Oscilador Armónico (OA) / OAs acoplados
Buscamos desplazamientos horizontales x(t)
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TEMA 1 Métodos Matemáticos en FísicaL3. Oscilaciones en sistemas discretos
x(t) describe movimiento armónico si
Ec. Diferencial que describe movimiento
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TEMA 1 Métodos Matemáticos en FísicaL3. Oscilaciones en sistemas discretos
Para muelle ideal y movimiento si rozamientoF(x)=-kx ( k – constante de muelle)
Ley Newton
asignando
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TEMA 1 Métodos Matemáticos en FísicaL3. Oscilaciones en sistemas discretos
Nota: Ec. análogos describen movimiento deoscilador en campo gravitatorio
U- potencial de campo gravitatorio
2 / 2U mgz mgax
F mgax
= =
= −
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TEMA 1 Métodos Matemáticos en FísicaL3. Oscilaciones en sistemas discretos
-Oscilador electrónico ( Capacidad+inductancia)-(Q- Carga)
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TEMA 1 Métodos Matemáticos en FísicaL3. Oscilaciones en sistemas discretos
Otros tipos de Osciladores armónicos
-Basados en solo cargas eléctricas?-Dipolos magnéticos?-Concentración local en gases?-Calor???
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Solución general (OA) es una combinaciónlineal de dos soluciones particulares linealmente independientes entre si.
Se denomina vibraciones (o oscilaciones) propias a aquellas vibraciones que tienen lugar enausencia de fuerzas externas.
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Una función (f3) es linealmente independiente de otras dos (f1, f2)
si no se puede expresar como su combinación lineal:
f3≠Af1+Bf2
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Buscamos solución de Ec.
en forma de una función exponencial
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Entonces dos funciones linealmente independientes satisfacen a Ec.
Solución general es suma (con peso) de todos posibles soluciones linealmente independientes
x(t)=A exp(+iωt)+B exp(-iωt)
CLASE: Hallar Solución general de Ec. X´´-ω02X=0
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TEMA 1 Métodos Matemáticos en FísicaL3. Oscilaciones en sistemas discretos
CLASE: Hallar Solución general de Ec. X´´-ω02X=0
1 0 2 0exp( ) exp( )X C x C xω ω= + + −
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PresentacionPresentacion alternativaalternativa de Solución general de Ec. X´´-ω0
2X=0
1 0 2 0sinh( ) cosh( )X C x C xω ω= +
+
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Como solución debe ser real x*(t)=x(t)
A*exp(-iωt)+B*exp(+iωt)=Aexp(+iωt)+Bexp(-iωt)
=>A*=B; B*=A
A=c+idB=c-id
Volvemos analizar solucion de Ec:
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x(t)=(c+id) exp(+iωt)+(c-id)exp(-iωt)=
=2c[exp(+iωt)+exp(-iωt)]/2+
+2id[exp(+iωt)-exp(-iωt)]/2
=2cCos(ωt)-2dSen(ωt)
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Entonces Solución general:
Para mostrar sentido físico reescribamos Solucion así:
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Como Sen(α+β)=Sen(α)Cos(β)+Cos(α)Sen(β)
Podemos presentar Solucion también así:
Con
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ω0- frecuencia angular propia
A- Amplitud máxima de modo correspondiente
δ- indica en que estado esta oscilador en momento t=0
[ o cuando ωt=2πn ( n- entero)]
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Lo que es mas habitual para sistemas físicos es saber desplazamiento y velocidad en determinado momento
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Supongamos siguiente información:
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Con estos condiciones iniciales obtendremos
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Otra posibilidad: golpe instantáneo en t=0
SOLUCIONa partir de Sol.General?
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Buscando la solución
Aplicando Condiciones Iniciales C1=0,
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Desplazamiento + velocidad inicial para t=0
*
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Hasta ahora siempre obtuvimos la única soluciónx(t)
Veamos que ocurre si suponemos otro tipo de condiciones:
Por. Ej. x=0 para t=0 y x=0 para t=T
De primera condición la solución da: x(t)=C2Sen(ω0t)
De la segunda condición implica:
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Hay dos posibilidades:
Solución trivial
Segunda opción es valida si:
(n- entero)
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Entonces tendremos una solución con infinidad de posiblesSoluciones con DISTINTASfrecuencias posibles:
Los llamados “problemas Sturm-Louville” (SL)
(los que veremos en próximo futuro)
QUE también tendrán una infinidad de soluciones
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Mas adelante veremos que cualquier movimiento periódico x(t) con periodo T puede ser descrito por serie Fourier
( ) n n n nn
x t C Sen t D Cos tω ω= +∑
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Oscilador con muelle en campo gravitatorio
2
2
0
02
2
situacion estatica: /
a Ec. de Oscilador harmonico cambiando variablesx´=x-x
´ ´ 0
xm x mgt
Desplazamiento x mg
volvemos
xm xt
β
β
β
∂= − +
∂=
∂+ =
∂
x0
g
VOLVEMOS a OSCILADORcomplicando Ec.de movimiento
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En realidad en la naturaleza siempre hay fuerzas de amortiguamientoLa relación mas sencilla es cuando rozamiento Es proporcional a la velocidad
Ecuación resultante: con
INFLUENCIA de AMORTIGUAMIENTO
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TEMA 1 Métodos Matemáticos en FísicaL3. Oscilaciones en sistemas discretos
Buscamos desplazamiento horizontales x(t)
Sustituyendo en Ec. de movimiento:
Obtenemos:
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si
Solución para (a) son números complejos
Solución general será
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TEMA 1 Métodos Matemáticos en FísicaL3. Oscilaciones en sistemas discretos
Vibraciones en x(t) desaparecen si aumentamos la viscosidad
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TEMA 1 Métodos Matemáticos en FísicaL3. Oscilaciones en sistemas discretos
Relajador Cuando
para
Con
movimiento NO depende de masa!!!
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TEMA 1 Métodos Matemáticos en FísicaL3. Oscilaciones en sistemas discretos
Es porque en este limite Ec. para x(t) es:
Ec. De UN RELAJADOR:
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TEMA 1 Métodos Matemáticos en FísicaL3. Oscilaciones en sistemas discretos
Vibraciones bajo la acción de fuerzas externas:1. Fuerza constante ( sin amortiguamiento)
Debemos resolver una ecuación no homogénea.
Su solución general es la suma de la solución de la ecuación homogénea + +una solución particular de la ecuación completa (x=f0/ω0
2)
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TEMA 1 Métodos Matemáticos en FísicaL3. Oscilaciones en sistemas discretos
Supongamos siguientes CI (Condiciones Iniciales):
Oscilador se encuentra en reposo en t=0
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TEMA 1 Métodos Matemáticos en FísicaL3. Oscilaciones en sistemas discretos
Fuerza y desviación vs. Tiempo:
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TEMA 1 Métodos Matemáticos en FísicaL3. Oscilaciones en sistemas discretos
Suponiendo presencia de pequeño rozamiento:
Clase (sin usar libro APL): Hallar solución de problema anterior imponiendo CI x(o) = x`(o)=0
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SOLUCION
Imponiendo CI x(o) = 0
Imponiendo CI x`(o)=0
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Solución final
FIGURA_libro_APLcorecto???
0 2 4 6 8 10
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0 γ/ω0
2=0
x(t)
tiempo
γ/ω0
2=0.2
Deberia ser asi
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TEMA 1 Métodos Matemáticos en FísicaL3. Oscilaciones en sistemas discretos
Vibraciones forzadas armónicamente
Buscamos solución particularEn forma
Sustituyendo en Ec.x0
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TEMA 1 Métodos Matemáticos en FísicaL3. Oscilaciones en sistemas discretos
Solución general
Vibraciones forzados sin rozamiento
C1,2 se determina de CI
En el caso de presencia de rozamiento, a tiemposbastante grandes, influencia de CI se borra ( C1,2 0)
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TEMA 1 Métodos Matemáticos en FísicaL3. Oscilaciones en sistemas discretos
Ec. a solucionar
Podemos presentar Ec.
Buscamos Solucion y luego tomamos Im (Solución)
como
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44
TEMA 1 Métodos Matemáticos en FísicaL3. Oscilaciones en sistemas discretos
Buscamos
Al sustituir en Ec. Hallamos x0
Con
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45
TEMA 1 Métodos Matemáticos en FísicaL3. Oscilaciones en sistemas discretos
Finalmente
Son llamadas curvas de resonancia: amplitud y fase de respuesta de oscilador forzado harmónicamentehttp://techtv.mit.edu/videos/769-mit-physics-demo----driven-mechanical-oscillator
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46
TEMA 1 Métodos Matemáticos en FísicaL3. Oscilaciones en sistemas discretos
Solución general en el limite de pequeño amortiguamiento
Son llamadas curvas de resonancia: amplitud y fase de respuesta de oscilador forzado harmónicamente
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47
TEMA 1 Métodos Matemáticos en FísicaL3. Oscilaciones en sistemas discretos
Para CI x(0)=x`(0)=0
C2
=0 C1
d/dt =0
t=0
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48
TEMA 1 Métodos Matemáticos en FísicaL3. Oscilaciones en sistemas discretos
Resonancia parametrica
http://il.youtube.com/watch?v=kQI3AWpTWhM
Oscilador NO-linear Spectrum vs. FrecuenciaSe transforma de Lorentiano a hysteretico
2 3¨ ( )mx x x xβ α η= − + +
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49
TEMA 1 Métodos Matemáticos en FísicaL3. Oscilaciones en sistemas discretos
Una fuerza externa arbitraria: función de Green
Antes relación (*) en Pág. 20 demostró el resultado deuna fuerza instantánea sobre un oscilador harmónico
Aprovechamos de este resultado para considerar influencia de una fuerza externa arbitraria
**
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50
TEMA 1 Métodos Matemáticos en FísicaL3. Oscilaciones en sistemas discretos
Modo de presentar f(t) como suma de golpes instantáneos
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TEMA 1 Métodos Matemáticos en FísicaL3. Oscilaciones en sistemas discretos
Resultado de uno de golpes en momento (i)
Resultado de todos golpes (hasta momento t):
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52
TEMA 1 Métodos Matemáticos en FísicaL3. Oscilaciones en sistemas discretos
En limite
Sin embargo, esta solución NO es solución general ya que NO contiene dos constantes arbitrarias
[que deberia tener solucion de Eq.** de segundo orden].
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53
TEMA 1 Métodos Matemáticos en FísicaL3. Oscilaciones en sistemas discretos
Usaremos un método matemático ( llamado de variación de las constantes) que permite obtener soluciones particulares deecuaciones diferenciales no homogéneas [1.54-1.62 de libro APL].
Buscamos solución de Ecuaciónen forma con C1,2(t) - incógnitas
con C1,2(t) - incógnitas
SOL.
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TEMA 1 Métodos Matemáticos en FísicaL3. Oscilaciones en sistemas discretos
Imponemos condición adicional que C1,2(t) cambian muy poco con el tiempo
Sustituyendo SOL. en Ec. (**) a resolver
1
2
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TEMA 1 Métodos Matemáticos en FísicaL3. Oscilaciones en sistemas discretos
Sumado dos ultimas ecuaciones (1+2) obtenemos
Integrando:
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TEMA 1 Métodos Matemáticos en FísicaL3. Oscilaciones en sistemas discretos
Restando (1-2)
Integrando
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TEMA 1 Métodos Matemáticos en FísicaL3. Oscilaciones en sistemas discretos
Es la solución general con constantes C1,2 dependientes deposición y velocidad de oscilador en instante (t0)
Sol particular de Ec NO Homogénea
Sol. de Ec. Homogénea
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TEMA 1 Métodos Matemáticos en FísicaL3. Oscilaciones en sistemas discretos
En relación anterior t0<t ya que posición de oscilador es determinada por fuerzas que actúan antes del momento, no de futuro
Si CI son conocidos solo para
0 debido a fuerzas de rozamiento finitas
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TEMA 1 Métodos Matemáticos en FísicaL3. Oscilaciones en sistemas discretos
La solución se convierte en sol particularQue obtuvimos anteriormente
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TEMA 1 Métodos Matemáticos en FísicaL3. Oscilaciones en sistemas discretos
Las soluciones de los problemas físicos de tipo causa-efecto que involucran ecuaciones lineales se suelen presentar como
G(t,t´) es denominada función GREEN
En nuestro caso particular
+∞
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TEMA 1 Métodos Matemáticos en FísicaL3. Oscilaciones en sistemas discretos
Es la solución de siguiente Ec.
La condicion de velocidad inicial x´(0)=v0se puede presentar como “fuerza” en Ec, no-homogenea
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TEMA 1 Métodos Matemáticos en FísicaL3. Oscilaciones en sistemas discretos
Entonces el movimiento de Oscilador sera descrito por función Green multiplicado por v0
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TEMA 1 Métodos Matemáticos en FísicaL3. Oscilaciones en sistemas discretos
Solución para un oscilador inicialmente en reposo (t<0) bajo una fuerza periódica con frecuencia de resonancia f=f0Sen(ω0t) [t>0]
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TEMA 1 Métodos Matemáticos en FísicaL3. Oscilaciones en sistemas discretos
Influencia de amortiguamiento
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TEMA 1 Métodos Matemáticos en FísicaL3. Oscilaciones en sistemas discretos
Osciladores Armónicos (OA) acoplados
http://www.youtube.com/watch?v=XOxDK74DRJg
DEMO_ Osciladores magnéticos acoplados
Desplazamientos intermitentes
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TEMA 1 Métodos Matemáticos en FísicaL3. Oscilaciones en sistemas discretos
Tratamos ejemplo de 2 OA acoplados
x1,2 son desplazamientos de cada una de masas (1,2)
Fc- fuerza del muelle CENTRAL
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TEMA 1 Métodos Matemáticos en FísicaL3. Oscilaciones en sistemas discretos
Buscamos oscilaciones harmónicas para cada masa
( ) exp( )T t i tω=Sustituyendo
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TEMA 1 Métodos Matemáticos en FísicaL3. Oscilaciones en sistemas discretos
Como dichas soluciones tienes que ser mismos y Entonces soluciones del mismo tipo de ecuaciones, presentamos:
Y imponemos(se trata de la mismaecuacion)
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TEMA 1 Métodos Matemáticos en FísicaL3. Oscilaciones en sistemas discretos
Entonces Condiciones para tener soluciones no triviales:
o
Frecuencias correspondientes:
Son modos normales de osciladores acoplados
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70
TEMA 1 Métodos Matemáticos en FísicaL3. Oscilaciones en sistemas discretos
Movimiento general de las masas
Se presenta como suma de movimientos harmónicos simples
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TEMA 1 Métodos Matemáticos en FísicaL3. Oscilaciones en sistemas discretos
Analógicamente problema de N osciladores acoplados
1
( ) ( ) ( )n i i i ii N
x t A f n Sen tω ϕ= =>
= +∑fi función que describe amplitud de modo (i) en sitio (n)
De modo similar en este curso presentaremos soluciones complejas en forma de sumatorio por todos modos sencillos(modos normales) que son funciones periódicas harmónicas