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Área de Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas RELACIÓN DE EJERCICIOS RESUELTOS TEMA 10 Geometría Analítica en el Plano
Profesor Raúl García Santos 4º ESO
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Ejercicio nº 1 a) Escribe la ecuación de la recta, r, que pasa por los puntos (1, 2) y (2, −1). b) Obtén la ecuación de la recta, s, que pasa por (1, −3) y tiene pendiente 2. c) Halla el punto de corte de las dos rectas anteriores. Solución:
− − −) = = = −
−
1 2 3a Su pendiente es 3.2 1 1
m
Ecuación: y = 2 − 3(x − 1) → y = 2 − 3x + 3 → y = −3x + 5
b) y = −3 + 2(x − 1) → y = −3 + 2x − 2 → y = 2x − 5 c) El punto de corte es la solución de este sistema:
( )3 5 2 5 5 10 2 13 5
Punto: 2, 12 5x x x x yy x
y x− + = − → − = − → = → = −= − + ⎫⎬ −= − ⎭
Ejercicio nº 2
( )( )
a Halla la ecuación de la recta, , que se pasa por 1, 3 y tiene como vector direc-
ción d 1, 1 .
r)!
b) Escribe la ecuación general de la recta, s, que pasa por los puntos (1, 0) y (−1, 4). c) Obtén el punto de intersección de las rectas r y s. Solución:
) = =1a Pendiente 11
Ecuación: y = 3 + 1 ⋅ (x − 1) → y = 3 + x − 1 → y = x + 2
−
) = = = −− − −
4 0 4b Pendiente 21 1 2
Ecuación: y = 0 − 2(x − 1) → y = −2x + 2 → 2x + y − 2 = 0
c) Es la solución del sistema siguiente:
( )+ + − = → = → = → == + ⎫
⎬+ − = ⎭
2 2 2 0 3 0 0 02Punto: 0, 22 2 0
x x x x yy xx y
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Ejercicio nº 3 a) Obtén la ecuación general de la recta, r, que pasa por los puntos (5, −3) y (−4, 3). b) Escribe la ecuación de la recta, s, que pasa por (0, 0) y tiene pendiente −1. c) Halla el punto de corte de las dos rectas anteriores. Solución:
( )− − −) = = =
− − −
3 3 6 2a Pendiente 4 5 9 3
( )= − − − → = − − + → + − =2Ecuación: 3 5 3 9 2 10 2 3 1 03
y x y x x y
b) Ecuación: y = −x c) Es la solución del sistema siguiente:
( )2 3 1 0 1 1 12 3 1 0
Punto: 1,1x x x x yx y
y x− − = → − = → = − → =+ − = ⎫
⎬ −= − ⎭
Ejercicio nº 4
( ) ( )a Halla la ecuación de la recta, , que pasa por 3, 2 y tiene como vector dirección d 2, 1 .r)!
b) Escribe la ecuación general de la recta, s, que pasa por (−1, 7) y tiene pendiente −3. c) Obtén el punto de corte de las dos rectas anteriores. Solución:
) =1a Pendiente2
( )= + − → = + − → − + =1Ecuación: 2 3 2 4 3 2 1 02
y x y x x y
b) y = 7 − 3(x + 1) → y = 7 − 3x − 3 → 3x + y − 4 = 0 c) Es la solución del sistema siguiente:
( )( )
2 1 3 2 1 4 0 6 3 4 02 1 07 7 1 1 Punto: 1, 13 4 0
x y y y y yx yy y xx y
= − → − + − = → − + − = →− + = ⎫⎬
→ = → = → =+ − = ⎭
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Ejercicio nº 5 a) Escribe la ecuación de la recta, r, que pasa por los puntos (0, −2) y (−1, −5). b) Obtén la ecuación de la recta, s, que pasa por (4, 0) y tiene pendiente −2. c) Halla el punto de intersección de las rectas r y s. Solución:
( )5 2 5 2 3a) Pendiente 31 0 1 1
− − − − + −= = = =
− − − −
Ecuación: y = −2 + 3 (x − 0) → y = −2 + 3x → 3x − y − 2 = 0
b) y = 0 − 2 (x − 4) → y = −2x + 8 c) Es la solución del sistema siguiente:
( )( )
3 2 8 2 0 3 2 8 2 0 5 103 2 02 4 Punto: 2, 42 8
x x x x xx yx yy x
− − + − = → + − − = → =− − = ⎫⎬
= → == − + ⎭
Ejercicio nº 6 a) Halla la ecuación de la recta, r, paralela a 2x − 3y + 4 = 0, que pasa por (−1, 2). b) Halla la ecuación de la recta perpendicular a y − 1 = 0 que pasa por (3, 2). Solución: a) Puesto que son paralelas, tienen la misma pendiente:
2 4 2 4 22 3 4 03 3 3 3
xx y y x m+− + = → = = + → =
( )2Ecuación de : 2 1 3 6 2 2 2 3 8 03
r y x y x x y= + + → = + + → − + =
b) La recta y − 1 = 0 es paralela al eje X; por tanto, la que buscamos, es paralela al eje Y.
Su ecuación será x = 3.
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Ejercicio nº 7 a) Escribe la ecuación de la recta, r, que pasa por el punto (3, −1) y es paralela a
y = 2x + 5. b) Halla la ecuación de la recta perpendicular a y = −3x + 1 que pasa por el punto (0, 0). Solución: a) Si son paralelas, tienen la misma pendiente:
y = 2x + 5 → m = 2 Ecuación de r : y = −1 + 2 (x − 3) → y = −1 + 2x − 6 → y = 2x − 7
b) y = −3x + 1 → m = −3
1 1 1Pendiente de la perpendicular 3 3m
− −= = =
−
1Ecuación: 3
y x=
Ejercicio nº 8 a) Obtén la ecuación de la recta paralela al eje X que pasa por el punto (5, −1). b) Halla la ecuación general de la recta perpendicular a 3x − y = 1 que pasa por el punto
(0, 1). Solución: a) y = −1 b) Pendiente de 3x − y = 1 → y = 3x − 1 → m = 3
1 1Pendiente de la perpendicular 3m
− −= =
1Ecuación: 1 3 3 3 3 03
y x y x x y= − → = − → + − =
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Ejercicio nº 9 Dados los puntos A (2, −1) y B (3, 4), halla las ecuaciones de las dos rectas siguientes:
: pasa por y es paralela a .!!!!"
r A AB : pasa por y es paralela a .
!!!!"s B AB Solución:
( )1, 5AB =!!!"
( )5 Recta : . Ecuación: 1 5 2 1 5 101
r m y x y x= = − + − → = − + − →#
→ 5x − y − 11 = 0
1 1 1 Recta : 5 5
s mm− −
ʹ = = = −#
( )1Ecuación: 4 3 5 20 3 5 23 05
y x y x x y= − − → = − + → + − =
Ejercicio nº 10
= +1a) Escribe la ecuación de la recta que pasa por (2, 1) y es paralela a 3.2
y x
b) Halla la ecuación de la recta que pasa por (0, −2) y es perpendicular a 2x + y = −3. Solución: a) Si son paralelas, tienen la misma pendiente:
1 132 2
y x m= + → =
( )1Ecuación: 1 2 2 2 2 22 2
xy x y x y x y= + − → = + − → = → =
b) Pendiente de 2x + y = −3 → y = −2x − 3 → m = −2
1 1 1Pendiente de la perpendicular2 2m
− −= = =
−
1Ecuación: 2 2 4 2 4 02
y x y x x y= − + → = − + → − − =
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Ejercicio nº 11 Halla la distancia entre los puntos P(2, 9) y Q(8, 1). Solución:
( ) ( ) ( )= − + − = + = + = =2 2 2 2, 8 2 1 9 6 8 36 64 100 10dist P Q
Ejercicio nº 12 Obtén la distancia entre los puntos A(2, −3) y B(−3, 9). Solución:
( ) ( ) ( )( )= − − + − − = + = + = =22 2 2, 3 2 9 3 5 12 25 144 169 13dist A B
Ejercicio nº 13 Averigua la distancia que hay entre los puntos M(8, −5) y N(−1, 7). Solución:
( ) ( ) ( )( )= − − + − − = + = + = =22 2 2, 1 8 7 5 9 12 81 144 225 15dist M N
Ejercicio nº 14 Halla la distancia entre los puntos A(10, 15) y B(0, −9). Solución:
( ) ( ) ( )= − + − − = + = + = =2 2 2 2, 0 10 9 15 10 24 100 576 676 26dist A B
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Ejercicio nº 15 Obtén la distancia entre los puntos P(5, 7) y Q(−7, 23). Solución:
( ) ( ) ( )= − − + − = + = + = =2 2 2 2, 7 5 23 7 12 16 144 256 400 20dist P Q
Ejercicio nº 16 Escribe la ecuación de la circunferencia de centro (3, −4) y radio 4. Solución:
( ) ( )− + + =2 2La ecuación es: 3 4 4x y
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Ejercicio nº 17
( )
( )( ) .uk,w
v
u
→→
→
→
−
−
a larperpendicu sea2que para k de valor El b).12,con forma que ángulo El a)
:halla ,43,vector el Dado
Solución:
( ) ( )→−≈
−=
−=
−+++−
−−=
⋅
⋅=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛ ∧
→→
→→→→
894,05
5255
10
1243
46, a)2222
vu
vuvucos
"662153, ʹ=⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛ ∧
→→→
!vu
:cero ser de ha escalar producto su lares,perpendicu sean w y que Para b)→→
u
( ) ( )23
46046,243, ==→=+−=⋅−=⋅
→→
kkkwu
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Ejercicio nº 18 a) Escribe las ecuaciones paramétricas de la recta, r, que pasa por los puntos P(2, −1) y Q(3, 4). b) Averigua la posición relativa de la recta obtenida en a) con la recta:
⎩⎨⎧
+−=
=
tytx
s3
:
Solución:
( )( )5,1 :dirección Vector
1,2OP :posición Vectora)PQ
−
Ecuaciones paramétricas:
⎩⎨⎧
+−=+=
tytxr 51
2:
b) Cambiamos el parámetro de la recta s:
⎩⎨⎧
+−==
⎩⎨⎧
+−=+=
kykxsty
txr 3:512:
Igualamos:
⎪⎭
⎪⎬⎫
=
=→=++−=−++=+−⎭
⎬⎫
+−=+−=+
2
0041235
23513512
k
tttt
ttktkt
Sustituyendo t = 0 en las ecuaciones de r (o bien k = 2 en las de s), obtenemos que las dos rectas se cortan en el punto (2, −1).
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Ejercicio nº 19 a) Obtén las ecuaciones paramétricas de la recta, r, que pasa por P(3, −2) y es
perpendicular a la recta 2x − y + 4 = 0. b) Estudia la posición relativa de la recta, r, obtenida en a), con la recta:
⎩⎨⎧
+−=
−=
tytx
s1
3:
Solución: a) El vector (2, −1) es perpendicular a la recta 2x − y + 4 = 0. Por tanto, podemos tomar:
( )( )1,2 :dirección Vector
23 :posición Vector−
−,OP
Ecuaciones paramétricas:
⎩⎨⎧
−−=+=tytxr 2
23:
b) Cambiamos el parámetro de la recta s:
⎩⎨⎧
+−=−=
⎩⎨⎧
−−=+=
kykxsty
txr 13:2
23:
Igualamos:
21212
212
323−=→=→−−=−−
−=
⎭⎬⎫
+−=−−−=+
kttt
tkktkt
Sustituyendo t = 1 en las ecuaciones de r (o bien k = −2 en las de s), obtenemos que las dos rectas se cortan en el punto (5, −3).
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Ejercicio nº 20 a) Escribe la ecuación implícita de la recta que pasa por los puntos A(1, −4) y B(−2, 2). b) Determina la posición relativa de la recta que has obtenido en a) con la recta 2x + y + 2 = 0. Solución: a) La pendiente de la recta es:
( ) 23
6342
1242
−=−
=−
+=
−−
−−=m
La ecuación será:
( ) 022224124 =++→+−−=→−−−= yxxyxy b) Tenemos que hallar la posición relativa de las rectas:
recta. misma la de trata se nte,Evidenteme022022⎭⎬⎫
=++=++
yxyx
Ejercicio nº 21 a) Halla la ecuación implícita de la recta, r, que pasa por el punto P(10, −3) y es
perpendicular a y = 2x − 1. b) Estudia la posición relativa de la recta obtenida en a) con la recta 4x + 2y − 5 = 0. Solución:
21 será pendiente su , 12 a larperpendicu es Si a) −
−= xy
Por tanto, como pasa por (10, −3), tenemos que:
( ) 042106210213 =−+→+−−=→−−−= yxxyxy
( )
31
1611116
052168052424
42
0524
042b)
=→=→−=−
=−++−
=−++−
+−=
⎪⎭
⎪⎬⎫
=−+
=−+
xyy
yyyy
yx
yx
yx
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛611
31 punto el en cortan se rectas dos Las ,
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Ejercicio nº 22
.v u yvu ,vuvu→→→→→→→→
+−+−−212dibuja vectores, siguientes los sonySi a)
( ) :de scoordenada las Obtén2,21 y32,son vectores dos de scoordenada Las b) . ⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛−−
→→
ba
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −+−+−→→→→→→
bababa31;
21;23
Solución: a)
( ) ( ) ( ) ( )13,74,19,62,2123,2323 b) −=−+−=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛−+−−=+−
→→
ba
( ) ( ) ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛−+−=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛−+−−=+−
→→
4,491,
413,22,
21
213,2
21 ba
( ) ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−−−=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ −→→
35,
655,
25
312,
213,2
31
31 ba
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Ejercicio nº 23
:figura la muestra que losysiendo ,32y21vectores los Dibuja a)
→→→→→→→→
++−− v uvu vu ,vu
( ) :de scoordenada las obtén ,23, y1,32vectores los Dados b) −⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛−
→→
ba
→→→→→→
−−+− ba;ba;ba31223
Solución: a)
( ) ( ) ( ) ( )1,44,63,22,321,32323 b) −=−+−=−+⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛−−=+−
→→
ba
( ) ( ) ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −=−−⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛−=−−⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛−=−
→→
0,352,32,
342,31,
3222 ba
( ) ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −−=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ −−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−=−−⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛−=−
→→
31,
31
32,11,
322,3
311,
32
31 ba
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Ejercicio nº 24
( ) ( ) .1,21 y32, vectores los de lineal ncombinació como 14, vector el Expresa a) ⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛− zyx
!!!
Solución: a) Tenemos que hallar dos números, m y n, tales que:
:decir es ,→→→
⋅+⋅= znymx
( ) ( )
( ) ( )
( ) ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+−+=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+−=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+−=
nmnm
nnmm
nm
3,2
21,4
,2
3,21,4
1,213,21,4
⎭⎬⎫
+=−+=−
⎭⎬⎫
=+=−
⎭⎬⎫
+−=+=
⎪⎭
⎪⎬⎫
+−=
+=mmmm
nmnm
nmnm
nm
nm43183148
3148
3148
312
24
43131177=+=+=
=→=
mnmm
Por tanto:
:decir es ;41→→→
⋅+⋅= zyx
( ) ( ) ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+−= 1,
2143,21,4