159

1a

r

s

m

n1b

A

CB

1c

rB

1d

α1

α2

αα

H’’2

F’’1

F’1

α2

α1

H’2

A’

A’’

1.1 y 1.2 Perspectiva del plano y representación diédrica por sus trazas.

2.1 y 2.2 Perspectiva y representación diédrica de la recta horizontal h y frontal f delplano, que pasan por el punto A del plano αα.

A’’

A

A’F1

H2

f’

h’

h’’

S1

R1

h’

h’’

AB

CA’

B’

A’’

C’’

α

R’’2

h’

h’’

r’’

r’

α2

α1

α1

α2

C’

B’’

α

s

r

r’’

s”

r’

s’

H

VV

H

H

VV

H

h

h

f

f’’

f’’

C’

A’

B’

A’’

B’’

C’’

h’’

h’

f’

H2

S2

S’’2

H’’2

s’’

R’’1 H’2 S’2 R’2

S’’1

s’

R’1

S’1

1 Formas geométricas que determinan un plano.

R2

SISTEMA DIÉDRICO. EL PLANOOBJETIVOS

1. Conocer las formas en que puede venir definido unplano en el espacio y su aplicación en la representacióndiédrica.

2. Conocer y operar con rectas horizontales, frontales, demáxima pendiente e inclinación y de perfil, así como conplanos proyectantes.

3. Entender que muchos problemas espaciales se resuelvenconstruyendo vistas auxiliares de planos para obtener suverdadera magnitud.

1.1 Representación.Trazas del plano.

Tradicionalmente, la representación de un pla-no se lleva a cabo mediante sus trazas, es de-cir, dibujando las rectas de intersección delplano con los de proyección. La traza horizon-tal del plano αα, designada como αα1, es la inter-sección con el plano horizontal H ; y la trazavertical, designada como αα2 , es la interseccióncon el plano vertical V .

Las dos trazas de un plano se cortan en un pun-to de la LT, denominado vértice del plano. Nó-tese que tres planos se cortan en un punto.

En la fig.1.1 el plano αα puede considerarseque viene dado por tres puntos A , B , C, pordos rectas que se cortan ( r y h , s y h o bienpor r y s ) o por una recta (cualquiera de lasanteriores) y un punto exterior a ella. En cual-quiera de los casos, las rectas que lo consti-tuyen tienen sus puntos traza en las trazas co-rrespondientes del plano; así, el punto trazavertical H2 de la recta horizontal h, se encuen-tra en la traza vertical αα2 del plano que con-tiene a dicha recta. Lo mismo sucede con larecta s o la recta r . Por tanto, para dibujar ca-da traza de un plano se han de definir, pre-viamente, al menos dos puntos traza de dosrectas contenidas en él.

En definitiva, las trazas de un plano que, comohemos dicho, son las rectas de intersección deéste con los planos de proyección, son asimis-mo, el lugar geométrico de los puntos traza delas rectas contenidas en él.

1.2 Pertenencia de punto o recta a un plano.

Para que una recta pertenezca a un plano lospuntos traza de la recta deben estar sobre lastrazas homónimas del plano que la contiene.Así, en la fig.1.1, la recta r, cuya traza horizontales R1, se encuentra en la traza horizontal αα1 delplano; al igual que la traza vertical R2 se en-cuentra sobre la traza vertical αα2 del plano quecontiene a dicha recta.

Para verificar la pertenencia de un punto a unplano se hace pasar por él una recta cualquie-ra perteneciente al mismo (de las infinitas posi-bles); es decir, que cumpla las condiciones an-teriores. Por su sencillez es aconsejable utilizarhorizontales o frontales del plano. Así, el puntoA de la fig.1.2 pertenece al plano αα por estarcontenido en una recta, tal como la h o la rectar, perteneciente al mismo.

2 RECTAS NOTABLES EN EL PLANO

Entre las rectas contenidas en un plano desta-can por sus características y situación respec-to a los planos de referencia V , H o de perfilP , las que seguidamente se relacionan.

2.1 Recta horizontal del plano (h).

Es aquélla contenida en el plano y paralela alhorizontal H de referencia.

Generalmente se designa por h. La proyec-ción horizontal h’ de la recta es paralela a latraza horizontal αα1 del plano que la contiene, ysu proyección vertical h’’, paralela a la LT.

2.2 Recta frontal del plano ( f ) .

Es aquélla contenida en el plano y paralela alplano vertical V de referencia.

Generalmente se designa por f y, contraria-mente a lo que sucede con la recta horizontaldel plano, la proyección f ’ de la frontal es pa-ralela a la LT y la proyección vertical f’’ lo es ala traza vertical αα2 del plano que la contiene,como se observa en la figura adjunta.

1 EL PLANO

Geométricamente un plano puede venir deter-minado por:

• Fig. 1a: Dos rectas r y s que se cortan.• Fig. 1b: Dos rectas m y n paralelas.• Fig. 1c: Tres puntos A, B y C no alineados.• Fig. 1d: Una recta r y un punto B exterior.

160

Paso de la proyección horizontal, deuna figura plana, a su correspondien-te proyección vertical y viceversa,mediante horizontales y frontalesde plano indistintamente.

A

A’M1

M2

P’’2

P’1

P’2 P’’1

A’’

A

A’

Planode perfil

P1

P2

A’

A’’

A’’

I’’2

A’

A’’

m’’

m’

I’2M’’1

M’1 i’HH

I2

I1

i”

m’

m’’

i’

m

2.3 Recta m de máxima pendiente y recta i de máxima inclinación, concurrentesen A y contenidas en el plano ββ .

A’

A’’

D’

B’

B’’

C’’

C’

VV

HH

VV

p

p’

p’’

p’

p’’

γγ

M’2

I’1

I’’1

M’’2

i

2.4 Perspectiva y representación diédrica de una recta p de perfil pertenecienteal plano γγ y que pasa por un punto A del mismo.

i’’

f’h’

f’’

h’’D’’

π1

π2

γ2

γ1γ1

γ2

β2

β1

ββ

β2

β1

Las rectas horizontal h y frontal f que pasanpor el punto A ( fig. 2.1 y 2.2 ) definen el planoαα y son, asimismo, las rectas de intersecciónde dicho plano con los planos que pasan porel punto A y son paralelos a los coordenadosH y V respectivamente.

Cuando de un punto A, perteneciente a un pla-no ππ (fig. situada a la derecha), se conoce unade las dos proyecciones diédricas –A’ o A’’– , laotra proyección –A’’ o A’ respectivamente –, sedetermina, de forma fácil y rápida, haciendo usode la recta horizontal h o de la recta frontal f, delplano ππ , que pasan por dicho punto.

2.3 Recta de máxima pendiente y recta demáxima inclinación.

Se entiende por «pendiente» de una recta alcociente entre la diferencia de cotas de dospuntos de la misma y la distancia entre susproyecciones horizontales. Se llama «inclina-ción» de una recta al cociente entre la diferen-cia de alejamientos de dos cualesquiera desus puntos y la distancia entre sus proyeccio-nes verticales.

Ambos conceptos son idénticos: el de pen-diente referido al plano horizontal y el de incli-nación referido al plano vertical.

Las rectas, contenidas en un plano, con pen-diente máxima tienen como característica elser perpendiculares a la traza horizontal del pla-no que las contiene, lo que trae consigo que sucorrespondiente proyección horizontal sea per-pendicular a la traza horizontal de dicho plano.

En la fig.2.3, la recta m, de máxima pendien-te del plano ββ tiene su proyección horizontalm’ perpendicular a la traza horizontal ββ1. Dichode otra forma: la recta m y su proyección m’ seencuentran y definen un plano que es perpen-dicular al plano ββ.

Análogamente, las rectas de máxima inclina-ción de un plano tienen su proyección verticalperpendicular a la traza vertical de dicho plano(fig. 2.3) . Es como girar la hoja de papel180° eimaginar las trazas del plano cambiadas: la rec-ta de máxima pendiente descrita anteriormentese convierte en recta de máxima inclinación.

La singularidad de estas rectas nos muestraque no sólo es posible definir un plano de cual-quiera de las cuatro maneras descritas al princi-pio de esta UD, sino que también es posible sudeterminación teniendo como único dato unarecta de máxima pendiente o una de máxi-ma inclinación de dicho plano.

En efecto, dada la recta m por sus proyeccio-nes diédricas m’-m’’ ( fig. 2.3 ) , para determi-nar las trazas ββ1 - ββ2 del plano definido por larecta, se procede como sigue:

- Se hallan los puntos traza horizontal M1 (M’1 -M’’1) y vertical M2 ( M’2 -M’’2 ) de la recta, y porM’1 se dibuja la perpendicular a la proyecciónm’, que resultará ser la traza horizontal ββ1

del plano definido por la recta m.

- Dicha traza corta a la LT en un punto que,unido con M’’2 , determina la traza vertical ββ2.

Análogo proceso se llevaría a cabo en el casode tener que determinar las trazas de un pla-no dado por una recta de máxima inclinación

del mismo; es el caso de la recta i que se ob-serva en la fig.2.3.

2.4 Recta de perfil.

Es aquella recta contenida en el plano y, obvia-mente, perteneciente a un plano de perfil, sien-do, por tanto, perpendicular a la línea de tierra(fig. 2.4). Dicho de otra forma: una recta de per-fil p es la intersección del plano γγ, a que perte-nece, con el plano de perfil que la contiene.

Sus proyecciones son perpendiculares a la LTy, como toda recta de perfil, se define cono-ciendo dos de sus puntos. En la fig.2.4, la rec-ta p pasa por el punto A y sus puntos traza ho-rizontal P1 y vertical P2 se encuentran en lastrazas horizontal γγ1 y vertical γγ2 , respectiva-mente, del plano que la contiene.

3 Representación diédrica del plano dado porsus coordenadas cartesianas: ωω (-x0 , y0 , z0 ).

A

B

C

z0

y0

LTA

B

C

X

Y

Z

O

VV

HH

X

Y

Z

-x0

O

ω2

ω1

ω2

ωω

ω1

Plano de perfil (YOZ )

3 REPRESENTACIÓN DEL PLANOPOR COORDENADAS

Al igual que sucede en la ubicación de un pun-to del espacio, en la determinación de un planoωω intervienen las tres coordenadas cartesianasque posicionan el plano respecto a los coorde-nados de referencia ( fig. 3). Así, un plano vie-ne expresado, analíticamente, de la forma ωω(x,y,z), siendo:

x: distancia del origen O al punto A vérticedel plano. Si es positiva, el vértice del planose sitúa a la derecha del origen y si es ne-gativa, a su izquierda.

y: alejamiento de la traza horizontal ωω1 res-pecto del origen. Si es positiva se extiendepor debajo de la línea de tierra, y si es ne-gativa, por encima de la misma.

z: cota de la traza vertical ωω2 respecto del ori-gen. Si es positiva se extiende por encimade la LT, y si es negativa, por debajo.

161

A’’

A’

B”

B’

C’’

C’

D’

D’’

G’’

G’

E’’

E’F’

F’’J’’

J’

Plano oblicuo Proyectante horizontal De perfil Proyectante verticalo de canto

Horizontal Frontal Paralelo a la L.T. Plano que contiene a la L.T.

α1

α2

h’

h’’

H

H’’2

H’2

(G)

β2

β1

γ2

γ1

η1

η2

δ1

δ2

ε2

H

h’

h’’ f’’

f’ζ 1

θ

4 Posiciones especiales de planos y su representación diédrica por sus trazas.

B

B’

B”

A

A’’

α1

α2

A’

J

D EC F

Gεε

δδ

ζζ ηη θθ

γγββ

ααh

f

h

V

V

β2 γ2

β1

γ1

δ2

δ1

ε2

ζ1

η2

η1

J’

J’’

Existen una serie de planos que reciben nom-bres singulares por su posición respecto de alos planos principales de proyección H y V .La fig. 4 muestra ocho posiciones distintas: enla parte superior una perspectiva de su situa-ción en el espacio, debajo su correspondienterepresentación diédrica mediante sus trazas.

• Plano oblicuo.Nombre que toma un plano cuando sus trazasse cortan en un punto de la línea de tierra for-mando ángulos distintos de 90° respecto a losplanos de proyección principales H y V .

• Plano proyectante horizontal.Nombre que toma todo plano, tal como el ββ,que se posiciona perpendicular al H ; en estecaso, su traza vertical ββ2 es perpendicular a laLT. El ángulo que el plano forma con el verticalV es el que forma su traza horizontal ββ1 con laLT. Cualquier elemento (puntos, rectas o figu-ras) situado en él se proyecta sobre el planoH , íntegramente, sobre su traza ββ1.

• Plano de perfil.Plano, tal como el γγ, que resulta perpendiculara los dos planos de proyección H y V ; ambastrazas son perpendiculares a la LT.

• Plano proyectante vertical o de canto.Se trata de un plano, tal como el δδ, que es per-pendicular al V ; resultando la traza horizontalδδ1 perpendicular a la LT. Cualquier elemento

(puntos, rectas o figuras) situado en él se pro-yecta sobre el plano V , íntegramente, sobresu traza vertical δδ2.

• Plano horizontal.Es aquel, tal como el εε , que se sitúa paraleloal plano horizontal de referencia; la traza verti-cal εε2 del plano es paralela a la LT y la trazahorizontal se encuentra en el infinito. Cualquierelemento situado en él se proyecta sobre elplano vertical V en la traza εε2.

• Plano frontal.Como su nombre indica, se sitúa frente al ob-servador y, por tanto, es paralelo al coordena-do vertical V . En la figura, el plano ζζ ; su úni-ca traza, ζζ

1, es paralela a la LT.

• Plano paralelo a la LT.Es aquel plano, tal como el ηη de la figura, quees paralelo a la LT: las dos trazas, la horizon-tal ηη

1y la vertical ηη

2son paralelas a ella.

• Plano que contiene a la LT.Es aquel plano, tal como el θθ, que contiene ala LT; sus trazas coinciden con ella. Es el úni-co caso en que un plano no queda definidopor sus trazas. Para su determinación se con-sidera un punto situado en él, de modo que elplano quede dado por un punto del mismo y laLT. Para representarle se dibujan dos trazoscortos a cada lado de la línea de referencia delpunto y por debajo de la LT, como se indicaen la representación diédrica de la fig. 4.

Entre los planos más significativos por su granutilidad y facilidad de trazado, se encuentranlos llamados planos proyectantes, tanto losproyectantes horizontales como los planos decanto o proyectantes verticales.Así, un plano proyectante horizontal αα quecontiene a una recta r (fig. 5) tendrá la proyec-ción horizontal r’ sobre la traza horizontal αα1;

la proyección vertical vendrá determinada porla unión de las proyecciones homónimas delas trazas de la recta: en la figura, R’’1 con R’’2 .Análogo análisis puede hacerse de las rectascontenidas en un plano proyectante vertical(fig. 5). Así, la recta s (s’ - s’’) tiene su proyec-ción vertical s’’ coincidente con la traza ββ2 delplano que la contiene.

VV

HH

s’β1

β2

S2

S1

ββ

r’’

α1

R1

R2

α2

αα

r’’α2

α1

R’1

R’’1

R’’2

R’2s’

β1

β2

S’1

S’’1

S’’2

S’2

Proyectante horizontal

Proye

ctante

verti

cals

s’’

r

r’

5 Rectas r y s pertenecientes a losplanos proyectantes horizontal ααy vertical ββ , respectivamente.

r’

s’’

4 POSICIONES SINGULARES DE PLANOS 5 PLANOS NOTABLES DE UNA RECTA

162

DATOSPlano ABC oblicuorespecto al sistemade planos coordena-dos HH y VV .

PASO 1Conversión del planoABC oblicuo en planoproyectante. Para ello,se ha cambiado el planohorizontal anterior HHpor otro HH 1 perpendi-cular a la recta frontalf para convertir al pla-no ABC en proyectantehorizontal.

PASO 2La segunda vista auxiliarconvierte el plano ABCen un plano paralelo ofrontal a un nuevo coor-denado VV 1. La proyec-ción sobre VV 1 determi-na la verdadera magni-tud del plano ABC .

PROCESO ALTERNATIVOComo su nombre indica, consiste en conseguir situar elplano ABC , oblicuo a los coordenados HH y VV , en para-lelo a un nuevo plano horizontal, mediante dos cambiosde plano: primero cambiando el vertical VV por el VV 1(convirtiendo ABC en proyectante vertical), y seguida-mente cambiando el horizontal HH por el HH1 (pasandoABC de proyectante vertical a plano horizontal), paraconseguir la verdadera magnitud del plano dado.

6 Pasos en la determinación de la verdadera magnitud de una forma plana: método de la vista auxiliar.

YCA’1

C’1

B’1YA

Y B

Y C

Y A

VH

A’’

B’’

C’’

F ’

F ’’

C’

A’

B’

H1V

YB

f’’

f’

H

V1

YC

A’’1

B’’1

C’’1

Z* C

A’1

C’1

B’1

H1YA

YB

YA

V

A’’

B’’

C’’

F’

F’’

C’

A’

B’

H1V

YB

Verdaderotamaño

Z* A

Z* B

Z*C

Z*A Z*

B

f’’

f’

VH

A’’

B’’

C’’

H’

H’’

C’

A’

B’

ZC

ZA

H V1

Y*A Y*

B ZB

Y *B

B’1

B’’1

A’’1

C’’1

Y *A

Y *C

C’1

V1

H1

h’’

h’

Y*C

Verdaderotamaño

ZA

ZC

A’1

YC

A’’

B’’

C’’

C’

A’

B’

V

H

ZB

6 VERDADERA MAGNITUD DE UNPLANO: VISTA AUXILIAR

Un plano se observa en verdadera magnitudcuando se posiciona frontal al observador; esdecir, cuando la dirección de proyección esperpendicular al mismo, apareciendo como unsegmento en todas las vistas adyacentes.

En el ejemplo que se acompaña a la derecha(fig.6) se parte de las vistas alzado y planta deun plano ABC oblicuo a los planos de proyec-ción H yV .

Para determinar su verdadera magnitud seránecesario obtener dos vistas auxiliares me-diante dos cambios de plano de proyección:uno horizontal y otro vertical; o viceversa, tal ycomo se indica en la última ilustración de lapágina, donde se muestra el proceso alterna-tivo.

La vista auxiliar que posiciona al plano ABC co-mo proyectante horizontal y se visualiza comoun segmento (paso 1), se consigue situando lavirtual linea de tierra (V -H 1) perpendicular ala proyección f’’ de una frontal cualquiera delplano ABC . Con el cambio de plano horizontal(deH a H 1) se mantienen, lógicamente, losalejamientos de los puntos A , B y C.

La segunda vista auxiliar (paso 2) posiciona alplano ABC frontal al nuevo plano vertical V1 yvisualiza el mismo en verdadera magnitud; esdecir, que el triángulo ABC se observa en ver-dadero tamaño, (tanto la magnitud de sus la-dos como la superficie del mismo). Para ello,se convierte el plano proyectante horizontalanterior en frontal a un nuevo plano de proyec-ción vertical V1 , donde la nueva línea de tierra(H1 -V1) será paralela al segmento proyec-ción A’1 B’1 C’1 . Como sucede siempre que secambia el plano vertical de proyección, las co-tas de los puntos se mantienen constantes enla nueva proyección auxiliar.

1. Como sabes, un plano puede venir dado por TRES PUNTOS NO ALI-NEADOS, tales como A, B y C, quedando definido mediante unaSUPERFICIE TRIANGULAR. De cualquier forma, dada la comodidadgráfica que supone, en ocasiones, es aconsejable trabajar con planosconsiderando sus trazas. Por ello, te proponemos que obtengas lasTRAZAS del plano ABC. Asimismo, sitúa en él un punto P que tenga45 mm. tanto de ALEJAMIENTO como de COTA.

2. Halla las TRAZAS del plano dado por las rectas a y b que se cortanen el punto A. Realiza el estudio completo de ambas rectas: PUNTOSTRAZA y DIEDROS o CUADRANTES que atraviesan, señalando partesVISTAS y OCULTAS de las mismas. Imagina opacos los planos prin-cipales de proyección.

3. De forma análoga al ejercicio anterior, halla las TRAZAS del PLANOdeterminado, en esta ocasión, por la recta c y el punto exterior P.

GEOMETRÍA DESCRIPTIVASISTEMA DIÉDRICO. EL PLANO

nombre y apellidos

nº curso/grupo fecha

DETERMINACIÓN DE UN PLANO POR SUS TRAZAS 2

3

1

49

P’’

P’

A’

A’’

B’’

C’’

A’B’

C’

b’’

b’

a’

a’’

c’

c’’

1 PLANO DADO POR TRES PUNTOS. SITUACIÓN DE UN PUNTO DEFINIDO 2 PLANO DADO POR DOS RECTAS QUE SE CORTAN

3 PLANO DADO POR UNA RECTA Y UN PUNTO EXTERIOR

A’’

H’’2

H’2

B’1B’’2

B’’1 B’2

C’2

D’’2Q’’

D’2

C’’1

C’’2

C’1

Q’

P’

P’’

4545

α2

α1

h’’

h’

f’

f’’a’’

a’

b’

d’

c’

d’’

c’’

A’’

α2

α1

β2

β1

(ale

jam

ien

to)

(co

ta)

VERIFICACIONES

1. Determinar las TRAZAS DEL PLANO dado por la LÍNEA DE MÁXIMA PENDIENTE p.

2. Obtener las TRAZAS DEL PLANO dado por la LÍNEA DE MÁXIMA INCLINACIÓN i.

p”

p’

1 PLANO DEFINIDO POR UNA RECTADE MÁXIMA PENDIENTE DEL MISMO

2 PLANO DEFINIDO POR UNA RECTADE MÁXIMA INCLINACIÓN DEL MISMO

i”

i’

1. Determinar las TRAZAS DEL PLANO dado por la LÍNEA DE MÁXIMA PENDIENTE p.

2. Obtener las TRAZAS DEL PLANO dado por la LÍNEA DE MÁXIMA INCLINACIÓN i.

P’’1

P’1

P’2

α1

α2

P’’2

p’

I’’1

I’’2

I’2

I’1

β1

β2

i’

i’’

90º

90º

p’’

164

1 CRITERIO DE PERTENENCIA DE PUNTOSY RECTAS A UN PLANO

3 RECTAS CONTENIDAS ENUN PLANO PROYECTANTE

1. Demuestra, gráficamente, cuáles de los TRES PUNTOS P, Q y R, asícomo de las TRES RECTAS a, b y h, PERTENECEN al PLANO αα .

2. Dibuja la PROYECCIÓN VERTICAL del cuadrilátero ABCD, contenidoen el plano ββ, perpendicular al SEGUNDO PLANO BISECTOR.

3. Traza, por el punto P, la RECTA HORIZONTAL h, la FRONTAL f yotra cualquiera r, CONTENIDAS, todas ellas, en el PLANO VERTICALγγ, también llamado PROYECTANTE HORIZONTAL.

4. Traza el PLANO PROYECTANTE VERTICAL que contiene a la rectar. Indica asimismo, gráficamente, el ÁNGULO que dicho plano formacon el PLANO HORIZONTAL de proyección HH .

5. Traza el PLANO PROYECTANTE HORIZONTAL (esto es, un planovertical al de referencia HH ) que contenga la recta s. Indica igualmente,de forma gráfica, el ÁNGULO que dicho plano forma con el PLANOVERTICAL de proyección VV .

GEOMETRÍA DESCRIPTIVASISTEMA DIÉDRICO. EL PLANO

nombre y apellidos

nº curso/grupo fecha

PERTENENCIAS DE PUNTOS Y RECTAS A UN PLANO 2

3

1

50

r”

P’’

P’

R’

R’’

α1

α2

Q’

Q’’

β1 β2

P’

P’’

γ1

γ2

B’

A’

C’

D’

r’

s”

s’

5 PLANO PROYECTANTE HORIZONTAL4 PLANO PROYECTANTE VERTICAL

2 PROYECCIONES DEUNA FIGURA PLANA

h’

h’’

b’’

b’

a’’

a’

R’2

R’’2

R’’1

R’1

δ1

δ2

H

S’2

S”2

S’’1

S’1ε1

ε2

V

H’’2

A’’2

H’2 A’’1A’2

B’’1

B’1

f’

A’1

f’’

R’’1

R’1

R’’2

A’’

B’’

C’’

D’’

r’’

r’

s’’

s’

COMENTARIO

• Puntos pertenecientes al plano αα : P y Q.

• Rectas pertenecientes al plano αα : a y h.

R’2

f”

h’’

r’

f’

r’’

h’

Ángulo que forma el plano δcon el plano horizontal

Ángulo que forma el plano εcon el plano vertical

VERIFICACIONES

2 PLANO DADO POR DOS RECTAS SINGULARES1 POSICIÓN RELATIVA DE DOS RECTAS

1. Determinar si los segmentos AB y CD se CORTAN o se CRUZAN.

2. Trazar el PLANO definido por dos rectas a y b que se cortan en la LT y cuyas PROYECCIONES DIÉDRICAS son las indicadas. Notesé que la PROYECCIÓN VERTICAL (a’’) de la rectaa coincide con la PROYECCIÓN HORIZONTAL (b’) de la recta b; y viceversa, la PROYECCIÓN HORIZONTAL (a’) de la recta a es coincidente con la PROYECCIÓN VERTICAL (b’’)de la recta b; esto es: a’ b’’ y a’’ b’.

a’

b’

b’’

a’’

A’’

D’’ B’’

C’’

D’ C’

B’

A’

1. Determinar si los segmentos AB y CD se CORTAN o se CRUZAN.

2. Trazar el PLANO definido por dos rectas a y b que se cortan en la LT y cuyas PROYECCIONES DIÉDRICAS son las indicadas. Notesé que la PROYECCIÓN VERTICAL (a’’) de la rectaa coincide con la PROYECCIÓN HORIZONTAL (b’) de la recta b; y viceversa, la PROYECCIÓN HORIZONTAL (a’) de la recta a es coincidente con la PROYECCIÓN VERTICAL (b’’) dela recta b; esto es: a’ b’’ y a’’ b’.

C’ C’’

π1 π2

A’’

A’

B’’

B’

R’’2

R’’1

R’1

b’

a’

b’’

a’’

R’2

r’

r’’

COMENTARIO

Tomando un punto AÆÆa y otro BÆÆb se traza la recta r = AB,cuyos puntos traza R1 y R2 unidos con C (común a las rectas

a y b ) definen las trazas del plano ππ , que, lógicamente, seráperpendicular al segundo bisector.

COMENTARIO

Al no ser los puntos M (perteneciente a la recta AB)y N (perteneciente a la recta CD) coincidentes en latercera proyección (M”’ N”’ ), podemos a firmar quelos segmentos se cruzan.

C’’’

A’’’

B’’’ D’’’

M’’’N’’’

y2

y1

y 2

y 1

N’’ M’’

166

1 VISTAS AUXILIARES DE UN CUADRILÁTERO OBLICUO:DETERMINACIÓN DE SU VERDADERA MAGNITUD

En el epígrafe 6 (pág.162) de esta Unidad Didáctica se decía:«si un plano es paralelo a un coordenado, su proyección sobre él repre-senta el plano en verdadera magnitud».Al análisis de lo expuesto, te proponemos obtener la VERDADERA MAG-NITUD del cuadrilátero ABCD y su SUPERFICIE correspondiente, median-te los procesos alternativos que se indican a continuación.1. Determina las VISTAS AUXILIARES del cuadrilátero situándole, prime-

ro, como PROYECTANTE HORIZONTAL al nuevo plano HH11 y, luego,

en posición FRONTAL respecto a otro nuevo PLANO VERTICALVV11 .

2. Determina las VISTAS AUXILIARES del polígono ABCD anterior, pero,ahora, cambiando primero el PLANO VERTICAL VV por un nuevoplano VV11 que le sitúe de CANTO (esto es, como un PROYECTANTEVERTICAL ) y luego, el PLANO HORIZONTAL HH por otro HH11 queposicione al cuadrilátero horizontalmente y, por ende, su proyecciónse observe en VERDADERA MAGNITUD.

GEOMETRÍA DESCRIPTIVASISTEMA DIÉDRICO. EL PLANO

nombre y apellidos

nº curso/grupo fecha

VERDADERA MAGNITUD DE UNA FORMA PLANA: VISTA AUXILIAR 2

3

1

51

2 PROCESO ALTERNATIVO AL ANTERIOR

A’

B’’

C’’

D’’

D’

B’

C’

A’’

V

H

A’

B’C’

D’

V

H

H1V

V1H

F’

H’

SUPERFICIE DEL CUADRILÁTERO: cm2

H’’

C’’

D’’

A’’

F’’

B’’

h’

h”

f’

f’’

Verdadero tamaño:

Cuadrado de lado30 mm.

Plano proyectantehorizontal, respectoal nuevo .

Vistas diédricas de unplano oblicuo dado porcuatro puntos ABCD.

Y A

A’’1

V1

B’’1

C’’1

D’’1

C’1B’1

A’1D’1 H1

H1

Verdaderotamaño

H’

Vistas diédricas de unplano oblicuo ABCD.

Plano frontal paraleloal nuevo vertical .V1

V1

H1

B’’1 A’’1 C’’1 D’’1

C’1

D’1

A’1

B’1

YA

DATOS

PASO 1

PASO 2

DATOS

PASO 1

PASO 2

ZA

Z A

Se trata de un cuadrado de superficie : lado2 = 32 = 9 cm2

Y*B

Y* B

Z* A

Z* A

Plano proyectante vertical(de canto) respecto al nuevoplano de referencia .V1

Plano paralelo al horizon-tal respecto al nuevo planocoordenado .H1

C’

f’’

f’

F’’

C’’

h’’

h’